5.3 简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形的性质
01 基础题
知识点1 等腰三角形的性质
1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是(A)
A．40°
B．50°
C．55°
D．70°
2．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是(D)
A．过顶点的直线
B．底边上的高
C．腰上的高所在直线
D．顶角平分线所在直线
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC，若∠1＝70°，则∠B的大小为(A)
A．40° B．30°
C．70° D．50°
4．如图，AB＝AC，∠ACD＝120°，则∠B的度数为60°．
5．如图，工匠们用这个工具检测屋梁是否水平．当重垂线经过等腰三角尺底边的中点时，可以确定三角形的底边与梁是水平的；否则梁就不是水平的．这是利用了什么几何性质：等腰三角形三线合一．
6．(绵阳中考)如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO＝AC，∠A＝48°，则∠D＝66°．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．
解：因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以AD平分∠BAC.
因为∠BAC＝50 °，
所以∠DAE＝∠BAC＝25 °.
又因为DE⊥AC，
所以∠AED＝90 °.
所以∠ADE＝180 °－∠AED－∠DAE＝180 °－90 °－25 °＝65 °.
知识点2 等边三角形的性质
8．等边三角形对称轴的条数是(C)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
9．已知△DEF为等边三角形，则∠D的度数为(A)
A．60° B．30°
C．45° D．90°
10．如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是(A)
A．100° B．80°
C．60° D．40°
11．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝30°．
02 中档题
12．(苏州中考)如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为(B)
A．30°
B．40°
C．45°
D．60°
13．(毕节中考)如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠B＝65°，则∠BDF等于(B)
A．65°
B．50°
C．60°
D．5
14．(钦州中考)等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是(B)
A．80° B．80°或20°
C．80°或50° D．20°
15．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝40°．
16．如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为60度．
17．如果等腰三角形的一边长为6 cm，周长为14 cm，那么另外两边的长分别为6__cm，2__cm或4__cm，4__cm．
18．如图，已知：在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.试说明：∠DBC＝∠E.
解：因为△ABC是等边三角形，
所以∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ACE＝120°.
因为D为AC中点，AB＝BC，
所以∠DBC＝∠DBA＝∠ABC＝30 °.
因为CE＝CD，
所以∠E＝∠EDC＝×(180 °－∠ACE)＝30 °.
所以∠DBC＝∠E.
19．(无锡中考)如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD＝CE.试说明：MD＝ME.
解：因为AB＝AC，
所以∠DBM＝∠ECM.
因为M是BC的中点，
所以BM＝CM.
在△BDM和△CEM中，
所以△BDM≌△CEM(SAS)．
所以MD＝ME.
03 综合题
20．(北京中考改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.请问：∠CBE＝∠BAD吗？为什么？
解：∠CBE＝∠BAD.
理由：
因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠C.
又因为AD是BC边上的中线，
所以AD⊥BC.
所以∠BAD＋∠ABC＝90 °.
因为BE⊥AC，
所以∠CBE＋∠C＝90 °.
所以∠CBE＝∠BAD.
第2课时 线段的垂直平分线
01 基础题
知识点1 线段垂直平分线的概念及性质
1．如图所示，直线l是线段AB的垂直平分线，O，P分别是直线l上两点，则线段PA，PB，OA，OB的关系是(D)
A．PA＝OA，PB＝OB
B．PA＝PB＝OA＝OB
C．PA＝OB，PB＝OA
D．PA＝PB，OA＝OB
2．在一张薄纸上任意画一条线段AB，折纸使两个端点A与B重合，你发现折痕与线段AB的关系：折痕垂直平分线段AB．在折痕上任取一点P，连PA，PB，再沿原来折痕折叠，你得到的结论：PA与PB重合．
3．如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB＝10 cm，则BD＝5cm；若PA＝10 cm，则PB＝10cm.
4．如图，P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB上异于A，B的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA＝PB＞PM．
5．(遵义中考)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝35度．
6．如图，直线MN是线段AB的对称轴，点C在直线MN外，CA与MN相交于点D，如果CA＋CB＝4 cm，那么△BCD的周长为多少？
解：因为MN是AB的对称轴，
所以MN是AB的垂直平分线．
所以AD＝BD.
所以CD＋DB＝CD＋DA＝CA.
