17.1 一元二次方程同步练习
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17.1 一元二次方程同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是２的整式方程,叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般形式为ax２＋bx＋c＝０(a≠０) ,其中 ax２叫二次项,a是二次项的系数;bx叫一次项,b是一次项系数,c叫常数项,a、b、c是任意实数,且a≠０．
3.判断一个方程是否为一元二次方程,不能光看其表面形式,要根据整理(去括号,移项,合并同类项)以后的结果来确定．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．若关于x的方程(a＋1)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A. a≠－1 B. a＞－1 C. a＜－1 D. a≠0
2．下列方程是一元二次方程的是 （ ）
A. EMBED Equation.DSMT4 B.
C. D.
3．方程(x－1)(x＋3)＝12化为ax2＋bx＋c＝0的形式后，a，b，c的值分别为（ ）
A. 1，2，－15 B. 1，－2，－15 C. －1，－2，－15 D. －1，2，－15
4．关于x的一元二次方程（3－x）（3＋x）－2a（x＋1）＝5a的一次项系数为（ ）
A. 8a B. －8a C. 2a D. 7a－9
5．设一个奇数为x，与相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( )
A. x(x＋2)＝323 B. x(x－2)＝323
C. x(x＋1)＝323 D. x(x－2)＝323或x(x＋2)＝323
6．若m是方程x2+x-1=0的根，则2m2+2m+2016的值为（ ）
A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019
7．若 EMBED Equation.DSMT4 ，代数式的值是( )
A. B. C. -3 D. 3
8．下列说法正确的是（ ）
A. 方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程
B. 方程3x2=4的常数项是4
C. 若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根
D. 当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解
二、填空题
9．当m______时，方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0是关于x的一元一次方程；当m______时，上述方程才是关于x的一元二次方程.
10．若一元二次方程（a≠0）有一个根为1，则_________；若有一个根是-1，则b与、c之间的关系为________；若有一个根为0，则c=_________.
11．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=______．
12．方程2(x＋2)＋8＝3x(x－1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．
三、解答题
13．试证：不论k取何实数，关于x的方程 (k2 -6k +12)x2 = 3 - (k2 -9)x必是一元二次方程.
14．若（m+1）+6-2=0是关于x的一元二次方程，求m的值．
15．已知关于x的方程2mx2-mx-x2+m+2=0
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
16．学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
（1）它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
（2）它的二次项系数为5
（3）常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
17．有这样的题目：把方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：
(1)下面式子中是方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式的是________．(只填写序号)
①x2－x－2＝0，②－ x2＋x＋2＝0，③x2－2x＝4，④－x2＋2x＋4＝0，⑤x2－2x－4＝0.
(2)方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？
参考答案
1．A
【解析】根据一元二次方程的定义可得a+1≠0，即a≠－1，故选A.
2．A
【解析】试题解析：A.是一元二次方程.正确.
B.含有分式，不符合题意,故错误.
C. 含有分式，不符合题意,故错误.
D. 含有分式，不符合题意,故错误.
故选A.
点睛：含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程.
3．A
【解析】试题分析：去括号可得： ，化简可得： ，即a=1，b=2，c=-15，故本题选A．
4．C
【解析】试题解析：∵(3 x)(3+x) 2a(x+1)=5a，
∴一次项系数是：2a.
故选C.
5．D
【解析】其中一个奇数为x，
当这个奇数为较大的奇数时，根据题意可列方程为x（x-2）=323；
如果这个奇数为较小的奇数时，根据题意可列方程为x（x+2）=323，
故选D.
6．C
【解析】试题解析：依题意得：m2+m-1=0，
则m2+m=1，
所以2m2+2m+2016=2（m2+m）+2016=2×1+2016=2018．
故选：C．
7．B
【解析】先解一元二次方程变为a2-2a=3代入代数式求值即可.
解：∵a2-2a-3=0，∴a2-2a=3，
原式=.
故选B.
8．C
【解析】试题解析：
A选项，若 ，则方程不为一元二次方程，故错误；
B选项，对原方程进行移项可得 ，常数项为 ，故错误；
C选项，根据韦达定理 ，则方程的根 至少有一个为0，故正确；
D选项，在一元二次方程中 ，一次项系数为0，但方程的根为，故错误.
所以本题应选C.
9． =1 ≠1
【解析】试题解析：当时，方程是关于的一元一次方程；当时，上述方程才是关于的一元二次方程.
故答案为：
点睛：只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.
10． 0; ; 0.
【解析】由一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)有一个根为1，
将x=1代入方程得：a+b+c=0；
由方程有一根为 1，将x= 1代入方程得：a b+c=0，即b=a+c；
由方程有一根为0，将x=0代入方程得：c=0，
故答案为：0；b=a+c；0
点睛：本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
11．-1
【解析】∵方程(m 1)x|m|+1 3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=1，m 1≠0，
解得：m= 1.
