1．1.1 角的概念的推广
预习课本P3～6，思考并完成以下问题
(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？
(2)角的旋转量的性质是什么？
(3)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？
(4)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？
1．任意角
(1)角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的表示：
如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
(3)角的分类：
名称
定义
图示
正角
按照逆时针方向旋转而成的角
负角
按照顺时针方向旋转而成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
(4)角的旋转量的性质：
各角和的旋转量等于各角旋转量的和，即α－β可化为α＋(－β)．
2．象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
[点睛] 象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，包括角α本身构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)－30°是第四象限角．( )
(2)钝角是第二象限的角．( )
(3)终边相同的角一定相等．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．与45°角终边相同的角是( )
A．－45° B．225°
C．395° D．－315°
答案：D
3．下列说法正确的是( )
A．锐角是第一象限角 B．第二象限角是钝角
C．第一象限角是锐角 D．第四象限角是负角
答案：A
4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．
答案：－25° 395°
任意角的概念
[典例] 下列命题正确的是( )
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．
[答案] C
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
[活学活用]
如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________．
解析：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋(－30°)＝60°.
答案：60°
终边相同角的表示
[典例] 写出与75°角终边相同的角β的集合，并求在360°≤β<1 080°范围内与75°角终边相同的角．
[解] 与75°角终边相同的角的集合为
S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．
当360°≤β<1 080°时，即360°≤k·360°＋75°<1 080°，
解得≤k<2.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.
当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.
综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角．
1．终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°～360°范围内相应的角；
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
2．终边相同角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
[活学活用]
分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
解：(1)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}.
象限角的判断
[典例] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.
[解] 作出各角，其对应的终边如图所示：
(1)由图①可知：－75°是第四象限角．
(2)由图②可知：855°是第二象限角．
(3)由图③可知：－510°是第三象限角．
象限角的判定方法
(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
[活学活用]
若α是第四象限角，则180°－α一定在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ∵α与－α的终边关于x轴对称，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角．
而180°－α可看成－α按逆时针旋转180°得到，
∴180°－α是第三象限角.
角，nα(n∈N＋)所在象限的确定
[典例] 已知α是第二象限角，求角所在的象限．
[解] 法一：∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α
∴·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z)．
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得
n·360°＋45°<这表明是第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得
n·360°＋225°<这表明是第三象限角．
∴为第一或第三象限角．
法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角．
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．
解：∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α∴k·720°＋180°<2α∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．
2．[变条件]若角α变为第三象限角，则角是第几象限角？
解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角的终边所在的区域，故角为第二或第四象限角．
倍角、分角所在象限的判定思路
(1)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．
(2)已知角α终边所在的象限，确定终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．几何法依据数形结合思想，简单直观．
层级一 学业水平达标
1．－215°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．
2．下面各组角中，终边相同的是( )
A．390°，690° B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3 000°，－840°
解析：选B ∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，
∴－330°与750°终边相同．
3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是( )
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
解析：选A 由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，
当k＝2n＋1，n∈Z，
α＝2n·180°＋180°＋45°
＝n·360°＋225°，在第三象限，
当k＝2n，n∈Z，
α＝2n·180°＋45°
＝n·360°＋45°，在第一象限．
∴α是第一或第三象限的角．
4．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A．{α|90°<α<180°}
B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}
解析：选D 终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．
5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°
C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°
解析：选B －885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.
6．在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；
②钝角一定大于锐角；
③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；
④－2 000°是第二象限角．
其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．
解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．
②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．
③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．
④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．
答案：①③
7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.
解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.
又∵180°<α<360°，∴α＝270°.
答案：270°
8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．
解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.
答案：216° －144°
9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.
解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．
(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．
(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．
10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：
(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．
解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－(2)∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.
层级二 应试能力达标
1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D ①－15°是第四象限角；
②180°<185°<270°是第三象限角；
③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；
④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，
所以四个结论都是正确的．
2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( )
A．120°＋k·360°，k∈Z
B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z
D．240°＋k·180°，k∈Z
解析：选B 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.
3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )
A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上
C．y轴的非负半轴上 D．y轴的非正半轴上
解析：选A ∵α＝β＋k·360°，k∈Z，
∴α－β＝k·360°，k∈Z，
∴其终边在x轴的非负半轴上．
4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是( )
A．M∩N＝? B．M?N
C．N?M D．M＝N
解析：选C 对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N?M，故选C.
5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．
解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.
答案：－30° －360°
6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．
解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．
答案：一或三
7．试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．
解：终边在直线y＝－x上的角的集合
S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.
8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OB上；
(2)终边落在直线OA上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在直线OA上的角的集合为
S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．
(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为
S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．
1．1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
预习课本P7～11，思考并完成以下问题
(1)1弧度的角是如何定义的？
(2)如何求角α的弧度数？
(3)如何进行弧度与角度的换算？
(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
1．度量角的两种制度
(1)角度制：
①定义：用度作单位来度量角的制度．
②1度的角：把圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1度．
(2)弧度制：
①定义：以弧度为单位来度量角的制度．
②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
③弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝.
[点睛] 用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2 rad的单位“rad”可省略不写，只写2.
2．角度与弧度的互化
(1)180°＝π rad.
(2)常用的角度数与弧度数的互化：
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
225°
270°
315°
360°
弧度
0
π
2π
3.弧长与扇形面积公式
公式
度量制
弧长公式
扇形面积公式
角度制
l＝
S＝
弧度制
l＝α·r
(0<α<2π)
S＝lr＝αr2
(0<α<2π)
[点睛] 由扇形的弧长及面积公式可知：对于α，r，l，S“知二求二”，它实质上是方程思想的运用．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度＝1°.( )
(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( )
(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．若α＝kπ＋，k∈Z，则α所在的象限是( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第一、三象限 D．第一、四象限
答案：C
3．半径为1，圆心角为的扇形的弧长是( )
A. B．π
C. D.
答案：C
4．(1)＝________；(2)－210°＝________.
答案：(1)120° (2)－
角度与弧度的换算
[典例] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－.
[解] (1)72°＝72×＝.
(2)－300°＝－300×＝－.
(3)2＝2×°＝°.
(4)－＝－°＝－40°.
角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
[活学活用]
将下列角度与弧度进行互化：
(1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°.
解：(1)π＝×180°＝15 330°.
(2)－＝－×180°＝－105°.
(3)10°＝10×＝.
(4)－855°＝－855×＝－.
用弧度制表示角的集合
[典例] 已知角α＝2 005°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．
[解] (1)2 005°＝2 005× ＝
＝，又π<<，
∴角α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，
由－5π≤2kπ＋＜0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.
∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－，－，－.
用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
[活学活用]
1．将－1 125°表示成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式为________．
解析：因为－1 125°＝－4×360°＋315°，
315°＝315×＝，
所以－1 125°＝－8π＋.
答案：－8π＋
2．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
解：如题图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，
而75°＝75×＝，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.
扇形的弧长公式及面积公式
题点一：利用公式求弧长和面积
1．已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．
解：已知扇形的圆心角α＝60°＝，半径r＝10 cm，则弧长l＝α·r＝×10＝(cm)，于是面积S＝lr＝××10＝(cm2)．
题点二：利用公式求半径和弧度数
2．扇形OAB的面积是4 cm2，它的周长是8 cm，求扇形的半径和圆心角．
解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为r cm，
依题意有
由①②，得r＝2，∴l＝8－2r＝4，θ＝＝2.
故所求扇形的半径为2、圆心角为2 rad.
题点三：利用公式求扇形面积的最值
3．已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，弧长为l，则l＋2r＝30，故l＝30－2r，
从而S＝lr＝(30－2r)r＝－r2＋15r＝－2＋，
所以，当r＝ cm时，α＝2，
扇形面积最大，最大面积为 cm2.
弧度制下涉及扇形问题的攻略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
[提醒] 运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．
层级一 学业水平达标
1．把50°化为弧度为( )
A．50 B.
C. D.
解析：选B 50°＝50×＝.
2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( )
A．16π B．32π
C．16 D．32
解析：选C 弧长l＝2r,4r＝16，r＝4，得l＝8，
即S＝lr＝16.
3．角α的终边落在区间内，则角α所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C －3π的终边在x轴的非正半轴上，－的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．
4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A.π B．－π
C.π D．－π
解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.
5．下列表示中不正确的是( )
A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上的角的集合是
C．终边在坐标轴上的角的集合是
D．终边在直线y＝x上的角的集合是
解析：选D 终边在直线y＝x上的角的集合应是.
6．－135°化为弧度为________，化为角度为________．
解析：－135°＝－135×＝－π，
π＝×180°＝660°.
答案：－π 660°
7．扇形的半径是，圆心角是60°，则该扇形的面积为________．
解析：60°＝，扇形的面积公式为S扇形＝αr2＝××()2＝π.
答案：π
8．设集合M＝，N＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝________.
解析：由－π<－<π，得－∵k∈Z，∴k＝－1,0,1,2，
∴M∩N＝.
答案：
9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
解：设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4.
根据扇形面积公式S＝lR，得1＝l·R.
联立解得R＝1，l＝2，∴α＝＝＝2.
10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．
(1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k(k∈Z)．
解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋＝－10π＋，是第一象限角．
(2)－60°＋360°·k＝－×60＋2π·k＝－＋2kπ(k∈Z)，是第四象限角．
层级二 应试能力达标
1．下列转化结果错误的是( )
A．60°化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D.化成度是15°
解析：选C 对于A,60°＝60×＝；对于B，－π＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°.故C错误．
2．集合中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )
解析：选C 当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z，所以选C.
3．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为( )
A．α＋β＝0 B．α－β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋(k∈Z)
解析：选D ∵α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，∴α－β＝＋2(k1－k2)·π(k1∈Z，k2∈Z)．
∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.
∴α－β＝＋2kπ(k∈Z)．
4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A. B.
C. D．2
解析：选C 如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.
5．若角α的终边与π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是____________．
解析：由题意，得α＝＋2kπ，∴＝＋(k∈Z)．
令k＝0,1,2,3，得＝，，，.
答案：，，，
6．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．
解析：设原来圆的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则l＝αr.设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝＝＝，故＝.
答案：
7．已知α＝1 690°，
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．
解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.
(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋π<4π.
解得－∴θ的值是－π，－π，π，π.
8．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)弧AB的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
解：(1)因为120°＝π＝π，
所以l＝α·r＝π×6＝4π，
所以弧AB的长为4π.
(2)因为S扇形AOB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，
于是有S△OAB＝AB·OD＝×2×6cos 30°×3＝9.
所以弓形的面积为S扇形AOB－S△OAB＝12π－9.
1．2.1 三角函数的定义
预习课本P14～17，思考并完成以下问题
(1)任意角的三角函数的定义是什么？
(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？
(3)如何求三角函数的定义域？
(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？
1．三角函数的定义
(1)前提准备：①以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．
②设角α的终边上任一点P(x，y)，OP＝r(r≠0)．
(2)定义：
①余弦函数：叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝.
②正弦函数：叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝.
③正切函数：叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝.
④正割函数：角α的正割sec α＝＝.
⑤余割函数：角α的余割csc α＝＝.
⑥余切函数：角α的余切cot α＝＝.
[点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．
2．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
3．三角函数值的符号
如图所示：
正弦：一二象限正，三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角函数也是函数，它们都是以角为自变量的，以比值为函数值的函数．( )
(2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )
(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．若sin α<0，tan α>0，则α在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
3．已知角α的终边与圆x2＋y2＝1的交点P，则sin α＋cos α＝( )
A. B．－
C. D．－
答案：B
4．sin＝________，cos＝________.
答案： －
三角函数的定义及应用
[典例] 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．
[解] r＝ ＝5|a|.
