3．1.1 两角和与差的余弦
预习课本P133～134，思考并完成以下问题
(1)如何用α的三角函数与β的三角函数表示cos(α－β)，cos(α＋β)?
(2)两角和与差的余弦公式是如何推导的？
两角和与差的余弦公式
名称
公式
简记符号
两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
Cα＋β
两角差的余弦公式
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
Cα－β
[点睛] 公式的左边是和(差)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差(和)式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.( )
(2)对于任意实数α，β，cos(α＋β)＝cos α＋cos β都不成立．( )
(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
3．设α∈，若sin α＝，则cos等于( )
A. B.
C．－ D．－
答案：B
4．cos 15°＝________.
答案：
给角求值问题
[典例] 求下列各式的值．
(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
(2)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°；
(3)cos 15°＋sin 15°.
[解] (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°
＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)
＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.
(2)原式＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋73°)·sin(360°－47°)＝－sin 17°sin 43°＋sin 73°sin 47°＝－sin 17°sin 43°＋cos 17°cos 43°＝cos 60°＝.
(3)∵＝cos 60°，＝sin 60°，
∴cos 15°＋sin 15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
利用公式C(α＋β)，C(α－β)求值的方法技巧
在利用两角和与差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．
[活学活用]
计算下列各式的值：
(1)cos 55°cos 20°－sin 55°sin 20°；
(2)coscos θ＋sinsin θ.
解：(1)cos 55°cos 20°－sin 55°sin 20°＝cos 75°
＝cos(45°＋30°)
＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
＝×－×＝.
(2)coscos θ＋sinsin θ
＝cos＝cos＝.
给值求值问题
[典例] (1)已知α∈，β是第三象限角，sin α＝，cos β＝－.求cos(α＋β)的值．
(2)已知cos α＝，cos(α＋β)＝，且α，β均为锐角，求cos β的值．
[解] (1)∵α∈，sin α＝，
∴cos α＝－＝－ ＝－.
∵β是第三象限角，cos β＝－，
∴sin β＝－＝－ ＝－，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
(2)∵α，β均为锐角，
∴0<α＋β<π，∴sin(α＋β)>0.
由cos α＝，cos(α＋β)＝，
得sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝×＋×＝.
给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[活学活用]
1．已知cos θ＝－，θ∈，则cos的值为________．
解析：∵cos θ＝－，θ∈，
∴sin θ＝－
＝－
＝－，
∴cos＝coscos θ－sinsin θ
＝×－×＝－.
答案：－
2．已知sin＝－，且<α<，求cos α的值．
解：∵<α<，∴<α＋<2π，
∴cos>0，∴cos＝ ＝ ＝，
∴cos α＝cos＝coscos＋sinsin ＝×－×＝－.
给值求角问题
[典例] (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________.
(2)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝________.
[解析] (1)∵α，β均为锐角，
∴cos α＝，cos β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又∵sin α>sin β，∴0<β<α<，∴0<α－β<.
故α－β＝.
(2)∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．
∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝.
∵0<β<，∴β＝.
[答案] (1) (2)
[一题多变]
1．[变条件]若本例中(1)中“sin α”变为“cos α”，“sin β ”变为“cos β ”，则α－β＝________.
解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又∵sin α
∴－<α－β<0，
故α－β＝－.
答案：－
2．[变条件]若本例(2)变为：已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
解：由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝ ＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝＝ ＝.
由β＝α－(α－β)得
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
所以β＝.
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
层级一 学业水平达标
1．cos 20°＝( )
A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10°
解析：选B cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°.
2.sin 15°－cos 15°的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 原式＝sin 30°sin 15°－cos 30°cos 15°
＝－(cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°)
＝－cos(30°＋15°)＝－cos 45°＝－.
3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝，∴sin α＝＝.∵β为第三象限角，且sin β＝－，∴cos β＝－＝－，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.故选A.
4．已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，那么|a－b|等于( )
A. B.
C. D．1
解析：选D |a－b|
＝
＝
＝＝1.
5．已知sin α＝，α∈，则cos等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选B 由题意可知cos α＝，
cos＝cos＝cos＝cos α cos＋sin α·sin ＝×＋×＝.
6．化简：cos(α－55°)cos(α＋5°)＋sin(α－55°)sin(α＋5°)＝________.
解析：原式＝cos[(α－55°)－(α＋5°)]＝cos(－60°)＝.
答案：
7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β＝________.
解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝， ①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝， ②
由①②得cos αcos β＝，sin αsin β＝－，
∴tan αtan β＝＝＝－.
答案：－
8．已知sin α＝，α∈，则cos的值为________．
解析：∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－＝－ ＝－，
∴cos＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝.
答案：
9．已知α，β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．
解：因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π.
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝.
又因为cos α＝，所以sin α＝.
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
10．若x∈，且sin x＝，求2cos＋2cos x的值．
解：∵x∈，sin x＝，∴cos x＝－.
∴2cos＋2cos x
＝2＋2cos x
＝2＋2cos x
＝sin x＋cos x
＝－＝.
层级二 应试能力达标
1．已知cos ＝－，则cos x＋cos＝( )
A．－ B．±
C．－1 D．±1
解析：选C cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1.故选C.
2．已知α为钝角，且sin＝，则cos的值为( )
A. B.
C．－ D.
解析：选C ∵α为钝角，且sin＝，
∴cos＝－，
∴cos＝cos
＝coscos－sinsin
＝×－×＝－.
3．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A ∵α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，∴sin α＝，sin(α＋β)＝，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.
4．设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为( )
A. B.
C. D.或
解析：选C 因为α，β为钝角，sin α＝，
所以cos α＝－
＝－ ＝－.
由cos β＝－，得
sin β＝＝ ＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×
＝.
又因为π<α＋β<2π，所以α＋β＝.
5．已知cos α＝，cos(α－β)＝－，<α<2π，<α－β<π ，则cos β＝________.
