1.1.1 任意角
学习目标 1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．
知识点一 角的相关概念
思考1 用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？
思考2 将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？
思考3 如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？
梳理 (1)角的概念：一个角可以看成平面内____________绕着________O从一个位置 OA________到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的________和________．
(2)按照角的旋转方向，分为如下三类
类型
定义
正角
按________方向旋转所形成的角叫做正角
负角
按________方向旋转所形成的角叫做负角
零角
如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角
知识点二 象限角、轴线角
思考 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？
梳理 以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的________(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，则称这个角为轴线角．
知识点三 终边相同的角
思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？
思考2 如何表示与60°终边相同的角？
梳理 终边相同角的表示
一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个________的和．
类型一 任意角概念的理解
例1 (1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确命题的序号为________；(把正确命题的序号都写上)
(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．
反思与感悟 解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念．角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小．21教育网
跟踪训练1 写出下列说法所表示的角．
(1)顺时针拧螺丝2圈；
(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角．
类型二 象限角的判定
例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
引申探究
确定(n∈N*)的终边所在的象限．
反思与感悟 判断象限角的步骤：
(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．
(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．21*cnjy*com
跟踪训练2 下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．【版权所有：21教育】
(1)60°；(2)－21°.
类型三 终边相同的角
例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．
反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
例4 写出终边在直线y＝－x上的角的集合．
反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．21cnjy.com
跟踪训练4 写出终边在直线y＝x上的角的集合．
类型四 区域角的表示
例5 如图所示．
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
反思与感悟 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．2·1·c·n·j·y
跟踪训练5 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
1．－1 120°角所在象限是________．
2．与－457°角终边相同的角的集合是________．
3．2 017°是第________象限角．
4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．
5．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．www-2-1-cnjy-com
2．关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角．
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．
(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．2-1-c-n-j-y
(4)k∈Z这一条件不能少．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 角的构成要素有始边、顶点、终边．
思考2 有顺时针和逆时针两种旋转方向．
思考3 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．
梳理 (1)一条射线 端点 旋转 始边 终边
(2)逆时针 顺时针
知识点二
思考 终边可能落在坐标轴上或四个象限内．
梳理 终边
知识点三
思考1 它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角．www.21-cn-jy.com
思考2 60°＋k·360°(k∈Z)．
梳理 周角
题型探究
例1 (1)① (2)－120°
跟踪训练1 (1)－720° (2)900°
例2 解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．21·cn·jy·com
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．21·世纪*教育网
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．【来源：21cnj*y.co*m】
引申探究
解 一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4，…，4n，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，的终边所落在的区域，如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出．【出处：21教育名师】
跟踪训练2 解 (1)60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.21教育名师原创作品
(2)－21°角是第四象限角，所有与－21°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.21*cnjy*com
例3 解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
跟踪训练3 解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，
即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，
∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
例4 解 {α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}
跟踪训练4 解 终边在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；21世纪教育网版权所有
终边在y＝x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，【来源：21·世纪·教育·网】
即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
例5 解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
跟踪训练5 解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：
①{α|k·360°＋30°≤α
②{α|k·360°＋210°≤α∴角α的集合应当是集合①与②的并集，即S＝{α|k·360°＋30°≤α∪{α|k·360°＋210°≤α＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α当堂训练
1．第四象限
2．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
3．三 4.－252°
5．{β|β＝n·90°，n∈Z}
1.1.2 弧度制
学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．2·1·c·n·j·y
知识点一 角度制与弧度制
思考1 在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？
思考2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？
思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
梳理 (1)角度制和弧度制
角度制
规定周角的_____为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做_____.
弧度制
把长度等于________的弧所对的________叫做1弧度的角，记作1 rad，读作________．用________作为单位来度量角的单位制称为弧度制
(2)角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
知识点二 角度制与弧度制的换算
思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
梳理 (1)角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝________ rad
2π rad＝________
180°＝____ rad
π rad＝________
1°＝rad≈______ rad
1 rad＝°≈______
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度
0°
1°
30°
___
60°
___
120°
___
150°
180°
___
360°
弧度
___
___
___
___
___
π
2π
知识点三 扇形的弧长及面积公式
思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
类型一 角度与弧度的互化
例1 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以°即可．21世纪教育网版权所有
跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度；
(2)把－化成度．
类型二 用弧度制表示终边相同的角
例2 把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．
(1)－1 500°；(2)；(3)－4.
反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．21·cn·jy·com
跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；
(2)在[0°，720°]内找出与角终边相同的角．
类型三 扇形的弧长及面积公式的应用
例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为________．
(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为________．
反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算．
跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
1．将化为角度是________．
2．时针经过一小时，转过了________rad.
3．若θ＝－5，则角θ的终边在第______象限．
4．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形圆心角的弧度数是________．
5．已知⊙O的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是________．21教育网
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．21cnjy.com
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×°＝度数．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 周角的等于1度．
思考2 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示．
思考3 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
梳理 (1) 角度制 半径长
圆心角 1弧度 弧度
知识点二
思考 利用1°＝ rad和1 rad＝()°进行弧度与角度的换算．
梳理 (1)2π 360° π 180° 0.017 45 57.30° (2)45° 90° 135° 270° 0 www.21-cn-jy.com
知识点三
思考 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则：
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝|α|r
扇形的面积
S＝
S＝lr＝|α|r2
题型探究
例1 解 (1)20°＝＝.
(2)－15°＝－＝－.
(3)＝×180°＝105°.
(4)－＝－×180°＝－396°.
跟踪训练1 解 (1) (2)－75°
例2 解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角．
(2)∵＝2π＋，
∴与终边相同，是第四象限角．
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π.
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
跟踪训练2 解 (1)＋2×(－5)π (2)72° 432°
例3 (1)π (2)
跟踪训练3 2
当堂训练
1．75° 2.－ 3.一 4.1或4 5.－
第1课时 任意角的三角函数
学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号．【来源：21·世纪·教育·网】
知识点一 任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.21·世纪*教育网
思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？www-2-1-cnjy-com
思考3 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
梳理 任意角的三角函数的定义
前提
如图，设 α是一个任意角，P(x，y)是它的终边上任意一点
定义
正弦
比值________叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝________
余弦
比值________叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝________
正切
比值________(x≠0)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝________
三角
函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以角的终边上点的坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
梳理 三角函数值的符号，如图所示．
口诀：“一______，二________，三________，四______”．
类型一 三角函数定义的应用
例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．21cnjy.com
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝.www.21-cn-jy.com
跟踪训练2 已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值．
类型二 三角函数值符号的判断
例3 (1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在第________象限．
(2)确定下列各三角函数值的符号．
①sin 182°；②cos(－43°)；③tan.
反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．21教育网
跟踪训练3 (1)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角．
(2)判断下列各式的符号．
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝________.
2．已知角α的终边上有一点P(，－)，则sin α＋cos α＝________.
3．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，则tan α＝________.
4．当α为第二象限角时，－的值是________．
5．已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cos α＝，求sin α和tan α.
1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．
2．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．21世纪教育网版权所有
3．终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等．21·cn·jy·com
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 sin α＝，cos α＝，tan α＝.
