17.4 一元二次方程的根与系数的关系同步练习

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17.4 一元二次方程的根与系数的关系同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
(１)内容:如果ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的两个根为x１、x２,那么x１＋x２＝－, x１·x２＝．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)变形:当a＝１时,方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)可化为x２＋px＋q＝０的形式, 则有:x１＋x２＝ －p ,x１.x２＝q ．21·世纪*教育网
(3) 由根与系数的关系求得一元二次方程中待定系数的值,必须使得b２－４ac≥０．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．已知m，n是方程x2＋2 x＋1＝0的两根，则代数式的值为(　　)
A. 9 B. 4 C. 3 D. 5
2．下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是( )
A. x +x+2=0 B. x +x-2=0 C. x -x+2=0 D. x -x-2=0
3．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（　　）
A. -4 B. -2 C. 4 D. 2
4．关于x的方程ax2－(3a＋1)x＋ ( http: / / www.21cnjy.com )2(a＋1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1－x1x2＋x2＝1－a，则a的值是(　　)
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 2
5．若关于x的一元二次方程（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且，则的值是（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A. 3 B. ﹣3 C. 5 D. ﹣5
6．已知，则的最小值是（ ）。
A. 6 B. 3 C. -3 D. 0
7．设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A. 2014 B. 2015 C. 2016 D. 2017
8．对于一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0），下列说法中错误的是（　　）
A. 当a＞0，c＜0时，方程一定有实数根
B. 当c=0时，方程至少有一个根为0
C. 当a＞0，b=0，c＜0时，方程的两根一定互为相反数
D. 当abc＜0时，方程的两个根同号，当abc＞0时，方程的两个根异号
9．设， 是方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的两个实数根，则 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( ) .
A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019
10．若 ( http: / / www.21cnjy.com )是方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的两个根，且 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的值为（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com )或2 B. 1或 ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. 1
二、填空题
11．若关于的一元二次方程有一个根为，则另一个根为__________．
12．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为_____．
13．已知， 是一元二次方程的两个实数根，如果， 满足不等式，且为整数，则__________．【版权所有：21教育】
14．已知在等腰三角形ABC中，BC＝8，AB，AC的长为方程x2－10x＋m＝0的根，则m＝_________．
15．若一元二次方程x2－x－1＝0的两根分别为x1，x2，则 EMBED Equation.DSMT4 ＝ 　　　　　．
16．已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③＜a2＋b2.则正确结论的序号是______(填序号)．
三、解答题
17．已知关于x的一元二次方程 EMBED Equation.DSMT4 有两个不相等的实数根， ．
（1）求的取值范围；
（2）若， 满足，且为整数，求的值．
18．设m是不 ( http: / / www.21cnjy.com )小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1，x2．21*cnjy*com
（1）若，求的值；
（2）求的最大值．
19．关于x的一元二次方程有两个不等实根，．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根，满足，求k的值．
20．已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根．
（1）求x1，x2 的值；
（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
21．设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．
(1)x12＋x22； (2) ； (3)x12＋x22－3x1x2.
22．已知关于x的方程有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
23．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”。
（1）请问一元二次方程x2－3x＋2＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由。
（2）若一元二次方程ax2＋bx－6＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求a、b的值？
参考答案
1．C
【解析】由题意得m+n=-2,mn=1，
.
所以选C.
2．D
【解析】解：A．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故错误；
B．两根之和=－1，故错误；
C．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故错误；
D．两根之和=1，故正确．
故选D．
3．D
【解析】试题解析: 设关于x的一元二次方程的另一个根为t，则
解得t=2.
故选D.
点睛：一元二次方程两根分别是
4．B
【解析】由根与系数的关系知，x1+x2=, x1x2=，
x1－x1x2＋x2＝1－a,
,
,
a=,
代入原方程，a=1时，有两个相等的实数根.
所以a=-1.
选B.
点睛：一元二次方程根与系数的关系：
ax2+bx+c=0(a,
,
如果题目中有关于两个根的和，两个根的积，可以利用一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值.
