17.5 一元二次方程的应用（2）同步练习

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17.5 一元二次方程的应用（2）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１.数字问题的数量关系：(１)一个两位数,个位数字是a,十位数字是b,则两位数可表示为 10b＋a ．
(２)一个三位数,个位数字是a,十位数字是b,百位数字是c,可表示为100c＋10b＋a
２.行程问题中的数量关系:路程＝速度×时间．
３.面积问题中的数量关系:矩形的面积＝长×宽 ．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．从正方形铁片上截去宽的一个矩形，剩余矩形的面积为，则原来正方形的面积为（ ）．
A. B. C. D.
2．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（　　）
A. B. C. D.
3．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A. 24 B. 24或8 C. 48 D. 8
4．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程(　　)
A. 2x·x＝24 B. (10－2x)(8－x)＝24
C. (10－x)(8－2x)＝24 D. (10－2x)(8－x)＝48
5．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为( )
A. a2+(a-4)2=10(a-4)+a-4 B. a2+(a+4)2=10a+a-4-4
C. a2+(a+4)2=10(a+4)+a-4 D. a2+(a-4)2=10a+(a-4)-4
6．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2 ．若设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是（ ）
A. (32-x)(20-x)=32×20-570 B. 32x+2×20x=32×20-570
C. 32x+2×20x-2x2=570 D. (32-2x)(20-x)= 570
7．如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB=x米，面积为S平方米，则下面关系式正确的是（ ）
A. S=x（40﹣x） B. S=x（40﹣2x） C. S=x（10﹣x） D. S=10（2x﹣20）
8．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了行或列，则列方程得（　　）
A. (8﹣) (10﹣)=8×10﹣40 B. (8﹣)(10﹣)=8×10+40
C. (8+ )(10+ )=8×10﹣40 D. (8+ )(10+ )=8×10+40
二、填空题
9．一包洽洽瓜子售价8元，商家为了促销，顾客每买一包洽洽瓜子获一张奖券，每4张奖券可兑换一包洽洽瓜子，则每张奖券相当于______元.
10．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，则这种台灯的售价应定为___元．
11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过________秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2.
12．一超市销售某种品牌的牛奶，进价为每盒1.5元，售价为每盒2.2元时，每天可售5000盒，经过调查发现，若每盒降价0.1元，则可多卖2000盒。要使每天盈利4500元，该超市定价为_________元。
三、解答题
13．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，求这个两位数．
14．如图，在长为20cm，宽为16cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得剩下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长.
15．一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？
16．万达旅行社为吸引市民组团去黄山风景区旅游，推出了如下的收费标准：
宿州高铁新区组织员工去黄山风景区旅游，共支付给万达旅行社旅游费用27 000元，请问该单位这次共有多少员工去黄山风景区旅游？
17．某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
（1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？
（2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？
18．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，
（1）如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PBQ的面积为8平方厘米？
（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
参考答案
1．A
【解析】设正方形的边长为xcm,由题意得
x(x-2)=80,
解之得
x1=10,x2=-8（舍去）.
∴原来正方形的面积为：10×10=100(cm2).
故选A.
2．B
【解析】依题意得（a+b）2=b（b+a+b），
而a=1，
∴b2﹣b﹣1=0，
∴ ，而b不能为负，
∴．
故选B．
点睛:根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a+b），右图是一个长方形，长宽分别为（b+a+b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a+b）2=b（b+a+b），而a=1，代入即可得到关于b的方程，解方程即可求出b．
3．B
【解析】试题解析： (x 6)(x 10)=0，
∴x=6或x=10.
当x=6时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形，
∴高
当x=10时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形，
∴S=24或.
故选B.
4．D
【解析】设x秒后，螳螂走了 2x,蝉走了x,MB=10-2x,NC=8-x,
由题意知 EMBED Equation.DSMT4 (10－2x)(8－x)＝24,
(10－2x)(8－x)＝48,选D.
5．C
【解析】依题意得：十位数字为：a+4，这个数为：a+10(x+4)，
这两个数的平方和为：a2+(a+4)2，
∵两数相差4，
∴a2+(a+4)2=10(a+4)+a 4.
故选：C.
点睛：本题考查了数的表示方法，要会用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解.