若a＞0，则r＝5a，故sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.
若a＜0，则r＝－5a.同理可得sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
法二：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
[活学活用]
1．如果α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α的值等于( )
A. B．－
C．－ D．－
解析：选C 由题意知P(1，－)，
所以r＝ ＝2，
所以sin α＝－.
2．已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α，sec α，csc α，cot α的值．
解：直线x＋y＝0，即y＝－x，则直线通过第二和第四象限．
①在第二象限内取直线上的点(－1，)，
则r＝＝2，
所以sin α＝，则csc α＝＝；
cos α＝－，则sec α＝－2；
tan α＝－，则cot α＝－.
②在第四象限内取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，
所以sin α＝－，则csc α＝－；
cos α＝，则sec α＝2；
tan α＝－，则cot α＝－.
三角函数值符号的运用
[典例] (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)设α是第三象限角，且＝－cos，则所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．
(2)∵α是第三象限角，
∴2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z.
∴kπ＋<∴在第二、四象限．
又∵＝－cos ，∴cos <0.
∴在第二象限．
[答案] (1)D (2)B
对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．
[活学活用]
1．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan A与cos B B．cos B与sin C
C．sin C与tan A D．tan与sin C
解析：选D ∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴tan＞0；
又∵0＜C＜π，∴sin C＞0.
2．若角α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在第________象限．
解析：∵α为第二象限角，
∴sin α＞0，cos α＜0.
∴P(sin α，cos α)位于第四象限．
答案：四
求三角函数的定义域
[典例] 求函数f(x)＝的定义域．
[解] 要使f(x)有意义，
则
所以
解得：2kπ＜x＜2kπ＋，k∈Z.
所以原函数的定义域为.
求三角函数定义域的方法
(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得．对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．
[活学活用]
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝＋.
解：(1)要使函数式有意义，需tan x≠0，解得x≠kπ(k∈Z)．
要使tan x有意义，需x≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠(k∈Z)．
所以函数的定义域为.
(2)由题意得
由cos x≥0得x的终边在y轴上，或第一象限，或第四象限，或在x轴非负半轴上．
由－tan x≥0，得tan x≤0，则角x的终边在第二象限，或第四象限，或在x轴上．
综上，角x的终边在第四象限或x轴非负半轴上．
所以函数的定义域为.
层级一 学业水平达标
1．若α＝，则α的终边与圆x2＋y2＝1的交点P的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设P(x，y)，∵角α＝在第二象限，
∴x＝－，y＝ ＝，∴P.
2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α等于( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r＝＝，∴cos α＝＝＝.
3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都可能
解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)，
∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．
4．代数式sin 120°cos 210°的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝，
cos 210°＝－，∴sin 120°cos 210°＝×＝－，故选A.
5．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于( )
A．± B．±
C．± D．±
解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r＝＝，所以sin α＝＝＝.或者取P(1，－2)，则r＝＝，所以sin α＝＝－＝－.
6．计算：tan ＝________，csc＝________.
解析：∵α＝，在α的终边上取一点P(a，a)，
∴r＝2a.
∴tan ＝，csc＝2.
答案： 2
7．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，则sin α＋cos α＝________.
解析：∵tan α＝＝－，∴a＝－12.
∴r＝ ＝13.
∴sin α＝－，cos α＝.
∴sin α＋cos α＝－.
答案：－
8．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________.
解析：当α在第二象限时，＋＝－＋＝0；当α在第四象限时，＋＝－＝0.综上，＋＝0.
答案：0
9．已知角θ终边上有一点P(－，m)，且sin θ＝m(m≠0)，试求cos θ与tan θ的值．
解：点P(－，m)到坐标原点O的距离r＝，由三角函数的定义，得sin θ＝＝＝m，解得m＝±.∴r＝2.
当m＝时，cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝－.
当m＝－时，cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝.
10．已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，求cos α和tan α的值．
解：设点M的坐标为(x1，y1)．
由题意，可知sin α＝－，即y1＝－.
∵点M在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1，
即x＋2＝1，解得x1＝或x2＝－.
∴cos α＝或cos α＝－，
∴tan α＝－1或tan α＝1.
层级二 应试能力达标
1．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以有
即－22．设a<0，角α的终边与圆x2＋y2＝1的交点为P(－3a,4a)，那么sin α＋2cos α的值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A ∵点P在圆x2＋y2＝1上，则|OP|＝1.
即＝1，解得a＝±.
∵a<0，∴a＝－.
∴P点的坐标为.
∴sin α＝－，cos α＝.
∴sin α＋2cos α＝－＋2×＝.
3．若tan x<0，且sin x－cos x<0，则角x的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵tan x<0，∴角x的终边在第二、四象限，又sin x－cos x<0，∴角x的终边在第四象限．
4．已知角α的终边经过点P(m，－6)，且cos α＝－，则m＝( )
A．8 B．－8
C．4 D．－4
解析：选B 由题意r＝|OP|＝＝，故cos α＝＝－，解得m＝－8.
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
解析：|OP|＝.根据任意角三角函数的定义得，＝－ ，解得y＝±8.又∵sin θ＝－＜0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y＝－8.
答案：－8
6．设0≤θ＜2π，若sin θ＜0且cos 2θ＜0，则θ的取值范围是________．
解析：因为0≤θ＜2π且sin θ＜0，所以π＜θ＜2π.
又cos 2θ＜0，所以2kπ＋＜2θ＜2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋＜θ＜kπ＋，k∈Z.因为π＜θ＜2π，所以k＝1，即θ的取值范围是＜θ＜.
答案：
7．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝ ＋tan x；(2)f(x)＝.
解：(1)由题意得
即
解得0(2)若使函数有意义，则需满足cos x≥0，
即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
∴函数的定义域为，k∈Z.
8．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限．
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－，所以sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，
得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，
从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
1．2.2 单位圆与三角函数线
预习课本P19～21，思考并完成以下问题
(1)点的射影是如何定义的？
(2)三角函数线是如何定义的？
1．单位圆
把半径为1的圆叫做单位圆．
2．单位圆中角α的坐标
角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
3．点的射影及三角函数线
(1)点的射影
(2)三角函数线
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角函数线的长度等于三角函数值．( )
(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( )
(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在直线y＝x上 D．在直线y＝－x上
答案：B
3．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )
A. B.
C. D.或
答案：D
4．sin 1.5________ sin 1.2.(填“>”或“<”)
答案：>
三角函数线的作法
[典例] 作出的正弦线、余弦线和正切线．
[解] 在直角坐标系中作单位圆，如图，以Ox轴为始边作角，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴，垂足为M，由单位圆与x轴正方向的交点A作x轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin ＝MP，cos＝OM，tan＝AT，即的正弦线为，余弦线为，正切线为.
三角函数线的作法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．
[活学活用]
作出－的正弦线、余弦线和正切线．
解：如图所示，
－的正弦线为，余弦线为，正切线为.
三角函数线的应用
题点一：利用三角函数线比较大小
1．利用三角函数线比较下列各组数的大小：
①sin 与sin ；②tan 与tan .
解：如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sin ＝，tan ＝；的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′，则sin ＝，tan ＝，
由图可见，||＞||，且与都与y轴正方向相同，所以①sin＞sin；||＞||，且与都与y轴正方向相反，所以②tan＜tan.
题点二：利用三角函数线解不等式
2．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sin α≥；(2)cos α≤－.
解：(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为
.
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图②中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为
题点三：利用三角函数线求函数的定义域
3．求函数f(x)＝＋ln的定义域．
解：由题意，得自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
即定义域为.
1．利用三角函数线比较大小的两个关注点
(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．
(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．
2．利用三角函数线解三角不等式的方法
(1)正弦、余弦型不等式的解法．
对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．
(2)正切型不等式的解法．
对于tan x≥c，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．
3．利用三角函数线求函数的定义域
解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．
层级一 学业水平达标
1．角和角有相同的( )
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
解析：选C 在同一坐标系内作出角和角的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．
2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．直线y＝x上
B．直线y＝－x上
C．直线y＝x上或直线y＝－x上
D．x轴上或y轴上
解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y＝x上或直线y＝－x上．
3．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )
A．aC．c解析：选C 如图，作出角α＝－1的正弦线、余弦线及正切线，显然
b＝cos(－1)＝OM>0，
c＝tan(－1)＝AT<0，
a＝sin(－1)＝MP<0，
由图可知MP>AT，∴c4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上
D．第一、第三象限的角平分线上
解析：选C 作图(图略)可知角α的终边在直线y＝－x上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.
5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )
A．sin α＋cos α>1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α<1 D．不能确定
解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.
6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．
解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y轴上，所以它的正弦线的长度为1.
答案：1
7．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是___________________________
________________________．
解析：如图，sin 1＝MP，cos 1＝OM.
显然MP>OM，即sin 1>cos 1.
答案：sin 1>cos 1
8．若θ∈，则sin θ的取值范围是________．
解析：由图可知sin＝，
sin＝－1，－1＜sin θ＜，
即sin θ∈.
答案：
9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)；(2)－.
解：(1)如图(1)所示，在单位圆中，，分别表示角的正弦线、余弦线、正切线．
(2)如图(2)所示，在单位圆中，，分别表示－角的正弦线、余弦线、正切线．
10．求下列函数的定义域．
(1)y＝lg.
(2)y＝.
解：(1)为使y＝lg有意义，则－sin x>0，所以sin x<，所以角x终边所在区域如图所示，
所以2kπ－所以原函数的定义域是
.
(2)为使y＝有意义，
则3tan x－≥0，所以tan x≥，
所以角x终边所在区域如图所示，
所以kπ＋≤x所以原函数的定义域是
.
层级二 应试能力达标
1．下列三个命题：
①与的正弦线相等；②与的正切线相等；
③与的余弦线相等．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选B 和的正弦线关于y轴对称，大小相等，方向相同；和两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；和的余弦线方向不同．
2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：选D 当0<α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝，
∴α必为钝角．
3．如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
A．cos αC．sin α解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线、余弦线、正切线，很容易地观察出||<||<||，且都与坐标轴的正方向相同．即cos α4．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是( )
A. B.
C. D．[0，π]
解析：选A 如图，画出三角函数线sin x＝，cos x＝，由于sin＝cos，
sin ＝cos ，
为使sin x≤cos x成立，
则由图可得－≤x≤.
5．sin ，cos ，tan 从小到大的顺序是________．
解析：由图可知：
cos <0，tan >0，sin >0.
∵||<||，且，与y轴正方向相同，
∴sin 故cos 答案：cos 6．若0<α<2π，且sin α<，cos α>.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．
解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，所以α的取值范围是∪.
答案：∪
7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．
(1)sin θ<－；(2)－≤cos θ<.
解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，
即θ－＋2kπ<θ<－＋2kπ，k∈Z.
(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，
即θ2kπ－≤θ<2kπ－或2kπ＋<θ≤2kπ＋，k∈Z.
8．若0<α<，证明：sin α<α证明：如图所示，连接AP，设弧AP的长为l，
∵S△OAP∴|OA|·|MP|∴|MP|∴sin α<α1．2.3 同角三角函数的基本关系式
预习课本P22～24，思考并完成以下问题
(1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？
(2)已知sin α，cos α和tan α其中的一个值，如何求其余两个值？
同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan_α＝.
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.
[点睛] 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角α，sin2＋cos2＝1都成立．( )
(2)对任意角α，＝tan 2α都成立．( )
(3)若cos α＝0，则sin α＝1.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知α∈，sin α＝，则cos α＝( )
A. B．－
C．－ D.
答案：A
3．已知cos α＝，且α是第四象限角，则sin α＝( )
A．± B．± C．－ D．－
答案：C
4．已知sin α＝，α∈，则tan α＝________.
