课件10张PPT。1 因式分解北师大版 八年级下册第四章 因式分解积和和积因式分解把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形就叫做因式分解．新知应用下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？
哪些不是因式分解？为什么？ （1）（ ）（3）（2）（4）（5）（6）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）是是不是不是不是不是和积因式分解把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形就叫做因式分解．多项式整式的乘积因 式 分 解1、等式左边是一个多项式（和）2、等式右边是几个整式的积3、因式分解是一个恒等变形4、因式分解在实数范围内要分解到不能再分解为止ma+mb+mc多项式m(a+b+c)整式的积分解因式整式乘法因式分解与整式乘法是互逆过程因式分解与整式乘法的关系= 1、将下列代数式因式分解。(1)(2)(3)(x-2)23.自己设计一道整数乘法的计算，并算出一个多项式。把你的所得的多项式给你的同桌进行多项式的因式分解。例如：1、你今天获得了什么样的知识？2、你学会了用什么样的方法来理解和掌握今天的概念？3、谈谈你明天的打算？1.从教材习题中选取
2.完成练习册本课时的习题聪明在于学习，天才在于积累。所谓天才，实际上是依靠学习。——华罗庚课件15张PPT。2 提公因式法北师大版 八年级下册观察下列各式的结构有什么特点：⑴ 5×3＋5×(-6)＋5×2 ⑵ 2πR＋2πr⑶ ma＋mb⑷ cx－cy＋cz⑴ 5×3＋5×(-6)＋5×2 ⑵ 2πR＋2πr⑷ cx－cy＋cz公共特点：各式中的各项都含有一个相同的因数或因式 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。⑶ ma＋mb 1) a c+ b c
2)3x2 +9xy
3) a2b – 2ab2 + ab
4) 4xy2-6xy+8x3y（1）确定下列各多项式中的公因式。c 3x ab 2xy（2）多项式中的公因式是如何确定的？(交流探索）正确找出多项式各项公因式的关键是：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 （当系数是整数时）定系数：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。相同字母的指数取各项中字母的最低次幂。定字母：定指数：归纳总结 （1） 3x+x3例1、将下列各式分解因式：解：原式 =x · 3+x · x2=x(3+x2)（2）7x3 - 21x2（3） 8a3b2 -12ab3c+ab解：原式=7x2 · x-7x2 · 3 =7x2(x-3)
解：原式=ab · 8a2b-ab · 12b2c +ab · 1=ab(8a2 b-12b2c+1)（4） – 24x3 –12x2 +28x 解：原式= -（24x3+12x2-28x）= -（4x · 6x2+4x · 3x-4x · 7）= -4x（ 6x2+3x- 7） 1.找 2 x 2 + 6 x3 的公因式。定系数2定字母x 定指数2所以，公因式是 2 x22 x2 + 6 x3 = 2 x2 (1 +3 x) 如果一个多项式的各项含有公因式，那么
就可以把这个公因式提出来，从而将多项式
化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的
方法叫做提公因式法。2 x2 + 6 x3 = 2 x2 (1 +3 x)2.把下列多项式分解因式：
（1）12x2y+18xy2； （2）-x2+xy-xz；
（3）2x3+6x2+2x
现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：
你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
甲同学：
解:12x2y+18xy2 =3xy(4x+6y)乙同学：
解:-x2+xy-xz
=-x(x+y-z)丙同学：
解:2x3+6x2+2x
=2x(x2+3x)正确不正确，提取“-”时，第二、三项未变号不正确，正确应为x2+3x+13.把下列各式分解因式：（1）4kx-8ky
（2）a2 b-2ab2 +ab
（3）-3ma3 +6ma2 -12ma4k（x-2y）ab（a-2b +1）-3ma（a2 -2a +4 ）4.已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.a2b+ab2 =ab(a+b) =3×5
=152、确定公因式的方法：3、用提公因式法分解因式的步骤：1、什么叫公因式、提公因式法？4、用提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽；（2）小心漏项;（3）首项为负与众不同。第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 第三步，把多项式化成两个因式乘积的形式。1)定系数 2)定字母 3)定指数1.从教材习题中选取
2.完成练习册本课时的习题书籍是人类知识的总统。——莎士比亚课件20张PPT。章末复习
北师大版 八年级下册因式分解定义: 把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?分解因式与整式乘法是互逆过程 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是
整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)
的变形与上面的变形互为逆过程.请指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式.
