3.1.1 两角和与差的余弦
学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.
知识点 两角和与差的余弦公式
思考1 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明.21世纪教育网版权所有
思考2 单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？
思考3 请根据上述条件推导两角差的余弦公式.
思考4 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
梳理 两角和与差的余弦公式
Cα＋β：cos(α＋β)＝__________________.
Cα－β：cos(α－β)＝____________________.
类型一 利用两角和与差的余弦公式求值
例1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°－sin 15°sin 105°.
反思与感悟 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路：
(1)把非特殊角转化为特殊角的差或和，正用公式直接求解.
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差或和的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.
跟踪训练1 求下列各式的值.
(1)cos 105°；(2)cos 46°cos 16°＋sin 46°sin 16°.
类型二 给值求值
例2 已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α－β)＝，求cos β的值.
反思与感悟 三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有21教育网
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等.
跟踪训练2 已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求cos β的值.
类型三 给值求角
例3 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值.
反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤：
(1)求角的某一个三角函数值.
(2)确定角的范围.
(3)根据角的范围写出所求的角.
跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，
且α－β∈，α＋β∈，求角β的值.
1.计算cos cos ＋cos sin 的值是( )
A.0 B. C. D.
2.若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b等于( )
A. B. C. D.－
3.设α∈，若sin α＝，则cos等于( )
A. B. C.－ D.－
4.已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求cos(α－β)的值.
5.已知sin α＝－，sin β＝，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α＋β)的值.21cnjy.com
1.公式Cα－β与Cα＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用.要注意公式的结构特征.如：
cos αcos β±sin αsin β＝cos(α?β).
2.要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解.
3.注意角的拆分技巧的积累，如：
α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝＋等.
答案精析
问题导学
知识点
思考1 不正确．
例如：当α＝，β＝时，
cos(α－β)＝cos ＝，
而cos α－cos β＝cos －cos ＝－，
故cos(α－β)≠cos α－cos β；
再如：当α＝，β＝时，
cos(α－β)＝cos ＝，
而cos α－cos β＝cos －cos ＝，故cos(α－β)≠cos α－cos β.
思考2 A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)．
与的夹角是α－β.
思考3 ①·＝||||cos(α－β)＝cos(α－β)，
②·＝cos αcos β＋sin αsin β.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
思考4 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β便可得到．
梳理 cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β
题型探究
例1 解 (1)原式＝cos(30°－45°)
＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°
＝×＋×＝.
跟踪训练1 解 (1)
原式＝cos(150°－45°)
＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45°
＝－×＋×
＝.
(2)原式＝cos(46°－16°)＝cos 30°＝.
例2 解 因为α∈，sin α＝<，所以0<α<.
所以α－β∈，
又因为cos(α－β)＝<，
所以－<α－β<－.
所以cos α＝＝＝，
sin(α－β)＝－
＝－＝－，
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
跟踪训练2 解 ∵α，β∈，
∴α＋β∈(0，π)．
又∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
例3 解 由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝ ＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝
＝ ＝.
由β＝α－(α－β)，
得cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)，
即cos β＝×＋×＝，
又∵0<β<，∴β＝.
跟踪训练3 解 由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－.
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又∵α＋β∈，α－β∈，∴2β∈，
∴2β＝π，则β＝.
当堂训练
1．C 2.A 3.B
4．解 ∵(sin α＋sin β)2＝2，
(cos α＋cos β)2＝2，
以上两式展开，两边分别相加，得
2＋2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝－.
5．解 因为sin α＝－，180°<α<270°，所以cos α＝－.
因为sin β＝，90°<β<180°，
所以cos β＝－.
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝＋＝.
3.1.2 两角和与差的正弦
学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数的性质.21世纪教育网版权所有
知识点一 两角和与差的正弦
思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
思考2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？
梳理 两角和与差的正弦公式
内容
两角和的正弦
两角差的正弦
简记符号
Sα＋β
Sα－β
公式形式
sin(α＋β)＝__________________
sin (α－β)＝________________
记忆口诀：“正余余正，符号相同”.
知识点二 辅助角公式
思考1 asin x＋bcos x化简的步骤有哪些？
思考2 在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？
梳理 辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)＝cos(x－θ).其中cos φ＝________，sin φ＝________，sin θ＝，cos θ＝，φ、θ称为辅助角，它的终边所在象限由________决定.21·cn·jy·com
类型一 给角求值
例1 (1)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°).
(2)＝________.
反思与感悟 (1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦，统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.2·1·c·n·j·y
(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解.21·世纪*教育网
跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x).
类型二 给值求值(角)
例2 已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β).
反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略：
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.www-2-1-cnjy-com
(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解.
跟踪训练2 已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α的值.
类型三 辅助角公式
例3 将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式.
(1)sin x－cos x；
(2)sin(－x)＋cos(－x).