思考2 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．2·1·c·n·j·y
思考3 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
梳理
知识点二
思考 由三角函数定义，可以判断三角函数值的符号．
梳理 全正 正弦 正切 余弦
题型探究
例1 解 由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得
cos θ＝＝ .
又∵cos θ＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝，
tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝，
tan θ＝＝－3.
跟踪训练1 解 ±1
例2 解 由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则
x＝k，y＝－3k，
r＝ ＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，
＝＝＝，
∴10sin α＋＝10×＋3＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，
sin α＝＝＝，
＝＝＝－，
∴10sin α＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.
综上所述，10sin α＋＝0.
跟踪训练2 － －
例3 (1)四 (2)①－ ②＋ ③－
跟踪训练3 (1)二 (2)①－ ②＋
当堂训练
1．－ 2.－ 3.－ 4.2
5．解 因为r＝|OP|＝，
所以由cos α＝，得＝，解得x＝±.
当x＝时，sin α＝－，tan α＝－；
当x＝－时，sin α＝－，tan α＝.
第2课时 三角函数线
学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
知识点一 有向线段
思考1 比如你从学校走到家和你从家走到学校，效果一样吗？
思考2 如果你觉得效果不同，怎样直观的表示更好？
梳理 有向线段
(1)有向线段：规定了________(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段．
(2)有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线．
(3)有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上______或______，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB.21·cn·jy·com
(4)单位圆：圆心在________，半径等于____________的圆．
知识点二 三角函数线
思考1 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？【出处：21教育名师】
思考2 三角函数线的方向是如何规定的？
思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？
梳理
图示
正弦线
角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段________即为正弦线
余弦线
有向线段________即为余弦线
正切线
过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段________即为正切线
知识点三 正弦、余弦、正切函数的定义域
思考 对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？
梳理 三角函数的定义域
函数名
定义域
正弦函数
R
余弦函数
R
正切函数
{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}
类型一 三角函数线
例1 作出－的正弦线、余弦线和正切线．
反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．21cnjy.com
(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.【来源：21cnj*y.co*m】
跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α的取值集合．
类型二 利用三角函数线比较大小
例2 利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小．
反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”．(2)比较三角函数线的长度．(3)确定有向线段的正负．【版权所有：21教育】
跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小．
类型三 利用三角函数线解不等式(组)
例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；
(2)cos α≤－.
反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：
(1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期．
(2)注意区间是开区间还是闭区间．
跟踪训练3 已知－≤cos θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．
例4 求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝lg(sin x－)＋.
反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．2·1·c·n·j·y
跟踪训练4 求函数f(x)＝的定义域．
1．函数y＝的定义域为________．
2．如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线分别是____________．
3．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则a、b、c的大小关系是________．(按由小到大顺序排列)【来源：21·世纪·教育·网】
4．函数y＝的定义域为________．
5．利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角α的区域，并写出角α的集合：
(1)cos α＞－；(2)tan α≤；(3)|sin α|≤.
1．三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．21教育网
2．三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.2-1-c-n-j-y
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更容易了．21*cnjy*com
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 不一样．
思考2 用有向线段AB和BA表示较好．
梳理 (1)方向 (3)正号 负号
(4)原点 单位长度
知识点二
思考1 sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.
思考2 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值．
思考3 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．
梳理 MP OM AT
知识点三
思考 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时无意义，故tan α无意义．
题型探究
例1 解 如图所示，
sin＝MP，
cos＝OM，
tan＝AT.
跟踪训练1 解 已知角α的正弦值，可知MP＝，则P点纵坐标为.所以在y轴上取点，过该点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为{α|α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z}．www.21-cn-jy.com
例2 解 如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.21·世纪*教育网
显然|MP|>|M′P′|，符号皆正，
∴sin>sin；
|OM|<|OM′|，符号皆负，
∴cos>cos；
|AT|>|AT′|，符号皆负，
∴tan跟踪训练2 sin 1 155°>sin(－1 654°)．
例3 解 (1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连结OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．21世纪教育网版权所有
故满足要求的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连结OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．www-2-1-cnjy-com
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
跟踪训练3 {θ|2kπ－π≤θ<2kπ－或2kπ＋<θ≤2kπ＋π，k∈Z}
例4 解 (1)为使y＝有意义，
则3tan x－≥0，所以tan x≥，
所以角x终边所在区域如图所示，
所以kπ＋≤x所以原函数的定义域是{x|kπ＋≤x(2)由题意知，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴{x|2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z}．
跟踪训练4 {x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}
当堂训练
1．{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}
2．MP、AT 3.b4. ，k∈Z
5．解 (1){α|2kπ－＜α＜2kπ＋，k∈Z}．
(2){α|kπ－<α≤kπ＋，k∈Z}．
(3)|sin α|≤，即－≤sin α≤，
{α|kπ－≤α≤kπ＋，k∈Z}．
1.2.2 同角三角函数关系
学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．
知识点 同角三角函数的基本关系式
思考1 计算下列式子的值：
(1)sin230°＋cos230°；
(2)sin245°＋cos245°；
(3)sin290°＋cos290°.
由此你能得出什么结论？尝试证明它．
思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？
梳理 (1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系：________________.
②商数关系：________________.
(2)同角三角函数基本关系式的变形
①sin2α＋cos2α＝1的变形公式
sin2α＝________；cos2α＝________.
②tan α＝的变形公式
sin α＝________；cos α＝________.
类型一 利用同角三角函数的关系式求值
命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
例1 若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于________．
反思与感悟 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．21世纪教育网版权所有
跟踪训练1 已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值
例2 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．
跟踪训练2 已知cos α＝－，求13sin α＋5tan α的值．
类型二 利用同角三角函数关系化简
例3 已知α是第三象限角，化简：－.
反思与感悟 解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：21教育网
(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．21cnjy.com
跟踪训练3 化简：(1)；
(2)－(α为第二象限角)．
类型三 利用同角三角函数关系证明
例4 求证：＝.
反思与感悟 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
(3)比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)．
(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
跟踪训练4 求证：＝.
类型四 齐次式求值问题
例5 已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.
反思与感悟 (1)关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值．21·cn·jy·com
(2)注意例5的第(2)问中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式．www.21-cn-jy.com
跟踪训练5 已知＝2，计算下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α－2sin αcos α＋1.
1．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于________．
2．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α＝________.
3．＝________.
4．若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝________.
5．已知sin α＝，求cos α，tan α.
1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．
2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．
3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．2·1·c·n·j·y
4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．【来源：21·世纪·教育·网】
5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．
答案精析
问题导学
知识点
思考1 3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函数的定义证明：
设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sin α＝y，cos α＝x.
∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1.
思考2 ∵tan α＝，∴tan α＝.
梳理 (1)①sin2α＋cos2α＝1
②tan α＝ (α≠kπ＋，k∈Z)
(2)①1－cos2α 1－sin2α
②cos αtan α
题型探究
例1 －
跟踪训练1 － －
例2 解 ∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
跟踪训练2 0
例3 解 原式＝－
＝－＝－.
∵α是第三象限角，∴cos α＜0.
∴原式＝－＝－2tan α(注意象限、符号)．
跟踪训练3 (1)1 (2)tan α
例4 证明 ∵右边
＝
＝
＝
＝
＝＝左边，
∴原等式成立．
跟踪训练4
证明 方法一 (比较法——作差)
∵－
＝
＝＝0，
∴＝.
