课件21张PPT。小结与复习第三章 变量之间的关系1.阅读相关内容，完成下列问题.
(1)定义：由不在___________的三条_____首尾顺次相接所组成
的图形叫做三角形.
(2)三角形的表示方法：一般的三角形用符号“___”表示.直角
三角形用符号“_____”表示.同一直线上线段△Rt△自主预习2.探究三角形三角关系.
(1)在纸上任意画一个三角形，测量它的三个内角可得，三个内
角的和是_____.
(2)做一个三角形纸片，将其三个内角剪下拼在一起可以得到一
个___角.
(3)做一个直角三角形的纸片，将其两个锐角剪下拼在一起可得
一个___角. 180°平直【归纳】①三角形的三个内角的和是_____；
②直角三角形的两锐角_____.
自主预习3.三角形按角可分为：_____三角形、_____三角形、_____三角
形.
【点拨】判断三角形中最大内角的度数，就可以判断这一个三
角形的形状.锐角直角钝角自主预习 4.已知三角形中两个内角的度数，能确定三角形的形状吗？
提示：能，根据三角形的内角和是180°，可以确定第三个角的度数，进而确定三角形的形状.
与三角形有关的概念
【例1】如图所示，图中有几个三角形？请分别表示出来.∠AEC, ∠ABD分别是哪些三角形的内角？以BD为边的三角形有哪些? 新知探究【解题探究】(1)①图中较小的三角形有△BEF，△CDF，△BFC.
②两个图形组合为一个三角形的有：△BEC,△BDC,△ABD,△AEC,还有最大的一个三角形是：△ABC. 所以，图中有8个三角形.
(2)以∠AEC为内角的三角形有△AEC.
以∠ABD 为内角的三角形有△BEF,△ABD.
(3)以BD 为边的三角形有△BDC,△ABD.【跟踪训练】
1.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有( )
(A)2对 (B)3对 (C)4对 (D)6对
【解析】选B.△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC，共3对.2.如图，在△ABC中，AD,BF,CE相交于O点，则图中的三角形的个数是( )
(A)7个 (B)10个 (C)15个 (D)16个
【解析】选D.最小的有6个，2个组成1个的有3个，3个组成1个的有6个，最大的有1个，则共有6+3+6+1=16(个).3.如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依次类推，则第6个图中共有三角形______个.
【解析】第n个图中，三角形的个数是1+4(n-1)=4n-3，所以当n=6时，三角形的个数是21.
答案：21 三角形内角和定理的应用
【例2】如图，△ABC中，∠A=60°，∠B∶∠C=1∶5.求∠B的度数.新知探究【规范解答】设∠B=x°，
因为∠B∶∠C=1∶5，
所以∠C=5x° . ……………………………………………… 2分
因为三角形的三个内角的和是180°,
所以∠A+∠B+∠C=180°,
所以得方程：60+x+5x=180, ………………………………… 4分
解得x=20,
故∠B=20°. ……………………………………………………6分
4.已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )
(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°
【解析】选A.设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，则
x+2x+x+20°=180°，解得x=40°，即∠A=40°.5.在△ABC中，∠C=65°，∠B=25°，则这个三角形是_______.
【解析】∠A=180°-∠C-∠B=180°-65°-25°=90°.故为直角三角形.
答案：直角三角形6.如图，已知AD∥BC，∠EAD=50°，∠ACB=40°，则∠BAC=____度.
【解析】因为AD∥BC，∠EAD=50°，
所以∠EBC=∠EAD=50°.
在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=40°，
∴∠BAC=180°-50°-40°=90°.
答案：90
你有什么收获？知识梳理1.如图，在△ABC中，
∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则
∠1＋∠2＝( )
(A)360° (B)250°
(C)180° (D)140°随堂练习【解析】选B.因为∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，
所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
又因为∠3+∠4=180°-∠C=110°，
所以∠1+∠2=360°-110°=250°. 2. 如图，B处在A处的
南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°
方向，C处在B处的北偏东80°方向，则
∠ACB等于( )
(A)40° (B)75°
(C)85° (D)140°
【解析】选C.由题意知，∠ABC =80°-45°=35°，∠BAC
=45°+15°=60°, ∠C=180°-35°-60°=85°.3.如图所示，图中有____个三角形，____个直角三角形.
