1.1.1 角的概念的推广
学习目标 1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.21·世纪*教育网
知识点一 角的相关概念
思考 我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量.那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？正角、负角、零角是怎样规定的？
梳理
(1)角的概念：角可以看成是________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所成的图形.
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
按照______________而成的角
负角
按照______________而成的角
零角
当射线________，称它形成了一个零角
(3)角的运算：各角和的旋转量等于________________.
知识点二 终边相同的角
思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？21教育网
思考2 如何表示与60°终边相同的角？
梳理 终边相同角的表示
设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，集合S的每一个元素都与α终边相同，当k＝0时，对应元素为α.【来源：21·世纪·教育·网】
知识点三 象限角
思考 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的正半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？2-1-c-n-j-y
梳理 在直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合.
象限角：角的________在第几象限，就把这个角叫做第几象限角.
轴线角：终边落在____________的角.
类型一 任意角概念的理解
例1 (1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中正确说法的序号为________.
(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.
反思与感悟 解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.21cnjy.com
跟踪训练1 写出下列说法所表示的角.
(1)顺时针拧螺丝2圈；
(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.
类型二 终边相同的角
命题角度1 求与已知角终边相同的角
例2 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角.
反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.www.21-cn-jy.com
跟踪训练2 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.2·1·c·n·j·y
命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合
例3 写出终边在直线y＝－x上的角的集合.
反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.【来源：21cnj*y.co*m】
跟踪训练3 写出终边在直线y＝x上的角的集合.
类型三 象限角的判定
例4 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
引申探究
确定(n∈N＋)的终边所在的象限.
反思与感悟 判断象限角的步骤
(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果.
(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限.【出处：21教育名师】
跟踪训练4 下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.21*cnjy*com
(1)60°；(2)－21°.
1.下列说法正确的是( )
A.终边相同的角一定相等
B.钝角一定是第二象限角
C.第一象限角一定不是负角
D.小于90°的角都是锐角
2.与－457°角终边相同的角的集合是( )
A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
3.2 017°是第________象限角.
4.与－1 692°终边相同的最大负角是________.
5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.www-2-1-cnjy-com
2.关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
注意：(1)α为任意角.
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α).
(3)相等的角终边一定相同.终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.21*cnjy*com
(4)k∈Z这一条件不能少.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫做角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点．【版权所有：21教育】
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．21教育名师原创作品
梳理
(1)一条射线 端点 旋转
(2)逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有旋转
(3)各角旋转量的和
知识点二
思考1 它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角．
思考2 60°＋k·360°(k∈Z)．
知识点三
思考 终边可能落在坐标轴上或四个象限内．
梳理 终边 坐标轴上
题型探究
例1 (1)① (2)－120°
跟踪训练1 解 (1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.
(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.
例2 解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得
k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得
－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
跟踪训练2 解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，
即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，
∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
例3 解 终边在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边落在直线y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，21·cn·jy·com
即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
跟踪训练3 解 终边在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，21世纪教育网版权所有
即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
例4 解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
引申探究
解 一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4，…，4n，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，的终边所落在的区域，如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出．
跟踪训练4 解 (1)60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.
(2)－21°角是第四象限角，所有与－21°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.
当堂训练
1．B 2.C 3.三 4.－252°
5．解 终边落在x轴上的角的集合
S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合
S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}．
∴终边落在坐标轴上的角的集合
S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}
＝{β|β＝2k·90°或β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确地转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.21教育网
知识点一 角度制与弧度制
思考1 在初中几何研究过角的度量，当时是使用角度制来度量角的，那么1°的角是如何规定的？
思考2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的？
思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
梳理 (1)角度制
①定义：用________作单位来度量角的制度.
②1度的角：把圆周________等分，则其中1份所对的圆心角是1度.
(2)弧度制
①定义：以________为单位来度量角的制度.
②1弧度的角：长度等于________的圆弧所对的圆心角.
③弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝________.www.21-cn-jy.com
知识点二 角度制与弧度制的换算
思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
梳理 (1)角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝______ rad
2π rad＝______
180°＝______ rad
π rad＝______
1°＝ rad≈________ rad
1 rad＝°≈________
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度
0°
1°
30°
60°
120°
150°
180°
360°
弧度
π
2π
知识点三 扇形的弧长及面积公式
思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
类型一 角度与弧度的互化
例1 将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以°即可.21世纪教育网版权所有
跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度；
(2)把－化成度.
类型二 用弧度制表示终边相同的角
例2 已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.
反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.21cnjy.com
跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；
(2)在[0°，720°]内找出与角终边相同的角.
类型三 扇形的弧长及面积公式的应用
例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为( )
A.π B. C. D.
(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( )
A.2 B. C.2sin 1 D.
反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝lr＝αr2，二是l＝αr，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为弧度，再计算.
跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.
1.下列说法中，错误的是( )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
2.时针经过一小时，转过了( )
A. rad B.－ rad
C. rad D.－ rad
3.若θ＝－5，则角θ的终边在( )
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
4.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形圆心角的弧度数是( )
A.1 B.4 C.1或4 D.2或4
5.已知⊙O的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是________.21·cn·jy·com
1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2·1·c·n·j·y
2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式.
易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×°＝度数.
3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 把圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1°的角．
思考2 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
思考3 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
梳理 (1)①度 ②360 (2)①弧度
②半径长 ③
知识点二
思考 利用1°＝ rad和1 rad＝()°进行弧度与角度的换算．
梳理 (1)2π 360° π 180° 0.017 45 57.30°
(2)45° 90° 135° 270° 0
知识点三
思考 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则：
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝αr
扇形的面积
S＝
S＝lr＝αr2
题型探究
例1 解 (1)20°＝＝.
(2)－15°＝－＝－.
(3)＝×180°＝105°.
(4)－＝－×180°＝－396°.
跟踪训练1 解 (1)112°30′＝°＝×＝.
(2)－＝－°＝－75°.
例2 解 (1)2 010°＝2 010×＝
＝5×2π＋，
又π<<，
∴α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ＜0，
∴当k＝－3时，γ＝－；
当k＝－2时，γ＝－；
当k＝－1时，γ＝－.
跟踪训练2 解 (1)∵－1 480°＝
－1 480×＝－，
而－＝－10π＋，且0≤α≤2π，
∴α＝.∴－1 480°＝＋2×(－5)π.
(2)∵＝×()°＝72°，
∴终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，
当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.
∴在[0°，720°]内与角终边相同的角为72°，432°.
例3 (1)A (2)D
跟踪训练3 解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式
S＝lR，得1＝(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，
∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
当堂训练
1．D 2.B 3.D 4.C 5.－
1.2.1 三角函数的定义
学习目标 1.理解任意角的三角函数的定义.2.掌握三角函数在各个象限的符号.3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.21世纪教育网版权所有
知识点一 任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.【来源：21·世纪·教育·网】
思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？www-2-1-cnjy-com
梳理 如图，设P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，设OP＝r(r≠0).
(1)定义
叫做角α的______，记作______，即cos α＝；
叫做角α的________，记作________，即sin α＝；
叫做角α的________，记作________，即tan α＝.
依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当α≠2kπ±(k∈Z)时，它有唯一的正切值与之对应.因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数.21教育名师原创作品
(2)有时我们还用到下面三个函数
角α的正割：sec α＝________＝；
角α的余割：csc α＝________＝；
角α的余切：cot α＝________＝.
这就是说，sec α，csc α，cot α分别是α的余弦、正弦和正切的倒数.
由上述定义可知，当α的终边在y轴上，即α＝kπ±(k∈Z)时，tan α，sec α没有意义；当α的终边在x轴上，即α＝kπ(k∈Z)时，cot α，csc α没有意义.
知识点二 正弦、余弦、正切函数的定义域
思考 对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？
梳理 三角函数的定义域
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
知识点三 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
梳理 三角函数值在各象限内的符号，如图所示.
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
类型一 三角函数定义的应用
命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值
例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.
②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.21·cn·jy·com
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
命题角度2 已知角α的终边所在直线求三角函数值
例2 已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α，sec α，csc α，cot α的值.21cnjy.com
反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝.www.21-cn-jy.com
跟踪训练2 已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值.
类型二 三角函数值符号的判断
例3 (1)确定下列各三角函数值的符号.
①sin 182°；②cos(－43°)；③tan.
(2)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2-1-c-n-j-y
跟踪训练3 (1)判断下列各式的符号.
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
(2)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角.
类型三 三角函数的定义域
例4 求下列函数的定义域.
(1)y＝；
(2)y＝＋.
反思与感悟 求函数定义域使式子有意义的情况一般有以下几种：(1)分母不为零.(2)偶次根号下大于等于零.(3)在真数位置时大于零.(4)在底数位置时大于零且不等于1.
跟踪训练4 求函数f(x)＝的定义域.
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( )
A. B. C.－ D.－
2.已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则的终边在( )
A.第二、四象限
B.第一、三象限
C.第一、三象限或x轴上
D.第二、四象限或x轴上
3.若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，则tan α等于( )
A.－ B. C. D.－
4.当α为第二象限角时，－的值是( )
A.1 B.0 C.2 D.－2
5.已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值.
1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.2·1·c·n·j·y
2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.21·世纪*教育网
3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 sin α＝，cos α＝，tan α＝.
思考2 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．21*cnjy*com
梳理 (1)余弦 cos α 正弦 sin α 正切 tan α (2)
知识点二
思考 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时无意义，故tan α无意义．
知识点三
思考 三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号．
(1)sin α＝(r>0)，因此sin α的符号与y的符号相同，当α的终边在第一、二象限时，sin α>0；当α的终边在第三、四象限时，sin α<0.21教育网
(2)cos α＝(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时，cos α<0.【来源：21cnj*y.co*m】
(3)tan α＝，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，【出处：21教育名师】
xy<0，tan α<0.
题型探究
例1 解 由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得
cos θ＝＝ .
又∵cos θ＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝，
tan θ＝＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝，
tan θ＝＝－3.
跟踪训练1 2sin α＋cos α＝±1.
例2 解 设角α的终边上任一点为P(k，－k)(k≠0)，则x＝k，y＝－k，
r＝＝2|k|.
(1)当k＞0时，r＝2k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝，
tan α＝＝＝－，
sec α＝＝2，
csc α＝＝－，
cot α＝＝－.