方法二 (比较法——作商)
∵＝＝
＝＝＝1.
∴＝.
方法三 (综合法)
∵(1－sin x)(1＋sin x)＝1－sin2x
＝cos2x＝cos x·cos x，
∴＝.
例5 解 (1)原式＝＝.
(2)原式＝
＝＝＝.
跟踪训练5 (1) (2)
当堂训练
1．－ 2.－ 3.－cos 4.－
5．cos α＝ tan α＝
或cos α＝－ tan α＝－
第1课时 诱导公式(一～四)
学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．21cnjy.com
设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)．
知识点一 诱导公式一
思考 终边相同角的三角函数值之间有什么关系？
梳理
诱导公式一
知识点二 诱导公式二
思考 如图，角－α的终边与单位圆的交点P1(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？21·世纪*教育网
梳理
诱导公式二
知识点三 诱导公式三
思考 如图，角π－α的终边与单位圆的交点P2(cos(π－α)，
sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
梳理
诱导公式三
知识点四 诱导公式四
思考 如图，角π＋α的终边与单位圆的交点P3(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？www.21-cn-jy.com
梳理
诱导公式四
公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，－α，π－α，π＋α的三角函数与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是： 21世纪教育网版权所有
2kπ＋α(k∈Z)，－α，π－α，π＋α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．
类型一 利用诱导公式求值
例1 求下列各三角函数式的值．
(1)cos 210°；(2)sin ；
(3)sin(－)；(4)cos(－1 920°)．
反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：
(1)“负化正”：用公式一或三来转化．
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1 求下列各三角函数式的值．
(1)sin 1 320°； (2)cos； (3)tan(－945°)．
例2 已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ＝________.
反思与感悟 对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．21教育网
跟踪训练2 已知sin(π－α)＝－sin(π＋β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.21·cn·jy·com
类型二 利用诱导公式化简
例3 化简下列各式．
(1)；
(2).
引申探究
若本例(1)改为：
(n∈Z)，请化简．
反思与感悟 三角函数式的化简方法：
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan .
跟踪训练3 化简下列各式．
(1)；
(2).
1．sin 585°的值为________．
2．sin 750°＝________.
3．cos(－)＋sin(－)的值为________．
4．已知cos(π－α)＝(<α<π)，则tan(π＋α)＝________.
5．化简：·sin(α－2π)·cos(2π－α)．
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π之间的角求值
公式二
将负角转化为正角求值
公式三
将角转化为0～之间的角求值
公式四
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．2·1·c·n·j·y
3．已知角求值问题，一般要利用诱导公式二和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解．必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”【来源：21·世纪·教育·网】
答案精析
问题导学
知识点一
思考 终边相同角的三角函数值相等．
知识点二
思考 关于x轴对称．
知识点三
思考 关于y轴对称．
知识点四
思考 关于原点对称．
题型探究
例1 解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－.
(2)sin＝sin(2π＋)＝sin＝sin(π－)＝sin＝.
(3)sin(－)＝－sin(6π＋)＝－sin＝－sin(π＋)＝sin＝.
(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－.
跟踪训练1 解 (1)－ (2)－ (3)－1
例2
跟踪训练2 α＝，β＝
或α＝π，β＝π
例3 解 (1)原式＝
＝＝－＝－tan α.
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.
引申探究
解 当n＝2k时，
原式＝＝－tan α；
当n＝2k＋1时，
原式＝＝－tan α.
跟踪训练3 (1)1 (2)
当堂训练
1．－ 2. 3. 4.－ 5．cos2α
第2课时 诱导公式(五～六)
学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．21cnjy.com
知识点一 诱导公式五
思考1 角与角的三角函数值有什么关系？
思考2 角α的终边与角－α的终边有怎样的对称关系？
梳理 诱导公式五
知识点二 诱导公式六
思考 能否利用已有公式得出＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？
梳理 诱导公式六
知识点三 诱导公式的推广与规律
1．sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，
sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________.
2．诱导公式记忆规律：
公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．
公式五～六归纳：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．21·cn·jy·com
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．
类型一 利用诱导公式求值
例1 (1)已知cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求cos的值；
(2)已知cos＝，求cos·sin的值．
反思与感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．21·世纪*教育网
跟踪训练1 已知sin＝，求cos的值．
类型二 利用诱导公式证明三角恒等式
例2 求证：＝－tan α.
反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
跟踪训练2 求证：＝.
类型三 诱导公式在三角形中的应用
例3 在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状．
反思与感悟 解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC中，A＋B＋C＝π，＝，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin＝cos，cos＝sin.21教育网
跟踪训练3 在△ABC中，给出下列四个式子：
①sin(A＋B)＋sin C；
②cos(A＋B)＋cos C；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C.
其中为常数的式子的序号是________．
类型四 诱导公式的综合应用
例4 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．
反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．www.21-cn-jy.com
跟踪训练4 已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．【来源：21·世纪·教育·网】
1．已知sin＝，则cos的值为________．
2．若cos(2π－α)＝，则sin(－α)＝________.
3．已知tan θ＝2，则＝________.
4．已知cos＝2sin，
求的值．
5．已知cos(＋α)＝，求值：＋.
1．诱导公式的分类及其记忆方式
(1)诱导公式分为两大类：
①α＋k·2π，－α，α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．21世纪教育网版权所有
②α＋，－α＋的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．2·1·c·n·j·y
(2)以上两类公式可以归纳为：k·＋α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．www-2-1-cnjy-com
2．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，)内的三角函数值”这种方式求解．2-1-c-n-j-y
用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到之间的角的三角函数的基本步骤：
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 sin＝cos ＝，
cos ＝sin ＝.
思考2 关于直线y＝x对称．
知识点二
思考 以－α代替公式五中的α得到
sin ＝cos(－α)，
cos＝sin(－α)．
知识点三
1．－cos α －sin α －cos α sin α
题型探究
例1 解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，又α为第一象限角，
则cos＝－sin α＝－＝－＝－.
(2)cos·sin＝cos·sin
＝－cos·sin＝－sin＝－cos＝－.
跟踪训练1 解 ∵＋α＋－α＝，
∴－α＝－.
∴cos＝cos＝sin＝.
例2 证明 ∵左边＝
＝＝
＝＝－＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
跟踪训练2 证明 因为左边
＝
＝
＝
＝
＝＝.
右边＝＝.
所以左边＝右边，故原等式成立．
例3 解 ∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
∵sin＝sin，
∴sin＝sin，
∴sin(－C)＝sin(－B)，
即cos C＝cos B.
又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B，
∴△ABC为等腰三角形．
跟踪训练3 ②③
例4 解 (1)f(α)＝＝cos α.
(2)因为f(A)＝cos A＝，
又A为△ABC的内角，
所以由平方关系，得
sin A＝＝，
所以tan A＝＝，
所以tan A－sin A＝－＝.
跟踪训练4 －
当堂训练
1．－ 2.－ 3.－2 4.
5．证明 原式＝＋＝－sin α－sin α＝－2sin α.
又cos(＋α)＝，所以－sin α＝.
所以原式＝－2sin α＝.
