17.2 一元二次方程的解法（2）同步练习

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17.2 一元二次方程的解法（2）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
利用配方法解一元二次方程
(１)通过配成 完全平方式形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法．
(２)①将二次项系数化为１:将方程两边同时除以二次项系数 ．
②配方:方程左边右边同时加上一次项系数一半的平方,使方程左边成为一个完全平方式 ．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为(　　)
A. (x－3)2＝ EMBED Equation.DSMT4 B. 3(x－1)2＝ C. (x－1)2＝ D. (3x－1)2＝1
2．已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（ ）
A. M＜N B. M=N C. M＞N D. 不能确定
3．把方程x2+x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得方程是（ ）
A. （x+）2= B. （x+）2= C. （x+）2= D. （x+）2=
4．若一元二次方程的x2﹣2x﹣3599=0两根为a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为（ ）
A．﹣57 B．63 C．179 D．181
5．当x取何值时，代数式x2－6x－3的值最小？( )
A. 0 B. －3 C. 3 D. －9
6．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A. 3 B. -3 C. ±3 D. 以上都不对
7．如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+5，则p的最小值是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
8．若将方程x2－8x＝7化为(x－m)2＝n，则m＝________.
9．已知实数 EMBED Equation.DSMT4 满足，则代数式的值为________．
10．已知方程x2+4x+n=0可以配方成（x+m）2=3，则（m﹣n）2016=______．
11．如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是______
12．若实数a，b满足a+b2=1，则a2+b2的最小值是______．
三、解答题
13．用配方法解方程，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．
解：方程两边都除以2并移项，得，
配方，得，
即，
解得，
即．
14．用配方法解下列方程：
（1）x2+2x-8=0 （2）x2+12x-15=0
（3）x2-4x=16 （4）x2=x+56
15．如果a、b为实数，满足+b2－12b+36=0，求ab的值．
16．试证：不论k取何实数，关于x的方程 (k2 -6k +12)x2 = 3 - (k2 -9)x必是一元二次方程.
17．如果x2－4x+y2+6y++13=0，求的值．
18．已知实数a满足，求的值.
19．已知代数式，-2x2+4x-18
（1）用配方法说明无论x取何值，代数式的值总是负数。
（2）当x为何值时，代数式有最大值，最大值是多少？
20．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤______开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
21．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；
（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．
参考答案
1．C
【解析】∵3x2－6x＋1＝0，
∴3x2－6x＝-1，
∴x2－2x＝ ，
∴x2－2x+1＝+1 ，
∴(x-1)2=.
故选C.
点睛：本题考查了配方法解一元二次方程，其步骤是：①转化：将方程化为ax2+bx+c=0的形式；②移项：将常数项移到等号的右边，即ax2+bx=-c；③系数化1：将二次项系数化为1，即化为的形式；④配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，即；⑤整理：把左边写成完全平方式， ；⑥开方：两边开平方求出未知数的值.
2．A
【解析】试题解析：
故选A.
3．D
【解析】解： ， ， ．故选D．
点睛：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．181
【解析】x2﹣2x=3599，
x2﹣2x+1=3600
（x﹣1）2=3600，
x﹣1=±60，
所以a=61，b=﹣59，
所以2a﹣b=2×61﹣（﹣59）=181．
故答案为181．
5．C
【解析】x2－6x－3= x2－6x+32－32－3=（x－3）2－12，当x=3时，此时（x－3）2－12最小为－12.
故选C.
点睛：掌握配方法的应用以及偶次方的非负性.
6．C
【解析】解：∵x2+2mx+m2=（x+m）2，∴在x2+6x+m2中，6x=±2mx，m=±3．故选C．
点睛：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
7．B
【解析】解：p=a2+2b2+2a+4b+5=（a+1）2+2（b+1）2+2≥2，故选B．
点睛：本题考查配方法的应用、非负数的性质．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用配方法和非负数的性质解答．
8．4
【解析】试题分析：配方得x2－8x＋16＝23，
即(x－4)2＝23，
∴m＝4．
故答案为4．
点睛：用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2＋px＋q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2＋bx＋c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2＋px＋q＝0，然后配方．
9．2
【解析】∵4x2-4x+l=0，
∴(2x-1)2=0
∴2x-1=0,
∴ ,
∴2x+ =1+1=2.
10．1
【解析】由(x+m)2=3，得：
x2+2mx+m2 3=0，
∴2m=4，m2 3=n，
∴m=2，n=1，
∴(m n)2016=1，
故答案为：1.
11．
【解析】解方程： ，得 ，
∴.
∵一个三角形的三边均满足方程 ，
∴此三角形是以5为边长的等边三角形，
∴三角形的面积= °=.