5．D
【解析】试题解析：∵a、b为方程（p≠0）的两个不相等的实数根，∴a+b=3，ab=p，∵，∴，∴p=﹣3．21世纪教育网版权所有
当p=﹣3时，△=9﹣4p=9+12=21＞0，∴p=﹣3符合题意．
====﹣5．故选D．
6．A
【解析】试题分析：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，
∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，
∴m＋n＝2a，mn＝2，
∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－)2－3，
∵a≥2，
∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，
∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6，
故选A．
点睛：本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
7．C
【解析】解：∵a，b是方程x2+x﹣201 ( http: / / www.21cnjy.com )7=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，a2+a﹣2017=0，∴a2=﹣a+2017，∴a2+2a+b=﹣a+2017+2a+b=2017+a+b=2017﹣1=2016．故选C．
点睛：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则 EMBED Equation.DSMT4 ， ．也考查了一元二次方程的解．
8．D
【解析】解：A．正确．当a＞0，c＜0时，△=b2﹣4ac＞0，则方程一定有实数根；
B．正确．当c=0时，则ax2+bx=0，则方程至少有一个根为0；
C．正确．当a＞0，b=0，c＜0时，方程两根为x1，x2，x1+x2==0，则方程的两根一定互为相反数；www-2-1-cnjy-com
D．错误．当ac＜0时，方程的两个根异号，当ac＞0时，方程的两个根同号．
故选D．
9．C
【解析】先根据一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的解的定义得到x12=x1+2017，再计算x31=x21+2017x1=2018x1– 2017，则原式可化简2018（x1+x2），然后利用根与系数的关系求解.
解：∵x1是方程x2–x–2017=0的实数根，
∴x21=x1+2017，
∴x31=x21+2017x1=x1+2017+2017x1=2018x1+2017，
∴原式=2018x1+2017+2018x2-2017=2018（x1+x2），
∵x1，x2是方程x2-x-2017=0的两实数根，
∴x1+x2=1，
∴原式=2018.
∴故选C．
考点：一元二次方程的解；根与系数的关系．
10．D
【解析】试题解析：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=2m，x1 x2=m2﹣m﹣1．
∵x1+x2=1﹣x1x2，
∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，
解得：m1=﹣2，m2=1．
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根，
∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0，
解得：m≥﹣1．
∴m=1．
故选D．
考点：根与系数的关系．
11．-6
【解析】试题解析: 设关于x的一元二次方程的另一个根为t，则
解得t= 6.
故答案为：
点睛：一元二次方程两根分别是
12．0
【解析】根据题意得α+β=3，αβ =﹣4，
所以原式=α（α+β）﹣3α=3α﹣3α=0，
故答案为：0．
13．-2或-1
【解析】根据题意得x1+x2=1，x1x2=，
∵7+4x1x2>x12+x22，
∴7+4x1x2>(x1+x2)2 2x1x2，
即7+6x1x2>(x1+x2)2，
∴7+6 >1，解得m> 3，
∴ 3∴整数m的值为 2， 1.
14．25或16
【解析】解：当AB=BC=8，把x=8 ( http: / / www.21cnjy.com )代入方程得64﹣80+m=0，解得m=16，此时方程为x2﹣10x+16=0，解得x1=8，x2=2；当AB=AC，则AB+AC=10，所以AB=AC=5，则m=5×5=25．故答案为：25或16．www.21-cn-jy.com
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=，也考查了三角形三边的关系．2-1-c-n-j-y
15．-1
【解析】∵一元二次方程： 的两根是，
∴，
∴.
点睛：不解方程，求含有一元二次方程两根的代数式的值时，通常分两步完成：（1）由方程得到： 、的值（前提是“根的判别式△ ”）；（2）把要求值的代数式变形为用含“”和“”表达的形式，再代值计算即可.21教育名师原创作品
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16．①②
【解析】Δ＝（a＋b）2－4（ab－1）＝（a－b）2＋4＞0，故方程有两个不相等的实数根，即x1≠x2，故①正确.∵x1·x2＝ab－1＜ab，∴②正确.∵x1＋x2＝a＋b，∴ ＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（a＋b）2－2（ab－1）＝a2＋b2＋2＞a2＋b2，故③错误.综上，正确的结论有①②.
