2017-2018版高中数学全一册学案（打包27套）苏教版必修3

1.1 算法的含义
学习目标　1.了解算法的特征；2.初步建立算法的概念；3.会用自然语言表述简单的算法．
知识点一　算法的概念
思考1　有一碗酱油，一碗醋和一个空碗．现要把两碗盛的物品交换过来，试用自然语言表述你的操作办法．
　
思考2　某笑话有这样一个问题：把大象装进冰箱总共分几步？答案是分三步．第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．这是一个算法吗？
　
梳理　算法概念：
12世纪的算法
是指用阿拉伯数字进行__________的过程
数学中的算法
对一类问题的________的、________的求解方法
现代算法
通常可以编成______________，让计算机执行并解决问题
知识点二　算法的特征
思考1　设想一下电脑程序需要计算无限多步，会怎么样？
　
梳理　算法特征：有穷性、可行性、顺序性、不唯一性、普遍性．
思考2　求解某一个问题的算法是不是唯一的？
　
思考3　任何问题都可以设计算法解决吗？
梳理　算法的设计要求：
(1)写出的算法，必须能解决一类问题，并且能够重复使用．
(2)要使算法尽量简单、通俗易懂．
(3)要保证算法正确，且计算机能够执行．
类型一　算法的特征
例1　一个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1个大人或两个小孩，他们三人都会划船，但都不会游泳．试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案．
反思与感悟　算法的特点：
(1)有穷性：一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束．
(2)确定性：算法的计算规则及相应的计算步骤必须是确定的．
(3)可行性：算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果．
跟踪训练1　某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，船仅可载重此人和狼、羊及青菜中的一种，没有人在的时候，狼会吃羊，羊会吃青菜．请设计安全过河的算法．
　
类型二　算法的阅读理解
例2　下面算法要解决的问题是______________________________________________．
第一步　输入三个数，并分别用a、b、c表示．
第二步　比较a与b的大小，如果a第三步　比较a与c的大小，如果a第四步　比较b与c的大小，如果b第五步　输出a、b、c.
反思与感悟　一个算法的作用往往并不显然，这需要我们结合具体数值去执行一下才知道．
跟踪训练2　下面给出了一个问题的算法：
第一步　输入a.
第二步　若a≥4，则执行第三步，否则执行第四步．
第三步　输出2a－1.
第四步　输出a2－2a＋3.
这个算法解决的问题是____________________________________________________．
类型三　算法的步骤设计
例3　设计一个算法，判断7是否为质数．
　
反思与感悟　设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：
(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法．
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述．
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤．
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
跟踪训练3　设计一个算法，判断35是否为质数．
　
1．下列不是算法的是________．(填序号)
①解方程2x－6＝0的过程是移项和系数化为1；
②从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机；
③解方程2x2＋x－1＝0；
④利用公式S＝πr2计算半径为3的圆的面积．
2．下列对算法的理解正确的是________．(填序号)
①算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题)；
②算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果；
③算法一般是机械的，有时要进行大量重复计算，它的优点是一种通法；
④任何问题都可以用算法来解决．
3．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99.求他的总分和平均成绩的一个算法为：
第一步　取A＝89，B＝96，C＝99；
第二步　____________________；
第三步　____________________；
第四步　输出计算的结果．
4．已知算法：第一步，输入n.第二步，判断n是不是2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行第三步．第三步，依次检验从2到n－1的整数能不能整除n，若不能整除n，满足条件．该算法的功能是____________________．
1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．
2．算法设计的要求：
(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用．
(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．
(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　先把醋倒入空碗，再把酱油倒入原来盛醋的碗，最后把倒入空碗中的醋倒入原来盛酱油的碗，就完成了交换．
思考2　是．
梳理　算术运算　机械　统一　计算机程序
知识点二
思考1　若有无限步，必将陷入死循环，解决不了问题．故算法必须在有限步内解决问题．
思考2　解决一个问题的算法可以有多个，只是有优劣之分，结构简单，步骤少，速度快的算法就是好算法．
思考3　不可以，只有能按照一定规则解决的、明确的、有限的操作步骤的问题才可以设计算法，其他的问题一般是不可以的．
题型探究
例1　解　第一步　两个小孩同船过河去．
第二步　一个小孩划船回来．
第三步　一个大人划船过河去．
第四步　对岸的小孩划船回来．
第五步　两个小孩同船渡过河去．
跟踪训练1　解　第一步　人带羊过河．
第二步　人自己返回．
第三步　人带青菜过河．
第四步　人带羊返回．
第五步　人带狼过河．
第六步　人自己返回．
第七步　人带羊过河．
例2　输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出
解析　第一步是给a、b、c赋值．
第二步运行后a>b.
第三步运行后a>c.
第四步运行后b>c，所以a>b>c.
第五步运行后，显示a、b、c的值，且从大到小排列．
跟踪训练2　求函数f(x)＝当x＝a时的函数值f(a)
例3　解　第一步　用2除7，得到余数1，所以2不能整除7.
第二步　用3除7，得到余数1，所以3不能整除7.
第三步　用4除7，得到余数3，所以4不能整除7.
第四步　用5除7，得到余数2，所以5不能整除7.
第五步　用6除7，得到余数1，所以6不能整除7.
因此，7是质数．
跟踪训练3　解　第一步　用2除35，得到余数1，所以2不能整除35.
第二步　用3除35，得到余数2，所以3不能整除35.
第三步　用4除35，得到余数3，所以4不能整除35.
第四步　用5除35，得到余数0，所以5能整除35.
因此，35不是质数．
当堂训练
1．③
解析　③不是算法，没有给出解这个方程的步骤．
2．①②③
解析　由于算法要求必须在有限步骤内求解某类问题，所以并不是任何问题都可以用算法解决．例如求1＋＋＋＋…＋＋…，故④不正确．
3．计算x＝A＋B＋C　计算y＝
解析　求三个数的平均数必须是先计算三个数的总和，再被3除．
4．判断所给的数是否为质数
解析　因为2是质数，且大于2的任何数，只要它不能被2，3，…，n－1，整除，则n一定为质数．故上述步骤是判断n是否为质数的算法．
1．2.1　顺序结构
学习目标　1.熟悉各种图框及流程线的功能和作用；2.能够读懂简单的流程图；3.能用流程图表示顺序结构的算法．
知识点一　流程图
思考　许多办事机构都有工作流程图，你觉得要向来办事的人员解释工作流程，是用自然语言好，还是用流程图好？
　
梳理　流程图的概念：
(1)流程图是由一些________和__________组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的____________．
(2)常见的图框、流程线及各自表示的功能
图形符号
名称
功能
起止框
输入、输出框
处理框
根据条件决定执行两条路径中的某一条
流程线
表示执行步骤的路径
知识点二　顺序结构
1．顺序结构的定义
依次进行多个处理的结构称为______________．它是一种最简单、最基本的结构．
2．结构形式
类型一　把自然语言描述的算法翻译成流程图
例1　已知一个算法如下：
S1　输入x.
S2　y←2x＋3.
S3　d←.
S4　输出d.
把上述算法用流程图表示．
　
反思与感悟　画流程图的规则：
(1)使用标准的图形符号．
(2)流程图一般按从上到下，从左到右的方向画．
(3)描述语言写在图框内，语言清楚、简练．
跟踪训练1　算法如下，画出流程图．
S1　输入a，b，c的值－1，－2，3.
S2　max←.
S3　输出max.
　
类型二　顺序结构
例2　一个笼子里装有鸡和兔共m只，且鸡和兔共n只脚，设计一个计算鸡和兔各有多少只的算法，并画出流程图．
　
反思与感悟　顺序结构的流程图的基本特征：
(1)必须有两个起止框，穿插输入、输出框和处理框，没有判断框．
(2)各图框从上到下用流程线依次连接．
(3)处理框按计算机执行顺序沿流程线依次排列．
跟踪训练2　已知一个三角形三条边的边长分别为a，b，c，利用海伦－秦九韶公式(令p＝，则三角形的面积S＝，设计一个计算三角形面积的算法，并画出流程图．
　
类型三　读懂流程图
例3　一个算法如图，它的功能是什么？
反思与感悟　流程图本就是为直观清晰地表达算法而生，故只需弄清各种图框、流程线的功能，再依次执行一下程序，不难读懂该图所要表达的算法．
跟踪训练3　写出下列算法的功能：
(1)图①中算法的功能是(a>0，b>0)__________________________________；
(2)图②中算法的功能是________________．
1．下面的流程图是顺序结构的是________．
2．如图是一个算法的流程图，已知输入a1＝3，输出的结果为7，则a2的值是________．
3．已知一个算法：
S1　m←a.
S2　如果bS3　如果c如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是________．
4．如图的流程图，其运行结果为________．
1．在设计计算机程序时要画出程序运行的流程图，有了这个流程图，再去设计程序就有了依据，从而就可以把整个程序用机器语言表述出来，因此流程图是我们设计程序的基本和开端．
2．规范流程图的表示：(1)使用标准的图形符号；(2)流程图一般按从上到下、从左到右的方向画，流程线要规范；(3)除判断框外，其他图形符号只有一个进入点和一个退出点；(4)在图框内描述的语言要非常简练、清楚．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　使用流程图好．因为使用流程图表达更直观准确．
梳理　(1)图框　流程线　先后次序　(2)表示算法的开始或结束　表示输入、输出操作　表示赋值或计算　判断框
知识点二
1．顺序结构
题型探究
例1　解　流程图如图：
跟踪训练1　解　流程图如图：
例2　解　算法分析：
设鸡和兔各有x，y只，
则有
解得x＝.
算法：
S1　输入m，n.
S2　计算鸡的只数x←.
S3　计算兔的只数y←m－x.
S4　输出x，y.
流程图如图所示：
跟踪训练2　解　算法步骤如下：
S1　输入三角形三条边的边长a，b，c.
S2　p←.
S3　S←.
S4　输出S.
流程图如图：
例3　解　其功能是求点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离．
跟踪训练3　(1)求以a，b为直角边的直角三角形斜边c的长
(2)求两个实数a，b的和
当堂训练
1．①
解析　由于表示的是依次执行的几个步骤，故①为顺序结构．
2．11
解析　从流程图中可知b＝a1＋a2＝14，因为a1＝3，所以a2＝11.
3．2
解析　当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，本算法是求a、b、c三个数的最小值，故输出m的值为2.
4．6
解析　从流程图中可知，先是m←1，然后p←3，接着把p＋3的值6赋给m，所以输出的值为6.
1．2.2　选择结构
学习目标　1.掌握选择结构的流程图的画法；2.能用选择结构流程图描述分类讨论问题的算法；3.进一步熟悉流程图的画法．
知识点一　选择结构
思考　我们经常需要处理分类讨论的问题，顺序结构能否完成这一任务？为什么？
　
梳理　(1)选择结构：
在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据________是否成立有不同的流向．像这种先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构．
(2)选择结构的结构形式：
当条件p成立(或称为“真”)时执行________，否则执行______．
(3)在选择结构的一般形式中，A或B中有一个为空的选择结构，该结构是按照某个条件是否成立来决定某个语句是否执行，当条件不成立(或成立)时，什么也不做．如图．
知识点二　条件结构的嵌套
思考　三段及三段以上的分段函数的求值问题能否应用上述结构形式解决？
梳理　嵌套的选择结构：一个选择结构的执行过程中还包含一个或多个选择结构的即为嵌套的选择结构，此时各个条件的执行有选择顺序．具有执行时，先判断外层的条件，当满足或不满足外层条件时，再执行内层条件，内层条件与外层条件执行完后要汇于同一点.
类型一　用流程图表示选择结构
例1　下面给出了一个问题的算法：
S1　输入x.
S2　若x>1，则y←x2＋3，否则y←2x－1.
S3　输出y.
试用流程图表示该算法．
　
反思与感悟　凡是先根据条件作出判断然后再确定进行哪一个步骤的问题，需引入一个判断框应用选择结构．
跟踪训练1　任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数为三条边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的流程图．
　
类型二　用选择结构流程图描述分类讨论问题的算法
例2　“特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式．某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：
f＝
其中f(单位：元)为托运费，ω为托运物品的重量(单位：千克)．
试设计计算费用f的算法并画出流程图．
　
反思与感悟　在解决实际问题时，要善于识别需要选择结构的情境．
跟踪训练2　设计算法判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是否有实数根，并画出相应的流程图．
　
类型三　条件结构的嵌套
例3　解关于x的方程ax＋b＝0(a≠0)的算法的流程图如何表示？
　
　
反思与感悟　我们现在使用的选择结构只提供2个出口，故当要分三类以上讨论时，往往需要在选择结构中再嵌套一个选择结构．
跟踪训练3　执行如图所示的流程图，若输入的x的值为0，则输出的结果为________．
1．下面三个问题中必须用选择结构才能实现的是______．
①已知梯形上、下底分别为a，b，高为h，求梯形面积；
②求三个数a，b，c中的最小数；
③求函数f(x)＝的函数值．
2．选择结构不同于顺序结构的图形特征是__________．
3．某算法的流程图如图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是____________．
4．某次考试，为了统计成绩情况，设计了如图所示的流程图．当输入一个同学的成绩x＝75时，输出结果为_______________________________________________________．
1．选择结构的特点是：先判断后执行．
2．在利用选择结构画流程图时要注意两点：一是需要判断条件是什么，二是条件判断后分别对应执行什么．
3．设计流程图时，首先设计算法步骤，再转化为流程图，待熟练后可以省略算法步骤直接画出流程图．对于算法中分类讨论的步骤，通常设计成选择结构来解决．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　分类讨论是带有分支的逻辑结构，而顺序结构是一通到底的“直肠子”，所以不能表达分支结构，这就需要选择结构．
梳理　(1)条件　(2)A　B
知识点二
思考　不能．
题型探究
例1　解　主体用顺序结构，其中根据条件x>1是否成立选择不同的流向用选择结构实现．
跟踪训练1　解　算法步骤如下：
S1　输入3个正实数a，b，c.
S2　判断a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b是否同时成立．若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这样的三角形．
流程图如图：
例2　解　算法：
S1　输入物品的重量ω.
S2　如果ω≤50，那么f←0.53ω，否则执行S3.
S3　f←50×0.53＋(ω－50)×0.85.
S4　输出托运费f.
流程图如图：
跟踪训练2　解　算法步骤如下：
S1　输入3个系数a，b，c.
S2　计算Δ←b2－4ac.
S3　判断Δ≥0是否成立．若是，则输出“方程有实数根”；否则，输出“方程无实数根”．结束算法．
相应的流程图如图：
例3　解　先设计算法步骤：
S1　输入实数a，b.
S2　判断a是否为0，若是，执行S3，否则，x←－，并输出x，结束算法．
S3　判断b是否为0.若是，则输出“方程的解为任意实数”；否则，输出“方程无实数解”．
再用流程图表达上述算法如图：
跟踪训练3　1
解析　这是一个嵌套的选择结构，当输入x＝0时，执行的是y←1，即y＝1.故输出的结果为1.
当堂训练
1．②③
解析　在本题的三个问题求解中，只有①不需要分类讨论，故①不需用选择结构就能实现，②③必须用选择结构才能实现．
2．判断框　3.y＝
4．及格
解析　由于75<80，在流程图中的第一个判断框中，将按“N”的指向进入第二个判断框，又因为75≥60，将按“Y”的指向，所以输出的是“及格”．
1．2.3　循环结构
学习目标　1.掌握当型和直到型两种循环结构的流程图的画法；2.了解两种循环结构的区别，能进行两种循环结构流程图间的转化；3.能正确读流程图．
知识点一　循环结构
思考　用累加法计算1＋2＋3＋…＋100的值，其中有没有重复操作的步骤？
　
梳理　循环结构的定义：
在算法中，需要重复执行同一操作的结构称为循环结构．
知识点二　常见的两种循环结构
名称
结构图
特征
直到型循
环结构
先执行A，再判断所给条件p是否成立，若p不______，则再执行A.如此反复，直到p成立，该循环过程结束
当型循
环结构
先判断所给条件p是否成立，若p成立，则______，再判断条件p是否成立；若p______，则又执行A.如此反复，直到某一次条件p不成立时为止
类型一　如何实现和控制循环
例1　设计一个计算1＋2＋…＋100的值的算法，并画出流程图．
反思与感悟　变量S作为累加变量，来计算所求数据之和．当第一个数据送到变量i中时，累加的动作为S＝S＋i，即把S的值与变量i的值相加，结果再送到累加变量S中，如此循环，则可实现数的累加求和．
跟踪训练1　设计一个计算1＋3＋5＋…＋(2n－1)(n∈N*)的值的算法，并画出流程图．
　
类型二　当型循环与直到型循环的转化
例2　例1中流程图用的是当型循环结构，如果用直到型循环结构表示，则流程图如何？
　
反思与感悟　当型循环是满足条件则循环，直到型循环是满足条件则终止循环，故两种结构相互转化时注意判断框中的条件变化．
跟踪训练2　试把跟踪训练1中的流程图改为直到型循环结构．
　
类型三　读图
例3　某班一共有40名学生，如图中s代表学生的数学成绩．若该班有5名90分以上的学生，20名80分以上的学生，则输出的m＝________，n＝________.
反思与感悟　读流程图的办法就是严格按图操作．有循环结构时不一定从头执行到尾，只要执行几圈找到规律，最后确认何时终止即可．
跟踪训练3　阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，输出的值等于________．
1．在循环结构中，每次执行循环体前对控制循环的条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止，这样的循环结构是________．
2．执行如图所示的流程图，输出的S值为________．
3．执行如图所示的流程图，输出的S值为________．
4．给出以下10个数：8，19，86，45，96，73，28，27，68，36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的流程图．
　
　
1．当反复执行某一步骤或过程时，应用循环结构．当型循环是先判断条件，条件满足再执行循环体，不满足退出循环；直到型循环是先执行循环体，再判断条件，不满足条件时执行循环体，满足时退出循环．
2．应用循环结构前：(1)确定循环变量和初始条件；(2)确定算法中反复执行的部分，即循环体；(3)确定循环的终止条件．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　用S表示每一步的计算结果，S加下一个数得到一个新的S，这个步骤被重复了100次．
知识点二
成立　执行A　仍成立
题型探究
例1　解　算法如下：
S1　令i←1，S←0.
S2　若i≤100成立，则执行S3；否则，输出S，结束算法．
S3　S←S＋i.
S4　i←i＋1，返回S2.
流程图如图：
跟踪训练1　解　算法如下：
S1　输入n的值．
S2　i←1，S←0.
S3　若i≤2n－1成立，则执行S4；否则，输出S，结束算法．
S4　S←S＋i，i←i＋2，返回S3.
流程图如图：
例2　解　流程图如图：
跟踪训练2　解　流程图如图：
例3　5　15
解析　该流程图是用循环结构实现40个成绩的输入，每循环一次就输入一个成绩s，然后对s的值进行判断．如果s>90，则m的值增加1，如果80跟踪训练3　4
解析　当i＝1时，a＝2，S＝2，i＝1＋1＝2，由于2>11不成立，因此继续循环，当i＝2时，a＝2×22＝8，S＝10，i＝3，由于10>11不成立，因此继续循环，当i＝3时，a＝3×23＝24，S＝34，i＝4，此时，S＝34>11，满足条件，跳出循环，最后输出i＝4，故答案为4.
当堂训练
1．当型循环
2.
解析　执行第一次循环后S＝，i＝1；执行第二次循环后，S＝，i＝2≥2，退出循环体，输出S的值为.
3．8
解析　执行第一次循环后S＝1，k＝1；
执行第二次循环后S＝2，k＝2；
执行第三次循环后S＝8，k＝3，
3<3不成立．即条件不成立，输出S，
即S＝8.
4．解　流程图如图所示：
1．3.1　赋值语句 1．3.2　输入、输出语句
学习目标　1.了解学习程序语句的必要性和根本目的；2.理解输入语句、输出语句、赋值语句的格式和功能；3.能把本节涉及的算法流程图转化为相应的伪代码．
知识点一　伪代码
思考　现代算法很多都需要用计算机实现，你认为计算机与人能直接用自然语言交流吗？
　
知识点二　赋值语句
思考　计算机用变量来存取数据．怎样表示“把变量a，b中的数据相加存入c中”？
　
梳理　赋值语句：
(1)格式：__________________.
(2)功能：将表达式所代表的值赋给变量．一般先计算“←”右边______________，然后把这个值赋给“←”左边的________．
知识点三　输入语句
思考　一个计算圆的面积的程序，可以不需要使用者设计，但需要使用者输入什么信息？
　
梳理　输入语句：
(1)格式：Read a，b.
(2)功能：表示________的数据依次送给a，b.
知识点四　输出语句
思考　一个程序如果没有输出语句，影响程序运行吗？你知道运行结果吗？
　
梳理　输出语句：
(1)格式：Print x.
(2)功能：表示输出运算结果x.
类型一　赋值语句
例1　用伪代码写出交换两个变量A，B的值的算法．
　
反思与感悟　引入一个中间变量X，将A的值赋予X，又将B的值赋予A，再将X的值赋予B，从而达到交换A，B的值(比如交换装满水的两个水桶里的水需要再找一个空桶)．
跟踪训练1　如果把例1中的伪代码改为
Read　A，B
B←A
A←B
Print　A，B
则当输入A＝1，B＝2时，最后输出A，B为________．
类型二　输入、输出语句
例2　已知一匀速运动的物体的初速度、末速度和加速度分别为v1，v2，a，求物体运动的距离s，试编写求解这个问题的一个算法的流程图，并用伪代码表示这个算法．
　
反思与感悟　输入语句的作用是实现算法的输入信息功能．输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；输出语句的作用是实现算法的输出结果功能，输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符．
跟踪训练2　设计一个求任意三门功课成绩的平均数的算法流程图，并写出相应的伪代码．
　
1．在Read语句中，如果同时输入多个变量，变量之间的分隔符是________．
2．下列给出的赋值语句中正确的是________．
①3←A；②m←－m；③B←A←2；④x＋y←0.
3．下列用伪代码描述的算法执行后的结果为________．
a←2
a←4
a←a＋a
Print　a
4．已知一个正三棱柱的底面边长为2，高为3，用输入、输出语句和赋值语句表示计算这个正三棱柱的体积的算法．
　
1．输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是变量或表达式(输入语句无计算功能)，若输入多个数，各数之间应用“，”隔开．
2．输出语句可以输出常量、变量或表达式的值(输出语句有计算功能)或字符．
3．赋值语句的作用是先算出赋值号右边表达式的值，然后把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值．
4．赋值号两边的内容不能对调，如a←b与b←a表示的意义完全不同．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　不能．自然语言计算机不懂，计算机语言专业性太强，一般人也看不懂．鉴于此，人们发明了伪代码，这是一种介于自然语言和计算机语言之间的文字和符号，其优点是简单而实用，本书伪代码中将使用VB(Visual Basic)语言的关键词．
知识点二
思考　用赋值语句“c←a＋b”．
梳理　(1)变量←表达式
(2)表达式的值　变量
知识点三
思考　圆的半径．
梳理　(2)输入
知识点四
思考　不影响．程序照常运行，但运行结果无法输出．
题型探究
例1　解　伪代码：
Read　A，B
X←A
A←B
B←X
Print　A，B
跟踪训练1　1，1
解析　先把A的值赋给B，此时B＝1，再把B的值赋给A，此时A＝1，故最后输出A，B的值都是1.
例2　解　流程图：
伪代码：
Read v1，v2，a
s←
Print s
跟踪训练2　解　流程图：
伪代码：
Read a，b，c
A←?a＋b＋c?/3
Print A
当堂训练
1．逗号
2．②
解析　赋值语句只能把常数或表达式的值赋给变量，并且一个赋值语句只能给一个变量赋值，故①③④都不正确，②正确．
3．8
解析　根据赋值语句的意义，输出结果为8.