故答案为： 1.
12． 3x2－5x－12＝0 3 －5 －12
【解析】2(x＋2)＋8＝3x(x－1)，
2x+4+8=3x2-3x，
3x2-5x-12=0，
其中二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-12，
故答案为：3x2-5x-12=0；3；-5；-12.
13．见解析
【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
试题解析：∵k2-6k+12=（k-3）2+3＞0，
且未知数的最高次数是2；是整式方程；含有一个未知数，
∴不论k取何实数，关于x的方程(k2－6k＋12)x2＝3－(k2－9)x必是一元二次方程．
14．m=1
【解析】【试题分析】根据一元二次方程的定义，要求未知数的次数最高为二次，且二次项的系数不为0，即，解得m=1．
【试题解析】
因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+1）x|m|+1一定是此二次项．
所以得到，
解得m=1．
【方法点睛】本题目考查一元二次方程的基本定义，要求未知数的最高次项为2次项，且二次项的系数不为0，这两点是解决问题的关键.
15．（1）m=；（2）m≠;二次项系数2m-1、一次项系数是-m；常数项是m+2.
【解析】试题分析：（1）把原方程化为一般形式，根据一元一次方程的概念解答；
（2）根据一元二次方程的一般形式解答即可．
（1）原方程变形为：（2m-1）x2-mx+m+2=0，
点睛：熟练掌握一元二次方程的一般形式, 一元一次方程的定义是解答本题的关键.
16．这个方程是5x2－2x－=0（答案不唯一）
【解析】试题分析：本题主要考查一元二次方程的定义，由（2）（3）可确定 的值，任意给出 的值即可得到所求方程.
试题解析：由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定，而的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．
这个方程是5x2－2x－=0.
17．(1) ①②④⑤;(2)见解析
【解析】试题分析：（1）把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以-1，-2，2 即可变形得到正确选项；
（2）通过观察可找到的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有的关系是，二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．
试题解析：（1）x2－x＝2，移项得： x2－x-2=0，所以①是一般形式，①两边同乘-1，得：－x2＋x＋2＝0，故②是一般形式，③不是一般形式，①两边同乘-2得：－x2＋2x＋4＝0，故④是一般形式，①两边同乘2得： x2－2x－4＝0，故⑤是一般形式，
故答案为：①②④⑤；
（2） 若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数项＝1∶－2∶－4).
【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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17.1 一元二次方程同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是２的整式方程,叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般形式为ax２＋bx＋c＝０(a≠０) ,其中 ax２叫二次项,a是二次项的系数;bx叫一次项,b是一次项系数,c叫常数项,a、b、c是任意实数,且a≠０．
3.判断一个方程是否为一元二次方程,不能光看其表面形式,要根据整理(去括号,移项,合并同类项)以后的结果来确定．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．若关于x的方程(a＋1)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A. a≠－1 B. a＞－1 C. a＜－1 D. a≠0
2．下列方程是一元二次方程的是 （ ）
A. EMBED Equation.DSMT4 B.
C. D.
3．方程(x－1)(x＋3)＝12化为ax2＋bx＋c＝0的形式后，a，b，c的值分别为（ ）
A. 1，2，－15 B. 1，－2，－15 C. －1，－2，－15 D. －1，2，－15
4．关于x的一元二次方程（3－x）（3＋x）－2a（x＋1）＝5a的一次项系数为（ ）
A. 8a B. －8a C. 2a D. 7a－9
5．设一个奇数为x，与相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( )
A. x(x＋2)＝323 B. x(x－2)＝323
C. x(x＋1)＝323 D. x(x－2)＝323或x(x＋2)＝323
6．若m是方程x2+x-1=0的根，则2m2+2m+2016的值为（ ）
A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019
7．若 EMBED Equation.DSMT4 ，代数式的值是( )
A. B. C. -3 D. 3
8．下列说法正确的是（ ）
A. 方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程
B. 方程3x2=4的常数项是4
C. 若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根
D. 当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解
二、填空题
9．当m______时，方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0是关于x的一元一次方程；当m______时，上述方程才是关于x的一元二次方程.
10．若一元二次方程（a≠0）有一个根为1，则_________；若有一个根是-1，则b与、c之间的关系为________；若有一个根为0，则c=_________.
11．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=______．
12．方程2(x＋2)＋8＝3x(x－1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．
三、解答题
13．试证：不论k取何实数，关于x的方程 (k2 -6k +12)x2 = 3 - (k2 -9)x必是一元二次方程.
14．若（m+1）+6-2=0是关于x的一元二次方程，求m的值．
15．已知关于x的方程2mx2-mx-x2+m+2=0
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
16．学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
（1）它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
（2）它的二次项系数为5
（3）常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
17．有这样的题目：把方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：
(1)下面式子中是方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式的是________．(只填写序号)
①x2－x－2＝0，②－ x2＋x＋2＝0，③x2－2x＝4，④－x2＋2x＋4＝0，⑤x2－2x－4＝0.
