4.5 利用三角形全等测距离
1.能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系.
2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表述.
自学指导 阅读课本P108~109，完成下列问题.
知识探究
1.全等三角形的性质及判定条件是什么？
解：略.
2.在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等.题如下：
解：略.
自学反馈
1.如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，AB表示一棵塔松，A′B′表示电线杆，BC表示塔松的影长，B′C′表示电线杆的影长，且BC=B′C′，已知电线杆高3m，则塔松高( B )
A.大于3m B.等于3m
C.小于3m D.和影子的长相同
活动1 小组讨论
例 小明在上周末游览风景区时，看到了一个美的池塘 ，他想知道最远两点A、B之间的距离， 但是他没有船，不能直接去测。手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A、B之间的距离呢？把你的设计方案在图上画出来，并与你的同伴交流你的方案，看看谁是方案更便捷.
解：略.
活动2 跟踪训练
1.如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长。判定△EDC≌△ABC的理由是( B )
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
2.如图 ① 要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径，由于瓶颈较小，无法直接测量，你能想出一种测量方案吗？
② 在一座楼相邻两面墙的外部有两点A，C，如图所示，请设计方案测量A，C两点间的距离。
解：略.
活动3 课堂小结
本节课有何收获？
4.5 利用三角形全等测距离
01 基础题
知识点 利用三角形全等测距离
1．利用三角形全等测量距离的原理是(B)
A．全等三角形对应角相等
B．全等三角形对应边相等
C．大小和形状相同的两个三角形全等
D．三边对应相等的两个三角形全等
2．如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是(C)
A．边边边
B．角边角
C．边角边
D．角角边
3．如图，测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′＝∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，这个测量用到判定三角形全等的方法是ASA．
4．如图，小明为了测量河的宽度，他先站在河边的C点面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边A点，然后他姿势不变原地转了180°，正好看见他所在岸上的一块石头B点，他度量出BC＝30米，于是小明测出河宽为30米．
5．小明想测量一下马戏团中钢丝间的距离，他爸爸帮他想了一个好办法，把两根草绳AB，CD中点O连在一起，将绳子拉直，只要测出BD间的距离，就可以知道钢丝AC间距离了，你能说出其中的道理吗？
解：利用“SAS”说明两个三角形
全等．
在△AOC和△BOD中，
OA＝OB，∠AOC＝∠BOD，
CO＝DO，
所以△AOC≌△BOD(SAS)．
所以AC＝BD.
6．(朝阳中考)某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；
③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
④测得DE的长就是河宽AB.
请你说明他们做法的正确性．
解：由作法知：在Rt△ABC和Rt△EDC中，
∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，
所以Rt△ABC≌Rt△EDC(ASA)．
所以AB＝ED，
即他们的做法是正确的．
7．公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图，其中AB∥CD.在AB，BC，CD三段路旁各有一小石凳E，M，F，M恰为BC中点，且E，F，M在同一条直线上，在BE段道路上停放了一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？说明其中的道理．
解：测出CF的长即为BE的长．
由道路AB∥CD可知∠B＝∠C.
又因为M为BC中点，所以BM＝CM.
又因为∠EMB＝∠FMC，
所以△EMB≌△FMC(ASA)．
所以BE＝CF.
02 中档题
8．(绍兴中考)如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是(D)
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
9．阅读理解题：某校七(1)班学生到野外进行数学活动，为测量一池塘两端A，B的距离，设计了如下两种方案：(Ⅰ)如图1，先在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB的长；(Ⅱ)如图2，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．问：
图1 图2
(1)方案(Ⅰ)是否可行？可行，理由是SAS；
(2)方案(Ⅱ)是否可行？可行，理由是ASA；
(3)方案(Ⅱ)中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是构造全等三角形，若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案(Ⅱ)成立(填“成立”或“不成立”)．
10．你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′，BB′有何数量关系？为什么？
解：AA′＝BB′.
理由：因为O是AB′，A′B的中点，所以OA＝OB′，OB＝OA′.
又因为∠A′OA＝∠B′OB，
所以△A′OA≌△BOB′(SAS)．
所以AA′＝BB′.
11．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上的同一位置A点，另一端分别固定在地面上的两个木桩B，C上(绳结处的误差忽略不计)，现在只有一把卷尺，如何检验旗杆是否垂直于BC？请说明理由．
解：用卷尺测量DB，DC的长，看它们是否相等，若DB＝DC，则AD⊥BC.
理由：因为AB＝AC，BD＝CD，DA是公共边，
所以△ADB≌△ADC(SSS)．
所以∠ADB＝∠ADC.
又因为∠ADB＋∠ADC＝180 °，
所以∠ADB＝∠ADC＝90 °，
即AD⊥BC.
12．(宜昌中考改编)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，OB＝OD.AC，BD相交于点O，OD⊥CD垂足为D.已知AB＝20米．请根据上述信息求标语CD的长度．
解：因为AB∥CD，所以∠ABO＝∠CDO.
又因为OD⊥CD，所以∠CDO＝90 °.
所以∠ABO＝90 °，即OB⊥AB.
在△ABO和△CDO中，
∠ABO＝∠CDO，OB＝OD，∠AOB＝∠COD，
所以△ABO≌△CDO(ASA)．
所以CD＝AB＝20米．
