第1课时 边边边（SSS）
1.掌握“边边边”判定方法的内容，会运用“边边边”判定方法证明两个三角形全等.
2.能用“边边边”定理判定两个三角形全等和解决相关实际问题，体会三角形的稳定性.
自学指导 阅读课本P97~99，完成下列问题.
知识探究
1.只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，画出的三角形一定全等吗？
2.给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做.
(1) 三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；
(2) 三角形的两个内角分别为30°和 50°；
(3) 三角形的两条边分别为4cm，6cm.
3.如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况吗？
解：三个边 ；三条角；两条边 和一个角；两个角 和一条边 .
4.（1）已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？
（2）已知一个三角形的三条边分别为4cm，5cm和7cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？
解：（1）三个内角对应相等的两个三角形不一定全等.
（2）三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”.通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）.
5.三角形具有稳定性.
自学反馈
1.如图，在△ABC中，AB=AC，EB=EC，则由“SSS”可以直接判定（ B ）
A.△ABD≌△ACD B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△CDE D.以上答案都不对
2.如图，若AB=CD，AE=CF，那么用“SSS”判定△ABE≌△CDF需要添加的一个条件可以是答案不唯一：如：BF=DE.
活动1 小组讨论
例 如图，已知AB=AC，BE=CE，BD=CD.
（1）图中有几对全等三角形？请分别写出来；
（2）请选择一对全等三角形并进行证明.
解：（1）一共有3对全等三角形，△ABE≌△ACE，△ABD≌△ACD，△BED≌△CED.
（2）因为AB=AC，BE=CE，AE=AE，所以△ABE≌△ACE（SSS）.
活动2 跟踪训练
1.如图，已知在⊿ABC中，AB=AC，D为BC的中点.求证：⊿ABD与⊿ADC全等.
解：略.
2.如图，AD=AC，BD=BC，∠D=55°，求∠C的度数.
解：略.
3.如图，已知AB =DC ，AC =DB，试说明：∠A =∠D．
解：略.
活动3 课堂小结
本节课你都有哪些收获？
第2课时 角边角(ASA)与角角边(AAS)
1.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”判定方法.
2.学会运用“角边角”“角角边”判定方法进行简单的说理.
自学指导 阅读课本P100~101，完成下列问题.
知识探究
1.有一块三角形纸片撕去了一个角,要去剪一块新的,如果你手头没有测量的仪器,你能保证新剪的纸片形状、大小和原来的一样吗?
2.我们知道:如果给出一个三角形三条边的长度,那么因此得到的三角形都是全等.如果已知一个三角形的两角及一边,那么有几种可能的情况呢?每种情况下得到的三角形都全等吗?
解：（1）角边角；（2）角角边.每种情况下得到的三角形全等.
（1）三角形全等的判定方法2：两角及其 夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”.通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF.
（2）三角形全等的判定方法3：两角分别相等且其中一组等角的对边 相等的两个三角全等.通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF.
归纳：①两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”.
②两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.
自学反馈
1.下列说法中，正确的是（ C ）
①如果两个三角形有两个角以及一组边对应相等，那么这两个三角形一定全等；
②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；
③要判定两个三角形全等，给出的条件中至少要有一组对应边相等.
A.①和② B.②和③
C.①和③ D.①②③
2.如图，点B、E、F、C在同一直线上，已知∠A=∠D，∠B=∠C，要使△ABF≌△DCE，需要补充的一个条件是答案不唯一：AB=DC.（写出一个即可）
活动1 小组讨论
例 如图，已知，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，求证：△ABC≌△ADE.
解：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC.
即∠BAC＝∠DAE.
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADE.
活动2 跟踪训练
1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4.AC与AD相等吗？请说明理由.
解：相等.理由：因为∠3=∠4，所以∠ABC=∠ABD.
又因为AB=AB,∠1=∠2，所以△ABC≌△ABD.所以AC=AD.
2.如图，点C、E、F、B在同一条直线上，点A、D在BC两侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D.
试说明：（1）AB=CD；
（2）CE=BF．
证明：（1）因为AB∥CD，所以∠B=∠C.
在△ABE和△DCF中，∠A=∠D，∠B=∠C，AE=DF，
所以△ABE≌△DCF.所以AB=CD.
（2）因为△ABE≌△DCF，所以CF=BE.所以CF-EF=BE-EF，即CE=BF.
活动3 课堂小结
本节课你都有哪些收获？
第3课时 边角边(SAS）
1.掌握三角形全等的“边角边”判定方法.
2.学会运用“边角边”判定方法进行简单的说理.
3.了解两个三角形具备两边和一对角相等时，不一定全等.
自学指导 阅读课本P102~103，完成下列问题.