【解析】图中有5个三角形，4个直角三角形.
答案：5 44.如图所示，AB∥CD，AD∥BC，∠1=65°，∠2=55°，则∠C=____.
【解析】因为AB∥CD，AD∥BC，所以∠BDC=∠2=55°，∠DBC=∠1=65°，所以∠C=180°-∠BDC-∠DBC=60°.
答案：60°5.如图所示，已知DF⊥AB于F，∠A=40°，∠D=50°，求∠ACB的度数.
【解析】在△BDF中，
∠B=180°-∠BFD-∠D=180°-90°-50°=40°，
在△ACB中，∠A=40°，
故∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-40°=100°.课件17张PPT。4.1.2三角形的三边关系第四章 三角形 4.1认识三角形
1、 三角形的内角和
2、三角形的分类知识回顾1.等腰三角形的相关概念.
(1)等腰三角形：有_____相等的三角形叫做等腰三角形.
(2)等边三角形：_____都相等的三角形是等边三角形，也叫
_________.
(3)关于等腰三角形各部分有其特定的名称.
①相等的两条边称为___，第三边称为_____.
②两腰的夹角称为_____，另两个角(腰与底的夹角)称为_____.两边三边正三角形腰底边顶角底角自主预习2.三角形的边角关系.
(1)三角形任意两边之和_____第三边.
(2)三角形任意两边之差_____第三边.
【归纳】如果三角形的两边为a,b,则第三边x的取值范围是：
|a-b|提示：是.等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是腰和底相等的等腰三角形.
三角形的三边关系及应用
【例】等腰三角形一边长为5 cm，它比另一边短6 cm,求三角形周长.新知探究【解题探究】(1)你能确定5 cm的边是腰还是底吗？
答：不能，故此题可能有两解，即5 cm的边为底或为腰.
(2)①当5 cm的边为腰时，则底边长为5+6=11(cm).
因为5+5=10＜11,所以不能构成三角形.
②当5 cm的边为底边时，此时腰长为5+6=11(cm).
又因为11+5＞11，故能构成三角形.所以三角形周长为5+11+11=27(cm).【跟踪练习】
1.下列长度的三条线段，不能构成三角形的是( )
(A)3，8，4 (B)4，9，6
(C)15，20，8 (D)9，15，8
【解析】选A.因为3+4＜8，所以不能构成三角形；因为4+6＞9，所以能构成三角形；因为8+15＞20，所以能构成三角形；因为8+9＞15，所以能构成三角形.故选A.2. 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( )
(A)3＜x＜11 (B)4＜x＜7
(C)-3＜x＜11 (D)x＞3
【解析】选A.因为三角形的三边长分别为4，7，x，∴7-4＜x＜7+4，即3＜x＜11.3.为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在
池塘一侧选取了一点P，测得PA=16 m，
PB=12 m，那么A，B间的距离不可能是( )
(A)5 m (B)15 m (C)20 m (D)28 m
【解析】选D.因为PA，PB，AB能构成三角形，所以PA-PB＜AB＜PA+PB，即4 m＜AB＜28 m. 4.如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
【解析】选B.设第三边的边长是x，则7＜x＜11，所以x=8或9或10.而三角形的周长是奇数，因而x=8或10，满足条件的三角形共有2个.知识梳理你有什么收获？1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
(A)1，1，2 (B)3，4，5
(C)1，4，6 (D)2，3，7
【解析】选B.由1+1=2，1+4＜6，2+3＜7，得A，C，D均不正确，故B正确. 随堂练习2.如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)8
【解析】选C.由题意，设第三边为x，则5-3＜x＜5+3，即2＜x＜8，因为第三边长为偶数，所以第三边长是4或6.故选C.随堂练习3.若三角形的两边长分别为2和4，且周长为奇数，则第三边的长是______.