(1)x2－2=(x+1)(x－1)－1
(2)(x－3)(x+2)=x2－x+6
(3)3m2n－6mn=3mn(m－2)
(4)ma+mb+mc=m(a+b)+mc
(5)a2－4ab+4b2=(a－2b)2答案：（3） （5）
我们学习了哪些因式分解的方法？1、提取公因式法2、运用公式法平方差公式完全平方公式提取公因式的时候我们应该注意什么问题？提取多项式中各项相同整式的最低次幂1、提公因式法 提公因式法2、分解因式的时候可用的公式有哪些呢？a2－b2 = (a+b)(a-b)利用平方差公式分解因式3、=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)=(3m+n)(m+3n)4、思考：如何运用完全平方公式分解下列因式？原式=5、原式=创新训练： 6、关于x的多项式2x2－11x＋m分解因式后有一个因式是x－3，试求m的值。 解：令原式＝（x－3）A。当x＝3时，右边＝0，把x＝3代入左式应有2×3－11×3＋m＝0，故m＝15。27、已知a为正整数，试判断a＋a是奇数还是偶数，请说明理由。解：因为a＋a＝a（a＋1）中，a，a＋1是连续两个整数，其必为一奇一偶，故而它们的乘积必是偶数。228、已知关于x的二次三项式3x－mx＋n分解因式的结果式（3x＋2）（x－1），试求m，n的值 。29、999－999能被998整除吗？能被998和1000整除吗？为什么？ ３解：∵999－999=999（999－1）=999×（999－1）×(999+1)=999×998×1000
∴999－999能被998整除，也能被998和1000整除.３２３分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式
的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
1.从教材习题中选取
2.完成练习册本课时的习题“先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。”。 —— 陶行知课件21张PPT。第1课时 用平方差公式进行因式分解北师大版 八年级下册3 公式法想一想 灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,再继续租给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊这是为什么吗?相等吗？原来现在面积变了吗？a2(a+5)(a-5)a2a2－25①（x ＋ 4)( x－4）
②（1 ＋ 2a)( 1－2a）
③（m＋ 6n)( m－6n）
④（5y ＋ z)(5y－z）算一算，比一比，看谁算得又快又准②（1 ＋ 2a)( 1－2a）=1 －4a2③（m＋ 6n)( m－6n)=m2 － 36n2④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2①（x ＋ 4)( x－4）=x2 － 16它们的结果有什么特点？x2 － 4212－(2a)2m2 － (6n)2(5y)2 － z2平方差公式：(a+b)(a?b)=a2?b2两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
公式变形:1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b22、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2 相同为a 相反为b适当交换合理加括号平方差公式注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等． 口答下列各题：
（l）(-a+b)(a+b)= _________
（2）(a-b)(b+a)= __________
（3）(-a-b)(-a+b)= ________
（4）(a-b)(-a-b)= _________a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)找一找、填一填aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-12 0.3x1(0.3x)2-12(a-b)(a+b)例1.把下列各式因式分解：（1）25 - 16x2；（2）9a - b2；解：（1）25 - 16x2 = 52 - (4x)2
= (5 + 4x)(5 - 4x)例2.把下列各式因式分解：（1）9(m+n)2 – (m-n)2； 解： 9(m+n)2 – (m-n)2
= [3(m+n)] 2 - (m-n)2
= [3(m+n)+(m-n)][3(m+n)+(m-n)]
