17.2 一元二次方程的解法（1）同步练习
文档属性
| 名称 | 17.2 一元二次方程的解法（1）同步练习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 349.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-03-03 19:36:28 | ||
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文档简介
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17.2 一元二次方程的解法（1）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
直接开平方法
利用开方的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法．它是一元二次方程的最基本的解法．
(１)x２＝a(a≥０),解得x＝ ±．
(２)(x＋a)２＝b(b≥０),解得x＝－a±．
(３)(ax＋b)２＝c(a≠０且c≥０),解得ax＋b＝ ±,从而x＝．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．能用直接开平方法求解的方程是( )
A. x2+3x+1=0 B. x2-2x+3=0 C. x2+x-1=0 D. x2-4=0
2．要使代数式3x2－6的值等于21，则x的值是（ ）
A. 3 B. －3 C. ±3 D. ±
3．一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A. x－6＝4 B. x－6＝－4 C. x＋6＝4 D. x＋6＝－4
4．方程（x+1）2-3=0的根是（ ）
A. x1=1+ EMBED Equation.DSMT4 ，x2=1- B. x1=1+，x2=-1+
C. x1=-1+，x2=-1- D. x1=-1-，x2=1+
5．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程的解为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题
6．若2（x2+3）的值与3（1- x2）的值互为相反数，则x值为_________
7．方程（x﹣1）2=4的解为_____．
8．若代数式3x2＋1的值等于28，则x的值为___________．
9．若（x2+ y2-5）2=4，则x2+ y2=__________
10．如果一元二方程有一个根为0，则m= ___________;
三、解答题
11．用直接开平方法解方程：
(1) 4(x－2)2－36＝0；
(2) x2＋6x＋9＝25；
(3) 4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.
12．自由下落物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h＝4.9t2，现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要多少秒？
13．已知关于x的一元二次方程2x2－3k+4=0的一个根是1，求k的值和方程的另一根．
14．某种冰箱经两次降价后从原来的每台2500元降为每台1600元，求平均每次降价的百分率．
15．在实数范围内定义一种新运算“#”，其规则时：a#b=a2﹣b2．
（1）求4#3与（﹣1）#（﹣2）的值；
（2）求（x+2）#5=0中的x值．
16．随着中国特色的社会主义“新时代”的到来，小轿车已进入普通人民群众的生活。一辆小轿车新购置时价值是18万元，若第一年后使用折旧20%，以后其折旧率有所变化，现知第三年这辆轿车折旧后值11.664万元，求这辆轿车在第二、三年中的平均年折旧率.
17．某蔬菜有限公司一年四季都有大量新鲜蔬菜销往全国各地，近年来它的蔬菜产值不断增加，2014年蔬菜的产值是640万元，2016年产值达到1000万元.
（1）求2015年、2016年蔬菜产值的平均增长率是多少？
（2）若2017年蔬菜产值继续稳定增长（即年增长率与前两年的年增长率相同），那么请你估计2017年该公司的蔬菜产值达到多少万元？
18．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定＝ad－bc，上述记法就叫做二阶行列式．若＝6，求x的值．
参考答案
1．D
【解析】要能用直接开平方法，方程形式必须符合(x+a）2=b（b≥0），仅有D选项移项后变为x2=4，符合此形式.
故选D.
点睛：直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程.
2．C
【解析】试题分析：根据题意可知： ，移项可得： ，两边同除以3可得： ，两边直接开平方可得： ，故本题选C．
3．D
【解析】(x＋6)2＝16，直接开平方得x＋6＝±4，即x+6=4或x+6=-4.
故选D.
4．C
【解析】解：（x+1）2=3，∴x+1=，∴x=．故选C．
5．A
【解析】试题解析：当1≤x＜2时，=1，解得x1=，x2=﹣；
当x=0，=0，x=0；
当﹣1≤x＜0时，=﹣1，方程没有实数解；
当﹣2≤x＜﹣1时，=﹣1，方程没有实数解；
所以方程的解为0或．故选A．
6．±3
【解析】解：由题意得：2（x2+3）+3（1- x2）=0，整理得：－x2+9=0，∴ ，∴x=±3．故答案为：±3．
7．x1=3，x2=﹣1
【解析】试题解析：（x﹣1）2=4，
即x﹣1=±2，
所以x1=3，x2=﹣1．
故答案为：x1=3，x2=﹣1．
8．3或－3
【解析】根据题意得3x2＋1=28，即3x2=27，所以x=3或-3.
