第17章 一元二次方程单元检测基础卷
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第17章 一元二次方程单元检测基础卷
班级__________姓名____________总分___________
一．选择题（共12小题，每题4分，共48分）
1．下列方程中是一元二次方程的为（ ）
A．x2+y=3 B．x2﹣2x+5=0 C． D．x﹣2y=9
2．一元二次方程2（2﹣x）（x+3）=9的二次项、一次项、常数项分别是（ ）
A．2x2、2x、﹣3 B．2x2、2x、21 C．2、2、﹣3 D．2、2、21
3．若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的一个实数根，则2014﹣m2+5m的值是（ ）
A．2011 B．2012 C．2013 D．2014
4．方程（x﹣3）2=1的两个根为（ ）
A．2和3 B．4和3 C．2和4 D．2和﹣2
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2=19 B．（x﹣2）2=7 C．（x+2）2=7 D．（x+4）2=19
6．方程x2﹣x﹣1=0的根是（ ）
A．x1=，x2= B．x1=，x2=
C．x1=，x2= D．没有实数根
7．方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（ ）
A．x=2 B．x=3 C．x=﹣1，或x=2 D．x=﹣1，或x=3
8．一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m、n的值应为（ ）
A．m=﹣2，n=7 B．m=2．n=7 C．m=﹣2，n=1 D．m=2．n=﹣7
9．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥0 B．k＞0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
10．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（ ）
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1
11．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1+x）2=108 B．168（1﹣x）2=108 C．168（1﹣2x）=108 D．168（1﹣x2）=108
12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
13．已知2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，则m= ．
14．如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1=0一个根为0，则m= ．
15．一元二次方程x（x+3）=0的根是 ．
16．已知a2+b2+2a﹣4b+5=0，则2a2+4b﹣3的值是 ．
17．若关于x的方程x2﹣mx+m=0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为 ．
18．已知a、b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则a2+a+3b的值是 ．
三．解答题（共8小题，共78分）
19．解方程：
（1）x（x﹣2）+3（x﹣2）=0；
（2）x2﹣2x﹣3=0；
（3）x2﹣x﹣1=0；
（4）x2+2x﹣1=0．
20．关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值．
21．已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2=0．
（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？
22．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根，求BC的长．
23．已知：关于x的方程x2+kx﹣2=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
24．某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖，求这两年中获奖人次的平均年增长率．
25．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
26．某商店销售甲、乙两种商品，现有如下信息：
请结合以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的进货单价；
（2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元，该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1300件，经市场调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元，在不考虑其他因素的条件下，求当m为何值时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1800元（注：单件利润=零售单价﹣进货单价）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列方程中是一元二次方程的为（ ）
A．x2+y=3 B．x2﹣2x+5=0 C． D．x﹣2y=9
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
解：A、x2+y=3，是二元二次方程，故此选项错误；
B、x2﹣2x+5=0，是一元二次方程，故此选项正确；
C、x2﹣=4是分式方程，故此选项错误；
D、x﹣2y=9是二元一次方程，故此选项错误；
故选：B．
2．一元二次方程2（2﹣x）（x+3）=9的二次项、一次项、常数项分别是（ ）
A．2x2、2x、﹣3 B．2x2、2x、21 C．2、2、﹣3 D．2、2、21
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
解：2（2﹣x）（x+3）=9的一般形式是2x2+2x﹣3=0，
二次项、一次项、常数项分别是2x2、2x、﹣3，
故选：A．
3．若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的一个实数根，则2014﹣m2+5m的值是（ ）
A．2011 B．2012 C．2013 D．2014
【分析】把m代放方程得出m2﹣5m=2，再代入到2014﹣m2+5m即可求解．
解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的一个实数根，
∴m2﹣5m=2，
∴2014﹣m2+5m=2014﹣（m2﹣5m）=2014﹣2=2012．
故选：B．
4．方程（x﹣3）2=1的两个根为（ ）
A．2和3 B．4和3 C．2和4 D．2和﹣2
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
解：由于（x﹣3）2=1，
∴x﹣3=±1，
∴x=4或x=2
故选（C）