反思与感悟 辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)可以把含sin x、cos x的一次式化为Asin(ωx＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a，b)决定，大小由tan φ＝确定.研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数的性质都要用到该公式.21cnjy.com
跟踪训练3 已知函数f(x)＝cos 2x－sin 2x，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期与值域；
(2)求f(x)的单调递增区间.
1.计算cos ＋sin 的值是( )
A. B.2 C.2 D.
2.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )
A.－ B.
C.－ D.
3.计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于________.
4.化简：cos＋sin＝________.
5.化简：sincos－cos·sin.
1.公式的推导和记忆
(1)理顺公式间的逻辑关系
Cα－βSα＋βSα－β.
(2)注意公式的结构特征和符号规律
对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；
对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”.
(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意.
2.应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.21教育网
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.
(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin 90°，1＝2cos 60°，1＝2sin 30°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 sin(α＋β)＝cos＝cos＝coscos β＋sinsin β＝sin αcos β＋cos αsin β .www.21-cn-jy.com
思考2 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
梳理 sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β
知识点二
思考1 (1)提常数，提出得到
.
(2)定角度，确定一个角θ满足：
cos θ＝，sin θ＝(或sin θ＝，cos θ＝)．一般θ为特殊角，则得到(cos θsin x＋sin θcos x)(或·(sin θsin x＋cos θcos x))．【来源：21·世纪·教育·网】
(3)化简、逆用公式得asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(或asin x＋bcos x＝cos(x－θ))．2-1-c-n-j-y
思考2 θ所在的象限由a和b的符号确定．
梳理 点(a，b)
题型探究
例1 (1)解 原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·sin(x－18°)
＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)
＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]
＝sin 45°＝.
(2)
跟踪训练1 解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]
＝sin 90°＝1.
例2 解 ∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin＝，
cos＝，
∴cos＝－，
sin＝－.
∴cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－
cossin
＝×－×
＝－.
跟踪训练2 α＝
例3 解 (1)sin x－cos x＝2(sin x－cos x)＝2(cos sin x－sin cos x)＝2sin(x－)．21*cnjy*com
(2)原式＝[sin(－x)＋
cos(－x)]＝[sin sin(－x)＋cos cos(－x)]
＝cos(－x－)＝cos(－x)
＝sin(x＋)．
跟踪训练3 解 (1)
f(x)＝－sin 2x＋cos 2x
＝－2
＝－2
＝－2sin，x∈R.
∴T＝＝π，函数的值域为[－2,2]．
(2)由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，
k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)．
当堂训练
1．B 2.D 3. 4.cos α
5．解 原式＝sincos－sin·cos
＝sin
＝sin
＝sin cos －cos sin
＝×－×＝.
3.1.3 两角和与差的正切
学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.21cnjy.com
知识点一 两角和与差的正切
思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？
思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？
梳理 两角和与差的正切公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
Tα＋β
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z)
两角差的正切
Tα－β
tan(α－β)＝
α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z)
知识点二 两角和与差的正切公式的变形
(1)Tα＋β的变形：
tan α＋tan β＝______________________.
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝__________.
tan αtan β＝____________________.
(2)Tα－β的变形：
tan α－tan β＝____________.
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________.
tan αtan β＝__________________.
类型一 正切公式的正用
例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________.
(2)已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝______.
反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角.
(2)利用公式T(α＋β)求角的步骤：
①计算待求角的正切值.
②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息.
③根据角的范围及三角函数值确定角.
跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
类型二 正切公式的逆用
例2 (1)＝________；
(2)＝________.
反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现，1，这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示.
跟踪训练2 求下列各式的值.
(1)；(2).
类型三 正切公式的变形使用
例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°；
(2)若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，求α＋β的值.
反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式：
①tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)或②1?tan α·tan β＝.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.21世纪教育网版权所有
跟踪训练3 在△ABC中，A＋B≠，且tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则角C的值为( )21教育网
A. B.
C. D.
1.若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于( )
A. B.－ C.3 D.－3
2.已知cos α＝－，且α∈，则tan等于( )
A.－ B.－7
C. D.7
3.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )
A.1 B.2 C.－2 D.不确定
4.已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________.
5.已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
1.公式Tα±β的结构特征和符号规律
(1)公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.21·cn·jy·com
(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
2.应用公式Tα±β时要注意的问题
(1)公式的适用范围
由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z).
(2)公式的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等.
特别要注意tan(＋α)＝，tan(－α)＝.
(3)公式的变形应用
只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式Tα±β的意识，就不难想到解题思路.www.21-cn-jy.com
特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 tan(α＋β)＝＝，
分子分母同除以cos αcos β，便可得到．
思考2 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到．
知识点二
(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β)
tan(α＋β)
1－
(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β)
tan(α－β)
－1
题型探究
例1 (1)3 (2)
跟踪训练1 －
例2 (1) (2)－1
跟踪训练2 解 (1)原式＝＝
＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)
＝－tan 30°＝－.
(2)原式＝＝＝.