4．解
Read a，h
a←2
h←3
V←a2h
Print V
1．3.3　条件语句
学习目标　1.理解条件语句的格式及功能；2.体验如何把判断框转化为条件语句；3.通过条件语句的学习，进一步体会算法的基本思想．
知识点　条件语句
思考　对于选择结构的算法或流程图，要转化为计算机能够理解的算法语言，使用输入、输出和赋值语句还行吗？需要用怎样的语句？
　
梳理　条件语句的结构：
If A Then
　B
Else
　C
End If
其中______表示判断的条件，______表示满足条件时执行的操作内容，______表示不满足条件时执行的操作内容，________表示条件语句结束．当遇到类似数学中分类讨论的算法时，适用条件语句．
类型一　选择结构与条件语句的转化
例1　某居民区的物业管理部门每月按以下方法收取卫生费：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．根据输入的人数计算应收取的卫生费，用流程图表示如图：
试把流程图编译为伪代码．
　
反思与感悟　(1)条件语句是一个整体，If—Then—Else—End If都是语句的一部分，且“If—End If”必须成对出现．
(2)若程序只对条件满足时作处理，不用处理条件不满足时的情况，则可以省略Else分支．
跟踪训练1　下面是一个使得任意输入2个整数按从大到小的顺序输出的算法：
S1　输入2个整数a，b.
S2　若aS3　输出a，b.
S4　结束．
试把它转化为伪代码．
　
类型二　条件语句的应用
例2　儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1 m，则无须购票；若身高超过1.1 m但不超过1.4 m，可买半票；若超过1.4 m，应买全票．试设计一个购票的算法，写出伪代码，并画出流程图．
　
反思与感悟　算法中需要判断情况、分类执行时，如判断一个数的正负、比较两个数的大小、求分段函数的函数值等，都需要用到条件语句．
跟踪训练2　写出求实数x的绝对值的一个算法，画出其流程图，并写出对应的伪代码．
　
类型三　条件语句的嵌套
例3　函数y＝输入x的值，输出相应的函数值，写出伪代码．
　
反思与感悟　条件语句的功能类似于分类讨论．当需要分三种以上情况讨论时，就需用多个条件语句联用或条件语句内部嵌套条件语句．
跟踪训练3　编写伪代码，使得任意输入3个整数，输出三者中的最大者．
　
1．条件语句的一般形式是“If　A　Then　B　Else　C”，其中B表示的是________．(填序号)
①满足条件时执行的内容；②条件语句；③条件；④不满足条件时执行的内容．
2．执行下面的伪代码，若输入的x的值为－2，则输出的y的值为________．
Read x
If x≥0 Then
y←x
Else
y←－x
End If
Print y
3．下面是一个算法的伪代码，如果输入的x值是10，则输出的y值是________．
Read x
If x≤5 Then
　y←10x
Else
　y←8.5x
End If
Print y
4．用条件语句表示：输入两个数，输出较大的数．
　　
使用条件语句时应注意的问题：
(1)条件语句是一个语句，If，Then，Else，End If都是语句的一部分．
(2)条件语句必须是以If开始，以End If结束，一个If必须与一个End If相对应．
(3)如果程序中只需对条件为真的情况作出处理，不用处理条件为假的情况时，Else分支可以省略，此时条件语句就由双支变为单支．
(4)为了程序的可读性，一般If，Else与End If顶格书写，则其他的语句体前面空两格．
答案精析
问题导学
知识点　
思考　不行，因为输入、输出、赋值都不会先判断再选择执行，要用与选择结构相适应的条件语句．
梳理　A　B　C　End If
题型探究
例1　解　伪代码如图：
Read n
If n≤3 Then
　c←5
Else
　c←5＋1.2?n－3?
End If
Print c
跟踪训练1　解　
Read　a，b
If　a x←a
a←b
b←x
End　If
Print　a，b
例2　解　购票的算法步骤如下：
S1　测量儿童身高h；
S2　如果h≤1.1，那么免费乘车；否则，如果h≤1.4，那么购买半票乘车；否则，购买全票乘车．
用条件语句表示为
Read h
If h≤1.1 Then
　Print 免费乘车
Else
　If h≤1.4 Then
Print 半票乘车
　Else
Print 全票乘车
　End If
End If
流程图如图：
跟踪训练2　解　S1　输入一个实数x；
S2　若x<0，则x←－x，否则，x←x；
S3　输出x.
该算法的流程图如图：
伪代码如图：
Read x
If x<0 Then
　x←－x
Else
　x←x
End If
Print x
例3　解　伪代码如图所示：
Read　x
If　x<1　Then
y←x
Else
If　x<10　Then
　 y←2x－1
Else
　　y←3x－11
End　If
End　If
Print　y
跟踪训练3　解　伪代码：
Read　a，b，c
If b>a Then
a←b
End If
If c>a Then
a←c
End If
Print a
也可以是以下伪代码：
Read　a，b，c
If b>a Then
a←b
Else
　If c>a Then
a←c
　End If
End If
Print a
当堂训练
1．①
解析　由条件语句的结构及功能知B表示的是满足条件时执行的内容．
2．2
解析　由于－2≥0不成立，所以把－(－2)的值赋给y，所以输出的值为2.
3．85
解析　由输入x的值为10，
得y＝8.5×10＝85.
4．解　伪代码如图：
Read a，b
If a≥b Then
　Print a
Else
　Print b
End If
1.3.4　循环语句
学习目标　1.理解循环语句的格式和功能；2.理解两种循环语句与两种循环结构的对应关系，能把相应流程图翻译为程序语句；3.经历由问题到自然语言描述的算法到流程图再到程序的全过程，体会算法的形成及优化过程．
知识点一　循环语句
思考1　循环语句与条件语句有何关系？
　
思考2　直到型循环语句执行循环体的次数可以是零吗？
　
梳理　循环语句与流程图中的________结构相对应．循环语句结构一般有__________和________两种循环语句结构，分别对应于流程图中的直到型和当型循环结构．
知识点二　两种循环语句
思考1　编写程序时，什么情况下使用循环语句？
　
思考2　当型循环用文字语言怎样描述？其关键词是什么？
梳理　两种循环语句的对比
名称
直到型
当型
格式
Do
循环体
________
________
While　p
循环体
________
功能
先执行一次______和________之间的循环体，再判断Until条件p是否符合，如果不符合，继续____________，然后再检查上述条件，如果条件仍不符合，再次____________，直到____________时为止．这时计算机不再执行循环体，跳出循环体执行________语句后面的语句
先判断条件是否符合，如果________，则执行循环体，然后再检查上述条件，如果____________，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次__________为止，这时不再执行循环体，执行__________后面的语句
对应
流程
图
知识点三　“For语句”
1．其一般形式
For I From “初值” 　　 “终值” Step “步长”
循环体
End For
2．“For”语句属________循环．
3．如果循环次数________，可采用“For”语句．
类型一　“While…End While”语句的应用
例1　(1)下列伪代码运行后输出的结果为________．
i←1
While　i<8
　i←i＋2
　S←2i＋3
　i←i－1
End While
Print　S
(2)用While…End While语句写出求1＋＋＋…＋>1 000的最小自然数n的伪代码．
　
反思与感悟　利用While语句的三个关注点：
(1)在用While语句解决相关问题时，要熟练掌握While语句的一般格式，后面的End While一定不要忘记．在运行语句的时候，一定要先判断表达式是否成立，再执行循环体．
(2)While语句可以不知循环次数，但需要知道循环终止的条件．条件为真时执行循环，条件为假时终止循环，防止表达式相反出现错误．
(3)用While语句解决循环次数不确定的问题时，首先要确定控制运算次数的变量，然后确定变量与运算次数的关系，利用这种关系，将运算次数当作一个确定的量，从而将问题转化为循环次数确定的问题来解决．
跟踪训练1　执行如图所示的伪代码后输出的结果是________．
n←5
s←0
While　s<14
　s←s＋n
　n←n－1
End While
Print n
End
类型二　“Do…End Do”语句的应用
例2　用Do…End Do语句写出计算1－＋－＋…＋－的值的伪代码．
引申探究
1．若将例2中的“－”改为“＋”其余不变，写出相应的伪代码．
2．若例2中条件不变，用“While…End While”写出伪代码．
反思与感悟　“Do…End Do”语句的使用条件：
(1)算法中有需要反复执行的步骤(如累加求和、累乘求积等问题)．
(2)算法中先执行再判断．
(3)循环的次数不能确定或已经确定．
跟踪训练2　下列伪代码是求1＋3＋5＋…＋99的值，读伪代码完成问题．
i←1
p←0
While　i≤99
　p←p＋i
　i←i＋2
End While
Print p
问题：(1)伪代码中的循环语句是________型循环语句；
(2)将伪代码用另一类型的循环语句实现为________．
类型三　“For”语句的应用
例3　用For语句设计一个计算2＋4＋6＋8＋…＋2 016的伪代码算法．
引申探究
将例3改为用While…End While语句表示，结果如何？　
　
反思与感悟　利用For语句实现循环结构的三个关键点：
(1)确定变量的初值，即进行初始化操作．
(2)确定循环的次数、步长以及终值．
(3)确定循环体的内容．
跟踪训练3　写出计算n！(n！＝1×2×3×4×…×n)的伪代码．
　
1．下列算法：
①求和＋＋＋…＋；
②已知两个数求它们的商；
③已知函数定义在区间上，将区间十等分求端点及各分点处的函数值；
④已知三角形的一边长及此边上的高，求其面积．
其中可能要用到循环语句的是________．
2．下列伪代码执行的次数是________．
For I From 1 To 10 Step 3
Print I
End For
3．执行如图所示伪代码，则输出结果S＝________.
i←0
S←0
While　i＜6
　i←i＋2
　S←S＋i^2
End While
Print　S
4．对于问题1＋2＋3＋…＋______＞2 017，求满足条件的最小整数．试用“While”语句描述这一问题的算法过程．
　
　
1．当循环的次数确定时，我们通常用For循环语句，而当循环的次数不确定时，我们通常用“While…End While”或“Do…End Do”循环语句．
2．For循环语句及“While…End While”循环语句都是前测试语句，即先判断后执行．若初始条件不成立，则一次也不执行循环体中的内容，任何一种需要重复处理的问题都可以用这种前测试循环来实现．
3．“Until”语句是先执行一次循环体，再判断是否满足条件，若不满足，再执行循环体，然后再检查是否满足条件，如此反复，直到满足条件为止．当满足条件时，将不执行循环体，直接跳到Until语句后．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　循环语句中一定有条件语句，条件语句是循环语句的一部分，离开条件语句，循环语句无法循环．但条件语句可以脱离循环语句单独存在，可以不依赖循环语句独立地解决问题．
思考2　不可以．直到型循环语句先执行一次循环体，再判断条件是否成立．因此该循环语句执行循环体的次数一定不为零．
梳理　循环　直到型　当型
知识点二
思考1　在问题处理中，对不同的运算对象进行若干次相同运算或处理时，一般用到循环结构，在编写程序时要用到循环语句．
思考2　当满足条件时执行循环，否则退出，关键词是“当”“否则”．
梳理　Until p　End Do　End While　Do　Until　执行循环体　执行循环体　条件符合　Until　条件符合　条件仍符合
条件不符合　End While
知识点三
1．To　2.当型　3.已知
题型探究
例1　(1)21
解析　由伪代码知，每循环一次，i的值增加2，然后减小1，所以每循环一次i增加1.最后一次执行循环体时，S←2×(7＋2)＋3＝21.
(2)解　伪代码如图：
S←0
i←1,
While　S≤1 000
　S←S＋1/i
　i←i＋1
End　While
Print　i
跟踪训练1　1
解析　执行伪代码：
n＝5，s＝0，满足s<14，所以s＝0＋5＝5，n＝4；满足s<14，所以s＝5＋4＝9，n＝3；满足s<14，所以s＝9＋3＝12，n＝2；满足s<14，所以s＝12＋2＝14，n＝1，不满足s<14，结束．故n＝1.
例2　解　伪代码如图：
s←0
i←1
Do
　s←s＋
　i←i＋1
Until　i>1 000
End Do
Print s
引申探究
1．解　伪代码如图：
s←0
i←1
Do
　s←s＋　
i←i＋1
Until　i>1 000
End Do
Print s
2．解　
s←1
i←2
While　i≤1 000
　s←s＋
　i←i＋1
End While
Print s
跟踪训练2　(1)当
(2)
i←1
p←0
Do
　p←p＋i
　i←i＋2
Until　i>99
End Do
Print p
例3　解　伪代码如下：
S←0
For i From 2 To 2 016 Step 2
　 S←S＋i
End For
Print S
引申探究
解　伪代码如图：
S←0
i←2
While i≤2 016
　S←S＋i
　i←i＋2
End While
Print S
跟踪训练3　解　伪代码如图：
T→1
For i From 1 To n
T←T×i
End For
Print T
当堂训练
1．①③
2．4
解析　输出的结果为1，4，7，10，故共执行了4次．
3．56
解析　根据伪代码逐次写出每次循环的结果．第一次循环，i＝2，S＝4；第二次循环；i＝4，S＝4＋16＝20；第三次循环，i＝6，S＝20＋36＝56.由于i＝6不满足条件，跳出循环，输出S，结果为56.
4．解　伪代码如图：
S←0
I←1
While S≤2 017
　S←S＋I
　I←I＋1
End While
Print I－1
1.4 算法案例
学习目标　1.理解解决“韩信点兵—孙子问题”的算法思想；2.理解辗转相除法与更相减损术的数学原理；3.能用伪代码实现二分法求方程的近似解．
知识点一　本节涉及的内置函数
就像木工不必自己造锯一样，VB也把一些常用基础工具做成内置函数，以备使用者直接调用，下面是本节涉及的内置函数：
函数
功能
例子
Mod(a，b)
得到a除以b的余数
Mod(9，2)＝1
Val(　)
将字符串转换为数值
Int(x)
表示不超过x的最大整数
Int(3.9)＝3
知识点二　“韩信点兵一孙子问题”的数学本质
思考　“三三数之剩二”是什么意思？如何用代数式表示？
　　
梳理　“韩信点兵—孙子问题”是求关于x，y，z的一次不定方程组________________的正整数解．
知识点三　辗转相除法与更相减损术的算法原理
思考　我们知道204＝85×2＋34.为什么204与85的最大公约数就是85与34的最大公约数？
　
梳理　一般地，有2种算法求两个正整数的最大公约数：
(1)辗转相除法的运算步骤：
第一步，给定__________________．
第二步，计算__________________．
第三步，____________.
第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于______；
否则，返回__________．
(2)更相减损术的运算步骤：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是______．若是，用____约简；若不是，执行________．
第二步，以________的数减去________的数，接着把所得的差与________的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数________为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
知识点四　二分法的实现
思考　你还能回忆起二分法的作用和原理吗？
　
梳理　求方程f(x)＝0在区间[a，b]上的近似解的步骤为：
S1　取[a，b]的中点x0＝(a＋b)，将区间一分为二．
S2　若________，则x0就是方程的根，否则判断根x*在x0的左侧还是右侧：
若____________，则x*∈(x0，b)，以x0代替a；
若____________，则x*∈(a，x0)，以x0代替b.
S3　若|a－b|类型一　“韩信点兵——孙子问题”
例1　韩信是秦末汉初的著名军事家．据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么办法，不要逐个报数，就能知道场上士兵的人数．
韩信先令士兵排成3列纵队进行操练，结果有2人多余；接着他立刻下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这一次又剩下2人无法成整列．结果在场的人哈哈大笑，韩信看此情形，立刻报告共有士兵2 333人．众人都愣了，不知韩信用什么办法这么快清点出准确人数的．
这个故事却引出一个著名的数学问题，即闻名世界的“孙子问题”．最早出现在我国《算经十书》之一的《孙子算经》中．原文是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？答曰：二十三．”所以人们将这种问题的通用解法称为“孙子剩余定理”或“中国剩余定理”．设有物m个，则其本质为由方程组 求m的正整数解．
试为此问题编写流程图和伪代码．
　
反思与感悟　此算法的本质是从最小2开始，逐个实验是否满足方程组，对人而言是个笨法，但很适合计算机，以上程序求出的是m的最小值．
跟踪训练1　有一堆围棋子，五个五个地数，最后余下2个；七个七个地数，最后余下3个；九个九个地数，最后余下4个．请用伪代码表示“求出这堆棋子至少有多少个”的一种算法．
　
类型二　辗转相除法的现代实现
例2　你能根据“欧几里得辗转相除法”设计一种求两个正整数a，b(a>b)的最大公约数的一个算法吗？并画出流程图，编写伪代码．
　
反思与感悟　利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．
跟踪训练2　用辗转相除法和更相减损术求261和319的最大公约数．
　
类型三　求方程f(x)＝0近似解的算法
例3　画出用区间二分法求方程x3－x－1＝0在区间[1，1.5]上的一个近似解(误差不超过0.001)的一个算法流程图并编写伪代码．
　
反思与感悟　在此算法中用到了条件语句和循环语句，所以用“Do”是因为要执行再判断是否满足条件，因为不知循环次数，所以也不宜用“For”语句．
跟踪训练3　改造例3中伪代码，用来求f(x)＝ln x＋2x－1在区间[a，b]上的一个近似解(误差不超过c)．
　
1．m是一正整数，对两个正整数a，b，若a－b是m的倍数，则称模m同余，用符号a≡b(Modm)表示．则a≡5(Mod27)中，a的取值最小为________．
2．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为__________________________．
3．求方程x＝5y＋3(其中y为自然数)的所有小于100的x的正整数解，用伪代码表示．
　
4．求两个正数8 251和6 105的最大公约数．
　
1．求两个正整数的最大公约数时，用辗转相除法进行设计的关键是：将“辗转”的过程用循环语句表示．
为了避免求循环次数(对两个具体的正整数，循环次数可以求出，但会使程序更为复杂)，最好使用“While”语句．
2．用二分法求方程近似解，必须先判断方程在给定区间上是否有解．
3．二分法的过程是一个多次重复的过程，故可用循环结构处理．
4．二分法过程中需要对中点(端点)处函数值的符号进行判定，故实现算法需用选择结构，即用条件语句进行分支选择．
答案精析
问题导学
知识点二
思考　“三三数之剩二”意思是一堆东西，三个三个地分组，余二个．
设这堆东西数目为m，则m＝3x＋2，其中x指组数．
梳理　
知识点三
思考　设204与85的最大公约数为a，则a能整除204，故能整除85×2＋34.又因为a也是85的约数，故a能整除85×2，所以a必能整除34，即a是34的约数，从而是85与34的最大公约数，显然，204与85的公约数问题转化成了85与34的公约数问题，问题难度降低了．
梳理　(1)两个正整数m，n(m>n)
m除以n所得的余数r　m←n，n←r
m　第二步
(2)偶数　2　第二步　较大　较小
较小　相等
知识点四
思考　二分法是用来求方程近似解的，其原理是先确定一个解所在的大致区间，然后借助零点存在定理，不断缩小这个区间．
梳理　f(x0)＝0　f(a)f(x0)>0
f(a)f(x0)<0　x*≈x0　S1
题型探究
例1　解　流程图为
伪代码为
m←2
While Mod(m，3)≠2 or
Mod(m，5)≠3 or
Mod(m，7)≠2
　m←m＋1
End While
Print m
跟踪训练1　解　算法的伪代码如下：
m←2
While Mod(m，5)≠2 or
Mod(m，7)≠3 or
Mod(m，9)≠4
　m←m＋1
End While
Print m
例2　解　算法如下：
S1　输入两个正整数a，b；
S2　若Mod(a，b)≠0，那么转S3，否则转S6；
S3　r←Mod(a，b)；
S4　a←b；
S5　b←r，转S2；
S6　输出b.
流程图如图：
伪代码如下：
Read a，b
While Mod?a，b?≠0
　r←Mod?a，b?
　a←b
　b←r
End While
Print b
跟踪训练2　解　辗转相除法：
319÷261＝1(余58)，
261÷58＝4(余29)，
58÷29＝2(余0)，
所以319与261的最大公约数为29.
更相减损术：
319－261＝58，
261－58＝203，
203－58＝145，
145－58＝87，
87－58＝29，
58－29＝29，
29－29＝0，
所以319与261的最大公约数是29.
例3　解　流程图如图：
伪代码如图：
a←1
b←1.5
c←0.001
Do
　x0←
f?a?←a3－a－1
　f?x0?←－x0－1
　If f?x0?＝0 Then Exit Do
　If f?a?f?x0?<0 Then
b←x0
　Else
a←x0
　End If
Until |a－b|End Do
Print x0
跟踪训练3　解　伪代码如图：
Read　a，b，c
Do
　x0←
　f?a?←ln a＋2a－1
　f?x0?←ln x0＋2x0－1
　If　f?x0?＝0　Then　Exit　Do
　If　f?a?f?x0?<0　Then
b←x0
　Else
a←x0
　End　If
　Until　|a－b|End　Do
Print　x0
当堂训练
1．32
2．先除以2，得到18与67
解析　∵36与134都是偶数，∴第一步应为：先除以2，得到18与67.
3．解　算法的伪代码如图：
y←0
x←0
While x<100
　x←5y＋3
　Print x
　y←y＋1
End While
4．解　8 251＝6 105×1＋2 146；
6 105＝2 146×2＋1 813；
2 146＝1 813×1＋333；
1 813＝333×5＋148；
333＝148×2＋37；
148＝37×4＋0；
则37为8 251与6 105的最大公约数．
第一章 算法初步
学习目标　1.提高把具体问题的求解转化为算法步骤的能力；2.能正确选择并运用三种算法结构流程图表示具体问题的算法；3.提高读图能力．
知识点一　三种算法结构
思考1　我们先后学了三种算法结构，你能简述一下什么时候会用到它们吗？
　
思考2　循环结构是个难点．你认为循环结构的关键在哪里？需要注意些什么？
　
知识点二　用流程图表示算法
设计一个算法的流程图通常要经过以下步骤：
第一步，用__________表述算法步骤．
第二步，确定每一个算法步骤所包含的算法结构，并用相应的__________表示，得到该步骤的流程图．
第三步，将所有步骤的流程图用__________连接起来，并加上起止框，得到表示整个算法的流程图．
类型一　算法的设计
例1　已知函数y＝试设计一个算法，输入x的值，求对应的函数值．
　
反思与感悟　设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：
(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法．
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述．
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤．
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
跟踪训练1　已知函数y＝试设计一个算法，输入x的值，求对应的函数值．
　
类型二　画流程图
例2　设计求1×2×3×4×…×2 016×2 017的值的算法，并画出流程图．
　
反思与感悟　算法要求指令明确，在有限步内解决问题，故用自然语言设计算法时不能大而化之．一旦用自然语言表述出算法，转换为流程图就会相对简单，但画时要用对图框，并尽量使主线在一条纵轴上，以增强流程图的条理性．
跟踪训练2　某流程图如图所示，它的功能是什么？
　
类型三　算法在生活中的应用
例3　以下是某次考试中某班15名同学的数学成绩：72，91，58，63，84，88，90，55，61，73，64，77，82，94，60，画出求80分以上的同学的平均分的流程图．
　
反思与感悟　在循环结构中，要注意根据条件设置合理的计数变量、累加(乘)变量，同时条件的表述要恰当、准确．累加变量的初值一般为0，而累乘变量的初值一般为1.
跟踪训练3　乘坐火车时，可以托运货物．从甲地到乙地，规定每张火车客票托运费计算方法：行李质量不超过50 kg 时按0.25元/kg；超过50 kg而不超过100 kg时，其超过部分按0.35元/kg；超过100 kg时，其超过部分按0.45元/kg.设计输入行李质量，计算出托运的费用的算法，并画出流程图．
1．流程图中，具有赋值、计算功能的是________框．
2．下列关于流程图的描述中，正确的有________．
①对于一个算法来说，流程图是唯一的；
②任何一个流程图都必须有起止框；
③流程图只有一个入口，也只有一个出口；
④输出框一定要在终止框前．
3．执行如图所示的流程图，若输入n的值为3，则输出s的值是________．
4．如图所示，算法输出的结果s＝132，则判断框中应填______．
1．在一个问题中经常要进行多次判断，这就需要选择结构嵌套来进行解决．
2．直到型循环结构是先执行一次循环体，然后再判断是否继续执行循环体，当型循环结构是先判断是否执行循环体；直到型循环结构是在条件不满足时执行循环体，当型循环结构是在条件满足时执行循环体．要掌握这两种循环结构，必须抓住它们的区别．
3．算法问题经常涉及到与现实生活有关的题目，解答时，首先根据题意写出内含的表达式，选择适合的结构，设计流程图，因此，解题的关键是写出函数解析式．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　(1)顺序结构每一个流程图都有．
(2)当一个问题需要根据不同的条件选择不同的处理方法时，要用到选择结构；在循环结构中用选择结构来控制循环．
(3)循环结构用于处理需要反复执行同一个算法的问题．
思考2　在循环结构中，关键是根据条件设置合理的计数变量、累加(乘)变量，需要注意的是控制循环的条件表述要恰当、准确．累加变量的初值一般为0，而累乘变量的初值一般为1.