解析：由条件知sin α＝－，sin(α－β)＝，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－－＝－1.
答案：－1
6．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β，①
－cos γ＝cos α＋cos β，②
①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β，
化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－，
即cos(α－β)＝－.
答案：－
7．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
解：由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－，
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又∵α－β∈，α＋β∈，
∴2β∈，∴2β＝π，则β＝.
8．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈，
又sin(α－β)＝>0，
∴0<α－β<.
所以sin α＝ ＝，
cos(α－β)＝ ＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝.
3．1.2 两角和与差的正弦
预习课本P136～138，思考并完成以下问题
(1)如何利用两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式？
(2)两角和与差的正弦公式是什么？
两角和与差的正弦公式
名称
公式
简记符号
两角和的正弦
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
Sα＋β
两角差的正弦
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
Sα－β
[点睛] 两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( )
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°的值等于( )
A. B．－
C．0 D．1
答案：D
3．已知sin α＝－，α是第四象限角，则sin＝________.
答案：
给角求值问题
[典例] 求值：(1)sin(－15°)；
(2)(tan 10°－).
[解] (1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)
＝sin 30°cos 45°－cos 30°sin 45°
＝×－×
＝.
(2)法一：原式＝(tan 10°－tan 60°)
＝
＝·
＝－2.
法二：原式＝
＝·
＝
＝
＝－2.
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
[活学活用]
求值：(1)sin 105°；(2).
解：(1)sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60° sin 45°＝×＋×＝.
(2)
＝
＝
＝
＝sin 30°＝.
给值求值问题
[典例] (1)已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；
(2)求值：sin ＋cos ；
(3)已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
[解] (1)[直接法]
因为α为第一象限角，β为第二象限角，
sin α＝，cos β＝－，所以cos α＝，sin β＝，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－.
(2)[常值代换法]
原式＝2
＝2
＝2sin＝2sin ＝.
(3)[角的代换法]
∵＜β＜α＜，∴＜α＋β＜，0＜α－β＜.
又∵cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，∴sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，∴sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.
给值求值的方法
(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝tan 45°，1＝sin 90°等.1，，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用．
(3)角的代换：将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换．
常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]＝[(α＋β)－(β－α)]，
＝－，
α＋β＝(2α＋β)－α，
2α＝(α＋β)＋(α－β)，
2β＝(α＋β)－(α－β)等．
[活学活用]
在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D ∵A＝，∴cos A＝sin A＝，
又cos B＝，0＜B＜π，∴sin B＝，
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.
辅助角公式的应用
[典例] 求y＝sin x－cos x的最小正周期、最值及单调递增区间．
[解] y＝2
＝2＝2sin.
∴此函数的最小正周期为2π，ymax＝2，ymin＝－2.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得
2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
∴y＝sin x－cos x的单调递增区间为
(k∈Z)．
辅助角公式及其运用
(1)公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))将形如asin α＋bcos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
(2)化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
[活学活用]
求函数f(x)＝sin＋2sin的最大值和最小值．
解：f(x)＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin＝sin x－cos x
＝
＝sin，
∴f(x)的最大值为，
此时x＝＋2kπ(k∈Z)；f(x)的最小值为－，
此时x＝－＋2kπ(k∈Z)．
层级一 学业水平达标
1．(全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160° sin 10°＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝.
2.的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 原式＝
＝＝2sin 30°＝1.
3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－，由两角和的正弦公式可得sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝－.
4．已知sin＝，则cos α＋sin α的值为( )
A．－ B.
C．2 D．－1
解析：选B cos α＋sin α＝2＝2sin＝2×＝.
5．函数y＝sin＋sin的最小值为( )
A. B．－2
C．－ D.
解析：选C 因为y＝sin＋sin＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋sin 2xcos－cos 2xsin ＝sin 2x，所以所求函数的最小值为－.
6．化简sin 50°cos 38°＋cos 50°cos 128°的结果为________．
解析：sin 50°cos 38°＋cos 50°cos 128°＝sin 50°cos 38°＋cos 50°(－sin 38°)＝sin 50°cos 38°－cos 50°sin 38°＝sin(50°－38°)＝sin 12°.
答案：sin 12°
7．已知<β<，sin β＝，则sin＝________.
解析：∵<β<，sin β＝，
∴cos β＝，∴sin＝sin β·cos ＋cos β·sin ＝×＋×＝＋＝.
答案：
8．已知cos＝sin，则tan α＝________.
解析：cos＝cos αcos－sin αsin ＝cos α－sin α，sin＝sin αcos －cos αsin＝sin α－cos α，∴sin α＝cos α，故tan α＝1.
答案：1
9．已知cos α＝(α为第一象限角)，求cos，sin的值．
解：∵cos α＝，且α为第一象限角，
∴sin α＝＝ ＝.
∴cos＝cos cos α－sin sin α
＝×－×＝.
同理可求sin＝.
10．化简下列各式：
(1)sin＋2sin－cos；
(2)－2cos(α＋β)．
解：(1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －2cos xsin －cos ·cos x－sin sin x
＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x
＝sin x＋cos x
＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
层级二 应试能力达标
1．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝( )
A．±1 B．1
C．－1 D．0
解析：选D 原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝－cos(θ＋15°)＋sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0，故选D.
2．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C ∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．
由已知可得 sin(B＋C)＝2sin Ccos B
?sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin CcosB
?sin Bcos C－cos Bsin C＝0?sin(B－C)＝0.
∵0∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．
3．函数f(x)＝sin x＋sin图象的一条对称轴为( )
A．直线x＝ B．直线x＝π
C．直线x＝ D．直线x＝
解析：选D f(x)＝sin x＋sin·cos x－cos ·sin x＝sin x＋cos x＝sin，其图象的对称轴方程为x＋＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，得x＝.