例3 解 (1)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°·tan 37°
＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋
tan 23°tan 37°
＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°·tan 37°＝.
(2)∵(1＋tan α)(1＋tan β)
＝1＋(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，
∴tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)，
∴tan(α＋β)＝＝.
又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°，
∴α＋β＝60°.
跟踪训练3 A
当堂训练
1．A 2.D 3.B 4. 5.
3.2.1 倍角公式
学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
知识点一 二倍角公式的推导
思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？21世纪教育网版权所有
思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？21cnjy.com
梳理 二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝2sin αcos α，(S2α)
cos 2α＝cos2α－sin2α
＝2cos2α－1
＝1－2sin2α，(C2α)
tan 2α＝.(T2α)
知识点二 二倍角公式的变形
(1)公式的逆用
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝________，
cos2α－sin2α＝________，＝tan 2α.
(2)二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
升幂公式
1＋cos 2α＝________，1－cos 2α＝________，
1＋cos α＝______________，1－cos α＝____________ .
降幂公式
cos2α＝，sin2α＝.
类型一 给角求值
例1 求下列各式的值.
(1)cos 72°cos 36°；(2)－cos215°；
(3)；(4)－.
反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.21·cn·jy·com
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.www.21-cn-jy.com
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)cos cos cos ；(2)＋.
类型二 给值求值
例2 (1)若sin α－cos α＝，则sin 2α＝________.
(2)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于( )
A. B. C.1 D.
引申探究 在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝，求sin 2α.
反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢.②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.2·1·c·n·j·y
(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
跟踪训练2 已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值.
类型三 利用倍角公式化简
例3 化简.
反思与感悟 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求：
①能求出值的应求出值.②使三角函数种数尽量少.③使三角函数式中的项数尽量少.④尽量使分母不含有三角函数.⑤尽量使被开方数不含三角函数.21教育网
(2)化简的方法：
①弦切互化，异名化同名，异角化同角.
②降幂或升幂.
跟踪训练3 化简下列各式：
(1)＜α＜，则＝________；
(2)α为第三象限角，则－＝________.
1.sin cos 的值等于( )
A. B. C. D.
2.sin4－cos4等于( )
A.－ B.－ C. D.
3.＝________.
4.设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________.
5.已知sin＝，0
1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；
3α是α的二倍；是的二倍；
是的二倍；＝(n∈N＋).
2.二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos2α；②cos2α＝；
③1－cos 2α＝2sin2α；④sin2α＝.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 sin 2α＝sin(α＋α)
＝sin αcos α＋cos αsin α
＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos(α＋α)
＝cos αcos α－sin αsin α
＝cos2α－sin2α；
tan 2α＝tan(α＋α)＝.
思考2 cos 2α＝cos2α－sin2α
＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；
或cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.
知识点二
(1)sin 2α cos 2α
(2)2cos2α 2sin2α 2cos2 2sin2
题型探究
例1 解 (1)
cos 36°cos 72°＝
＝＝＝.
(2)－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos 30°＝－.
(3)＝2·
＝2·＝－2.
(4)－＝
＝
＝
＝＝4.
跟踪训练1 (1) (2)4
例2 (1) (2)A
引申探究 解 由题意，
得(sin α＋cos α)2＝，
∴1＋2sin αcos α＝，
即1＋sin 2α＝，
∴sin 2α＝－.
跟踪训练2 解 (1)tan＝＝＝－3.
(2)
＝
＝＝＝1.
例3 解 原式＝
＝
＝
＝＝1.
跟踪训练3 (1)sin α－cos α (2)0
当堂训练
1．B 2.B 3.1－ 4.
5．解 原式＝
＝
＝2sin.
∵sin＝cos＝，
且0∴sin＝ ＝，
∴原式＝2×＝.
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.
知识点 半角公式
思考1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用α替换2α，结果怎样？
思考2 根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin ，cos ，tan .
思考3 利用tan α＝和倍角公式又能得到tan 与sin α，cos α有怎样的关系？
梳理 正弦、余弦、正切的半角公式
sin ＝________，
cos＝________，
tan ＝____________________ .
类型一 应用半角公式求值
例1 若＜α＜π，且cos α＝－，则sin＝________.
反思与感悟 容易推出下列式子：
(1)sin α＝2sin cos ＝＝.
(2)cos α＝cos2－sin2＝＝.
sin α、cos α都可以表示成tan ＝t的“有理式”，将其代入式子中，从而可以对式子求值.
跟踪训练1 若tan ＋＝m，则sin θ＝________.
例2 已知sin θ＝，＜θ＜3π，求cos和tan .
反思与感悟 (1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论.
(2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：
①先化简所求的式子；
②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手).
跟踪训练2 已知sin α＝－，且π<α<，求sin ，cos 和tan .
类型二 三角恒等式的证明
例3 求证：＝.
反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.
跟踪训练3 证明：＝tan ＋.