知识点二
自然语言　流程图　流程线
题型探究
例1　解　算法如下：
S1　输入x的值．
S2　当x≤－1时，y←－x2－1，否则执行S3.
S3　y←x3.
S4　输出y.
跟踪训练1　解　算法如下：
S1　输入x的值．
S2　当x≤－1时，y←2x－1，否则执行S3.
S3　当x<2时，y←log2(x＋1)，否则执行S4.
S4　y←x2.
S5　输出y.
例2　解　算法如下：
S1　设M的值为1.
S2　设i的值为2.
S3　如果i≤2 017，则执行S4，否则转去执行S6.
S4　计算M乘i，并将结果赋给M.
S5　计算i加1，并将结果赋给i，转去执行S3.
S6　输出M的值并结束算法．
流程图如图：
跟踪训练2　解　i＝1，S＝12；
i＝2，S＝12－22；
i＝3，S＝12－22＋32；
i＝4，S＝12－22＋32－42；
i＝100，S＝12－22＋32－42＋…＋992－1002，i＝100＋1>100，终止循环，输出S.
故其功能是计算12－22＋32－42＋…＋992－1002的值．
例3　解　流程图如图：
跟踪训练3　解　设行李质量为x kg，应付运费为y元，则运费公式：y＝
整理得y＝
算法步骤：
S1　输入行李质量x.
S2　当x≤50时，y←0.25x，否则，执行S3.
S3　当x≤100时，y←0.35x－5；否则，y←0.45x－15.
S4　输出y.
流程图如图：
当堂训练
1．处理
2．②③
解析　②③正确，对于一个算法来说，流程图不唯一，与设计有关，故①错．输入、输出的位置，不一定在开始和结束处，
故④错．
3．4
解析　i＝1，s＝1→s＝1，i＝2→s＝2，i＝3→s＝4，i＝4，结束．
4．i≥11
解析　由题意知，i＝12，s＝1，进入循环，
s＝12，i＝11，再次循环，
s＝132，i＝10，此时应输出s，
则判断框中应填“i≥11”．
第一章 算法初步
1　算法概念解读
1．对算法含义的理解
(1)算法是机械的
算法的设计要“面面俱到”，不能省略任何一个小小的步骤，有时可能要进行大量重复计算，但只要按步骤一步一步地执行，总能得到结果．算法的这种机械化的特点，在设计出算法后，便于把具体过程交给计算机去完成．
(2)算法是普遍存在的
实际上处理任何问题都需要算法，如国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判标准，邮寄物品的相关手续，求一个二元一次方程组的解等等．
(3)求解某个具体问题的算法一般是不唯一的
算法实际上是解决问题的步骤和方法，求解问题的出发点不同，就会得到不同的算法．如求二元一次方程组的解有代入消元法和加减消元法，但不同的算法可能会有“优劣”之分．
例1 现有9个乒乓球，只有其中一个重量稍轻，请写出找到较轻乒乓球的一个算法．
解　算法如下：
S1　将9个乒乓球分成三组，每组3只．
S2　将两组分别放在天平两边，若天平平衡，则较轻的小的乒乓球在另一组，执行S3，若不平衡，则较轻的小球在较轻的一组，执行S3.
S3　取出含较轻小球的一组，任取两球放在天平上，若左右不平衡，则较轻的小球找到；若天平平衡，则另一只是较轻的小球．
2．算法与数学问题解法的区别与联系
(1)联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系．如教材中由具体的二元一次方程组的求解过程(解法)出发，归纳出了二元一次方程组求解的步骤．同时指出，这样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组，这些步骤就构成了二元一次方程组的算法．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般算法解决．
(2)区别：算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．
例2 写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．
分析　本题是求一元二次方程解的问题，方法很多．要注意设计算法时算法的逻辑性和有穷性．
解　算法1：利用配方法设计算法如下：
S1　移项，得x2－2x＝3.①
S2　①两边同时加1，并配方，得(x－1)2＝4.②
S3　②式两边开方，得x－1＝±2.③
S4　解③得x＝3或x＝－1.
算法2：利用公式法设计算法如下：
S1　计算方程的判别式，判断其符号Δ＝22＋4×3＝16>0.
S2　将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝
，得x1＝3，x2＝－1.

2　流程图画法全知晓
1．画流程图的基本步骤
第一步，设计算法，因为算法的设计是画流程图的基础，所以画流程图前，首先写出相应的算法步骤，并分析算法需要用哪种基本算法结构(顺序结构、选择结构、循环结构)完成．
第二步，把算法步骤转化为对应的图框，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个将算法“细化”的过程．
第三步，将所有步骤的图框用流程线连接起来并加上终端框，得到表示算法的流程图．
2．画流程图的规则
(1)使用标准的图形符号．
(2)流程图一般按从上到下、从左到右的方向来画．
(3)除判断框外，大多数图形符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的符号．
(4)在图形符号内描述的语言要简练清楚．
3．典例分析
(1)顺序结构
顺序结构是最简单的算法结构，是任何一个算法都离不开的结构．若一个算法由若干个依次执行的步骤组成，则在画流程图时，可直接由顺序结构完成．因为在其他的结构中都会涉及到顺序结构，所以关于顺序结构的画法，在此不再单独叙述．
(2)选择结构
设计流程图时，若是分段函数或执行时需要先判断才能执行的问题，则需要用到判断框，引入选择结构．
例1 如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着BCDA的方向由点B向点A运动，设点P运动的路程为x(0分析　先根据题意写出算法，再根据算法画出流程图．即：
第一步，按照题意，y与x的关系满足分段函数：
y＝
第二步，用合适的含选择结构的流程图表示该分段函数．
解　流程图如图所示．
点评　该题中的分段函数是分三段的函数，需引入两个判断框．至于判断框的内容是没有顺序的，但与下一图形的内容或操作必须相互对应．同时，在画流程图时，要特别注意图形符号的规范性．
(3)循环结构
如果问题中进行了重复的运算，且有相同的规律，就可根据需要引入相关变量，利用这些规律组成一个循环体，用循环结构来解决．
例2 用分期付款的方式购买价格为1 150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，加上欠款的利息，若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么购买冰箱钱全部付清后，实际共付出款额多少元？画出流程图．
分析　这里有一个每月付50元，加上欠款的利息的重复过程，可以用循环结构解决．但是欠款利息是变化的，所以需要把欠款利息用循环变量来表示．
解　购买时付款150元，余款1 000元分20次付清，每次的付款数组成一个数列{an}．
a1＝50＋(1 150－150)×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1 150－150－50)×1%＝59.5(元)，
…
an＝50＋[1 150－150－(n－1)×50]×1%
＝60－(n－1)(n＝1，2，…，20)．
∴a20＝60－×19＝50.5.
总和S＝150＋60＋59.5＋…＋50.5.
流程图如图：
点评　在本例中，给出了当型循环结构，直到型循环结构，同学们可以自行完成．
3　例说选择结构
选择结构是三种基本算法结构之一，可以解决一些含有条件判断的算法问题，如分段函数求值问题、比较大小问题、分类讨论问题和一些实际问题等．在此就其应用略举两例，供同学们学习时参考．
1．分段函数求值问题
例1 已知函数y＝请设计流程图，要求输入自变量x，输出函数值y.
分析　输入自变量x的值，首先判断x与0的大小关系，再代入相应的表达式求函数值．
解　流程图如图．
点评　求分段函数的函数值，需先判断再执行步骤，需要引入选择结构．注意画流程图时，判断条件不同，框图中表达式的位置也不同．
2．实际应用问题
例2 邮政电子汇款单笔最高限额为1万元，每笔汇款的资费标准为汇款金额的1%，最低收费2元，最高收费为50
元．试编写一流程图求出当汇款x (0分析　由题意分析，当x≤200时，应交纳资费2元，当x≥5 000时，应交纳资费50元，所以引入选择结构，200和5 000是两个分段点．
解　流程图如图．
点评　在一些需要判断的实际问题中，一般都会用到选择结构，在设计流程图时，可先根据题意，设计算法，再根据算法画出流程图．
4　两种循环结构辨与析
在我们学习的三种基本算法结构中，循环结构尤其重要，其算法设计又相对困难，因此就循环结构的流程图的设计问题及解题思路加以剖析，以期达到明辨结构、合理选择、准确解题的目的．
1．循环结构要点分析
(1)循环结构解决的是大量的重复性的问题，适用于累加求和、累乘求积等问题．
(2)循环结构有两种形式，即当型循环和直到型循环，它们在流程图的表示上是有所区别的．
(3)设计流程图时，我们按照“确定循环体”、“初始化变量”、“设定循环控制条件”的顺序来构造．
2．两种循环结构的区别与联系
区别：
(1)循环体执行的先后顺序不同：当型循环是先判断后循环；直到型循环是先执行一次循环体，然后再判断是否继续执行循环体．
(2)循环的条件不同：当型循环是在条件满足时执行循环体，而直到型循环是在条件不满足时执行循环体，条件满足时退出循环体．
(3)循环体执行的次数不同：若当型循环结构的循环条件一开始就不成立，则直接退出循环；直到型循环是先执行一次循环体，再判断条件．这就是说，当型循环可能一次也不执行，而直到型循环至少执行一次．
联系：
很多情况下，这两种形式的流程图是可以相互转化的，但要注意判断框中的条件是有区别的．
3．典例精析
例 设计计算12＋32＋52＋…＋992的值的流程图．
分析　为了方便表示，可应用循环结构引入两个变量：一个是累加变量，为每一次加法运算提供初始值；一个是计数变量，用来控制循环次数．
解　当型循环结构的流程图如图1，直到型循环结构的流程图如图2.
　　
点评　在进行当型循环和直到型循环结构的互化时，不能仅通过将图1中判断框内的“i≤99”，改为“i>99”，同时调换“Y”、“N”的位置完成(或是图2中作类似的变换)．同学们一定要在理解的基础上，牢记两种循环结构的条件和“Y”、“N”的位置．同一算法中，当型循环和直到型循环判断框中的条件恰恰相反.

5　走出流程图中的误区
1．忽视选择结构中“N”的意义导致错误
例1 已知x，y满足y＝画出给出x求y的流程图．
错解　流程图如图所示：
错解剖析　判断框中0≤x≤1处应填x≤1，因为“N”的意义就是指x<0的反方面，即表示x≥0，再写x≥0则画蛇添足．
正解　流程图如图所示：
2．循环结构忽视初始值和循环条件
例2 设计一个计算1×2×3×…×40的值的流程图．
错解　流程图如图所示：
错解剖析　在给变量赋初值时一定要注意与题目中的已知相对应，同时还要注意是要求和还是求积．一般来说，在解连加问题时存放累加和的变量初值常取0，而在解连乘问题时，存放累乘积的变量初值常取1.另外，循环终止条件的确定与流程图中的各变量的赋值顺序有关，因此确定循环终止条件时不应只看已知条件．
正解　流程图如图所示：
6　画流程图的“三抓”
1．抓特征
组成任何一个流程图的三要素是“四框”、“一线”加“文字说明”．“四框”即起止框、输入(出)框、处理框、判断框．“一线”即流程线，任意两个图框之间都存在流程线．“文字说明”即在图框内加以说明的文字、算式等，这是每个流程图不可缺少的内容．
2．明规则
流程图的画法规则是：①用标准，即使用标准的图形符号；②按顺序，即流程图一般按照从上到下、从左到右的顺序画；③看出入，即大多数图框只有一个入口和一个出口，判断框是唯一具有两个出口的图框，选择结构中要在出口处标明“Y”或“N”；④明循环，即循环结构要注意
变量的初始值及循环终止条件；⑤辨流向，即流程线的箭头表示执行的方向，不可缺少；⑥简说明，即在图框内的描述语言要简练清晰．
3．依步骤
画流程图的总体步骤是：第一步，先设计算法，因为算法的设计是画流程图的基础，所以在画流程图前，首先应在稿纸上写出相应的算法步骤，并分析算法需要哪些基本算法结构；第二步，再把算法步骤转化为对应的流程图，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个将算法“细化”的过程．
例　某商场进行优惠促销：若购物金额x在500元以上(不包括500元)，则全部货款打8折；若购物金额x在300元以上(不包括300元)500元以下(包括500元)，则全部货款打9折；否则，不打折．写出算法并画出流程图，要求输入购物金额x元，能输出实际交款额．
分析　由题意，实际交款额y与购物金额x之间的函数关系是y＝
因为它需对x进行三次判断，所以算法含有两个选择结构，写出算法步骤如下．
解　算法如下：
S1　输入购物金额x.
S2　判断x≤300是否成立．若是，则y←x，执行S4；否则，进入S3.
S3　判断x≤500是否成立．若是，则y←0.9x；否则，y←0.8x.
S4　输出y，算法结束．
画法步骤　①画顺序结构图，即起止框及输入框，并用流程线连接(如图中①)；②画选择结构图，即画判断框，里面填写“x≤300”(如图中②)．对于“Y”流向画处理框并填入“y←x”，对于“N”流向下一个判断框；③再画选择结构图，即画判断框，里面填写“x≤500”，对于“Y”流向画处理框并填入“y←0.9x”，对于“N”流向画处理框并填入“y←0.8x”(如图中③)；④画一个总的输出框并输出y，以及起止框表示算法结束(如图中④)．最后，合成整个流程图．
第一章 算法初步
知识点一　算法、流程图、算法语句
1．算法的概念： 算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或看成按要求设计好的__________、__________计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决______________．
2．流程图：流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．
3．算法语句： 基本算法语句有________语句、________语句、________语句、________语句、________语句五种，它们对应于算法的三种逻辑结构：顺序结构、选择结构、循环结构．用基本语句编写程序时要注意各种语句的____________，条件语句应注意If与________________配套使用，缺一不可，而________可选；循环语句应注意____________的准确表达以及____________的步长设置．
知识点二　算法案例
本章涉及的辗转相除法、更相减损术是用来求________________________________的，秦九韶算法是用来________________________的，二进制在计算机上的应用受到我国周易八卦的影响和启发，都是我国古代灿烂的数学文明的体现．对这些案例，应该知其然，还要知其所以然，体会其中蕴含的____________．
类型一　算法设计
1．算法设计与一般意义上的解决问题不同，它是对一类问题一般解法的抽象与概括．它在解决某个问题的基础上，要考虑这类问题的所有可能情形．我们一般将问题分为数值性问题和非数值性问题．对于数值性问题，我们可采用数值分析法进行处理，这里有许多固定的解法和算法可以应用，也就是先建模，再用数学语言描述解决过程，最后转化成算法．非数值性问题，要根据实际操作模型分析、设计算法，也可以选择一些成熟的办法处理．
2．算法设计应注意：
(1)与解决问题的一般方法有联系，从中提炼出算法．
(2)将解决问题的过程分为若干个可执行步骤．
(3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表达．
(4)用最简练的语言将各个步骤表达出来．
(5)算法的执行要在有限步内完成．
例1　已知平面直角坐标系中的两点A(－1，0)、B(3，2)，写出求线段AB的垂直平分线方程的一个算法．
　
反思与感悟　该算法步骤的设计依据解析几何中求线段垂直平分线的一般方法．设计算法时，对于数值型问题，我们可以采用数值分析的方法进行处理，数值分析中有许多现成的固定算法，我们可以直接使用，当然我们也可以根据问题的实际情况设计算法．对于非数值型问题，根据过程模型分析算法并进行处理，也可以选择一些成熟的办法进行处理，如排序、递推等．
跟踪训练1　已知函数y＝2x4＋8x2－24x＋30，写出连续输入自变量的11个取值，分别输出相应的函数值的算法．
　
类型二　条件语句与流程图
1．流程图表示算法更加准确、清晰、直观．
2．算法设计是画流程图的基础，我们要通过对问题的分析，先写出算法步骤，然后分析算法的基本结构和各步骤的功能(输入、输出、判断、赋值、计算)，画出相应的流程图．
3．对于复杂的流程图可以采取“逐步取精”的思想设计框图，先将问题中的简单部分明确出来，再逐步对复杂部分进行细化，然后一步一步向前推进画出流程图．
4．条件语句对应算法中的选择结构，用于需要进行条件判断，根据是否满足条件来确定执行步骤的算法．
例2　输入一学生成绩，评定其等级．方法是：90～100分为“优秀”，80～89分为“良好”，60～79分为“及格”，60分以下为“不合格”．写出其算法的伪代码，并画出流程图．
　
跟踪训练2　已知函数f(x)＝要求对每一个输入的x，求出相应的函数值，画出流程图，写出伪代码．
类型三　循环语句与流程图
利用顺序结构绘制算法流程图，利用赋值语句和输入、输出语句书写算法伪代码．
当所要解决的问题较为简单，只需依次进行多个处理就能完成，绘制算法流程图，通常通过顺序结构来实现，书写算法伪代码也常利用赋值语句和输入、输出语句来表达．在写伪代码时，可根据条件选择“While”语句，“Do”语句，“For”语句．
例3　根据下面的算法伪代码，绘制流程图，指出输出的最后结果是什么？并分别将它们改为另一种循环，画出相应流程图．
伪代码：
S←0
I←3
While I≤99
　S←S＋I3
　I←I＋2
End While
Print S
跟踪训练3　计算：102＋202＋302＋…＋1002，写出解决该问题的算法伪代码，并画出相应的算法流程图．
　
从近几年高考试题中可以看出，本部分命题呈现以下特点：
(1)考题以填空题为主，分值为5分，属中低档题．
(2)考查内容主要是流程图，一般要求出按流程图执行后的结果．流程图中主要以选择结构和循环结构为主，其中循环结构是重点．但有时也考查伪代码．
答案精析
知识梳理
知识点一
1．有限的　确切的　一类问题
3．输入　输出　赋值　条件　循环
格式要求　Then、End If　Else
循环条件　循环变量
知识点二
两个正整数的最大公约数　计算多项式的值　算法思想
题型探究
例1　解　S1　计算x0＝＝1，y0＝＝1，得AB的中点N(1，1)；
S2　计算k1＝＝，得直线AB的斜率；
S3　计算k＝－＝－2，得线段AB垂直平分线的斜率；
S4　由点斜式得直线AB的垂直平分线的方程为2x＋y－3＝0，并输出．
跟踪训练1　解　算法如下：
S1　输入自变量x的值；
S2　计算y＝2x4＋8x2－24x＋30；
S3　输出y；
S4　记录输入次数；
S5　判断输入的次数是否大于11；若是，则结束算法；否则，返回S1.
例2　解　伪代码如图：
Read x
If x≥90 Then
　Print “优秀”
Else
　If x≥80 Then
Print “良好”
　Else
If x≥60 Then
　 Print “及格”
Else
　 Print “不及格”
End If
End If
End If
流程图如图：
跟踪训练2　解　流程图如图：
伪代码为
Read　x
If x>0 Then
　Print 2x2－1
Else
　If x＝0 Then
Print 2x＋1
　Else
Print －2x2＋4
　End If
End If
例3　解　伪代码对应的流程图如图所示，它用的是“While”语句，最终输出的结果是33＋53＋…＋993.
利用“For”语句伪代码可以改为
S←0
For I From 3 To 99 Step 2
　S←S＋I3
End For
Print S
相应流程图如图所示：
跟踪训练3　解　伪代码如图：
S←0
For I From 10 To 100 Step 10
　S←S＋I2
End For
Print S
相应流程图如图所示．
3．1.1　随机现象 3．1.2　随机事件的概率
学习目标　1.了解随机现象、随机事件、必然事件、不可能事件的概念；2.理解概率的含义以及频率与概率的区别与联系；3.能列举一些简单试验的所有可能结果．
知识点一　现象、试验、事件
1．现象
2．试验、事件：对于某个现象，让其条件实现一次，即为进行了一次试验．试验的每一种结果都是一个事件．
知识点二　随机事件
思考　抛掷一粒骰子，下列事件，在发生与否上有什么特点？
(1)向上一面的点数小于7；(2)向上一面的点数为7；
(3)向上一面的点数为6.
　
梳理　随机事件、确定事件的概念：

知识点三　频率与概率
思考　抛掷一枚硬币10次，正面向上出现了3次，则在这10次试验中，正面向上的频数与频率分别是多少？能说一枚硬币抛一次正面向上的概率为吗？
　
梳理　一般地，
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中________________________为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)事件A发生的__________随着试验次数的增加稳定于__________，因此可以用__________来估计________．
(3)对于任意一个随机事件A，P(A)的范围是_______．
(4)用Ω和?表示必然事件和不可能事件，则P(Ω)＝________，P(?)＝______.
类型一　必然事件、不可能事件和随机事件的判定
例1　在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；
(3)铁球浮在水中；
(4)某电话总机在60秒内接到至少15次传呼；
(5)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾；
(6)同性电荷，相互排斥．
　
反思与感悟　要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
跟踪训练1　下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
①如果x，y均为实数，那么x·y＝y·x；
②三张奖券只有一张中奖，任取一张奖券中奖；
③掷骰子出现7点；
④某高速公路收费站在3分钟内至少经过8辆车；
⑤声音在真空中传播；
⑥地球绕太阳旋转．
　
类型二　列举试验结果
例2　某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．
　
反思与感悟　在写试验结果时，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．
跟踪训练2　袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．
(1)从中任取1球；(2)从中任取2球．
　
类型三　用频率估计概率
例3　李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：
成绩
人数
90分以上
43
80分～89分
182
70分～79分
260
60分～69分
90
50分～59分
62
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率．(结果保留到小数点后三位)
(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．
　
反思与感悟　随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．
跟踪训练3　某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
　
1．下面给出了三个事件：
①明天天晴；
②在常温下，铁熔化；
③自由下落的物体做匀速直线运动．
其中随机事件为________．
2．下面五个事件：
①某地明年2月3日将下雪；
②函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；
③实数的绝对值不小于0；
④在标准大气压下，水在1 ℃结冰；
⑤a，b∈R，则ab＝ba.
其中必然事件是________．
3．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面向上，设反面向上为事件A，则事件A出现的频数为________，事件A出现的频率为________．
4．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数
50
100
200
300
500
1 000
优等品数
40
92
192
285
478
954
(1)计算表中优等品的各个频率；
(2)该厂生产的电视机优等品的概率约为多少？
　
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
3.写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．
答案精析
问题导学
知识点二
思考　(1)必然发生；(2)必然不发生；
(3)可能发生也可能不发生．
梳理　肯定不会发生　必然会发生
可能发生也可能不发生
知识点三
思考　频数为3，频率为.不能说概率为.
梳理　(1)事件A出现的次数nA
(2)频率fn(A)　概率P(A)　频率fn(A)
概率P(A)　(3)0≤P(A)≤1　(4)1　0
题型探究
例1　解　由实数运算性质知(1)恒成立，是必然事件；(6)由物理知识知同性电荷相斥是必然事件，(1)(6)是必然事件．铁球会沉入水中；标准大气压下，水的温度达到50℃时不沸腾，(3)(5)是不可能事件．由于(2)(4)中的事件有可能发生，也有可能不发生，所以(2)(4)是随机事件．
跟踪训练1　解　显然①中等式恒成立，是必然事件；⑥是自然常识，是必然事件，所以①⑥为必然事件．掷骰子不可能出现7点，声音不能在真空中传播，所以③⑤为不可能事件．三张奖券只有一张中奖，任取一张可能中奖也可能不中奖，收费站3分钟内经过的车辆可能多于8辆，也可能少于8辆，还有可能等于8辆，因此②④为随机事件．
例2　解　(1)当x＝1时，y＝2，3，4；
当x＝2时，y＝1，3，4；
当x＝3时，y＝1，2，4；当x＝4时，y＝1，2，3.因此，这个试验的所有结果是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2，1)，(2，3)，(2，4)}．
跟踪训练2　解　(1)条件为：从袋中任取1球，结果为：红、白、黄、黑4种．
(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．
例3　解　总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645，根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的人的考试成绩在各个段上的频率依次为：≈0.067，≈0.282，≈0.403，≈0.140，≈0.096，≈0.012.
