北京东城2017年人教版七年级下《不等式与不等式组》专项精讲教案（含解析）
文档属性
| 名称 | 北京东城2017年人教版七年级下《不等式与不等式组》专项精讲教案（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 483.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-03-06 15:34:55 | ||
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文档简介
不等式与不等式组（专项精讲）
章末整合归纳
常考专题整合
常考专题一 不等式的性质
主要考查利用不等式的性质判断不等式的变形是否正确，题型以选择题为主．
例1 ：下列式子中，一元一次不等式有( )
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
解析：③中不是整式，⑥中含2个未知数，所以③⑥不是一元一次不等式，①②④⑤⑦都是一元一次不等式，故选B.
例2： 若，则下列不等式不一定成立的是( )
A． B．
C． D．
解析：根据不等式的性质针对四个选项进行分析即可．A．根据不等式的基本性质1，可知一定成立；B．根据不等式的基本性质2，∵，∴一定成立；C．根据不等式的基本性质3，∵，∴一定成立；D．根据不等式的基本性质3，，若都为负数，则不成立．
思维点拨 本题主要考查了不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解题的关键．此类题目也可以用举反例的方法排除．
常考专题二 一元一次不等式(组)的解法
解一元一次不等式(组)是数学学习中必须掌握的基本运算技能，是解决实际问题的基础，解不等式(组)时，要严格依据不等式的性质按照解不等式(组)的步骤进行．
例3： 解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
(1)；(2)
分析：(1)解不等式并把解集在数轴上表示出来；(2)分别解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
解：(1)解不等式得，在数轴上表示如下：
(2)解不等式①，得，解不等式②，得，
在数轴上表示如下：
故不等式组的解集为．
思维点拨 一元一次不等式与一元一次不等式组的解法是整章的重点，要熟悉它们的解法，一方面要注意每个步骤的易错之处，另一方面要正确地画出数轴，找出解集，进一步确定特殊解．
常考专题三 一元一次不等式(组)的特殊解
例4： 若是不等式组的最大整数解．求的值．
分析：先求出不等式组的解集，在解集中找出最大整数解，即是的值，再把的值代入所求代数式求值即可．
解：由不等式①，得．
由不等式②，得．
所以不等式组的解集为．
解集中最大的整数为，所以．
把代入中，得
原式
．
思路归纳 求不等式(组)的特殊解时，先求出解集，再找满足条件的解，一般是求最大(小)整数解，非负(正)整数解，正(负)整数解．
常考专题四 求解不等式(组)中的字母参数问题
当不等式(组)与方程(组)、字母参数这些知识综合时，要认真理解题意，寻求解决的方法．
类型1 已知不等式的一个解，求字母的取值
例5： 已知是关于的不等式的解，求的取值范围．
分析：先根据不等式的解的定义，将代入不等式，得到，解此不等式，即可求出的取值范围．
解：∵是关于的不等式的解，∴，解得．
思维点拨 本题考查了不等式的解的定义及一元一次不等式的解法，比较简单，根据不等式的解的定义得出是解题的关键．
例6： 已知关于的不等式组的整数解共有3个，求的取值范围．
分析：先求出不等式的解集，用含有的代数式表示出来，再根据整数解的个数，确定的取值范围．
解：由不等式①，得．
由不等式②，得．
因为不等式组有解，
所以该不等式组的解集为．
又因为只有3个整数解，即为2，3，4．
所以的取值范围为，
则．
思维点拨 解此类问题时应特别注意不等式中等号的取舍．
类型2 根据二元一次方程组和解不等式求字母取值
例7： 关于，的二元一次方程组的解是正整数，则整数的值为____．
解析：把看成常数，求出方程组的解，再根据题意转化成关于的不等式组，求解即可．解方程组得∵，是正整数，∴解得，∵为整数，∴或6或7，又∵，是正整数，∴时，，不是整数，不合题意舍去，∴或7．
答案：5或7
解题方法 本题运用了常量法，常量法是将题中的某一未知字母视为常数，用这个字母表示未知数，再根据未知数的取值范围来确定未知字母的取值．在不等式(组)与方程(组)的综合应用中，常会用到常量法，将方程(组)的问题转化为解不等式(组)，求字母取值的问题．
例8： 已知关于、的的方程组的解满足不等式，求实数的取值范围．
分析：先解方程组，求得、的值，再根据，解不等式即可．
解：由可得
∵，∴，∴．
思维点拨 本题是一元一次不等式和二元一次方程组的综合题，用分别表示出，，再解不等式是解题的关键．
类型3 已知不等式组解集的情况求字母的取值
例9： 已知关于的不等式组无解，求的取值范围．
分析：把看成常数，解不等式组，再根据原不等式组无解，求出的取值范围．
解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
因为该不等式组无解，所以不等式①和②的解集在数轴上的表示如图所示：
所以．
当时，代入不等式组，解得，且，
此时，不等式组无解，满足题意．
所以的取值范围为．
思维点拨 “”这种特殊情况易被忽视，检验等号是否满足题意在解题时必不可少．
常考专题五 列一元一次不等式(组)解应用题
一元一次不等式(组)的应用是中考考查的重点之一，题型丰富多变，内容多与社会热点相联系，既可单独考查，也可与其他知识综合考查．