1.若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为( )
A. B.－ C.± D.±
2.已知tan＝3，则cos θ等于( )
A. B.－ C. D.－
3.cos的值为________.
4.若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－，则tan ＝________.21世纪教育网版权所有
5.化简：.(180°<α<360°)
1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.
2.三角恒等式的证明类型
(1)绝对恒等式：证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同.21教育网
(2)条件恒等式：条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当的途径，常用代入法、消元法、两头凑法.21cnjy.com
答案精析
问题导学
知识点
思考1 结果是cos α＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2.
思考2 ∵cos2＝，
∴cos ＝±，
同理sin ＝±，
∴tan ＝＝±.
思考3 tan＝
＝＝，
tan ＝＝＝.
梳理 ± ±
± ＝＝
题型探究
例1
跟踪训练1
例2 解 ∵sin θ＝，且＜θ＜3π，
∴cos θ＝－＝－.
由cos θ＝2cos2－1，
得cos2＝＝.
∵＜＜，
∴cos ＝－＝－.
tan ＝＝2.
跟踪训练2 解 ∵sin α＝－，
π<α<，∴cos α＝－.
又∵π<α<，∴<<，
∴sin ＝＝＝，
cos ＝－＝－
＝－，
tan ＝＝－4.
例3 证明 要证原式，可以证明＝.
∵左边＝
＝
＝＝tan 2θ，
右边＝＝tan 2θ，
∴左边＝右边，
∴原式得证．
跟踪训练3 证明 ∵左边＝
＝
＝＝
＝tan ＋＝右边，
∴原等式成立．
当堂训练
1．A 2.B 3. 4.－5
5．解 原式＝
＝
＝
＝.
因为180°<α<360°，
所以90°<<180°，
所以cos <0，所以原式＝cos α.
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
学习目标 1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程.2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所起的作用.
知识点一 积化和差公式
思考 根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整.
①sin(α＋β)＋sin(α－β)＝________________；
②sin(α＋β)－sin(α－β)＝________________；
③cos(α＋β)＋cos(α－β)＝________________；
④cos(α＋β)－cos(α－β)＝________________.
在上述四个等式两边同乘以，等号两端互换，就可以得出四个相应的积化和差公式.
梳理 积化和差公式
(1)sin αcos β＝________________________________.
(2)cos αsin β＝________________________________.
(3)cos αcos β＝________________________________.
(4)sin αsin β＝________________________________.
知识点二 和差化积公式
思考 在四个积化和差公式中，如果我们令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝________，β＝________，由此可以得出四个相应的和差化积公式，请你试一试写出这四个公式：
sin θ＋sin φ＝________________；
sin θ－sin φ＝________________；
cos θ＋cos φ＝________________________；
cos θ－cos φ＝________________________.
梳理 和差化积公式
(1)sin x＋sin y＝2sin cos ，
(2)sin x－sin y＝2cos sin ，
(3)cos x＋cos y＝2cos cos ，
(4)cos x－cos y＝－2sin sin .
类型一 利用积化和差与和差化积公式化简求值
例1 求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
反思与感悟 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.21教育网
跟踪训练1 求值：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°.
类型二 三角恒等式的证明
例2 在△ABC中，求证：sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝4sin Asin Bsin C.
反思与感悟 在运用积化和差求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.
跟踪训练2 已知A＋B＋C＝π，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sinsincos.
1.sin 75°－sin 15°的值为( )
A. B. C. D.－
2.sin 15°cos 165°的值是( )
A. B. C.－ D.－
3.sin 105°＋sin 15°等于( )
A. B. C. D.
4.sin 37.5° cos 7.5°等于( )
A. B. C. D.
5.在△ABC中，若B＝30°，求cos Asin C的取值范围.
1.本节学习了积化和差公式、和差化积公式，一定要清楚这些公式的形式特征，理解公式间的关系.
2.和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系.21世纪教育网版权所有
答案精析
问题导学
知识点一
思考 ①2sin αcos β ②2cos αsin β
③2cos αcos β ④－2sin αsin β
梳理 (1)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
(2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]
(3)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]
(4)－[cos(α＋β)－cos(α－β)]
知识点二
思考 2sin cos
2cos sin
2cos cos
－2sin sin
题型探究
例1 解 sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°
＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)
＝－sin 50°＋cos 40°
＝－sin 50°＋sin 50°＝.
跟踪训练1 解 原式＝cos 20°＋＋(cos 100°＋cos 140°)
＝cos 20°＋＋2cos 120°cos 20°
＝cos 20°＋－cos 20°＝.