4．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为( )
A. B.
C.或 D.或
解析：选A 由已知可得(3sin A＋4cos B)2＋(3cos A＋4sin B)2＝62＋12，即9＋16＋24sin(A＋B)＝37.
所以sin(A＋B)＝.
所以在△ABC中sin C＝，所以C＝或C＝.
又1－3cos A＝4sin B>0，所以cos A<.
又<，所以A>，所以C<，
所以C＝不符合题意，所以C＝.
5．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________.
解析：sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α
＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，
即sin β＝－，又β是第三象限角，∴cos β＝－，
∴sin＝sin βcos＋cos βsin＝×＋×＝.
答案：
6．设α为锐角，若cos＝，则sin＝________.
解析：因为α为锐角，所以<α＋<.
又 cos＝，所以sin＝.
所以sin＝sin
＝sincos －cossin
＝×－×＝.
答案：
7．已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值．
解：∵α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝，sin β＝.
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－.
又∵α，β均为锐角，∴－<α－β<.故α－β＝－.
8．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．
解：∵＜α＜，
∴＜＋α＜π，
∴sin＝ ＝.
∵0＜β＜，∴＜＋β＜π，
∴cos＝－
＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
＝－
＝－＝.
3．1.3 两角和与差的正切
预习课本P140～141，思考并完成以下问题
(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出两角差(和)的正切公式？
(2)公式T的应用条件是什么？
两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和
的正切
tan(α＋β)＝
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差
的正切
tan(α－β)＝
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
[点睛] 当tan α，tan β，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在时，不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．( )
答案：(1)√ (2)×
2．已知tan α＝－，则tan等于( )
A．－ B．－7 C. D．7
答案：D
3．若tan＝3，则tan α的值为( )
A．－2 B．－
C. D．2
答案：B
4.＝________.
答案：
给角求值问题
[典例] 求值：(1)tan(－15°)；
(2)；
(3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
[解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°)
＝
＝＝＝＝2－，
tan(－15°)＝－tan 15°＝－2.
(2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－.
(3)∵tan 60＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
[活学活用]
求值：(1)tan 75°；(2).
解：(1)tan 75°＝tan(45°＋30°)＝
＝＝＝＝2＋.
(2)原式＝
＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.
给值求值问题
[典例] 已知cos α＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tan β及tan(2α－β)．
[解] ∵cos α＝>0，α∈(0，π)，
∴sin α>0.
∴sin α＝＝ ＝，
∴tan α＝＝＝.
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝
＝＝2.
给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
[活学活用]
1．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选A ∵tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，
∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，
∴tan(α＋β)＝＝＝－3.
2．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
解析：由条件知＝＝3，则tan α＝2.
因为 tan(α－β)＝2，
所以 tan(β－α)＝－2，
故 tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝
＝＝.
答案：
给值求角问题
[典例] 已知tan α＝2，tan β＝－，其中0<α<，<β<π.
(1)求tan(α－β)；
(2)求α＋β的值．
[解] (1)因为tan α＝2，tan β＝－，
所以tan(α－β)＝＝＝7.
(2)因为tan(α＋β)＝＝＝1，
又因为0<α<，<β<π，
所以<α＋β<，所以α＋β＝.
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，求tan(2α－β)的值．
解：因为tan(α－β)＝7，tan α＝2，
所以tan(2α－β)＝＝
＝－.
2．[变条件，变设问]若本例条件变为：tan α＝，tan β＝且α，β∈，求2α＋β的值．
解：因为tan α＝，tan β＝且α，β∈，
∴tan(α＋β)＝＝＝>0，
∴α＋β∈，2α＋β∈(0，π)，
∴tan(2α＋β)＝
＝＝1，∴2α＋β＝.
解决给值求角问题的步骤
(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；
(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．
层级一 学业水平达标
1．化简：的值为( )
A. B.
C．tan 6° D.
解析：选A ∵＝tan(27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝＝.
2．tan 15°＋tan 105°等于( )
A．－2 B．2＋
C．4 D.
解析：选A tan 15°＋tan 105°＝tan(60°－45°)＋tan(45°＋60°)＝＋＝－2，故选A.
3．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵tan(α＋β)＝，tan＝，
∴tan＝tan
＝＝＝.
4．在△ABC中，若tan Atan B>1，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
解析：选A 由tan Atan B>1，知tan A>0，tan B>0，从而A，B均为锐角．
又tan(A＋B)＝<0，即tan C＝－tan(A＋B)>0，∴C为锐角，故△ABC为锐角三角形．
5．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为( )
A．1 B．2
C．1＋ D．1＋
解析：选B ∵tan 45°＝tan(20°＋25°)＝＝1，
∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，
∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.
6．(江苏高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．
解析：将β化为(α＋β)－α，利用两角差的正切公式求解．
tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.
答案：3
7.＝________.
解析：原式＝＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
答案：
8．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β＝________.
解析：∵tan(α＋β)＝，
∴1－tan αtan β＝＝＝，
∴tan α·tan β＝1－＝.
答案：
9．已知tan＝，tan＝2，求：
(1)tan；(2)tan(α＋β)．
解：(1)tan
＝tan
＝
＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝2－3.
10．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，求角α＋β的大小．
解：由已知得
∴tan α，tan β均为负，
∴－<α<0，－<β<0.
∴－π<α＋β<0，
又tan(α＋β)＝＝＝.
∴α＋β＝－.层级二 应试能力达标
1．已知tan α＝，tan(α－β)＝－，那么tan(β－2α)的值为( )
A．－ B．－
C．－ D.
解析：选B tan(β－2α)＝－tan(2α－β)
＝－tan[α＋(α－β)]
＝－
＝－＝－.
2．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则角C等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由已知，得tan A＋tan B＝(tan Atan B－1)，
即＝－，∴tan(A＋B)＝－，
∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，
∴C＝.