(2)当k＜0时，r＝－2k，α是第二象限角，
sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
tan α＝＝＝－，
sec α＝＝－2，
csc α＝＝，
cot α＝＝－.
跟踪训练2 解 因为角α的终边在直线y＝x上，所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点，【版权所有：21教育】
则r＝＝2|a|(a≠0)．
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
所以sin α＝＝，
cos α＝＝，tan α＝＝.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
所以sin α＝＝－，
cos α＝－＝－，tan α＝＝.
例3 (1)解 ①∵182°是第三象限角，
∴sin 182°是负的，符号是“－”．
②∵－43°是第四象限角，
∴cos(－43°)是正的，符号是“＋”．
③∵是第四象限角，
∴tan是负的，符号是“－”．
(2)D
跟踪训练3 (1)①sin 145°cos(－210°)＜0. ②sin 3·cos 4·tan 5＞0.
(2)二
学案导学与随堂笔记答案精析例4 (1)
(2)
跟踪训练4
当堂训练
1．D 2.D 3.D 4.C
5．sin α＝＝－，cos α＝＝－，
tan α＝＝.
1.2.2 单位圆与三角函数线
学习目标 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.21cnjy.com
知识点一 单位圆
思考1 什么叫单位圆？
思考2 点的射影是如何定义的？
梳理 (1)单位圆
把________的圆叫做单位圆.
(2)单位圆中角α的坐标
角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的________和________.
知识点二 三角函数线
思考1 三角函数线的长度等于三角函数的值吗？
思考2 三角函数线的方向与三角函数值的正负有什么联系？
梳理 三角函数线
类型一 三角函数线
例1 作出－的正弦线、余弦线和正切线.
反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.2-1-c-n-j-y
跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α的取值集合.
类型二 利用三角函数线比较大小
例2 利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小.
反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”.(2)比较三角函数线的长度.(3)确定有向线段的正负.www-2-1-cnjy-com
跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小.
类型三 利用三角函数线解不等式(组)
命题角度1 利用三角函数线解不等式?组?
例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.
(1)sin α≥；(2)cos α≤－.
反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：
(1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期.
(2)注意区间是开区间还是闭区间.
跟踪训练3 已知－≤cos θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围.
命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域
例4 求下列函数的定义域.
(1)y＝；
(2)y＝lg(sin x－)＋.
反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制.
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.21世纪教育网版权所有
跟踪训练4 求函数f(x)＝的定义域.
1.下列四个命题中：
①当α一定时 ，单位圆中的正弦线一定；
②在单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上.
则错误命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A.正弦线为PM，正切线为A′T′
B.正弦线为MP，正切线为A′T′
C.正弦线为MP，正切线为AT
D.正弦线为PM，正切线为AT
3.设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则( )
A.a
C.b4.函数y＝的定义域为________.
5.利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角α的区域，并写出角α的集合：
(1)cos α＞－；(2)tan α≤；(3)|sin α|≤.
1.三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便.21教育网
2.三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.www.21-cn-jy.com
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒.
3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更容易了.21·世纪*教育网
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 把半径为1的圆叫做单位圆．
思考2 过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直于y轴于点N，则点M，N分别是点P在x轴、y轴上的正射影(简称射影)．21*cnjy*com
梳理 (1)半径为1
(2)横坐标 纵坐标
知识点二
思考1 不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值．
思考2 当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时，所表示的三角函数值为正值；与x轴(或y轴)正向反向时，所表示的三角函数值为负值．【来源：21cnj*y.co*m】
梳理 或
题型探究
例1 解 如图所示，
sin＝MP，
cos＝OM，
tan＝AT.
跟踪训练1 解 已知角α的正弦值，可知MP＝，
则P点纵坐标为.所以在y轴上取点，过该点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为{α|α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z}．2·1·c·n·j·y
例2 解 如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.【出处：21教育名师】
显然|MP|>|M′P′|，符号皆正，
∴sin>sin；
|OM|<|OM′|，符号皆负，
∴cos>cos；|AT|>|AT′|，符号皆负，∴tan跟踪训练2 解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，
sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)
＝sin 146°.
如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的正弦线M1P1，M2P2.
∵M1P1>M2P2，且符号皆正，
∴sin 1 155°>sin(－1 654°)．
例3 解 (1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．21·cn·jy·com
故满足要求的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．【版权所有：21教育】
故满足条件的角α的集合为
{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
跟踪训练3 解 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即
{θ|2kπ－π≤θ<2kπ－或2kπ＋<θ≤2kπ＋π，k∈Z}．
例4 解 (1)自变量x应满足2sin x－≥0，
即sin x≥.
图中阴影部分就是满足条件的角x的范围，即
{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)由题意知，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴{x|2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z}．
跟踪训练4 解 要使函数f(x)有意义，必须使2sin x－1≥0，则sin x≥.
如图，画出单位圆，作x轴的平行直线
y＝，交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2，
分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线，
易知这两条正弦线的长度都等于.
在[0,2π)内，sin＝sin＝.
因为sin x≥，所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内(包括边界)，
所以函数f(x)的定义域为
{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．
当堂训练
1．B 2.C 3.D
4. ，k∈Z
5．解 (1){α|2kπ－＜α＜2kπ＋，k∈Z}．
(2){α|kπ－<α≤kπ＋，k∈Z}．
(3)|sin α|≤，即－≤sin α≤，
{α|kπ－≤α≤kπ＋，k∈Z}．
1.2.3 同角三角函数的基本关系式
学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.
知识点 同角三角函数的基本关系式
思考1 计算下列式子的值：
(1)sin230°＋cos230°；
(2)sin245°＋cos245°；
(3)sin290°＋cos290°.
由此你能得出什么结论？尝试证明它.
思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？
梳理 (1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系：________________________________.
②商数关系：________________________________.
(2)同角三角函数基本关系式的变形
①sin2α＋cos2α＝1的变形公式
sin2α＝________；cos2α＝________.
②tan α＝的变形公式
sin α＝____________；cos α＝____________.
类型一 利用同角三角函数的关系式求值
命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
例1 若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为( )
A. B.－ C. D.－
反思与感悟 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.www.21-cn-jy.com
跟踪训练1 已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值
例2 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值.
反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.
跟踪训练2 已知cos α＝－，求13sin α＋5tan α的值.
类型二 利用同角三角函数关系化简
例3 已知α是第三象限角，化简：－.
反思与感悟 解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：21世纪教育网版权所有
(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.2·1·c·n·j·y
跟踪训练3 化简：(1)；
(2)－(α为第二象限角).
类型三 利用同角三角函数关系证明
例4 求证：＝.
反思与感悟 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简.
(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).
(3)比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0).
(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.
跟踪训练4 求证：＝.
类型四 齐次式求值问题
例5 已知tan α＝2，求下列代数式的值.
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.
反思与感悟 (1)关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值.21教育网
(2)注意例5第(2)问的式子中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式.
跟踪训练5 已知＝2，计算下列各式的值.
(1)；
(2)sin2α－2sin αcos α＋1.
1.若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A.－ B. C.± D.±
2.已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于( )
A. B.－ C.－ D.
3.化简的结果是( )
A.cos B.sin
C.－cos D.－sin
4.若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝________.
5.已知sin α＝，求cos α，tan α.
1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.
2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少.(2)次数尽量低.(3)分母、根式中尽量不含三角函数.(4)能求值的尽可能求值.
3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.21cnjy.com
4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.21·cn·jy·com
5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换.(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等).(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等).(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系求解.
答案精析
问题导学
知识点
思考1 3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函数的定义证明：
设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，
得sin α＝y，cos α＝x.
由勾股定理得
sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1.
思考2 ∵tan α＝，∴tan α＝.
梳理 (1)①sin2α＋cos2α＝1
②tan α＝ (α≠kπ＋，k∈Z)
(2)①1－cos2α 1－sin2α
②cos αtan α
题型探究
例1 D
跟踪训练1 cos α＝－，
sin α＝cos α＝－.
例2 解 ∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角．
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
跟踪训练2 解 ∵cos α＝－<0，
∴α是第二或第三象限角．
(1)若α是第二象限角，
则sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－，
故13sin α＋5tan α＝13×＋5×(－)＝0.
(2)若α是第三象限角，则sin α＝－＝－＝－，
tan α＝＝＝，
故13sin α＋5tan α＝13×(－)＋5×＝0.
综上可知，13sin α＋5tan α＝0.
例3 解 原式＝－
＝－
＝－.
∵α是第三象限角，∴cos α＜0.
∴原式＝－＝－2tan α(注意象限、符号)．
跟踪训练3 (1)1 (2)tan α
例4 证明
∵右边＝
＝
＝
＝
＝＝左边，
∴原等式成立．
跟踪训练4 证明 (比较法——作差)
∵－
＝
＝＝0，
∴＝.
例5 解 (1)原式＝＝.
(2)原式＝
＝＝＝.
跟踪训练5 (1) (2)
当堂训练
1．A 2.C 3.C 4.－
5．解 ∵sin α＝>0，
∴α是第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝
＝ ＝，tan α＝＝；
当α为第二象限角时，cos α＝－，
tan α＝－.
1.2.4 诱导公式(一)
学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.21cnjy.com
知识点一 角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系
思考 角α与α＋k·2π(k∈Z)的终边有什么位置关系？其三角函数值呢？
梳理 诱导公式(一)
cos?α＋k·2π?＝ ?k∈Z?，
sin?α＋k·2π?＝ ?k∈Z?，
tan?α＋k·2π?＝ ?k∈Z?.
知识点二 角α与－α的三角函数间的关系
思考1 设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？21·cn·jy·com
思考2 根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？
梳理 诱导公式(二)
cos?－α?＝ ，
sin?－α?＝ ，
tan?－α?＝ .
知识点三 角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系
思考1 设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？ 如图，设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与单位圆的交点P2的坐标如何？21世纪教育网版权所有
思考2 根据三角函数定义，sin(π＋α)、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，(2k＋1)π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？
梳理 诱导公式(三)
cos[α＋?2k＋1?π]＝ ，
sin[α＋?2k＋1?π]＝ ，
tan[α＋?2k＋1?π]＝ .
特别提醒：公式一～三都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，－α，(2k＋1)π＋α(k∈Z)的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”！www.21-cn-jy.com
类型一 利用诱导公式求值
命题角度1 给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值.
(1)cos 210°；(2)sin ；
(3)sin(－)；(4)cos(－1 920°).