例2 证明 左边＝sin 2A＋sin 2B＋sin 2C
＝2sincos＋sin 2C
＝2sin(A＋B)cos(A－B)－2sin(A＋B)·cos(A＋B)
＝2sin C[cos(A－B)－cos(A＋B)]
＝2sin C·(－2)sin·sin
＝4sin Asin Bsin C＝右边．
所以原等式成立．
跟踪训练2 证明 ∵左边＝sin(B＋C)＋2sincos
＝2sincos＋2sin·cos
＝2cos
＝2cos ·2sincos
＝4sinsincos
＝右边．
∴原等式成立．
当堂训练
1．B 2.C 3.C 4.C
5．解 由题意，得
cos Asin C＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]
＝[sin(π－B)－sin(A－C)]
＝－sin(A－C)．
∵－1≤sin(A－C)≤1，
∴－≤－sin(A－C)≤，
∴cos Asin C的取值范围是.
第三单元 三角恒等变换
1 三角恒等变换中角的变换的技巧
三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧.
一、利用条件中的角表示目标中的角
例1 设α、β为锐角，且满足cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值.
分析 利用变换β＝α－(α－β)沟通条件与欲求之间的关系.
解 ∵α、β为锐角，且tan(α－β)＝－<0，
∴－<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－＝－，
cos(α－β)＝＝，
sin α＝＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝·＋(－)＝.
二、利用目标中的角表示条件中的角
例2 设α为第四象限的角，若＝，则tan 2α＝______________.
分析 要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到＝，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α.
解析 由＝
＝
＝2cos2α＋cos 2α＝.
∵2cos2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝.∴cos 2α＝.
∵α为第四象限的角，
∴2kπ＋<α<2kπ＋2π(k∈Z)，
∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π(k∈Z)，
∴2α可能在第三、四象限，
又∵cos 2α＝，∴2α在第四象限，
∴sin 2α＝－，tan 2α＝－.
答案 －
三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角
例3 已知sin＝，0分析 转化为已知一个角的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题.这样可以将所求式子化简，使其出现这个角的三角函数.21教育名师原创作品
解 原式＝＝
＝2sin＝2cos，
∵sin＝，且0∴cos＝ ＝，
∴原式＝2×＝.
四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角
例4 求函数f(x)＝sin(x－20°)－cos(x＋40°)的最大值.
分析 观察角(x＋40°)－(x－20°)＝60°，可以把x＋40°看成(x－20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f(x).【来源：21cnj*y.co*m】
解 f(x)＝sin(x－20°)－cos[(x－20°)＋60°]
＝sin(x－20°)－sin(x－20°)－cos(x－20°)cos 60°＋sin(x－20°)sin 60°
＝[sin(x－20°)－cos(x－20°)]＝sin(x－65°)，
当x－65°＝k·360°＋90°，即x＝k·360°＋155°(k∈Z)时，f(x)有最大值.
2 三角函数化简求值的“主角”
三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招：
第一招 单角化复角
例1 已知sin α＝，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝
－，则tan β的值为________.
解析 因为sin α＝，α为第二象限的角，
所以cos α＝－，所以tan α＝－.
所以tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝＝＝－.
答案 －
点评 将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式如：α＝(α＋β)－β、α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等.
第二招 复角化单角
例2 化简：－2cos(α＋β).
解 原式＝
＝
＝
＝＝.
点评 由于该式含有2α＋β和α＋β，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和的正弦或余弦公式展开即可.
第三招 复角化复角
例3 已知<α<，0<β<，cos(＋α)＝－，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值.
解 因为<α<，<＋α<π，
所以sin(＋α)＝＝.
又因为0<β<，<＋β<π，
所以cos(＋β)＝ －＝－，
所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin[(＋α)＋(＋β)]
＝－[sin(＋α)cos(＋β)＋cos(＋α)sin(＋β)]
＝－[×(－)＋(－)×]＝.
点评 由已知条件求出sin α或cos α过程较繁琐，故需要找到α＋β与＋α和＋β的关系，即是将所求复角化为已知复角，再结合题目中等式关系和角的范围限制具体求解.
3 三角恒等变换的几个技巧
三角题是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助.
一、灵活降幂
例1 ＝________.
解析 ＝
＝＝2.
答案 2
点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1进行降幂：如cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－sin22θ，等等.
二、化平方式
例2 化简求值：
(α∈(，2π)).
解 因为α∈(，2π)，所以∈(，π)，
所以cos α>0，sin>0，
故原式＝＝
＝＝sin.
点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos2α、2sin2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2.
三、灵活变角
例3 已知sin(－α)＝，则cos(＋2α)＝________.
解析 cos(＋2α)＝2cos2(＋α)－1＝2sin2(－α)－1＝2×()2－1＝－.
答案 －
点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“－α”表示待求角“＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余.21·cn·jy·com
四、构造齐次弦式比，由切求弦
例4 已知tan θ＝－，则的值是________.
解析 ＝
＝＝＝＝3.
答案 3
点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比.
五、分子、分母同乘以2nsin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n－1α的值
例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
解 原式＝cos 20°cos 40°cos 80°
＝
＝
＝＝·＝.
点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.
4 聚焦三角函数最值的求解策略
一、化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求解
例1 求函数f(x)＝的最值.
解 原函数变形得：
f(x)＝
＝＝
＝sin 2x＋.