答案：－
利用同角基本关系式求值
[典例] (1)已知sin α＝，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.
(2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos2α的值．
[解] (1)cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2，又α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－，tan α＝＝－.
(2)由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.
所以2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝－1.
1．求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．
[活学活用]
(1)已知cos α＝－，求sin α和tan α.
(2)已知tan α＝2，试求的值．
解：(1)sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，
因为cos α＝－<0，所以α是第二或第三象限角，
当α是第二象限角时，sin α＝，tan α＝＝－；
当α是第三象限角时，sin α＝－，tan α＝＝.
(2)由tan α＝2可得sin α＝2cos α，
故＝＝＝.
三角函数式的化简
[典例] (1)化简： .
(2)若角α是第二象限角，化简：tan α .
[解] (1)原式＝
＝
＝＝1.
(2)原式＝tan α ＝tan α ＝×，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，
所以原式＝×＝×＝－1.
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
[活学活用]
化简：(1)· ；
(2) .
解：(1)原式＝·
＝·
＝·＝±1.
(2)原式＝
＝
＝＝1.
证明简单的三角恒等式
[典例] 求证：＝.
[证明] 法一：左边＝
＝
＝
＝
＝＝右边，
∴原等式成立．
法二：右边＝
＝
＝＝
＝＝左边，
∴原等式成立．
法三：左边＝＝，
右边＝＝
＝＝＝，
∴左边＝右边，原等式成立．
法四：∵－
＝
＝
＝
＝
＝
＝0，
∴＝.
法五：∵(tan α－sin α)(tan α＋sin α)
＝tan2α－sin2α
＝tan2α－tan2α·cos2α
＝tan2α(1－cos2α)
＝tan2α·sin2α，
∴＝.
证明三角恒等式常用的方法
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．
(3)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．
(4)比较法：即证左边－右边＝0或证＝1.
[活学活用]
求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
证明：法一：左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α
＝1＋sin2α＋cos2α－2sin αcos α＋2(cos α－sin α)
＝1＋2(cos α－sin α)＋(cos α－sin α)2
＝(1－sin α＋cos α)2＝右边．
法二：∵左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，
右边＝1＋sin2α＋cos2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，
∴左边＝右边.
sin α±cos α型求值
[典例] 已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值．
[解] 因为sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，
所以(sin θ＋cos θ)2＝，
即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，
所以sin θcos θ＝－.
由上知，θ为第二象限的角，
所以sin θ－cos θ>0，
所以sin θ－cos θ
＝
＝ ＝.
已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：
①(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
②(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；
③(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；
④(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.
上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．
[活学活用]
1．已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．
解：∵sin θ－cos θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝.
解得sin θcos θ＝.
∵0<θ<π，且sin θ·cos θ＝>0，
∴sin θ>0，cos θ>0.
∴sin θ＋cos θ＝＝
＝ ＝.
由得
∴tan θ＝＝.
2．若0<θ<π，sin θcos θ＝－，求sin θ－cos θ.
解：∵0<θ<π，sin θcos θ＝－<0，
∴sin θ>0，cos θ<0.∴sin θ－cos θ>0.
∴sin θ－cos θ＝＝＝＝ ＝.
层级一 学业水平达标
1．(福建高考)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 因为sin α＝－，且α为第四象限角，
所以cos α＝，所以tan α＝－，故选D.
2．若α为第三象限角，则＋的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
解析：选B ∵α为第三象限角，
∴原式＝＋＝－3.
3．下列四个结论中可能成立的是( )
A．sin α＝且cos α＝
B．sin α＝0且cos α＝－1
C．tan α＝1且cos α＝－1
D．α是第二象限角时，tan α＝－
解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A、C、D都不成立．
4．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.
5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝，则三角形是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
解析：选B 将sin α－cos α＝两边平方，得1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．
6．若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝________.
解析：由已知得θ是第三象限角，
所以cos θ＝－＝－ ＝－.
答案：－
7．化简：＝________.
解析：原式＝
＝ ＝|cos 40°－sin 40°|
＝cos 40°－sin 40°.
答案：cos 40°－sin 40°
8．已知tan α＝－，则＝________.
解析：＝
＝＝＝＝＝－.
答案：－
9．化简：(1)；
(2).
解：(1)原式＝
＝＝＝＝1.
(2)原式＝＝＝cos θ.
10．已知sin α＋cos α＝，求tan α＋及sin α－cos α的值．
解：将sin α＋cos α＝两边平方，得sin αcos α＝－.
∴tan α＋＝＝－3，
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，
∴sin α－cos α＝±.
层级二 应试能力达标
1．已知tan α＝，且α∈，则sin α的值是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A ∵α∈，∴sin α<0.
由tan α＝＝，sin2α＋cos2α＝1，
得sin α＝－.
2．化简(1－cos α)的结果是( )
A．sin α B．cos α
C．1＋sin α D．1＋cos α
解析：选A (1－cos α)＝·(1－cos α)＝·(1－cos α)＝＝＝sin α.
3．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由sin4θ＋cos4θ＝，得
(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.
∴sin2θcos2θ＝.∵θ是第三象限角，
∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝.
4．已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
A. B．±
C. D．－
解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，
即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，
∴sin θcos θ＝＝＝＝.
5．已知sin αcos α＝，且π<α<，则cos α－sin α＝________.
解析：因为π<α<，所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线，知cos α答案：－
6．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα(n∈Z)的值为________．
解析：∵sin α＋cos α＝1，
∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，
当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sinnα＋cosnα＝1；
当cos α＝0时，sin α＝1，也有sinnα＋cosnα＝1，
∴sinnα＋cosnα＝1.
答案：1
7．已知＝，α∈.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解：(1)由＝，
得3tan2α－2tan α－1＝0，
即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，
解得tan α＝－或tan α＝1.
因为α∈，
所以tan α<0，所以tan α＝－.
(2)由(1)，得tan α＝－，
所以＝＝＝.
8．求证：－＝.
证明：左边＝
＝
＝
＝
＝＝右边．
所以原等式成立．
1．2.4 诱导公式
第一课时 诱导公式(一、二、三)
预习课本P26～30，思考并完成以下问题
(1)α与α＋k·2π(k∈Z)，－α，α＋(2k＋1)π(k∈Z)终边有何关系？
(2)诱导公式一、二、三有哪些结构特征？
诱导公式
诱导公式(一)
角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系
cos(α＋k·2π)＝cos_α(k∈Z)，
sin(α＋k·2π)＝sin_α(k∈Z)，
tan(α＋k·2π)＝tan_α(k∈Z)
诱导公式(二)
角α与－α的三角函数间的关系
cos(－α)＝cos_α，
sin(－α)＝－sin_α，
tan(－α)＝－tan_α
诱导公式(三)
角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系
cos[α＋(2k＋1)π]＝－cos_α，
sin[α＋(2k＋1)π]＝－sin_α，
tan[α＋(2k＋1)π]＝tan_α，
其中k∈Z
[点睛] 利用诱导公式(二)和(三)，可得到角α与π－α的三角函数间的关系
sin(π－α)＝sin[π＋(－α)]
＝－sin(－α)
＝sin α，
同样方法可得cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式中角α是任意角．( )
(2)公式sin(－α)＝－sin α，α是锐角才成立．( )
(3)公式tan(π＋α)＝tan α中，α＝不成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知cos(π＋θ)＝，则cos θ＝( )
A. B．－
C. D．－
答案：B
3．若sin(π＋α)＝，则sin α等于( )
A. B．－
C．3 D．－3
答案：B
4．已知tan α＝4，则tan(－α)＝________.
答案：－4
给角求值问题
[典例] 求下列三角函数值：
(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos.
[解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin[180°＋(－60°)]＝sin(－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.
(3)cos＝cos＝cos＝cos＝.
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[活学活用]
求下列各式的值：
(1)sin 315°sin(－1 260°)＋cos 570°sin(－840°)；
(2)sin ·cos ·tan .
解：(1)原式＝sin(360°－45°)sin(－4×360°＋180°)＋cos(360°＋210°)sin(－3×360°＋240°)＝sin(－45°)sin 180°＋cos(180°＋30°)sin(180°＋60°)＝－sin 45°×0－cos 30°·(－sin 60°)＝cos 30°sin 60°＝×＝.
(2)原式＝sin ·cos·tan
＝sin ·cos ·tan
＝sin·cos·tan
＝··tan
＝－×－×1＝.
化简求值问题
[典例] 化简：(1)；
(2).
[解] (1)＝＝＝＝1.
(2)原式＝＝＝＝－1.
利用诱导公式化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
[活学活用]
化简下列各式：
(1)；
(2)(k∈Z)．
解：(1)原式＝＝＝tan α .
(2)当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
给值(或式)求值问题
[典例] 已知cos＝，求cos的值．
[解] 因为cos＝cos
＝－cos＝－cos＝－.
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，求：
(1)cos的值；
(2)sin2的值．
解：(1)cos＝cos＝cos＝.
(2)sin2＝sin2＝sin2
＝1－cos2＝1－2＝.
2．[变条件]若将本例中条件“cos＝”改为“sin＝，α∈”，求cos的值．
解：因为α∈，
则α－∈.
cos＝－cos＝－cos
＝ ＝ ＝.
3．[变条件，变设问]tan＝，求tan.
解：tan＝tan
＝tan＝－tan＝－.
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
层级一 学业水平达标
1．sin 600°的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
2．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选B 由题知，sin α＝，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－.
3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C ∵r＝1，∴cos θ＝－，
∴cos(π－θ)＝－cos θ＝.
4．已知tan＝，则tan＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B tan＝tan
＝tan＝－tan＝－.
5．设tan(5π＋α)＝m，则的值等于( )
A. B.
C．－1 D．1
解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]
＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m，
∴原式＝＝＝
＝，故选A.
6．求值：(1)cos ＝______；(2)tan(－855°)＝______.
解析：(1)cos ＝cos＝cos
＝cos＝－cos ＝－.
(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.
答案：(1)－ (2)1
7．已知sin(π－α)＝log8，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．
解析：sin(π－α)＝sin α＝log8＝－，
又α∈，
所以cos α＝＝，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.
答案：
8．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________.
解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝，
所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.
答案：
9．求下列各三角函数值：
(1)sin；(2)cos；(3)tan.
解：(1)sin＝sin＝sin
＝sin＝－sin＝－.
(2)cos＝cos＝cos＝cos＝.
(3)tan＝tan＝tan＝.
10．若cos α＝，α是第四象限角，
求的值．
解：由已知cos α＝，
α是第四象限角得sin α＝－，
故
＝＝.
层级二 应试能力达标
1．已知cos(π－α)＝－，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )
A. B．－
C．± D.
解析：选B ∵cos(π－α)＝－cos α，∴cos α＝.
∵α是第一象限角，∴sin α>0，
∴sin α＝＝ ＝.
∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－.
2．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，若f(2 015)＝5，则f(2 016)等于( )
A．4 B．3
C．－5 D．5
解析：选C ∵f(2 015)＝asin(2 015π＋α)＋bcos(2 015π＋β)＝－asin α－bcos β＝5，∴f(2 016)＝asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)＝asin α＋bcos β＝－5.
3．若α，β的终边关于y轴对称，则下列等式成立的是( )
A．sin α＝sin β B．cos α＝cos β
C．tan α＝tan β D．sin α＝－sin β
解析：选A 法一：∵α，β的终边关于y轴对称，
∴α＋β＝π＋2kπ或α＋β＝－π＋2kπ，k∈Z，
∴α＝2kπ＋π－β或α＝2kπ－π－β，k∈Z，
∴sin α＝sin β.
法二：设角α终边上一点P(x，y)，则点P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，且点P与点P′到原点的距离相等，设为r，则sin α＝sin β＝.