故答案为3或-3.
9．3或7
【解析】解：（x2+ y2-5）2=4，∴x2+ y2-5=±2，∴x2+ y2-5=2或x2+ y2-5=－2，∴x2+ y2=7或x2+ y2=3．故答案为：3或7．
10．-2
【解析】把x=0代入一元二次方程（m-2）x2+3x+m2-4=0，得m2-4=0，即m=±2．又m-2≠0，m≠2，取m=-2．
11．(1) x1＝5，x2＝－1；（2）x1＝－8，x2＝2；（3）x1＝－，x2＝－
【解析】试题分析：
（1）先移项，系数化为1后，再用直接开平方求解；
（2）左边因式分解为一个完全平方式后，再用直接开平方法求解；
（3）先移项，再用直接开平方法求解.
试题解析：
(1) 4(x－2)2－36＝0，(x－2)2=9，x-2=±3，所以x1＝5，x2＝－1；
(2) x2＋6x＋9＝25，(x+3)2=25，x+2=±5，所以x1＝－8，x2＝2；
(3) 4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0，2(3x-1)=±3(3x+1)，所以x1＝－，x2＝－.
12．2秒.
【解析】试题分析：
把h=19.6代入到方程h＝4.9t2中求t.
试题解析：
当h＝19.6时，4.9t2＝19.6，解得t1＝2，t2＝－2(不合题意，舍去)，∴t＝2，
答：铁球到达地面需要2秒.
13．k=2，x=2．
【解析】试题分析：把x=1代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值，再把k的值代入原方程，解方程即可求得方程的另一个根.
试题解析：依题意，得
2×12-3k+4=0，即2-3k+4=0，
解得，k=2，
则原方程为：2x2-2=0，解得：x1=1，x2=-1，
所以方程的另一个根为x=-1.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．此题是通过代入法列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值，然后再把k代入原方程，解方程求得方程另外的解.
14．20%
【解析】试题解析：设降价的百分率为x,由题意得
解得 (舍).
所以平均每次降价的百分率为20%.
故答案为：20%.
15．（1）7，－3；（2）x1=3或x2=﹣7．
【解析】试题分析：根据a#b=a2﹣b2，可得答案．
试题解析：解：（1）4#3=42﹣32=7，（﹣1）#（﹣2）=（﹣1）2﹣（﹣2）2=﹣3；
（2）由题意得：（x+2）2﹣52=0，解得x+2=±5，∴ x1=3，x2=﹣7．
16．这辆轿车在第二、三年中的平均年折旧率为10%.
【解析】试题分析：设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为18（1-20%）（1-x）元，第三年折旧后的而价格为18（1-20%）（1-x）2元，与第三年折旧后的价格为11.664万元建立方程求出其解即可．
试题解析：设第二、三年平均年折旧率为x.由题意得
18(1-20%)(1-x)2=11.664
(1-x)2=0.81
解方程，得：x1=0.1，x2=1.9(舍去)
x=0.1=10%
答：这辆车第二、三年的年折旧率为10%．
17．（1）2015、2016年蔬菜产值的年平均增长率为25％；
（2）2017年该公司的蔬菜产值将达到1250万元.
【解析】试题分析：对于（1），设2015年、2016年蔬菜产值的年平均增长率为x，则2015年的产值是640(1+x)万元，2016年的产值是640(1+x)2万元，结合2016年产值达到1000万元列方程求解；
对于（2），根据（1）求解的结果，进一步列式1000×(1+25%)，计算即可确定答案．
解：（1）设2015年、2016年蔬菜产值的年平均增长率为，
则有，
解得： （舍去），，
∴2015、2016年蔬菜产值的年平均增长率为25％.
（2）1000×（1+25％）=1250(万元)
∴2017年该公司的蔬菜产值将达到1250万元
点睛：本题考查了一元一次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n =b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
18．x1＝，x2＝－
【解析】试题分析：
根据二阶行列式的规定列出方程，解这个方程求x的值.
试题解析：
解：由题意得(x＋1)(x＋1)－(1－x)(x－1)＝6，
整理得2x2＋2＝6，∴x2＝2，解得x1＝，x2＝－.