又因为CA＋CB＝4 cm，
所以CD＋DB＋BC＝4 cm，即△BCD的周长为4 cm.
知识点2 线段垂直平分线的画法
7．已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线．
解：图略．
8．如图，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请作出它的对称轴．
解：连接BB′，作BB′的垂直平分线即可．图略．
9．如图，某地由于居民增多，要在公路边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？
解：建在AB的垂直平分线和公路的交点处．图略．
02 中档题
10．(天门中考)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为(B)
A．13
B．15
C．17
D．19
11．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边的中点，分别以B，C为圆心，大于线段BC一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A＝∠EBA；③EB平分∠AED；④△BDE≌△CDE中，一定正确的是(B)
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
12．(毕节中考)等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为36°.
13．在△ABC中，∠BAC＝∠BCA，BC的垂直平分线DE交AC所在直线于点E，交BC于点D，求∠CED的度数．
(1)如图1，若∠B＝60°，BC的垂直平分线DE中的E恰与A重合，此时∠CED的度数为30°；
(2)如图2，若∠B＝84°，此时∠CED的度数为42°；
(3)如图3，若∠B＝44°，此时∠CED的度数为22°；
(4)若∠B＝α，无论BC的垂直平分线DE与AC交在哪儿，都有∠CED的度数为α．
14．(丽水中考)如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC(1)用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)连接AD，若∠B＝37°，求∠CAD的度数．
解：(1)如图．
(2)因为△ABC中，∠C＝90 °，∠B＝37 °，
所以∠BAC＝53 °.
因为AD＝BD，
所以∠BAD＝∠B＝37 °.
所以∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝16 °.
15．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．
(1)AB，AC，CE的长度有什么关系？为什么？
(2)AB＋BD与DE有什么关系？为什么？
解：(1)结论：AB＝AC＝CE.
理由：因为AD⊥BC，BD＝DC，所以AB＝AC.
因为点C在AE的垂直平分线上，所以AC＝CE，所以AB＝AC＝CE.
(2)结论：AB＋BD＝DE.
理由：因为AB＝AC＝CE，BD＝CD，所以AB＋BD＝CE＋CD，所以AB＋BD＝DE.
03 综合题
16．如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A，B两个开发区运货．
(1)若要求货站到A，B两个开发区的距离相等，则货站应建在哪里？
(2)若要求货站到A，B两个开发区的距离和最小，则货站应建在哪里？(分别在图上找出点P，并保留作图痕迹，写出相应的文字说明)
解：(1)作线段AB的垂直平分线交MN于P点，P点即为所求．图略．
(2)作A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点Q，则Q点即为所求．图略．
第3课时 角平分线
01 基础题
知识点1 角平分线的性质
1．已知OP是∠MON的平分线，且点A在OP上，下图中线段AB和AC一定相等的是(C)
A B
C D
2．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，DE＝2，则点E到BC的距离为(C)
A．6
B．4
C．2
D．1
3．在一张薄纸上任意画一个角∠AOB，折纸使两边OA，OB重合，你发现折痕与∠AOB的关系：折痕平分∠AOB．
4．(台州中考)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DC＝3，则点D到AB的距离是3．
5．如图，P是∠AOB的平分线上的一个点，PC⊥AO于点C，PD⊥OB于点D，写出图中所有相等的线段PC＝PD，OC＝OD．
6．如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于点E，△ABC的面积等于90，AB＝18，BC＝12，求DE的长．
解：过点D作DF⊥BC于点F.
因为BD平分∠ABC，DE垂直于AB于点E，
所以DE＝DF.
因为AB＝18，BC＝12，
所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD
＝×18·DE＋×12·DF
＝DE·(18＋12)
＝15·DE.
因为△ABC的面积等于90，
所以15·DE＝90.
所以DE＝6.