4．下列三角函数式：①sin；②cos；③sin；④cos；
⑤sin.
其中n∈Z，则函数值与sin的值相同的是( )
A．①② B．①③④
C．②③⑤ D．①③⑤
解析：选C ①中sin＝sin≠sin；②中，cos＝cos＝sin；③中，sin＝sin；④中，cos＝cos＝－cos≠sin；⑤中，sin＝sin＝－sin＝sin.
5．化简：的值是________．
解析：原式＝
＝＝
＝＝＝－2.
答案：－2
6．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
解析：因为f＝sin
＝sin＝sin＝；
f＝f－1＝f－2
＝sin－2＝－－2＝－.
所以f＋f＝－2.
答案：－2
7．计算与化简
(1)；
(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．
解：(1)原式＝＝＝tan θ.
(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)
＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝×＋×＝1.
8．已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
解：由＝3＋2，
得(4＋2)tan θ＝2＋2，
所以tan θ＝＝，
故原式＝(cos2θ＋sin θcos θ＋2sin2θ)·
＝1＋tan θ＋2tan2θ
＝1＋＋2×2
＝2＋.
第二课时 诱导公式(四)
预习课本P31～32，思考并完成以下问题
(1)＋α的终边与α的终边有怎样的对称关系？
(2)诱导公式四有何结构特征？
诱导公式
诱导公式(四)
角α与α＋的三
角函数间的关系
cos＝－sin_α，
sin＝cos_α
诱导公式(四) 的补充
角α与－α的三
角函数间的关系
cos＝sin_α，
sin＝cos_α
[点睛] 诱导公式(四)不同于前面的三个诱导公式，原因是等号左右两边的函数名称发生了改变，正弦变成余弦，同样余弦也变成正弦，其他规则不变．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式四中的角α只能是锐角．( )
(2)sin(90°＋α)＝－cos α.( )
答案：(1)× (2)×
2．已知sin＝，那么cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
答案：C
3．若cos＝，则cos＝( )
A．－ B.
C．－ D.
答案：A
4．化简：sin＝________.
答案：－cos α
利用诱导公式化简
[典例] 化简：
＋.
[解] ∵sin＝cos α，cos＝sin α，
cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，
cos＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，
∴原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.
用诱导公式进行化简的要求
(1)化简后项数尽可能的少．
(2)函数的种类尽可能的少．
(3)分母不含三角函数的符号．
(4)能求值的一定要求值．
(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
[活学活用]
化简：(1)·sincos；
(2)sin(－α－5π)cos－sincos(α－2π)．
解：(1)原式＝·sin(－sin α)
＝·(－sin α)
＝·(－cos α)(－sin α)
＝－cos2α.
(2)原式＝sin(－α－π)cos＋cos α·
cos[－(2π－α)]
＝sin[－(α＋π)]cos＋cos αcos(2π－α)
＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α
＝sin2α＋cos2α
＝1.
利用诱导公式证明恒等式
[典例] 求证：
＝.
[证明] 左边＝
＝
＝
＝
＝＝.
右边＝＝.
∴左边＝右边，故原式成立．
三角恒等式的证明策略
对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
[活学活用]
求证：·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin2α.
证明：左边＝·[－sin(2π－α)]cos α＝
[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sin2α＝右边，故原式成立.
利用诱导公式求值
[典例] 已知＝，求
的值．
[解] ∵＝
＝＝，
∴cos θ＝.
∴
＝
＝＝＝.
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
[活学活用]
已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)－sin(15°－α)的值．
解：cos(105°－α)－sin(15°－α)
＝cos[180°－(75°＋α)]－sin[90°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－.
层级一 学业水平达标
1．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B 由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
2．已知sin θ＝，则cos(450°＋θ)的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－.
3．已知cos＝，且|φ|<，则tan φ等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C 由cos＝－sin φ＝，得sin φ＝－.又|φ|<，∴φ＝－，∴tan φ＝－.
4．已知tan θ＝2，则＝( )
A．2 B．－2
C．0 D.
解析：选B ＝
＝＝＝－2.
5．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sin B D．sin＝cos
解析：选D ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，故A，B错．
∵A＋C＝π－B，∴＝，
∴cos＝cos＝sin，故C错．
∵B＋C＝π－A，∴sin＝sin＝cos，故D正确．
6．sin 95°＋cos 175°的值为________．
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)
＝cos 5°－cos 5°＝0.
答案：0
7．若sin＝，则cos2θ－sin2θ＝________.
解析：sin＝cos θ＝，从而sin2θ＝1－cos2θ＝，所以cos2θ－sin2θ＝－.
答案：－
8．化简：sin(－α－7π)·cos＝________.
解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos
＝－sin(π＋α)·
＝sin α·(－sin α)
＝－sin2α.
答案：－sin2α
9．已知sin(π＋α)＝－.
求：(1)cos；
(2)sin.
解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
(1)cos＝cos＝－sin α＝－.
(2)sin＝cos α，cos2α＝1－sin2α＝1－＝.
∵sin α＝，∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，sin＝cos α＝.
②当α为第二象限角时，sin＝cos α＝－.
10．已知cos＝，
求值：＋.
解：原式＝＋
＝－sin α－sin α＝－2sin α.
又cos＝，所以－sin α＝.
所以原式＝－2sin α＝.
层级二 应试能力达标
1．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(6π－α)的值为( )
A．－m B．－m
C.m D.m
解析：选B ∵sin(π＋α)＋cos＝－m，
即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m，从而sin α＝，
∴cos＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.
2．已知f(x)＝sin x，下列式子成立的是( )
A．f(x＋π)＝sin x B．f(2π－x)＝sin x
C．f＝－cos x D．f(π－x)＝－f(x)
解析：选C f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sin x；
f(2π－x)＝sin(2π－x)＝sin(－x)＝－sin x；
f＝sin＝－sin＝－cos x；
f(π－x)＝sin(π－x)＝sin x＝f(x)，故选C.
3．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.∴tan α＝3，又tan α＝，∴9＝＝，∴sin2α＝，∵α为锐角，∴sin α＝，选C.
4．已知cos(60°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－＝－ ＝－.
5．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝________.
解析：原式＝·
＝·
＝＝1.
答案：1
6．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．
解析：∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，
x∈N)，
∴原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋2＝.
答案：
7．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限的角，且cos＝，
求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)因为cos＝－sin α，所以sin α＝－.
又α是第三象限的角，
所以cos α＝－ ＝－.
所以f(α)＝.
8．已知sin(3π－α)＝cos，cos(π－α)＝cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β的值．
解：由已知，得sin α＝sin β，①
cos α＝cos β，②
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，所以sin2α＝.
又0<α<π，则sin α＝.
将sin α＝代入①，得sin β＝.
又0<β<π，故cos β＝±.
1．3.1 正弦函数的图象与性质
第一课时 正弦函数的图象与性质
预习课本P37～43，思考并完成以下问题
(1)如何把y＝sin x，x∈[0,2π]图象变换为y＝sin x，x∈R的图象？
(2)正弦函数图象五个关键点是什么？
(3)周期函数的定义是什么？
(4)正弦函数的性质是什么？
1．正弦函数的图象及作法
(1)“正弦线”作图．
①利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．
②要想得到y＝sin x(x∈R)的图象，只需将y＝sin x，x∈[0,2π]的图象沿x轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图象叫做正弦曲线．
(2)“五点法”.
函数
y＝sin x
图象
图象画法
五点法
关键五点
(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
[点睛] “五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．
2．正弦函数的性质
(1)周期函数
①定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．
[点睛] 对周期函数的两点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
(2)如果T是函数?(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是?(x)的周期．
(2)正弦函数的性质
函数
y＝sin x
图象
性质
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
奇函数
周期
2π
单调性
在每一个闭区间
(k∈Z)上是增函数；
在每一个闭区间
(k∈Z)上是减函数
最大值
与最小值
x＝＋2kπ时，ymax＝1(k∈Z)；
x＝－＋2kπ时，ymin＝－1(k∈Z)
[点睛] 正弦函数不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数在第一象限内是增函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)画正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制．( )
(2)若T是函数?(x)的周期，则kT，k∈N＋也是函数f(x)的周期．( )
(3)函数y＝3sin 2x是奇函数．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．函数y＝sinx的最小正周期为( )
A．2π B．π
C．4π D．6π
解析：选C ∵sin＝sin＝sinx，∴sinx的周期为4π，故选C.
3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为( )
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
答案：C
4．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的列表.
x
0
①
2π
－sin x
②
－1
0
③
0
①________；②________；③________.
答案：π 0 1
用“五点法”作简图
[典例] 作函数y＝3tan xcos x的图象．
[解] 由cos x≠0，得x≠kπ＋(k∈Z)，于是函数y＝3tan xcos x的定义域为.又y＝3tan xcos x＝3sin x，即y＝3sin x.按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
3sin x
0
3
0
－3
0
描点并将它们用平滑曲线连起来(如下图)：
先作出y＝3sin x，x∈[0,2π]的图象，然后向左、右扩展，去掉横坐标为的点，得到y＝3tan xcos x的图象．
用五点法画函数y＝Asin x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下
(1)列表：
x
0
π
2π
sin x
y
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．
[活学活用]
用“五点法”画出函数y＝3－sin x(x∈[0,2π])的图象．
解：(1)列表：
x
0
π
π
2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝3－sin x
3
2
3
4
3
(2)描点，连线，如图所示．
正弦函数的周期性、奇偶性
[典例] (1)函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
(2)函数f(x)＝|sin x|的最小正周期为________．
(3)定义在R上的函数?(x)既是偶函数又是周期函数，若?(x)的最小正周期是π，且当x∈时，?(x)＝sin x，求?的值．
[解析] (1)∵f(x)的定义域是R.
且f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，
∴函数为奇函数．
(2)法一：∵?(x)＝|sin x|,
∴?(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝?(x)，
∴?(x)的周期为π.
法二：∵函数y＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知T＝π.
[答案] (1)A (2)π
(3)解：∵?(x)的最小正周期是π，
∴?＝?＝?
∵?(x)是R上的偶函数，
∴?＝?＝sin＝.
∴?＝.
[一题多变]
1．[变条件]若本例(3)中“偶”变“奇”其他条件不变，求?的值．
解：?＝?＝－?
＝－sin＝－.
2．[变设问]若本例(3)条件不变，求?的值．
解：?＝?＝?
＝?＝sin ＝.
3．[变条件]若本例(3)条件为：函数?(x)为偶函数且?＝－?(x)，?＝1，求?的值．
解：∵?＝－?(x)，
∴?(x＋π)＝?(x)，即T＝π，
?＝?＝?＝?＝1.
求三角函数周期和判断奇偶性的方法
(1)求三角函数周期的方法
①定义法：即利用周期函数的定义求解．
②图象法：即通过观察函数图象求其周期．
(2)判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
正弦函数的单调性
[典例] 求函数y＝3sin的单调递减区间．
[解] ∵y＝3sin＝－3sin，
∴y＝3sin是增函数时，
y＝3sin是减函数．
∵函数y＝sin x在(k∈Z)上是增函数，
∴－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴函数y＝3sin的单调递减区间为(k∈Z)．
与正弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦函数的图象，熟记其单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
[活学活用]
1．函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈的值域是( )
A．[1,3] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．[－1,1]
解析：选B ∵x∈，∴sin x∈[－1,1]，
∴－2sin x＋1∈[－1,3]．
2．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.根据正弦函数的单调性知sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
3．求函数y＝sin的单调区间．
解：由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z
得－＋kπ≤x≤－＋kπ，k∈Z.