知识探究
1.根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？
解：两边一角相等：（1）两边及夹角；（2）两边及其一边的对角.
2.（1）两边及夹角三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同桌画的一定全等吗？
（2）以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40°，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
解：（1）我画的与同桌画的是全等的(如图1).
（2）我画的与同桌画的不一定全等（如图2）.
总结：①两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形不一定全等.
②三角形全等的判定方法4：两边及其 夹角 分别 相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF.
自学反馈
1.下列条件能判定两个三角形全等的是（ D ）
A.有两条边对应相等的两个三角形
B.有两边及一角对应相等的两个三角形
C.有三角对应相等的两个三角形
D.有两边及其夹角对应相等的两个三角形
2.如图，已知DC=BC，那么添加下列一个条件后，就能判定△ABC≌△ADC的是（ D ）
A.∠BAC=∠DAC B.BC=AC
C.∠B=∠D D.∠ACB=∠ACD
活动1 小组讨论
例 如图，点B为AC的中点，BE=BF，∠1=∠2，△ABE与△CBF全等吗？请说明理由.
解：△ABE≌△CBF.理由如下：因为∠1=∠2，所以∠1+∠EBF=∠2+∠EBF，即∠ABE=∠CBF.
因为B是AC的中点，所以AB=CB.
又因为BE=BF,
所以△ABE≌△CBF.
活动2 跟踪训练
1.如图，AB=AE，AC=AD，下列条件中不能使△ABC≌△AED的是（ D ）??
A.∠1=∠2??? B.BC=ED????
C.∠BAC=∠EAD D.∠C=∠D?
2.如图，已知AB∥CD，AB=CD，BE=DF，则图中的全等三角形一共有（ A ）?
A.3对?? ? B.4对? ?
?C.5对???? ?D.6对?
3.如图，AD=AE，要根据“SAS”判定△ABD≌△ACE，则还需添加的条件是AB=AC .?
4.如图，在△ABC中，点D为BC上一点，E、F两点分别在边AB、AC上，若BE=CD，BD=CF，∠B=∠C，∠A=50°，求∠EDF的度数.
解：因为在△ABC中，∠A+∠B＋∠C=180°，∠B=∠C，∠A=50°，
所以∠B=∠C=（180°-∠A）=65°.
在△BDE和△CFD中，因为BE=CD，∠B=∠C，BD=CF，所以△BDE≌△CFD.
所以∠BDE=∠CFD.所以∠EDF=180°-（∠BDE+∠CDF）=180°-（180°-∠C）=∠C=65°.
活动3 课堂小结
本节课你都有哪些收获？
4.3 探索三角形全等的条件
第1课时 边边边(SSS)
01 基础题
知识点1 利用“SSS”判定两个三角形全等
1．满足下列条件的△ABC与△A′B′C′全等的是(D)
A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
B．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′
C．AB＝A′B′，∠C＝∠C′
D．AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′
2．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的方法，在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是(A)
作法：以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA，OB于点D，E.分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．
A．SSS B．SAS
C．ASA D．AAS
3．如图，已知AC＝BD，要用SSS判定△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是AB＝DC．
4．如图，点A，C，B，D在同一直线上，AC＝BD，AM＝CN，BM＝DN，试说明：△ABM≌△CDN.
解：因为AC＝BD，
所以AB＝CD.
△ABM≌△CDN.
5．已知：如图，在△ABD和△BCD中，AB＝CB，AD＝CD.∠C与∠A相等吗？请说明理由．
解：相等．理由：
在△BDC和△BDA中，
CB＝AB，CD＝AD，BD＝BD，
所以△BDC≌△BDA(SSS)．
所以∠C＝∠A.
知识点2 三角形的稳定性
6．下列图形中有稳定性的是(C)
A．正方形 B．长方形
C．直角三角形 D．平行四边形
7．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是(D)
A．两点之间线段最短
B．长方形的对称性
C．长方形的四个角都是直角
D．三角形的稳定性
02 中档题
8．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架如图．要使这个木架不变形，他至少要再钉木条的数量为(B)
A．0根 B．1根
C．2根 D．3根
9．如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，利用的是(A)
A．①或② B．②或③
C．①或③ D．①或④
10．如图，AB＝CD，AD＝CB，那么下列结论中错误的是(B)
A．∠A＝∠C B．AB＝AD
C．AD∥BC D．AB∥CD
11．如图，∠AOB是任意一个角，在OA，OB边上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB平分线，此作法用的三角形全等方法是SSS．(用符号表示即可)
12．(梅州中考改编)如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD.
(1)试问：△ABC与△ADC全等吗？请说明理由；
(2)若AB＝5，求AD的长度．
解：(1)△ABC≌△ADC.理由：
在△ABC与△ADC中，
AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
所以△ABC≌△ADC(SSS)．
(2)由(1)知△ABC≌△ADC，
又因为AB＝5，
所以AD＝AB＝5.