反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：
(1)“负化正”：用公式一或二来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°之间的角.
(3)“角化锐”：用公式一或三将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.
(1)sin 1 320°； (2)cos； (3)tan(－945°).
命题角度2 给值求角问题
例2 已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于( )
A.－ B.－ C. D.
反思与感悟 对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.2·1·c·n·j·y
跟踪训练2 已知sin(π－α)＝－sin(π＋β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.【来源：21·世纪·教育·网】
类型二 利用诱导公式化简
例3 化简下列各式.
(1)；
(2).
引申探究
若将本例(1)改为：
(n∈Z)，请化简.
反思与感悟 三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.
(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan .
跟踪训练3 化简下列各式.
(1)；
(2).
1.sin 585°的值为( )
A.－ B. C.－ D.
2.cos(－)＋sin(－)的值为( )
A.－ B.
C. D.
3.已知cos(π－α)＝(<α<π)，则tan(π＋α)等于( )
A. B. C.－ D.－
4.sin 750°＝________.
5.化简：·sin(α－2π)·cos(2π－α).
1.明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式(一)
将角转化为0～2π之间的角求值
公式(二)
将负角转化为正角求值
公式(三)
将角转化为0～π之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.21教育网
答案精析
问题导学
知识点一
思考 角α与α＋k·2π(k∈Z)的终边相同，根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等．
梳理 cos α sin α tan α
知识点二
思考1 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称．
角－α与单位圆的交点为P2(x，－y)．
思考2 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝；
sin(－α)＝－y＝－sin α；
cos(－α)＝x＝cos α，
tan(－α)＝－＝－tan α.
梳理 cos α －sin α －tan α
知识点三
思考1 角π＋α的终边与角α的终边关于原点O对称．P2(－x，－y)．
思考2 sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，
tan(π＋α)＝＝.
梳理 －cos α －sin α tan α
题型探究
例1 (1)cos 210°＝－.
(2)sin＝.
(3)sin(－)＝.
(4)cos(－1 920°)＝－.
跟踪训练1 解 (1) sin 1 320°＝
sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)
＝－sin 60°＝－.
(2)cos＝cos
＝cos
＝cos(π＋)＝－cos ＝－.
例2 D
跟踪训练2 解 由题意，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，
∴sin2α＝，∴sin α＝±.
∵0<α<π，∴sin α＝，
∴α＝或α＝π.
把α＝，α＝π分别代入②，
得cos β＝或cos β＝－.
又∵0<β<π，∴β＝或β＝π.
∴α＝，β＝或α＝π，β＝π.
例3 解 (1)原式＝
＝
＝－＝－tan α.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝－1.
引申探究
解 当n＝2k时，
原式＝
＝－tan α；当n＝2k＋1时，
原式＝
＝－tan α.综上，原式＝－tan α.
跟踪训练3 (1)1 (2)
当堂训练
1．A 2.C 3.D 4.
5．解 原式＝·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α)
＝·sin α·cos α＝cos2α.
1.2.4 诱导公式(二)
学习目标 1.掌握诱导公式(四)的推导，并能应用解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式(一)至(四)，能作综合归纳，体会出四组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.21教育网
知识点一 角α与α＋的三角函数间的关系
思考 α＋的终边与α的终边有怎样的对称关系？其三角函数值呢？
梳理 诱导公式(四)
cos?α＋?＝ ，
sin?α＋?＝ ，
tan?α＋?＝ ，
cot?α＋?＝ .
知识点二 角α与－α＋的三角函数间的关系
以－α替代公式(四)中的α，可得到诱导公式(四)的补充：
cos(－α＋)＝sin α，
sin(－α＋)＝cos α，
tan(－α＋)＝cot α，
cot(－α＋)＝tan α.
梳理 ±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.21世纪教育网版权所有
类型一 利用诱导公式求值
例1 (1)已知cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求cos的值；
(2)已知cos＝，求cos·sin的值.
反思与感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.21·cn·jy·com
跟踪训练1 已知sin＝，求cos的值.
类型二 利用诱导公式证明三角恒等式
例2 求证：＝－tan α.
反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.
跟踪训练2 求证：＝.
类型三 诱导公式在三角形中的应用
例3 在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状.
反思与感悟 解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC中，A＋B＋C＝π，＝，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin＝cos，cos＝sin.21cnjy.com
跟踪训练3 在△ABC中，给出下列四个式子：
①sin(A＋B)＋sin C；
②cos(A＋B)＋cos C；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C.
其中为常数的是( )
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
类型四 诱导公式的综合应用
例4 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值.
反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.www.21-cn-jy.com
跟踪训练4 已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值.2·1·c·n·j·y
1.已知sin＝，则cos的值为( )
A.－ B.
C. D.－
2.若cos(2π－α)＝，则sin(－α)等于( )
A.－ B.－
C. D.±
3.已知tan θ＝2，则等于( )
A.2 B.－2 C.0 D.
4.已知cos＝2sin，
求的值.
5.已知sin(π＋α)＝－.计算：
(1)cos；(2)sin；(3)tan(5π－α).
1.诱导公式的分类及其记忆方式
(1)诱导公式分为两大类：
①α＋k·2π，－α，α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.【来源：21·世纪·教育·网】
②α＋，－α＋的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.www-2-1-cnjy-com
(2)以上两类公式可以归纳为：k·＋α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2-1-c-n-j-y
2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，)内的三角函数值”这种方式求解.21*cnjy*com
用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到之间的角的三角函数的基本步骤：
答案精析
问题导学
知识点一
思考 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标为(cos α，sin α)．
点P关于直线y＝x的对称点为M，点M也在单位圆上，且M点坐标为(sin α，cos α)．
点M关于y轴的对称点为N，点N也在单位圆上，且N点坐标为(－sin α，cos α)．
另一方面，点P经过以上两次轴对称变换到达点N，等同于点P沿单位圆旋转到点N，且旋转角的大小为∠PON＝2(∠AOM＋∠MOB)＝2×＝.21·世纪*教育网
因此点N是角α＋与单位圆的交点，点N的坐标为
.
所以有cos＝－sin α，
sin＝cos α，
故tan＝－cot α，
cot＝－tan α.
梳理 －sin α cos α －cot α －tan α
题型探究
例1 解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α
＝－，
∴cos α＝，又α为第一象限角，
则cos＝－sin α
＝－
＝－＝－.
(2)cos·sin
＝cos·sin
＝－cos·sin
＝－sin
＝－cos＝－.
跟踪训练1 .
例2 证明 ∵左边＝
＝
＝
＝＝－
＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
跟踪训练2 证明 因为左边＝
＝
＝
＝
＝＝.
右边＝＝.
所以左边＝右边，故原等式成立．
例3 解 ∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
∵sin＝sin，
∴sin＝sin，
∴sin(－C)＝sin(－B)，
即cos C＝cos B.
又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B，
∴△ABC为等腰三角形．
跟踪训练3 B
例4 解 (1)f(α)＝
＝cos α.
(2)因为f(A)＝cos A＝，
又A为△ABC的内角，
所以由平方关系，得sin A＝＝，所以tan A＝＝，
所以tan A－sin A＝－＝.
跟踪训练4 －
当堂训练
1．D 2.A 3.B
4．解 ∵cos＝2sin，
∴－sin α＝－2sin，
∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.
∴
＝
＝
＝＝
＝＝
＝
＝＝
＝＝.
5．解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝.
(1)cos＝cos
＝－sin α＝－.
(2)sin＝cos α，cos2α＝1－sin2α＝1－＝.
∵sin α＝，
∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，sin＝cos α＝.
②当α为第二象限角时，
sin＝cos α＝－.
(3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，
∵sin α＝，
∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，cos α＝，
∴tan α＝，
∴tan(5π－α)＝－tan α＝－.
②当α为第二象限角时，cos α＝－，tan α＝－，
∴tan(5π－α)＝－tan α＝.
1.3.1 正弦函数的图象与性质(一)
学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线.21教育网
知识点一 几何法作正弦曲线
阅读课本了解在直角坐标系中，用正弦线比较精确地画出y＝sin x，x∈[0,2π]内的图象的具体操作过程.21cnjy.com
思考 如何由y＝sin x，x∈[0,2π]的图象得到y＝sin x，x∈R的图象？
梳理 (1)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫做正弦曲线.
(2)几何法作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的操作流程.
①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示.
②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确).过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0，，，，…，2π等角的正弦线.www.21-cn-jy.com
③找横坐标：把x轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份.
④找纵坐标：将正弦线对应平移，即可得到相应点的纵坐标.
⑤连线：用平滑的曲线将这些点依次从左到右连接起来，即得到y＝sin x，x∈[0,2π]的图象.
知识点二 五点法作正弦曲线
思考1 同学们观察， 在y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，起关键作用的点有几个？
思考2 如何用描点法画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？
梳理 “五点法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的步骤
(1)列表
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
(2)描点
画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是_______________________.
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图.
类型一 “五点法”作图的应用
例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图.
反思与感悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.
跟踪训练1 用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]的简图.
类型二 利用正弦函数图象求定义域
例2 求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域.
反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.
跟踪训练2 求函数y＝的定义域.
1.用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A.0，，π，，2π B.0，，，，π
C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，，
2.下列图象中，y＝－sin x在[0,2π]上的图象是( )
3.y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与y＝的交点的个数是________.
4.函数y＝的定义域为____________.
5.请用“五点法”画出函数y＝sin的图象.
1.对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.
(2)正弦函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.
2.作函数y＝asin x＋b的图象的步骤
3.用“五点法”画的正弦函数在一个周期[0,2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出.21·cn·jy·com
答案精析
问题导学
知识点一
思考 因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象的形状完全一致．于是我们只要将函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．2·1·c·n·j·y
知识点二
思考1 五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
思考2 在精确度要求不太高时，y＝sin x，x∈[0,2π]可以通过找出 (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，这种方法叫做“五点法”．【来源：21·世纪·教育·网】
梳理 (2)(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
题型探究
例1 解 (1)取值列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
描点连线，如图所示．
跟踪训练1 解 取值列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
＋sin x
－
描点、连线，如图所示．
例2 解 由题意，得x满足不等式组即
作出y＝sin x的图象，如图所示．
结合图象可得x∈[－4，－π)∪(0，π)．
跟踪训练2 解 为使函数有意义，需满足即0由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为{x|2kπ当堂训练
1．B 2.D 3.2 4.[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z
5．解 令X＝2x－，则x变化时，y的值如下表：
X
0
π
2π
x
y
0
0
－
0
描点画图：
将函数在上的图象向左、向右平移即得y＝sin的图象．
1.3.1 正弦函数的图象与性质(三)
学习目标 1.掌握y＝sin x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sin x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间.