【解析】根据三角形的三边关系，得第三边长应大于4-2=2，而小于4+2=6.又三角形的两边长分别为2和4，且周长为奇数，所以第三边长应是奇数，则第三边长是3或5.
答案：3或5随堂练习4.已知：在△ABC中，AB=2 cm，AC=5 cm，且BC边的长度为偶数(单位：cm)，则BC边的长为______.
【解析】根据三角形的三边关系，得5-2＜BC＜5+2，即3＜BC＜7.又BC长是偶数，则BC=4 cm或6 cm.
答案：4 cm或6 cm随堂练习5.如图，有四个村庄(点)A，B，C，D，
要建一所学校O，使OA+OB+OC+OD最小，
画图说明O在哪里，并说出你的理由.随堂练习【解析】要使OA+OB+OC+OD最小，则点O
是线段AC，BD的交点.
理由如下：如果存在不同于点O的交点P，
连接PA，PB，PC，PD，
那么PA+PC＞AC，即PA+PC＞OA+OC，
同理，PB+PD＞OB+OD，
则PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
即点O是线段AC，BD的交点时，OA+OB+OC+OD最小.课件23张PPT。4.1.3三角形的重要线段第四章 三角形 4.1认识三角形1.有 相等的三角形叫等腰三角形
有三边都相等的三角形式 三角形，也叫正三角形
2. 两边之和大于第三边。
两边之差小于第三边。
第三边大于两边之 ,小于两边之 。知识回顾三角形的三种重要线段的概念及特征 线段一点自主预习中点一点垂足高线高一点探究：三角形的三条高的关系：
如图，画出锐角三角形、直角
三角形和钝角三角形的三条高.
①锐角三角形的三条高相交于三角形___部的___个点.
②直角三角形的三条高相交于三角形的_________.
③钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形___部的___个点.
【归纳】三角形的三条高所在的直线相交于一点.
【点拨】三角形的角平分线、高、中线都是线段.内一直角顶点外一【预习思考】
三角形的角平分线和角的平分线是一回事吗？
提示：不是.它们均平分一个角，但三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线. 三角形的三种重要线段区分
【例1】如图，在△ABC中，∠BCA是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示：
(1)∠ABC的角平分线；
(2)AC边上的中线；
(3)AC边上的高. 新知探究【规范解答】如图所示：
(1)BE为∠ABC的角平分线，可表示为∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
或∠ABC＝2∠ABE=2∠CBE. ………………………………… 3分特别提醒：△ABC的AC
边上的高在三角形外，不要画在三角形内，注意在垂足处标上垂直符号.(2)BD为AC边上的中线,可表示为AD＝CD＝ AC.
(3)BF为AC边上的高,可表示为BF⊥AC于点F，或∠AFB=90°.
三角形的三种重要线段识别的两点注意
(1)不要混淆：准确把握三角形三种重要线段的概念，弄清三者的区分.
(2)注意数量关系的推理判断：三角形的角平分线可得到两个相等角，三角形的中线可得到两条相等的线段和两个面积相等的三角形,三角形的高可得到垂直关系或直角.新知探究【跟踪练习】
1.如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1=∠2=∠3=∠4，AE是哪个三角形的角平分线( )
(A)△ABE (B)△ADF
(C)△ABC (D)△ABC，△ADF2.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分
别为C，D，E，则下列说法不正确的是( )
(A)AC是△ABC的高
(B)DE是△BCD的高
(C)DE是△ABE的高
(D)AD是△ACD的高3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形
(C)直角三角形 (D)都有可能
【解析】选C.一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是直角三角形.4、下列说法正确的是( )
①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部.
(A)①②③ (B)①②
(C)②③ (D)①③
【解析】选B.①②正确；而对于三角形的三条高：锐角三角形的三条高在三角形的内部；直角三角形有两条高在边上，一条在内部；钝角三角形有两条高在外部，一条在内部.故③错误. 三角形中三条重要线段的综合应用
【例2】已知在△ABC中，∠C＞∠B,
AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，
试说明∠DAE= (∠C-∠B).