= (3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
= 4(2m+n)(m+2n)（2）2x3 – 8x； 解： 2x3 – 8x = 2x(x2-4)
= 2x(x2-22)
= 2x(x+2)(x-2)1、用平方差公式计算
(1)（3x+2y)(3x-2y)解：原式＝ (3x)2 -(2y)2＝9x2 - 4y21、先把要计算的式子与公式对照; 2、哪个是 a , 哪个是 b.ab(2 )(-7+2m2)(-7-2m2).解：原式=(-7)2－(2m2)2= 49－4m4ab2 计算:
(1) 803×797;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .解: (1) 803×797(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)= 8002-32=640 000 – 9 =（800＋3）(800－3)=639 991= y2-22-(y2+4y-5)= y2-4-y2-4y+5= - 4y + 1.（1）(a+3b)(a-3b)=4 a2-9=4x4-y2=(2a+3)(2a-3)=a2 - 9b2=(2a)2-32 =(-2x2 )2-y2 =(50+1)(50-1)=502－12 =2500-1=2499=(9x2-16) －(6x2+5x -6)=3x2-5x - 10=(a)2 - (3b)2 （2）(3+2a)(-3+2a)（3）51×49（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)（4）(-2x2-y)(-2x2+y)相信自己 我能行！1.利用平方差公式计算：2、利用平方差公式计算:（a-2)(a+2)(a2 + 4)
解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16
3.化简(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)解：原式= (x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=(x4-y4)(x4+y4)=(x8-y8)
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2相反为b 相同为a 适当交换合理加括号平方差公式1.从教材习题中选取
2.完成练习册本课时的习题我们愈是学习，愈觉得自己的贫乏。 —— 雪莱课件16张PPT。第2课时
用完全平方式进行因式分解北师大版 八年级下册 由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.如:完全平方公式现在我们把这
个公式反过来 很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”下列各式是不是完全平方式是是否是否辨明“是非”完全平方式的特点：1、必须是三项式2、首尾平方乘积二倍 3、平方项符号相同一般地,利用公式
a2-b2 =(a+b)(a-b),
或(a2+2ab+b2)=(a+b)2
把一个多项式分解因式的方法,叫做公式法.公式中的a, b可以是数,也可以是整式.例1、请运用完全平方公式把下列各式分解因式：例2、分解因式: (2x+y)2-6(2x+y)+9解:原式=(2x+y)2-2.(2x+y).3+32=[(2x+y)-3]2=(2x+y-3)2注意:本例把2x+y看作是一个整体,或者说设2x+y=a,这种数学思想称为换元思想.
例3、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
例4、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3 BB1、把 分解因式得（ ）
A、 B、
C、 D、
2、计算 的结果是（ ）
A、 1 B、-1
C、 2 D、-2CA3.下列多项式是不是完全平方式？
(1) a2－4a+4;
(2)1+4a2;
(3) 4b2+4b－1 ;
(4)a2+ab+b2.是，可化为(a-2)2不是不是不是 4.分解因式：
(1) x2+12x+36; (2) －2xy－x2－y2;
(3) a2+2a+1; (4) 4x2－4x+1;
(5) ax2+2a2x+a3; (6) －3x2+6xy－3y2.【归纳】因式分解的一般步骤
（1） 先提公因式（有的话）；
（2） 利用公式（可以的话）；
（3） 分解因式时要分解到不能分解为止.5、多项式:
(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗?