知识点一 正弦函数的定义域、值域
观察下图中的正弦曲线.
正弦曲线：
可得如下性质：
由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R，值域是________.
对于正弦函数y＝sin x，x∈R有：
当且仅当x＝________________时，取得最大值1；
当且仅当x＝________________时，取得最小值－1.
知识点二 正弦函数的单调性
观察正弦函数y＝sin x，x∈[－，]的图象.
思考1 正弦函数在[－，]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
思考2 正弦函数的单调区间是什么？
梳理 正弦函数y＝sin x的图象与性质
解析式
y＝sin x
图象
值域
[－1,1]
单调性
在________________________上递增，
在____________________上递减
最值
当x＝________________时，ymax＝1；
当x＝______________时，ymin＝－1
类型一 求正弦函数的单调区间
例1 求函数y＝2sin的单调递增区间.
反思与感悟 用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.21·cn·jy·com
跟踪训练1 函数y＝sin，x∈的单调递减区间为________________.
类型二 正弦函数单调性的应用
命题角度1 利用正弦函数的单调性比较大小
例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.
(1)sin 196°与cos 156°；
(2)cos 875°与sin 980°.
反思与感悟 用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练2 比较下列各组数的大小.
(1)sin与sin；
(2)sin与sin.
命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围
例3 已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上是增函数，求ω的取值范围.
反思与感悟 此类问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围.21cnjy.com
跟踪训练3 已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.(0,2]
类型三 正弦函数的值域或最值
例4 求使下列函数取得最大值和最小值的x的取值范围，并说出最大值和最小值是什么.
(1)y＝sin 2x；
(2)y＝sin x＋2；
(3)y＝(sin x－1)2＋2.
反思与感悟 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质.
常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：
(1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域).
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设sin x＝t，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).www.21-cn-jy.com
(3)对于形如y＝asin x的函数的最值还要注意对a的讨论.
跟踪训练4 求函数y＝sin2x－sin x＋1，x∈R的值域.
1.函数f(x)＝sin的一个单调递减区间是( )
A. B.[－π，0]
C. D.
2.下列不等式中成立的是( )
A.sin>sin
B.sin 3>sin 2
C.sin π>sin
D.sin 2>cos 1
3.函数y＝sin，x∈的值域是( )
A. B.
C. D.
4.求函数y＝3－2sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合.
5.求函数y＝2sin(－2x)，x∈(0，π)的单调递增区间.
1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间.若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.
2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.21教育网
3.求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sin x为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.2·1·c·n·j·y
答案精析
问题导学
知识点一
[－1,1] ＋2kπ，k∈Z －＋2kπ，k∈Z
知识点二
思考1 观察图象可知：
当x∈时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由－1增大到1；
当x∈时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是减函数，函数值由1减小到－1.
思考2 y＝sin x的增区间为，k∈Z，
减区间为，k∈Z.
梳理 ，k∈Z
，k∈Z
＋2kπ，k∈Z －＋2kπ，k∈Z
题型探究
例1 解 y＝2sin
＝－2sin，
令z＝x－，则y＝－2sin z.
因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sin z的单调递增区间，即求sin z的单调递减区间，即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)．21世纪教育网版权所有
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z)．
跟踪训练1 ，
例2 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)
＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°
＝－sin 66°.
∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在[0°，90°]上是增函数，
∴sin 16°从而－sin 16°>－sin 66°，
即sin 196°>cos 156°.
(2)cos 875°＝cos(720°＋155°)＝cos 155°
＝cos(90°＋65°)＝－sin 65°，
sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°
＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，
∵sin 65°＜sin 80°，
∴－sin 65°＞－sin 80°，
∴cos 875°＞sin 980°.
跟踪训练2 (1)sin(2)sin(－)＞sin(－)
例3 解 由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得
－＋≤x≤＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间是[－＋，＋]，k∈Z.
根据题意，得[－，]?[－＋，＋](k∈Z)，
从而有解得0<ω≤.
故ω的取值范围是(0，]．
跟踪训练3 A
例4 解 (1)当2x＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin 2x取得最大值，最大值为1；当2x＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，函数y＝sin 2x取得最小值，最小值为－1.21·世纪*教育网
(2)由于函数y＝sin x与函数y＝sin x＋2同时取得最大值或同时取得最小值．
因此，当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin x＋2取得最大值，最大值为3；当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数y＝sin x＋2取得最小值，最小值为1.www-2-1-cnjy-com
(3)设t＝sin x，则有y＝(t－1)2＋2，且t∈[－1,1]，于是问题就变成求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了．2-1-c-n-j-y
在闭区间[－1,1]上，当t＝－1时，|t－1|最大，函数y＝(t－1)2＋2，取得最大值(－1－1)2＋2＝6.21*cnjy*com
由t＝sin x＝－1，得x＝2kπ－(k∈Z)，即当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数y＝(sin x－1)2＋2取得最大值6.【来源：21cnj*y.co*m】
在闭区间[－1,1]上，当t＝1时，|t－1|最小，函数y＝(t－1)2＋2取得最小值，最小值为2.【出处：21教育名师】
由t＝sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，即当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数y＝(sin x－1)2＋2取得最小值2.【版权所有：21教育】
跟踪训练4
当堂训练
1．D 2.D 3.D
4．解 ∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝－1，x＝2kπ－，
k∈Z，即x＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，
k∈Z}；
当sin x＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
5．解 ∵函数y＝2sin
＝－2sin，
∴函数y＝2sin的单调递增区间为y＝2sin的单调递减区间．由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，21教育名师原创作品
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∵x∈(0，π)，∴由k＝0，得≤x≤.
∴函数y＝2sin，x∈(0，π)的单调递增区间为.
1.3.1 正弦函数的图象与性质(二)
学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.【来源：21cnj*y.co*m】
知识点一 函数的周期性
思考1 如果函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期吗？
思考2 所有的函数都具有周期性吗？
思考3 周期函数都有最小正周期吗？
梳理 函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个____________，使得定义域内的__________值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做周期函数，____________叫做这个函数的周期.
(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.21教育网
知识点二 正弦函数的周期性
思考1 证明函数y＝sin x是周期函数.
思考2 证明函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)是周期函数.
梳理 由sin(x＋2kπ)＝________(k∈Z)知，y＝sin x是________函数，____________________是它的周期，且它的最小正周期是________.21cnjy.com
知识点三 正弦函数的奇偶性
正弦曲线：
思考1 观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？
思考2 上述对称性反映出正弦函数有什么性质？如何从理论上加以验证？
梳理 对于y＝sin x，x∈R恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是______函数，正弦曲线关于______对称.21·cn·jy·com
类型一 三角函数的周期性
例1 求下列函数的最小正周期.
(1)y＝sin(2x＋)(x∈R)；
(2)y＝|sin x|(x∈R).
反思与感悟 对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T＝来求解，对于y＝|Asin ωx|的周期情况常结合图象法来求解.
跟踪训练1 求下列函数的周期.
(1)y＝sin；(2)y＝|sin 2x|.
类型二 三角函数的奇偶性
例2 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
(3)f(x)＝.
反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点：
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称.
关键点二：看f(x)与f(－x)的关系.
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)＝cos＋x2sin x；
(2)f(x)＝＋.
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值.21世纪教育网版权所有
反思与感悟 解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.
跟踪训练3 若f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，求f的值.
类型四 函数周期性的综合应用
例4 已知函数f(x)＝cosx，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)的值.
反思与感悟 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.www.21-cn-jy.com
跟踪训练4 设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝________.
1.函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为( )
A. B.π C.2π D.4π
2.下列函数中，周期为π的偶函数是( )
A.y＝sin x B.y＝sin 2x
C.y＝|sin 2x| D.y＝
3.设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
4.函数y＝sin(ωx＋)的最小正周期为2，则ω的值为________.
5.若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足
f(x)＝则f＝________.
1.求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.2·1·c·n·j·y
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.【来源：21·世纪·教育·网】
2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.21·世纪*教育网
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 不一定．必须满足当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋3)＝f(x)，才可以说3是f(x)的周期．www-2-1-cnjy-com
思考2 不是．只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性．
思考3 周期函数不一定存在最小正周期．例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期．
梳理 (1)非零常数T 每一个x
f(x＋T)＝f(x) 非零常数T (2)最小的正数
知识点二
思考1 ∵sin(x＋2π)＝sin x，
∴y＝sin x都是周期函数，且2π就是它们的一个周期．
思考2 由诱导公式一知，对任意x∈R，
都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，
所以Asin[ω＋φ]＝Asin(ωx＋φ)，
即f＝f(x)，
所以f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)是周期函数，就是它的一个周期．
梳理 sin x 周期 2kπ (k∈Z且k≠0) 2π
知识点三
思考1 正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称．
思考2 正弦函数是R上的奇函数．根据诱导公式，得sin(－x)＝－sin x，对一切x∈R恒成立．
梳理 奇 原点
题型探究
例1 解 (1)令z＝2x＋，因为x∈R，所以z∈R.函数f(x)＝sin z的最小正周期是2π，即变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得．而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，所以函数f(x)＝sin(x∈R)的最小正周期是π.21*cnjy*com
(2)因为y＝|sin x|
＝(k∈Z)．
其图象如图所示，
所以该函数的最小正周期为π.
跟踪训练1 解 (1)T＝＝4π.
(2)T＝.
例2 解 (1)显然x∈R，f(x)＝cos x，
∵f(－x)＝cos ＝cos x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)由得－1解得定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}．
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．2-1-c-n-j-y
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数．
跟踪训练2 (1)奇函数 (2)非奇非偶函数
例3 解 ∵f(x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f.
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin ＝.
∴f＝.
跟踪训练3 解 因为f(x)是以为周期的奇函数，
所以f＝f
＝f＝－f＝－1.
例4 解 ∵f(1)＝cos＝，
f(2)＝cos＝－，f(3)＝cos π＝－1，
f(4)＝cos＝－，f(5)＝cos＝，
f(6)＝cos 2π＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
同理，可得每连续六项的和均为0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)
＝f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)
＝cos＋cos＋cos＋cos
＝cos＋cos＋cos π＋cos
＝＋(－)＋(－1)＋(－)
＝－.