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2=19 B．（x﹣2）2=7 C．（x+2）2=7 D．（x+4）2=19
【分析】移项，再配方，即可得出答案．
解：x2﹣4x﹣3=0，
x2﹣4x=3，
x2﹣4x+4=3+4，
（x﹣2）2=7，
故选B．
6．方程x2﹣x﹣1=0的根是（ ）
A．x1=，x2= B．x1=，x2=
C．x1=，x2= D．没有实数根
【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．
解：这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，
b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5，
x=，
x1=，x2=，
故选B．
7．方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（ ）
A．x=2 B．x=3 C．x=﹣1，或x=2 D．x=﹣1，或x=3
【分析】先将原方程移项，然后提前公因式（x+1），将方程转化为两式之积为0的形式，然后解方程．
解：由原方程移项，得
（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，
∴（x+1）（x﹣2﹣1）=0，
∴x+1=0或x﹣3=0，
解得，x=﹣1，或x=3．
故选D．
8．一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m、n的值应为（ ）
A．m=﹣2，n=7 B．m=2．n=7 C．m=﹣2，n=1 D．m=2．n=﹣7
【分析】先把（x+m）2=n展开，化为一元二次方程的一般形式，再分别使其与方程x2﹣4x﹣3=0的一次项系数、二次项系数及常数项分别相等即可．
解：∵（x+m）2=n可化为：x2+2mx+m2﹣n=0，
∴，解得：．
故选A．
9．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥0 B．k＞0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
【分析】由于方程有两个不相等的实数根，根据△的意义得到△＞0，即（2）2﹣4×1×（﹣1）＞0，解不等式即可．
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴k≥0，且△＞0，即（2）2﹣4×1×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1．
∴k的取值范围是k≥0．
故选A．
10．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（ ）
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=1﹣x1x2，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而可确定m的值．
解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=2m，x1 x2=m2﹣m﹣1．
∵x1+x2=1﹣x1x2，
∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=0，
解得：m1=﹣2，m2=1．
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根，
∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0，
解得：m≥﹣1．
∴m=1．
故选D．
11．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1+x）2=108 B．168（1﹣x）2=108 C．168（1﹣2x）=108 D．168（1﹣x2）=108
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1﹣x）2=108．
故选：B．
12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．
答：动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
二．填空题（共6小题）
13．已知2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，则m= ±4 ．
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由此可得|m|﹣2=2，求解即可．
解：由题意可得|m|﹣2=2，
解得，m=±4．
故答案为：±4．
14．如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1=0一个根为0，则m= ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．把x=0代入一元二次方程即可得．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1=0一个根为0，
∴m﹣1≠0，且m2﹣1=0，
解之得，m=﹣1，
故答案为﹣1．
15．一元二次方程x（x+3）=0的根是 x=0或﹣3 ．
【分析】利用分解因式法即可求解．
解：x（x+3）=0，
∴x=0或x=﹣3．
故答案为：x=0或x=﹣3．
16．已知a2+b2+2a﹣4b+5=0，则2a2+4b﹣3的值是 7 ．
【分析】将已知的等式配方成（a+1）2+（b﹣2）2=0后利用非负数的性质求得a、b的值即可代入代数式求解．
解：∵a2+b2+2a﹣4b+5=0，
∴a2+2a+1+b2﹣4b+4=0，
∴（a+1）2+（b﹣2）2=0，
∴a=﹣1，b=2，
∴2a2+4b﹣3=2×1+4×2﹣3=7，
故答案为：7．
17．若关于x的方程x2﹣mx+m=0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为 1 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m2﹣4m=0，将其代入2m2﹣8m+1中即可得出结论．
解：∵关于x的方程x2﹣mx+m=0有两个相等实数根，
∴△=（﹣m）2﹣4m=m2﹣4m=0，
∴2m2﹣8m+1=2（m2﹣4m）+1=1．
故答案为：1．
18．已知a、b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则a2+a+3b的值是 7 ．
【分析】欲求a2+a+3b的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
解：由题意知，ab=﹣1，a+b=2，x2=2x+1，即a2=2a+1，
∴a2+a+3b=2a+1+a+3b=3（a+b）+1=3×2+1=7．
故选答案为：7．
三．解答题（共8小题）
19．解方程：
（1）x（x﹣2）+3（x﹣2）=0；
（2）x2﹣2x﹣3=0；
（3）x2﹣x﹣1=0；
（4）x2+2x﹣1=0．
【分析】（1）通过提取公因式（x﹣2）对等式的左边进行因式分解；
（2）利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解；