点睛：本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，首先要能读懂题目关于二阶行列式的定义，根据这个定义列出一元二次方程，化简整理为x2=p的形式，再用直接开平方法来求解.
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17.2 一元二次方程的解法（1）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
直接开平方法
利用开方的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法．它是一元二次方程的最基本的解法．
(１)x２＝a(a≥０),解得x＝ ±．
(２)(x＋a)２＝b(b≥０),解得x＝－a±．
(３)(ax＋b)２＝c(a≠０且c≥０),解得ax＋b＝ ±,从而x＝．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．能用直接开平方法求解的方程是( )
A. x2+3x+1=0 B. x2-2x+3=0 C. x2+x-1=0 D. x2-4=0
2．要使代数式3x2－6的值等于21，则x的值是（ ）
A. 3 B. －3 C. ±3 D. ±
3．一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A. x－6＝4 B. x－6＝－4 C. x＋6＝4 D. x＋6＝－4
4．方程（x+1）2-3=0的根是（ ）
A. x1=1+ EMBED Equation.DSMT4 ，x2=1- B. x1=1+，x2=-1+
C. x1=-1+，x2=-1- D. x1=-1-，x2=1+
5．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程的解为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题
6．若2（x2+3）的值与3（1- x2）的值互为相反数，则x值为_________
7．方程（x﹣1）2=4的解为_____．
8．若代数式3x2＋1的值等于28，则x的值为___________．
9．若（x2+ y2-5）2=4，则x2+ y2=__________
10．如果一元二方程有一个根为0，则m= ___________;
三、解答题
11．用直接开平方法解方程：
(1) 4(x－2)2－36＝0；
(2) x2＋6x＋9＝25；
(3) 4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.
12．自由下落物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h＝4.9t2，现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要多少秒？
13．已知关于x的一元二次方程2x2－3k+4=0的一个根是1，求k的值和方程的另一根．
14．某种冰箱经两次降价后从原来的每台2500元降为每台1600元，求平均每次降价的百分率．
15．在实数范围内定义一种新运算“#”，其规则时：a#b=a2﹣b2．
（1）求4#3与（﹣1）#（﹣2）的值；
（2）求（x+2）#5=0中的x值．
16．随着中国特色的社会主义“新时代”的到来，小轿车已进入普通人民群众的生活。一辆小轿车新购置时价值是18万元，若第一年后使用折旧20%，以后其折旧率有所变化，现知第三年这辆轿车折旧后值11.664万元，求这辆轿车在第二、三年中的平均年折旧率.
17．某蔬菜有限公司一年四季都有大量新鲜蔬菜销往全国各地，近年来它的蔬菜产值不断增加，2014年蔬菜的产值是640万元，2016年产值达到1000万元.
（1）求2015年、2016年蔬菜产值的平均增长率是多少？
（2）若2017年蔬菜产值继续稳定增长（即年增长率与前两年的年增长率相同），那么请你估计2017年该公司的蔬菜产值达到多少万元？
18．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定＝ad－bc，上述记法就叫做二阶行列式．若＝6，求x的值．
参考答案
1．D
【解析】要能用直接开平方法，方程形式必须符合(x+a）2=b（b≥0），仅有D选项移项后变为x2=4，符合此形式.
故选D.
点睛：直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程.
2．C
【解析】试题分析：根据题意可知： ，移项可得： ，两边同除以3可得： ，两边直接开平方可得： ，故本题选C．
3．D
【解析】(x＋6)2＝16，直接开平方得x＋6＝±4，即x+6=4或x+6=-4.
故选D.
4．C
【解析】解：（x+1）2=3，∴x+1=，∴x=．故选C．
5．A
【解析】试题解析：当1≤x＜2时，=1，解得x1=，x2=﹣；
当x=0，=0，x=0；
当﹣1≤x＜0时，=﹣1，方程没有实数解；
当﹣2≤x＜﹣1时，=﹣1，方程没有实数解；
所以方程的解为0或．故选A．
6．±3
【解析】解：由题意得：2（x2+3）+3（1- x2）=0，整理得：－x2+9=0，∴ ，∴x=±3．故答案为：±3．
7．x1=3，x2=﹣1
【解析】试题解析：（x﹣1）2=4，
即x﹣1=±2，
所以x1=3，x2=﹣1．
故答案为：x1=3，x2=﹣1．
8．3或－3
【解析】根据题意得3x2＋1=28，即3x2=27，所以x=3或-3.