3．已知tan α＝，则的值是( )
A．2 B.
C．－1 D．－3
解析：选B 法一：因为tan α＝，所以tan
＝＝＝3，
所以＝＝.故选B.
法二：＝
＝tan＝tan α＝.故选B.
4．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)·…·(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)的值为( )
A．222 B．223
C．224 D．225
解析：选B (1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 44°＋tan 1°＋tan 44°tan 1°，
∵tan 45°＝tan(1°＋44°)＝＝1，
∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 44°tan 1°＝2，
同理，得(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝…＝2，
∴原式＝222×(1＋tan 45°)＝223.
5．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)
解析：由已知得
∴tan(A＋B)＝＝＝，
在△ABC中，tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－<0，∴C是钝角，∴△ABC是钝角三角形．
答案：钝角
6．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为______________________________．
解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2?tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2?tan α＋tan β＝tan αtan β－1?＝－1，
即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－，k∈Z.
当k＝1，α＋β取得最小正值.
答案：
7．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．
解：(1)因为tan(π＋α)＝－，所以tan α＝－，
因为tan(α＋β)＝＝，
所以tan(α＋β)＝＝.
(2)因为tan β＝tan[(α＋β)－α]＝，
所以tan β＝＝.
8．已知tan(α－β)＝，tan β＝－且α，β∈(0，π)．
(1)求tan α的值；
(2)求2α－β的值．
解：(1)tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝.
(2)tan α＝，α∈(0，π)，
∴α∈.
∵tan β＝－，β∈(0，π)，
∴β∈，
∴－π<α－β<0.
而tan(α－β)＝>0，
∴－π<α－β<－，
∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，
又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝＝＝1.
∴2α－β＝－.
3．2.1 倍角公式
预习课本P143～144，思考并完成以下问题
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？公式如何推导？
(2)联系已学公式，考虑cos2α，sin2α有哪几种变形方法？
二倍角公式
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )
(3)对任意角α，总有tan 2α＝.( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α等于( )
A. B.
C. D.
答案：D
3．计算cos215°－sin215°结果等于( )
A. B.
C. D.
答案：D
4．已知α为第三象限角，cos α＝－，则tan 2α＝________.
答案：－
给角求值问题
[典例] 求下列各式的值：
(1)sincos；(2)1－2sin2750°；
(3)；(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
[解] (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)
＝cos 60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°
＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－.
(4)原式＝
＝
＝
＝
＝.
此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单．而(4)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．
[活学活用]
求下列各式的值．
(1)sinsin；(2)cos215°－cos275°；
(3)2cos2－1；(4).
解：(1)∵sin ＝sin＝cos ，
∴sin sin ＝sin cos ＝·2sin cos＝sin＝.
(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，
∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
(3)2cos2－1＝cos＝－.
(4)＝＝tan 60°＝.
化简问题
[典例] 化简：(1)－；
(2).
[解] (1)原式＝＝＝tan 2θ.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝
＝1.
(1)化简三角函数式的常用方法：
①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次．
(2)化简三角函数式的常用技巧：
①特殊角的三角函数与特殊值的互化；
②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；
③对于二次根式，注意倍角公式的逆用；
④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；
⑤利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．
[活学活用]
化简：(1)－tan θtan 2θ；
(2)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β.
解：(1)－tan θtan 2θ＝－
＝
＝＝＝1.
(2)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
给值求值
[典例] 已知cos＝，≤α<，求cos的值．
[解] ∵≤α<，∴≤α＋<.
∵cos>0，∴<α＋<.
∴sin＝－
＝－ ＝－.
∴cos 2α＝sin＝2sincos
＝2××＝－，
sin 2α＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×2＝.
∴cos＝cos 2α－sin 2α
＝×＝－.
[一题多变]
1．[变设问]本例条件不变，求的值．
解：原式＝＝(cos α－sin α)＝2cos＝.
2．[变条件，变设问]若本例条件变为：若x∈，sin＝，求sin的值．
解：由sin＝，
得sin xcos －cos xsin ＝，
两边平方，得sin2x＋－sin 2x＝，
∴·＋－sin 2x＝，
即sin 2x·＋cos 2x·＝，
∴sin＝.
解决条件求值问题的方法
给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
层级一 学业水平达标
1．若sin＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C 因为sin＝，
所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×2＝.
2．下列各式中，值为的是( )
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215° D．sin215°＋cos215°
解析：选B cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
3．已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan 2α的值为( )
A．－ B.
C．－ D．－2
解析：选A 由题意可得，sin α＝－＝－，∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝－，故选A.
4．化简·等于( )
A．2cos α B．2sin α
C. D．cos α
解析：选A 原式＝·＝2cos α.
5．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( )
A．75° B．45°
C．60° D．30°
解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝，
所以α＝30°.故选D.
6．已知tan x＝2，则tan 2＝________.
解析：∵tan x＝2，
∴tan 2x＝＝－.
tan 2＝tan＝
＝＝－＝.
答案：
7．已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝____________，cos 2θ＝____________.
解析：∵sin ＋cos ＝，
∴2＝，
即1＋2sincos＝，
∴sin θ＝，
∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝.
答案：
8．求值：－＝________.
解析：原式＝
＝＝＝4.
答案：4
9．已知α为第二象限角，且sin α＝，求的值．
解：原式＝＝.
∵α为第二象限角，且sin α＝，
∴sin α＋cos α≠0，cos α＝－，
∴原式＝＝－.
10．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝，求α＋2β的值．
解：∵β为锐角，且cos β＝，∴sin β＝.
∴tan β＝，tan 2β＝＝＝.
∴0<2β<，0<α＋2β<π，
又tan(α＋2β)＝＝＝－1，
∴α＋2β＝.
层级二 应试能力达标
1．已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵sin 2α＝，
∴cos2
＝＝＝＝.