跟踪训练4 0
当堂训练
1．D 2.D 3.B 4.±π 5.
1.3.1 正弦函数的图象与性质(四)
学习目标 1.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.2·1·c·n·j·y
知识点一 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
知识点二 φ、ω、A对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
思考1 观察下面图(1)、图(2)中函数y＝sin(x＋)，y＝sin(x－)的图象，比较它们与函数y＝sin x图象的形状和位置，你有什么发现？2-1-c-n-j-y
思考2 观察下面图(3)、图(4)中函数y＝sin(2x＋)，y＝sin的图象，比较它们与函数y＝sin(x＋)图象的形状和位置，你又有什么发现？21教育名师原创作品
思考3 观察下面图(5)、图(6)中函数y＝2sin(2x＋)，y＝sin(2x＋)的图象，比较它们与函数y＝sin(2x＋)的图象的形状和位置，你又有什么发现？21*cnjy*com
梳理 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x图象上所有的点向____(当φ＞0时)或向______(当φ＜0时)平行移动______个单位长度而得到的.
(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标______(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标______)而得到的.
(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A＞1时)或________(当0＜A＜1时)到原来的______倍(横坐标不变)而得到的，函数y＝Asin x的值域为________，最大值为______，最小值为______.
知识点三 由函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
知识点四 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象
思考 用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？
梳理 用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的图象的步骤
第一步：列表
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点.
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.
知识点五 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质
名称
性质
定义域
值域
周期性
T＝________
对称性
对称中心(k∈Z)
对称轴
____________________
奇偶性
当φ＝kπ(k∈Z)时是____函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时是____函数
单调性
通过整体代换可求出其单调区间
类型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
例1 把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式.
反思与感悟 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法.
(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可.21·cn·jy·com
跟踪训练1 把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
A.y＝sin，x∈R
B.y＝sin，x∈R
C.y＝sin，x∈R
D.y＝sin，x∈R
类型二 用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图象
例2 利用五点法作出函数y＝3sin(x－)在一个周期内的草图.
反思与感悟 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点.www.21-cn-jy.com
(2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象.
跟踪训练2 已知f(x)＝1＋sin(2x－)，画出f(x)在x∈[－，]上的图象.
类型三 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例3 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式.
反思与感悟 若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω.
(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)21cnjy.com
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：www-2-1-cnjy-com
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0.
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝.
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π.
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝.
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
跟踪训练3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
类型四 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
例4 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象过点P(，0)，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为(，5).21*cnjy*com
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围.
反思与感悟 有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想.21世纪教育网版权所有
跟踪训练4 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值.
1.函数y＝－2sin(－)的周期、振幅、初相分别是( )
A.2π，－2， B.4π，－2，
C.2π，2，－ D.4π，2，－
2.下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是( )
3.已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A.关于点对称 B.关于直线x＝对称
C.关于点对称 D.关于直线x＝对称
4.函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为____________.【出处：21教育名师】
5.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的递增区间.
1.由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：【版权所有：21教育】
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ).
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin[ω(x＋)]＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ).
注意 两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.
2.利用“五点”作图法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，要先令“ωx＋φ”这一个整体依次取0，，π，，2π，再求出x的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“ωx＋φ”的值.
3.由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值.
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求得周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.
4.在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值
答案精析
问题导学
知识点一
A ωx＋φ φ
知识点二
思考1 函数y＝sin的图象，可以看作是把曲线y＝sin x图象上所有的点向左平移个单位长度而得到的．21·世纪*教育网
函数y＝sin的图象，可以看作是把曲线y＝sin x图象上所有的点向右平移个单位长度而得到的．
思考2 函数y＝sin的图象，可以看作是把y＝sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
函数y＝sin的图象，可以看作是把y＝sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．
思考3 函数y＝2sin的图象，可以看作是把y＝sin图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的．
函数y＝sin的图象，可以看作是把y＝sin图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)而得到的．
梳理 (1)左 右 |φ| (2)缩短 不变
(3)伸长 缩短 A [－A，A] A －A
知识点三
|φ| ||
知识点四
思考 用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的简图，先令t＝ωx＋φ，再由t取0，，π，，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－，－＋，
－＋，－＋，－＋.
知识点五
R [－A，A] x＝＋(k∈Z)
奇 偶
题型探究
例1 解 y＝2sin
y＝3sin
y＝3sin
y＝3sin＝3sin＝3cos x.
所以f(x)＝3cos x.
跟踪训练1 C
例2 解 依次令－＝0，，π，，2π，列出下表：
－
0
π
2π
x
y
0
3
0
－3
0
描点，连线，如图所示．
跟踪训练2 解 (1)∵x∈[－，]，
∴2x－∈[－π，π]．
列表如下：
x
－
－π
－
π
2x－
－π
－π
－
0
π
f(x)
2
1
1－
1
1＋
2
(2)描点，连线，如图所示．
例3 解 (逐一定参法)
由图象知，振幅A＝3，
又T＝－(－)＝π，∴ω＝＝2.
由点可知，－×2＋φ＝0，
得φ＝，∴y＝3sin.
跟踪训练3 A
例4 解 (1)∵图象最高点的坐标为(，5)，∴A＝5.
∵＝－＝，∴T＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝5sin(2x＋φ)．
代入点(，5)，得sin(＋φ)＝1，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
令k＝0，则φ＝－，∴y＝5sin(2x－)．
(2)∵函数的增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数的增区间为[kπ－，kπ＋]
(k∈Z)．
(3)∵5sin(2x－)≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故所求x的取值范围是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
跟踪训练4 解 (1)由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋－，
令＋－＝，
得φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数的单调递增区间是21教育网
(k∈Z)．同理可得函数的单调递减区间是(k∈Z)．
当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1；
当2x－＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值－1.
当堂训练
1．D 2.A 3.A 4.y＝sin
5．解 (1)易知A＝，T＝4×[2－(－2)]＝16，
∴ω＝＝，∴f(x)＝sin(x＋φ)，
将点(－2,0)代入得sin(－＋φ)＝0，
令－＋φ＝0，∴φ＝，
∴f(x)＝sin(x＋)．
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，
∴f(x)的递增区间为[16k－6,16k＋2]，k∈Z.
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
学习目标 1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系.21·cn·jy·com
知识点一 余弦函数的图象
思考 如何快速作出余弦函数的图象？
梳理 余弦函数y＝cos x的图象叫做余弦曲线.
知识点二 余弦函数的性质
思考1 观察余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？
思考2 当自变量x分别取何值时，余弦函数y＝cos x取得最大值1和最小值－1？余弦函数的周期性如何？www.21-cn-jy.com
思考3 观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？【来源：21·世纪·教育·网】
梳理 正弦函数、余弦函数的图象、性质对比
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
定义域
值域
奇偶性
周期性
最小正周期：______
最小正周期：______
单调性
在__________________ 上单调递增；在____________________上单调递减
在____________________上单调递增；在________________上单调递减
最值
在________________时，ymax＝1；在____________时，ymin＝－1
在________________时，ymax＝1；在____________时，ymin＝－1
知识点三 正弦曲线、余弦曲线的对称性
思考1 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
思考2 上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？
梳理 正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们的图象如图所示：21世纪教育网版权所有
研究正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论：
(1)正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，且正弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z).21cnjy.com
(2)余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是(k∈Z)；余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ(k∈Z).2·1·c·n·j·y
类型一 求余弦函数的单调区间
例1 求函数y＝3cos的单调递增区间.
反思与感悟 确定函数y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想.即将ωx＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间.若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域.21·世纪*教育网
跟踪训练1 求函数y＝logcos的单调递增区间.
类型二 余弦函数的值域或最值
例2 求函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的值域.
反思与感悟 求三角函数最值的两种基本类型：
(1)将三角函数式化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，结合有界性求最值.
(2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值.www-2-1-cnjy-com
跟踪训练2 已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值.
类型三 余弦函数的对称性
例3 已知函数y＝2cos.
(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值.
反思与感悟 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：
(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图象关于x＝x0对称?f(x0)＝A或－A.
(2)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图象关于点(x0,0)中心对称?f(x0)＝0.
跟踪训练3 把函数y＝cos的图象向右平移φ个单位，正好关于y轴对称，求φ的最小正值.
1.函数f(x)＝cos 4x，x∈R是( )
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为的偶函数
D.最小正周期为的奇函数
2.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B. C. D.
3.函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为( )
4.已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则f(x)的图象( )
A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移个单位，得g(x)的图象
D.向右平移个单位，得g(x)的图象
5.函数f(x)＝lg cos x＋的定义域为________.
1.余弦函数y＝cos x(x∈R)是偶函数，而且是周期函数，最小正周期为2π.与y＝Asin(ωx＋φ)一样，函数y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期也是.21教育网
2.与正弦函数类似，函数y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象也可由y＝cos x的图象通过变换得到，变换规律相同.2-1-c-n-j-y
3.在研究y＝Acos(ωx＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想.例如它在ωx＋φ＝2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 (1)依据诱导公式cos x＝sin，要得到y＝cos x的图象，只须把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．余弦函数的图象叫做余弦曲线，图象如图所示：
(2)在精确度要求不高时，要画出y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象．21*cnjy*com
知识点二
思考1 余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.
思考2 对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
和正弦函数一样，余弦函数也是周期函数，最小正周期为2π.
思考3 在整个定义域R上，余弦函数不是单调函数．为研究余弦函数y＝cos x的变化情况，我们先选取一个周期区间[－π，π]来研究余弦函数单调情况，再借助周期推而广之．
函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象如图所示：
观察图象可知，
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得：
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.
梳理 R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) [＋2kπ，＋2kπ] 【来源：21cnj*y.co*m】
(k∈Z) [－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z) [2kπ，π＋2kπ] (k∈Z) x＝＋2kπ (k∈Z) x＝－＋2kπ (k∈Z)【出处：21教育名师】
x＝2kπ (k∈Z) x＝π＋2kπ (k∈Z)
知识点三
思考1 正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的图象关于y轴对称．
思考2 正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数．根据诱导公式，得sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x对一切x∈R恒成立．【版权所有：21教育】
题型探究
例1 解 y＝3cos
＝3cos.