【规范解答】因为AD⊥BC,
所以∠BDA=90°,
所以∠BAD=90°-∠B. ……………………………………… 2分新知探究【跟踪练习】
5.如图，AD，BE都是△ABC的高，则与∠CBE一定相等的角是
( )
(A)∠ABE (B)∠BAD (C)∠DAC (D)∠C
【解析】选C.在△BEC和△ADC中，∠C是公共角，∠ADC=∠BEC =90°，所以∠CBE=∠DAC.6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=_____.
【解析】因为AE平分∠BAC，所以∠1=∠EAD+∠2，所以∠EAD=∠1-∠2=30°-20°=10°，Rt△ABD中，∠B=90°-∠BAD =90°-30°-10°=50°.
答案：50°知识梳理你有什么收获？1.把三角形的面积分为相等的两部分的是( )
(A)三角形的角平分线
(B)三角形的中线
(C)三角形的高
(D)以上都不对
【解析】选B.三角形的一条中线把三角形分成两个等底同高的三角形，所以把三角形的面积分为相等的两部分的是三角形的中线.随堂练习2.下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是( )
3.如图，在△ABC中，BC边上的高是______；在△ADC中，DC边上的高是______；在△EBC中，EC边上的高是______.
【解析】△ABC是钝角三角形，BC边上的高是AD；△ADC是直角三角形，DC边上的高是直角边AD；△EBC中, EC边上的高是BG.
答案：AD AD BG4.如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，若∠BAC＝
58°，则∠ADE＝______.
【解析】因为AD为△ABC的角平分线，所以∠BAD= ∠BAC=29°.
又因为DE∥AB，所以∠ADE=∠BAD=29°.
答案：29°5.如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B.
(1)试说明CD是△ABC的高；
(2)如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长. 【解析】(1)因为∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B，所以
∠B+∠BCD=90°，所以∠CDB=90°，
所以△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，故CD是△ABC的高.
(2)因为∠ACB=∠CDB=90°，
所以S△ABC = AC·BC= AB·CD.
又因为AC=8，BC=6，AB=10，
所以CD= .课件23张PPT。4.2图形的全等第四章 三角形 全等图形的定义
观察图中的两组图：
(1)(2) 这些图形中,有些是完全一样的,如果把它们叠在一起,它们就能重合.你能分别从图中找出这样的图形吗? 两个能够重合的图形称为全等图形.(congruent figures)自主预习图中共有多少对全等图形，（1）（2）（3）（4）（5）（12）6（13）（14）（15）（7）（8）（9）（16）(17) 判定两个图形是否全等的基本方法是把他们重叠起来,看看他们是否能够互相重合,但在不少情况下, 无须把两个图形重叠在一起, 就知他们是否全等.他们分别是全等图形的形状和大小都相同形状
相同大小
相同(1) 你能说出生活中全等图形的例子吗?(3) 如果两个图形全等，它们的形状大小一定都相同吗？新知探究 沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个全等图形 （至少找出两种方法），并与同伴交流。2、 从图中找出
两对全等的图形，
与同伴进行交流。1、 如图，做四个
全等的小“L”型纸
片，将它们拼成一
个大“L”型全等的
图案。新知探究两个能够重合形状大小知识梳理ABCDEF 如果△ABC与△DEF会互相重合，顶点A与顶点___重合，顶点B与顶点___重合，顶点C与顶点___重合。
AB边与_____ 边重合， BC边与 _____ 边重合，AC边与_____边重合。
角∠A与_____重合，角∠B与 _____重合，角∠C与 ___重合。看一看DEFDEEFDF∠D∠E∠F全等三角形的对应边有什么关系？
全等三角形的对应角有什么关系？ 结论：全等三角形的对应边相等；对应角相等。ABCDEF 在全等三角形中，互相重合的顶点称为对应顶点，互相重合的边称为对应边，互相重合的角称为对应角。对应角所对的边是对应边， 对应边所对的角是对应角。知识梳理ABCDEF
△ABC全等于△DEF可表示为：△ABC △DEF注意：表示时通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。