1.3.1 三角函数的周期性
学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．21·世纪*教育网
知识点一 周期函数
思考 单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．www-2-1-cnjy-com
梳理 (1)周期函数的定义
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个____________T，使得定义域内的每一个x值 ，都满足________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个____________，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．【来源：21cnj*y.co*m】
知识点二 正弦函数、余弦函数、正切函数的周期
思考 6π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？
梳理 (1)正弦函数、余弦函数的周期
正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.
(2)正切函数的周期
正切函数是周期函数，最小正周期是π.
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝.2-1-c-n-j-y
类型一 求三角函数的周期
例1 求下列函数的周期：
(1)y＝3sin(x＋)； (2)y＝2cos(－＋)； (3)y＝|sin x|.
反思与感悟 求三角函数的周期，通常有三种方法：
(1)定义法．
(2)公式法：对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，有T＝.21教育网
(3)观察法(图象法)．
跟踪训练1 (1)函数y＝3cos(x－)的最小正周期为________．
(2)y＝2cos(ωx＋)的最小正周期为π，则ω＝________.
类型二 利用周期求函数值
例2 若f(x)是以为周期的奇函数，且f ＝1，求f 的值．
反思与感悟 (1)利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．
(2)利用函数性质，将所求转化为可求的x的函数值，从而可解决求值问题．
跟踪训练2 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f 的值．21*cnjy*com
类型三 函数周期性的综合应用
例3 设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7)的值．
引申探究
将例3中的条件f(x＋2)＝－f(x)改为：f(x)的图象关于x＝1对称，其余条件不变，求f(7)的值．21cnjy.com
反思与感悟 (1)解答此类题目的关键是利用化归思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．21·cn·jy·com
(2)如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．
跟踪训练3 设函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2.
(1)求f(3)；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
1．下列说法中，正确的是________．(填序号)
①因为sin(π－x)＝sin x，所以π是函数y＝sin x的一个周期；
②因为tan(2π＋x)＝tan x，所以2π是函数y＝tan x的最小正周期；
③因为当x＝时，等式sin(＋x)＝sin x成立，所以是函数y＝sin x的一个周期；
④因为cos(x＋)≠cos x，所以不是函数y＝cos x的一个周期．
2．函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的周期为，则ω＝________.
3．函数y＝cos的最小正周期为________．
4．求下列函数的最小正周期．
(1)f(x)＝cos(－2x－)；
(2)y＝4sin(ax＋)(a≠0)．
1．函数周期性的理解：
(1)对于“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内任意一个x，x＋T仍在定义域内且等式成立．21世纪教育网版权所有
(2)周期函数的周期不是惟一的，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数的周期．www.21-cn-jy.com
(3)并不是所有周期函数都有最小正周期．如常数函数f(x)＝C没有最小正周期．
2．求三角函数的周期，通常有三种方法：
(1)定义法．
(2)公式法：对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝.2·1·c·n·j·y
(3)观察法(图象法)．
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sin x，cos(2π＋x)＝cos x．故正弦函数和余弦函数也具有周期性．
梳理 (1)非零的常数 f(x＋T)＝f(x)
(2)最小的正数
知识点二
思考 是的．由sin(6π＋x)＝sin x恒成立，根据周期函数的定义，可知6π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．【来源：21·世纪·教育·网】
题型探究
例1 解 (1)T＝＝＝4.
(2)y＝2cos(－＋)＝2cos(－)，
∴T＝＝4π.
(3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π.
验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|，
∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的周期是π.
跟踪训练1 (1)4π (2)±2
例2 解 ∵f(x)是以为周期的奇函数，
∴f ＝－f ＝－f ＝－f ＝f ＝f(－)＝－f()，
又∵f()＝1，
∴f(－)＝－f()＝－1.
跟踪训练2
例3 解 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)的周期为4.又f(x)是奇函数，
∴f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝－f(1)．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，
∴f(7)＝－f(1)＝－1.
引申探究
解 函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．
又函数f(x)的图象关于x＝1对称，
则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数，
从而得f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
跟踪训练3 (1)0 (2)(x－3)2
当堂训练
1．④ 2.8 3.π 4.(1)π (2)
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质
学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.4.掌握正弦曲线、余弦曲线的性质．21教育网
知识点一 正弦函数图象
思考1 结合课本内容，思考并体会利用正弦线作正弦函数图象的方法．
思考2 如果有y＝sin x，x∈[0,2π]图象上的五个点，进行描点、连线，作出图象，那么哪五个点最关键？21·cn·jy·com
梳理 正弦曲线及作法
(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线．如图：
(2)正弦曲线的作法
①几何法——借助三角函数线．
②描点法——五点法．
用“五点法”画正弦曲线在[0，2π]上的图象时所取的五个关键点为________，________，________，________，________.www.21-cn-jy.com
知识点二 余弦函数图象
思考1 能否把正弦函数y＝sin x的图象转化为y＝cos x的图象？
思考2 如果用“五点法”作出y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点应为什么？
梳理 余弦曲线及作法
(1)余弦函数的图象叫做余弦曲线．如图：
(2)余弦曲线的画法
①要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向__________平移个单位长度便可，这是由于cos x＝____________.2·1·c·n·j·y
②用“五点法”画出余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点分别为：________，________，________，________，________.【来源：21·世纪·教育·网】
知识点三 正弦函数、余弦函数的性质
正、余弦函数的性质可从定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性及最值等方面进行比较．
正弦函数
余弦函数
解析式
y＝sin x
y＝cos x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在_________(k∈Z)上是单调增函数，在________(k∈Z)上是单调减函数
在____________(k∈Z)上是单调增函数，在___________(k∈Z)上是单调减函数
最值
x＝________(k∈Z)时，ymax＝1；x＝________(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝_________(k∈Z)时，ymax＝1；x＝_________(k∈Z)时，ymin＝－1
类型一 “五点法”作图的应用
例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
反思与感悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．21·世纪*教育网
跟踪训练1 用“五点法”作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
类型二 求正弦、余弦函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间．
(1)y＝2sin；
(2)y＝cos 2x.
反思与感悟 用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．21cnjy.com
跟踪训练2 求函数y＝2sin的单调增区间．
类型三 正弦函数、余弦函数的最值问题
例3 (1)已知函数f(x)＝2asin x＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值；www-2-1-cnjy-com
(2)求函数y＝sin2x－cos x的值域．
反思与感悟 (1)求形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值要注意对a的讨论．
(2)将函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．
(3)换元后配方，利用二次函数求最值．
跟踪训练3 (1)若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________.
(2)求函数y＝3－4cos，x∈的最大、最小值及相应的x值．
(3)求函数y＝3－4sin x－4cos2x的值域．
1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________．
2．函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈的值域是________．
3．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．
4．函数y＝的定义域为________．
5．请用“五点法”画出函数y＝sin的图象．
1．对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．
(2)图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．
2．作函数y＝asin x＋b的图象的步骤：
3．用“五点法”画函数y＝asin x＋b在一个周期[0,2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出．21世纪教育网版权所有
答案精析
问题导学
知识点一
思考2 (0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．
梳理 (2)②(0,0) (，1) (π，0) (，－1) (2π，0)
知识点二
思考1 能．把y＝sin x的图象向左平移个单位即可．
思考2 (0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
梳理 (2)①左 sin(x＋) ②(0,1) (，0) (π，－1) (，0) (2π，1)
知识点三
[－＋2kπ，＋2kπ]
[＋2kπ，＋2kπ]
[－π＋2kπ，2kπ] [2kπ，π＋2kπ]
＋2kπ －＋2kπ 2kπ π＋2kπ
题型探究
例1 解 取值列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
描点连线，如图所示．
跟踪训练1 解 列表如下：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
1－cos x
0
1
2
1
0
描点并用光滑的曲线连结起来，如图．
例2 解 (1)令z＝x－，则y＝2sin z.