（3）利用求根公式解方程；
（4）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解．
解：（1）由原方程，得
（x+3）（x﹣2）=0，
则x+3=0或x﹣2=0，
解得 x1=﹣3，x2=2；
（2）由原方程，得
（x+1）（x﹣3）=0，
则x+1=0或x﹣3=0，
解得 x1=﹣1，x2=3；
（3）∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，
∴x==，
解得 x1=，x2=；
（4）由原方程，得
x2+2x=1，
配方，得
x2+2x+1=1+1，即（x+1）2=2，
开方，得
x+1=±，
解得 x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．
20．关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值．
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
解：由题意，得
m2+3m+2=0，且m+1≠0，
解得m=﹣2，
m的值是﹣2．
21．已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2=0．
（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？
【分析】（1）由一元二次方程的定义可得关于m的不等式，可求得m的取值；
（2）由一元一次方程的定义可利关于m的方程，可求得m的值．
解：
（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2=0为一元二次方程，
∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，
即当m≠±1时，方程为一元二次方程；
（2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2=0为一元一次方程，
∴m2﹣1=0，且m﹣1≠0，解得m=﹣1，
即当m为﹣1时，方程为一元一次方程．
22．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根，求BC的长．
【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论；
（2）将x=2代入原方程求出k值，进而可得出原方程，再解一元二次方程即可得出BC的长．
解：（1）∵一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根，
∴，
解得：k≤2且k≠0．
（2）∵将x=2代入原方程，得：4k﹣4×2+2=0，
解得：k=，
∴原方程为3x2﹣8x+4=0，
解得：x1=2，x2=，
∴BC的值是．
23．已知：关于x的方程x2+kx﹣2=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=k2+8＞0，由此即可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）代入x=﹣1即可求出k值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
（1）证明：∵△=k2﹣4×1×（﹣2）=k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：将x=﹣1代入原方程，得：1﹣k﹣2=0，
∴k=﹣1．
设方程的另一个根为x1，
根据题意得：﹣1 x1=﹣2，
∴x1=2．
∴方程的另一个根为2，k值为﹣1．
24．某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖，求这两年中获奖人次的平均年增长率．
【分析】设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，根据到九年级毕业时累计共有183人次获奖，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，
根据题意得：48+48（1+x）+48（1+x）2=183，
解得：x1==25%，x2=﹣（不符合题意，舍去）．
答：这两年中获奖人次的年平均年增长率为25%．
25．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 2x 件，每件商品，盈利 50﹣x 元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【分析】（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；
（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；
（3）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）=1692（元）．
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．
（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元．
故答案为：2x；50﹣x．
（3）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）=2000，
整理，得：x2﹣35x+250=0，
解得：x1=10，x2=25，
∵商城要尽快减少库存，
∴x=25．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
26．某商店销售甲、乙两种商品，现有如下信息：
请结合以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的进货单价；
（2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元，该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1300件，经市场调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元，在不考虑其他因素的条件下，求当m为何值时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1800元（注：单件利润=零售单价﹣进货单价）
【分析】（1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；
（2）根据降价后甲每天卖出：（500+×100）件，每件降价后每件利润为：（1﹣m）元；即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可．
解：（1）设甲商品进货单价x元，乙商品进货单价y元．
依题意，得
解得：．
答：甲商品进货单价为1元，乙商品进货单价为2元．
（2）依题意，得
（2﹣m﹣1） （500+1000m）+（3﹣2）×1300=1800
（1﹣m） （500+1000m）=500
即2m2﹣m=0
∴m1=0.5，m2=0
∵m＞0
∴m=0不合舍去，即m=0.5
答：当m=0.5时，商店获取的总利润为1800元．