故答案是： .
12．
【解析】∵a+b2=1，
∴b2=1 a，
∴a2+b2=a2+1 a=(a )2+，
∵(a 1)2 0，
∴(a 1)2+ ，
故答案为： .
13．．
【解析】试题分析：上面过程不对，错在配方一步，改正即可.
试题解析：
解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下：
配方，得x2－x+=15+，
即（x－）2=，
解得x－=±,
即x1=3，x2=.
点睛：二次项系数化为1后，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方.
14．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】试题分析：（1）常数项移到等号的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；
（2）常数项移到等号的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；
（3）两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；
（4）整理成一般式，常数项移到等号的右边后，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案.
试题解析：（1）x2+2x-8=0，
x2+2x=8，
x2+2x+12=8+12，即(x+1)2=9，
则x+1=±3，
x= 1±3，
即；
（2）x2+12x-15=0，
x2+12x=15，
x2+12x+62=15+62，即(x+6)2=51，
则x+6=±，
x= 6±，
即；
（3）x2-4x=16，
x2-4x+22=16+22，即(x-2)2=20，
则x-2=±，
x=2±，
；
（4）x2=x+56，
x2-x+2=56+2，
（2=，
则x-=±，
x-=±+，
即.
15．-8
【解析】试题分析：将原式化为+（b－6）2=0，由此可得，分别求出a、b的值即可求出ab.
试题解析：
解：原等式可化为+（b－6）2=0，∴，
∴a=，b=6，∴ab=－8.
故答案为－8.
点睛：若多个非负数之和为0，那么每个非负数都必为0 .
16．见解析
【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
试题解析：∵k2-6k+12=（k-3）2+3＞0，
且未知数的最高次数是2；是整式方程；含有一个未知数，
∴不论k取何实数，关于x的方程(k2－6k＋12)x2＝3－(k2－9)x必是一元二次方程．
17．
【解析】试题分析：
观察分析可知，原式可化为：，即：，由此可求得“三个未知数”的值，再代入式子：中计算即可.
试题解析：
∵，
∴，
∴，
∴ ，解得： ，
∴.
点睛：象本题这种一个方程中含有多个“未知数”的情形，通常需先把原方程转化为：几个非负数的和等于0的形式；然后根据“几个非负数的和为0，则这几个数都为0”列出方程组就可求出未知数的值.
18．3或-1
【解析】试题分析：
由这一关系可把原等式化为： 的形式，再把看做一个整体解方程即可.
试题解析：
∵，
∴原等式可变形为： ，
∴，
∴=3或=-1.
点睛：解本题有两个要点：（1）利用关系式：“”把原式转化成： 的形式；（2）把看做一个整体来解.
19．⑴证明见解析⑵-16
【解析】试题分析：（1）根据配方法的步骤把代数式-2x2+4x-18进行配方，即可得出答案；
（2）根据（1）的结果即可直接得出代数式的最大值．
试题解析：（1）∵-2x2+4x-18=-2（x2-2x+9）=-2（x2-2x+1+8）=-2（x-1）2-16，
-2（x-1）2≤0，
∴-2（x-1）2-16＜0，
∴-2x2+4x-18无论x取何值，代数式的值总是负数；
（2）∵-2x2+4x-18=-2（x-1）2-16，
∴当x=1时，代数式有最大值，最大值是-16．
20．⑤
【解析】试题分析：
（1）移项要变号；
（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.
试题解析：
（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，
故答案为：⑤；
（2）x2+2nx﹣8n2=0，
x2+2nx=8n2，
x2+2nx+n2=8n2+n2，
（x+n）2=9n2，
x+n=±3n，
x1=2n，x2=﹣4n．
21．（1）4；（2）7；（3）2
【解析】试题分析：（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；
（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；
（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．
试题解析：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，
∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，
∴（a+3b）2+（b+1）2=0，
∴a+3b=0，b+1=0，
解得b=-1，a=3，
则a-b=4；
（2）∵2a2+b2-4a-6b+11=0，
∴2a2-4a++2+b2-6b+9=0，
∴2（a-1）2+（b-3）2=0，
则a-1=0，b-3=0，
解得，a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴△ABC的周长为1+3+3=7；
（3）∵x+y=2，
∴y=2-x，
则x（2-x）-z2-4z=5，
∴x2-2x+1+z2+4z+4=0，
∴（x-1）2+（z+2）2=0，
则x-1=0，z+2=0，
解得x=1，y=1，z=-2，
∴xyz=2．
点睛：本题主要考查的是配方法的应用和三角形三边的关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边的关系是解题的关键.
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