≌ABCDEF 若已知△ABC≌△DEF，则对应边有：______________________;
对应角有_______________________;
相等的边是：___________________;
相等的角是：____________________;
AB与DE,BC与EF,AC与DF∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠FAB=DE,BC=EF,AC=DF∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F知识梳理1、若△AOC≌△BOD，对应
边是 ，对应角是 ；ABOCD2、若△ABD≌△ACD，对应边是 ，对应角是 ；ABCD3、若△ABC≌△CDA,对应
边是 ，对应角是 ；
A BCD随堂练习 4、如图，已知△ABC≌△ADE,
∠C=∠E,BC=DE,找出其它的相等的边有 ：_________________;
相等的角有：________________;
ABCDE随堂练习5、如图，△ABD≌△ACE，若∠B＝25°，BD＝6㎝，AD＝4㎝，你能得出△ACE中哪些角的大小，哪些边的长度吗？为什么 ？ABCDE6、已知△ABC≌△DEF，A与D、B与E分别是对应顶点，∠ A＝52°，∠B＝67°，BC ＝15㎝。
则∠F＝________ ，EF＝______㎝。2018-10-71随堂练习 1.右图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗？你能把它分成三个、四个全等的三角形吗？随堂练习2、能够 的两个图形叫做全等图形。两个三角形重合时，互相 ＿＿ 的顶点叫做对应顶点。记两个全等三角形时，通常把表示 顶点的字母写在 的位置上。3、如图△ABC≌ △ADE若∠D= ∠B，
∠C= ∠AED，则∠DAE= ； ∠DAB= 。
4、如图△ ABD ≌ △CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，则BC= ，CD= 。5、如图,已知△ AOC ≌ △BOD
求证：AC∥BD6、如图△ABD≌ △EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的长.课件9张PPT。4.3.1探索三角形全等的条件（1）第四章 三角形指出：与原来完全一样的三角形，即是与原来三角形全等的三角形。
想一想：要画一个三角形与小颖画的三角形全等。需要几个与边或角的大小有关的条件？只知道一个条件（一角或一边）行吗？两个条件呢？三个条件呢？让我们一起来探索三角形全等的条件情境引入做一做：（1）只给出一个条件（一条边或一个角）画三角形时，画出的三角形一定全等吗？ （2）给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？ 按下面的条件画三角形，画完后小组内交流，看所画的三角形是否全等。(其它条件不确定）1）三角形的一个内角为30°，一条边为3cm.
2) 三角形的两个内角分别为30°和45°；
3）三角形的两条边分别为4cm和6cm.新知探究综上所述，只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等。想一想：如果给出三个条件画三角形时，你能说出有哪几种可能的情况吗？有四种可能：三条边、三个角、两边一角和两角一边。做一做：
1）与小组内的同学比较各自手中的三角尺，有没有三个内角对应相等的三角形，它们一定全等吗？和老师手中的三角板相比较呢？2）已知一个三角形的三条边分别为4cm、5cm、7cm，你能画出这个三角形吗？看老师的作图示范，再画出这个三角形，并与同伴画的三角形进行比较？它们一定全等吗？这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等新知探究由此得出定理：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。 介绍三角形稳定性的例子。知识梳理练习：1、如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA解：有三组。在△ABH和△ACH中 ∵AB=AC，BH=CH，AH=AH ∴△ABH≌△ACH（SSS）；在△ABH和△ACH中∵AB=AC，BD=CD，AD=AD ∴△ABD≌△ACD（SSS）；在△ABH和△ACH中 ∵BD=CD，BH=CH，DH=DH∴△DBH≌△DCH（SSS） 随堂练习练习2。如图，已知AB=CD，BC=DA。你能说明△ABC与△CDA全等吗？你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？为什么？ DBAC解：在△ABC与△CDA中，
∵∴△ABC≌△CDA（SSS）