2．若＝，则cos的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选A 因为＝，
所以＝，
所以cos α－sin α＝，平方得1－2cos αsin α＝，
所以sin 2α＝，所以cos＝sin 2α＝.
3．化简：＝( )
A. B．－
C．－1 D．1
解析：选B 原式＝＝－＝－＝－.
4．已知sin＝，则cos 2的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D ∵sin＝，
∴cos＝cos 2＝1－2sin2＝，
∴cos 2＝cos＝cos
＝－cos＝－.
5．等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cos B＝，
sin B＝＝ ＝.
所以sin A＝sin(180°－2B)＝sin 2B＝2sin Bcos B
＝2××＝.
答案：
6．已知角α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝，则β＝________.
解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin2α)＝sin αcos α，即2sin2α＝sin αcos α.
∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝.
法一：由tan(β－α)＝＝＝，
得tan β＝1.
∵β为锐角，∴β＝.
法二：tan β＝tan(β－α＋α)＝＝＝1.∵β为锐角，∴β＝.
答案：
7．已知向量m＝，n＝(sin α，1)，m与n为共线向量，且α∈.
(1)求sin α＋cos α的值．
(2)求的值．
解：(1)因为m与n为共线向量，
所以×1－(－1)×sin α＝0，
即sin α＋cos α＝.
(2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝，
所以sin 2α＝－，
因为(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，
所以(sin α－cos α)2＝2－2＝.
又因为α∈，
所以sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－.
因此，＝.
8．已知sin －2cos ＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值．
解：(1)由sin －2cos ＝0，知cos ≠0，
∴tan ＝2，
∴tan x＝＝＝－.
(2)由(1)，知tan x＝－，
∴＝
＝
＝
＝×
＝×
＝.
3．2.2 半角的正弦、余弦和正切
预习课本P145～146，思考并完成以下问题
(1)半角的正弦、余弦、正切公式是什么？
(2)半角公式的符号是由哪些因素决定的？
半角公式
[点睛] (1)有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的条件便可求的正弦、余弦、正切的值．
(2)对于S和C，α∈R，但是使用T时，要保证α≠(2k＋1)π(k∈Z)．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)半角公式对任意角都适用．( )
(2)tan ＝，只需满足α≠2kπ＋π(k∈Z)．( )
答案：(1)× (2)√
2．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos的值为( )
A. B．－
C．± D.
答案：A
3．已知cos α＝，α∈，则sin等于( )
A．－ B.
C. D．－
答案：B
4．已知cos α＝－，且180°<α<270°，则tan ＝________.
答案：－2
求值问题
[典例] 已知sin α＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．
[解] ∵π<α<，sin α＝－，
∴cos α＝－，且<<，
∴sin＝ ＝，
cos＝－ ＝－，
tan＝＝－2.
解决给值求值问题的思路方法
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：
(1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
[活学活用]
已知sin－cos＝－，450°<α<540°，求tan的值．
解：由题意得2＝，
即1－sin α＝，
得sin α＝.
∵450°<α<540°，
∴cos α＝－，
∴tan＝＝＝2.
三角函数式的化简
[典例] 化简：
(π<α<2π)．
[解] 原式＝
＝
＝.
又∵π<α<2π，
∴<<π，
∴cos<0，
∴原式＝＝cos α.
[一题多变]
1．[变条件]若本例中式子变为：
(－π<α<0)，求化简后的式子．
解：原式＝
＝
＝
＝.
因为－π<α<0，
所以－<<0，
所以sin<0，
所以原式＝＝cos α.
2．[变条件]若本例中的式子变为：
＋，π<α<，求化简后的式子．
解：原式＝＋
，
∵π<α<，
∴<<.
∴cos<0，sin>0.
∴原式＝＋
＝－＋
＝－cos.
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
三角恒等变换的综合应用
题点一：与三角函数性质综合应用
1．(浙江高考)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．
解析：由题意知，f(x)＝sin 2x＋(1－cos 2x)＋1
＝sin＋，
所以最小正周期T＝π.
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故单调递减区间为(k∈Z)．
答案：π (k∈Z)
题点二：与平面向量综合应用
2．已知向量a＝(1＋sin 2x，sin x－cos x)，b＝(1，sin x＋cos x)，函数f(x)＝a·b.求f(x)的最大值及相应的x值．
解：因为a＝(1＋sin 2x，sin x－cos x)，
b＝(1，sin x＋cos x)，
所以f(x)＝1＋sin 2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin＋1.
因此，当2x－＝2kπ＋，
即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值＋1.
题点三：三角变换在实际生活中的应用
3.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100 米，宽BC＝50 米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：取1.732，取1.414)．
解：(1)∵在Rt△CHE中，CH＝50，∠C＝90°，
∠CHE＝x，
∴HE＝.
在Rt△HDF中，HD＝50，∠D＝90 °，∠DFH＝x，
∴HF＝.
又∠EHF＝90°，
∴EF＝，
∴三条路的全长(即△HEF的周长)
L＝.
当点F在A点时，这时角x最小，求得此时x＝；
当点E在B点时，这时角x最大，求得此时x＝.
故此函数的定义域为.
(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．
由(1)得L＝，x∈，
设sin x＋cos x＝t，
则sin xcos x＝，
∴L＝＝.
由t＝sin x＋cos x＝sin，x∈，
得≤t≤，
从而＋1≤≤＋1，
当x＝，
即CE＝50时，Lmin＝100(＋1)，
所以当CE＝DF＝50 米时，铺路总费用最低，最低总费用为96 560 元．
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
(1)运用和、差、倍角公式化简；
(2)统一化成f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式；
(3)利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质．
层级一 学业水平达标
1．已知cos θ＝－(－180°<θ<－90°)，则cos＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B 因为－180°<θ<－90°，所以－90°<<－45°.又cos θ＝－，所以cos＝ ＝ ＝，故选B.