用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：
(1)将“90分以上”记为事件A，
则P(A)≈0.067；
(2)将“60分～69分”记为事件B，
则P(B)≈0.140；
(3)将“60分以上”记为事件C，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.
跟踪训练3　解　(1)表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89.
当堂训练
1．①
解析　由事件的定义可判断①是随机事件，②③是不可能事件．
2．③⑤
3．52　0.52
解析　100次试验中，48次正面向上，则52次反面向上．
又频率＝＝＝0.52.
4．解　(1)抽样50台中优等品40台，
优等品的频率为＝0.8，
同理可求得其他的频率依次为：0.92，0.96，0.95，0.956，0.954.
(2)频率稳定在0.95附近，所以该厂生产的电视机优等品的概率约为0.95.
3.2 古典概型（一）
学习目标　1.理解基本事件的概念并会罗列某一事件包含的所有基本事件；2.理解古典概型的概念及特点；3.会应用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．
知识点一　基本事件
思考　一枚硬币抛一次，可能出现的基本结果都有哪些？它们发生的可能性相同吗？
　
梳理　(1)在1次试验中可能出现的____________________称为基本事件．
(2)若在1次试验中，每个基本事件发生的________________，则称这些基本事件为等可能基本事件．
知识点二　古典概型
思考　一枚矿泉水瓶盖抛一次，出现正面向上与反面向上的概率相同吗？
　
梳理　古典概型的定义：
如果某概率模型具有以下两个特点：
(1)试验中所有可能出现的基本事件______________；
(2)每个基本事件的发生都是__________的；
那么我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概型．
一般地，对于任何事件A，
P(A)＝.
如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为__________．
类型一　基本事件的罗列方法
例1　从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？ 事件“取到字母a”是哪些基本事件的和？
　
反思与感悟　罗列基本事件时首先要考虑元素间排列有无顺序，其次罗列时不能毫无规律，而要按照某种规律罗列，比如树状图．
跟踪训练1　做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于8”；
(3)事件“出现点数相等”；
(4)事件“出现点数之和等于7”．
　
类型二　古典概型的判定
例2　某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？
　
反思与感悟　判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．
跟踪训练2　下列说法不是古典概型的是________．
①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的概率；
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④6个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
类型三　古典概型概率的计算
例3　单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？
　
反思与感悟　解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写出所有的基本事件及个数，写出随机事件所包含的基本事件及个数，然后应用公式求出．
跟踪训练3　从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
　
1．某高二年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只能选报其中的2个，则基本事件共有______个．
2．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为________．
3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是____________．
4．用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是________．
5．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．
求：(1)甲被选中的概率；(2)丙丁被选中的概率．
　
1．基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，试验中的事件A可以是基本事件，也可以是有几个基本事件组合而成的．
2．有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点，概率计算公式P(A)＝事件A所包含的等可能基本事件的个数÷等可能基本事件的总数，只对古典概型适用．
3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是枚举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　正面向上，反面向上，它们发生的可能性相同．
梳理　(1)每一个基本结果　(2)可能性都相同
知识点二
思考　因为瓶盖重心的原因，正面向上和反面向上的可能性是不一样的．由此可以看出基本事件不一定等可能．
梳理　(1)只有有限个　(2)等可能　P(A)＝
题型探究
例1　解　所求的基本事件有6个， A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}， D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d};
“取到字母a”是基本事件A、B、C的和，即A＋B＋C.
跟踪训练1　解　(1)这个试验的基本事件共有36个，如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)．
(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)．
例2　解　不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.
跟踪训练2　③
解析　①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性．而③不适合等可能性，故不是古典概型．
例3　解　由于考生随机地选择一个答案，所以他选择A，B，C，D哪一个选项都有可能，因此基本事件总数为4，设答对为随机事件A，由于正确答案是唯一的，所以事件A只包含一个基本事件，
所以P(A)＝.
跟踪训练3　解　每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)和(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，用A表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则A＝[(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)]，事件A由4个基本事件组成，因而P(A)＝＝.
当堂训练
1．3
解析　基本事件有：(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)共3个．
2.
解析　所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个．则所求概率为.
3.
解析　基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率为P＝＝.
4.
解析　用1，2，3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123，132，213，231，312，321，其中能被2整除的有132，312这2个数，故能被2整除的概率为.
5．解　(1)记甲被选中为事件A，基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6个，事件A包含的事件有甲乙，甲丙，甲丁，共3个，则P(A)＝＝.
(2)记丙丁被选中为事件B，由(1)知，基本事件共6个，又因丙丁被选中只有1种情况，所以P(B)＝.
3.2 古典概型（二）
学习目标　1.加深对基本事件与古典概型概念的理解；2.进一步熟悉用列举法写出随机事件所包含的基本事件及个数；
3．能应用古典概型计算公式求复杂事件的概率．
知识点一　与顺序有关的古典概型
思考　同时掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率与“两枚正面”的概率哪个大？
　
梳理　与顺序有关的古典概型：
一般地，有放回的抽样试验，会导致基本事件里有相同元素，如(正，正)．此时罗列基本事件要把元素相同排列顺序不同的事件(如(正，反)与(反，正))区别对待，当成两个不同事件，这就是与顺序有关的古典概型．
知识点二　与顺序无关的古典概型
思考　口袋里有标号为1,2,3的3个球，从中不放回地摸取2个，两球都是奇数的概率是多少？
　
梳理　与顺序无关的古典概型：
一般地，对于不放回的抽样试验，按有序、无序罗列基本事件均可，但无序简单．故可归为与顺序无关的古典概型．
知识点三　古典概型的解题步骤
1．求出总的____________数；
2．求出事件A所包含的____________数，然后利用公式
P(A)＝.
类型一　树形图
例1　有A、B、C、D四位贵宾，应分别坐在a、b、c、d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐，
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
(3)求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．
　
反思与感悟　借助树形图罗列基本事件，书写量小且不重不漏，是一个不错的方法．
跟踪训练1　先后抛掷两枚大小相同的骰子．
(1)求点数之和出现7点的概率；
(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
　
类型二　与顺序有关的古典概型
例2　同时掷两个骰子，计算：
(1)一共有多少种不同的结果？
(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
(3)向上的点数之和是5的概率是多少？
　
反思与感悟　因为掷两粒骰子会出现相同元素(1,1)，(2,2)，…，故罗列事件要按有序罗列，把(1,2)，(2,1)当成不同事件，否则就不是古典概型了．
跟踪训练2　假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1，……，9十个数字中的任意一个．假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他在自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？
　
类型三　与顺序无关的古典概型
例3　现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
反思与感悟　本例相当于从8个不同元素中不放回地抽取3个，故可按无序罗列基本事件．
跟踪训练3　一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个基本事件？
(2)摸出的2个球都是白球的概率是多少？
　
1．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为______．
2．一只袋中已知有3个黑球，2个白球，第一次摸出1个球，然后放回去，再摸第二次，则两次摸球都是白球的概率为________．
3．一袋中装有大小相同的八个球，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中有放回地每次取一个球，共取2次，记“取得两个球的编号和大于或等于14”为事件A，则P(A)＝________.
4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率．
　
1．解决古典概型的概率问题，需从不同的背景材料中抽象出两个问题：
(1)所有基本事件的个数n.
(2)随机事件A包含的基本事件的个数m；最后套用公式P(A)＝求值．
2．在求概率时，通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点来表示，以方便我们更直接、准确地找出某个事件所包含的基本事件的个数，然后再根据古典概型的概率公式，求出相应的概率即可．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，“一正一反”的概率为＝，“两枚正面”的概率＝.“一正一反”的概率大．
知识点二
思考　若按有序罗列，基本事件有(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共6个．其中两球都是奇数的有(1，3)，(3，1)，共2个，故概率为＝.
若按无序罗列，基本事件有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个．其中都是奇数的有(1，3)，共1个，故概率为.
知识点三
1．基本事件　2.基本事件
题型探究
例1　解　将A、B、C、D四位贵宾就座情况用下列图形表示出来：
如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个．
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝.
(2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝＝.
(3)设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝＝.
跟踪训练1　解　用树形图列举基本事件如下：
1　　2　　3　　4
5　　6
基本事件的总数共36种．
(1)记“点数之和出现7点”为事件A，事件A包含的基本事件共6个：(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)．
故P(A)＝＝.
(2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4，4)．故P(B)＝.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6)．
故P(C)＝＝.
例2　解　(1)掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果(如下表)，其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果．(可由列表法得到)
2号骰
1号骰子　　　
1
2
3
4
5
6
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
(1，5)
(1，6)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
(2，5)
(2，6)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
(3，5)
(3，6)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
(4，5)
(4，6)
5
(5，1)
(5，2)
(5，3)
(5，4)
(5，5)
(5，6)
6
(6，1)
(6，2)
(6，3)
(6，4)
(6，5)
(6，6)
由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种．
(2)在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，分别为(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)．
(3)由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得P(A)＝
＝＝.
跟踪训练2　解　这个人随机试一个密码，相当于做1次随机试验，试验的基本事件(所有可能的结果)共有10 000种．由于假设的随机的试密码，相当于试验的每一个结果是等可能的．所以P(“能取到钱”)＝＝.
例3　解　(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则
M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}
事件M由6个基本事件组成，
因而P(M)＝＝.
(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则N由15个基本事件组成：(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．
所以P(N)＝＝.
跟踪训练3　解　(1)分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，从中摸出2个球，有如下基本事件(摸到1、2号球用(1，2)表示)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．因此，共有10个基本事件．
(2)上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2个白球(记为事件A)，即(1，2)，(1，3)，(2，3)，故P(A)＝.
故摸出的2个球都是白球的概率为.
当堂训练
1．0.4
解析　10个数据落在区间[22，30)内的数据有22，22，27，29，共4个，因此，所求的概率为＝0.4.
2.
解析　从5球中有放回地抽取两次，共有25种结果，其中两次都是白球的抽取结果有：2×2＝4种，所以P＝.
3.
解析　事件A包括(6，8)，(7，7)，(7，8)，(8，6)，(8，7)，(8，8)这6个基本事件，由于是有放回地取，基本事件总数为8×8＝64，所以P(A)＝＝.
4．解　在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，由于2颗骰子各有6种可能的结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6＝36种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5种，所以所求事件的概率为.
3.3 几何概型
学习目标　1.了解几何概型与古典概型的区别；2.了解几何概型的定义及其特点；3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．
知识点一　几何概型的概念
思考　往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？
　
梳理　(1)几何概型的定义：
设D是一个可度量的区域(例如________、__________、____________等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会________；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的________________________．这时，事件A发生的概率与d的测度(________、________、________等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．
(2)几何概型的特点：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有__________________．
②每个基本事件出现的可能性________．
知识点二　几何概型的概率公式
思考　既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？
　
梳理　几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝.
知识点三　用模拟方法估计概率
1．随机数的产生
(1)计算器上产生(0,1)的随机数的函数是______函数．
(2)Excel软件产生[0,1]区间上的随机数的函数为“____________”．
(3)[a，b]上随机数的产生
利用计算器或计算机产生[0,1]上的随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝______________就可以得到[a，b]内的随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的．
2．用模拟方法估计概率的步骤：
(1)把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．
(2)用计算机(或计算器)产生指定范围内的随机数．
(3)统计试验的结果，代入几何概型概率公式估得概率．
利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题．
类型一　几何概型的概念
例1　判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型．
(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
　
(2)下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．求甲获胜的概率．
　
反思与感悟　判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：
(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；
(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性．当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型．
跟踪训练1　判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：
(1)某月某日，某个市区降雨的概率；
(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率．
　
类型二　几何概型的计算
命题角度1　与长度有关的几何概型
例2　某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率．
引申探究
1．本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率．
2．本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率．
　
反思与感悟　若一次试验中所有可能的结果和某个事件A包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A发生的概率．
跟踪训练2　平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径为r(r＜a)的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．
　
命题角度2　与面积有关的几何概型
例3　设点M(x，y)在区域{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}上均匀分布出现，求：
(1)x＋y≥0的概率；
(2)x＋y＜1的概率；
(3)x2＋y2≥1的概率．
　
反思与感悟　如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解．
跟踪训练3　欧阳修《卖油翁》中写到，(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿．若铜线是直径为3 cm的圆，中间有一个边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴正好落入孔中的概率是________．
命题角度3　与体积有关的几何概型
例4　三棱锥D—ABC的体积为V，在其内部任取一点P，求三棱锥P—ABC的体积小于V的概率．
　
反思与感悟　如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为
P(A)＝.
解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．
跟踪训练4　在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为______．
1．下列概率模型：
①从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
②从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的数的概率；
③在一个边长为4 cm的正方形ABCD内取一点P，求点P离正方形的中心小于1 cm的概率．
其中，是几何概型的为________．
2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为________．
3．两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2 m的概率为________．
4．在装有5升纯净水的容器中不小心混入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是________．
1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型．
2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积等有关的题目．
3．注意理解几何概型与古典概型的区别．
4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．
梳理　线段　平面图形　立体图形
都一样　某个指定区域d中的点　长度
面积　体积
梳理　(1)无限多个　(2)相等
知识点二
思考　由定义知，事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成正比，故可用区域的测度代替基本事件数．
知识点三
1．(1)RAND　(2)RAND ( )
(3)x1*(b-a)+a
题型探究
例1　解　(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；
(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．
跟踪训练1　解　(1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性．
例2　解　如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1，T2，T1T2＝15.
设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A.
则当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生．
因为T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，
所以P(A)＝＝.
引申探究　
1．解　由原题解析图可知，当t落在TT2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率P＝＝.
2．解　由原题解析图可知，当t落在T0T2上时，乘客立即上车，
故所求概率P＝＝＝.
跟踪训练2　解　记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A，如图，由图可知：硬币圆心在线段AB上的任意一点的出现是等可能的．圆心在线段CD(不含点C、D)上出现时硬币不与平行线相碰，所以P(A)＝＝＝.
例3　解　如图，满足|x|≤1，|y|≤1的点(x，y)组成一个边长为2的正方形(ABCD)区域(含边界)，S正方形ABCD＝4.
(1)x＋y＝0的图象是直线AC，满足x＋y≥0的点在AC的右上方(含AC)，即在△ACD内(含边界)，而S△ACD＝·S正方形ABCD＝2，
所以P(x＋y≥0)＝＝.
(2)设E(0，1)，F(1，0)，则x＋y＝1的图象是EF所在的直线，满足x＋y＜1的点在直线EF的左下方，即在五边形ABCFE内(不含边界EF)，而S五边形ABCFE＝S正方形ABCD－S△EDF＝4－＝，
所以P(x＋y＜1)＝
＝＝.
(3)满足x2＋y2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O，S⊙O＝π，
所以P(x2＋y2≥1)＝＝.
跟踪训练3　
解析　∵S正方形＝1 cm2，
S圆＝π·2＝(cm2)，
∴P＝＝.
例4　解　如图，设三棱锥D—ABC的底面ABC的面积为S，高为h，
则VD—ABC＝Sh＝V.
设平面EFG是距底面ABC的距离为h的平面，则点P落在平面EFG与平面ABC之间时，
可以保证三棱锥P—ABC的体积小于V.
由于三棱锥D—EFG的底面EFG的面积为S，高为h，
因此VD—EFG＝×S·h＝V，
因此所求概率P＝＝.
跟踪训练4　
解析　由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝，球的体积V2＝π×3＝π，则此点落在正方体内部的概率P＝＝.
当堂训练
1．①③
解析　①是，因为区间[－10，10]和[－1，1]内都有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性相同(等可能性)；
②不是，因为区间[－10，10]内的整数只有21个，不满足无限性；
③是，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点(无限性)，且这两个区域内的任何一个点被取到的可能性相同(等可能性)．
2.
解析　向△ABC内部投一点的结果有无限个，且每个结果出现的可能性相等属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝＝.
3.
解析　记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A，则P(A)＝＝.
4.
3.4 互斥事件
学习目标　1.理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据定义辨别事件的互斥、对立关系；2.掌握互斥事件的概率加法计算公式．
知识点一　互斥事件
思考　一粒骰子掷一次，记事件A：点数大于4；事件B：点数小于3，则事件A，B可能在一次试验中同时发生吗？
梳理　互斥事件的概念：
________________的两个事件称为互斥事件．
知识点二　事件A＋B
思考　一粒骰子掷一次，A：点数为奇数；事件B：点数大于3，则A，B至少有一个发生包含哪些基本事件？
　
梳理　一般地，事件“A，B至少有一个发生”记为A＋B.如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝__________________.一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝________________.
知识点三　对立事件
思考　在“知识点一思考”中，一次试验里，A，B是否必有一个发生？你能定义一个事件C，使A，C必有一个发生吗？
　
梳理　对立事件及其概率公式：
如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．事件A的对立事件记为；对立事件概率公式P()＝__________.
类型一　互斥、对立的判定
例1　判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；
(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；
(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．
　
反思与感悟　如果A、B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交．
跟踪训练1　一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环；
事件C ：命中环数小于6环； 事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环．
　
类型二　互斥、对立概率公式
例2　如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是，取到方块(事件B)的概率是，问：
(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？
　
反思与感悟　事件C是事件A与事件B的并事件，且事件A与事件B互斥，因此可用互斥事件的概率加法公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)＝1－P(C)．
跟踪训练2　袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？
　
类型三　事件关系的简单应用
例3　某人外出去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
　
反思与感悟　对于一个较复杂的事件，一般将其分解为几个简单的事件．当这些事件彼此互斥时，即可用概率加法公式．
跟踪训练3　甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；　(2)甲不输的概率．
　
1．给出以下结论，其中正确命题的个数有________．
①互斥事件一定对立；
②对立事件一定互斥；
③互斥事件不一定对立；
④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；
⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．
2．投掷一枚质地均匀的骰子，若事件A为“向上的点数至少为5”．则事件是指__________________．
3．口袋内装有一些大小相同的红球、白球、黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．
4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是________．
①至少有一个红球与都是红球；
②至少有一个红球与都是白球；
③至少有一个红球与至少有一个白球；
④恰有一个红球与恰有两个红球．
5．某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．
　
1．互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生；(2)事件A不发生且事件B发生；(3)事件A与事件B同时不发生．而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：(1)事件A发生事件B不发生；(2)事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．
2．当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
3．若事件A与B为对立事件，则A＋B为必然事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，于是有P(A)＝1－P(B)．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　不可能．
梳理　不能同时发生
知识点二
思考　A，B至少有一个发生包含点数为1，3，4，5，6.
梳理　P(A)＋P(B)　P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
知识点三
思考　不是，比如掷出点数为3，则A，B都不发生，定义C：点数不大于4，则A，C必有一个发生．
梳理　1－P(A)
题型探究
例1　解　(1)是互斥事件．
理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．
(2)不是互斥事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果；“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．
(3)不是互斥事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．
(4)是互斥事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．
跟踪训练1　解　A 与C 互斥(不可能同时发生)，B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件(至少一个发生)．
例2　解　(1)因为C＝A＋B，且A与B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，根据概率的加法公式得
P(C)＝P(A)＋P(B)＝.
(2)事件C与事件D互斥，且C＋D为必然事件，因此事件C与事件D是对立事件，P(D)＝1－P(C)＝.
跟踪训练2　解　设得到黑球、黄球的概率分别为x，y，由题意得
解得x＝，y＝，
所以得到绿球的概率为
1－－－＝.
所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.
例3　解　(1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，
所以P(A＋D)＝P(A)＋P(D)
＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P，则
P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
跟踪训练3　解　(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，
所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝.即甲获胜的概率是.
(2)方法一　设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，
所以P(A)＝＋＝.
即甲不输的概率为.
方法二　设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，
所以P(A)＝1－＝.
即甲不输的概率是.
当堂训练
1．2
解析　对立必互斥，互斥不一定对立，
∴②③正确，①错；
又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，
∴④错；
只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错．
2．向上的点数至多为4　3.0.30
4．④
解析　①中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以①不符合题意；②中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，所以②不符合题意；③中，若取出的3个球是1个红球，2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以③不符合题意；④中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以④符合题意．
5．解　设射中10环或7环的概率为P1，不够7环的概率为P2.
(1)P1＝0.21＋0.28＝0.49；
(2)P2＝1－0.21－0.23－0.25－0.28
＝0.03.
第三章 概率
1　概率加法公式应用点拨
概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些复杂事件的概率．概率的加法公式可推广为若事件A1，A2，…，An彼此互斥(两两互斥)，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于各个事件发生的概率之和．用此公式时，同学们首先要判断事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．下面举例说明概率加法公式的应用．
一、计算互斥事件和的概率
例1 由经验得知，某市某大型超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下表：
排队人数
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.10
0.16
0.30
0.30
0.10
0.04
求：(1)至多2人排队的概率；
(2)至少2人排队的概率．
解　(1)记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，则A，B，C彼此互斥．
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56.
(2)记“至少2人排队”为事件D，“少于2人排队”为事件A＋B，那么事件D与事件A＋B是对立事件，则P(D)＝P()＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.10＋0.16)＝0.74.
点评　应用概率加法公式求概率的前提有两个：一是所求事件是几个事件的和，二是这几个事件彼此互斥．在应用概率加法公式前，一定要弄清各事件之间的关系，把一个事件分拆为几个彼此互斥的事件的和，再应用公式求解所求概率．
二、求解“至少”与“至多”型问题
例2 甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试，已知恰有1人过关(事件A)的概率为0.198，恰有2人过关(事件B)的概率为0.380，恰有3人过关(事件C)的概率为0.302，4人都过关(事件D)的概率为0.084.求：
(1)至少有2人过关的概率P1；
(2)至多有3人过关的概率P2.
分析　“至少有2人过关”即事件B＋C＋D，“至多有3人过关”即事件A、B、C与事件“4人均未过关”的和事件，其对立事件为D.(注意“4人均未过关”这种可能情况)
解　由条件知，事件A、B、C、D彼此互斥．
(1)P1＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.766.
(2)P2＝P()＝1－P(D)＝1－0.084＝0.916.
点评　处理“至多”、“至少”型问题，既可以分情况讨论，也可以从反面考虑，即借助对立事件的概率间接求解．当事件包含的情况较多时，常利用P(A)＝1－P()求P(A)．
三、列方程求解概率问题
例3 某班级同学的血型分别为A型、B型、AB型、O型，从中任取一名同学，其血型为AB型的概率为0.09，为A型或O型的概率为0.61，为B型或O型的概率为0.60，试求任取一人，血型为A型、B型、O型的概率各是多少？
分析　设出所求事件的概率，将题中涉及到的事件用所求事件表示出来，借助这些事件的概率及公式，列方程求解即可．
解　记“任取一人，血型为A型”、“任取一人，血型为B型”、“任取一人，血型为AB型”、“任取一人，血型为O型”分别为事件E，F，G，H，显然事件E、F、G、H两两互斥．
故
解得
所以任取一人，血型为A型、B型、O型的概率分别为0.31、0.30、0.30.