∴∠BAC=∠DCA,∠ACB=∠CAD(全等三角形对应角相等） ∴AB∥CD，AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
今天我们经历了画图验证两个三角形全等的过程，探索出两个三角形全等的条件之一“三边对应相等的两个三角形全等”，我们可以利用它来判别两个三角形是否全等。
我们还知道了三角形具有稳定性，只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就确定了。在生活 中，三角形的稳定性有广泛的应用。课件5张PPT。第四章 三角形4.3.2探索三角形全等的条件（2）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” 知识回顾如图△ABC是任意一个三角形，画一个三角形△A’B’ C’使A’B’=AB，∠A’ = ∠A， ∠B’= ∠B画法：1.画线段A’ B’ =AB
A’B’C’ 2.在A’B’ 的同旁，分别以A’ B’ 为顶点画 ∠MB’ C’= ∠B， ∠NB’ A’= ∠B’A’M，B’N交于点C’，
得△A’ B’ C’
MN新知探究 1. 角边角 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等或 “ASA”知识梳理 2.角角边或 “AAS”
已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=BC，∠B= ∠C(如图)，求证：BD=CE.ABCDEO
证明:在△ACD和△ABE中∴AD=AE(全等三角形的对应边相等） 又AB=AC（已知）∴BD=CE（等式的性质）随堂练习课件11张PPT。第四章 三角形4.3.3探索三角形全等的条件（3） 到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？答：边边边（SSS）角边角（ASA）角角边（AAS）根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？答：两边一角相等那么有几种可能的情况呢？答：两边及夹角或两边及其一边的对角知识回顾 （1）如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40° ，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”新知探究 以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？ABCDEF2.5cm3.5cm40°40°3.5cm2.5cm结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等新知探究找出全等三角形DCAB△ADC≌△CBA (SAS)自主练习 小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流。 1、今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？答：边角边（SAS） 2、通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？答：SSS、SAS、ASA、AAS3、在这四种说明三角形全等的条件中，你发现了什么？答：至少有一个条件：边相等“边边角”不能判定两个三角形全等知识梳理DCBA1、在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线。
求证：BD＝CD证明：∵AD是∠BAC的角平分线（已知）
∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义）
∵AB＝AC（已知）
∠BAD＝∠CAD（已证）
AD＝AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴BD＝CD（全等三角形对应边相等）
随堂练习BCDEA如图，已知AB＝AC，AD＝AE。
求证：∠B＝∠CCEABAD证明：在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠B＝∠C（全等三角形
对应角相等）FEDCBA如图，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC，那么△ABC与 △FED全等吗？为什么？解：全等。∵BD=EC（已知）
∴BD－CD＝EC－CD。即BC＝ED 在△ABC与△FED中∴△ABC≌△FED（SAS）AC∥FD吗？为什么？∴∠1＝∠2（ ）∴∠3＝∠4（ ）∴AC∥FD（内错角相等，两直线平行4321 小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。 AC=DC?