由2kπ－π≤－≤2kπ(k∈Z)，
得4kπ－π≤x≤4kπ＋π(k∈Z)，
∴函数y＝3cos的单调递增区间为(k∈Z)．
跟踪训练1 解 根据复合函数“同增异减”的规律，即求函数y＝cos的单调递减区间，同时x应使cos>0.21教育名师原创作品
∴2kπ≤－<2kπ＋(k∈Z)．
整理得4kπ＋≤x<4kπ＋(k∈Z)．
∴函数y＝logcos的单调递增区间是(k∈Z)．
例2 解 y＝3cos2x－4cos x＋1
＝32－.
∵x∈，∴cos x∈.
从而当cos x＝－，
即x＝时，ymax＝；
当cos x＝，即x＝时，ymin＝－.
∴函数值域为.
跟踪训练2 实数a的值为2或－1.
例3 解 (1)令2x＋＝kπ，k∈Z，
解得x＝－，k∈Z.
令k＝0，x＝－；令k＝1，x＝.
∴函数y＝2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝.
(2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，
则f(x)＝2cos
＝2cos.
∵y＝f(x)的图象关于原点(0,0)对称，
∴f(0)＝2cos＝0.
∴－2φ＝kπ＋，k∈Z，
解得φ＝－(k∈Z)．
令k＝0，得φ＝.
∴φ的最小正值是.
跟踪训练3 解 由题意可知，平移后的函数为y＝cos，
它是偶函数，因此，当x＝0时，
cos取得最大值1或最小值－1，故－φ＝2nπ或(2n＋1)π (n∈Z)，
即－φ＝kπ (k∈Z)．
∴φ＝－kπ (k∈Z)，当k＝1时，φ取最小正值.
当堂训练
1．C 2.A 3.D 4.D
5.∪∪
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
学习目标 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.www-2-1-cnjy-com
知识点一 正切函数的图象
类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间的图象，阅读课本，了解具体操作过程.
思考1 结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？
思考2 一条平行于x轴的直线与正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为多少？
梳理 (1)正切函数的图象称作“正切曲线”，如下图所示.
(2)正切函数的图象特征
正切曲线是由通过点(＋kπ，0)(k∈Z)且与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成的.
知识点二 正切函数的性质
思考1 正切函数的定义域是什么？
思考2 诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？21世纪教育网版权所有
思考3 诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？www.21-cn-jy.com
思考4 从正切线上看，在上正切函数值是增大的吗？
思考5 结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？21·世纪*教育网
梳理 函数y＝tan x的图象与性质见下表：
解析式
y＝tan x
图象
定义域
值域
周期
奇偶性
单调性
在开区间________________内都是增函数
类型一 正切函数的定义域
例1 求下列函数的定义域.
(1)y＝；
(2)y＝lg(－tan x).
反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.21cnjy.com
跟踪训练1 求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域.
类型二 正切函数的单调性及其应用
命题角度1 求正切函数的单调区间
例2 求函数y＝tan的单调区间及最小正周期.
反思与感悟 y＝tan(ωx＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
跟踪训练2 求函数y＝tan的单调区间.
命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小
例3 (1)比较大小：
①tan 32°________tan 215°；
②tan________tan(－).
(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________.(用“<”连接)
反思与感悟 比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可.正切函数的单调递增区间为(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z，故在和上都是增函数.2-1-c-n-j-y
跟踪训练3 比较大小：tan________tan.
类型三 正切函数的奇偶性与对称性问题
例4 (1)判断下列函数的奇偶性.
①y＝；
②y＝xtan 2x＋x4.
(2)求y＝3tan(2x＋)的图象的对称中心.
反思与感悟 (1)在利用定义判断与正切函数有关的函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(－x)与f(x)的关系.
(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的图象的对称中心，方法是把ωx＋φ看作一个整体，由ωx＋φ＝(k∈Z)解出的x的值为对称中心的横坐标，纵坐标为零.21·cn·jy·com
跟踪训练4 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)＝tan x＋；
(2)f(x)＝lg|tan x|.
类型四 正切函数的图象及应用
例5 画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.
反思与感悟 (1)作出函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：
①保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分；
②将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可.
跟踪训练5 设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
1.函数y＝tan(2x＋)的最小正周期是( )
A.π B.2π C. D.
2.函数f(x)＝tan(x＋)的单调递增区间为( )
A.(kπ－，kπ＋)，k∈Z
B.(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C.(kπ－，kπ＋)，k∈Z
D.(kπ－，kπ＋)，k∈Z
3.在下列函数中同时满足：①在上单调递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )
A.y＝tan x B.y＝cos x
C.y＝tan D.y＝－tan x
4.方程tan＝在区间[0,2π)上的解的个数是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
5.比较大小：tan 1________tan 4.
1.正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增.2·1·c·n·j·y
2.正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是，值域是R.
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ) (Aω≠0)的周期为T＝.【来源：21·世纪·教育·网】
(3)正切函数在(k∈Z)上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 我们作出了正切函数一个周期上的图象，根据正切函数的周期性，把图象向左、右扩展，得到正切函数y＝tan x(x∈R且x≠＋kπ(k∈Z))的图象．
思考2 一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为此函数的一个周期．
知识点二
思考1 {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}．
思考2 周期性．
思考3 奇偶性．
思考4 是．
思考5 正切函数在每一个开区间(k∈Z)上都是增函数．
正切函数在整个定义域内不是增函数，而是在每一个开区间
(k∈Z)上都是增函数，正切函数不会在某一区间内是减函数．
梳理 {x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z} R π 奇 (k∈Z)
题型探究
例1 解 (1)要使函数y＝有意义，必须且只需
所以函数的定义域为{x|x∈R且x≠kπ－，x≠kπ＋，k∈Z}．
(2)因为－tan x>0，所以tan x<.
又因为当tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象，
得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)，
所以函数的定义域是{x|kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z}．
跟踪训练1 (k∈Z)．
例2 解 y＝tan
＝－tan，
由kπ－得2kπ－所以函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z，
周期T＝＝2π.
跟踪训练2 解 ∵y＝tan x在
x∈(k∈Z)上是增函数，∴－＋kπ<2x－<＋kπ，
k∈Z，即－＋∴函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)．
例3 (1)①< ②<
(2)tan 2跟踪训练3 >
例4 解 (1)①由
得x≠kπ＋且x≠kπ＋(k∈Z)，
即定义域为{x|x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z}，不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数，也不是偶函数．
②函数定义域为{x|x≠＋，k∈Z}，关于原点对称．令f(x)＝xtan 2x＋x4，
则f(－x)＝(－x)tan 2(－x)＋(－x)4
＝xtan 2x＋x4＝f(x)，
∴该函数是偶函数．
(2)解 由2x＋＝(k∈Z)，
得x＝－(k∈Z)．
故所求函数图象的对称中心为点
(－，0)(k∈Z)．
跟踪训练4 (1)函数f(x)为奇函数
(2)函数f(x)是偶函数．
例5 解 由y＝|tan x|，得
y＝
其图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为
(k∈Z)，周期为π.
跟踪训练5 解 (1)∵ω＝，
∴周期T＝＝＝2π.
令－＝(k∈Z)，
得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝；
令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝－.
∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．21教育网
当堂训练
1．C 2.C 3.C 4.B 5.＞
1.3.3 已知三角函数值求角
学习目标 1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.2.了解符号arcsin x，arccos x，arctan x的含义，并能用这些符号表示非特殊角.21cnjy.com
知识点一 已知正弦值，求角
思考 阅读教材58页下半页，谈谈对arcsin a表示的意义.
梳理 一般地，对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记为__________，即arcsin y(|y|≤1)表示上正弦等于y的那个角.21·cn·jy·com
知识点二 已知余弦值，求角
思考 阅读教材59页下半页，说出arccos a的含义.
梳理 一般的对于余弦函数y＝cos x，如果已知函数值y(y∈[－1,1]，那么在________上有唯一的x值和它对应，记作x＝________(－1≤y≤1,0≤x≤π).www.21-cn-jy.com
知识点三 已知正切值，求角
思考 对arctan a的含义你是如何理解的？
梳理 一般地，如果正切函数y＝tan x(y∈R)且x∈，那么对每一个正切值，在开区间内有且只有一个角x，使tan x＝y，记作x＝____________.
类型一 已知正弦值，求角
例1 已知sin＝－，求x.
反思与感悟 方程y＝sin x＝a，|a|≤1的解集可写为{x|x＝2kπ＋arcsin a，或(2k＋1)π－arcsin a，k∈Z}，也可化简为{x|x＝kπ＋(－1)karcsin a，k∈Z}.
跟踪训练1 已知sin x＝.
(1)当x∈时，求x的取值集合；
(2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合；
(3)当x∈R时，求x的取值集合.
类型二 已知余弦值，求角
例2 已知cos x＝－.
(1)当x∈[0，π]时，求x；
(2)当x∈[0,2π]时，求x；
(3)当x∈R时，求x的取值集合.
反思与感悟 方程cos x＝a，|a|≤1的解集可写成{x|x＝2kπ±arccos a，k∈Z}.
跟踪训练2 若cos 2x＝，其中A. B. C. D.
类型三 已知正切值，求角
例3 (1)已知tan α＝－2，且α∈，求α；
(2)已知tan α＝－2，且α∈[0,2π]，求α；
(3)已知tan α＝－2，α∈R，求α.
反思与感悟 方程tan x＝a，a∈R的解集为{x|x＝kπ＋arctan a，k∈Z}.
跟踪训练3 已知tan x＝－1，求x，并写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.
1.已知α是三角形的内角，sin α＝，则角α等于( )
A. B.
C.或 D.或
2.若sin x＝，x∈，则x等于( )
A.arcsin B.π－arcsin
C.＋arcsin D.－arcsin
3.若cos x＝，x∈，则x＝________.
4.arcsin(－1)＋arctan ＝________.
5.sin(arccos)＝________.
1.理解符号arcsin x、arccos x、arctan x的含义
每个符号都要从以下三个方面去理解，以arcsin x为例来说明.
(1)arcsin x表示一个角；
(2)这个角的范围是；
(3)这个角的正弦值是x，所以|x|≤1.
例如：arcsin 2，arcsin都是无意义的.