点评　本题很好地应用了全体事件的和为必然事件这一点．挖掘题目中的隐含条件并合理利用是解决某些问题的关键，同学们应注重这种能力的培养．
2　概率误区追源
同学们对概率一词虽不陌生，但求解概率问题时总会一不小心就误入歧途，下文例析几类典型错误，为同学们敲响警钟．
一、对频率与概率的含义及关系理解不清致误
例1 下列说法中正确的有________．
①抛一枚质地均匀的硬币10次，结果7次正面向上，若事件A表示“正面向上”，则P(A)＝；
②某人将一枚硬币连续抛掷两次，两次都正面向上，则正面向上的频率是1；
③利用均匀的号签抽签决定甲乙二人谁当班长时，先抽的人当班长的概率大；
④已知某批水杯的次品率为2%，则该批水杯中每100个便会有2个次品；
⑤做10 000次随机试验，某事件发生的频率可作为该事件发生的概率．
错解　①②③④⑤
剖析　①中，P(A)表示事件A发生的概率，应为.而为事件A发生的频率，二者不相等；③中，无论先抽还是后抽，抽到当班长的概率相同；④中，概率代表某事件在一次试验中发生的可能性，不能由其判断做一次试验一定发生或不发生某种结果；⑤中，概率值是在大量试验的基础上，由多个频率的变化规律得到的，仅凭10 000次随机试验中某事件发生的频率得不出该事件发生的概率．
正解　②
点评　频率与随机试验的次数有关，具有随机性．做相同次数的随机试验，某事件发生的频率不一定相同．概率与随机试验的次数无关，具有不变性，反映了事件发生的可能性大小．
二、互斥事件、对立事件概念理解不透致误
例2 (1)对于随机事件A，B，若有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7，则事件A，B的关系为________．
(2)某人面试时，答了3道试题．若此人各道试题回答正确与否具有随机性，则他至少答对1道题的对立事件是________________________________________．
错解　(1)因为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7<1，
所以事件A、B互斥．
(2)该次面试，此人至多答对1道题．
剖析　(1)互斥是同一试验下不可能同时发生的两事件间的关系．若事件A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)≤1.但这里的事件A，B不一定是同一试验下的两个事件．
(2)对一些关键判断词的否定词不能准确理解应用，误认为将“至少”改为“至多”即可得其对立事件．
正解　(1)不确定．可能互斥，也可能毫无关系．
(2)此人答对题的个数可以是0、1、2、3.“至少答对1道题”，即答对1道、2道或3道，所以“他至少答对1道题”的对立事件是“他1道题也没答对”．
点评　若同一试验随机事件A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)≤1，反之不一定成立．在写某事件的对立事件时，应准确把握常见判断词及其否定，如①都是——不都是；②全——不全；③至少有n种——至多有n－1种；④大于——小于或等于．
三、错用加法公式(不互斥时)致误
例3 几个人玩掷骰子游戏，某人先随机向上抛掷一颗骰子，骰子落下后各点向上的概率都是，事件A表示“朝上的点数是不等于6的偶数”，事件B表示“朝上的点数不少于4”，求P(A＋B)．
错解　因为P(A)＝＋＝，P(B)＝＋＋＝，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
剖析　错解的原因在于忽视了概率加法公式应用的前提条件．由于当朝上一面的数为4时，事件A、B同时发生，所以事件“朝上一面的数是不等于6的偶数”与“朝上一面的数不少于4”不互斥，故不能应用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)求解．
正解　记“朝上一面的数为i(i＝1，2，3，4，5，6)”为事件Ci，则六个事件彼此互斥，且A＝C2＋C4，B＝C4＋C5＋C6，所以A＋B＝C2＋C4＋C5＋C6，所以P(A＋B)＝P(C2＋C4＋C5＋C6)＝＋＋＋＝.
点评　求解随机事件的概率时，要注意分清哪些事件互斥，哪些不互斥．应用互斥事件的概率加法公式时，要先判断两个或多个事件是否彼此互斥，只有事件彼此互斥时才可用公式求解.
3　概率中的几个易混概念辨析
概率问题中有许多概念看似相似，实则不同，非常容易混淆，本文就概率中的几组易混概念进行对比分析，以提高同学们的辨别能力和解题能力．
1．随机事件、必然事件与不可能事件
随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；而必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，其概率为1；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件，其概率为0.但需要注意，从概率学角度看，概率为1的事件可以是必然事件，也可以是随机事件；同样，概率为0的事件可以是不可能事件也可能是随机事件．
2．频率和概率
频率和概率是学习的重点，也是学习的难点．频率是指在多次重复试验的基础上此事件发生的次数与试验总次数的比值，它随着试验次数的改变而变化，它不是常数，但它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增大，这种摆动幅度越来越小．而上述中的常数是事件发生的概率，它不随着试验次数的改变而变化，频率只能作为概率的一个近似值．(有时频率与概率相等，如必然事件)
例1　判断下列命题的真假．
(1)掷100次硬币，出现正面的频率是0.4，则在试验中出现正面向上的次数为40次；
(2)某产品的次品率为3%，则任取该产品100件，其中必有3件次品．
解　(1)真；(2)假．
3．互斥事件与对立事件
互斥事件、对立事件的共同点是都涉及两个事件之间的关系．如果事件A与事件B不可能同时发生，那么称事件A与B为互斥事件，它包含两层含义：在同一次试验中，①A、B都未发生；②A、B恰有一个发生．
在同一试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件互为对立事件．
注：①互斥事件是对立事件的前提；②两个事件中必有一个发生；③对立事件的概率和等于1，即P(A)＋P()＝1.
因此，两事件对立，必定互斥，但互斥不一定对立．从集合角度考虑：两个事件A与B互斥，是指由A，B所含的结果所组成的集合的交集是?.一般情形：如果事件A1，A2，…，An中任何两个都是互斥事件，那么我们称A1，A2，…，An彼此互斥．各事件包含的结果组成的集合A1，A2，…，An有A1∩A2∩…∩An＝?；对于事件A，B所包含的结果组成的集合A，B若满足“A∪B＝Ω(Ω为所有可能事件组成的集合)且A∩B＝?”，则事件A与B为对立事件，也即A＝?ΩB，B＝?ΩA.利用上述集合观点，很容易判断两个事件是否为互斥事件或对立事件．
4．“放回”与“不放回”
例2　从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中每次任取一件，连续取两次．
(1)若每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取出后放回，求取出的两件产品中恰有一次次品的概率．
解　(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号中左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．用A表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则事件A由(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)4个事件组成，因而P(A)＝＝；
(2)有放回地取出两件，其一切可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，且B表示“恰有一件次品”这一事件，则事件B由(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)4个事件组成，因而P(B)＝.
4　点击古典概型中的列举法
古典概型是概率部分的一个重要内容，涉及到古典概型概率求解的问题一般难度不大，但极易出错，下面介绍三种列举方法供同学们学习时参考．
一、直接列举法
例1 袋中有除颜色外大小均相同的红、白、黄、黑4个小球．
(1)从中任取一球，求取出白球的概率；
(2)从中任取两球，求取出的是红球和白球的概率．
分析　求古典概型的概率，应先列举出总的基本事件数、所求事件包含的基本事件数，然后利用公式求概率．
解　(1)设A表示事件“取出白球”．在“从中任取一球”的试验中，等可能出现的结果有取出红球，取出白球，取出黄球，取出黑球，共4种，
所以P(A)＝.
(2)设B表示事件“取出的两个球是红球和白球”，在“从中任取两球”这个试验中等可能出现的结果有6种：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)．
所以P(B)＝.
点评　若事件发生的总数不是很多时，常用直接列举法，就是依次将各基本事件列举出来．
二、表格列举法
例2 用正方体做一颗骰子，在6个面上分别标上1，2，3，4，5，6，现将这颗骰子先后抛掷两次，试问：
(1)“点数之和为奇数”与“点数之和为偶数”的概率是否一样大？
(2)“点数之和为6”与“点数之和为8”的概率是否一样大？
(3)从问题(2)中你能发现什么样的一般规律？
分析　两次点数之和的事件数比较多，可利用表格列举法来处理，分别用第一行和第一列的数表示先后掷出的点数，交叉处表示它们的和，由此可计算出所求事件的概率．
解　如表格：第一行、第一列中的数表示出现的点数，行与列交叉处的数表示点数之和：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
(1)由表知：基本事件有36个，记“点数之和为奇数”为事件A，“点数之和为偶数”为事件B，事件A含基本事件18个，事件B含基本事件18个，所以P(A)＝P(B)＝＝，即事件A、B的概率一样大．
(2)记“点数之和为6”为事件C，记“点数之和为8”为事件D，事件C含有5个基本事件，分别为(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)．事件D含有5个基本事件，分别为(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)．
所以P(C)＝P(D)＝，即事件C、D的概率一样大．
(3)从上面的(2)中及表格中可发现“点数之和为x”与“点数之和为14－x”的概率一样大．
点评　涉及到两次结果的问题，一般可采用表格列举法来列举基本事件，这样可保证列举时不重不漏．
三、树形图列举法
例3 用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂1种颜色．求：
(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率．
解　由树形图(用R，Y，G分别代表三种不同的颜色)可知，
本题的基本事件共有27个．因为对3个矩形涂色时，选用颜色是随机的，所以这27个基本事件是等可能的．
(1)记“3个矩形颜色都相同”为事件A.由树形图知，事件A包含的基本事件有1×3＝3(个)，故P(A)＝＝.
(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B.由树形图可知，事件B包含的基本事件有2×3＝6(个)，故P(B)＝＝.
点评　当题中的基本事件较多、较为复杂时，可结合树形图进行分类、列举．
求解古典概型的概率问题中，上述三种常用的求解方法都是直接求解的．若直接或正面思考时比较困难，则需转换思维角度，可利用正难则反的思想，如利用对立事件的概率进行求解.
5　解古典概型技巧谈
求解古典概型问题时，基本事件数的求解有时比较麻烦，下面介绍几种常见的古典概型解题技巧．
一、利用对称性求概率
在古典概型中，处于对称平等地位的事件发生的概率一般相同，应用这一结论可以巧妙地列举出基本事件，简化计算，从而收到事半功倍的效果．
例1 在线段AB上任取不同的3点x1，x2，x3.求x2位于x1，x3之间的概率．
分析　初看本题不是古典概型问题，但如果我们仔细观察，就会发现，其实是一个古典概型问题．
解　设A1＝{x1位于x2、x3之间}，A2＝{x2位于x1，x3之间}，A3＝{x3位于x1、x2之间}，则事件A1，A2，A3处于对称平等的地位，其发生的可能性是相等的，且A1，A2，A3两两互斥．故该试验可看成只有3个基本事件A1，A2，A3，所以所求概率P(A2)＝.
点评　在线段AB上取点有无数种情况，但就此题而言，只需考虑x1，x2，x3三者的位置关系，并由对称性顺利求解．
跟踪训练1　临近毕业，各个班级都在合影留念，在高三(1)班合影时，摄影师随意安排A、B、C、D、E共5名同学站成一排，试求A在B的右边(A、B可以不相邻)的概率为________．
解析　A在B的右边与B在A的右边对称．
答案　
二、转换角度求概率
在解决古典概型问题时，应抓住事件的本质，从合适的角度入手，正确列举出基本事件．
例2 任取一个正整数，求该数的四次方的末位数字是1的概率．
分析　任取一个正整数，有无数种情况，但它们的四次方的末位数只与正整数的末位数0～9有关，因此，只研究其末位数即可．
解　不能把所有的正整数作为基本事件总体，因为这样得到的基本事件是无限的，不满足古典概型所要求的“有限性”的条件．由于正整数四次方的末位数是由这个数的末位数决定的，可能是0，1，2，…，9中的任意一个(等可能)，当该数的末位数是1，3，7，9时，其四次方的末位数均为1.所以，取基本事件为0，1，2，…，9.则所求事件A＝{1，3，7，9}，其概率P(A)＝＝.
点评　通过该例，我们看到当问题应用常规的列举法无法解答时，应探求其本质，本题只是根据决定四次方的末位数为1的“末位数”来解答的．当然这类题有其特殊性，但是从中可以发现选取合适的基本事件是非常重要的．
跟踪训练2　有五名同学A、B、C、D、E需在最短时间内站成一排，则C恰好站在中间的概率为________．
解析　只考虑中间位置．
答案　
三、利用互斥事件(或对立事件)求概率
有些古典概型问题，如果从正面考虑其基本事件比较多，可以分解为几个互斥事件进行求解，也可以从它的反面考虑，即借助对立事件来求．
例3　盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________．(结果用最简分数表示)．
分析　两个数之积是偶数，则两个数至少有一个是偶数，需考虑的情形比较多，但是对立事件：“两数之积为奇数”则很简单，所以先求对立事件的概率．
解析　从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，通过列举共有21个基本事件，2个数之积为奇数?2个数分别为奇数，共有6个基本事件，所以2个数之积为偶数的概率P＝1－＝.
答案　
跟踪训练3　将一枚硬币连掷4次，则至少有1次正面朝上的概率为________．
答案　
6　走出解古典概型的误区
古典概型是基本事件满足有限性和等可能性的一类特殊的概率模型，若对这两点理解不透彻，便会产生错误．另外，根据题目条件的不同，处理问题的过程中也要注意上述两点，防止得出错误的结论．下面我们将常见的古典概型易错题型总结如下：
一、基本事件表示不合理，导致不满足等可能性
例1 抛两枚硬币，可能出现的试验结果为“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”三种，则事件“一正一反”发生的概率为________．
错解　因为试验结果有“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”三类，故事件“一正一反”发生的概率为.
错因分析　“一正一反”包括“(正，反)，(反，正)”两个基本事件，上述解题过程中列举的结果把其当成一个基本事件，导致基本事件不是等可能发生的，因此求得的概率是错误的．
正解　试验的所有基本事件为(正，正)，(反，反)，(反，正)，(正，反)四个．因此，事件“一正一反”发生的概率为.
答案　
点评　对古典概型的基本事件列举要全面，即列出进行一次试验得到的所有可能结果．再进一步验证基本事件发生的概率是否相等，若不相等，则选择的基本事件不能用来计算概率值．
二、基本事件选择不当，误将“无限”当成“有限”
例2 在区间[0，10]上任取一个数字，取到数字5的概率是多少？
错解　由题意易知，此试验的基本事件为取到数字0，1，2，…，9，10，共11个．记事件A＝“取到数字5”，
则P(A)＝.
错因分析　解题过程中没有判断这个试验是否满足古典概型的定义．由于试验结果为区间[0，10]上的数，有无穷多个．也就是说，这个试验的基本事件有无穷多个，故不满足古典概型的定义．
正解　0
点评　满足古典概型的试验中仅含有有限个基本事件，若某个试验的基本事件有无限个，那么这样的试验一定不满足古典概型．
三、忽略有无放回，导致基本事件遗漏
例3 某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3的四个大小、质地均相同的小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次．若取出的两个小球号码之和等于5，则中一等奖；等于4，则中二等奖；等于3，则中三等奖，求连续取两次中奖的概率．
错解　设“中奖”为事件A，从四个小球中取两个共有(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，2)，(1，3)，(2，3)共6种不同的结果．而取出的两个小球号码之和等于3或4或5的结果有(0，3)，(1，2)，(1，3)，(2，3)，共4种，故中奖的概率P(A)＝＝.
错因分析　上述解题出错的原因，是没有注意到“每次取出一球，记下编号后放回”这个关键句，对放回后对试验的影响不理解，导致忽略(0，0)，(2，2)，以及(3，0)，(2，1)等事件，从而出现错误．
正解　设“中奖”为事件A，从四个小球中有放回地取两个，共有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)共16种不同的结果．取出的两个小球号码之和等于4或3的结果有(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7种；两个小球号码之和等于5的结果有2种：(2，3)，(3，2)．故中奖的概率P(A)＝.
点评　对于无放回的取球问题，一般利用无序的数组表示两个元素，并且不会出现重复元素；但有放回的问题，因为取出的元素会被放回，便会导致两次可能重复出现一个元素，我们用坐标来表示更清晰．
7　概率与其他知识的综合
概率已成为高考的新重点和热点内容，由于概率比较容易与其他知识相结合出一些综合性试题，而且创新型试题不断涌现．下面就一些常见的综合题略作介绍．
1．集合与几何概型
例1　已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＋a＝0}，若A∩B≠?的概率为1，则a的取值范围是________．
解析　若A∩B≠?的概率为1，则集合A与B有公共元素，∴
∴2x2＋2ax＋a2－1＝0有实数根，
∴Δ＝4a2－8(a2－1)≥0，∴－≤a≤.
答案　[－， ]
点评　由于A∩B≠?是必然事件，说明直线和圆必相交，也可以利用圆心(0，0)到直线l：x＋y＋a＝0的距离小于等于圆的半径r＝1来求解．
2．几何与几何概型
例2　已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝________.
分析　本题的关键是找出使△APB的最大边是AB的临界条件，首先是确定AD解析　如图，
在矩形ABCD中，以AB为半径作圆交CD分别于E，F，当点P在线段EF上运动时满足题设要求，所以E、F为 CD的四等分点，设AB＝4，则DF＝3，AF＝AB＝4，
在直角三角形ADF中，AD＝＝，所以＝.
答案　
点评　数形结合的思想方法是常用的数学思想方法．
3．古典概型与直角坐标系相结合
例3　已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，在平面直角坐标系中，点(x，y)的坐标x∈A，y∈A，且x≠y，计算：
(1)点(x，y)不在x轴上的概率；
(2)点(x，y)正好在第二象限的概率．
分析　x，y的选取是随机的，在集合A中任取两数，记为(x，y)是等可能的．
解　点(x，y)中，x∈A，y∈A，且x≠y，故x有10种可能，y有9种可能，
所以试验的所有结果有10×9＝90(种)，且每一种结果出现的可能性相等．
(1)设事件B为“点(x，y)不在x轴上”，
那么y不为0有9种可能，x有9种可能，事件B包含的基本事件个数为9×9＝81，因此P(B)＝＝.
(2)设事件C为“(x，y)正好在第二象限”，
则x<0，y>0，x有5种可能，y有4种可能，事件C包含的基本事件个数为5×4＝20，
因此P(C)＝＝.
点评　本题是古典概型与直角坐标系相结合的综合题．关键是把试验中所有可能出现的基本事件的个数及所求事件的个数分析透，找不准、找不全基本事件是常出现的错误．
4．跨学科综合题
例4　把x，y两种遗传基因冷冻保存以供科研用，若x基因有30个单位，y基因有20个单位，且在保存过程中有2个单位的基因失效，求x，y两种基因各失效一个单位的概率．
分析　哪一个单位的基因失效是等可能的，且基本事件的个数是有限的，所以属于古典概型．
解　2个单位的基因失效取自x，y两种基因各一个，共有30×20＝600(种)可能，
而整个事件共有＝1 225(种)可能，
故所求概率为P＝＝.
点评　本题考查了利用古典概型解决实际问题的能力．
8　概率中的数学思想
概率的有关知识在实际生活中的应用非常广泛，恰当合理地运用数学思想方法，可以帮助我们更快、更准确地解决问题．下面举例说明求解概率问题时常用的三种思想方法．
一、数形结合思想
例1 某学校成立了三个社团，共60人参加，A社团有39人，B社团有33人，C社团有32人，仅参加B社团的有8人，只参加A、B两社团的有10人，只参加A、C两社团的有11人，三个社团都参加的有8人．从这60人中随机抽取一名成员，求
(1)他只参加两个社团的概率为多少？
(2)他至少参加两个社团的概率为多少？
分析　本题为古典概型问题，直接求解思路不太清晰，可以借助Venn图．
解　由条件可得如图所示的Venn图：设事件D表示“他只参加两个社团”，事件E表示“他至少参加两个社团”，则有
(1)随机抽取一名成员，他只参加两个社团的概率为
P(D)＝＝.
(2)随机抽取一名成员，他至少参加两个社团的概率为
P(E)＝＝.
点评　本题借助于集合中的Venn图，将抽象的数学语言与直观图形结合起来，通过数与形的双向联系，实现了直观、快速、准确解题的目的．
例2 在一次商贸交易会上，某商家开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约参与抽奖．若甲计划在9∶00～9∶40之间赶到，乙计划在9∶20～10∶00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率．
分析　本题属于几何概型问题，由于涉及到两个变量，故可建立坐标系，借助面积来解决．
解　设两人到达的时间分别为9点到10点之间的第x分钟、第y分钟，用(x，y)表示，则所有可能结果可表示为{(x，y)|0≤x≤40，20≤y≤60}．记“甲比乙提前到达”为事件A，则事件A的可能结果为{(x，y)|x如图所示，试验全部结果构成的区域为图中的正方形，而构成事件A的区域是正方形内的阴影部分，所以
P(A)＝＝＝.
点评　某些概率问题用常规方法来解，比较困难，而利用数形结合的方法求解，则可以形象地反映概率的本质，从而顺利解决问题．
二、转化与化归思想
例3 现从5名优秀学生中随机抽取2人参加数学竞赛，问其中的甲、乙两人至多有一人去参加竞赛的概率是多少？
分析　对于这种含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，我们往往采用“正难则反”原理．这里因为每名学生被抽出的概率相等，且所有可能结果有限，所以为古典概型问题．
解　从5名优秀学生中随机抽取2人去参加竞赛，共有10个基本事件．
设事件A为“甲、乙两人至多有一人去参加竞赛”，它的对立事件是“甲、乙两人都去参加竞赛”，而“甲、乙两人都去参加竞赛”的抽取方法只有1种，所以P()＝，故P(A)＝1－P()＝，即甲、乙两人至多有一人去参加竞赛的概率是.
点评　从正面求解比较困难时，可以逆向思考．一般我们是先求其对立事件发生的概率，再利用P(A)＝1－P()求所求事件的概率．
三、分类讨论思想
例4 将数1.5随机地分成两个正实数之和，例如1.143＋0.357，或者0.6＋0.9，然后对每一个数四舍五入取整数．如在上述第一种分法中取1和0，在第二种分法中取1和1.那么这两个整数之和等于2的概率是多少？
分析　随机地将1.5分成两个正实数之和，就是在区间(0，1.5)内随机地取一个实数x，将该区间分成两部分，且另一个数是1.5－x.由于对x和1.5－x取整数有多种情况，故最好分类讨论．
解　若在区间(0，1.5)内随机地取一个实数x，则另一个数是y＝1.5－x.
若x∈(0，0.5)，则y＝(1，1.5)，此时有0＋1＝1；
若x∈[0.5，1]，则y∈[0.5，1]，此时有1＋1＝2；
若x∈(1，1.5)，则y∈(0，0.5)，此时有1＋0＝1.
记事件A为“两整数之和等于2”．因为实数x是在区间(0，1.5)内随机抽取的，所以属于长度型几何概型问题．因为构成事件A的区域长度是0.5，
所以P(A)＝＝.
点评　概率中的分类讨论，一般是对试验结果是否满足事件A进行的．
40分钟课时作业(另成册　77～136)　单元检测卷与答案精析(另成册　137～184)
2．1.1　简单随机抽样
学习目标　1.体会随机抽样的必要性和重要性；2.理解随机抽样的目的和基本要求；3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数表法的一般步骤．
知识点一　随机抽样的必要性及基本概念
思考　要知道一批牛奶是否达标，为什么不采用逐一检测的方法？
　
梳理　(1)抽样的必要性：
第一，要考查的总体中个体数往往________，而且在时刻变化，逐一调查不可能．第二，考查往往具有__________，所以逐一调查也不可取．这就需要抽查一部分，以此来估计________．
(2)抽样涉及的基本概念：(以某地区高一学生身高为例)
为了了解某地区高一学生身高的情况，我们找到了该地区高一八千名学生的体检表，从中随机抽取了150张，表中有体重、身高、血压、肺活量等15类数据，那么总体是指____________，个体是指______________， 样本是指_________________， 样本容量是________．
知识点二　简单随机抽样
思考　从含有甲、乙的9件产品中随机抽取一件，总体内的各个个体被抽到的机会相同吗？为什么？甲被抽到的机会是多少？
　
梳理　简单随机抽样：
一般地，从个体数为N的总体中逐个__________地取出n个个体作为样本(n简单随机抽样方法分为
简单随机抽样有操作____________的优点，在总体____________的情况下是行之有效的．
类型一　简单随机抽样的基本思想
例1　人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方式是不是简单随机抽样？为什么？
　
反思与感悟　判断一个抽样方式是不是简单随机抽样，就是看这个抽样符不符合简单随机抽样的4个特点，符合就是，否则就不是．
跟踪训练1　下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？
(1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本．
(2)箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子．
　
类型二　抽签法
例2　某卫生单位为了支援抗震救灾，要在18名志愿者中选取6人组成医疗小组去参加救治工作，请用抽签法设计抽样方案．
　
反思与感悟　一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法．
跟踪训练2　从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴．
　
类型三　随机数表法
例3　假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，应如何操作？
　
反思与感悟　抽签法和随机数表法对个体的编号是不同的，抽签法可以利用个体已有的编号，如学生的学籍号、产品的记数编号等，也可以重新编号，例如总体个数为100，编号可以为1，2，3，…，100.随机数表法对个体的编号要看总体的个数，总体数为100，通常为00，01，…，99.总体数大于100小于1 000，从000开始编起，然后是001，002，….