∴函数y＝sin的单调增区间为
(k∈Z)．
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数y＝sin的单调减区间为
(k∈Z)．
层级一 学业水平达标
1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选A 由于x∈R，
且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
2．以下对正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
解析：选C 函数y＝sin x的图象关于原点中心对称，并不关于x轴对称．
3．函数y＝2－3sin x的最大值、最小值分别是( )
A．2，－3 B．0,2
C．5,2 D．5，－1
解析：选D ∵－1≤sin x≤1，∴－3≤－3sin x≤3，
∴－1≤2－3sin x≤5.
4．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝对称
解析：选B y＝4sin(2x＋π)＝－4sin 2x，奇函数图象关于原点对称．
5．函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是( )
A. B．(π，2π)
C. D．(0，π)
解析：选C 作出函数y＝|sin x|的图象，如图，观察图象知C正确．
6．函数?(x)是以2为周期的函数，且?(2)＝3，则?(6)＝________.
解析：∵函数?(x)是以2为周期的函数，且?(2)＝3，
∴?(6)＝?(2×2＋2)＝?(2)＝3.
答案：3
7．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与y＝的交点的个数是________．
解析：由y＝sin x的图象向上平移1个单位，得y＝1＋sin x的图象，故在[0,2π]上与y＝交点的个数是2个．
答案：2
8．函数y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间为________．
解析：因为sin(x＋π)＝－sin x，所以要求y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间，即求y＝sin x在上的单调递减区间，易知为.
答案：
9．利用“五点法”作出函数y＝sinx－x∈，的图象．
解：列表如下：
x
π
2π
x－
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
描点连线，如图所示．
10．求函数y＝－3sin的单调区间．
解：函数y＝－3sin的单调递增区间，
即函数y＝3sin的单调递减区间．
令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z，
即函数y＝－3sin的单调递增区间为
(k∈Z)．
同理，令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，
即函数y＝－3sin的单调递减区间为(k∈Z)．
层级二 应试能力达标
1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析：选B 由2x＝0，，π，，2π知五个点的横坐标是0，，，，π.
2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B．－
C. D．0
解析：选B ∵x∈，∴－≤2x－≤，∴当2x－＝－时，f(x)＝sin有最小值－.
3．函数y＝2sin(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选C 周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴y＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
4．在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是( )
A．(0，π) B.
C. D.
解析：选C 画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下．
因为sin＝，所以sin＝－，
sin＝－.即在[0,2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x<－的解集是.故选C.
5．函数值sin，sin，sin从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．
解析：∵＜＜＜＜π，又函数y＝sin x在上单调递减，∴sin＞sin＞sin.
答案：sin＞sin＞sin
6．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________.
解析：∵T＝，∴f＝f
＝f＝sin＝.
答案：
7．设函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．
解：(1)最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，
∴当t＝，即x＝时，ymin＝×＝－1，
∴当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝.
8．已知函数?(x)对于任意实数x满足条件?(x＋2)
＝－(?(x)≠0)．
(1)求证：函数?(x)是周期函数．
(2)若?(1)＝－5，求?(?(5))的值．
解：(1)证明：∵?(x＋2)＝－，
∴?(x＋4)＝－
＝－
＝?(x)，
∴?(x)是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)∵4是?(x)的一个周期．
∴?(5)＝?(1)＝－5，
∴?(?(5))＝?(－5)＝?(－1)＝＝＝.
第二课时 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)
预习课本P44～49，思考并完成以下问题
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？
(2)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？
(3)函数y＝Asin x，x∈R(A＞0且A≠1)的图象，可由正弦曲线y＝sin x，x∈R怎样变换得到？
(4)函数y＝sin ωx，x∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y＝sin x，x∈R怎样变换得到？
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
[点睛] 当A＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y＝－sin的初相不是φ＝－.
2．φ，ω，A对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响
(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
[点睛] (1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.( )
(2)函数y＝3sin(2x－5)的初相为5.( )
(3)由函数y＝sin的图象得到y＝sin x的图象，必须向左平移．( )
(4)把函数y＝sin x的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin 3x的图象．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是( )
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
答案：B
3．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( )
A．向左平行移动1个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度
D．向右平行移动π个单位长度
答案：A
4．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得________的图象．
答案：y＝sin 4x
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
[典例] 说明y＝－2sin＋1的图象是由y＝sin x的图象经过怎样变换得到的．
[解] [法一 先伸缩后平移]
y＝sin x的图象y＝－2sin x的图象y
＝－2sin 2x的图象y＝－2sin的图象y＝－2sin＋1的图象．
[法二 先平移后伸缩]
y＝sin x的图象y＝－2sin x的图象y＝－2sinx－的图象y＝－2sin的图象y＝－2sin＋1的图象．
由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
[活学活用]
1．将函数y＝sin向左平移个单位，可得到函数图象是( )
A．y＝sin 2x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选C y＝sin 的图象y＝sin＝sin的图象．
2．要得到函数y＝sin的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )
A．左移个单位长度 B．右移个单位长度
C．左移个单位长度 D．右移个单位长度
解析：选D 因为y＝sin(2x－)＝sin.所以把y＝sin 2x的图象上所有点向右平移个单位长度，就得到y＝sin＝sin的图象.
由图象确定函数的解析式
[典例] 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象的一部分，求此函数的解析式．
[解] [法一 逐一定参法]
由图象知A＝3，
T＝－＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝.∴y＝3sin.
[法二 待定系数法]
由图象知A＝3.∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
[法三 图象变换法]
由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
所以y＝3sin 2，即y＝3sin.
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．
[活学活用]
如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
的图象的一部分，试求该函数的解析式．
解：由图可得：A＝，T＝
2|MN|＝π.从而ω＝＝2，
故y＝sin(2x＋φ)，
又∵2×＋φ＝2 kπ，k∈Z，
∴φ＝－＋2 kπ，k∈Z.
∴y＝sin.
正弦型函数图象的对称性
[典例] 在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．
[解析] 设4x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)
∴函数y＝2sin图象的对称中心坐标为(k∈Z)．
取k＝1得满足条件．
[答案]
正弦型函数对称轴、对称中心的求法
对称轴
对称中心
y＝Asin(ωx＋φ)
令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)
令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标
[活学活用]
将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y轴最近的一条对称轴方程为________．
解析：由4x＋＝kπ＋，得x＝－，
取k＝0时，x＝－满足题意．
答案：x＝－
三角函数在实际生活中的应用
[典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[解] 列表如下，
t
－
2t＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，
所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
解三角函数应用问题的基本步骤
[活学活用]
交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
解：(1)当t＝0时，E＝110(V)，
即开始时的电压为110 V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220 V，
当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值．
层级一 学业水平达标
1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选D 由最小正周期为，排除A、B；由初相为，排除C.
2．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度
解析：选B 将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin.
3．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析：选A T＝＝＝6，
∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝.
∵－＜φ＜，∴φ＝.
4．函数y＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝－ D．x＝
解析：选C 由x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，令k＝－1，得x＝－.
5．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A 当x＝0时，y＝sin＝－<0，
故可排除B、D；当x＝时，sin＝sin 0＝0，排除C.
6．将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝________.
解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y＝sin x的图象向左平移φ个单位长度得到y＝sin (x＋φ)的图象，而sin＝sin＝sin ，即φ＝.
答案：
7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.
解析：由题意设函数周期为T，
则＝－＝，∴T＝.
∴ω＝＝.
答案：
8．将函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．
解析：y＝sin的图象y＝sin的图象．
答案：y＝sin
9．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin x的图象相同，求f(x)的解析式．
解：反过来想，y＝sin x y＝sin
y＝sin，即f(x)＝sin.
10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的最小正周期、频率、振幅、初相．
解：(1)由图象可知A＝2，＝－＝，
∴T＝，ω＝＝.
将N代入y＝2sin得，
2sin＝－2，
∴＋φ＝2kπ－，φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|＜π，∴φ＝－.
∴函数的解析式为y＝2sin.
(2)由(1)，知f(x)的最小正周期为＝8，频率为，振幅为2，初相为－.
层级二 应试能力达标
1.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )
A.， B．2，
C.，π D．2，π
解析：选A 当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故单摆频率为，故选A.
2．要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选B 由y＝sin＝sin 4得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B.
3．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于直线x＝对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于点对称
解析：选A 依题意得T＝＝π，ω＝2，故f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝1，f＝sin＝sin＝，因此该函数的图象关于直线x＝对称，不关于点和点对称，也不关于直线x＝对称．故选A.
4．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得函数图象的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选D 将原函数图象向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin的图象，再把y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍得y＝sin的图象．
5．将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．
解析：A＝3＞0，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象．
答案：伸长 3
6．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________.
解析：将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图象，故f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝.
答案：
7．求函数y＝sin图象的对称轴、对称中心．
解：令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．
令2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)．
即对称轴为直线x＝＋(k∈Z)，对称中心为(k∈Z)．
8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，如图所示．
(1)求出f(x)的解析式；
(2)若g(x)与f(x)的图象关于x＝2对称，求g(x)的解析式．
解：(1)由题图知A＝2，∵周期T＝8，
∴＝8，∴ω＝.∵点(－1,0)在图象上，
∴0＝2sin，
即sin＝0，∴φ＝.
∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)在y＝g(x)的图象上任取一点P(x，y)，则点P关于x＝2的对称点P′为(4－x，y)．又∵点P′在y＝f(x)的图象上，
∴y＝2sin
＝2sin
＝2sin.
∴g(x)的解析式为g(x)＝2sin.
第一课时 余弦函数的图象与性质
预习课本P51～53，思考并完成以下问题
(1)余弦曲线五个关键点是什么？
(2)余弦函数的性质是什么？
1．余弦曲线
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．
2．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度便可，这是由于cos x＝sin.
(2)用“五点法”：画余弦函数y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
3．余弦函数的性质
定义域
R
值域
[－1,1]
最值
最大值为1，
最小值为－1
周期性
周期为2π
奇偶性
偶函数
单调性
在每一个闭区间[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上都是增函数；在每一个闭区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上都是减函数
[点睛] 函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的最小正周期为T＝.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点．( )
(2)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦曲线．( )
(3)函数y＝sin x，x∈的图象与函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( )
(4)在区间[0,2π]上，函数y＝cos x仅当x＝0时取得最大值1.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．函数y＝－cos x，x∈[0,2π]的图象与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称
答案：A
3．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin x B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝cos 4x
答案：D
4．函数y＝3＋2cos x的最大值为________．
答案：5
函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象
[典例] (1)要得到函数y＝3cos的图象，可以将函数y＝3cos的图象沿x轴( )
A．向左平移个单位 B．向左平移π个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移π个单位
(2)用“五点法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
[解析] (1)∵y＝3cos
＝3cos，
∴将函数y＝3cos图象上所有点向左平移个单位，便可得到函数y＝3cos的图象，故选C.
答案：C
(2)列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
1－cos x
0
1
2
1
0
描点并用光滑的曲线连接起来，如图．
“五点法”画函数图象的三个步骤
作形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b，x∈[0,2π]的图象时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取x＝0，，π，，2π；②描点；③用光滑曲线连成图．这是一种基本作图方法，应该熟练掌握．
[活学活用]
1．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的图象如图所示，f＝－， 则f＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A 由题图知，T＝2＝，
∴f＝f＝f＝－.
2．画出函数y＝3－2cos x，x∈[0,2π]的简图．
解：按五个关键点列表，描点画出图象(如图).
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
y＝3－2cos x
1
3
5
3
1
余弦函数的性质
[典例] (1)函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )
A．10 B．11
C．12 D．13
(2)函数y＝3cos的单调递增区间为________．
[解析] (1)∵T＝＝≤2，∴k≥4π，
又k∈Z，∴正整数k的最小值为13.
(2)y＝3cos＝3cos.
