17.2 一元二次方程的解法（4）同步练习

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17.2 一元二次方程的解法（4）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１.因式分解法
(１)概念:通过因式分解,将一个一元二次方程转化为两个因式的积等于０来求解的方法．
(２)理论依据:如果两个因式的积等于０, ( http: / / www.21cnjy.com )那么这两个因式中至少有一个等于０,即若a.b＝０,则a＝０或b＝０ ;反之,若两个因式中有一个等于０,它们的积就等于０．
２.一元二次方程的解法
一元二次方程共有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法．
基础知识和能力拓展精练
一、择选题
1．方程2(2x＋1)(x－3)＝0的两根分别为(　　)
A. x1＝，x2＝3 B. x1＝－，x2＝3
C. x1＝，x2＝－3 D. x1＝－，x2＝－3
2．若代数式2x2＋6x－3与x2＋4的值相等，则x的值为(　　)
A. 1或－7 B. －1或7 C. 1或7 D. －1或－7
3．方程 EMBED Equation.DSMT4 的解是（ ）
A. B. x1=0，x2=-3 C. x1=1,x2=-3 D. x1=1， x2=-37．
4．解方程2(x－1) 2＝3(1－x)最合适的方法是 ( )
A. 配方法 B. 公式法 C. 因式分解法 D. 无法确定
5．用因式分解法解一元二次方程x(x－1)－2(1－x)＝0，变形后正确的是( )
A. (x＋1)(x＋2)＝0 B. (x＋1)(x－2)＝0
C. (x－1)(x－2)＝0 D. (x－1)(x＋2)＝0
6．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
7．根据图中的程序，当输入方程x2=2x的解x时，输出结果y=（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A. -4 B. 2 C. -4或2 D. 2或-2
8．若（a2+b2）（a2+b2-2）=8，则a2+b2的值为（　　）
A. 4或-2 B. 4 C. -2 D. -4
9．三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35=0的根，则三角形的周长为（　　）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 12或14
10．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A. 3或﹣2 B. 3 C. ﹣2 D. ﹣3或2
二、填空题
11．若实数a、b满足，则=__________．
12．方程x2－2x－3＝0的解为__________.
13．若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣9x+20=0的根，则△ABC的周长是______．www.21-cn-jy.com
14．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（ ( http: / / www.21cnjy.com )a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数对（x，-2x）放入其中，得到一个新数为8，则x=___________．
15．关于x的一元二次方程的一个根的值为3，则另一个根的值是_____．
16．若代数式4x2－2x－5与2x2＋1的值互为相反数，则x的值是____．
17．已知(a+b)2-2(a+b)-3=0，则a+b=_______________.
三、解答题
18．解方程：
(1)(x＋8)2＝36； (2)x(5x＋4)－(4＋5x)＝0；
(3)x2＋3＝3(x＋1)； (4)2x2－x－1＝0.
19．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，求三角形ABC的周长．【来源：21·世纪·教育·网】
20．先化简，再求值：
，其中a满足.
21．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0.
（1）求m的值；
（2）求方程的解.
22．若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4×2×6=48
（1）求3※5的值；
（2）求x※x+2※x-2※4=0中x的值；
（3）若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．
参考答案
1．B
【解析】∵2(2x＋1)(x－3)＝0，
∴(2x＋1)=0或(x－3)＝0，
∴2x＋1=0或x－3=0，
∴x=－或x=3.
故选B.
2．A
【解析】由题意得2x2＋6x－3=x2＋4，
x2＋6x－7=0，
（x-1）(x+7)=0.
解得，选A.
3．C
【解析】原方程可化为：x（x+3）-（x+3）=0
即（x-1）（x+3）=0
解得x1=1，x2=-3
故选C．
4．C
【解析】首先观察方程，左右两边都含有相同的 ( http: / / www.21cnjy.com )因式x－1，所以解方程时首先移项，得2(x－1) 2－3(1－x)=0，即2(x－1) 2+3(x－1)=0，然后将等号左边因式分解即提取公因式x－1得（x－1）[2（x－1）+3]=0，分别令等号左边两个因式为0，即可解出x.
故选C.
点睛：解一元二次方程时首先观察方程的特点，然后选择最合适的方法解方程.
5．D
【解析】x(x－1)+2(x-1)＝0，
提取公因式得(x－1)(x＋2)＝0.
所以选D.
6．A
【解析】试题分析：∵，
∴，
即，，
①等腰三角形的三边是2，2，5，
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，
三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．故选A．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．
7．C
【解析】解：x2=2x，x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，∴x=0或x=2．
当x=0时，y=x﹣4=0﹣4=﹣4；
当x=2时，y=﹣x+4=﹣2+4=2．故选C．
8．B
【解析】解： EMBED Equation.DSMT4 ，∴，∴或（舍去），∴．故选B．
9．A
【解析】解方程： 得： ，
（1）当第三边长为5时，∵3+4>5，∴此时能围成三角形，三角形的周长为：3+4+5=12；
（2）当第三边长为7时，∵3+4=7，∴此时不能围成三角形；
故选A.