跟踪训练3　要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始并向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号________．(下面抽取了随机数表第1行至第8行)
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76
55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
1．某次考试有10 000名学生参加，为了了解这10 000名考生的数学成绩，从中抽取1 000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，有以下三种说法：①1 000名考生是总体的一个样本；②10 000名考生是总体；③样本容量是1 000.其中正确的说法有________种．
2．关于简单的随机抽样，有下列说法：
①它要求被抽样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的可能性进行分析；
②它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽样实践中进行操作；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．其中正确的命题有________个．
3．下列抽样方法是简单随机抽样的是________．
①从50个零件中一次性抽取5个进行质量检验；
②从50个零件中有放回地抽取8个进行质量检验；
③从实数集中逐个抽取10个正整数分析奇偶性；
④运动员从8个跑道中随机抽取1个跑道．
4．从100件电子产品中抽取一个容量为25的样本进行检测，试用随机数表法抽取样本．
　
1．简单随机抽样是一种简单、基本、不放回的抽样方法，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法．
2．抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量较大时，费时、费力，并且标号的签不易搅拌均匀，这样会导致抽样不公平；随机数表法的优点也是简单易行，缺点是当总体容量较大时，编号不方便．两种方法只适合总体容量较少的抽样类型．
3．简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为n/N，但要将每个个体入样的可能性与第n次抽取时每个个体入样的可能性区分开，避免在解题中出现错误．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　因为检测具有破坏性，且耗时费力．
梳理　(1)很多　破坏性　总体
(2)该地区高一八千名学生的身高　该地区高一某个学生的身高　被抽到的150名学生的身高　150
知识点二
思考　总体内的各个个体被抽到的机会是相同的．因为是从9件产品中随机抽取一件，这9件产品每件产品被抽到的机会都是1/9，甲也是1/9.
梳理　不放回　相同　简单随机抽样　简便易行　个数不多
题型探究
例1　解　不是简单随机抽样．因为简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始牌，其他各张牌虽然是逐张搬牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样．
跟踪训练1　解　(1)不是．因为总体的个体数不是有限的．
(2)不是．因为抽取是有放回的抽取，不符合简单随机抽样的特点．
例2　解　方案如下：
第一步，将18名志愿者编号，号码为01，02，03，…，18.
第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签．
第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀．
第四步，从盒子中依次取出6个号签，并记录上面的编号．
第五步，与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员．
跟踪训练2　解　第一步　将20架钢琴编号，号码是01，02，…，20.
第二步　将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签．
第三步　将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．
第四步　从袋子中逐个不放回地抽取5个号签，并记录上面的编号．
第五步　与所得号码对应的5架钢琴就是要进行质量检查的对象．
例3　解　第一步，将800袋牛奶编号为000，001，…，799.
第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数(例如选出第8行第7列的数7)．
第三步，从选定的数7开始依次向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等)，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满60个号码为止，就得到一个容量为60的样本．
跟踪训练3　227，665，650，267
解析　从随机数表第3行第6列的数2开始向右读，第一个小于850的数字是227，第二个数字是665，第三个数字是650，第四个数字是267，符合题意．
当堂训练
1．1
解析　总体是10 000名考生的数学成绩，样本是1 000名考生的数学成绩，故①②都错，只有③正确．
2．4
3．④
解析　①是一次性抽取；②是有放回抽取；③中的实数集中有无限个正整数，这些都不符合简单随机抽样的特征．
4．解　第一步　将所有电子产品编号：00，01，02，…，98，99；
第二步　选定随机数表中第一个数0作为开始；
第三步　从选定的数0开始按两个数字一组向右读下去，一行读完时按下一行自左向右继续读，将重复的两位数去掉，保留下来的两位数直到取足25个为止．
2．1.2　系统抽样
学习目标　1.理解系统抽样的必要性和适用情境；2.掌握系统抽样的概念和步骤；3.了解系统抽样的公平性．
知识点一　系统抽样的概念
思考　当总体中的个体数较多时，为什么不宜用简单随机抽样？
　
梳理　系统抽样的概念：
将总体________分成几个部分，然后按照____________，从每个部分中抽取一个________作为样本，这样的抽样方法称为____________．
知识点二　系统抽样的步骤
思考　用系统抽样抽取样本时，每段各取一个号码，其中第1段的个体编号怎样抽取？以后各段的个体编号怎样抽取？
　
梳理　假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，系统抽样的步骤为：
(1)采用随机的方式将总体中的N个个体________．
(2)将编号按间隔k分段，当是整数时，取k＝；当不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，这时取k＝，并将剩下的总体重新编号．
(3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的__________．
(4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l，l＋k，l＋2k，…，____________的个体抽出．
类型一　系统抽样的概念
例1　下列抽样中不是系统抽样的是________．
①从标有1～15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i，以后为i＋5，i＋10(超过15则从1再数起)号入样；
②工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验；
③某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止；
④电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈．
反思与感悟　解决该类问题的关键是掌握系统抽样的特点及适用范围．
跟踪训练1　下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是________．(填序号)
①某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200个入样；②从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样；③从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样；④从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样．
类型二　系统抽样的实施
例2　某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．
　
反思与感悟　解决系统抽样问题的两个关键步骤：
(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．
(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．
跟踪训练2　为了了解参加某种知识竞赛的1 000名学生的成绩，从中抽取一个容量为50的样本，那么采用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．
　
类型三　不能整除的分组方法
例3　在跟踪训练2中，如果总体是1 002，其余条件不变，又该怎么抽样？
　
反思与感悟　当总体中的个体数不能被样本容量整除时，需要在总体中剔除一些个体．由于剔除方法采用简单随机抽样，所以即使是被剔除的个体，在整个抽样过程中被抽到的机会和其他个体也是一样的．
跟踪训练3　某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施．
　
1．为了了解某地参加计算机水平测试的5 008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为________．
2．下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是________．(填序号)
①从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动；
②一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本；
③从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况；
④从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取10人了解某些情况．
3．为了了解参加一次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是________．
4．有20个同学，编号为1～20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号间隔为______．
1．体会系统抽样的概念，其中关键因素是“分组”，否则不是系统抽样．系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，因为这时采用简单随机抽样不方便．
2．解决系统抽样问题的关键步骤为：
用系统抽样法抽取样本，当不为整数时，取k＝，即先从总体中用简单随机抽样法剔除N－nk个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．
3．系统抽样的优点是简单易操作，当总体个数较多的时候也能保证样本的代表性；缺点是对存在明显周期性的总体，选出来的个体，往往不具备代表性．从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　因为个体较多，采用简单随机抽样如制作号签等工作会耗费大量的人力、物力和时间，而且不容易做到“搅拌均匀”，从而使样本的代表性不强．此时就需要用系统抽样．
梳理　平均　一定的规则　个体
系统抽样
知识点二
思考　用简单随机抽样抽取第1段的个体编号．在抽取第1段的号码之前，自定义规则确定以后各段的个体编号，通常是将第1段抽取的号码依次累加间隔k.
梳理　(1)编号　(3)个体编号l
(4)l＋(n－1)k
题型探究
例1　③
解析　③不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的比例入样．
跟踪训练1　③
解析　①中总体有明显的区别，不适宜用系统抽样法；②中样本容量很小，适宜用随机数表法；③中从2 000个电子元件中随机抽取200个入样，适宜采用系统抽样法．④中总体容量很小，适宜用抽签法，故填③.
例2　解　按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5＝59，我们把295名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生．采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为k＋5l(l＝0，1，2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当k＝3时的样本编号为3，8，13，…，288，293.
跟踪训练2　解　适宜选用系统抽样，抽样过程如下：
(1)随机地将这1 000名学生编号为1，2，3，…，1000.
(2)将总体按编号顺序均分成50个部分，每部分包括20个个体．
(3)在第一部分的个体编号1，2，3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码l.
(4)以l为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：l，l＋20，l＋40，… ，l＋980.
例3　解　(1)将每个学生编一个号，由1至1002.
(2)利用随机数表法剔除2个号．
(3)将剩余的1 000名学生重新编号1至1000.
(4) 按编号顺序均分成50个部分，每部分包括20个个体．
(5)在第一部分的个体编号1，2，3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码l.
(6)以l为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：l，l＋20，l＋40，…，l＋980.
跟踪训练3　解　(1)将每个工人编一个号，由0001至1003.
(2)利用随机数表法找到3个号将这3名工人剔除．
(3)将剩余的1 000名工人重新编号0001至1000.
(4)分段，取间隔k＝＝100，将总体均分为10组，每组100个工人．
(5)从第一段即0001号到0100号中随机抽取一个号l.
(6)按编号将l，100＋l，200＋l，…，900＋l，共10个号选出．
这10个号所对应的工人组成样本．
当堂训练
1．25
解析　5 008除以200商的整数部分为25.
2．③
解析　①中总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；②中总体中的个体有明显的差异，也不适宜采用系统抽样；④中总体容量较大，样本容量较小也不适用系统抽样．
3．2
解析　由1 252＝50×25＋2知，应随机剔除2个个体．
4．5
解析　将20分成4个组，每组5个号，间隔等距离为5.
2.1.3　分层抽样
学习目标　1.理解分层抽样的基本思想和适用情形；2.掌握分层抽样的实施步骤；3.了解三种抽样方法的区别和联系．
知识点一　分层抽样的基本思想和适用情形
思考　中国共产党第十八次代表大会2 270名代表是从40个单位中产生的，这40个单位分别是1─31为省(自治区、直辖市)、32中央直属机关、33中央国家机关、34全国台联、35解放军、36武警部队、37中央金融系统、38中央企业系统、39中央香港工委、40中央澳门工委．你觉得如果用简单随机抽样或者是系统抽样来产生这些代表怎么样？
　
梳理　一般地，当总体由____________的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成________________的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样．
分层抽样尽量利用了调查者对调查对象(总体)事先所掌握的各种信息，并充分考虑了保持__________与__________的一致性，这对提高样本的代表性是非常重要的．
知识点二　分层抽样的实施步骤
分层抽样的步骤是：
(1)将总体按一定标准________．
(2)计算________________________________________．
(3)按________________________________的比确定各层应抽取的样本容量．
(4)在每一层进行抽样(可用______________或________抽样)．
知识点三　三种抽样方法的比较
类别
特点
相互联系
适用范围
共同点
简单随
机抽样
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同
系统
抽样
将总体平均分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取
在起始部分抽样时，采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
分层
抽样
将总体分成几层，按各层个体数之比抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
类型一　分层抽样的适用情景
例1　某地区有高中生2 400人，初中生10 900人，小学生11 000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？
　
反思与感悟　分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似．在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用．
跟踪训练1　某单位有员工500人，其中35岁以下的有125人，35岁～49岁的有280人，50岁以上的有95人．为了调查员工的身体状况，要从中抽取一个容量为100的样本，如何进行抽取？
　
类型二　分层抽样的实施步骤
例2　写出跟踪训练1的实施步骤．
　
反思与感悟　如果总体中的个体有差异，那么就用分层抽样抽取样本．用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体组成一层．
跟踪训练2　某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程．
　
类型三　三种抽样方法的比较
例3　某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是________．
a．②③都不能为系统抽样；
b．②④都不能为分层抽样；
c．①④都可能为系统抽样；
d．①③都可能为分层抽样．
反思与感悟　根据样本的号码判断抽样方法时，要紧扣三类抽样方法的特征．利用简单随机抽样抽取的样本号码没有规律性；利用分层抽样抽取的样本号码有规律性，即在每一层抽取的号码个数m等于该层所含个体数目与抽样比的积，并且应该恰有m个号码在该层的号码段内；利用系统抽样取出的样本号码也有规律性，其号码按从小到大的顺序排列，则所抽取的号码是：l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k.其中，l为第一个样本号码(l≤k)，n为样本容量(n＝1，2，3，…)，l是第一组中的号码，k为分段间隔，k＝总体容量/样本容量．
跟踪训练3　一个总体中的80个个体编号为0，1，2，…，79，并依次将其分为8个组，组号为0，1，…，7，要用下述抽样方法抽取一个容量为8的样本：即在0组先随机抽取一个号码i，则k组抽取的号码为10k＋j，其中j＝若先在0组抽取的号码为6，则所抽到的8个号码依次为________________________________________________________________________．
1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为________．
2．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．
3．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________．
4．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为________．
5．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．
1．用分层抽样从个体为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会相等．
2．分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样基础上的，由于它充分利用了已知信息，考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，因此它获取的样本更具代表性，在实用中更为广泛．解决分层抽样问题时，注意以下两个关系的应用：
(1)＝.
(2)总体中各层的容量比＝对应各层样本数之比．
3．简单随机抽样是基础，系统抽样与分层抽样是补充和发展，三者相辅相成，对立统一．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　这40个单位各有各的情况，各有各的意见，存在明显差异．而各单位人数差异很大，如果采用简单随机抽样或者系统抽样，可能有些人员少的单位根本就没有自己的代表，从而使样本没有更好的代表性．所以采用这两种抽样方法都不合适．
梳理　差异明显　层次比较分明　样本结构　总体结构
知识点二
(1)分层　(2)各层的个体数与总体的个体数的比　(3)各层个体数占总体的个体数　(4)简单随机抽样　系统
题型探究
例1　解　(1)从总体来看，因为不同年龄阶段的学生的近视情况可能存在明显差异，为了使样本具有较好的代表性，应该分高中、初中、小学三个层次分别抽样．
(2)从三类学生的数量来看，人数较多，所以在各层抽样时可以采用系统抽样．
(3)采用系统抽样分好组之后，确定第一组人选时，可以采用简单随机抽样．
跟踪训练1　解　因为员工按年龄分为三个层次，各层的身体状况有明显的差异，所以为了使样本具有代表性，需要采用分层抽样．抽样比为1∶5，即每5人中抽取一人．
35岁以下：125×＝25(人)，
35岁～49岁：280×＝56(人)，
50岁以上：95×＝19(人)．
例2　解　(1)按年龄将500名职工分成三层：35岁以下的职工；35岁～49岁的职工；50岁以上的职工．
(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为＝，则在35岁以下的职工中抽取125×＝25(人)；在35岁～49岁的职工中抽取280×＝56(人)；在50岁以上的职工中抽取95×＝19(人)．
(3)在各层分别用随机数表法抽取样本．
(4)综合每层抽样，组成容量为100的样本．
跟踪训练2　解　(1)由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本．
(2)确定每层抽取个体的个数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×＝40；200×＝60；200×＝100.
(3)在各层分别按系统抽样法抽取样本．
(4)综合每层抽样，组成容量为200的样本．
例3　d
解析　如果按分层抽样，在一年级抽取108×＝4(人)，在二、三年级各抽取81×＝3(人)，则在号码段1，2，…，108抽取4个号码，在号码段109，110，…，189抽取3个号码，在号码段190，191，…，270抽取3个号码，①②③符合，所以①②③可能是分层抽样，④不符合，所以④不可能是分层抽样；如果按系统抽样，抽取出的号码应该是“等距”的，①③符合，②④不符合，所以①③都可能为系统抽样，②④都不能为系统抽样．
跟踪训练3　6，17，28，39，40，51，62，73
解析　因为i＝6，所以1组抽取号码为10×1＋(6＋1)＝17，2组抽取号码为10×2＋(6＋2)＝28，3组抽取号码为10×3＋(6＋3)＝39，4组抽取号码为10×4＋(6＋4－10)＝40，5组抽取号码为10×5＋(6＋5－10)＝51，6组抽取号码为10×6＋(6＋6－10)＝62，7组抽取号码为10×7＋(6＋7－10)＝73.
当堂训练
1．8
解析　分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本，设从高二年级抽取的学生数为n，则＝，得n＝8.
2．15
解析　青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7∶5∶3，所以样本容量为7÷＝15.
3．6，30，10
解析　设三种型号的轿车依次抽取x，y，z辆，则有＝＝
＝，
解得x＝6，y＝30，z＝10.
4．20
解析　样本中松树苗为
4 000×＝4 000×＝20(棵)．
5．12
解析　设抽取男运动员的人数为n，
则＝，解得n＝12.
2．2.1　频率分布表 2．2.2　频率分布直方图与折线图(一)
学习目标　1.体会分布的意义和作用；2.学会用频率分布表，画频率分布直方图表示样本数据；3.能通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计．
知识点一　用样本估计总体
思考　还记得我们抽样的初衷吗？
　
梳理　用样本估计总体的两种情况：
(1)用样本的____________估计总体的频率分布．
(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征．
知识点二　频率分布表
思考　通过抽样获得的数据有什么缺点？
　
梳理　一般地，制作频率分布表的步骤如下：
(1)求全距，决定组数和组距，组距＝________；
(2)分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
(3)登记频数，计算频率，列出频率分布表．
知识点三　频率分布表与频率分布直方图
思考　表格与图形，哪个更直观？
　
梳理　一般地，
(1)在频率分布直方图中，纵轴表示________，数据落在各小组内的频率用__________________来表示，各小长方形的面积的总和等于______．
(2)将频率分布直方图中各相邻的矩形的______底边的______点顺次连结起来，就得到频率分布折线图．
(3)当样本容量足够______时，组距足够______时，频率分布折线图就趋近于总体分布的密度曲线．
类型一　利用原始数据绘制频率分布表
例1　从某校高一年级的1 002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本，如下(单位：cm)．作出该样本的频率分布表，并估计身高不小于170(cm)的同学所占的百分率．
168
165
171
167
170
165
170
152
175
174
165
170
168
169
171
166
164
155
164
158
170
155
166
158
155
160
160
164
156
162
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168
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165
179
163
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180
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175
165
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170
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165
174
156
167
166
162
161
164
166
反思与感悟　分组时先找到最大值和最小值，以便于确定分组的起点和终点．组距的选择应力求“取整”．区间端点要不重不漏，以便每个数据进且只进一个组．
跟踪训练1　有100名学生，每人只能参加一个运动队，其中参加足球队的有30人，参加篮球队的有27人，参加排球队的有23人，参加乒乓球队的有20人．
(1)列出学生参加运动队的频率分布表；
(2)画出频率直方图．
　
类型二　根据频率分布表绘制频率分布直方图
例2　下表给出了在某校500名12岁男孩中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm)．
区间
界限
[122，
126)
[126，130)
[130，134)
[134，
138)
[138，
142)
人数
5
8
10
22
33
区间
界限
[142，146)
[146，150)
[150，154)
[154，
158]
人数
20
11
6
5
(1)列出样本频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．
　
反思与感悟　频率分布表和频率分布直方图之间的密切关系是显然的，它们只不过是相同的数据的两种不同的表达方式，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况．
跟踪训练2　从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组(单位：分)及各组的频数如下：
[40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8.
(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计成绩在[60，90)分的学生比例．
　
类型三　频率分布表及频率分布直方图的应用
例3　为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
　
反思与感悟　在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.
跟踪训练3　在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：
分组
频数
频率
[1.30，1.34)
4
[1.34，1.38)
25
[1.38，1.42)
30
[1.42，1.46)
29
[1.46，1.50)
10
[1.50，1.54]
2
合计
100
(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；
(2)估计纤度落在[1.38，1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？
1．有一个容量为45的样本数据，分组后各组的频数如下：[12.5，15.5)，3；[15.5，18.5)，8；[18.5，21.5)，9；[21.5，24.5)，11；[24.5，27.5)，10；[27.5，30.5]，4.由此估计，不大于27.5的数据约为总体的________．
2．某校为了解学生的睡眠情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的频率直方图表示，根据频率直方图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为________ h.
3．下列命题正确的是________．(填序号)
①频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数；
②频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1；
③频率分布直方图中各小矩形的高(平行于纵轴的边)表示频率与组距的比．
4.
为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是________．
1．频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律，我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布．
2．频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式，用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况．通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息．
3．样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　用样本去估计总体，为决策提供依据．
梳理　(1)频率分布
知识点二
思考　多而杂乱，无法从中提取信息，交流传递．因而，当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布，我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．其中，我们将整个取值区间的长度称为全距，分成的区间的长度称为组距．
梳理　(1)
知识点三
思考　图形．
梳理　(1)　小长方形的面积　1　(2)上　中　(3)大　小
题型探究
例1　解　(1)在全部数据中找出最大值180与最小值151，它们相差(极差)29，决定组距为3；
(2)将区间[150.5，180.5]分成10组；分别是[150.5，153.5)，[153.5，156.5)，…，[177.5，180.5)；
(3)从第一组[150.5，153.5)开始分别统计各组的频数，再计算各组的频率，列频率分布表；
分组
频数累计
频数
频率
[150.5，153.5)
4
0.04
[153.5，156.5)
8
0.08
[156.5，159.5)
8
0.08
[159.5，162.5)
11
0.11
[162.5，165.5)
22
0.22
[165.5，168.5)
19
0.19
[168.5，171.5)
14
0.14
[171.5，174.5)
7
0.07
[174.5，177.5)
4
0.04
[177.5，180.5]
3
0.03
合计
100
1
身高不小于170(cm)的同学所占的百分率为×100%＝23%.
跟踪训练1　解　(1)参加足球队记为1，参加篮球队记为2，参加排球队记为3，参加乒乓球队记为4，得频率分布表如下：
试验结果
频数
频率
参加足球队(记为1)
30
0.30
参加篮球队(记为2)
27
0.27
参加排球队(记为3)
23
0.23
参加乒乓球队(记为4)
20
0.20
合计
100
1.00
(2)由上表可知频率直方图如下：
例2　解　(1)样本频率分布表如下：
分组
频数
频率
[122，126)
5
0.04
[126，130)
8
0.07
[130，134)
10
0.08
[134，138)
22
0.18
[138，142)
33
0.28
[142，146)
20
0.17
[146，150)
11
0.09
[150，154)
6
0.05
[154，158]
5
0.04
合计
120
1
(2)其频率分布直方图如下：
(3)由样本频率分布表可知，身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.
跟踪训练2　解　(1)频率分布表如下：
成绩分组
频数
频率
累积频率
[40，50)
2
0.04
0.04
[50，60)
3
0.06
0.1
[60，70)
10
0.2
0.3
[70，80)
15
0.3
0.6
[80，90)
12
0.24
0.84
[90，100]
8
0.16
1.00
合计
50
1.00
(2)频率分布直方图如图所示：
(3)成绩在[60，90)分的学生比例，即学生成绩在[60，90)分的频率为0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74%.所以估计成绩在[60，90)分的学生比例为74%.
例3　解　(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为
＝0.08；
又因为频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
(2)由图可估计该学校全体高一学生的达标率约为
×100%＝88%.
跟踪训练3　解　(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[1.30，1.34)
4
0.04
[1.34，1.38)
25
0.25
[1.38，1.42)
30
0.30
[1.42，1.46)
29
0.29
[1.46，1.50)
10
0.10
[1.50，1.54]
2
0.02
合计
100
1.00
频率分布直方图如图所示：
(2)纤度落在[1.38，1.50)的可能性即为纤度落在[1.38，1.50)的频率，即为0.3＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.
纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%.
当堂训练
1．91.1%
解析　不大于27.5的样本数为3＋8＋9＋11＋10＝41，所以约占总体的百分比为×100%≈91.1%.
2．6.4
解析　由题意可知这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为(5.5＋7＋7.5)×0.1＋6×0.3＋6.5×0.4＝6.4(h)．
3．②③
解析　在频率分布直方图中，横轴表示样本数据；纵轴表示.由于小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积等于相应各组的频率，因此各小矩形面积之和等于1.综上可知②③正确．
4．48
解析　因为第2小组的频数为12，且前3个小组的频率之比为1∶2∶3，
所以前3个小组的频数分别为6，12，18，共6＋12＋18＝36，
第4，5两小组的频率和为5×0.037 5＋5×0.012 5＝5×0.05＝0.25，
所以前3个小组的频率和为1－0.25＝0.75，
所以抽取的学生总人数是＝48.