13．如图，已知AD＝BC，OD＝OC，O为AB中点，说出∠C＝∠D的理由．
解：因为O为AB中点，
所以OA＝OB.
在△AOD和△BOC中，
AD＝BC，DO＝CO，OA＝OB，
所以△AOD≌△BOC(SSS)．
所以∠C＝∠D.
14．如图所示，AB＝CD，BF＝DE，E，F是AC上两点，且AE＝CF.请你判断BF与DE的位置关系，并说明理由．
解：BF∥DE.理由：
因为AE＝CF，
所以AE＋EF＝CF＋EF.
所以AF＝CE.
在△ABF和△CDE中，
AB＝CD，BF＝DE，AF＝CE，
所以△ABF≌△CDE(SSS)．
所以∠AFB＝∠CED.
所以BF∥DE.
03 综合题
15．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，说明∠3＝∠1＋∠2的理由．
解：在△ABD和△ACE中，
因为AB＝AC，AD＝AE，
BD＝CE，
所以△ABD≌△ACE(SSS)．
所以∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2.
又因为∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180 °，∠ADB＋∠3＝180 °，
所以∠3＝∠BAD＋∠ABD＝∠1＋∠2.
第2课时 角边角(ASA)与角角边(AAS)
01 基础题
知识点1 利用“ASA”判定两个三角形全等
1．如图已知AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC≌△DEF的依据是(C)
A．SAS B．SSA
C．ASA D．AAS
2．如图所示，已知∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，若以“ASA”为依据说明△ABC≌△DEF，还需添加的一个条件为(A)
A．∠A＝∠D
B．∠ACB＝∠DFE
C．BC＝EF
D．BE＝CF
3．(福州中考改编)如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.请问：AC与AD相等吗？为什么？
解：AC与AD相等．
因为∠3＋∠ABC＝180 °，
∠4＋∠ABD＝180 °，
∠3＝∠4，
所以∠ABC＝∠ABD.
又因为AB＝AB，∠1＝∠2，
所以△ABC≌△ABD(ASA)．
所以AC＝AD.
4．如图，已知EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E，△BCA与△DCE全等吗？为什么？
解：△BCA≌△DCE.
因为∠BCE＝∠DCA，
所以∠BCE＋∠ACE＝∠DCA＋∠ACE，
即∠BCA＝∠DCE.
因为AC＝EC，
∠A＝∠E，
所以△BCA≌△DCE(ASA)．
知识点2 利用“AAS”判定两个三角形全等
5．如图所示，已知∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠F，AB＝DE，则△ABC≌△DEF的依据是AAS.
6．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，且以“AAS”为依据，你补充的
条件是AB＝CD.
7．如图，AB⊥AD，CB⊥CD，填空：(填“ASA”或“AAS”)
(1)已知AO＝CO，利用ASA可以判定△ABO≌△CDO；
(2)已知∠ABD＝∠CDB，利用AAS可以判定△ABD≌△CDB.
8．(玉林中考改编)如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D.△ABC与△AED全等吗？请说明理由．
解：△ABC≌△AED.理由：
因为∠1＝∠2，
所以∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD.
在△ABC和△AED中，
∠C＝∠D，
∠BAC＝∠EAD，
AB＝AE，
所以△ABC≌△AED(AAS)．
02 中档题
9．如图，下列三角形与△ABC全等的是(C)
10．(百色中考)如图，已知AB＝DC，∠B＝∠C，AC和BD相交于点O，则能直接运用“AAS”判定全等的三角形是(D)
A．△AOD≌△AOB
B．△AOD≌△COD
C．△ADC≌△DAB
D．△AOB≌△DOC
11．如图所示，∠CAB＝∠DBA，∠C＝∠D，AC，BD相交于点E，下列结论不正确的是(B)
A．∠DAE＝∠CBE
B．△DEA与△CEB不全等
C．CE＝DE
D．EA＝EB
12．如图，已知AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，要使△ABC≌△ADE，可补充的条件是∠B＝∠D(或∠C＝∠E)(答案不唯一，只需填一个)．
13．如图，点F、G分别在△ADE的AD，DE边上，C，B依次为GF延长线上两点，AB＝AD，∠BAF＝∠CAE，∠B＝∠D.试说明：BC＝DE.
解：因为∠BAF＝∠CAE，
所以∠BAF－∠FAC＝∠CAE－∠FAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
所以△BAC≌△DAE(ASA)．
所以BC＝DE.
14．(昆明中考改编)如图，点B，E，C，F在同一直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF.