例10： 某校住校生宿舍有大小两种寝室若干部．据统计，该校高一年级男生740人，使用了大寝室55间和小寝室50间，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．
(1)求该校的大小寝室每间分别住多少人？
(2)预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？
分析：(1)设该校的大寝室每间住人，小寝室每间住人，根据题意列出方程组，再解方程组即可；(2)设这些女生入住大寝室间，则小寝室间，由题意可得，再根据“高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间”可列出关于的不等式组，解不等式组即可．
解：(1)设该校的大寝室每间住人，小寝室每间住人，由题意，得
解得
答：该校的大寝室每间住8人，小寝室每间住6人．
(2)设这些女生入住大寝室间，则小寝室间，由题意，得
解得．
∴可取75或76或77或78或79或80．
答：共有六种安排住宿的方案．
思维点拨 本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是仔细审题，分别找出等量关系与不等关系．
思想方法归纳
思想方法一 数形结合思想
求不等式解集的过程是代数内容，用数轴表示不等式解集的过程，是将代数问题几何化的过程．本章中数形结合思想主要应用于：①将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，或在解不等式组的过程中，在数轴上分别表示各个不等式的解集，并找出公共部分；②利用数轴判断不等式(组)的解集情况，进而求字母取值．
例11： 已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为( )
A．0 B． C．1 D．2
解析：根据数轴可知不等式的解集为，∵，∴，∴，∴．
答案：C
思想方法 本题运用了数形结合思想．有关不等式的问题中，有些问题需要我们借助图形反馈的信息来解决．
思想方法二 方程思想
不等式中的方程思想是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换和解决问题．
例12： 若不等式组的解集为，那么的值等于____．
解析：先用字母，表示出不等式组的解集：，然后根据已知解集是，对应得到关于、的方程，，解得，．所以．
答案：
思想方法 本题运用了方程思想，根据不等式组的解集构造方程，进而求解，是解决此类问题的基本思路．
思想方法三 建模思想
本章在解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润问题时，会用到建模思想，由实际问题构造不等式(组)，从而解决问题．
例13： 在校园文化建设中，某学校原计划按每班5幅订购了“名人字画”共90幅．由于新学期班数增加，决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发，如果每班分4幅，则剩下17幅；如果每班分5幅，则最后一个班不足3幅，但不少于1幅，可列出不等式组，求出其整数解即可．
解：(1)该校原有的班数是(个)
(2)设新学期所增加的班数是个．由题意得：
解得．
∵为整数，∴或3．
答：新学期所增加的班数是2个或3个．
思想方法 本题运用了建模思想．解这类题的关键是从问题中找出不等关系，建立不等式(组)的模型，求出不等式(组)的解集后，再根据题目的实际情况确定出未知数的具体值．
综合压轴探究
综合探究 一元一次不等式(组)的综合应用
例14： 在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
(2)根据学校实际情况，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．
分析：(1)先设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元列出方程组，求出，的值即可；(2)先设需购进电脑台，则购进电子白板台，根据总费用不超过30万元，但不低于28万元列出不等式组，求出的取值范围，再根据只能取整数，得出购买方案，然后根据每台电脑的价格和每台电子白板的价格，算出每种方案的总费用，进行比较，即可得出最省钱的方案．
解：(1)设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据题意，得
解得
答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．
(2)设需购进电脑台，则购进电子白板台，根据题意，得
解得，
∵只能取整数，∴，16，17．
∴有三种购买方案：
方案1：购进电脑15台，购进电子白板15台，所需费用为(万元)；
方案2：购进电脑16台，购进电子白板14台，所需费用为(万元)．
方案3：购进电脑17台，购进电子白板13台，所需费用为(万元)．
答：有3种购买方案，购买17台电脑和13台电子白板时费用最低．
思维点拨 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出数量之间的关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组，注意只能取整数．关于方案设计问题，一般需分情况讨论，另外要检验方案的可操作性．
章末整合归纳
常考专题整合
常考专题一 不等式的性质
主要考查利用不等式的性质判断不等式的变形是否正确，题型以选择题为主．
例1 ：下列式子中，一元一次不等式有( )
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
解析：③中不是整式，⑥中含2个未知数，所以③⑥不是一元一次不等式，①②④⑤⑦都是一元一次不等式，故选B.