2．2.2　频率分布直方图与折线图(二) 2．2.3　茎叶图
学习目标　1.了解频率折线图和总体密度曲线的定义；2.理解茎叶图的概念，会画茎叶图；3.了解频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，学会选择不同的方法分析样本的分布，从而作出总体估计．
知识点一　频率分布折线图和总体密度曲线
1．频率分布折线图
将频率分布直方图中各个相邻的矩形的______________顺次连结起来，就得到频率分布折线图，简称频率折线图．
2．总体密度曲线
随着样本容量的增加，作图时所分的________增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条____________，统计中称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线．
知识点二　茎叶图
思考　茎叶图是表示样本数据分布情况的一种方法，那么“茎”、“叶”分别指的是哪些数？
　
梳理　茎叶图的定义：
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．
适用范围：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．
优点：它不但可以________________，而且可以______________，给数据的记录和表示都带来方便．
缺点：当样本数据________时，枝叶就会很长，茎叶图就显得不太方便．
类型一　频率分布折线图的画法
例1　太极拳运动是一项练意、练气、练身三者相结合的运动，它的动作缓慢，柔和自然，心静体松，调和气血，疏通经络，平衡阴阳等特点符合中老年人的运动要求，被大多数中老年人所喜爱．下面是某中老年活动中心选择太极拳项目的人的年龄．
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
(1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图；
　
(2)用自己的语言描述一下此中老年活动中心选择太极拳项目的人年龄的分布情况．
　
反思与感悟　作折线图可以依据直方图，也可以由频率分布表找出折线上各个转折点的坐标从而作出折线图．
跟踪训练1　已知50个数据的分组以及各组的频数如下：
[153.5，155.5)，2，[155.5，157.5)，7，
[157.5，159.5)，9，[159.5，161.5)，11，
[161.5，163.5)，10，[163.5，165.5)，6，
[165.5，167.5)，4，[167.5，169.5]，1.
试画出频率分布直方图和频率分布折线图．
　
类型二　茎叶图的画法及应用
例2　某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下：
甲的得分：95，81，75，89，71，65，76，86，91，88，94，110，107；
乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，88，110，101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
　
反思与感悟　茎叶图和频率分布表极为类似，事实上，茎相当于频率分布表中的分组；茎上叶的数目相当于频率分布表中指定区间组的频数．
跟踪训练2　某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：
甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；
乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.
试制作茎叶图来对比描述这些数据．
类型三　频数(率)分布直方图与茎叶图的比较
例3　从甲、乙两个城市所有的自动售货机中随机抽取16台，记录了上午8：00～11：00之间各自的销售情况(单位：元)：
甲：18，8，10，43，5，30，10，22，6，27，25，58，14，18，30，41；
乙：22，31，32，42，20，27，48，23，38，43，12，34，18，10，34，23.
试用纵坐标为频数的频数分布直方图与茎叶图的方式分别表示上面的数据，并简要说明各自的优点．
　
反思与感悟　茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以在抽样的过程中随时记录，但样本容量较大，或者需要比较三组以上的数据时，使用茎叶图就不合适；而频率分布表和频率分布直方图可以处理样本容量很大的数据，但损失了样本的原始数据，而且必须在完成抽样后才能制作．
跟踪训练3　试比较例3中用到的频数分布直方图和频率分布直方图的区别．
　
1．如图是总体密度曲线，下列说法正确的是________．
①组距越大，频率分布折线图越接近于它；
②样本容量越小，频率分布折线图越接近于它；
③阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比；
④阴影部分的平均高度代表总体在(a，b)内取值的百分比．
2．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们各自在某一天课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．
根据条形图可得这50名学生平均每天的课外阅读时间为________小时．
3．已知某工厂工人在6月份每天加工的零件个数的茎叶图如图所示(以零件个数的百位、十位数字为茎，个位数字为叶)，那么该工厂工人在该月内加工的零件个数超过130的天数所占的百分比为________．
4．某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是________．
1．估计总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图．
2．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以在抽样的过程中随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的原始信息，必须在完成抽样后才能制作．
3．正确利用三种分布的描述方法，都能得到一些有关分布的主要特点(如分布是否具有单峰性、是否具有对称性、样本点落在各分组中的频率等)，这些主要特点受样本的随机性的影响比较小，更接近于总体分布相应的特点．
答案精析
问题导学
知识点一
1．上底边的中点
2．组数　光滑曲线
知识点二
思考　茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．
梳理　保留所有信息　随时记录　较多
题型探究
例1　解　(1)以4为组距，列表如下：
分组
频数累计
频数
频率
[41.5，45.5)
2
2
0.045 5
[45.5，49.5)
9
7
0.159 1
[49.5，53.5)
17
8
0.181 8
[53.5，57.5)
33
16
0.363 6
[57.5，61.5)
38
5
0.113 6
[61.5，65.5)
42
4
0.090 9
[65.5，69.5)
44
2
0.045 5
合计
44
1.00
频率分布直方图及频率分布折线图如图所示：
(2)从频率分布表可以看出，将近60%的选择太极拳的中老年人的年龄在50岁至60岁之间，45岁以下及65岁以上中老年人所占的比例相对较小．
跟踪训练1　解　频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．
例2　解　甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．
从这个茎叶图中可以看出，乙同学的得分情况大致是对称的，中位数是98分；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是88分，但分数分布相对于乙来说，趋向于低分阶段．因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好．
跟踪训练2　解　以十位数字为茎，个位数字为叶，制作茎叶图如下：
例3　解　方法一　用频数分布直方图表示如图．
方法二　茎叶图如图，两竖线中间的数字表示甲、乙销售额的十位数，两边的数字表示甲、乙销售额的个位数．
从方法一可以看出频数分布直方图能直观地反映数据分布的大致情况，并且能够清晰地表示出各个区间的具体数目；从方法二可以看出，用茎叶图表示有关数据对数据的记录和表示都带来方便．
跟踪训练3　解　首先频数分布直方图的纵坐标为频数，因此其顶点纵坐标是非负整数．
频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，因此其每个组段的频率就是对应小矩形的面积，且总面积为1.当样本量n增大并且组距越来越小时，相应的小矩形越来越细，其各小矩形上端的中点的连线构成了一条光滑曲线，而这条光滑曲线下的面积为1，这条光滑曲线称为总体分布的密度曲线．
当堂训练
1．③
2．0.9
解析　由题意可知，50名学生平均每天的课外阅读时间为×(0.5×20＋1.0×10＋1.5×10＋2.0×5)＝0.9(小时)．
3．10%
4．2
解析　去掉最低分87，去掉最高分94(假设x≤4)，则7×91＝80×2＋9＋8＋90×5＋2＋3＋2＋1＋x，所以x＝2，符合题意．同理可验证x>4不合题意．
2．3.1　平均数及其估计
学习目标　1.理解平均数为什么是“最理想”的近似值；2.会计算一组数据的平均数；3.会根据频率分布表或频率分布直方图估计平均数．
知识点一　平均数
思考　处理实验数据的原则是使近似值与实验数据越接近越好．但是实验数据往往很多，怎么刻画“最近”呢？
　
梳理　一般地，使(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a，最小的x＝________________称为这个n个数据a1，a2，…，an的平均数或均值．
知识点二　平均数的估计
思考　在频率分布表里，还能看到原始数据吗？怎样根据频率分布表计算平均数？
　
梳理　一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为______________________．
类型一　平均数的计算
例1　样本(x1，x2，…，xn)的平均数为，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为(≠)．若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数＝α＋(1－α)，其中0<α<，则m，n的大小关系为________．
反思与感悟　计算平均数时要紧扣定义，搞清楚总共有几组数据．
跟踪训练1　在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
成绩
(单位：m)
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
求这些运动员成绩的平均数．
　
类型二　利用频率分布表或直方图估计平均数
例2　下面是某校学生日睡眠时间(单位：h)的抽样频率分布表，试估计该校学生的日平均睡眠时间．
睡眠时间
人数
频率
[6，6.5)
5
0.05
[6.5，7)
17
0.17
[7，7.5)
33
0.33
[7.5，8)
37
0.37
[8，8.5)
6
0.06
[8.5，9]
2
0.02
合计
100
1
反思与感悟　一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
跟踪训练2　一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图．试估计这个样本的平均数．
　
类型三　众数、中位数、平均数的简单应用
例3　某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：
职位
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5 500
5 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工的月工资的新的平均数、中位数和众数又是什么？
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？
　
反思与感悟　如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．
跟踪训练3　某课外活动小组对该市空气含尘进行了调查，下面是一天每隔两小时测得的数据：0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(单位：g/m3)
(1)求出这组数据的众数和中位数；
(2)若国标(国家环保局的标准)是平均值不得超过0.025g/m3，问这一天城市空气是否符合国标？
　
1．下列说法错误的是________．(填序号)
①在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体；
②一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据；
③平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势；
④众数是一组数据中出现次数最多的数．
2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13，14，19，x，23，27，28，31，其中位数为22，则x为________．
3．样本容量为100的频率分布直方图如图所示，根据样本频率分布直方图，则平均数为________．
4．某高校有甲，乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是______分．
1．能反映总体某种特征的量称为总体特征数，如平均数，中位数，使总体特征数通常难以获得，故常以样本特征数估计总体特征数．
2．平均数是离差平方和最小的近似值，计算器、计算机均有专门的程序，手工计算要细致，不要漏加或重复．
3．若数据xi的频率为pi(i＝1，2，…，n)，则＝ipi，该值公式可以用在频率分布表中估计平均数．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　设近似值为x，实验数据为ai(i＝1，2，…，n)，因为x－ai有正有负，故用(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2来刻画近似值与实验数据最接近．
梳理　
知识点二
思考　在频率分布表里，已看不到原始数据，但可用各区间的组中值近似地表示．
梳理　x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
题型探究
例1　n解析　＝，
＝，
＝，
则＝＝＋.
由题意知0<<，∴n跟踪训练1　解　平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋1.70×3＋1.75×4＋1.80×1＋1.85×1＋1.90×1)
＝≈1.69(m)．
例2　解　方法一　总睡眠时间约为6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2＝739(h)．
故平均睡眠时间约为7.39 h.
方法二　求组中值与对应频率之积的和．
6．25×0.05＋6.75×0.17＋7.25×0.33＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝7.39(h)．
答　估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h.
跟踪训练2　解　平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.
例3　解　(1)公司职工月工资的平均数为
＝
＝≈2 091(元)．
若把所有数据从大到小排序，则得到中位数是1 500元，众数是1 500元．
(2)若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为
＝
＝≈3 288(元)．
中位数是1 500元，众数是1 500元．
(3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司职工的工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平．
跟踪训练3　解　(1)由题意知，众数是0.03，中位数为0.03.
(2)这一天数据平均数是0.03，
∵0.03＞0.025，
∴这一天该城市空气不符合国标．
当堂训练
1．②
解析　平均数不大于最大值，不小于最小值．
2．21
解析　数据个数为偶数时，中位数为中间两数的平均值＝22，所以x＝21.
3．14.84
解析　平均数＝10×0.06＋12×0.1＋14×0.4＋16×0.24＋18×0.2＝14.84.
4．85
解析　平均成绩为
＝85(分)．
2.3.2　方差与标准差
学习目标　1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差；2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征；3.体会用样本估计总体的思想．
知识点一　用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征
1．样本的基本数字特征包括________、__________、__________、__________、________.
2．平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，还需要刻画数据的分散程度．
3．一组数据的____________________的差称为极差，用极差刻画数据的分散程度简便易行，但集中程度差异不大时，不易得出结论．
知识点二　方差、标准差
思考　若两名同学的两门学科的平均分都是80分，一名是两门均为80分，另一名是一门40分，一门120分，如何刻画这种差异？
梳理　标准差与方差：
一般地，
(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝ .
(2)标准差的平方s2叫做方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)．
(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s＝0时，每一组样本数据均为.
类型一　感受数据的离散程度
例1　分别计算下列四组样本数据的平均数，并画出条形图，说明它们的异同点．
(1)5，5，5，5，5，5，5，5，5；
(2)4，4，4，5，5，5，6，6，6；
(3)3，3，4，4，5，6，6，7，7；
(4)2，2，2，2，5，8，8，8，8.
　
反思与感悟　标准差能够衡量样本数据的稳定性，标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定．标准差越小，数据的离散程度就越小，也就越稳定．
跟踪训练1　有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4
乙：9　5　7　8　7　6　8　6　7　7
试求出甲、乙两人本次射击的平均成绩， 并画出两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？
　
类型二　方差、标准差的计算
例2　从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：
甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42；
乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40.
试计算甲、乙两组数据的方差和标准差．
　
反思与感悟　计算方差(或标准差)时要先计算平均数．
跟踪训练2　求出跟踪训练1中的甲、乙两运动员射击成绩的标准差，结合跟踪训练1的条形图体会标准差的大小与数据离散程度的关系．
　
类型三　标准差及方差的应用
例3　甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件．为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：
甲
25．46　25.32　25.45　25.39　25.36
25．34　25.42　25.45　25.38　25.42
25．39　25.43　25.39　25.40　25.44
25．40　25.42　25.35　25.41　25.39
乙
25．40　25.43　25.44　25.48　25.48
25．47　25.49　25.49　25.36　25.34
25．33　25.43　25.43　25.32　25.47
25．31　25.32　25.32　25.32　25.48
从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？(结果保留小数点后3位)
　
反思与感悟　比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑．其中标准差与样本数据单位一样，比方差更能直观地刻画出与平均数的平均距离．
跟踪训练3　甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
　
1．下列说法正确的是________．
①在两组数据中，平均值较大的一组方差较大；
②平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小；
③方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和；
④在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高．
2．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
则7个剩余分数的方差为________．
3．如果数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则
(1)新数据x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的平均数为________，方差为________．
(2)新数据ax1，ax2，…，axn的平均数为______，方差为________．
(3)新数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为____，方差为______．
4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：
7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.
则：(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________．
5．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．
1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．
2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．
3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性．用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案．
答案精析
问题导学
知识点一
1．众数　中位数　平均数　标准差　极差
3．最大值与最小值
知识点二
思考　可以通过考察样本数据的分散程度的大小．
题型探究
例1　解　四组样本数据的条形图如下：
四组数据的平均数都是5，但数据的离散程度不一样，其中(1)最集中，(4)的离散程度最大．
跟踪训练1　解　甲＝(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，
同理可得乙＝7.
条形图如下：
通过频率分布条形图直观地看，虽然平均数相同，还是有差异的．甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中．
例2　解　甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，
s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋…
＋(42－30)2]＝104.2，
s甲＝＝10.208.
乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，
同理s＝128.8，
s乙＝＝11.349.
跟踪训练2　解　甲＝(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，
同理可得乙＝7.根据标准差的公式，得
s甲＝
＝2；
同理可得s乙≈1.095.所以s甲>s乙．
因此说明离散程度越大，标准差就越大．
例3　解　用计算器计算可得
甲≈25.401，乙≈25.406；s甲≈0.037，s乙≈0.068.
从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40mm)，差异很小；从样本标准差看，由于s甲＜s乙，因此甲生产的零件内径尺寸比乙的稳定程度高得多．于是，可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些．
跟踪训练3　解　甲品种的样本平均数为10，样本方差为
[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.
乙品种的样本平均数也为10，样本方差为[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.244.
因为0.244>0.02，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．
当堂训练
1．②
解析　①中平均值和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；③中求和后还需取平均数；④中方差越大，射击越不平稳，水平越低．
2.
解析　由题意知这组数据平均数是
＝91，
解得x＝4.
所以这组数据的方差是s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)
＝.
3．(1)＋b　s2　(2)a 　a2s2
(3)a ＋b　a2s2
4．(1)7　(2)2
解析　(1)＝(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝＝7.
(2)s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.∴命中环数标准差为2.
5．2
解析　由题意知(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，所以样本方差为
s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
2.4 线性回归方程
学习目标　1. 了解相关关系、线性相关的概念；2.会根据散点图判断数据是否具有相关关系；3.会求线性回归方程，并能根据线性回归方程做出合理判断．
知识点一　相关关系
思考　数学成绩y与学习数学所用时间t之间的关系，能否用函数关系刻画？
　
梳理　相关关系：
与函数关系不同，相关关系是一种变量之间__________的联系，但不是__________的关系．
知识点二　散点图
1．散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．
2．利用散点图可以大致确定两个变量是不是有相关关系，以及相关性强弱．
知识点三　最小平方法及线性回归方程
思考1　若散点大致分布在一条直线附近，如何确定这条直线比较合理？
　
思考2　任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？
　
梳理　线性回归方程：
能用直线方程________________近似表示的相关关系叫做____________关系，该方程叫________________．
最小平方法是一种求回归直线的方法，用这种方法求得的回归直线能使样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．
给出一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，用最小平方法求得线性回归方程的系数a，b满足
上式还可以表示为
类型一　变量之间相关关系的判断
例1　在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？
(1)正方形边长与面积之间的关系；
(2)作文水平与课外阅读量之间的关系；
(3)人的身高与年龄之间的关系；
(4)降雪量与交通事故发生率之间的关系．
　
反思与感悟　如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的，由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系，从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么．
跟踪训练1　有下列关系：
①老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一种树木，其横截面直径与高度之间的关系；
⑤学生与其学号之间的关系．
其中有相关关系的是________．(填序号)
类型二　散点图及应用
例2　在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
年龄
23
27
39
41
45
49
50
脂肪
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
年龄
53
54
56
57
58
60
61
脂肪
29.6
30.2
31.4
30.8
33.5
35.2
34.6
画出散点图，分析年龄与人体脂肪含量的关系．
反思与感悟　画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或过小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．相关关系的散点图不一定分布在一条直线附近，也可能是曲线．
跟踪训练2　下表为我国在公元1000年到2000年间的人口数量．
(1)试画出散点图；
(2)年份与人口是相关关系吗？如果是，是正相关还是负相关？你觉得用什么函数模型模拟效果比较好？
年份
人口/亿
1393
0.6
1578
0.6
1764
2
1849
4.1
1928
4.7
1949
5.4
1982
10.3
1990
11.6
　
反思与感悟　函数关系与相关关系之间有密切联系，可以用函数关系来模拟相关关系，也可借助散点图来发现两变量之间的函数关系，在一定条件下，两种关系还可相互转化．
类型三　线性回归方程的求法及应用
例3　下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系．如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．
机动车辆数x/103辆
95
110
112
120
129
135
150
180
交通事故数y/103件
6.2
7.5
7.7
8.5
8.7
9.8
10.2
13
　
反思与感悟　对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，若呈直线形，再依系数a，b的计算公式，算出a，b.求a，b时，先计算平均数，；接着计算xi与yi的积，然后求∑xiyi及∑x；最后将结果代入公式求b；用a＝－b 求a.
跟踪训练3　下表数据是退水温度x(℃)对黄酮延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关．
x(℃)
300
400
500
600
700
800
y(%)
40
50
55
60
67
70
(1)画出散点图；
(2)指出x，y是否线性相关；
(3)若线性相关，求y关于x的线性回归方程；
(4)估计退水温度是1 000℃时，黄酮延长性的情况．
　
1．下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系________．
①正方体的棱长和体积；
②圆半径和圆的面积；
③正n边形的边数和内角度数之和；
④人的年龄和身高．
2．如图所示的五组数据(x，y)中，去掉__________后，剩下的4组数据相关性增强．
3．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小平方法建立的线性回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是________．
①体重y与身高x具有函数间的关系；
②回归直线过(，)点；
③若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg；
④若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg.
4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得线性回归方程＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元．
1．求样本数据的回归方程，可按下列步骤进行：
第一步　计算平均数，.
第二步　求和iyi，.
第三步　计算b＝
＝，a＝－b.
第四步　写出回归方程＝bx＋a.
2．回归方程被样本数据唯一确定，各样本点大致分布在回归直线附近．对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性．
3．对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　一般来说，学数学的时间越长，成绩越好．但用时10小时，数学成绩却不是一个确定的数字．故不能用函数关系刻画．
梳理　有一定　确定性
知识点三
思考1　应该使散点整体上最接近这条直线．
思考2　用最小二乘法求线性回归方程的前提是先判断所给数据是否具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的线性回归方程是无意义的．
梳理　＝bx＋a　线性相关　线性回归方程　
－b　
　－b
题型探究
例1　解　两变量之间的关系有：函数关系与带有随机性的相关关系．(1)正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．(2)作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．(3)人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系．(4)降雪量与交通事故发生率之间具有相关关系．
跟踪训练1　①③④
例2　解　散点图如下：
在散点图中，点分布在从左下角到右上角的区域，故人的年龄与人体脂肪含量是相关关系．
跟踪训练2　解　(1)散点图如下：
(2)由图可知，我国在1000年到2000年间的人口数量与年份是相关关系，且为正相关．因为增长速度越来越快， 用指数模型模拟效果比较合适．
例3　解　在直角坐标系中画出数据的散点图如图：
直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．
从而计算相应的数据之和：
i＝1 031，i＝71.6，
＝137 835，iyi＝9 611.7.
将它们代入公式计算得b≈0.077 4，a≈－1.024 1，
所以，所求线性回归方程为＝0.077 4x－1.024 1.
跟踪训练3　解　(1)散点图如图：
(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x线性相关．
(3)列出下表并用科学计算器进行有关计算.
i
1
2
3
4
5
6
xi
300
400
500
600
700
800
yi
40
50
55
60
67
70
xiyi
12 000
20 000
27 500
36 000
46 900
56 000
x
90 000
160 000
250 000
360 000
490 000
640 000
＝550，＝57
x2i＝1 990 000，xiyi＝198 400
于是可得
b＝
＝≈0.058 86，
a＝－b＝57－0.058 86×550
＝24.627.
因此所求的线性回归方程为
＝0.058 86x＋24.627.
(4)将x＝1 000代入线性回归方程得
＝0.058 86×1 000＋24.627＝83.487，
即退水温度是1 000℃时，黄酮延长性大约是83.487%.
当堂训练
1．④
解析　①②③都是函数关系，人的年龄和身高是一种不确定的关系，故④不是函数关系．
2．(4，10)
解析　去除(4，10)后，其余四点大致分布在一条直线附近，相关性增强．
3．①④
解析　体重与身高的关系不确定，不是函数关系．当x＝170时，＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg.
4．65.5
解析　由题意可知＝3.5，＝42，
则42＝9.4×3.5＋a，a＝9.1，＝9.4×6＋9.1＝65.5.
第二章 统计
1　感悟随机抽样
抽样是统计分析的基础．在进行统计分析时首先要收集数据，但收集全部数据有时很困难，有时还带有破坏性，如灯泡使用寿命的调查、炸弹的可靠性的分析等，因此，“抽样”是很必要的．常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，下面一起体会一下这三种抽样方法．
一、简单随机抽样
最常用的简单随机抽样方法：抽签法和随机数表法．
(1)抽签法是常见的一种抽样方法，该法既保证了抽样的随机性，又保证了样本的代表性．
(2)随机数表法：使用随机数表时，要注意随机数表中数的随机性，同时为了保证抽样的随机性，开始数的选取一定要是随机的，并且读数的方向可以任意事先约定，还要使操作方便易行．
(3)适用范围：由于抽签法和随机数表法都要对个体进行编号，还要逐个抽取，所以抽签法适用于总体中个体的数目比较少，样本容量比较小时；随机数表法适用于总体容量较大，样本容量不大时．
在充分理解简单随机抽样方法后可得如下结论：①用简单随机抽样，从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中各个个体被抽到的可能性相同；②简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性；③简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等可能抽样．
二、系统抽样
(1)系统抽样广泛应用于生活实例中，也是不放回抽样．当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样．
(2)系统抽样与简单随机抽样的联系与区别：假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，如果遇到不是整数的情况，可以采用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体．由此可见，系统抽样和简单随机抽样是密不可分的，同时，系统抽样和简单随机抽样也有区别，系统抽样适用于总体中的个体比较多、且个体之间差异不太明显时，另外系统抽样中的规则是预先人为确定的．
三、分层抽样
分层抽样也广泛应用于生活实例中，也是一种不放回抽样．当总体中的个体比较多、且个体之间有明显差异时，应用分层抽样能使样本更加真实地反映总体的情况．在各层进行抽样时采用简单随机抽样或者系统抽样，可见分层抽样与简单随机抽样、系统抽样也是密不可分的．
在充分理解分层抽样方法后可得如下结论：
①在各层中，按照各层在总体中所占的比例进行简单随机抽样，这样可以保证每个个体等可能地被抽取．
②分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，在实践应用中更为广泛．
总之，采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来确定，合理的抽样方法可以真实地反映总体的情况．否则，对总体的情况可能会形成一个错误的认识，所以针对具体问题一定要科学、合理地选择抽样方法.