2．已知α∈，cos α＝，则tan＝( )
A．3 B．－3
C. D．－
解析：选D 因为α∈，且cos α＝，所以∈，tan＝－ ＝－ ＝－，故选D.
3．若α∈，则 － 等于( )
A．cos α－sin α B．cos α＋sin α
C．－cos α＋sin α D．－cos α－sin α
解析：选B ∵α∈，∴sin α<0，cos α>0，则－＝－ ＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.
4．已知sin α＋cos α＝，则2cos2－1＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C ∵sin α＋cos α＝，
平方可得1＋sin 2α＝，可得sin 2α＝－.
2cos2－1＝cos＝sin 2α＝－.
5．函数y＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别为( )
A．π，1 B．π，
C．2π，1 D．2π，
解析：选A ∵y＝sin＋cos
＝＋
＝cos 2x，
∴该函数的最小正周期为π，最大值为1.
6．若sin＋2cos＝0，则tan θ＝________.
解析：由sin＋2cos＝0，得tan＝－2，
则tan θ＝＝.
答案：
7．若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.
解析：∵3sin x－cos x
＝2＝2sin，
因φ∈(－π，π)，∴φ＝－.
答案：－
8．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．
解析：y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，所以该函数的最小正周期为π.
答案：π
9．求证：＝sin 2α.
证明：∵左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边，
∴原式成立．
10．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2)因为f(α)＝，
所以sin＝1，
因为α∈，
所以4α＋∈.
所以4α＋＝，故α＝.
层级二 应试能力达标
1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan＝( )
A. B.或不存在
C．2 D．2或不存在
解析：选B 由2sin α＝1＋cos α，即4sin cos ＝2cos2，
当cos＝0时，则tan不存在；
当cos≠0时，则tan＝.
2．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝，c＝，则有( )
A．a>b>c B．aC．a解析：选C a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，∴a3．化简2＋2sin2得( )
A．2＋sin α B．2＋sin
C．2 D．2＋sin
解析：选C 原式＝1＋2sincos＋1－cos＝2＋sin α－cos＝2＋sin α－sin α＝2.
4．已知cos·cos＝，θ∈，则sin θ＋cos θ的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C cos·cos
＝sincos＝sin
＝cos 2θ＝.
∴cos 2θ＝.
∵θ∈，∴2θ∈，
∴sin 2θ＝－，且sin θ＋cos θ<0.
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－＝.
∴sin θ＋cos θ＝－.
5．设α为第四象限角，且＝，则tan 2α＝________.
解析：＝
＝＝2cos 2α＋1＝，
所以cos 2α＝，
又α是第四象限角，所以sin 2α＝－，tan 2α＝－.
答案：－
6．已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是________，最小值是________．
解析：∵A＋B＝，∴cos2A＋cos2B
＝(1＋cos 2A＋1＋cos 2B)
＝1＋(cos 2A＋cos 2B)
＝1＋cos(A＋B)cos(A－B)
＝1＋coscos(A－B)
＝1－cos(A－B)，∴当cos(A－B)＝－1时，
原式取得最大值；
当cos(A－B)＝1时，原式取得最小值.
答案：
7．化简：(0<α<π)．
解：∵tan＝，∴(1＋cos α)tan＝sin α.
又∵cos＝－sin α，且1－cos α＝2sin2，
∴原式＝＝
＝－.
∵0<α<π，∴0<<，∴sin>0.
∴原式＝－2cos.
8．已知cos 2θ＝，<θ<π，
(1)求tan θ的值．
(2)求的值．
解：(1)因为cos 2θ＝，
所以＝，所以＝，
解得tan θ＝±，
因为<θ<π，所以tan θ＝－.
(2)＝，
因为<θ<π，tan θ＝－，
所以sin θ＝，cos θ＝－，
所以＝
＝＝－4.
3.3
预习课本P149～151，思考并完成以下问题
(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出积化和差与和差化积公式？
(2)两组公式有何特点？
1．三角函数的积化和差
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，
sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]，
sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
[点睛] 积化和差公式的结构特点
(1)同名函数积化为余弦函数的和差；异名函数积化为正弦函数的和差．
(2)角的顺序，“α＋β”在前，“α－β”在后．
2．三角函数的和差化积
sin x＋sin y＝2sincos，
sin x－sin y＝2cossin，
cos x＋cos y＝2coscos，
cos x－cos y＝－2sinsin.
[点睛] 和差化积公式的特点
(1)同名函数的和或差才可化积．
(2)余弦函数的和或差化为同名函数之积．
(3)正弦函数的和或差化为异名函数之积．
(4)等式左边为单角α和β，等式右边为与的形式．
(5)只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其余均为正．
1．下列等式错误的是( )
A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin Acos B
B．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos Asin B
C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos Acos B
D．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2cos Acos B
答案：D
2．sin 37.5°cos 7.5°等于( )
A. B.
C. D.
答案：C
3．cos 75°cos 15°＝________.
答案：
化简求值
[典例] 化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)．
[解] 原式＝2sin θ[2sin(60°－θ)·sin(60°＋θ)]
＝－2sin θ[cos 120°－cos(－2θ)]
＝－2sin θ·
＝sin θ＋2sin θ·cos 2θ
＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ)＝sin 3θ.
用和差化积公式化简三角函数式时，若三角函数式中存在三个或三个以上的三角函数可供化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他三角函数有公因式的两个三角函数进行和差化积．
[活学活用]
求sin270°＋cos240°－sin 70°cos 40°的值．
解：原式＝＋－sin 70°cos 40°＝1＋(cos 40°＋cos 80°)－sin 70°cos 40°＝1＋cos 60°cos 20°－(sin 110°＋sin 30°)＝1＋cos 20°－cos 20°－＝.
三角恒等式证明
[典例] 在△ABC中，求证：sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝4sin Asin Bsin C.