点睛：涉及三角形三边的问题，求出三边的可能长度之后，要用三角形三边间的关系去检验看能否围成三角形，再得结论.21世纪教育网版权所有
10．A
【解析】由题意可得： ，解得： ，
∵当时， ，
当时， ，
∴的值为3或-2.
故选A.
11．或1．
【解析】试题解析：设=x，则由原方程，得：，
整理，得：，
解得，．
则的值是或1．
故答案为：或1．
12．x1＝3，x2＝－1
【解析】x2－2x－3＝0,
(x-3)(x+1)=0,
x-3=0或x+1=0，
∴x1＝3，x2＝－1.
13．9．
【解析】解：（x﹣4）（x ( http: / / www.21cnjy.com )﹣5）=0，x﹣4=0或x﹣5=0，所以x1=4，x2=5．∵△ABC的两边长分别为2和3，∴第三边为4，∴△ABC的周长为2+3+4=9．故答案为：9．
14．-5或1
【解析】解：根据题意得x2﹣2（﹣2x ( http: / / www.21cnjy.com )）+3=8，整理得x2+4x﹣5=0，（x+5）（x﹣1）=0，所以x1=﹣5，x2=1．故答案为：﹣5或1．21·cn·jy·com
点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因 ( http: / / www.21cnjy.com )式分解法，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2·1·c·n·j·y
15．-2
【解析】由题意把代入方程得：
，解得： ，
∴原方程为： ，解此方程得： ，
∴原方程的另一根为：-2.
16．1或－
【解析】由题意得：4x2－2x－5+2x2＋1=0，解得：x=1或x=-，
故答案为：1或-.
17．3或－1
【解析】把a+b看做一个整体,十字相乘,
(a+b)2-2(a+b)-3=0,
(a+b-3)(a+b+1)=0,
a+b-3=0,a+b+1=0,
所以a+b=3,a+b=-1.
点睛：换元法，把某个式子看做整体， ( http: / / www.21cnjy.com )通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性． 21教育网
18．(1)x1=-2, x2=-14; (2) X1=1, EMBED Equation.DSMT4 ；(3) x1=3， x2=0 ； (4) .
【解析】试题分析：（1）利用直接开平方法.(2)利用因式分解法.(3) 利用因式分解法.(4)利用十字相乘法.21·世纪*教育网
试题解析：
解方程：(1)(x＋8)2＝36；
x＋8＝6,
.
(2)x(5x＋4)－(4＋5x)＝0；
(4＋5x)(x-1)=0,
.
(3)x2＋3＝3(x＋1)；
,
x (x-3)=0,
.
(4)2x2－x－1＝0
（2x+1）(x-1)=0,
.
点睛：一元二次方程的解法（1）直接开平方法（2）配方法，所有方程适用（3）公式法，所有方程适用，（4）因式分解法，可因式分解的方程适用.www-2-1-cnjy-com
19．14.
【解析】试题分析：将x=2代入方程找出关于m ( http: / / www.21cnjy.com )的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论．
试题解析：解：将x=2代入方程，得：4﹣4m+3m=0，解得：m=4．
当m=4时，原方程为x2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )8x+12=（x﹣2）（x﹣6）=0，解得：x1=2，x2=6，∵2+2=4＜6，∴此等腰三角形的三边为6、6、2，∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=14．2-1-c-n-j-y
点睛：本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系找出三角形的三条边长是解题的关键．21*cnjy*com
20．
【解析】试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a是方程a2+2a﹣24=0的根求出a的值，把a的值代入进行计算即可．【来源：21cnj*y.co*m】
试题解析：原式=
=
=，
∵a满足a2+2a﹣24=0，
∴a=4（舍）或a=﹣6，
当a=﹣6时代入求值，原式=．
21．（1） EMBED Equation.DSMT4 的值为1或2；（2）当时，方程的解为；当时，方程的解为， .
【解析】试题分析：
（1）由题意可得： ，解此方程可得的值；
（2）把（1）中求得的的值代入原方程，再解所得方程可得原方程的解.
试题解析：
（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，
∴ m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2，
∴m的值为1或2；
（2）当m=2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得：
x2+5x=0，解得：x1=0，x2=﹣5；
当m=1时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得：
5x=0，解得x=0.
综上所述，当时，方程的解为；当时，方程的解为， .
22．(1) x1=2，x2=-4;(2) x1=2，x2=-4;(3)
【解析】试题分析：要注意a※b=4ab新定义的运算方法，把已知数按照运算法则代入即可求值，后两问将数值代入后得到了两个方程，解方程即可．21cnjy.com
试题解析：解：（1）∵a※b=4ab，∴3※5=4×3×5=60；
（2）由x※x+2※x﹣2※4=0得，4x2+8x﹣32=0，即x2+2x﹣8=0，∴x1=2，x2=﹣4；
（3）由a*x=x得，4ax=x，无论x为何值总有4ax=x，∴a=．
点睛：此题主要还是考查了方程的解题方法以及技巧，难易程度适中．
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