知识点2 角平分线的画法
7．如果要作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(C)
①作射线OC；②在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以D，E为圆心，大于DE为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
8．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(A)
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边距离相等
9．如图，在△ABC中作出△ABC的内角平分线AD.(要求：尺规作图，保留作图痕迹)
解：如图，AD即为所求．
02 中档题
10．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、点F，连接EF与AD相交于点O，下列结论不一定成立的是(C)
A．DE＝DF B．AE＝AF
C．OD＝OF D．OE＝OF
12．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是4．
13．已知，如图所示，△ABC的角平分线AD将BC边分成2∶1两部分，若AC＝3 cm，则AB＝6__cm．
14．有两块大小一样并都含有30°的三角板，按照如图位置摆放，其中M是AD与BC的交点．
(1)点M到AB的距离等于MC吗？为什么？
(2)求∠AMB的度数．
解：(1)点M到AB的距离等于MC.因为在Rt△ABC与Rt△BAD中，∠ABC＝∠BAD＝30°，
所以∠BAC＝90°－30°＝60°.
所以∠MAC＝∠BAC－∠BAD＝30°，
即∠MAC＝∠BAM.
所以点M到AB的距离等于MC.
(2)在△ABM中，∠AMB＝180°－2∠BAM＝180°－60°＝120°.
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D，E，F.
(1)OD与OF相等吗？为什么？
(2)OE与OF相等吗？为什么？
(3)OD与OE相等吗？为什么？
(4)连接OC，则OC平分∠ACB吗？为什么？
解：(1)相等．因为角平分线上的点到角两边的距离相等．
(2)相等．因为角平分线上的点到角两边的距离相等．
(3)相等．因为OD＝OF.OE＝OF，所以OD＝OE.
(4)OC平分∠ACB.
因为连接OC，可以得到△OCD≌△OCE，
所以∠OCD＝∠OCE.
03 综合题
16．如图，点D为锐角∠ABC的平分线上一点，点M在边BA上，点N在边BC上，∠BMD＋∠BND＝180°.试说明：DM＝DN.
解：过D点作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.
所以∠DEB＝∠DFB＝90 °.
又因为BD平分∠ABC，
所以DE＝DF.
因为∠BMD＋∠DME＝180 °，
∠BMD＋∠BND＝180 °，
所以∠DME＝∠BND.
在△FND与△EMD中，
所以△FND≌△EMD(AAS)．
所以DM＝DN.
5.3 简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形的性质
1.等腰三角形的有关概念.
2.探索并掌握等腰三角形的性质.
3.了解等边三角形的概念，并探索等边三角形的性质.
阅读教材P121的内荣，理解等腰三角形的概念.学生独立完成下列问题：
知识探究
1、有两边相等的三角形是等腰三角形，它是轴对称图形。
2、等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高、底边上的中线重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3、等腰三角形的两个底角相等。
4、三边都相等的三角形是等边三角形。
自学反馈
△ABC中，AB=AC。
(1)若∠A=50°，则∠B=__65____°，∠C=___65___°；
(2)若∠B=45°，则∠A=__90____°，∠C=__45____°；
(3)若∠C=60°，则∠A=__60____°，∠B=____60__°；
(4)若∠A=∠B，则∠A=_ 60__°，∠C=__60____°。
活动1 学生独立完成
例1 （1）等腰三角形的一个角是30°，则它的底角是__30°或75°____.
（2）等腰三角形的周长是24cm，一边长是6cm，则其他两边的长分别是多少？
（2）解：①若底边长为6cm，设腰长为x cm． 根据题意可得：2x+6=24??????????????????????????? 解得x=9?? ? ②若腰长为6cm，设底边长为x cm． 根据题意可得：2×6+x=24 解得x=12 ∵6+6=12， ∴不能构成三角形 综上可得另两边的长都是9cm．
利用等腰三角形性质进行分类讨论，考查三角形三边关系和三角形内角和.
例2 如图所示，∠ABC和∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E， 求证：（1）△BDF是等腰三角形 （2）BD+EC=DE． 证明：（1）∵DE∥BC， ∴∠FBC=∠DFB， 又∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠DBF=∠FBC， ∴∠DBF=∠DFB， ∴△BDF是等腰三角形；? （2）∵△BDF是等腰三角形， ∴DB=DF， 同理：△EFC是等腰三角形， ∴EF=EC， ∴BD+EC=DF+EF=DE．
活动2 跟踪训练
1.在△ABC中，若BC=AC，∠A=58°，则∠C=64°，∠B=58°．
2.等边三角形的两条中线相交所成的钝角度数是120°．
3.如图，在△ABC中，已知AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°，则∠BAC=120°，∠ADC=90°.