例2： 若，则下列不等式不一定成立的是( )
A． B．
C． D．
解析：根据不等式的性质针对四个选项进行分析即可．A．根据不等式的基本性质1，可知一定成立；B．根据不等式的基本性质2，∵，∴一定成立；C．根据不等式的基本性质3，∵，∴一定成立；D．根据不等式的基本性质3，，若都为负数，则不成立．
思维点拨 本题主要考查了不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解题的关键．此类题目也可以用举反例的方法排除．
常考专题二 一元一次不等式(组)的解法
解一元一次不等式(组)是数学学习中必须掌握的基本运算技能，是解决实际问题的基础，解不等式(组)时，要严格依据不等式的性质按照解不等式(组)的步骤进行．
例3： 解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
(1)；(2)
分析：(1)解不等式并把解集在数轴上表示出来；(2)分别解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
解：(1)解不等式得，在数轴上表示如下：
(2)解不等式①，得，解不等式②，得，
在数轴上表示如下：
故不等式组的解集为．
思维点拨 一元一次不等式与一元一次不等式组的解法是整章的重点，要熟悉它们的解法，一方面要注意每个步骤的易错之处，另一方面要正确地画出数轴，找出解集，进一步确定特殊解．
常考专题三 一元一次不等式(组)的特殊解
例4： 若是不等式组的最大整数解．求的值．
分析：先求出不等式组的解集，在解集中找出最大整数解，即是的值，再把的值代入所求代数式求值即可．
解：由不等式①，得．
由不等式②，得．
所以不等式组的解集为．
解集中最大的整数为，所以．
把代入中，得
原式
．
思路归纳 求不等式(组)的特殊解时，先求出解集，再找满足条件的解，一般是求最大(小)整数解，非负(正)整数解，正(负)整数解．
常考专题四 求解不等式(组)中的字母参数问题
当不等式(组)与方程(组)、字母参数这些知识综合时，要认真理解题意，寻求解决的方法．
类型1 已知不等式的一个解，求字母的取值
例5： 已知是关于的不等式的解，求的取值范围．
分析：先根据不等式的解的定义，将代入不等式，得到，解此不等式，即可求出的取值范围．
解：∵是关于的不等式的解，∴，解得．
思维点拨 本题考查了不等式的解的定义及一元一次不等式的解法，比较简单，根据不等式的解的定义得出是解题的关键．
例6： 已知关于的不等式组的整数解共有3个，求的取值范围．
分析：先求出不等式的解集，用含有的代数式表示出来，再根据整数解的个数，确定的取值范围．
解：由不等式①，得．
由不等式②，得．
因为不等式组有解，
所以该不等式组的解集为．
又因为只有3个整数解，即为2，3，4．
所以的取值范围为，
则．
思维点拨 解此类问题时应特别注意不等式中等号的取舍．
类型2 根据二元一次方程组和解不等式求字母取值
例7： 关于，的二元一次方程组的解是正整数，则整数的值为____．
解析：把看成常数，求出方程组的解，再根据题意转化成关于的不等式组，求解即可．解方程组得∵，是正整数，∴解得，∵为整数，∴或6或7，又∵，是正整数，∴时，，不是整数，不合题意舍去，∴或7．
答案：5或7
解题方法 本题运用了常量法，常量法是将题中的某一未知字母视为常数，用这个字母表示未知数，再根据未知数的取值范围来确定未知字母的取值．在不等式(组)与方程(组)的综合应用中，常会用到常量法，将方程(组)的问题转化为解不等式(组)，求字母取值的问题．
例8： 已知关于、的的方程组的解满足不等式，求实数的取值范围．
分析：先解方程组，求得、的值，再根据，解不等式即可．
解：由可得
∵，∴，∴．
思维点拨 本题是一元一次不等式和二元一次方程组的综合题，用分别表示出，，再解不等式是解题的关键．
类型3 已知不等式组解集的情况求字母的取值
例9： 已知关于的不等式组无解，求的取值范围．
分析：把看成常数，解不等式组，再根据原不等式组无解，求出的取值范围．
解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
因为该不等式组无解，所以不等式①和②的解集在数轴上的表示如图所示：
所以．
当时，代入不等式组，解得，且，
此时，不等式组无解，满足题意．
所以的取值范围为．
思维点拨 “”这种特殊情况易被忽视，检验等号是否满足题意在解题时必不可少．
常考专题五 列一元一次不等式(组)解应用题
一元一次不等式(组)的应用是中考考查的重点之一，题型丰富多变，内容多与社会热点相联系，既可单独考查，也可与其他知识综合考查．
例10： 某校住校生宿舍有大小两种寝室若干部．据统计，该校高一年级男生740人，使用了大寝室55间和小寝室50间，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．
(1)求该校的大小寝室每间分别住多少人？
(2)预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？