∠ACB=∠DCE
BC=EC △ACB≌△DCE(SAS)
AB=DEECBAD如图线段AB是一个池塘的长度，
现在想测量这个池塘的长度，在
水上测量不方便，你有什么好的
方法较方便地把池塘的长度测量
出来吗？想想看。课件14张PPT。4.4用尺规作三角形第四章 三角形1、尺规作图的工具是直尺和圆规2、我们已经会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角3、如图，画出∠B的平分线，BC边上的高，AB边上的中线（画图工具不限）知识回顾已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOBCDO′B′A′D′C′情境引入已知三角形的两边及其夹角，求作三角形已知：线段a， b， ∠α ，求作：△ABC，使BC＝ a，
AB＝ c， ∠ABC ＝∠αBMDED′E′NCA (1)作∠MBN＝ ∠α(2)在射线B M上截取BC＝ a,在射线B N上截取BA＝ b， (3)连接AC则△ABC为所求作的三角形作法新知探究你能按照书上88页1中的条件作出三角形吗？剪下各自所做的三角形和同伴比较看是否全等？能说出全等的理由吗？新知探究已知:三角形的两角及它们的夹边,求作 三角形已知:∠α,∠β,线段c，求作：△ＡＢＣ,使∠A＝∠α,∠Ｂ＝∠β，ＡＢ＝ cBNKC新知探究你能按照书上89页2中的条件作出三角形吗？剪下各自所做的三角形和同伴比较看是否全等？能说出全等的理由吗？已知两角及一边，你会做三角形吗？新知探究已知三角形的三边求作三角形已知:线段a,b,c求作:△ABC,使BC＝a,AC＝b,AB＝c(1)做线段BC＝a, AC(2)以C为圆心, b为半径画弧 (3)以B为圆心, C为半径画弧两弧相交于点A(4)连接AB,AC则△ABC为所求作的三角形新知探究你能按照书上90页3中的条件作出三角形吗？剪下各自所做的三角形和同伴比较看是否全等？能说出全等的理由吗？新知探究 如图,在ABC中,BC＝5厘米,AC＝3厘米, AB＝3．5厘米,∠B＝36°,∠C＝44°,请你选择适当数据,画与△ABC全等的三角形(用三种方法画图,不写做法,但要从所画的三角形中标出用到的数据)新知探究BMC(2)以C为圆心, 3厘米为半径画弧 (3)以B为圆心3.5厘米为半径画弧两弧相交于点A(4)连接AB,AC则△ABC为所求作的三角形（1）做线段BC＝5厘米A今天同学们又有哪些新的收获？能告诉大家吗？学会了已知两边及它们的夹角做三角形的方法 学会了已知两角及它们的夹边做三角形的方法学会了已知三边做三角形的方法★★ 学会了用尺规做三角形的方法★学会了已知两角及一边做三角形的方法……知识梳理
1、利用尺规不能唯一作出的三角形是（ ）
A、已知三边 B、已知两边及夹角
C、已知两角及夹边 D、已知两边及其中一边的对角2、利用尺规不可作的直角三角形是 （ ）
A、已知斜边及一条直角边 B、已知两条直角边
C、已知两锐角 D、已知一锐角及一直角边3、以下列线段为边能作三角形的是 （ ）
A、2厘米、3厘米、5厘米 B、4厘米、4厘米、9厘米
C、1厘米、2厘米、 3厘米 D、2厘米、3厘米、4厘米DCD随堂练习已知：线段m，n,锐角∠α求作：△ＡＢＣ，使ＡＢ＝m， ，角平分线ＡＤ＝ nAMNBCPD K课件12张PPT。4.5利用三角形全等测距离第四章 三角形 在一次战役中，我军阵地与敌人碉堡隔河相望，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士利用他头上的帽子就测出了我军阵地与敌人碉堡的距离。你知道他用的是什么方法？其中的原理是什么？情境引入在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B= ∠E，∠A= ∠D则有BC=EF，为什么？将实际问题转换成数学问题为：情境引入在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B= ∠E，∠A= ∠D∴△ABC ≌ △DEF（角边角）∴BC=EF（全等三角形的对应边相等） 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达的点A和点B的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长就是A、B间的距离。 你能说明其中的道理吗？请把你的思路写下来。 ∴ △ABC≌ △DEC (SAS)∴ AB=DE （全等三角形对应边相等）解：在△ABC与△DEC 中CDE新知探究DC△ABC≌ △DEC(SAS)△ABC ≌ △ADC(SAS)△ABC≌ △DBC (SAS)CD1、将实际问题转化成
数学问题。
2、构造全等并说明理由。ECD你能想到其它测量方法吗？思路知识梳理你有什么收获？ 1、把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）。只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准。你能明白其中的道理吗？O（SAS）随堂练习 课间，小明和小聪在操场上突然争论起来。 他们都说自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不用争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”如图，你知道数学老师为什么能从他们的影长相等就断定它们的身高相同？你能运用全等三角形的有关知识说明一下其中的道理吗？（假定太阳光线是平行的）你们其实一样高，瞧瞧，你们的影子一样长！随堂练习将实际问题转换成数学问题为：在△ABC和△DEF中，∠C= ∠F， ∠B= ∠E，BC=EF，求证：AB=DE 2、如图，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法？并说明这样做的合理性．随堂练习理由：∵AB⊥BE，DG⊥BE ∴∠B＝∠BDF＝90°
在△ABC和△FDC中
∠B ＝∠BDF
BC = CD
∠ACB= ∠DCF（对顶角相等）
∴△ABC≌△FDC（ASA）
∴AB＝DF（全等三角形对应边相等）．解：方法：在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD＝BC。过点D作BE的垂线DG，并在DG上取一点F，使A、C、F在一条直线上，这时测得的DF的长就是A、B间的距离．课件20张PPT。小结与复习第四章 三角形 知识回顾例1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.