2.已知三角函数值求角的大致步骤
(1)由三角函数值的符号确定角的象限；
(2)求出[0,2π)上的角；
(3)根据终边相同的角写出所有的角.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 (1)当|a|≤1时，arcsin a表示一个角；
(2)这个角在区间内取值，
即arcsin a∈；
(3)这个角的正弦值等于a，
即sin(arcsin a)＝a.
因此，a的范围必是|a|≤1.
梳理 x＝arcsin y
知识点二
思考 (1)当|a|≤1时，arccos a表示一个角；
(2)这个角在区间[0，π]内取值，
即arccos a∈[0，π]；
(3)这个角的余弦值等于a，
即cos(arccos a)＝a.
因此，a的范围也必须是|a|≤1.
梳理 [0，π] arccos y
知识点三
思考 (1)arctan a表示一个角；
(2)这个角在区间内，
即arctan a∈；
(3)这个角的正切值是a，根据正切函数的值域是R，可知a∈R，
即tan(arctan a)＝a.
梳理 arctan y
题型探究
例1 解 设x－＝t，则有sin t＝－.
当t∈时，
t＝arcsin，又sin t＝－，
所以t是第三、四象限角，
且t1＝arcsin是第四象限角．
又sin
＝sin＝－，
且π－arcsin是第三象限角，
所以t2＝π－arcsin.
由正弦函数周期性可知
t＝2kπ＋t1或t＝2kπ＋t2(k∈Z)时，
sin x＝－.
所以t＝2kπ＋arcsin(k∈Z)，
或t＝2kπ＋π－arcsin(k∈Z)．
因此x的集合为
，
.
跟踪训练1 解 (1)∵y＝sin x在上是增函数，
且sin＝.
∴满足条件的角只有x＝.
∴x的取值集合为.
(2)∵sin x＝>0，
∴x为第一或第二象限角且
sin＝sin＝.
∴在[0,2π]上符合条件的角
x＝或x＝.
∴x的取值集合为.
(3)当x∈R时，x的取值集合为
.
例2 解 (1)∵cos x＝－，且x∈[0，π]，
∴x＝arccos＝π－arccos .
(2)∵x∈[0,2π]且cos x＝－<0.
∴x为第二象限角或第三象限角．
∴x＝π－arccos 或π＋arccos .
(3)当x∈R时，x与π－arccos 终边相同或者与π＋arccos 终边相同．
∴x＝2kπ＋π－arccos 或x＝2kπ＋π＋arccos (k∈Z)．
∴x的取值集合是
.
跟踪训练2 B
例3 解 (1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan α＝－2的角只有一个，故α＝arctan(－2)．21世纪教育网版权所有
(2)∵tan α＝－2<0，
∴α是第二或第四象限角．
又∵α∈[0,2π]，由正切函数在区间，上是增函数，知符合tan α＝－2的角有两个，
∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tan α＝－2且arctan(－2)∈.∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2)．21教育网
(3)α∈R，则α＝kπ＋arctan(－2)(k∈Z)．
跟踪训练3 解 因为tan x＝－1，所以满足条件的x的解集为{x|x＝kπ＋
arctan(－1)，k∈Z}＝x|x＝kπ－，k∈Z，
在x＝kπ－中，令k＝0或－1，
得x＝－或x＝－，
即在[－2π，0]内正切值为－1的角x有2个：－与－.
当堂训练
1．D 2.B 3.－arccos 4.－ 5.
第一单元 基本初等函数（Ⅱ）
1 同角三角函数关系巧应用
同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系巧应用.
一、知一求二型
例1 已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝_____________________.
解析 由sin α＝，
且sin2α＋cos2α＝1，得cos α＝±，
因为≤α≤π，可得cos α＝－，
所以tan α＝＝－2.
答案 －2
点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.
二、“1”的妙用
例2 证明：＝.
证明 因为sin2x＋cos2x＝1，
所以1＝(sin2x＋cos2x)3，1＝(sin2x＋cos2x)2，
所以
＝
＝
＝
＝.
即原命题得证.
点评 本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.
三、齐次式型求值
例3 已知tan α＝2，求值：
(1)＝________；
(2)2sin2α－3cos2α＝________.
解析 (1)因为cos α≠0，分子分母同除以cos α，
得＝＝＝－1.
(2)2sin2α－3cos2α＝，
因为cos2 α≠0，分子分母同除以cos2α，
得＝＝＝1.
答案 (1)－1 (2)1
点评 这是一组在已知tan α＝m的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin α、cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式.(2)因为cos α≠0，所以分子、分母可同时除以cosn α(n∈N＋).这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代入tan α＝m的值求解.【来源：21·世纪·教育·网】
2 单调不“单调”，应用很“奇妙”
三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容.利用其可以方便地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等.下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，希望能对同学们的学习有所帮助.www-2-1-cnjy-com
一、信心体验——比较大小
例1 比较cos ，sin，－cos 的大小.
解 因为sin ＝cos(－)＝cos ，－cos＝cos ，又0<<<<，而y＝cos x在[0，π]上是减函数，所以cos >cos >cos ，21*cnjy*com
即－cos >sin >cos .
点评 比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行.①将不同名的三角函数化为同名三角函数；②用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小.③由单调性得出各值的大小关系.
二、重拳出击——求解最值
例2 已知f(x)＝sin(2x－)，x∈R.求函数f(x)在区间[，]上的最小值和最大值.
解 因为当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，
函数f(x)＝sin(2x－)单调递增；
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数单调递减，
所以f(x)＝sin(2x－)在区间[，]上为增函数，在区间[，]上为减函数.
又f()＝0，f()＝，f()＝－1.
故函数f(x)在区间[，]上的最大值为，最小值为－1.
点评 求三角函数的最值是一类重要的三角问题，也是考试中经常出现的考点，解题过程中要注意将ωx＋φ看作一个整体.利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础知识的综合运用.
三、触类旁通——解不等式
例3 若0≤α<2π，sin α>cos α，求α的取值范围.
解 当α＝时，不等式成立，当α＝时，不等式不成立.当α∈[0，)∪(，2π]时，cos α>0，则原不等式可化为tan α>，根据正切函数的单调性得，<α<；同理可得，当α∈(，)时，<α<.21cnjy.com
综上，α的取值范围是(，).
点评 利用三角函数的单调性解不等式，首先将三角函数化成某角的同一三角函数，然后利用单调性求解.
3 善用数学思想——巧解题
一、数形结合思想
例1 在(0，2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是________.
解析 在同一坐标系中画出y＝sin x，y＝cos x，x∈(0，2π)的图象如图.
由图知，x∈(，).
答案 (，)
点评 求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单.
二、分类讨论思想
例2 证明：＝(－1)ncos α，n∈Z.
证明 当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，
左边＝
＝＝＝cos α.
右边＝(－1)2kcos α＝cos α，∴左边＝右边.
当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，
左边＝
＝
＝＝＝－cos α.
右边＝(－1)2k－1cos α＝－cos α，∴左边＝右边.
综上所述，＝(－1)ncos α，
n∈Z成立.
点评 解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是kπ±α(k∈Z)的形式，往往对参数k进行讨论.常见的一些关于参数k的结论有sin(kπ＋α)＝(－1)ksin α(k∈Z)；cos(kπ＋α)＝(－1)kcos α(k∈Z)；sin(kπ－α)＝(－1)k＋1sin α(k∈Z)；cos(kπ－α)＝(－1)kcos α(k∈Z)等.www.21-cn-jy.com
三、函数与方程的思想
例3 函数f(x)＝cos x－sin2x(≤x≤)的最大值是________.
解析 f(x)＝cos x－sin2x＝cos2x＋cos x－1
＝(cos x＋)2－，
设cos x＝t，因为≤x≤，所以由余弦函数的单调性可知，≤cos x≤，即≤t≤，又函数f(t)＝(t＋)2－在[，]上单调递增，故f(t)max＝f()＝，所以f(x)的最大值为.2-1-c-n-j-y
答案
点评 遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值.
四、转化与化归思想
例4 比较下列每组数的大小.
(1)tan 1，tan 2，tan 3；
(2)tan(－)与tan(－).
解 (1)因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又因为<2<π，所以－<2－π<0.
因为<3<π，所以－<3－π<0.
显然－<2－π<3－π<1<，
而y＝tan x在(－，)内是增函数，
所以tan(2－π)即tan 2(2)tan(－)＝－tan，tan(－)＝－tan.
因为0<<<，且y＝tan x在(0，)内单调递增，所以tan－tan，21·世纪*教育网
即tan(－)>tan(－).
点评 三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的化归与转化思想.
4 三角函数的性质总盘点
三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.
一、定义域
例1 函数y＝的定义域为________.
解析 由题意得cos x≥，
所以2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
即函数的定义域是[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.
答案 [2kπ－，2kπ＋]，k∈Z
点评 解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.
二、值域与最值
例2 函数y＝cos(x＋)，x∈(0，]的值域是________.
解析 因为0f(x)＝cos x的图象如图可知：
cos π≤cos(x＋)故函数的值域是[－，).
答案 [－，)
点评 解本题的关键是从x的范围入手，先求得ωx＋φ的范围，再结合余弦函数的图象对应得出cos(ωx＋φ)的范围，从而可得函数的值域或者最值.【版权所有：21教育】
三、单调性
例3 已知函数f(x)＝sin(－2x)，求：
(1)函数f(x)的单调递减区间；
(2)函数f(x)在[－π，0]上的单调递减区间.
解 由f(x)＝sin(－2x)可化为f(x)＝－sin(2x－).所以原函数的递减区间即为函数y＝sin(2x－)的递增区间.
(1)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)＝sin(－2x)的递减区间为
[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
(2)在减区间[kπ－，kπ＋]，k∈Z中，
令k＝－1、0时，可以得到当x∈[－π，0]时，
f(x)＝sin(－2x)的递减区间为
[－π，－]，[－，0].
点评 解本题的关键是先把函数化为标准形式y＝sin(ωx＋φ)，ω>0，然后把ωx＋φ看做一个整体，根据y＝sin x的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间.
四、周期性与对称性
例4 已知函数f(x)＝sin(2ωx－)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象的一条对称轴方程是( )2·1·c·n·j·y
A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝
解析 由T＝π＝，得ω＝1，
所以f(x)＝sin(2x－)，
由2x－＝＋kπ，k∈Z，
解得f(x)的对称轴为x＝＋，k∈Z，
所以x＝为f(x)的一条对称轴，选C.
答案 C
点评 解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中心也有两种方法.