分析：(1)设该校的大寝室每间住人，小寝室每间住人，根据题意列出方程组，再解方程组即可；(2)设这些女生入住大寝室间，则小寝室间，由题意可得，再根据“高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间”可列出关于的不等式组，解不等式组即可．
解：(1)设该校的大寝室每间住人，小寝室每间住人，由题意，得
解得
答：该校的大寝室每间住8人，小寝室每间住6人．
(2)设这些女生入住大寝室间，则小寝室间，由题意，得
解得．
∴可取75或76或77或78或79或80．
答：共有六种安排住宿的方案．
思维点拨 本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是仔细审题，分别找出等量关系与不等关系．
思想方法归纳
思想方法一 数形结合思想
求不等式解集的过程是代数内容，用数轴表示不等式解集的过程，是将代数问题几何化的过程．本章中数形结合思想主要应用于：①将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，或在解不等式组的过程中，在数轴上分别表示各个不等式的解集，并找出公共部分；②利用数轴判断不等式(组)的解集情况，进而求字母取值．
例11： 已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为( )
A．0 B． C．1 D．2
解析：根据数轴可知不等式的解集为，∵，∴，∴，∴．
答案：C
思想方法 本题运用了数形结合思想．有关不等式的问题中，有些问题需要我们借助图形反馈的信息来解决．
思想方法二 方程思想
不等式中的方程思想是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换和解决问题．
例12： 若不等式组的解集为，那么的值等于____．
解析：先用字母，表示出不等式组的解集：，然后根据已知解集是，对应得到关于、的方程，，解得，．所以．
答案：
思想方法 本题运用了方程思想，根据不等式组的解集构造方程，进而求解，是解决此类问题的基本思路．
思想方法三 建模思想
本章在解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润问题时，会用到建模思想，由实际问题构造不等式(组)，从而解决问题．
例13： 在校园文化建设中，某学校原计划按每班5幅订购了“名人字画”共90幅．由于新学期班数增加，决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发，如果每班分4幅，则剩下17幅；如果每班分5幅，则最后一个班不足3幅，但不少于1幅，可列出不等式组，求出其整数解即可．
解：(1)该校原有的班数是(个)
(2)设新学期所增加的班数是个．由题意得：
解得．
∵为整数，∴或3．
答：新学期所增加的班数是2个或3个．
思想方法 本题运用了建模思想．解这类题的关键是从问题中找出不等关系，建立不等式(组)的模型，求出不等式(组)的解集后，再根据题目的实际情况确定出未知数的具体值．
综合压轴探究
综合探究 一元一次不等式(组)的综合应用
例14： 在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
(2)根据学校实际情况，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．
分析：(1)先设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元列出方程组，求出，的值即可；(2)先设需购进电脑台，则购进电子白板台，根据总费用不超过30万元，但不低于28万元列出不等式组，求出的取值范围，再根据只能取整数，得出购买方案，然后根据每台电脑的价格和每台电子白板的价格，算出每种方案的总费用，进行比较，即可得出最省钱的方案．
解：(1)设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据题意，得
解得
答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．
(2)设需购进电脑台，则购进电子白板台，根据题意，得
解得，
∵只能取整数，∴，16，17．
∴有三种购买方案：
方案1：购进电脑15台，购进电子白板15台，所需费用为(万元)；
方案2：购进电脑16台，购进电子白板14台，所需费用为(万元)．
方案3：购进电脑17台，购进电子白板13台，所需费用为(万元)．
答：有3种购买方案，购买17台电脑和13台电子白板时费用最低．
思维点拨 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出数量之间的关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组，注意只能取整数．关于方案设计问题，一般需分情况讨论，另外要检验方案的可操作性．