∴f(x)max＝，f(x)min＝.
例2 求函数y＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合.
解 原函数化简得y＝sin 2x＋cos 2x＋2
＝sin＋2.
当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝kπ＋，k∈Z时，ymin＝2－.
此时x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}.
点评 形如y＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx＋d(a，b，c，d为常数)的式子，都能转化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值.21教育网
二、利用正、余弦函数的有界性求解
例3 求函数y＝的值域.
解 原函数整理得：sin x＝.
∵|sin x|≤1，∴≤1，解出y≤或y≥3.
例4 求函数y＝的值域.
解 原函数整理得sin x－ycos x＝－4y－3，
∴sin(x＋φ)＝－4y－3，
∴sin(x＋φ)＝.
∵|sin(x＋φ)|≤1，解不等式≤1得
≤y≤.
点评 对于形如y＝或y＝的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值.
三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值
例5 设关于x的函数y＝cos 2x－2acos x－2a的最小值为f(a)，写出f(a)的表达式.
解 y＝cos 2x－2acos x－2a＝2cos2x－2acos x－(2a＋1)＝22－.
当<－1，即a<－2时，f(a)＝ymin＝1，此时cos x＝－1.
当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，
f(a)＝ymin＝－－2a－1，此时cos x＝.
当>1，即a>2时，f(a)＝ymin＝1－4a，此时cos x＝1.
综上所述，f(a)＝.
点评 形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数可转化为二次函数y＝at2＋bt＋c在区间[－1，1]上的最值问题解决.
例6 试求函数y＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2的最值.
解 设sin x＋cos x＝t，t∈[－， ]，
则2sin xcos x＝t2－1，
原函数变为y＝t2＋t＋1，t∈[－， ]，
当t＝－时，ymin＝；当t＝时，ymax＝3＋.
点评 一般地，既含sin x＋cos x(或sin x－cos x)又含sin xcos x的三角函数采用换元法可以转化为t的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin x＋cos x＝t，则sin xcos x＝(t2－1)；sin x－cos x＝t，则sin xcos x＝(1－t2).
四、利用函数的单调性求解
例7 求函数y＝的最值.
解 y＝＝
＝(sin x＋2)－，
令t＝sin x＋2，则t∈[1，3]，y＝t－.
利用函数单调性的定义易证函数y＝t－在[1，3]上为增函数.
故当t＝1即sin x＝－1时，ymin＝0；
当t＝3即sin x＝1时，ymax＝.
例8 在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB＝a，∠ABC＝θ，△ABC的面积为P，正方形面积为Q.求的最小值.
解 AC＝atan θ，P＝AB·AC＝a2tan θ.设正方形边长为x，AG＝xcos θ，BC＝.BC边上的高h＝asin θ，
∵＝，
∴x＝，
∴Q＝x2＝.
从而＝·
＝＝1＋.
易知函数y＝＋在区间(0，1]上是减函数，
从而，当sin 2θ＝1时，min＝.
点评 一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，利用函数单调性巧妙解决，美不胜收.www-2-1-cnjy-com
5 《三角恒等变换》一章易错问题盘点
一、求角时选择三角函数类型不当而致错
例1 已知sin α＝，sin β＝，α和β都是锐角，求α＋β的值.
[错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝，sin β＝，所以cos α＝，cos β＝，
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
因为α，β∈，则α＋β∈(0，π).
所以α＋β＝或.
[剖析] 由sin α＝，sin β＝，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值.
[正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝，sin β＝，所以cos α＝，cos β＝，
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
因为α，β∈，则α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
温馨点评 根据条件求角，主要有两步：?1?求角的某种三角函数值；?2?确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.
二、忽视条件中隐含的角的范围而致错
例2 已知tan2α＋6tan α＋7＝0，tan2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值.21·世纪*教育网
[错解] 由题意知tan α、tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π，
∴α＋β＝或α＋β＝π.
[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0.角α、β都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.
[正解] 由易知
tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)，
∴<α<π，<β<π.∴π<α＋β<2π.
又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝π.
温馨点评 在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其它知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大.解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误.
三、忽略三角形内角间的关系而致错
例3 在△ABC中，已知sin A＝，cos B＝，求cos C.
[错解] 由sin A＝，得cos A＝±，
由cos B＝，得sin B＝，
当cos A＝时，
cos C＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝.
当cos A＝－时，
cos C＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝.
[剖析] 在△ABC中，三个内角A、B、C的和为π，解题时要充分利用这一定理.本题得到cos A＝±后，没有对cos A＝－这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确.
[正解] 由cos B＝>0，∴B∈，且sin B＝.
由sin A＝，得cos A＝±，
当cos A＝－时，cos A<－.∴A>.
∵sin B＝>，B∈，∴B>.
故当cos A＝－时，A＋B>π，与A、B是△ABC的内角矛盾.
∴cos A＝，
cos C＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝.