说明△BEC ≌△CDA.例题引路例2 已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD.
求证：BC=DE.例题引路【方法点拨】例题引路1.△ABC的内角和为( )
(A)180° (B)360°
(C)540° (D)720°
【解析】选A.根据三角形的内角和为180°，得△ABC的内角和为180°.故A正确.随堂练习2.以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
(A)1 cm,2 cm,4 cm (B)4 cm,6 cm,8 cm
(C)5 cm,6 cm,12 cm (D)2 cm,3 cm,5 cm
【解析】选B.A选项，1+2＜4,故不能构成三角形；B选项，4+6＞8,故能构成三角形；C选项，5+6＜12，故不能构成三角形；D选项，2+3=5，故也不能组成三角形.随堂练习3、将一副三角板按如图所示摆放，图中∠a的度数是( )
(A)75° (B)90° (C)105° (D)120°
【解析】选C.∠a的度数为180°-45°-30°=105°.随堂练习4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于_____度.
【解析】因为∠A+∠E+∠C=180°，∠D+∠B+∠F=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
答案：3605. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是______.
【解析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，因为∠C=90°，所以∠ACD=∠AED，又AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠EAD，又AD=AD，所以△ACD≌△AED(AAS)，所以DE=CD=4，即点D到AB的距离为4.
答案：46.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论：
①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；
④△MCD≌△NBD中，正确的是_______.【解析】因为∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，
所以△AEB≌△AFC，所以BE=CF(②正确)；
因为△AEB≌△AFC，所以∠EAB=∠FAC，所以∠1=∠2(①正确)；
因为△AEB≌△AFC，所以AB=AC，∠B=∠C，
因为∠BAM=∠CAN，所以△ACN≌△ABM(③正确)；
所以AM=AN.因为AB=AC，所以BN=CM.因为∠B=∠C，∠MDC=∠NDB, 所以△MCD ≌△NBD(④正确).
答案：①②③④7.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：BE=CD.【证明】在△ABE和△ACD中,
∠A=∠A
AB=AC
∠B=∠C,
∴△ABE≌△ACD，
所以BE=CD.8.如图，在四边形ABCD中，
AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，
BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC=AD.
(2)AB=BC+AD.【证明】(1)因为E是CD的中点，
所以DE=CE.因为AD∥BC，
所以∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE.
所以△ADE≌△FCE(AAS).
所以FC=AD.(2)因为△ADE≌△FCE，
所以AE=FE.
又因为BE⊥AE，
所以∠BEA=∠BEF=90°，
又因为BE=BE，
所以△BEA≌△BEF(SAS).所以AB=FB.
因为FB=BC+FC=BC+AD.
所以AB=BC+AD.9.如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE,CE平分∠BCD，CD=CE.
(1)试说明△ACD≌△BCE.
(2)若∠D=50°，求∠B的度数.随堂练习【解析】(1)因为点C是线段AB的中点，
所以AC=BC，又因为CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，
所以∠1=∠2，∠2=∠3，
所以∠1=∠3.
CD=CE，
在△ACD和△BCE中，∠1=∠3,
AC=BC,
所以△ACD≌△BCE(SAS).(2)因为∠1+∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2=∠3=60°，
因为△ACD≌△BCE，所以∠E=∠D=50°，
所以∠B=180°-∠E-∠3=70°.