∵z＝x－是单调增函数，∴y＝2sin z的单调增(减)区间即为原函数的单调增(减)区间，
y＝2sin z在上是单调增函数，∴原函数的单调增区间应满足
x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)．
故函数y＝2sin的单调增区间为(k∈Z)，
同理可求函数y＝2sin的单调减区间为(k∈Z)．
(2)由题意，令2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
故y＝cos 2x的单调增区间为(k∈Z)．
令2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，
得kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故y＝cos 2x的单调减区间为(k∈Z)．
跟踪训练2 (k∈Z)．
例3 解 (1)∵－≤x≤，
∴－≤sin x≤1.
若a＞0，则
解得
若a＜0，则
解得
(2)y＝sin2x－cos x＝－cos2x－cos x＋1＝－(cos x＋)2＋.
∵cos x∈[－1,1]，
∴当cos x＝－时，ymax＝；
当cos x＝1时，ymin＝－1.
∴函数y＝sin2x－cos x的值域为.
跟踪训练3 (1)±2
(2)当x＝－时，ymin＝－1
当x＝时，ymax＝5
(3)[－2,7]
当堂训练
1．0，，，，π
2．[－1,3] 3.2
4．[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z
5．解 令X＝2x－，则x变化时，y的值如下表：
X
0
π
2π
x
y
0
0
－
0
描点画图：
将函数在上的图象向左、向右平移即得y＝sin的图象．
第2课时 正切函数的图象与性质
学习目标 1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．
知识点一 正切函数的图象
思考1 体会利用正切线作正切函数图象的方法步骤．
思考2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y＝tan x，x∈的简图吗？怎样画？21cnjy.com
梳理 (1)正切函数的图象叫正切曲线，图象如下：
(2)正切函数的图象特征
正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．
知识点二 正切函数的性质
思考1 正切函数的定义域是什么？
思考2 诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？2·1·c·n·j·y
思考3 诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？【来源：21·世纪·教育·网】
思考4 从正切线上看，正切函数是区间(0，)上的单调增函数吗？
梳理 函数y＝tan x的图象与性质见下表：
解析式
y＝tan x
图象
定义域
值域
周期
奇偶性
单调性
在开区间________________________上都是单调增函数
类型一 正切函数的定义域
例1 求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝lg(－tan x)．
反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．21·cn·jy·com
跟踪训练1 求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
类型二 正切函数的单调性及其应用
例2 求函数y＝tan的单调区间及周期．
反思与感悟 y＝tan(ωx＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
跟踪训练2 求函数y＝tan的单调区间．
例3 (1)比较大小：
①tan 32°________tan 215°；
②tan________tan(－)．
(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为______________．(用“<”连接)
反思与感悟 运用正切函数的单调性比较大小的方法：
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
跟踪训练3 比较大小：tan________tan.
类型三 正切函数的图象及应用
例4 画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
反思与感悟 (1)作出函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：
①保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分．
②将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可．
跟踪训练4 设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
1．函数y＝tan(2x＋)的最小正周期是________．
2．若tan x＞tan 且x在第三象限，则x的取值范围是____________________．
3．方程tan＝在区间[0,2π)上的解的个数是________．
4．比较大小：tan 1________tan 4.
1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．21世纪教育网版权所有
2．正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}，值域是R.
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ) (Aω≠0)的周期为T＝.www.21-cn-jy.com
(3)正切函数在(k∈Z)上是单调增函数，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间．
答案精析
问题导学
知识点一
思考2 能，三个关键点：，(0,0)，，两条平行线：x＝，x＝－.
知识点二
思考1 {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}．
思考2 周期性．
思考3 奇偶性．
思考4 是．
梳理 {x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z} R π 奇 (k∈Z)
题型探究
例1 解 (1)要使函数y＝有意义，必须且只需
所以函数的定义域为{x|x∈R且x≠kπ－，x≠kπ＋，k∈Z}．
(2)因为－tan x>0，所以tan x<.
又因为当tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象，得kπ－＜x＜kπ＋ (k∈Z)，
所以函数的定义域是{x|kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z}．
跟踪训练1 (k∈Z)
例2 解 y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－所以函数y＝tan的单调减区间是，k∈Z，周期T＝＝2π.
跟踪训练2
(k∈Z)
例3 (1)①< ②<
(2)tan 2跟踪训练3 >
例4 解 由y＝|tan x|，得
y＝
其图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
单调增区间为(k∈Z)，
单调减区间为(k∈Z)，周期为π.
跟踪训练4 解 (1)∵ω＝，
∴周期T＝＝＝2π.
令－＝(k∈Z)，
得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝；
令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝－.
∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．21教育网
当堂训练
1. 2.(kπ＋，kπ＋)(k∈Z) 3．4 4.＞
第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
学习目标 1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响.2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)的图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．【来源：21cnj*y.co*m】
知识点一 φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
思考1 如何由y＝f(x)的图象变换得到y＝f(x＋a)的图象？
思考2 如何由y＝sin x的图象变换得到y＝sin(x＋)的图象？
梳理 如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向______(当φ>0时)或向______(当φ<0时)平行移动______个单位长度而得到的．
知识点二 ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
思考1 函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的周期分别是什么？
思考2 当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？
思考3 函数y＝sin ωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？
梳理 如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或____________(当0<ω<1时)到原来的________倍(纵坐标________)而得到．【出处：21教育名师】
知识点三 A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
思考 对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝sin x的函数值有何关系？
梳理 如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标______(当A>1时)或______(当0知识点四 函数y＝sin x的图象与y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象关系
正弦曲线y＝sin x到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程：
y＝sin x的图象 y＝sin(x＋φ)的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
类型一 平移变换
例1 函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？
反思与感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为||个单位．21教育网
跟踪训练1 要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象向左平移________个单位长度．21·cn·jy·com
类型二 伸缩变换
例2 将函数y＝sin的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的函数解析式为________．21cnjy.com
反思与感悟 横向伸缩变换，只变ω，φ不发生变化．
跟踪训练2 将函数y＝sin(x－)图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________的图象．【来源：21·世纪·教育·网】
类型三 图象变换的综合应用
例3 把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式．
反思与感悟 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．
(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练3 将函数y＝2sin(x＋)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为________．2-1-c-n-j-y
1．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．21世纪教育网版权所有
2．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平移________个单位．21*cnjy*com
3．要得到y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 的图象向左平移________个单位．
4．将函数y＝sin(－2x)的图象向左平移个单位长度，所得函数图象的解析式为__________________．【版权所有：21教育】
5．函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为____________．21教育名师原创作品
1．由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：21*cnjy*com
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ).