五、奇偶性
例5 若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π))是偶函数，则φ等于( )
A. B. C. D.
解析 函数是偶函数，所以函数关于x＝0对称；
由＝＋kπ可得函数的对称轴方程是x＝＋3kπ－φ，k∈Z，令＋3kπ－φ＝0，
解得φ＝＋3kπ，k∈Z，
又φ∈[0，2π)，故φ＝.
答案 C
点评 解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数?函数图象关于y轴对称；奇函数?函数图象关于原点对称.21教育名师原创作品
5 数形结合百般好，形象直观繁琐少
——构建正弦、余弦函数图象解题
正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题.21·cn·jy·com
一、确定函数的值域
例1 定义运算a※b为a※b＝例如，1※2＝1，则函数f(x)＝sin x※cos x的值域为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.[－1，1] B.
C. D.
解析 根据题设中的新定义，得f(x)＝作出函数f(x)
在一个周期内的图象，如图可知函数f(x)的值域为.
答案 C
点评 有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.
二、确定零点个数
例2 函数f(x)＝x－sin x在区间[0，2π]上的零点个数为________.
解析 在同一直角坐标系内，画出y＝x及y＝sin x的图象，由图象可观察出交点个数为2.
答案 2
点评 有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.
三、确定参数的值
例3 已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝______________.
解析 ∵f(x)＝sin(ω>0)且f＝f，
又f(x)在区间内只有最小值、无最大值，
画出函数大致图象，如图所示，
∴f(x)在＝处取得最小值.
∴ω＋＝2kπ－(k∈Z)，
∴ω＝8k－(k∈Z).
∵ω>0，∴当k＝1时，ω＝8－＝；
当k＝2时，ω＝16－＝，此时在区间内已存在最大值.故ω＝.
答案
点评 本小题考查对y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质的理解与应用，求解本题应注意两点：一是f(x)在处取得最小值；二是在区间内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以帮助解题.
四、判断函数单调性
例4 设函数f(x)＝(x∈R)，则f(x)( )
A.在区间上是增函数
B.在区间上是增函数
C.在区间上是减函数
D.在区间上是减函数
解析 作出函数y＝的图象如图所示.
由图象可知B正确.
答案 B
点评 形如f(x)＝|Asin(ωx＋φ)＋k|(A≠0，ω≠0)的函数性质，可作出其图象，利用数形结合思想求解.21世纪教育网版权所有
五、确定参数范围
例5 当0≤x≤1时，不等式sin ≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________.
解析 作出函数y＝sin ，y＝kx的函数图象，如图所示.
当k≤0时，显然成立；
当0sin ≥kx在x∈[0，1]上成立.
综上所述，k≤1.
答案 (－∞，1]
点评 数形结合时，函数图象要根据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算判断.本题讨论y＝kx与y＝sin 的图象关系时，不要忘记k≤0的情况.21教育网
六、研究方程的实根
例6 已知方程sin＝k在0≤x≤π上有两个实数根x1，x2，求实数k的取值范围，并求x1＋x2的值.21*cnjy*com
解 在同一坐标系内作出函数y1＝sin(0≤x≤π)与y2＝k的图象，如图所示.
当x＝0时，y1＝sin＝1.
所以当k∈[1，)时，两曲线在[0，π]上有两个交点，即方程有两个实数根x1、x2，且x1、x2关于x＝对称，【出处：21教育名师】
x1＋x2＝.
故实数k的取值范围是[1，)，且x1＋x2＝.
点评 本题通过函数图象的交点个数判断方程实数根的个数，应重视这种方法.
第一单元 基本初等函数（Ⅱ）
学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换.21世纪教育网版权所有
1.任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的________，记作________，即________；
(2)x叫做α的________，记作________，即________；
(3)叫做α的________，记作______，即____________.
2.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：________________.
(2)商数关系：tan α＝ .
3.诱导公式
四组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.21教育网
4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
对称性
对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)
对称轴：x＝kπ(k∈Z)；
对称中心：
(k∈Z)
对称中心：
(k∈Z)，
无对称轴
奇偶性
周期性
最小正周期：______
最小正周期：______
最小正周期：______
单调性
在
(k∈Z)上单调递增；
在
(k∈Z)上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减
在开区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上递增
最值
在x＝__________(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
无最值
类型一 三角函数的概念
例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.21·cn·jy·com
反思与感悟 (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0).则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.2·1·c·n·j·y
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
跟踪训练1 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.
类型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用
例2 已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π).求：
(1)＋；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值.
反思与感悟 (1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.
(2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练2 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值.
类型三 三角函数的图象与性质
例3 将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin x的图象.21·世纪*教育网
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值.www-2-1-cnjy-com
反思与感悟 研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.
跟踪训练3 函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示.
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
类型四 三角函数的最值和值域
命题角度1 可化为y＝Asin?ωx＋φ?＋k型
例4 求函数y＝－2sin(x＋)＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值.
反思与感悟 利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.
跟踪训练4 已知函数y＝asin(2x＋)＋b在x∈[0，]上的值域为[－5,1]，求a，b的值.
命题角度2 可化为sin x或cos x的二次函数型
例5 已知|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值.
反思与感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.
跟踪训练5 已知函数f(x)＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a，b的值.21cnjy.com
命题角度3 分式型函数利用有界性求值域)
例6 求函数y＝的值域.
反思与感悟 在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特征——有界性，利用三角函数的有界性可以求解三角函数的值域问题.2-1-c-n-j-y
跟踪训练6 求函数y＝的最大值和最小值.
类型五 数形结合思想在三角函数中的应用
例7 已知方程sin(x＋)＝在[0，π]上有两个解，求实数m的取值范围.
反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想.
跟踪训练7 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0).若f(x)在区间[，]上具有单调性，且f()＝f()＝－f()，则f(x)的最小正周期为________.
1.把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A.－π B.－2π C.π D.－π
2.若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝，则a的值为( )
A.4 B.±4
C.－4或－ D.
3.函数y＝|sin x|＋sin|x|的值域为( )
A.[－2,2] B.[－1,1] C.[0,2] D.[0,1]
4.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A.2，－ B.2，－ C.4，－ D.4，
5.已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围.www.21-cn-jy.com
三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.21*cnjy*com
答案精析
知识梳理
1．(1)正弦 sin α sin α＝y
(2)余弦 cos α cos α＝x
(3)正切 tan α tan α＝ (x≠0)
2．(1)sin2α＋cos2α＝1
4．[－1,1] [－1,1] R 奇函数 偶函数 奇函数 2π 2π π ＋2kπ
题型探究
例1 －8
跟踪训练1 解 ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t.
r＝＝＝5|t|.
当t＞0时，r＝5t，
sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝，
tan α＝＝＝－；
当t＜0时，r＝－5t，
sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
tan α＝＝＝－.
综上可知，sin α＝－，
cos α＝，tan α＝－
或sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
例2 解 由根与系数的关系，得
sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝.
(1)原式＝＋
＝＋
＝－
＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由sin θ＋cos θ＝，
两边平方可得
1＋2sin θcos θ＝，
1＋2×＝1＋，m＝.
(3)由m＝可解方程2x2－(＋1)x＋＝0，得两根和.
∴ 或
∵θ∈(0,2π)，
∴θ＝或.
跟踪训练2 解 (1)f(α)＝
＝sin α·cos α.
(2)cos α－sin α＝－. (3).
例3 解 (1)函数y＝ sin x的图象向下平移1个单位长度得y＝sin x－1，再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的倍，得到y＝sinx－1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y＝sin(x－)－1的图象，∴函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝6.由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，
∴函数y＝f(x)的单调递增区间是[6k－，6k＋]，k∈Z.
(2)∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最值即为
x∈[3,4]时，y＝f(x)的最值．
∵当x∈[3,4]时，x－∈[，π]，
∴sin(x－)∈[0，]，
∴f(x)∈[－1，]．
∴当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最小值是－1，最大值为.
跟踪训练3 解 (1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
例4 解 ∵x∈[0，π]，
∴x＋∈[，]，
∴－≤sin(x＋)≤1.
当sin(x＋)＝1，即x＝时，y取得最小值1.
当sin(x＋)＝－，即x＝π时，y取得最大值4.
∴函数y＝－2sin(x＋)＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.
跟踪训练4 解 ∵x∈[0，]，
∴2x＋∈[，π]，
sin(2x＋)∈[－，1]．
∴当a＞0时，
解得
当a＜0时，
解得
∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.
例5 解 y＝f(x)＝cos2x＋sin x
＝－sin2x＋sin x＋1.
令t＝sin x，∵|x|≤，
∴－≤sin x≤.
则y＝－t2＋t＋1＝－(t－)2＋
(－≤t≤)，
∴当t＝－，即x＝－时，f(x)有最小值，且最小值为－(－－)2＋＝.
跟踪训练5 解 令t＝sin x，则
g(t)＝－t2－at＋b＋1＝－2＋＋b＋1，
且t∈[－1,1]．根据对称轴t0＝－与区间[－1,1]的位置关系进行分类讨论．
①当－≤－1，即a≥2时，
解得
②当－1<－<0，即0解得(舍)或(舍)，
综上所述，a＝2，b＝－2.
例6 解 原函数变形为
y＝1＋，
∵|cos x|≤1，
∴－3≤2cos x－1≤1且2cos x－1≠0，
∴≥2或≤－，
则函数的值域为{y|y≥3或y≤}．
跟踪训练6 解 y＝＝＝3－.
∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝1时，ymax＝3－＝，
当sin x＝－1时，ymin＝3－＝－2，
∴函数y＝的最大值为，最小值为－2.
例7 解 函数y＝sin(x＋)，x∈[0，π]的图象如图所示，
方程sin(x＋)＝在[0，π]上有两个解等价于函数y1＝sin(x＋)，y2＝在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点，所以≤＜1，即≤m＜2.
跟踪训练7 π
当堂训练
1．A 2.C 3.C 4.A
5．解 令t＝sin x，则t∈[－1,1]，
则函数可化为f(t)＝－t2＋t＋a
＝－(t－)2＋a＋.
当t＝时，f(t)max＝a＋，
即f(x)max＝a＋；
当t＝－1时，f(t)min＝a－2，
即f(x)min＝a－2.
故函数f(x)的值域为[a－2，a＋]．
所以解得3≤a≤4.
故实数a的取值范围为[3,4]．