6．D
【解析】通过平移可将六块草坪拼为一块，可得一个大矩形，由图易得该矩形的长为(32 2x)m,宽为（20-x）m，由此根据题意可得：
( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570.
故选D.
7．B
【解析】AB=x米，面积为S平方米，
S=x（40﹣2x）.
故选B.
8．D
【解析】增加了行或列，现在是行， 列，所以(8+ )(10+ )=8×10+40.
9．1.6
【解析】试题解析：解：设每张奖券相当于x元，根据题意得：
　4×8=5（8﹣x），解得：x=1.6．
故答案为：1.6．
点睛：考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由售价找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
10．50
【解析】设这种台灯的售价应定为每台元，根据题意可得：
化简、整理得： ，解得： .
又∵，
∴，即这种台灯售价应定为每台50元.
11．2或4
【解析】设x秒时．由三角形的面积公式列出关于x的方程，
（6-x） 2x=8，
通过解方程求得x1=2，x2=4；
故答案为2或4.
12．2或1.95元
【解析】设每盒降价x元，
(2.2-1.5-x)(5000+2000)=4500，
20x2-9x+1=0，
(4x-1)(5x-1)=0，
x1=0.25， x2=0.2，
当x=0.25时，2.2-x=2.2-0.25=1.95，
当x=0.2时，2.2-x=2.2-0.2=2，
所以定价为1.95元或2元，
故答案为：1.95或2.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，首先要正确理解题意，把实际问题的数量关系转化为一元二次方程求解．
13．62.
【解析】试题分析：首先根据“个位上的数字比十位上的数字少4”这句话设十位数字为x，则个位数字为x－4，分别表示出原来的两位数和个位、十位交换后的两位数，列方程求解.
试题解析：解：设原数十位数字为x，个位数字为(x－4)，则原数为10x＋(x－4)；交换位置后新数为10(x－4)＋x.由题意得[10x＋(x－4)]×[10(x－4)＋x]＝1612，整理得x2－4x－12＝0，解得x1＝6，x2＝－2.数字－2不合题意，应舍去，∴x＝6，x－4＝2，∴原来这个两位数是62.
点睛：若个位上数字为a，十位上数字为b，则这个两位数为：10b+a.
14．小正方形的边长为．
【解析】试题分析：等量关系为：矩形面积-四个全等的小正方形面积=矩形面积×80%，列方程即可求解．
试题解析：设小正方形的边长为xcm，根据题意得：
20×16- ，
解得： ，
为正数，
∴ ，
答：小正方形的边长为．
15．这根竹竿长为10米.
【解析】试题分析：如图，恰好构成直角三角形三边，利用勾股定理可求竹竿长.
试题解析：
设竹竿的长为x米，由题意可得方程：
，
整理得： ，
解这个方程得：x1=10， x2=2 (舍去)．
答：这根竹竿长为10米.
16．30名
【解析】试题分析：由题意易得人数超过了25人，那么关系式为：[1000-（劳模人数-25）×20]×劳模人数=27000．由此列方程求解即可．
试题解析：设该单位这次共有x名员工去黄山风景区旅游．因为1 000×25＝25 000＜27 000，所以员工人数一定超过25人，可得方程[1 000－20(x－25)]x＝27 000，
整理得x2－75x＋1 350＝0，
解得x1＝45，x2＝30.
当x1＝45时，1 000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；
当x2＝30时，1 000－20(x－25)＝900＞700，符合题意．
答：该单位这次共有30名员工去黄山风景区旅游
17．（1）该市举办方应邀请6支球队参赛；
（2）该市举办方应邀请6支球队参赛，该球队的总积分为16分。
【解析】⑴设该市举办方应邀请支球队参赛
依题意得，
解方程得，
（2）16
答：该市举办方应邀请6支球队参赛，该球队的总积分为16分。
18．（1）2秒或4秒；（2）线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分.
【解析】试题分析：（1）设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；
（2）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断．
试题解析：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有：
（6-x） 2x=8，
解得x1=2，x2=4，
经检验，x1，x2均符合题意，
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）不能，理由如下：
设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有：
S△ABC =×6×8=24，
（6﹣y） 2y=12，
y2﹣6y+12=0，
∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分.
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