温馨点评 涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和A＋B＋C＝180°这一隐含条件.尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止角的增解出现.
四、忽略三角函数的定义域而致错
例4 判断函数f(x)＝的奇偶性.
[错解] f(x)＝
＝
＝＝tan ，
由此得f(－x)＝tan＝－tan ＝－f(x)，
因此函数f(x)为奇函数.
[剖析] 运用公式后所得函数f(x)＝tan 的定义域为.两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错.21世纪教育网版权所有
[正解] 事实上，由1＋sin x＋cos x≠0可得
sin x＋cos x≠－1，即sin≠－1，
从而sin≠－，
所以x＋≠2kπ＋且x＋≠2kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的定义域是
，
显然该定义域不关于原点对称.
因此，函数f(x)为非奇非偶函数.
温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错.
五、误用公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)而致错
例5 若函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)，x∈R是偶函数，求θ的值.
[错解] ∵f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)，
∴f(0)＝sin θ＋cos θ＝sin.
∵f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)是偶函数.
∴|f(0)|＝f(x)max＝.
∴f(0)＝sin＝±，
∴sin＝±1，
∴θ＋＝kπ＋，k∈Z.即θ＝kπ＋，k∈Z.
[剖析] 因为x＋θ与x－θ是不同的角，所以函数f(x)的最大值不是，上述解答把f(x)的最大值误当作来处理.【来源：21·世纪·教育·网】
[正解] ∵f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)是偶函数.
∴f(x)＝f(－x)对一切x∈R恒成立.
即sin(x＋θ)＋cos(x－θ)＝sin(－x＋θ)＋cos(－x－θ)恒成立.
∴[sin(x＋θ)＋sin(x－θ)]＋[cos(x－θ)－cos(x＋θ)]＝0.
∴2sin xcos θ＋2sin xsin θ＝0恒成立.
即2sin x(cos θ＋sin θ)＝0恒成立.
∴cos θ＋sin θ＝0.
∵cos θ＋sin θ＝sin＝0.
∴θ＋＝kπ，即θ＝kπ－，k∈Z.
温馨点评 注意公式asin x＋bcos x＝·sin?x＋φ?的左端是同角x.当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.
例如：函数f?x?＝sin?x＋θ?＋cos?x－θ??x∈R?的最大值不是2.
6 平面向量与三角函数的交汇题型大全
平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想.这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解.
一、平面向量平行与三角函数交汇
例1 已知a＝(2cos x＋2sin x，1)，b＝(y，cos x)，且a∥b.若f(x)是y表示成x的函数，则f(x)的最小正周期为________.2·1·c·n·j·y
解析 由a∥b得2cos2x＋2sin xcos x－y＝0，
即y＝2cos2x＋2sin xcos x
＝cos 2x＋sin 2x＋1
＝2sin(2x＋)＋1，
所以f(x)＝2sin(2x＋)＋1，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
答案 π
点评 解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解.【出处：21教育名师】
二、平面向量垂直与三角函数交汇
例2 已知向量a＝(4，5cos α)，b＝(3，－4tan α)，α∈(0，)，若a⊥b，则cos(2α＋)＝________.【版权所有：21教育】
解析 因为a⊥b，
所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，
解得sin α＝.
又因为α∈(0，)，所以cos α＝.
cos 2α＝1－2sin2α＝，sin 2α＝2sin αcos α＝，
于是cos(2α＋)＝cos 2αcos－sin 2αsin
＝－.
答案 －
点评 解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理.21*cnjy*com
三、平面向量夹角与三角函数交汇
例3 已知向量m＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n＝(2，0)的夹角为，则θ＝________.21cnjy.com
解析 由条件得|m|＝
＝，
|n|＝2，m·n＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式得cos ＝＝＝，
整理得2cos2 θ－cos θ－1＝0，
解得cos θ＝－或cos θ＝1(舍去).
因为0<θ<π，所以θ＝.
答案
点评 解答平面向量的夹角与三角函数的交汇的题目试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解.www.21-cn-jy.com
四、平面向量的模与三角函数交汇
例4 若向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值为________.
解析 由条件可得|a|＝1，|b|＝2，
a·b＝cos θ－sin θ，
则|2a－b|＝
＝
＝
＝≤4，
所以|2a－b|的最大值为4.
答案 4
点评 解答平面向量的模与三角函数交汇一般要用到向量的模的性质|a|2＝a2.如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解.2-1-c-n-j-y
五、平面向量数量积与三角函数交汇
例5 若函数f(x)＝2sin(x＋)(－2A.－32 B.－16
C.16 D.32
解析 由f(x)＝0，解得x＝4，即A(4，0)，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，根据对称性可知，A是BC的中点，所以＋＝2，所以(＋)·＝2·＝2||2＝2×42＝32，
答案 D
点评 平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；(2)给出三角函数图象，求图象上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角.
第三单元 三角恒等变换
学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.熟练应用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式.3.能对三角函数式进行化简、求值和证明，体会重要的数学思想方法.