[证明] 左边＝sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝2sin cos＋sin 2C
＝2sin(A＋B)cos(A－B)－2sin(A＋B)cos(A＋B)
＝2sin C[cos(A－B)－cos(A＋B)]
＝2sin C·(－2)sinsin
＝4sin Asin Bsin C＝右边．
所以原等式成立．
三角恒等式的证明
(1)证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看成已知结果的三角函数式的化简与求值．
(2)证明三角恒等式总体要求是：通过三角公式进行恒等变形，论证等式左右两边相等，论证过程要清晰、完整、推理严密．
(3)证明三角恒等式的基本思想是：化繁为简、左右归一、变更论证等．
[活学活用]
求证：cos2x＋cos2(x＋α)－2cos αcos xcos(x＋α)＝sin2α.
证明：左边＝＋－2cos αcos x·cos(x＋α)
＝1＋[cos 2x＋cos(2x＋2α)]－2cos αcos x cos(x＋α)
＝1＋coscos－cos α[cos(2x＋α)＋cos α]
＝1＋cos(2x＋α)cos α－cos αcos(2x＋α)－cos2α
＝1－cos2α＝sin2α＝右边，
∴原等式成立．
层级一 学业水平达标
1．cos 15° sin 105°＝( )
A.＋ B.－
C.＋1 D.－1
解析：选A cos 15°sin 105°＝[sin(15°＋105°)－sin(15°－105°)]＝[sin 120°－sin(－90°)]＝×＋×1＝＋.
2．化简的结果为( )
A．tan α B．tan 2α
C. D.
解析：选B 原式＝
＝tan 2α.
3．函数f(x)＝2sinsin的最大值等于( )
A．2sin2 B．－2sin2
C．2cos2 D．－2cos2
解析：选A f(x)＝2sinsin
＝－[cos α－cos(x－α)]
＝cos(x－α)－cos α.
当cos(x－α)＝1时，
f(x)取得最大值1－cos α＝2sin2.
4．将cos2x－sin2y化为积的形式，结果是( )
A．－sin(x＋y)sin(x－y) B．cos(x＋y)cos(x－y)
C．sin(x＋y)cos(x－y) D．－cos(x＋y)sin(x－y)
解析：选B cos2x－sin2y＝－
＝(cos 2x＋cos 2y)
＝cos(x＋y)cos(x－y)．
5．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( )
A．－m B．m
C．－ D.
解析：选A ∵cos2α－cos2β＝m，
∴sin(α＋β)·sin(α－β)＝－(cos 2α－cos 2β)
＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)
＝cos2β－cos2α＝－m.
6．cos 2α－cos 3α化为积的形式为________．
解析：cos 2α－cos 3α＝－2sinsin＝－2sinsin＝2sinsin.
答案：2sinsin
7．sin·cos化为和差的结果是________．
解析：原式＝
＝cos(α＋β)＋sin(α－β)．
答案：cos(α＋β)＋sin(α－β)
8.＝________.
解析：原式＝＝＝.
答案：
9．求下列各式的值：
(1)sin 54°－sin 18°；
(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°.
解：(1)sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°
＝2·＝
＝＝＝.
(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°
＝2cos 120°cos 26°＋2×(cos 120°＋cos 26°)
＝2××cos 26°＋＋cos 26°
＝－cos 26°＋＋cos 26°＝－.
10．求证：＝2cos α.
证明：因为左边＝
＝
＝＝2cos α＝右边，
所以原等式成立．
层级二 应试能力达标
1．sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 原式＝[sin 90°＋sin(－50°)]－[cos 60°－cos(－40°)]＝－sin 50°－＋cos 40°＝.
2．函数y＝cos2＋sin2－1是( )
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析：选C ∵y＝＋－1
＝
＝－sin 2xsin＝sin 2x，
∴此函数是最小正周期为π的奇函数．
3．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β＝.
4．若A＋B＝，则cos2A＋cos2B的取值范围是( )
A. B.
C. D．[0,1]
解析：选C ∵A＋B＝，∴B＝－A，
∴cos2A＋cos2B＝＋
＝1＋(cos 2A＋cos 2B)
＝1＋coscos(A－B)
＝－cos＋1，
∵－1≤cos≤1，
∴≤－cos＋1≤.
5．函数y＝sinsin的最小正周期T＝________.
解析：f(x)＝sincos x
＝
＝sin＋，
∴T＝＝π.
答案：π
6．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.
解析：cos 60°＋cos 80°＋cos 40°＋cos 160°＝＋cos 80°＋2cos 100°cos 60°＝＋cos 80°－cos 80°＝.
答案：
7．已知f(x)＝cos2(x＋θ)－2cos θcos xcos(x＋θ)＋cos2θ，求f(x)的最大值、最小值和最小正周期．
解：∵f(x)＝cos2(x＋θ)－2×[cos(x＋θ)＋cos(x－θ)]cos(x＋θ)＋cos2θ
＝cos2(x＋θ)－cos2(x＋θ)－cos(x－θ)·cos(x＋θ)＋cos2θ
＝cos2θ－(cos 2θ＋cos 2x)
＝－cos 2θ－cos 2x
＝－cos 2x＋，
∴f(x)的最大值为1，最小值为0，最小正周期为π.
8．已知△ABC的三个内角A，B，C满足：(1)A＋C＝2B；(2)＋＝－.求cos的值．
解：∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°，A＋C＝120°.
∵－＝－2，
∴＋＝－2，
∴cos A＋cos C＝－2cos Acos C.
由和差化积与积化和差公式，得
2coscos＝－[cos(A＋C)＋cos(A－C)]，
∴cos＝－.
化简，得4cos2＋2cos－3＝0，
∴＝0.
∵2cos＋3≠0，
∴2cos－＝0，
∴cos＝.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝2cos2＋1的最小正周期是( )
A．4π B．2π
C．π D.