令－π＋2kπ≤x－≤2kπ(k∈Z)，
则－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以y＝3cos的单调递增区间是
(k∈Z)．
[答案] (1)D (2)(k∈Z)
1．求三角函数的周期，通常有三种方法
(1)定义法．
(2)公式法．对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝.
(3)观察法(图象法)．
2．有关函数奇偶性的结论
(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
偶函数的图象关于y轴成轴对称图形．
(2)对于奇函数，当x＝0属于定义域时必有f(0)＝0.
对于偶函数，任意属于定义域的x都有f(|x|)＝f(x)．
[活学活用]
1．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
解析：选B f(x)＝sin－1＝－cos πx－1，从而函数为偶函数，且T＝＝2.
2．比较大小：cosπ________cosπ.
解析：cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos.
∵函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，
且0<<<π，
∴cos>cos，∴cos>cos.
答案：＞
正、余弦函数的最值
题点一：形如y＝asin x或y＝acos x型
1．若y＝acos x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________.
解析：当a>0时，得
当a<0时，得
答案：±2
题点二：形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b型
2．求函数y＝3－4cos，x∈的最大、最小值及相应的x值．
解：因为x∈，
所以2x＋∈，
从而－≤cos≤1.
所以当cos＝1，即2x＋＝0，x＝－时，ymin＝3－4＝－1.
当cos＝－，即2x＋＝，x＝时，ymax＝3－4×＝5.
综上所述，当x＝－时，ymin＝－1；当x＝时，
ymax＝5.
题点三：形如y＝Asin2x＋Bsin x＋C或y＝Acos2x＋
3．求函数y＝3－4sin x－4cos2x的值域．
解：y＝3－4sin x－4cos2x
＝3－4sin x－4(1－sin2x)
＝4sin2x－4sin x－1，
令t＝sin x，则－1≤t≤1.
∴y＝4t2－4t－1＝42－2(－1≤t≤1)．
∴当t＝时，ymin＝－2，当t＝－1时，ymax＝7.
即函数y＝3－4sin x－4cos2x的值域为[－2,7]．
三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．
层级一 学业水平达标
1．函数y＝3cos的最小正周期为( )
A.π B.π
C．2π D．5π
解析：选D T＝＝5π，因此选D.
2．函数y＝sin，x∈R在( )
A.上是增函数 B．[0，π]上是减函数
C．[－π，0]上是减函数 D．[－π，π]上是减函数
解析：选B y＝sin＝cos x，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.
3．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选C y＝cos(2x＋1)＝cos，所以y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得y＝cos(2x＋1)的图象．
4．函数＝1＋cos x的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线x＝对称
解析：选B y＝1＋cos x＝1＋cos(－x)，
∴y＝1＋cos x是偶函数，即该函数的图象关于y轴对称．
5．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选C 由于y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos，为
得到该函数的图象，只需将y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．
6．已知函数y＝3cos(π－x)，则当x＝________时，函数取得最大值．
解析：y＝3cos(π－x)＝－3cos x，当cos x＝－1，即x＝2kπ＋π，k∈Z时，y有最大值3.
答案：2kπ＋π，k∈Z
7．函数?(x)＝3cos(ω＞0)的最小正周期为，则?(π)＝________.
解析：由已知＝得ω＝3，
∴?(x)＝3cos，∴?(π)＝3cos
＝3cos＝－3cos＝－.
答案：－
8．函数y＝ 的定义域是______________________________________．
解析：要使函数有意义，只需2cos x－≥0，
即cos x≥.由余弦函数图象知(如图)，
所求定义域为，k∈Z.
答案：，k∈Z
9．画出函数y＝1＋2cos 2x，x∈[0，π]的简图，并求使y≥0成立的x的取值范围．
解：按五个关键点列表：
2x
0
π
2π
x
0
π
cos 2x
1
0
－1
0
1
1＋2cos 2x
3
1
－1
1
3
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
令y＝0，即1＋2cos 2x＝0，则cos 2x＝－.
∵x∈[0，π]，∴2x∈[0,2π]．
从而2x＝或，∴x＝或.
由图可知，使y≥0成立的x的取值范围是
∪.
10．判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期和单调区间．
(1)y＝3cos 2x；(2)y＝cos.
解：(1)3cos 2(－x)＝3cos(－2x)＝cos 2x，
∴函数y＝3cos 2x是偶函数．
最小正周期T＝π，单调递增区间为(k∈Z)，
递减区间为(k∈Z)．
(2)函数y＝cos的周期为T＝＝，
∵f(x)＝y＝cos＝sinx，
∴f(－x)＝sin＝－sinx＝－f(x)．
∴y＝cos为奇函数．
递增区间为(k∈Z)，
递减区间为(k∈Z)．
层级二 应试能力达标
1．把函数y＝cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )
A．y＝sin 2x B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝cos
解析：选B y＝cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y＝cos 2x的图象；
再把y＝cos 2x的图象沿x轴负方向平移个单位长度，就得到y＝cos 2＝cos的图象．
2．设函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A. B．3
C．6 D．9
解析：选C 将函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，得函数y＝cos＝cos的图象．
∵所得图象与原图象重合，
∴－＝2kπ，k∈Z.
∴ω＝－6k.
当k＝－1时，ωmin＝6.
3．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图，则f(2 017)＝( )
A．－1 B．1
C. D．－
解析：选B 由题图可知，＝2，所以T＝8，所以ω＝.由点(1,1)在函数图象上可得f(1)＝cos＝1，所以＋φ＝2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝.故f(x)＝cos，f(2 017)＝cos＝cos 506π＝cos(253×2π)＝1.
4．函数y＝2sin－cos(x∈R)的最小值等于( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．－
解析：选C ∵＋＝，
∴y＝2sin－cos
＝2cos－cos
＝cos，∴ymin＝－1.
5．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：∵y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，
∴只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．
答案：(－π，0]
6．已知函数y＝2cos，其中x∈，则该函数的值域为________．
解析：∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴≤cos≤1，∴1≤2cos≤2，故该函数的值域为[1,2]．
答案：[1,2]
7．求下列函数式的最值：
(1)y＝3＋2cos；
(2)y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈.
解：(1)∵－1≤cos≤1，
∴当cos＝1时，ymax＝5；
当cos＝－1时，ymin＝1.
(2)y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－.
∵x∈，∴cos x∈.
从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝；
当cos x＝，即x＝时，ymin＝－.
8．求函数y＝3－2cos的对称中心坐标，对称轴方程，以及当x为何值时，y取最大值或最小值．
解：由于y＝cos x的对称中心坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)．
又由2x－＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)；
由2x－＝kπ，得x＝＋(k∈Z)，
故y＝3－2cos的对称中心坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
因为当θ＝2kπ(k∈Z)时，y＝3－2cos θ取得最小值，
所以当2x－＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，
y＝3－2cos取得最小值1.
同理可得当x＝kπ＋(k∈Z)时，
y＝3－2cos取得最大值5.
第二课时 正切函数的图象与性质
预习课本P54～56，思考并完成以下问题
(1)正切函数有哪些性质？
(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？
正切函数y＝tan x的图象与性质
y＝tan x
图象
定义域
值域
R
周期
最小正周期为π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间(k∈Z)内递增
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.( )
(2)正切函数在整个定义域上是增函数．( )
(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )
(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数y＝tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
3．函数f(x)＝tan的单调递增区间为( )
A.，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案：C
4．函数y＝tan x，x∈的值域是________．
答案：[0,1]
正切函数的定义域
[典例] 求下列函数的定义域：
(1)y＝tan；(2)y＝.
[解] (1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)得，
x≠kπ＋，k∈Z，
所以函数y＝tan的定义域为
.
(2)由－tan x≥0得，
tan x≤.
结合y＝tan x的图象可知，
在上，
满足tan x≤的角x应满足－所以函数y＝的定义域为
.
求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
[活学活用]
求函数y＝的定义域．
解：要使函数有意义，则有1＋tan x≠0，
∴tan x≠－1，
∴x≠kπ－且x≠kπ＋，k∈Z.
因此，函数y＝的定义域为
.
与正切函数有关的周期性、奇偶性问题
[典例] (1)求f(x)＝tan的周期；
(2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性．
[解] (1)∵tan＝tan，
即tan＝tan，
∴f(x)＝tan的周期是.
(2)定义域为，关于原点对称，
∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
∴它是奇函数．
与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
[活学活用]
1．函数y＝tan的最小正周期是( )
A．4 B．4π C．2π D．2
解析：选D T＝＝π·＝2.
2．已知函数f(x)＝tan x＋，若f(α)＝5，则f(－α)＝________.
解析：f(x)的定义域为∪(k∈Z)．可知f(x)的定义域关于原点对称．又f(－x)＝tan(－x)＋＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．∴f(－α)＝－f(α)＝－5.
答案：－5
正切函数的单调性及应用
题点一：求单调区间
1．求函数y＝tan的单调区间．
解：y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z.
题点二：比较大小
2．比较tan与tan的大小．
解：tan＝tan＝tan＝－tan，tan＝tan＝tan＝－tan，
∵0<<<，且y＝tan x在内递增，
∴tan ＜tan，∴－tan>－tan，
∴tan>tan.
题点三：求最值或值域
3．已知f(x)＝tan2x－2tan x，求f(x)的值域．
解：令u＝tan x，因为|x|≤，所以u∈[－， ]，
所以函数化为y＝u2－2u.
对称轴为u＝1∈[－， ]．
所以当u＝1时，ymin＝12－2×1＝－1.
当u＝－时，ymax＝3＋2.
所以f(x)的值域为[－1,3＋2 ]．
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
[注意] 正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间(k∈Z)上，都是从－∞增大到＋∞，故正切函数在每一个开区间(k∈Z)上是增函数，但不能说函数y＝tan x在定义域内是增函数．
2．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
层级一 学业水平达标
1．函数y＝－2＋tan的定义域是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选A 由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，解得－π＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z.
2．f(x)＝tan的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
解析：选B 法一：函数y＝tan(ωx＋φ)的周期是T＝，直接套用公式，可得T＝＝.
法二：由诱导公式可得tan＝tan＝tan，所以f＝f(x)，所以周期为T＝.
3．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，则ω＝( )
A．±1 B．1
C．±2 D．2
解析：选A g(x)的最小正周期为π，则＝π，得ω＝±1.
4．函数y＝|tan 2x|是( )
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
解析：选D f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)为偶函数，T＝.
5．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
解析：选D 当x＝时，2x＋＝，而的正切值不存在，所以直线x＝与函数的图象不相交．
6．函数y＝的定义域是___________________________________________．
解析：由1－tan x≥0即tan x≤1结合图象可解得．
答案：(k∈Z)
7．函数y＝tan的单调递增区间是______________________________________．
解析：令kπ－＜2x＋＜kπ＋，k∈Z，
解得－答案：，k∈Z
8．函数y＝3tan(π＋x)，－解析：函数y＝3tan(π＋x)＝3tan x，因为正切函数在上是增函数，所以－3答案：(－3， ]
9．比较下列各组中两个正切函数值的大小．
(1)tan 167°与tan 173°；
(2)tan与tan.
解：(1)∵90°＜167°＜173°＜180°，
又∵y＝tan x在上是增函数，
∴tan 167°＜tan 173°.
(2)∵tan＝－tan＝tan，
tan＝－tan＝tan，
又∵0＜＜＜，函数y＝tan x，x∈是增函数，
∴tan＜tan，
即tan＜tan.
10．已知f(x)＝tan，
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜的φ值．
解：(1)法一：∵y＝tan x的周期是π.
∴y＝tan的周期是.
法二：由诱导公式知：tan
＝tan＝tan，
即f＝f(x)．∴f(x)的周期是.