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α－β)＝____________________________.
cos(α＋β)＝____________________________.
sin(α＋β)＝____________________________.
sin(α－β)＝____________________________.
tan(α＋β)＝____________________________.
tan(α－β)＝____________________________.
2.二倍角公式
sin 2α＝________________________.
cos 2α＝__________＝____________＝____________.
tan 2α＝____________.
3.升幂公式
1＋cos 2α＝________.
1－cos 2α＝________.
4.降幂公式
sin xcos x＝________，cos2x＝________.
sin2x＝________.
5.和差角正切公式变形
tan α＋tan β＝________________________.
tan α－tan β＝________________________.
6.辅助角公式
y＝asin ωx＋bcos ωx＝________________________.
类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
例1 已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值.
反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等.
跟踪训练1 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α－β)的值；(2)求α＋β的值.
类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用
例2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值.
反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来.21世纪教育网版权所有
跟踪训练2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域.
类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
例3 已知函数f(x)＝2sin(x－3π)sin＋2sin2－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值.
反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.21教育网
(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.21cnjy.com
跟踪训练3 已知cos＝，
类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用
例4 已知sin x＋2cos y＝2，求2sin x＋cos y的取值范围.
反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决.21·cn·jy·com
跟踪训练4 已知关于θ的方程cos θ＋sin θ＋a＝0在区间(0,2π)上有两个不相等的实数解α，β，求cos(α＋β)的值.www.21-cn-jy.com
1.若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－，则tan 等于( )2·1·c·n·j·y
A.－5 B.－ C. D.5
2.若＝－，则sin α＋cos α的值为( )
A.－ B.－ C. D.
3.已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝________.
4.设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________.
5.已知函数f(x)＝cos x·sin(x＋)－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值.
本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质.【来源：21·世纪·教育·网】
答案精析
知识梳理
1．cos αcos β＋sin αsin β
cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β
2．2sin αcos α cos2α－sin2α 2cos2α－1
1－2sin2α
3．2cos2α 2sin2α
4.
5．tan(α＋β)(1－tan αtan β)
tan(α－β)(1＋tan αtan β)
6.sin(ωx＋θ)
题型探究
例1 解 ∵α是锐角，cos α＝，
∴sin α＝，tan α＝.
∴tan β＝tan[α－(α－β)]
＝＝.
∵β是锐角，∴cos β＝.
跟踪训练1解 (1)由题可知，
cos α＝，cos β＝.
由于α，β为锐角，则sin α＝，sin β＝，故tan α＝，tan β＝，
则tan(α－β)＝＝＝－.
(2)因为tan(α＋β)＝＝1，
sin α＝<，sin β＝<，
即0<α＋β<，故α＋β＝.
例2 解 设sin x＋cos x＝t，
则t＝sin x＋cos x
＝
＝sin，
∴t∈[－，]，
∴sin x·cos x＝＝.
∵f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，
∴g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，
t∈[－，]．
当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，
f(x)min＝－1，
此时，由sin＝－，
解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z.
当t＝，即sin x＋cos x＝时，
f(x)max＝＋，
此时，由sin＝，
即sin＝1，
解得x＝2kπ＋，k∈Z.
综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值－1；
当x＝2kπ＋，k∈Z时，
f(x)取得最大值＋.
跟踪训练2 函数的值域为
.
例3 解 (1)因为f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin，
所以f(x)的最小正周期为π.
又因为x∈[0，]，
所以2x＋∈[，]，
所以f(x)的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知，
f(x0)＝2sin.
又因为f(x0)＝，
所以sin＝.
由x0∈，
得2x0＋∈，
所以cos＝
－
＝－，
cos 2x0＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝.
跟踪训练3 解
＝
＝
＝
＝sin 2x·tan.
∵又∵cos＝，
∴sin＝－.
∴tan＝－.
∴cos x＝cos
＝coscos ＋
sinsin
＝×＝－.
∴sin x＝sin
＝sincos －sin ·
cos＝－，
sin 2x＝，tan x＝7.
∴＝－.
例4 解 设2sin x＋cos y＝a.
由
解得
从而解得1≤a≤.
故2sin x＋cos y的取值范围是.
跟踪训练4 解 设x＝cos θ，y＝sin θ，则有
消去y，并整理得4x2＋2ax＋a2－1＝0.①
由已知得cos α，cos β是①的两个实数解，
由根与系数的关系，得
∴sin αsin β＝(cos α＋a)(cos β＋a)
＝3cos αcos β＋(cos α＋cos β)a＋a2
＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝－＝.
当堂训练
1．A 2.C 3.－ 4.
5．解 (1)由已知，有f(x)＝cos x·
(sin x＋cos x)－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin(2x－)．
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，
f(－)＝－，
f(－)＝－，
f()＝，
所以函数f(x)在闭区间
[－，]上的最大值为，最小值为－.