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin[ω(x＋)]＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ).
注意 两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是易出错的地方，应特别注意．
2．类似地，y＝Acos(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象也可由y＝cos x的图象变换得到．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位．
思考2 向左平移个单位．
梳理 左 右 |φ|
知识点二
思考1 2π，π，4π.
思考2 当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的，y＝sin x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍．www.21-cn-jy.com
思考3 可以，只要“伸”或“缩”y＝sin x的图象即可．
梳理 缩短 伸长 不变
知识点三
思考 对于同一个x，y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝sin x的函数值是y＝sin x的函数值的.2·1·c·n·j·y
梳理 伸长 缩短 A
题型探究
例1 解 函数y＝sin的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到的．
跟踪训练1
例2 y＝sin
跟踪训练2 y＝sin(x－)
例3 解
y＝2sin
y＝3sin
y＝3sin
y＝3sin＝3sin＝3cos x.
所以f(x)＝3cos x.
跟踪训练3
当堂训练
1. 2. 3.
4．y＝－cos 2x 5.y＝sin
第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
学习目标 1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．【出处：21教育名师】
知识点一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象
思考1 用“五点法”作y＝sin x，x∈[0,2π]时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？
思考2 用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？
梳理 用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的图象的步骤
第一步：列表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连结这些点，形成图象．
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质
名称
性质
定义域
________
值域
________
周期性
T＝________
对称性
对称中心(k∈Z)
对称轴
____________________________
奇偶性
当φ＝kπ(k∈Z)时是________函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时是________函数
单调性
通过整体代换可求出其单调区间
知识点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中
参数的物理意义
一个弹簧振子作简谐振动，如图所示，该弹簧振子离开平衡位置的位移随时间t变化的图象如下：
思考 做简谐振动的物体离开平衡位置的位移s与时间t满足s＝2sin ，图象中纵坐标2和横坐标4各具有怎样的物理意义？21世纪教育网版权所有
梳理 设物体做简谐运动时，位移s与时间t的关系为s＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)．其中A是物体振动时离开平衡位置的____________，称为振动的________；往复振动一次所需的________T＝称为这个振动的________；单位时间内往复振动的________f＝＝称为振动的________；ωt＋φ称为__________，t＝0时的相位φ称为________．
类型一 用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图象
例1 利用五点法作出函数y＝3sin(－)在一个周期内的草图．
反思与感悟 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点．21·cn·jy·com
(2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象．
跟踪训练1 已知f(x)＝1＋sin(2x－)，画出f(x)在x∈[－，]上的图象．
类型二 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．
反思与感悟 若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.21cnjy.com
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω.
(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)21教育网
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：2·1·c·n·j·y
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
跟踪训练2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数的解析式为________．
类型三 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
例3 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象过点P(，0)，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为(，5)．www.21-cn-jy.com
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的单调增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
反思与感悟 有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.21·世纪*教育网
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值．
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,0<φ<π)的图象的一段如图所示，它的解析式是_________．
2．函数y＝－2sin(－)的周期、振幅、初相分别是________________．
3．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝________.
4．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则f()＝________.
5.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的单调增区间．
1．利用“五点”作图法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，要先令“ωx＋φ”这一个整体依次取0，，π，π，2π，再求出x的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“ωx＋φ”的值．www-2-1-cnjy-com
2．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求得周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.2-1-c-n-j-y
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．21*cnjy*com
3．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 依次为0，，π，，2π.
思考2 用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的简图，先令t＝ωx＋φ，再由t取0，，π，，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－，－＋，－＋，－＋，－＋.【版权所有：21教育】
知识点二
R [－A，A] x＝＋(k∈Z)
奇 偶
知识点三
思考 2表示振幅，周期T＝＝4.
梳理 最大距离 振幅 时间 周期 次数 频率 相位 初相
A ωx＋φ φ
题型探究
例1 解 依次令－＝0，，π，，2π，列出下表：
－
0
π
2π
x
y
0
3
0
－3
0
描点，连线，如图所示．
跟踪训练1 解 (1)∵x∈[－，]，
∴2x－∈[－π，π]．
列表如下：
x
－
－π
－
π
2x－
－π
－π
－
0
π
f(x)
2
1
1－
1
1＋
2
(2)描点，连线，如图所示．
例2 由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有【来源：21cnj*y.co*m】
解得
∴y＝3sin.
跟踪训练2 y＝2sin
例3 解 (1)∵图象最高点的坐标为(，5)，
∴A＝5.
∵＝－＝，∴T＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝5sin(2x＋φ)．
代入点(，5)，得sin(＋φ)＝1，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又∵|φ|<，
∴k＝0，则φ＝－，
∴y＝5sin(2x－)．
(2)∵函数的单调增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(3)∵5sin(2x－)≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故所求x的取值范围是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
跟踪训练3 (1)－
(2)单调增区间为(k∈Z)
单调减区间为(k∈Z)
最大值为1 最小值为－1
当堂训练
1．y＝sin(2x＋)
2．4π，2，－
3．4 4.0
5．(1)sin(x＋)．
(2)[16k－6,16k＋2]，k∈Z
1.3.4 三角函数的应用
学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．21cnjy.com
知识点 利用三角函数模型解释自然现象
在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化．21·cn·jy·com
思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？
梳理 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．www.21-cn-jy.com
第二步：收集、整理数据，建立数学模型．
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化．2·1·c·n·j·y
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案．
类型一 三角函数模型在物理中的应用
例1 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；21教育网
(2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？21·世纪*教育网
反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径．21*cnjy*com
跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin(2πt＋)．
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
类型二 三角函数模型在生活中的应用
例2 某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟．如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：21世纪教育网版权所有
(1)当此人第四次距离地面 米时用了多少分钟？
(2)当此人距离地面不低于(59＋)米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？【来源：21·世纪·教育·网】
反思与感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案．
跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
1．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________ cm.2-1-c-n-j-y
2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.
3.一个单摆的平面图如图．设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角．α作为时间t(s)的函数，近似满足关系式α＝Asin(ωt＋)，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t＝0)时，α＝，且每经过π s小球回到初始位置，那么A＝________；α关于t的函数解析式是____________________________．
4．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sin(t＋)，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．www-2-1-cnjy-com
2．三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
答案精析
问题导学
知识点
思考 三角函数模型．
题型探究
例1 解 (1)由图可知A＝300，
设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)＝2＝.
∴ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，
即sin＝0，
而|φ|<，∴φ＝.
故所求的解析式为I＝300sin.
(2)依题意知，周期T≤，
即≤(ω>0)，
∴ω≥300π>942，又ω∈N＋，
故所求最小正整数ω＝943.
跟踪训练1 解 (1)周期T＝＝1(s)．
列表：
t
0
1
2πt＋
π
2π
2π＋
6sin(2πt＋)
3
6
0
－6
0
3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)．
例2 解 (1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y 米，则α＝t＝t.
由y＝108－－cost＝－49cost＋59(t≥0)．
令－49cost＋59＝，
得cost＝，
所以t＝2kπ±，
故t＝18k±3，k∈Z，故t＝3,15,21,33.
故当此人第四次距离地面 米时用了33分钟．
(2)由题意得－49cost＋59≥59＋，
即cost≤－.