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式及根与系数的关系的应用：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=- ，x1x2= ．
17．（1）k＜3（2）0，1，2
【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-2）2-4（k-2）＞0，然后解不等式即可；
（2）由根的定义知: ，由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=2，x1x2=k-2，再代入不等式，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．21教育网
试题解析：（1）依题意可知: ，解得；
（2）由根的定义知: ，
，
由根与系数的关系知: , ，
若， 满足， 则 ，
，
，
，
又由（1）知，
，
为整数， 的值为 0，1， 2．
18．（1）；（2）3.
【解析】试题分析：（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．21·cn·jy·com
（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．
试题解析：：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=4（m-2）2-4（m2-3m+3）=-4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：-1≤m＜1．
（1）∵x1+x2=-2（m-2），x1x2=m2-3m+3，
∴
解得：m1=，m2=（不合题意，舍去）
∴
（2）
=-2（m-1）-m2
=-（m+1）2+3．
当m=-1时，最大值为3．
19．（1）k＞；（2）k=2．
【解析】试题分析：（1）根据方程有 ( http: / / www.21cnjy.com )两个不相等的实数根可得△=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，求出k的取值范围；2·1·c·n·j·y
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的取值范围解方程即可．【出处：21教育名师】
试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，
解得：k＞；
（2）∵k＞，
∴x1+x2=-（2k+1）＜0，
又∵x1 x2=k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1，
∵|x1|+|x2|=x1 x2，
∴2k+1=k2+1，
∴k1=0，k2=2，
又∵k＞，
∴k=2．
20．（1）x1 = p，x2 = m + 2－p；
（2）当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为（或）．
【解析】试题分析：（1）化简方程，用分解因式法求出两根；
（2）直角三角形的面积为x1x2，利用根与系数的关系可以得到关于p的关系式，然后利用二次函数可以求出什么时候有最大值．21*cnjy*com
试题解析：（1） 原方程变为：x2－（m + 2）x + 2m = p2－（m + 2）p + 2m，
∴ x2－p2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0，
（x－p）（x + p）－（m + 2）（x－p）= 0，
即 （x－p）（x + p－m－2）= 0，
∴ x1 = p， x2 = m + 2－p．
（2）∵ 直角三角形的面积为x1x2=p(m+2-p)
=
=
=，
∴ 当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为（或）．
21．（1），（2）-, （3）.
【解析】试题分析：由一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，然后把要求值的代数式进行变形，把得到的数值代入即可求值.21cnjy.com
试题解析： 由题意得：x1＋x2＝，x1·x2＝－ ；
（1）x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝()2-2×（-）＝ ；
（2）= ＝ =- ；
（3）x12＋x22－3x1x2=（x1+x2）2-5x1x2=()2-5×（-）= .
22．（1）k的取值范围是k≤；（2）k的值是-3．
【解析】试题分析：（1）根据题意得不等式即可得到k≤，
（2）根据题意得x1+x2=2（k-1），x1x2=k2即可得到结论．
试题解析：（1）根据题意得[-2（k-1）]2-4k2≥0，
解得：k≤，
（2）根据题意得x1+x2=2（k-1），x1x2=k2，
∵k≤，
∴2（k-1）＜0，x1+x2＜0，
∴-2（k-1）=k2-1，
解得：k1=1，k2=-3，
∵k≤，
∴k=-3．
23．（1）是倍根方程， ；
（2） 或
【解析】(1)方程x －3x＋2＝0可变形为(x-1)(x-2)=0∴x-1=0或x-2=0
∴方程的两个根分别为，∵2=1×2
∴方程x2－3x＋2＝0是“倍根方程”
(2) ∵方程ax2＋bx－6＝0是倍根方程,且有一根为2.设另一根为，则=1或4，当=1时， 解得： .当=4时， ，解得： ，
综上所述得： 或
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