(2)方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？
参考答案
1．A
【解析】根据一元二次方程的定义可得a+1≠0，即a≠－1，故选A.
2．A
【解析】试题解析：A.是一元二次方程.正确.
B.含有分式，不符合题意,故错误.
C. 含有分式，不符合题意,故错误.
D. 含有分式，不符合题意,故错误.
故选A.
点睛：含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程.
3．A
【解析】试题分析：去括号可得： ，化简可得： ，即a=1，b=2，c=-15，故本题选A．
4．C
【解析】试题解析：∵(3 x)(3+x) 2a(x+1)=5a，
∴一次项系数是：2a.
故选C.
5．D
【解析】其中一个奇数为x，
当这个奇数为较大的奇数时，根据题意可列方程为x（x-2）=323；
如果这个奇数为较小的奇数时，根据题意可列方程为x（x+2）=323，
故选D.
6．C
【解析】试题解析：依题意得：m2+m-1=0，
则m2+m=1，
所以2m2+2m+2016=2（m2+m）+2016=2×1+2016=2018．
故选：C．
7．B
【解析】先解一元二次方程变为a2-2a=3代入代数式求值即可.
解：∵a2-2a-3=0，∴a2-2a=3，
原式=.
故选B.
8．C
【解析】试题解析：
A选项，若 ，则方程不为一元二次方程，故错误；
B选项，对原方程进行移项可得 ，常数项为 ，故错误；
C选项，根据韦达定理 ，则方程的根 至少有一个为0，故正确；
D选项，在一元二次方程中 ，一次项系数为0，但方程的根为，故错误.
所以本题应选C.
9． =1 ≠1
【解析】试题解析：当时，方程是关于的一元一次方程；当时，上述方程才是关于的一元二次方程.
故答案为：
点睛：只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.
10． 0; ; 0.
【解析】由一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)有一个根为1，
将x=1代入方程得：a+b+c=0；
由方程有一根为 1，将x= 1代入方程得：a b+c=0，即b=a+c；
由方程有一根为0，将x=0代入方程得：c=0，
故答案为：0；b=a+c；0
点睛：本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
11．-1
【解析】∵方程(m 1)x|m|+1 3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=1，m 1≠0，
解得：m= 1.
故答案为： 1.
12． 3x2－5x－12＝0 3 －5 －12
【解析】2(x＋2)＋8＝3x(x－1)，
2x+4+8=3x2-3x，
3x2-5x-12=0，
其中二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-12，
故答案为：3x2-5x-12=0；3；-5；-12.
13．见解析
【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
试题解析：∵k2-6k+12=（k-3）2+3＞0，
且未知数的最高次数是2；是整式方程；含有一个未知数，
∴不论k取何实数，关于x的方程(k2－6k＋12)x2＝3－(k2－9)x必是一元二次方程．
14．m=1
【解析】【试题分析】根据一元二次方程的定义，要求未知数的次数最高为二次，且二次项的系数不为0，即，解得m=1．
【试题解析】
因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+1）x|m|+1一定是此二次项．
所以得到，
解得m=1．
【方法点睛】本题目考查一元二次方程的基本定义，要求未知数的最高次项为2次项，且二次项的系数不为0，这两点是解决问题的关键.
15．（1）m=；（2）m≠;二次项系数2m-1、一次项系数是-m；常数项是m+2.
【解析】试题分析：（1）把原方程化为一般形式，根据一元一次方程的概念解答；
（2）根据一元二次方程的一般形式解答即可．
（1）原方程变形为：（2m-1）x2-mx+m+2=0，
点睛：熟练掌握一元二次方程的一般形式, 一元一次方程的定义是解答本题的关键.
16．这个方程是5x2－2x－=0（答案不唯一）
【解析】试题分析：本题主要考查一元二次方程的定义，由（2）（3）可确定 的值，任意给出 的值即可得到所求方程.
试题解析：由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定，而的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．
这个方程是5x2－2x－=0.
17．(1) ①②④⑤;(2)见解析
【解析】试题分析：（1）把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以-1，-2，2 即可变形得到正确选项；
（2）通过观察可找到的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有的关系是，二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．
试题解析：（1）x2－x＝2，移项得： x2－x-2=0，所以①是一般形式，①两边同乘-1，得：－x2＋x＋2＝0，故②是一般形式，③不是一般形式，①两边同乘-2得：－x2＋2x＋4＝0，故④是一般形式，①两边同乘2得： x2－2x－4＝0，故⑤是一般形式，
故答案为：①②④⑤；
（2） 若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数项＝1∶－2∶－4).
【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
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