故不妨在第一个周期内求即可，
所以≤t≤，解得≤t≤，
故－＝3.
因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌．
跟踪训练2 (1)h＝10sin t＋12(t≥0)
(2)10 s
当堂训练
1. 2.20.5
3. α＝sin(2t＋)，t∈[0，＋∞)
4．(1)4℃ (2)10时至18时
第一章 三角函数
1 同角三角函数关系巧应用
同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧应用.
一、知一求二
例1 已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝_________________________________.
解析 由sin α＝，
且sin2α＋cos2α＝1得cos α＝±，
因为≤α≤π，可得cos α＝－，
所以tan α＝＝－2.
答案 －2
点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.
二、“1”的妙用
例2 证明：＝.
证明 因为sin2x＋cos2x＝1，
所以1＝(sin2x＋cos2x)3，1＝(sin2x＋cos2x)2，
所以＝
＝＝＝.
即原命题得证.
点评 本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.
三、齐次式求值
例3 已知tan α＝2，求值：
(1)＝________；
(2)2sin2α－3cos2α＝________.
解析 (1)因为cos α≠0，分子分母同除以cos α，
得＝＝＝－1.
(2)2sin2α－3cos2α＝，
因为cos2 α≠0，分子分母同除以cos2α，
得＝＝＝1.
答案 (1)－1 (2)1
点评 这是一组在已知tan α＝m的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin α、cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以分子、分母可同时除以cosnα(n∈N＋).这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代入tan α＝m的值求解.【来源：21cnj*y.co*m】
2 善用数学思想——巧解题
一、数形结合思想
例1 在(0，2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是________.
解析 在同一坐标系中画出y＝sin x，y＝cos x，x∈(0，2π)的图象如图：
由图知，x∈(，).
答案 (，)
点评 求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单.
二、分类讨论思想
例2 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.
解 角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则x＝4t，y＝－3t，
r＝＝＝5|t|.
当t>0时，r＝5t，sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝，tan α＝＝＝－；
当t<0时，r＝－5t，sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－，
综上可知，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－；
或sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
点评 (1)若角的终边位置象限不确定，应分类讨论.(2)若三角函数值含有变量，因变量取不同的值会导致不同的结果，需要讨论.【出处：21教育名师】
三、函数与方程的思想
例3 函数f(x)＝cos x－sin2x(≤x≤)的最大值是________.
解析 f(x)＝cos x－sin2x＝cos2x＋cos x－1＝(cos x＋)2－，
设cos x＝t，因为≤x≤，所以由余弦函数的单调性可知，≤cos x≤，即≤t≤，又函数f(t)＝(t＋)2－在[，]上是单调增函数，故f(t)max＝f()＝，所以f(x)的最大值为.【版权所有：21教育】
答案
点评 遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值.
四、转化与化归思想
例4 比较下列每组数的大小.
tan(－)与tan(－).
解 tan(－)＝－tan，tan(－)＝－tan.
因为0<<<，且y＝tan x在(0，)上是单调增函数，所以tan－tan，21教育名师原创作品
即tan(－)>tan(－).
点评 三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的化归与转化思想.
3 三角函数的性质总盘点
三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.
一、定义域
例1 函数y＝的定义域为________.
解析 由题意得cos x≥，
所以2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
即函数的定义域是[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.
答案 [2kπ－，2kπ＋]，k∈Z
点评 解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.【来源：21·世纪·教育·网】
二、值域与最值
例2 函数y＝cos(x＋)，x∈(0，]的值域是________.
解析 因为0f(x)＝cos x的图象如图所示：
可知cos π≤cos(x＋)即－≤y<.故函数的值域是[－，).
答案 [－，)
点评 解本题的关键是从x的范围入手，先求得ωx＋φ的范围，再结合余弦函数的图象对应得出cos(ωx＋φ)的范围，从而可得函数的值域或者最值.21*cnjy*com
三、单调性
例3 已知函数f(x)＝sin(－2x)，求：
(1)函数f(x)的单调减区间；
(2)函数f(x)在[－π，0]上的单调减区间.
解 由f(x)＝sin(－2x)可化为f(x)＝－sin(2x－).
所以原函数的单调减区间即为函数y＝sin(2x－)的单调增区间.
(1)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)＝sin(－2x)的单调减区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
(2)在减区间[kπ－，kπ＋]，k∈Z中，
令k＝－1、0时，可以得到当x∈[－π，0]时，f(x)＝sin(－2x)的单调减区间为[－π，－]，[－，0].21教育网
点评 解本题的关键是先把函数化为标准形式y＝sin(ωx＋φ)，ω>0，然后把ωx＋φ看做一个整体，根据y＝sin x的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间.
四、周期性与对称性
例4 已知函数f(x)＝sin(2ωx－)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象的对称轴方程是________.2·1·c·n·j·y
解析 由T＝π＝得ω＝1，
所以f(x)＝sin(2x－)，
由2x－＝＋kπ，k∈Z，
解得f(x)的对称轴为x＝＋，k∈Z.
答案 x＝＋，k∈Z
点评 解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中心也有两种方法.www-2-1-cnjy-com
五、奇偶性
例5 若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π))是偶函数，则φ＝________.
解析 函数是偶函数，所以函数关于x＝0对称.
由＝＋kπ，k∈Z，可得函数的对称轴方程是x＝x＋3kπ－φ，k∈Z.令＋3kπ－φ＝0，k∈Z，21*cnjy*com
解得φ＝＋3kπ，k∈Z，又φ∈[0，2π)，故φ＝.
答案
点评 解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数?函数图象关于y轴对称；奇函数?函数图象关于原点对称.21cnjy.com
4 数形结合百般好，形象直观烦琐少
——构建正弦、余弦函数图象解题
正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题.
一、确定函数的值域
例1 定义运算a※b＝例如，1※2＝1，则函数f(x)＝sin x※cos x的值域为________.
解析 根据题设中的新定义，
得f(x)＝
作出函数f(x)在一个周期内的图象，如图可知函数f(x)的值域为.
答案
点评 有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确地求解.
二、确定零点个数
例2 函数f(x)＝x－sin x在区间[0，2π]上的零点个数为________.
解析 在同一直角坐标系内，画出y＝x及y＝sin x的图象，由图象可观察出交点个数为2.
答案 2
点评 有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.
三、确定参数的值
例3 已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝_______________________________________________________________.
解析 ∵f(x)＝sin(ω>0)且f＝f，
又f(x)在区间内只有最小值、无最大值，
画出函数大致图象，如图所示，
∴f(x)在＝处取得最小值.
∴ω＋＝2kπ－(k∈Z).∴ω＝8k－(k∈Z).
∵ω>0，∴当k＝1时，ω＝8－＝；
当k＝2时，ω＝16－＝，此时在区间内已存在最大值.故ω＝.
答案
点评 本小题考查对y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质的理解与应用，求解本题应注意两点：一是f(x)在处取得最小值；二是在区间内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以帮助解题.21世纪教育网版权所有
四、判断函数单调性
例4 设函数f(x)＝(x∈R)，则f(x)________.(将正确说法的序号填上)
①在区间上是单调增函数
②在区间上是单调增函数
③在区间上是单调减函数
④在区间上是单调减函数
解析 作出函数y＝的图象如图所示.