解析：选B ∵y＝2cos2＋1＝＋2
＝cos x＋2，
∴函数的最小正周期T＝2π.
2．若tan α＝3，则的值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选D ＝＝2tan α＝2×3＝6.
3．已知α是第二象限角，且cos α＝－，则cos的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由题意，sin α＝，
所以cos＝coscos α＋sinsin α＝.
4．函数f(x)＝sin x－cos的值域为( )
A．[－2,2] B.
C．[－1,1] D.
解析：选B f(x)＝sin x－
＝sin x－cos x＋sin x
＝
＝sin，
∵x∈R，∴x－∈R，
∴f(x)∈.
5．设a＝(sin 17°＋cos 17°)，b＝2cos213°－1，c＝sin 37°·sin 67°＋sin 53°sin 23°，则( )
A．cC．a解析：选A a＝cos 45°sin 17°＋sin 45°cos 17°
＝sin(17°＋45°)＝sin 62°，
b＝cos 26°＝sin 64°，
c＝sin 37°cos 23°＋cos 37°sin 23°＝sin(37°＋23°)
＝sin 60°，
故c6．已知cos θ＝，θ∈(0，π)，则cos等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C ∵cos θ＝>0，θ∈(0，π)，
∴sin θ＝＝，
∴cos＝cos
＝－cos＝sin 2θ＝2sin θ·cos θ
＝2××＝，选C.
7．化简：的值为( )
A. B.
C. D．2
解析：选B 依题意得
＝
＝＝＝＝.
8．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β是第三象限角，则cos的值等于( )
A．± B．±
C．－ D．－
解析：选A 由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，
故sin β＝－.
∵β在第三象限，∴cos β＝－.
∴cos＝± ＝±＝±.
9．化简：的值为( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
解析：选D
＝
＝
＝＝＝＝1.
10．在△ABC中，已知tan＝sin C，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 在△ABC中，tan＝sin C＝sin(A＋B)＝2sincos，∴2cos2＝1，∴cos(A＋B)＝0，从而A＋B＝，即△ABC为直角三角形．
11．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根为tan α，tan β，且α，β∈，则tan的值为( )
A．－2 B.
C. D.或－2
解析：选A 根据题意得tan α＋tan β＝－4a，tan α·tan β＝3a＋1，∴tan(α＋β)＝＝＝.
又∵a>1，∴tan α＋tan β<0，tan αtan β>0，
∴tan α<0，tan β<0.
又∵α，β∈，∴α，β∈，
∴－<<0，∴tan<0，
由tan(α＋β)＝得
2tan2＋3tan－2＝0，
∴tan＝－2.
12．已知0<β<α<，点P(1,4)为角α的终边上一点，且sin αsin＋cos αcos＝，则角β＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵P(1,4)，∴|OP|＝7，
∴sin α＝，cos α＝.
又sin αcos β－cos αsin β＝，∴sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴0<α－β<，
∴cos(α－β)＝，∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
∵0<β<，∴β＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．设向量a＝，b＝，其中θ∈，若a∥b，则θ＝________.
解析：若a∥b，则sin θcos θ＝，
即2sin θcos θ＝1，
∴sin 2θ＝1，又θ∈，∴θ＝.
答案：
14．若tan＝3＋2，则＝________.
解析：由tan＝＝3＋2，得tan α＝，∴＝＝tan α＝.
答案：
15.＝________.
解析：原式＝
＝＝
＝＝＝－4.
答案：－4
16．式子“cos( )(1＋tan 10°)＝1”，在括号里填上一个锐角，使得此式成立，则所填锐角为________．
解析：设cos α·(1＋tan 10°)＝1，则cos α＝＝＝
＝＝cos 40°.
又α为锐角，故α＝40°.
答案：40°
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知＜α＜，且cos＝，求cos α，sin α的值．
解：因为＜α＜，
所以0＜α－＜.
因为cos＝，
所以sin＝ ＝.
所以sin α＝sin
＝sincos ＋cossin
＝，
cos α＝cos
＝coscos－sinsin＝.
18．(本小题满分12分)已知0<α<，sin α＝.
(1)求的值；
(2)求tan的值．
解：(1)由0<α<，sin α＝，得cos α＝，
∴＝
＝＝20.
(2)∵tan α＝＝，
∴tan＝＝＝.
19．(本小题满分12分)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
解：(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sin x＝，
所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，
sin取f(x)的最大值为1，
所以f(x)的最大值为.
20．(本小题满分12分)已知cos＝，x∈，.
(1)求sin x的值；
(2)求sin的值．
解：(1)因为x∈，所以x－∈.
于是sin＝ ＝，
sin x＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.
(2)因为x∈，
故cos x＝－＝－ ＝－.
sin 2x＝2sin xcos x＝－，cos 2x＝2cos2x－1＝－.
所以sin＝sin 2xcos＋cos 2xsin
＝－.
21．(本小题满分12分)已知cos＝－，sin＝且α∈，β∈.
求：(1)cos；
(2)tan(α＋β)．
解：(1)∵<α<π，0<β<，
∴<α－<π，－<－β<.
∴sin＝ ＝，
cos＝ ＝.
∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝－.
(2)∵<<，
∴sin＝ ＝.
∴tan＝＝－.
∴tan(α＋β)＝＝.
22．(本小题满分12分)已知向量＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m＝(2,1)，n＝(0，－)，且m⊥(－n)．
(1)求向量；
(2)若cos(β－π)＝，0<β<π，求cos(2α－β)的值．
解：(1)∵＝(cos α，sin α)，
∴－n＝(cos α，sin α＋)．
∵m⊥(－n)，
∴m·(－n)＝0，
∴2cos α＋sin α＋＝0.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得sin α＝－，cos α＝－，
∴＝.
(2)∵cos(β－π)＝，
∴cos β＝－.
又0<β<π，
∴sin β＝＝.
又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝×＋×＝＝.