请问：(1)BC＝EF吗？为什么？
(2)△ABC和△DEF全等吗？请说明理由．
解：(1)因为点B，E，C，F在同一直线上，BE＝CF，
所以BE＋CE＝CF＋CE，
即BC＝EF.
(2)△ABC≌△DEF.理由：
在△ABC和△DEF中，
∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BC＝EF，
所以△ABC≌△DEF(AAS)．
03 综合题
15．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点(BP＜CP)，分别过B、C作BE⊥AP于点E，CF⊥AP于点F.求证：EF＝CF－BE.
解：因为BE⊥AP于E，CF⊥AP于F，
所以∠AEB＝∠CFA＝90 °.
又因为∠BAC＝∠BAE＋∠CAF＝90 °，∠BAE＋∠EBA＝90 °，
所以∠EBA＝∠CAF.
在△ABE和△CAF中，
∠EBA＝∠FAC，∠AEB＝∠CFA，AB＝AC，
所以△ABE≌△CAF(AAS)．
所以AE＝CF，BE＝AF.
所以EF＝AE－AF＝CF－BE.
第3课时 边角边(SAS)
01 基础题
知识点1 利用“SAS”判定两个三角形全等
1．(黔西南中考)下列两个三角形全等的是(A)
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
2．在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1，AB＝A1B1，再补充下列哪个条件可以根据“SAS”判断△ABC和△A1B1C1全等(C)
A．AB＝A1C1 B．BC＝B1C1
C．AC＝A1C1 D．AC＝B1C1
3．(铁岭中考)如图，已知AB＝AC，AD＝AE，欲说明△ABD≌△ACE，需补充的条件是(C)
A．∠B＝∠C
B．∠D＝∠E
C．∠1＝∠2
D．∠CAD＝∠2
4．(重庆中考改编)如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AB＝EF，AD＝EC，AB∥EF.△ABC与△EFD全等吗？请说明理由．
解：△ABC≌△EFD.理由：
因为AB∥EF，
所以∠A＝∠E.
因为AD＝EC，
所以AD－CD＝EC－CD，即AC＝ED.
在△ABC和△EFD中，
AB＝EF，∠A＝∠E，AC＝ED，
所以△ABC≌△EFD(SAS)．
知识点2 综合运用四种判定方法判定两个三角形全等
5．(六盘水中考)如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能说明△ABC≌△DCB的是(D)
A．∠A＝∠D B．AB＝DC
C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
6．(永州中考)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(D)
A．∠B＝∠C B．AD＝AE
C．BD＝CE D．BE＝CD
7．(随州中考改编)如图，点F，B，E，C在同一直线上，并且BF＝CE，∠ABC＝∠DEF.能否由上面的已知条件得出△ABC≌△DEF？如果能，请给出理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并说明理由．
提供的三个条件是：①AB＝DE；②AC＝DF；③AC∥DF.
解：不能．三个条件中的①③可选．
选择条件①AB＝DE为例．
理由：因为BF＝CE，所以BF＋BE＝CE＋BE，
即EF＝CB.
在△ABC和△DEF中，
AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BC＝EF，
所以△ABC≌△DEF(SAS)．
02 中档题
8．如图，点B，E在线段CD上，若∠C＝∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是(C)
A．BC＝FD，AC＝ED
B．∠A＝∠DEF，AC＝ED
C．AC＝ED，AB＝EF
D．∠ABC＝∠EFD，BC＝FD
9．(陕西中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有(C)
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
10．已知：如图，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF.
(1)若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为BC＝EF；
(2)若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为∠A＝∠D；
(3)若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为∠ACB＝∠DFE.
11．(通辽中考改编)如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，BC＝CE，那么△ABC与△DEC全等吗？为什么？
解：△ABC≌△DEC.理由：
因为∠BCE＝∠ACD＝90 °，
所以∠BCE－∠ACE＝∠ACD－∠ACE.
所以∠BCA＝∠ECD.
在△ACD中，∠ACD＝90 °，所以∠CAD＋∠D＝90 °.
因为∠BAE＝∠BAC＋∠CAD＝90 °，
所以∠BAC＝∠D.
在△ABC与△DEC中，
∠BAC＝∠D，∠BCA＝∠ECD，BC＝CE，
所以△ABC≌△DEC(AAS)．
03 综合题
12．(杭州中考改编)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2BM，AN＝2NC.DM与DN相等吗？请说明理由．
解：相等．理由：
因为AM＝2MB，
所以AM＝AB.
同理：AN＝AC.
又因为AB＝AC，所以AM＝AN.
因为AD平分∠BAC，所以∠MAD＝∠NAD.
在△AMD和△AND中，
AM＝AN，∠MAD＝∠NAD，AD＝AD，
所以△AMD≌△AND(SAS)．
所以DM＝DN.