由图象可知②正确.
答案 ②
点评 形如f(x)＝|Asin(ωx＋φ)＋k|(A≠0，ω≠0)的函数性质，可作出其图象，利用数形结合思想求解.21·cn·jy·com
五、确定参数范围
例5 当0≤x≤1时，不等式sin ≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________.
解析 作出函数y＝sin ，y＝kx的函数图象，如图所示.
当k≤0时，显然成立；当0sin ≥kx在[0，1]上成立.综上所述，k≤1.
答案 (－∞，1]
点评 数形结合时，函数图象要根据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算判断.本题讨论y＝kx与y＝sin 的图象关系时，不要忘记k≤0的情况.21·世纪*教育网
六、研究方程的实根
例6 已知方程sin＝k在[0，π]上有两个实数根x1，x2，求实数k的取值范围，并求x1＋x2的值.2-1-c-n-j-y
解 在同一坐标系内作出函数y1＝sin(0≤x≤π)与y2＝k的图象，如图所示.
当x＝0时，y1＝sin＝1.
所以当k∈[1，)时，两曲线在[0，π]上有两个交点，即方程有两个实数根x1、x2，且x1、x2关于x＝对称，x1＋x2＝.www.21-cn-jy.com
故实数k的取值范围是[1，)，且x1＋x2＝.
点评 本题通过函数图象的交点个数判断方程实数根的个数，应重视这种方法.
第一章 三角函数
学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换．【来源：21·世纪·教育·网】
1．任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的________，记作______，即____________；
(2)x叫做α的________，记作______，即____________；
(3)叫做α的________，记作______，即____________．
2．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：____________________.
(2)商数关系：tan α＝ .
3．诱导公式
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．www.21-cn-jy.com
4．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{ x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}
值域
对称性
对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)
对称轴：x＝kπ(k∈Z)；
对称中心：(k∈Z)
对称中心：
(k∈Z)，无对称轴
奇偶性
周期性
最小正周期：_______
最小正周期：______
最小正周期：________
单调性
在
(k∈Z)上是单调增函数；在 (k∈Z)上是单调减函数
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上是单调增函数；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上是单调减函数
在开区间(kπ－，kπ＋)
(k∈Z)上是单调增函数
最值
在x＝______(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
无最值
类型一 三角函数的概念
例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.www-2-1-cnjy-com
反思与感悟 (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．2-1-c-n-j-y
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1 已知角α的终边经过点P(3,4t)，且sin(2kπ＋α)＝－(k∈Z)，则t＝______.
类型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用
例2 已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求：
(1)＋；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
反思与感悟 (1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.
(2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．21*cnjy*com
跟踪训练2 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
类型三 三角函数的图象与性质
例3 将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin x的图象．【出处：21教育名师】
(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值．【版权所有：21教育】
反思与感悟 研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决．
跟踪训练3 函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
类型四 三角函数的最值和值域
例4 求函数y＝－2sin(x＋)＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值．
反思与感悟 利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响．
跟踪训练4 已知函数y＝asin(2x＋)＋b在x∈[0，]上的值域为[－5,1]，求a，b的值．
例5 已知|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值．
反思与感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错．
跟踪训练5 已知函数f(x)＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a，b的值．21世纪教育网版权所有
类型五 数形结合思想在三角函数中的应用
例6 已知方程sin(x＋)＝在[0，π]上有两个解，求实数m的取值范围．
反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想．
跟踪训练6 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．若f(x)在区间[，]上是单调函数，且f()＝f()＝－f()，则f(x)的最小正周期为________．
1．若一个角α的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝，则a的值为_______．
2．已知f(α)＝，则f(－)的值为________．
3．函数y＝|sin x|＋sin|x|的值域为________．
4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是____________．21教育网
5．已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．21cnjy.com
三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．【来源：21cnj*y.co*m】
答案精析
知识梳理
1．(1)正弦 sin α sin α＝y (2)余弦 cos α cos α＝x (3)正切 tan α tan α＝ (x≠0)2·1·c·n·j·y
2．(1)sin2α＋cos2α＝1
4．[－1,1] [－1,1] R 奇函数
偶函数 奇函数 2π 2π π ＋2kπ
题型探究
例1 －8
跟踪训练1 －
例2 解 由根与系数的关系，得
sin θ＋cos θ＝，
sin θcos θ＝.
(1)原式＝＋＝＋
＝－＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由sin θ＋cos θ＝，
两边平方可得
1＋2sin θcos θ＝，
1＋2×＝1＋，
m＝.
(3)由m＝可解方程
2x2－(＋1)x＋＝0，
得两根和.
∴ 或
∵θ∈(0,2π)，
∴θ＝或.
跟踪训练2
解 (1)f(α)＝＝sin α·cos α.
(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，
(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α
＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝.
又∵<α<，∴cos α即cos α－sin α<0，
∴cos α－sin α＝－.
(3)∵α＝－＝－6×2π＋，
∴f ＝cos·sin
＝cos·sin
＝cos·sin＝×＝.
例3 解 (1)函数y＝ sin x的图象向下平移1个单位长度得y＝sin x－1，再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的倍，得到y＝sinx－1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y＝sin(x－)－1的图象，∴函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝6.由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，∴函数y＝f(x)的单调增区间是[6k－，6k＋]，k∈Z.21·世纪*教育网
(2)∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最值即为x∈[3,4]时，y＝f(x)的最值．
∵当x∈[3,4]时，x－∈[，π]，
∴sin(x－)∈[0，]，
∴f(x)∈[－1，]．
∴当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最小值是－1，最大值为.
跟踪训练3 解 (1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
例4 解 ∵x∈[0，π]，
∴x＋∈[，]，
∴－≤sin(x＋)≤1.
当sin(x＋)＝1，即x＝时，y取得最小值1.
当sin(x＋)＝－，即x＝π时，y取得最大值4.
∴函数y＝－2sin(x＋)＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.
跟踪训练4 解 ∵x∈[0，]，
∴2x＋∈[，π]，sin(2x＋)∈[－，1]．
∴当a＞0时，
解得
当a＜0时，
解得
∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.
例5 解 y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1.
令t＝sin x，∵|x|≤，
∴－≤sin x≤.
则y＝－t2＋t＋1＝－(t－)2＋(－≤t≤)，
∴当t＝－，即x＝－时，f(x)有最小值，且最小值为－(－－)2＋＝.
跟踪训练5 解 令t＝sin x，则
g(t)＝－t2－at＋b＋1＝－2＋＋b＋1，
且t∈[－1,1]．根据对称轴t0＝－与区间[－1,1]的位置关系进行分类讨论．
①当－≤－1，即a≥2时，
解得
②当－1<－<0，即0解得(舍)或(舍)，
综上所述，a＝2，b＝－2.
例6 解 函数y＝sin(x＋)，x∈[0，π]的图象如图所示，方程sin(x＋)＝在[0，π]上有两个解等价于函数y1＝sin(x＋)，y2＝在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点，所以≤＜1，即≤m＜2.21·cn·jy·com
跟踪训练6 π
当堂训练
1．－4或－ 2.－ 3.[0,2]
4．2，－ 5.[3,4]