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第17章 一元二次方程单元检测基础卷
班级__________姓名____________总分___________
一．选择题（共12小题，每题4分，共48分）
1．下列方程中是一元二次方程的为（ ）
A．x2+y=3 B．x2﹣2x+5=0 C． D．x﹣2y=9
2．一元二次方程2（2﹣x）（x+3）=9的二次项、一次项、常数项分别是（ ）
A．2x2、2x、﹣3 B．2x2、2x、21 C．2、2、﹣3 D．2、2、21
3．若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的一个实数根，则2014﹣m2+5m的值是（ ）
A．2011 B．2012 C．2013 D．2014
4．方程（x﹣3）2=1的两个根为（ ）
A．2和3 B．4和3 C．2和4 D．2和﹣2
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2=19 B．（x﹣2）2=7 C．（x+2）2=7 D．（x+4）2=19
6．方程x2﹣x﹣1=0的根是（ ）
A．x1=，x2= B．x1=，x2=
C．x1=，x2= D．没有实数根
7．方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（ ）
A．x=2 B．x=3 C．x=﹣1，或x=2 D．x=﹣1，或x=3
8．一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m、n的值应为（ ）
A．m=﹣2，n=7 B．m=2．n=7 C．m=﹣2，n=1 D．m=2．n=﹣7
9．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥0 B．k＞0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
10．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（ ）
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1
11．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1+x）2=108 B．168（1﹣x）2=108 C．168（1﹣2x）=108 D．168（1﹣x2）=108
12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
13．已知2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，则m= ．
14．如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1=0一个根为0，则m= ．
15．一元二次方程x（x+3）=0的根是 ．
16．已知a2+b2+2a﹣4b+5=0，则2a2+4b﹣3的值是 ．
17．若关于x的方程x2﹣mx+m=0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为 ．
18．已知a、b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则a2+a+3b的值是 ．
三．解答题（共8小题，共78分）
19．解方程：
（1）x（x﹣2）+3（x﹣2）=0；
（2）x2﹣2x﹣3=0；
（3）x2﹣x﹣1=0；
（4）x2+2x﹣1=0．
20．关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值．
21．已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2=0．
（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？
22．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根，求BC的长．
23．已知：关于x的方程x2+kx﹣2=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
24．某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖，求这两年中获奖人次的平均年增长率．
25．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
26．某商店销售甲、乙两种商品，现有如下信息：
请结合以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的进货单价；
（2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元，该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1300件，经市场调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元，在不考虑其他因素的条件下，求当m为何值时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1800元（注：单件利润=零售单价﹣进货单价）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列方程中是一元二次方程的为（ ）
A．x2+y=3 B．x2﹣2x+5=0 C． D．x﹣2y=9
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
解：A、x2+y=3，是二元二次方程，故此选项错误；
B、x2﹣2x+5=0，是一元二次方程，故此选项正确；
C、x2﹣=4是分式方程，故此选项错误；
D、x﹣2y=9是二元一次方程，故此选项错误；
故选：B．
2．一元二次方程2（2﹣x）（x+3）=9的二次项、一次项、常数项分别是（ ）
A．2x2、2x、﹣3 B．2x2、2x、21 C．2、2、﹣3 D．2、2、21
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
解：2（2﹣x）（x+3）=9的一般形式是2x2+2x﹣3=0，
二次项、一次项、常数项分别是2x2、2x、﹣3，
故选：A．
3．若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的一个实数根，则2014﹣m2+5m的值是（ ）
A．2011 B．2012 C．2013 D．2014
【分析】把m代放方程得出m2﹣5m=2，再代入到2014﹣m2+5m即可求解．
解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的一个实数根，
∴m2﹣5m=2，
∴2014﹣m2+5m=2014﹣（m2﹣5m）=2014﹣2=2012．
故选：B．
4．方程（x﹣3）2=1的两个根为（ ）
A．2和3 B．4和3 C．2和4 D．2和﹣2
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
解：由于（x﹣3）2=1，
∴x﹣3=±1，
∴x=4或x=2
故选（C）