2　例析简单随机抽样
简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．当总体中的个体数较少且抽取的样本容量较小时，常采用简单随机抽样．下面让我们一同来看如下的例题：
例1 判断下面的抽样方法是不是简单随机抽样？
(1)从不确定个体数的总体中抽取20个个体作为样本．
(2)从30瓶果汁中一次性随机抽取3瓶进行质量检查．
(3)某班有40名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
(4)从装有编号为1～36的大小、形状都相同的号签的盒子中逐个不放回地抽出6个号签．
分析　简单随机抽样的定义，抓住以下特点来理解：
①它要求被抽取的样本所在总体的容量确定且有限；
②它是从总体中逐个地进行抽取；③它是一种不放回抽样；④每个个体被抽到的可能性是相同的，是等可能抽样．
解　(1)不是简单随机抽样．因为总体的个体数是不确定的，从而不能保证每个个体等可能入样．
(2)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样的定义要求的是逐个抽取．
(3)不是简单随机抽样．因为该例是指定个子最高的5名同学参加比赛，每个个体被抽到的可能性是不同的，不是等可能抽样．
(4)是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回地、等可能地进行抽样．
点评　要判断所给的抽样方法是不是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的上述四个特点．
例2 若将例1(2)中的字眼“一次性”改为“逐个”，则该例便为简单随机抽样．即从30瓶果汁中逐个随机抽取3瓶进行质量检查．请选用合适的抽样方法，写出抽样过程．
分析　简单随机抽样分为两种：抽签法和随机数表法．当总体容量和样本容量都较小时，可采用抽签法进行抽样．
解　(1)将30瓶果汁进行编号，号码为1，2，3，…，30；
(2)将1～30这30个编号写到大小、形状都相同的号签上；
(3)将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；
(4)从容器中每次抽取一个号签，连续不放回地抽取3次，并记录下上面的编号；
(5)所得号码对应的3瓶果汁就是要抽取的样本．
点评　抽签法是简单随机抽样的一种方法，一个抽样试验是否能用抽签法，关键看两点：一是制作号签是否方便；二是号签是否容易被“搅拌均匀”．本题中，总体中个体数(30)较少，制作号签比较方便，并且容易被“搅拌均匀”，所以可以采用抽签法．
将例2中的总体容量增大，我们该如何解决呢？比如例3.
例3 现在要考察某公司生产的2.5 L的果汁质量是否达标，欲从400瓶果汁中抽取6瓶进行质量检查．请选用合适的方法抽样，并写出抽样过程．
分析　当总体容量较大，而样本容量较小时，因制签麻烦，故不宜用抽签法，可采用随机数表法．
解　选用随机数表法．
步骤如下：第一步，先将400瓶果汁编号，可以编为001，002，…，400；
第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，比如第6行第1个数，取出162作为抽取的6瓶果汁中的第一个代号(见课本后的附表随机数表)；
第三步，继续向右读，每次读取三位，凡不在001～400中或重复的数跳过去不读，取到末尾时转到下一行从左到右继续读数，如此下去直到得出在001到400之间的6个三位数，分别为162，277，354，378，384，263；
第四步，找出与162，277，354，378，384，263对应的果汁作为样本．
点评　当总体中的个体较多，制作号签比较复杂，并且把号签搅拌均匀比较困难时，可以选择使用随机数表法，本题将个体编号的位数统一为3位．
使用随机数表法应注意以下两点：
(1)随机数表法要求对个体编号且每个个体的号码位数必须相同．如对100个个体编号时应从00编到99(或者从001编到100)，而不能用1，2，…，100.可见在总体中的个体进行编号时要视总体中个体的数目而定，但必须保证所编号码的位数一致，不允许出现不同位数的号码．
(2)选定开始读的数后，读数的方向可左、可右、可上、可下，即任意方向均可．读数的方向不同可能导致不同的结果，但这一点不影响样本的公平性和合理性.

3　辨析三种抽样方法的合理选取
一、简单随机宜少量
例1 据报道，2009年7月22日的“日全食”较为理想的观测地点有上海、重庆、苏州、杭州、合肥、武汉、宜昌、成都、乐山、嘉兴这10个城市．某天文小组从这10个城市中随机抽取4个城市进行观测，宜采用的抽样方法是______________，每个城市被选中的可能性是______________．
解析　由于总体中个体数目较少，所以宜采用简单随机抽样的方法进行抽样．每个城市被选中的可能性均相等，均为＝0.4.
答案　简单随机抽样　0.4
点评　本题中个体总数较少，使用简单随机抽样中的抽签法即可．可以直接把10个城市名分别写在10个大小相同的纸条上，将纸条放在一个盒子里摇匀，随机抽出4个即可．在整个抽样过程中可以保证每个个体被抽到的可能性相等，也可以进一步计算出相应的值．
二、差别明显选分层
例2 最近网络上流行一种“QQ农场”游戏，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了解某小区不同年龄层次的居民对此游戏的态度(小区中居民的年龄具有一定的差别)，现从中抽取100人进行调查，结果如下表：
对游戏的态度
喜欢
不喜欢
不了解
人数
35
35
30
请问随机抽取这100人较合理的抽样方法是________，调查结果得出后，若想从这100人中再选取20人进行座谈，较合理的抽样方法是____________．若这个小区共有2 000人，则每个人被抽到参加座谈的可能性为________．
解析　因为小区居民的年龄存在明显差异，故抽取这100人宜采用分层抽样．根据调查结果，有三种明显不同的态度，因此，选取20人参加座谈，也宜采用分层抽样．在整
个抽样过程中，每个人被抽到的可能性是相同的，
均为＝0.01.
答案　分层抽样　分层抽样　0.01
点评　分层抽样的过程是先把有差别的个体进行分层，在每一层中可以采用简单随机抽样或系统抽样的方法，这样也能保证每个个体被抽到的可能性相同．
三、大量抽取选系统
例3 2017年春节来临之际，某超市进行促销活动，为购买商品顾客分发了编号为0000～9999的奖券，超市计划从中抽取100张作为中奖号码，较合理的抽样方法是__________，每张奖券中奖的可能性为________．
解析　由于奖券数量较大，有10 000张奖券，所以宜采用系统抽样方法进行抽取．在抽样过程中，每张奖券被抽到的可能性是相等的，均为＝0.01.
答案　系统抽样　0.01
点评　当总体中个体数目较多时，首先把个体编号，进行平均分组(若不能整除，则随机剔除多余的个体)，然后采用简单随机抽样的方法从第一组中抽取一个个体，即可知道应抽取的其他编号的个体.
4　解读用样本估计总体
一、用样本的频率分布估计总体分布
1．频率分布表：反映具体数据落在各个区间的频率，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．
2．频率分布直方图：能够非常直观的表明数据分布的形状，很好地反映数据的变化趋势，适用于样本数据较多的情况，但是从直方图本身得不到具体的数据内容．
3．频率分布折线图：连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就可以得到相应的频率分布折线图．其优点是能够清晰地反映数据的变化趋势．如果样本容量不断增加，分组的组距不断减小，那么折线图便会趋近于总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比．
4．茎叶图：适用于样本中的数据较少的情况．其优点是(1)没有原始数据的丢失，所有信息均可以从茎叶图中得到，并能展示数据的分布情况；(2)便于记录和表示．缺点是当样本数据较多或数据位数较多时，就会显得不太方便．因为每一个数据都要在图中占据一定的空间，如果数据很多，枝叶就会很长．
二、用样本的数字特征估计总体的数字特征
1．众数：若一组数据中有一个或几个数据出现得最多，且出现的次数一样，那么这些数据都是这组数据的众数，因此一组数据的众数可能不止一个．若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数．
2．中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，处在最中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)是该组数据的中位数．
3．平均数：与样本中的每一个数据都有关系，反映了更多关于数据总体的信息，比较可靠．但受极端值的影响较大．
4．极差：就是一组数据中最大数与最小数的差．
5．方差：用来刻画样本数据的波动情况，充分利用了所有的数据，但与原始数据的单位不一致．方差具有非负性．
6．标准差：方差的算术平方根，与原数据的单位一致，且标准差也具有非负性．
三、数字特征在频率分布直方图中的体现
在频率分布直方图中，最高的小矩形的底边中点的横坐标即为样本数据的众数的估计值，中位数左边和右边的小矩形的面积和相等(注：这样求出的中位数是近似值)；平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积与其底边中点的横坐标的乘积之和．
四、特别提示
1．两类估计都具有随机性，得出的结论不一定是总体的真正的分布、均值或方差．样本质量的高低也是影响正确估计总体的重要因素．
2．应用茎叶图进行统计时，注意重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．
3．样本水平的高低由其平均数决定，样本数据的稳定性与方差和标准差有关．在平均数相差不大的情况下，可以进一步借助方差或标准差来比较优劣．
4．方差越小，说明数据越稳定，但并不是方差越小越好.

5　近年高考统计图
一、频率分布直方图、频率分布折线图
例1　下表给出了从某校500名12岁男孩儿中用随机抽样得出的120人的身高．(单位：cm)
区间界限
[122，126)
[126，130)
[130，134)
人数
5
8
10
区间界限
[134，138)
[138，142)
[142，146)
人数
22
33
20
区间界限
[146，150)
[150，154)
[154，158]
人数
11
6
5
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)画出频率折线图；
(4)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．
解　(1)样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[122，126)
5
0.04
[126，130)
8
0.07
[130，134)
10
0.08
[134，138)
22
0.18
[138，142)
33
0.28
[142，146)
20
0.17
[146，150)
11
0.09
[150，154)
6
0.05
[154，158]
5
0.04
合计
120
1.00
(2)(3)频率分布直方图、频率折线图如下：
(4)由样本的频率分布表可知身高小于134 cm的男孩儿出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.
二、条形统计图
例2　A市某中学图书馆将图书分为自然科学、文学艺术、社会百科、数学四类．在“A市读书月”活动期间，为了解本校图书的借阅情况，图书管理员对本月各类图书的借阅量进行了统计，下表和下图是图书管理员通过采集数据后，绘制的不完整的频率分布表与频数分布条形图．请你根据图表中提供的信息，解答以下问题：
图书种类
频数
频率
自然科学
文学艺术
1 000
0.50
社会百科
500
0.25
数学
100
0.05
(1)填充上表中的空格；
(2)在上图中，将表示“自然科学”的部分补充完整．
分析　可利用频率分布表的频率之和为1求频率，再根据比例关系求频数，根据这两个数据即可顺利补充完整题中的图表了．
解　(1)自然科学对应的频率为1－0.50－0.25－0.05＝0.20，自然科学对应的频数为×0.20＝400.
(2)补全的图形如图所示．
点评　补图(表)题是统计中的一种重点题型，解决这类题目可以根据已知条件，对照统计图(表)中的已知内容来明确所应补充的内容．
三、茎叶图
例3　如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和是________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解析　将一组数据按从小到大的顺序依次排列，处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的平均数)为中位数，因而甲组的中位数是28，乙组的中位数是36.所以甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是64.
答案　64
点评　制作茎叶图的方法是将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶同行列出．在求中位数时，首先要先进行数据的排序(从小到大)，并注意总数据的个数为奇数还是偶数．
6　关注数字特征
众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．若数据的平均数大于样本的中位数，说明数据中存在较大的极端值；反之，说明数据中存在较小的极端值．
一组数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述．极差反映了一组数据变化的幅度，但只涉及两个数据，不能提供确切的信息．方差和标准差均描述了一组数据围绕平均数波动的大小情况，即描述了数据对平均数的离散程度．样本方差或标准差越大，样本数据的稳定性就越差．
一、正确理解数字特征
例1 某工厂工作人员的工资情况如下：
工作人员
经理
管理人员
技工
工人
学徒
周工资
2 000
300
250
200
100
人数
1
4
7
10
1
(1)指出这个问题中周工资的众数、中位数和平均数；
(2)在这个问题中，平均数、众数、中位数哪一个更能客观地反映该工厂工作人员的工资水平？
分析　该例着眼于众数、中位数、平均数各自的特点，以及其适用情况．
解　(1)由表格可知，众数为200元/周．因为周工资小于250元的有11人，大于250元的有5人，所以中位数为250元/周．平均数为(2 000＋300×4＋250×7＋200×10＋100)÷23≈307(元/周)．
(2)由表格中所列出的数据可见，只有经理的工资在平均数以上，其余人的工资都在平均数以下，故平均数不能客观真实地反映该工厂工作人员的工资水平．又因周工资大于200元的人员占总人数的一半还多，故中位数更客观．
点评　众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关．中位数和众数的优点是不受极端值
的影响，缺点是可靠性比较差．平均数受数据中的极端值的影响较大，应用时要考虑是否存在极端值．
二、利用数字特征判优劣
例2 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下：
甲　82　82　79　95　87
乙　95　75　80　90　85
(1)用茎叶图表示这两组数据；
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．
解　(1)作出茎叶图如图所示：
(2)甲＝(70×1＋80×3＋90×1＋9＋2＋2＋7＋5)
＝85，
乙＝(70×1＋80×2＋90×2＋5＋0＋5＋0＋5)＝85，
s＝[(79－85)2＋(82－85)2＋(82－85)2＋(87－85)2＋(95－85)2]＝31.6，
s＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(95－85)2]＝50.
∵甲＝乙，s∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
点评　同样的数据，从不同的角度看会得出不同的结论．故在解决实际问题时，应根据具体情况合理选择数字特征.
7　学习变量的相关关系的注意点
一、相关关系不一定是因果关系
函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，它仅是一种伴随关系．
例1 下列各组关系中，不属于相关关系的是______．(填序号)
①农作物的产量与施肥量之间的关系；
②角的大小与所对的圆弧长之间的关系；
③红橙的产量与气候之间的关系；
④人的身高与体重之间的关系．
解析　角的大小与所对的圆弧长之间的关系是一种确定的函数关系．
答案　②
点评　本题易错填④.在人的身高与体重之间确实具有相关性，但人有胖瘦，所以，人的身高与体重之间没有因果关系，但有相关关系．
二、注意区分回归方程中a、b的意义
回归方程为＝bx＋a，其中b是回归系数，而一次函数的习惯写法为y＝ax＋b，不要把它们混淆了．另外，对于回归方程＝bx＋a有a＝－b，即＝b＋a.
例2 一蚊香销售公司进行了一次市场调查，并统计了某品牌电热蚊香片的销售单价x(元/盒)与平均日销量y(盒)，得到如下的数据资料：
x
10
12
17
20
25
y
50
42
30
18
9
若由相关资料知，y与x呈线性相关关系．试求y与x的回归方程．
解　由表中数据知＝16.8，＝29.8，
iyi＝2 099，＝1 558，
∴b＝≈－2.75，
a＝－b＝29.8＋2.75×16.8＝76.
∴所求的回归方程为y＝－2.75x＋76.
点评　在写回归方程时，容易误写为＝76x－2.75，其原因是求出a、b后，把回归方程公式＝bx＋a中的a、b位置搞错了．
三、注意建立回归方程的前提条件
当数据之间具有线性相关关系时才可以求回归方程．若数据之间不具有线性相关关系，即使用最小平方法求出了回归方程，其回归方程也是没有实际意义的，不能用来作为估计的根据．所以求回归方程前一定要判断两个变量是否线性相关．
例3 下表给出了x，y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
0
2
变量x，y之间是否具有相关关系？若有，求出回归方程．
解　画出变量x，y的相关数据对应的散点图如图所示：
由散点图可以看出，各点并不在一条直线附近，所以变量x，y之间不具有线性相关关系，不能用回归直线进行拟合，即使用样本数据求得回归方程也是没有意义的．
点评　此题易产生如下错解，求得b＝0，a＝1.5，所以回归方程为＝1.5.产生错解的原因是没有考察变量x，y之间是否具有相关关系．
第二章 统计
学习目标　1.会根据不同的特点选择适当的抽样方法获得样本数据；2.能利用图、表对样本数据进行整理分析，用样本和样本的数字特征估计总体的数字特征；3.能利用散点图对两个变量是否相关进行初步判断，能用线性回归方程进行预测．
知识点一　抽样方法
1．当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用__________________________．
2．当总体容量较大，样本容量较小时，可用______________________________．
3．当总体容量较大，样本容量也较大时，可用____________________________．
4．当总体由差异明显的几部分组成时，可用______________________________．
知识点二　用样本估计总体
用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据作频率____________与频率______________．当样本只有两组数据且样本容量比较小时，用________刻画数据比较方便．
知识点三　样本的数字特征
样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括________、__________和____________；另一类是反映样本波动大小的，包括极差、__________及__________．
知识点四　变量间的相关关系
1. 两个变量之间的相关关系的研究，通常先作变量的____________，根据散点图判断这两个变量最接近于哪种确定性关系(函数关系)．
2．求回归方程的步骤：
(1)先把数据制成表，从表中计算出，，x，xiyi.
(2)计算a，b.公式为
(3)写出回归方程＝bx＋a.
类型一　抽样方法的应用
例1　某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，干事20人，上级机关为了了解机关人员对政府机构的改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，如何抽取？
　
反思与感悟　三种抽样方法并非截然分开，有时你中有我，我中有你，它们都能保证个体被抽到的机会相等．
跟踪训练1　某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为________．
类型二　用样本的频率分布估计总体分布
例2　有1个容量为100的样本，数据(均为整数)的分组及各组的频数如下：
[12.5,15.5)，6；[15.5,18.5)，16；[18.5,21.5)，18；
[21.5,24.5)，22；[24.5,27.5)，20；[27.5,30.5)，10；
[30.5,33.5]，8.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计小于30的数据约占多大百分比．
　
反思与感悟　借助图表，可以把抽样获得的庞杂数据变得直观，凸显其中的规律，便于信息的提取和交流．
跟踪训练2　为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为________．
类型三　用样本的数字特征估计总体的数字特征
例3　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
　
反思与感悟　样本的数字特征就像盲人摸到的象的某一局部特征，只有把它们结合起来才能看到全貌．
跟踪训练3　对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲
60
80
70
90
70
乙
80
60
70
80
75
问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？
　
类型四　线性回归方程的应用
例4　某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少小时？
(注：b＝，a＝－b )
　
反思与感悟　散点图经最小平方法量化为线性回归方程后，更便于操作(估计、预测)，但得到的值仍是估计值．
跟踪训练4　2017年元旦前夕，某市统计局统计了该市2016年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：
年收入
x(万元)
2
4
4
6
6
6
7
7
8
10
年饮食支出
y(万元)
0.9
1.4
1.6
2.0
2.1
1.9
1.8
2.1
2.2
2.3
(1)如果已知y与x成线性相关关系，求线性回归方程；
(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．
(参考数据：xiyi＝117.7，x＝406)
　
1．某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收了1 000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽取30份，则在D单位抽取的问卷是________份．
2．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为________________．
3．随机抽取某学校甲、乙两班各10名同学的一模数学成绩，获得数学成绩的茎叶图如图，则根据茎叶图可估计一模数学平均成绩较高的班级是________．
4．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．
1．应用抽样方法抽取样本时，应注意以下几点：
(1)用随机数表法抽样时，对个体所编的号码位数要相等．当问题所给位数不相等时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数．
(2)用系统抽样法抽样时，如果总体容量N能被样本容量n整除，抽样间隔为k＝，如果总体容量N不能被样本容量n整除，先用简单随机抽样法剔除多余个体，抽样间隔为k＝[]([]表示取的整数部分)．
2．用样本的频率分布估计总体分布
利用样本的频率分布表和频率分布直方图对总体情况作出估计，有时也利用频率分布折线图和茎叶图对总体情况作出估计．直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式，这样根据样本的频率分布，我们可以大致估计出总体的分布．但是，当总体的个体数较多时，所需抽样的样本容量也不能太小，随着样本容量的增加，频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条曲线为总体密度曲线，它能给我们提供更加精细的信息．在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，这给数据的记录和表示都带来方便．
3．用样本的数字特征估计总体的数字特征
为了从整体上更好地把握总体的规律， 我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征作出估计．平均数就是所有样本数据的平均值，用表示；标准差是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量，有时也用标准差的平方s2—方差来代替标准差，实质一样．
4．线性回归方程的应用
分析两个变量的相关关系时，我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出线性回归方程，并利用线性回归方程进行估计和预测．
答案精析
知识梳理
知识点一
1．抽签法　2.随机数表法　3.系统抽样法
4．分层抽样法
知识点二
分布表　分布直方图　茎叶图
知识点三
众数　中位数　平均数　方差　标准差
知识点四
1．散点图
题型探究
例1　解　用分层抽样抽取．
∵20∶100＝1∶5，
∴＝2，＝14，＝4，
即从副处级以上干部中抽取2人，一般干部中抽取14人，干事中抽取4人．
∵副处级以上干部与干事人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人，对一般干部采用00，01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．
跟踪训练1　8
解析　分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本，设从高二年级抽取的学生数为n，则＝，得n＝8.
例2　解　(1)样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[12.5，15.5)
6
0.06
[15.5，18.5)
16
0.16
[18.5，21.5)
18
0.18
[21.5，24.5)
22
0.22
[24.5，27.5)
20
0.20
[27.5，30.5)
10
0.10
[30.5，33.5]
8
0.08
合　计
100
1.00
(2)频率分布直方图如图：
(3)小于30的数据占0.06＋0.16＋0.18＋0.22＋0.20＋0.10＝0.92＝92%.
跟踪训练2　54
解析　[4.7，4.8)之间频率为0.32，[4.6，4.7)之间频率为1－0.62－0.05－0.11＝1－0.78＝0.22.
∴a＝(0.22＋0.32)×100＝54.
例3　解　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s>s，
所以乙机床加工零件的质量更稳定．
跟踪训练3　解　甲的平均成绩为甲＝74，乙的平均成绩为乙＝73.所以甲的平均成绩好．
甲的方差是s＝[(－14)2＋62＋(－4)2＋162＋(－4)2]＝104，乙的方差是s＝×[72＋(－13)2＋(－3)2＋72＋22]＝56.
因为s>s，所以乙的各门功课发展较平衡．
例4　解　(1)散点图如图．
(2)由表中数据得：iyi＝52.5，
＝3.5，＝3.5，＝54，
∴b＝0.7，∴a＝1.05，
∴＝0.7x＋1.05，回归直线如图所示．
(3)将x＝10代入线性回归方程，得
＝0.7×10＋1.05＝8.05，
故预测加工10个零件约需要8.05小时．
跟踪训练4　解　(1)依题意可计算得：
＝6，＝1.83，2＝36，
＝10.98，又∵xiyi＝117.7，
x＝406，
∴b＝≈0.17，
a＝－b≈0.81，∴＝0.17x＋0.81.
∴所求的线性回归方程为＝0.17x＋0.81.
(2)当x＝9时，＝0.17×9＋0.81
＝2.34(万元)．
可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．
当堂训练
1．60
解析　由题意依次设在A，B，C，D四个单位回收的问卷数分别为a1，a2，a3，a4，则＝，∴a2＝200，又a1＋a2＋a3＋a4＝1 000，即3a2＋a4＝1 000，
∴a4＝400，设在D单位抽取的问卷数为n，则＝，解得n＝60.
2.＝x＋88
解析　由已知得＝176，＝176，利用公式可得a，b.
3．甲班
解析　根据茎叶图可看出所有的数据，茎上是百位数和十位数，再利用求平均数的公式，求出成绩的平均数，由茎叶图可计算甲班10名同学的平均成绩是(129＋112＋115＋101＋104＋108＋95＋97＋82＋77)÷10＝1 020÷10＝102，乙班10名同学的平均成绩是(121＋124＋117＋103＋103＋105＋91＋88＋89＋76)÷10＝1 017÷10＝101.7.所以由此估计甲班的数学平均成绩大于乙班的数学平均成绩．
4．50
解析　由频率分布直方图，得低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.
∴该班学生人数n＝＝50.