(2)∵f(x＋φ)＝tan是奇函数，
∴图象关于原点中心对称，
∴＋2φ＝(k∈Z)，∴φ＝－(k∈Z)．
令＜(k∈Z)，
解得－＜k＜，k∈Z.∴k＝－1,0,1，或2.
从而得φ＝－，－，或
层级二 应试能力达标
1．函数y＝的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 要使函数有意义，只要logtan x≥0，即0＜tan x≤1.由正切函数的图象知，kπ＜x≤kπ＋，k∈Z.
2．函数y＝tan(cos x)的值域是( )
A. B.
C．[－tan 1，tan 1] D．以上均不对
解析：选C ∵－1≤cos x≤1，且函数y＝tan x在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x≤tan 1.
即－tan 1≤tan x≤tan 1.
3．函数y＝tan在一个周期内的图象是( )
解析：选A 令y＝tan＝0，则有x－＝kπ，x＝2kπ＋，k∈Z.再令k＝0，得x＝，可知函数图象与x轴一交点的横坐标为.故可排除C、D.令x－＝－，得x＝－，或令x－＝，得x＝.故排除B，选A.
4．方程tan＝在区间[0,2π)上的解的个数是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选B 由tan＝，得2x＋＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝(k∈Z)，又x∈[0,2π)，∴x＝0，，π，.故选B.
5．若tan x＞tan且x在第三象限，则x的取值范围是________．
解析：tan x＞tan＝tan，又x为第三象限角，
∴kπ＋＜x＜kπ＋(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
6．已知函数y＝tan ωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
解析：函数y＝tan ωx在内是单调减函数，则有ω<0，且周期T≥－＝π，即≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0.
答案：[－1,0)
7．已知x∈，求函数y＝＋2tan x＋1的最值及相应的x的值．
解：y＝＋2tan x＋1＝＋2tan x＋1
＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1.
∵x∈，∴tan x∈[－，1]．
当tan x＝－1，即x＝－时，y取得最小值1；
当tan x＝1，即x＝时，y取得最大值5.
8．求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．
解：由x－≠＋kπ，k∈Z，
得x≠＋2kπ，k∈Z，
所以函数y＝tan的定义域为
.
T＝＝2π，
所以函数y＝tan的周期为2π.
由－＋kπ－＋2kπ所以函数y＝tan的单调递增区间为
(k∈Z)．
1．3.3 已知三角函数值求角
预习课本P57～60，思考并完成以下问题
已知三角函数值求角的概念是什么？
已知三角函数值求角的相关概念
(1)已知正弦值求角．
对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记为x＝arcsin_y.
(2)已知余弦值求角．
对于余弦函数y＝cos x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记作x＝arccos_y(－1≤y≤1,0≤x≤π)．
(3)已知正切值求角．
如果正切函数y＝tan x(y∈R)，且x∈，那么对每一个正切值y，在开区间内，有且只有一个角x，使tan x＝y，记为x＝arctan y，x∈.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)arcsin表示上的一个角．( )
(2)若cos α＝，α∈[π，2π]，则α＝arccos.( )
(3)若tan α＝1，则α＝或π.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知α是三角形的内角，且sin α＝，则角α等于( )
A. B. C.或 D.
答案：C
3．设cos α＝－，α∈(0，π)，则α的值可表示为( )
A．arccos B．－arccos
C．π－arccos D．π＋arccos
解析：选C ∵π－arccos ∈(0，π)，
且cos＝－cos＝－，
∴α＝π－arccos.
4．arctan(－1)＝________.
答案：－
已知正弦值求角
[典例] 已知sin x＝，根据下列角的范围求角x(用arcsin y表示)．
(1)x∈；(2)x∈[0,2π]．
[解] (1)∵x∈且sin x＝，
∴x＝arcsin.
(2)∵x∈[0,2π]，sin x＝>0，∴x∈[0，π]．
当x∈?时，x＝arcsin.
当x∈时，∵0≤π－x≤，
即π－x∈?，且sin(π－x)＝sin x
＝，
∴π－x＝arcsin，即x＝π－arcsin.
∴当x∈[0,2π]时，x＝arcsin或x＝π－arcsin.
已知三角函数值求角的步骤
(1)定象限：由已知函数值的正负确定角所在的象限．
(2)找锐角：如果函数值为正，先求出对应的锐角α；若函数值为负值，则先求出与其绝对值相对应的锐角α.
(3)求符合条件的角：根据角所在的象限，利用诱导公式写出[0,2π]范围内的角(α，π－α，π＋α，2π－α )；如果要求出[0,2π]范围外的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值写出结果．
[活学活用]
已知sin x＝，求满足下列条件的x的取值集合：
(1)x∈；(2)x∈；(3)x∈[0,2π]
解：(1)∵x∈，sin x＝，
∴x＝arcsin，在上只有sin＝.
∴x＝，即x的取值集合为.
(2)∵≤x≤，∴－≤x－π≤.
又∵sin(x－π)＝－sin x＝－，
∴x－π＝arcsin＝－arcsin，
∴x－π＝－，∴x＝，故x的取值集合为.
(3)∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限的角．
又∵sin ＝sin＝，
∴在[0,2π]上符合条件的角有x＝或x＝，
∴x的取值集合为.
已知余弦值、正切值求角
[典例] (1)若tan x＝－3，且x∈，则x的值是( )
A．arctan(－3) B．arctan 3
C．π－arctan 3 D．π－arctan(－3)
(2)已知cos α＝－，α∈，则α＝________.
[解析] (1)因为x∈，
所以π－x∈.
又tan(π－x)＝3，所以π－x＝arctan 3.
所以x＝π－arctan 3.故选C.
(2)由余弦函数在[0，π]上是减函数和cos α＝－可知，
在[0，π]内符合条件的角有且只有一个arccos，
即arccos∈[0，π]．
又∵cos α＝－＜0，
∴arccos∈.
∴0＜π－arccos＜.
∴π＜π＋π－arccos＜，
即π＜2π－arccos＜.
∴α＝2π－arccos.
[答案] (1)C (2)2π－arccos
三角函数值与角之间的对应关系
(1)余弦函数值与角之间的对应关系.
cos x＝a(|a|≤1)
x∈[0，π]
x∈[0,2π]
x＝arccos a
x1＝arccos a
x2＝2π－arccos a
(2)正切函数值与角之间的对应关系.
tan x＝a
(a∈R)
x∈
x∈[0,2π)
x＝arctan a
a≥0
a＜0
x1＝arctan a
x2＝π＋arctan a
x1＝π＋arctan a x2＝2π＋arctan a
[活学活用]
1．已知cos x＝，解析：∵cos x＝，由cos＝cos＝知，x＝2π－＝，
∴符合条件的角为.
答案：π
2.＝________.
解析：∵arcsin＝，arccos＝，
arctan(－)＝－，∴原式＝＝＝1.
答案：1
3．已知tan x＝，x∈[0,2π]，求角x.
解：由tan x＝，x∈[0,2π]，知x在第一或第三象限，故所求的值有两个：x＝arctan或x＝π＋arctan.
层级一 学业水平达标
1．使arcsin(1－x)有意义的x的取值范围是( )
A．[1－π，1] B．[0,2]
C．(－∞，1] D．[－1,1]
解析：选B 由题知应有－1≤1－x≤1，∴0≤x≤2.
2．cos的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选B ∵在上，arcsin ＝，
∴cos＝cos＝.
3．方程cos x＋＝0，x∈[0,2π]的解集是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 在[0,2π]内，cos ＝cos ＝－cos ＝－.
4．若tan α＝，且α∈，则α＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵tan＝，又α∈，
∴α＝π＋＝.
5．已知sin x＝－，x∈，则x等于( )
A．arcsin B．π－arcsin
C．π＋arcsin D.－arcsin
解析：选C ∵x∈，∴x＝π＋arcsin .
6．若sin(x－π)＝－，且－2π＜x≤0，则角x＝________.
解析：∵sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x＝－，
∴sin x＝.∴x＝2kπ＋或2kπ＋π(k∈Z)．
又－2π答案：－π或－π
7．若α∈(0,2π)，tan α＝1，cos α＝－，则α＝________.
解析：由已知，得α是第三象限的角．又α∈(0,2π)，tan ＝1，cos ＝－，
∴α＝.
答案：
8．已知等腰三角形的顶角为arccos，则底角的正切值是________．
解析：∵arccos＝，
∴底角为＝.∴tan＝.
答案：
9．求方程tan x＝－，x∈(－π，π)的解集．
解：∵tan＝－tan＝－，
tan＝－tan ＝－，
－，π－＝都在(－π，π)内，
∴方程tan x＝－，x∈(－π，π)的解集为.
10．已知cos＝－，x∈[0,2π]，求x的集合．
解：令θ＝2x＋，∴cos θ＝－.
当0≤θ≤π时，θ＝，
当π≤θ≤2π时，θ＝.
∴当x∈R时，θ＝∈R，
∴2x＋`＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z) .
又x∈[0,2π]，∴x∈.
层级二 应试能力达标
1．若tan x＝0，则x等于( )
A．kπ，k∈Z B．kπ＋，k∈Z
C．2kπ＋，k∈Z D．2kπ－，k∈Z
解析：选A ∵tan x＝0，∴x＝kπ＋arctan 0＝kπ，k∈Z.
2．若cos(π－x)＝，x∈(－π，π)，则x的值等于( )
A.， B．±
C．± D．±
解析：选C 由cos(π－x)＝－cos x＝得，cos x＝－.又∵x∈(－π，π)，∴x在第二或第三象限，
∴x＝±.
3．已知sin x＝－，且x∈，则x可以表示为( )
A．arcsin B．－＋arcsin
C．－π＋arcsin D．－π＋arcsin
解析：选D ∵x∈且sin x＝－，
∴π＋x∈且sin(π＋x)＝.
∴π＋x＝arcsin，x＝－π＋arcsin.
4．若x∈，则使等式cos(πcos x)＝0成立的x的值是( )
A. B.或
C.或 D.或或
解析：选D 由已知得πcos x＝kπ±(k∈Z)，
∴cos x＝k±(k∈Z)，而|cos x|≤1，
故cos x＝±.又x∈，∴x＝或或.
5．方程2cos＝1在区间(0，π)内的解是________．
解析：∵2cos＝1，∴cos＝.
∵x∈(0，π), ∴x－∈，
∴x－＝，∴x＝.
答案：
6．集合A＝，B＝，则A∩B＝________.
解析：∵sin x＝，∴x＝2kπ＋或2kπ＋π，k∈Z.
又∵tan x＝－，∴x＝kπ－，k∈Z.
∴A∩B＝.
答案：
7．已知函数f(x)＝cos ωx，g(x)＝sin(ω＞0)，且g(x)的最小正周期为π.若f(α)＝，α∈[－π，π]，求α的值．
解：因为g(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，
所以＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝cos 2x.
由f(α)＝，得cos 2α＝，
即cos 2α＝，所以2α＝2kπ±，k∈Z，
则α＝kπ±，k∈Z.
因为α∈[－π，π]，
所以α∈.
8．若角A是△ABC的一个内角，且sin A＋cos A＝，求角A.
解：∵sin A＋cos A＝，①
∴(sin A＋cos A)2＝，
即sin Acos A＝－＜0.②
∴sin A，cos A异号．
又A是△ABC的内角，0＜A＜π，
∴sin A＞0，cos A＜0，
∴A为钝角．由①②知，
sin A，cos A是方程x2－x－＝0的两个根，
解得sin A＝，cos A＝－.
∴A＝arccos.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．y＝sin 是( )
A．周期为6π的奇函数 B．周期为的奇函数
C．周期为6π的偶函数 D．周期为3π的偶函数
解析：选A y＝sin 为奇函数，T＝＝6π，故选A.