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2=19 B．（x﹣2）2=7 C．（x+2）2=7 D．（x+4）2=19
【分析】移项，再配方，即可得出答案．
解：x2﹣4x﹣3=0，
x2﹣4x=3，
x2﹣4x+4=3+4，
（x﹣2）2=7，
故选B．
6．方程x2﹣x﹣1=0的根是（ ）
A．x1=，x2= B．x1=，x2=
C．x1=，x2= D．没有实数根
【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．
解：这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，
b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5，
x=，
x1=，x2=，
故选B．
7．方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（ ）
A．x=2 B．x=3 C．x=﹣1，或x=2 D．x=﹣1，或x=3
【分析】先将原方程移项，然后提前公因式（x+1），将方程转化为两式之积为0的形式，然后解方程．
解：由原方程移项，得
（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，
∴（x+1）（x﹣2﹣1）=0，
∴x+1=0或x﹣3=0，
解得，x=﹣1，或x=3．
故选D．
8．一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m、n的值应为（ ）
A．m=﹣2，n=7 B．m=2．n=7 C．m=﹣2，n=1 D．m=2．n=﹣7
【分析】先把（x+m）2=n展开，化为一元二次方程的一般形式，再分别使其与方程x2﹣4x﹣3=0的一次项系数、二次项系数及常数项分别相等即可．
解：∵（x+m）2=n可化为：x2+2mx+m2﹣n=0，
∴，解得：．
故选A．
9．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥0 B．k＞0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
【分析】由于方程有两个不相等的实数根，根据△的意义得到△＞0，即（2）2﹣4×1×（﹣1）＞0，解不等式即可．
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴k≥0，且△＞0，即（2）2﹣4×1×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1．
∴k的取值范围是k≥0．
故选A．
10．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（ ）
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=1﹣x1x2，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而可确定m的值．
解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=2m，x1 x2=m2﹣m﹣1．
∵x1+x2=1﹣x1x2，
∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=0，
解得：m1=﹣2，m2=1．
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根，
∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0，
解得：m≥﹣1．
∴m=1．
故选D．
11．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1+x）2=108 B．168（1﹣x）2=108 C．168（1﹣2x）=108 D．168（1﹣x2）=108
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1﹣x）2=108．
故选：B．
12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．
答：动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
二．填空题（共6小题）
13．已知2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，则m= ±4 ．
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由此可得|m|﹣2=2，求解即可．
解：由题意可得|m|﹣2=2，
解得，m=±4．
故答案为：±4．
14．如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1=0一个根为0，则m= ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．把x=0代入一元二次方程即可得．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1=0一个根为0，
∴m﹣1≠0，且m2﹣1=0，
解之得，m=﹣1，
故答案为﹣1．
15．一元二次方程x（x+3）=0的根是 x=0或﹣3 ．
【分析】利用分解因式法即可求解．
解：x（x+3）=0，
∴x=0或x=﹣3．
故答案为：x=0或x=﹣3．
16．已知a2+b2+2a﹣4b+5=0，则2a2+4b﹣3的值是 7 ．
【分析】将已知的等式配方成（a+1）2+（b﹣2）2=0后利用非负数的性质求得a、b的值即可代入代数式求解．
解：∵a2+b2+2a﹣4b+5=0，
∴a2+2a+1+b2﹣4b+4=0，
∴（a+1）2+（b﹣2）2=0，
∴a=﹣1，b=2，
∴2a2+4b﹣3=2×1+4×2﹣3=7，
故答案为：7．
17．若关于x的方程x2﹣mx+m=0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为 1 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m2﹣4m=0，将其代入2m2﹣8m+1中即可得出结论．
解：∵关于x的方程x2﹣mx+m=0有两个相等实数根，
∴△=（﹣m）2﹣4m=m2﹣4m=0，
∴2m2﹣8m+1=2（m2﹣4m）+1=1．
故答案为：1．
18．已知a、b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则a2+a+3b的值是 7 ．
【分析】欲求a2+a+3b的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
解：由题意知，ab=﹣1，a+b=2，x2=2x+1，即a2=2a+1，
∴a2+a+3b=2a+1+a+3b=3（a+b）+1=3×2+1=7．
故选答案为：7．
三．解答题（共8小题）
19．解方程：
（1）x（x﹣2）+3（x﹣2）=0；
（2）x2﹣2x﹣3=0；
（3）x2﹣x﹣1=0；
（4）x2+2x﹣1=0．
【分析】（1）通过提取公因式（x﹣2）对等式的左边进行因式分解；
（2）利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解；
（3）利用求根公式解方程；