故答案为3或-3.
9．3或7
【解析】解：（x2+ y2-5）2=4，∴x2+ y2-5=±2，∴x2+ y2-5=2或x2+ y2-5=－2，∴x2+ y2=7或x2+ y2=3．故答案为：3或7．
10．-2
【解析】把x=0代入一元二次方程（m-2）x2+3x+m2-4=0，得m2-4=0，即m=±2．又m-2≠0，m≠2，取m=-2．
11．(1) x1＝5，x2＝－1；（2）x1＝－8，x2＝2；（3）x1＝－，x2＝－
【解析】试题分析：
（1）先移项，系数化为1后，再用直接开平方求解；
（2）左边因式分解为一个完全平方式后，再用直接开平方法求解；
（3）先移项，再用直接开平方法求解.
试题解析：
(1) 4(x－2)2－36＝0，(x－2)2=9，x-2=±3，所以x1＝5，x2＝－1；
(2) x2＋6x＋9＝25，(x+3)2=25，x+2=±5，所以x1＝－8，x2＝2；
(3) 4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0，2(3x-1)=±3(3x+1)，所以x1＝－，x2＝－.
12．2秒.
【解析】试题分析：
把h=19.6代入到方程h＝4.9t2中求t.
试题解析：
当h＝19.6时，4.9t2＝19.6，解得t1＝2，t2＝－2(不合题意，舍去)，∴t＝2，
答：铁球到达地面需要2秒.
13．k=2，x=2．
【解析】试题分析：把x=1代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值，再把k的值代入原方程，解方程即可求得方程的另一个根.
试题解析：依题意，得
2×12-3k+4=0，即2-3k+4=0，
解得，k=2，
则原方程为：2x2-2=0，解得：x1=1，x2=-1，
所以方程的另一个根为x=-1.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．此题是通过代入法列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值，然后再把k代入原方程，解方程求得方程另外的解.
14．20%
【解析】试题解析：设降价的百分率为x,由题意得
解得 (舍).
所以平均每次降价的百分率为20%.
故答案为：20%.
15．（1）7，－3；（2）x1=3或x2=﹣7．
【解析】试题分析：根据a#b=a2﹣b2，可得答案．
试题解析：解：（1）4#3=42﹣32=7，（﹣1）#（﹣2）=（﹣1）2﹣（﹣2）2=﹣3；
（2）由题意得：（x+2）2﹣52=0，解得x+2=±5，∴ x1=3，x2=﹣7．
16．这辆轿车在第二、三年中的平均年折旧率为10%.
【解析】试题分析：设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为18（1-20%）（1-x）元，第三年折旧后的而价格为18（1-20%）（1-x）2元，与第三年折旧后的价格为11.664万元建立方程求出其解即可．
试题解析：设第二、三年平均年折旧率为x.由题意得
18(1-20%)(1-x)2=11.664
(1-x)2=0.81
解方程，得：x1=0.1，x2=1.9(舍去)
x=0.1=10%
答：这辆车第二、三年的年折旧率为10%．
17．（1）2015、2016年蔬菜产值的年平均增长率为25％；
（2）2017年该公司的蔬菜产值将达到1250万元.
【解析】试题分析：对于（1），设2015年、2016年蔬菜产值的年平均增长率为x，则2015年的产值是640(1+x)万元，2016年的产值是640(1+x)2万元，结合2016年产值达到1000万元列方程求解；
对于（2），根据（1）求解的结果，进一步列式1000×(1+25%)，计算即可确定答案．
解：（1）设2015年、2016年蔬菜产值的年平均增长率为，
则有，
解得： （舍去），，
∴2015、2016年蔬菜产值的年平均增长率为25％.
（2）1000×（1+25％）=1250(万元)
∴2017年该公司的蔬菜产值将达到1250万元
点睛：本题考查了一元一次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n =b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
18．x1＝，x2＝－
【解析】试题分析：
根据二阶行列式的规定列出方程，解这个方程求x的值.
试题解析：
解：由题意得(x＋1)(x＋1)－(1－x)(x－1)＝6，
整理得2x2＋2＝6，∴x2＝2，解得x1＝，x2＝－.
点睛：本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，首先要能读懂题目关于二阶行列式的定义，根据这个定义列出一元二次方程，化简整理为x2=p的形式，再用直接开平方法来求解.
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