4.如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.
解：∵PA=PQ=AQ， ∴∠APQ=∠PQA=∠QAP=60°
∵PA=PB， ∴∠B=∠PAB（。 又∠B+∠PAB=60°。 ∴∠PBA=∠PAB=30°，同理∠QAC=30°。 ∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°.
活动3 课堂小结
等腰三角形的特征：
1.等腰三角形是轴对称图形
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3.等腰三角形的两个底角相等。
4.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合
（也称为“三线合一”）.
教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分。
第2课时 线段的垂直平分线
1.经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念
2.探索并了解线段垂直平分线的有关性质。
阅读教材P123-124的内荣，理解等腰三角形的概念.学生独立完成下列问题：
1.线段是轴对称图形，它的一条对称轴是垂直平分线，另一条对称轴是线段所在的直线。
2.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
自学反馈 学生独立完成下列问题：
1、有两边相等的三角形是等腰三角形，它是轴对称图形。
2、等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高、底边上的中线重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3、等腰三角形的两个底角相等。
4、三边都相等的三角形是等边三角形。
活动1 学生独立完成
例1 如图，在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E和D，BE=6，
求△BCE的周长．
解：∵BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，
∴EC=BE=6． 又∵BC=10，
∴△BCE的周长是EC+BE+BC=6+6+10=22
利用线段垂直平分线性质解题即可.
例2 如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么 EA=___4cm_____, DA=__6cm__.
活动2 跟踪训练
1. 如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是
_ 26___cm.
2.如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周长是 9 cm。
3.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm,求△ABC的周长。
解：∵DE是AC的垂直平分线，? ∴AD=CD，AC=2AE=6（cm）． 又∵△ABD的周长为13cm，? ∴AB+BD+AD=AB+BD+DC =AB+BC =13（cm）， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13+6=19（cm）．
活动3 课堂小结
（1）线段是轴对称图形。
（2）垂直并且 平分 线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。简称中垂线。
线段垂直平分线上的点到这条线段的 两端 距离相等。
教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分。
第3课时 角平分线
1、经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念。
2、探索并了解角的平分线、线段垂直平分线的有关性质。
阅读教材P125-126的内容，理解轴对称图形和对称轴的概念.学生独立完成下列问题：
知识探究
1、角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在直线 .
2、角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
自学反馈 学生独立完成下列问题：
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ D ）．
A．角 B．等边三角形 C．线段 D．平行四边形
2．下列图形中，是轴对称图形的有（ D ）个．
①直角三角形，②线段，③等边三角形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥圆，⑦直角．
A．4个 B．3个 C．5个 D．6个
3．下列说法正确的是（ B ）．
A．轴对称图形是两个图形组成的 B．等边三角形有三条对称轴
C．两个全等的三角形组成一个轴对称图形;D．直角三角形一定是轴对称图形
4．如图，CD⊥OA，CE⊥OB，D、E为垂足．
（1）若∠1=∠2，则有CD=CE ;
（2）若CD=CE，则有∠1=∠2．
活动1 学生独立完成
例1 如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。求证：OE=OD.
证明：∵AO平分∠BAC 又∵OE⊥AB,OD⊥AC ∴OE=OD（角平分线上的点到角两边的距离相等）
例2 已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC， 求证：OB=OC． 证明：∵AO平分∠BAC， ∴OB=OC（角平分线上的点到角的两边距离相等）上述解答不正确，请你写出正确解答．
证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OD=OE.
在△DOB和△EOC中，
，
∴△DOB≌△EOC（ASA）.
∴OB=OC．
例 3 作已知角∠AOB的角平分线.
活动2 跟踪训练
1.在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
解：DE=DC.
理由如下：
∵BD 平分∠ABC，
又∵DE⊥AB，AC⊥BC，
∴DE=DC
2.如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PO⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE= 4 cm.
3.如图,在△ABC中,,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,点D到AB的距离为5cm,则CD= 5 cm.
4.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
解：过点D作DE⊥AB于E ∵BC＝8,BD＝5， ∴CD＝BC-BD＝3 ∵AD平分∠CAB,∠C=90°, ∴DE＝CD＝3 （角平分线性质） ∴点D的AB的距离为3.
活动3 课堂小结
角是轴对称图形。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分。