（4）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解．
解：（1）由原方程，得
（x+3）（x﹣2）=0，
则x+3=0或x﹣2=0，
解得 x1=﹣3，x2=2；
（2）由原方程，得
（x+1）（x﹣3）=0，
则x+1=0或x﹣3=0，
解得 x1=﹣1，x2=3；
（3）∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，
∴x==，
解得 x1=，x2=；
（4）由原方程，得
x2+2x=1，
配方，得
x2+2x+1=1+1，即（x+1）2=2，
开方，得
x+1=±，
解得 x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．
20．关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值．
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
解：由题意，得
m2+3m+2=0，且m+1≠0，
解得m=﹣2，
m的值是﹣2．
21．已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2=0．
（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？
【分析】（1）由一元二次方程的定义可得关于m的不等式，可求得m的取值；
（2）由一元一次方程的定义可利关于m的方程，可求得m的值．
解：
（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2=0为一元二次方程，
∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，
即当m≠±1时，方程为一元二次方程；
（2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2=0为一元一次方程，
∴m2﹣1=0，且m﹣1≠0，解得m=﹣1，
即当m为﹣1时，方程为一元一次方程．
22．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根，求BC的长．
【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论；
（2）将x=2代入原方程求出k值，进而可得出原方程，再解一元二次方程即可得出BC的长．
解：（1）∵一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根，
∴，
解得：k≤2且k≠0．
（2）∵将x=2代入原方程，得：4k﹣4×2+2=0，
解得：k=，
∴原方程为3x2﹣8x+4=0，
解得：x1=2，x2=，
∴BC的值是．
23．已知：关于x的方程x2+kx﹣2=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=k2+8＞0，由此即可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）代入x=﹣1即可求出k值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
（1）证明：∵△=k2﹣4×1×（﹣2）=k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：将x=﹣1代入原方程，得：1﹣k﹣2=0，
∴k=﹣1．
设方程的另一个根为x1，
根据题意得：﹣1 x1=﹣2，
∴x1=2．
∴方程的另一个根为2，k值为﹣1．
24．某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖，求这两年中获奖人次的平均年增长率．
【分析】设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，根据到九年级毕业时累计共有183人次获奖，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，
根据题意得：48+48（1+x）+48（1+x）2=183，
解得：x1==25%，x2=﹣（不符合题意，舍去）．
答：这两年中获奖人次的年平均年增长率为25%．
25．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 2x 件，每件商品，盈利 50﹣x 元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【分析】（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；
（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；
（3）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）=1692（元）．
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．
（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元．
故答案为：2x；50﹣x．
（3）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）=2000，
整理，得：x2﹣35x+250=0，
解得：x1=10，x2=25，
∵商城要尽快减少库存，
∴x=25．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
26．某商店销售甲、乙两种商品，现有如下信息：
请结合以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的进货单价；
（2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元，该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1300件，经市场调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元，在不考虑其他因素的条件下，求当m为何值时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1800元（注：单件利润=零售单价﹣进货单价）
【分析】（1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；
（2）根据降价后甲每天卖出：（500+×100）件，每件降价后每件利润为：（1﹣m）元；即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可．
解：（1）设甲商品进货单价x元，乙商品进货单价y元．
依题意，得
解得：．
答：甲商品进货单价为1元，乙商品进货单价为2元．
（2）依题意，得
（2﹣m﹣1） （500+1000m）+（3﹣2）×1300=1800
（1﹣m） （500+1000m）=500
即2m2﹣m=0
∴m1=0.5，m2=0
∵m＞0
∴m=0不合舍去，即m=0.5
答：当m=0.5时，商店获取的总利润为1800元．
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