2．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )
A．3 B．6
C．18 D．36
解析：选C ∵l＝αr，∴6＝1×r.
∴r＝6.
∴S＝lr＝×6×6＝18.
3．若－＜α＜0，则点P(tan α，cos α)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B ∵－＜α＜0，∴tan α<0，cos α＞0，
∴点P(tan α，cos α)位于第二象限．
4．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B ∵角θ的终边过(4，－3)，
∴cos θ＝.
∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－.
5．函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是( )
解析：选B 取x＝0，则y＝1，排除C、D；取x＝，则y＝0，排除A，选B.
6．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是( )
A. B．－
C．－2 D．2
解析：选A 由＝5，得12cos α＝6sin α，
即tan α＝2，所以sin2α－sin αcos α＝＝＝.
7．函数y＝tan的值域为( )
A．[－1,1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
解析：选B ∵x∈且x≠0，
∴－x∈且－x≠，
即－x∈∪，
当－x∈时，y≥1；
当－x∈时，y≤－1，
∴函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
8．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式为( )
A．y＝sin x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选C 将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x变为x，即可得y＝sin，然后将其图象向左平移个单位，即将x变为x＋.
∴y＝sin＝sin.
9.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是( )
A．A＝3，T＝2π B．B＝－1，ω＝2
C．T＝4π，φ＝－ D．A＝3，φ＝
解析：选C 由题图可知T＝2＝4π，
A＝(2＋4)＝3，B＝－1.
∵T＝4π，∴ω＝.
令×＋φ＝，得φ＝－.
10．设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的图象关于点对称
C．把f(x)的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
解析：选C 当x＝时，2x＋＝π，f(x)＝sin π＝0，不合题意，A不正确；
当x＝时，2x＋＝，f(x)＝sin＝，B不正确；
把f(x)的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin＝sin＝cos 2x，是偶函数，C正确；
当x＝时，f＝sin ＝1，当x＝时，f＝sin ＝＜1，在上f(x)不是增函数，D不正确．
11.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由图象可得T＝π－π，∴T＝π，则ω＝2.又图象过点，∴2sin＝2，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin，其单调递增区间为(k∈Z)，取k＝1，即得选项D.
12．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为( )
A．41米 B．43米
C．78米 D．118米
解析：选B 摩天轮转轴离地面高160－＝82(米)，ω＝＝，摩天轮上某个点P离地面的高度h(米)与时间t(分钟)的函数关系是h＝82－78cos t，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h＝82－78cost＝82－78×＝43(米)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．arctan＋arcsin＝________.
解析：∵arctan＝，arcsin＝－，
∴arctan＋arcsin＝0.
答案：0
14．已知sin(π－α)＝－，且α∈，则tan(2π－α)＝________.
解析：sin(π－α)＝sin α＝－，
∵α∈，
∴cos α＝＝，
tan(2π－α)＝－tan α＝－＝.
答案：
15．已知函数y＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝1和y＝2所得的线段长分别为m，n，则m，n的大小关系是________．
解析：∵两条直线所截得的线段长都为y＝tan ωx(ω＞0)的最小正周期，∴m＝n＝.
答案：m＝n
16．将函数f(x)＝2sin(ω＞0)的图象向左平移个单位得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为______．
解析：根据题意得g(x)＝2sin ωx，又y＝g(x)在上为增函数，∴≥，即ω≤2，所以ω的最大值为2.
答案：2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知cos＝，
求＋
的值．
解：因为cos＝－sin θ，所以sin θ＝－.
原式＝＋＝＋＝＝＝8.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
解：(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，
∴sin＝±1.
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，
因此y＝sin.
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝sin的单调增区间为
，k∈Z.
19．(本小题满分12分)函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值．
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，
所以2x＋∈，
于是当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin＋1(其中0＜ω＜1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．
(1)试求ω的值．
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象．
解：(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，
所以－＋＝kπ，k∈Z，
所以ω＝－3k＋，k∈Z.
因为0＜ω＜1，所以k＝0，ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋1，x∈[－π，π]．
列表如下，
x＋
－
－
0
π
x
－π
－
－
π
y
0
－1
1
3
1
0
则函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象如图所示．
21．(本小题满分12分)已知f(x)＝3sin－1.
(1)f(x)的图象是由y＝sin x的图象如何变换而来？
(2)求f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x的值．
解：(1)将函数y＝sin x图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y＝3sin x的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝3sin 2x的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝3sin的图象，再把所得函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f(x)＝3sin－1的图象．
(2)最小正周期T＝π，由2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
当2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，
即x＝＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值2.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式．
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
解：(1)设f(x)的最小正周期为T，
得T＝－＝2π，所以ω＝1，
易知B＞0，又解得
令ω·＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
且－＜φ＜，得φ＝－，
所以f(x)＝2sin＋1.
(2)因为函数f(kx)＝2sin＋1的周期为，
又k＞0，所以k＝3.
令t＝3x－，因为x∈，所以t∈，如图：
sin t＝s在t∈上有两个不同的解必须满足s∈，所以方程y＝f(kx)(k＞0)在x∈时恰好有两个不同的解必须满足m∈[＋1,3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．
复习课(一) 任意角的三角函数及三角恒等变换
三角函数的定义
(1)题型多以选择题、填空题为主，一般难度较小．主要考查三角函数的定义的应用，多与求三角函数值或角的大小有关．
(2)若角α的终边上任意一点P(x，y)(原点除外)，r＝|OP|＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
[典例] 已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，则sin α＝________，tan α＝________.
[解析] ∵θ∈，∴cos θ＜0，∴r＝＝＝－5cos θ，故sin α＝＝－，tan α＝＝－.
[答案] － －
[类题通法]
利用三角函数定义求函数值的方法
当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．
求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．
1．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由三角函数的定义知：
tan α＝＝＝＝－.
又sin ＞0，cos ＜0.
所以α是第四象限角，因此α的最小正值为.
2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B 在角θ的终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)．
则r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2.
所以cos2 θ＝＝，
cos 2θ＝2cos2 θ－1＝－1＝－.
3．若θ是第四象限角，则点P(sin θ，tan θ)在第________象限．
解析：因θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0，
∴点P(sin θ，tan θ )在第三象限．
答案：三
同角三角函数间的基本关系及诱导关系
(1)题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查三角函数式的化简与求值，利用公式进行恒等变形以及基本运算能力．
(2)①牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．
②诱导公式可概括为k ·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．
[典例] 已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．
[解] 法一：由已知＝－4，
∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，
解得tan θ＝2.
∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ )
＝4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θ
＝
＝＝＝.
法二：由已知＝－4，
解得tan θ＝2.
即＝2，∴sin θ＝2cos θ.
∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)
＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)
＝cos2θ＝＝＝.
[类题通法]
三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧
(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．
(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．
(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．
1．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A sin(π－α)＝sin α＝－，又α∈，
所以sin＝cos α＝－
＝－ ＝－.
2．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝ ( )
A. B.
C. D.
解析：选B 1＋sin θcos θ＝
＝
＝，
又tan θ＝2，
所以1＋sin θcos θ＝＝.
3．计算：sin cos＝________.
解析：因为sin ＝sin＝－sin ＝－，
cos＝cos＝cos＝cos＝，
所以sin cos＝－×＝－.
答案：－
4．已知sin(180°＋α)＝－，0°＜α＜90°，
求的值．
解：由sin(180°＋α)＝－，0°<α<90°，
得sin α＝，cos α＝，
∴原式＝
＝＝＝2.
简单的三角恒等变换
(1)题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查给角求值、给值求值、给值求角、三角函数式的化简以及利用三角恒等变换研究函数的性质等．
(2)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
②cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β；
③tan(α±β)＝.
(3)二倍角的正弦、余弦、正切公式
①sin 2α＝2sin αcos α；
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝.
[典例] (广东高考)已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
[解] (1)tan＝
＝＝－3.
(2)
＝
＝＝＝1.
[类题通法]
解决条件求值应学会的三点
(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．
(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．
(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．
1．(重庆高考)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A tan β＝tan [(α＋β)－α]
＝
＝＝.
2．计算：coscos＝________.
解析：coscos＝cossin＝sin＝.
答案：
3．已知0＜α＜，0＜β＜，且tan(α＋β)＝2tan α.
4tan＝1－tan2，则α＋β＝________.
解析：∵4tan＝1－tan2，
∴tan α＝＝＝，
∴tan(α＋β)＝2tan α＝2×＝1.
∵0＜α＜，0＜β＜，∴α＋β∈，∴α＋β＝.
答案：
4．在△ABC中，sin B＝cos A，若sin C－sin Acos B＝，且B为钝角，求A，B，C.
解：因为sin C－sin Acos B＝sin[180°－(A＋B)]－sin Acos B＝sin(A＋B)－sin Acos B
＝sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B
＝cos Asin B，
所以cos Asin B＝.
因sin B＝cos A，因此sin2B＝.
又B为钝角，所以sin B＝，
故B＝120°.
由cos A＝sin B＝，
知A＝30°.
从而C＝180°－(A＋B)＝30°.
综上所述，A＝30°，B＝120°，C＝30°.
1．若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是( )
A．2 B．±2
C．－2 D．－2
解：选D r＝ ，由题意得＝－，
∴x＝－2.故选D.
2．若－2π＜α＜－，则 的值是( )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
解析：选D ＝
＝ ＝，
∵－2π＜α＜－，∴－π＜＜－，
∴cos ＜0，∴＝－cos .
3．若α∈，且sin2(3π＋α)＋cos 2α＝，则tan α的值等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵sin2(3π＋α)＋cos 2α＝，∴sin2α＋(1－2sin2α)＝， 即cos2α＝. 又α∈，∴cos α＝，则α＝，∴tan α＝tan ＝，故选D.
4．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为( )
A．－5 B．－6
C．－7 D．－8
解析：选D ∵sin α－cos α＝－，
∴1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝－，
∴tan α＋＝＋＝＝－8.
5．若3sin α＋cos α＝0，则的值为( )
A. B.
C. D．－2
解析：选A ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－，
∴＝＝＝＝，故选A.
6．已知sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，则cos 2β的值为( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选C 由题意知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝，所以cos 2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝.
7．在0°～720°中与角终边相同的角为________．
解析：因为π＝π×°＝72°，
所以终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，
当k＝0时，θ＝72°；
当k＝1时，θ＝432°，
所以在0°～720°中与角终边相同的角为72°，432°.
答案：72°，432°
8．已知α为钝角，sin＝，则sin＝__________________________________.
解析：因为cos＝sin＝，
所以cos＝.
因为α为钝角，即＜α＜π，
所以－＜－α＜－，
所以sin＜0，
则sin＝－ ＝－.
答案：－
9．已知θ为第二象限角，tan 2θ＝－2，则
＝________.
解析：∵tan 2θ＝＝－2，
∴tan θ＝－或tan θ＝.
∵＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z，
∴tan θ＜0，∴tan θ＝－，
＝
＝＝＝＝3＋2.
答案：3＋2
10．求值：.
解：
＝
＝
＝＝.
11．已知cos α－sin α＝，且π＜α＜，求的值．
解：∵cos α－sin α＝，∴1－2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝.
又∵α∈，
∴sin α＋cos α＝－＝－，
∴＝
＝＝＝－.
12．已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，
α∈，且a⊥b.
(1)求tan α的值；
(2)求cos的值．
解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，
故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，
由于cos α≠0, ∴6tan2α＋5tan α－4＝0，
解得tan α＝－或tan α＝.
∵α∈，∴tan α＜0，∴tan α＝－.
(2)∵α∈，∴∈.
由tan α＝－，求得tan ＝－或tan ＝2(舍去)．
∴sin ＝，cos ＝－，
∴cos＝coscos－sinsin
＝－×－×
＝－.