6、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：
x4+4x2+( )解：原式=(x+y)2-2（x+y) (x-y) +(x-y)2
=〔（x+y)-(x-y)〕2=4y241、是一个二次三项式2、首尾平方乘积二倍 3、平方项符号相同完全平方式的特点：1.从教材习题中选取
2.完成练习册本课时的习题为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可的独立人格。 —— 戴尔·卡耐基第四章 因式分解单元测试
一、选择题（每小题4分，共40分）
1、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A、 ； B、；
C、； D、；
2、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A、； B、； C、； D、；
3、多项式的公因式是( )
A、； B、； C、； D、；
4、如果是一个完全平方式，那么k的值是（??? ）
A、?15?；????B、?±5；?? C、??30；???? D、?±30；
5、下列多项式能分解因式的是 ( )
A、a2-b； B、a2+1； C、a2+ab+b2； D、a2-4a+4；
6、若，则E是（ ）
A、； B、； C、； D、；
7、下列各式中不是完全平方式的是( )
A、；B、；C、； D、；
8、把多项式分解因式等于（ ）
A、； B、； C、m(a-2)(m-1)； D、m(a-2)(m+1)；
9、已知多项式分解因式为，则的值为（ ）
A、； B、； C、； D、
10、在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）.把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）.通过计算图形（阴影部分）的面积,验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A、
B、
C、
D、
二、填空题（每空3分，满分30分）
1、24m2n+18n的公因式是________________；
2、分解因式x(2－x)+6(x－2)=_________________；(x2+y2)2－4x2y2=________________；
3、x2－y2=（x+y）·（ ____ ）；
4、在括号前面填上“＋”或“－”号，使等式成立：
（1）； （2）。
5、加上 可以得到；
6、如果
7、简便计算：
三、完成下列各题（每小题4分，共24分）
1、分解因式（4×4=16分）
① ②121x2－144y2
③ ④
2、不用计算器求出下列式子的值（4×2=8分）
（1）、； （2）、
四、（6分）已知一个矩形的面积是，长与宽的比是4:3，求这个矩形的周长。
答案
一、选择题
BDBDD CCCDA
二、填空题
1、6n 2、（x－2）（6－x）； （x－y）2（x＋y）2； 3、
4、＋ ＋ 5、xy 6、0，10 7、45.8
三、1、；；；
2、2005，—102005；
四、＝
所以长为，宽为，周长为
第四章 因式分解
1因式分解
【知识与技能】
使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力.
【过程与方法】
认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.
【情感态度】
培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度.
【教学重点】
因式分解的概念.
【教学难点】
难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法.
一.情景导入，初步认知
下题简便运算怎样进行？
问题1：736×95+736×5
问题2：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫.
二.思考探究，获取新知
问题：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)
∴993-99能被99整除.
(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100
所以993-99能被100整除.
想一想：
（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？
（2）请你说明小明每一步的依据.
（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？
【教学说明】
老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？
【归纳结论】
以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.
可以了解:993-99可以被98、99、100三个连续整数整除.
将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?
学生探究发现：用a表示任意一个大于1的整数，则：a3-a=a×a2-a=a×(a2-1)=a×(a+1)(a-1)=(a-1)×a×(a+1)
能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？
这样变形是为了达到什么样的目的？
【教学说明】
经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性.
【归纳结论】
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式.
三.运用新知，深化理解
1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab；
（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）；
（3）a2－4=（a+2）(a－2）；
（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
答案：（2）（3）是因式分解.
2.试将下列各式化成几个整式的积的形式
（1）3x2-2x=______- (2)m2-4n2 =____
答案：（1）x(3x-2) （2）(m+2n)(m-2n)
3.分解因式.
4m2-4m=______ 2a3+2a=______ y2+4y+4=______
答案：4m(m-1) 2a(a2+1) (y+2)2
4.如果a+b=10,ab=21,则a2b+ab2的值为.
答案：210.
5.如果a-3b=-3,那么5-a+3b的值是（ ）
A.0 B.2 C.5 D.8
答案：D.6.9993-999能被998整除吗？能被1000整除吗？
解：9993-999=999（9992-1）=999（999+1）（999-1）=999×1000×998所以9993-999能被998整除，能被1000整除。
【教学说明】
通过练习，使学生理解因式分解与整式乘法的区别.
四.师生互动，课堂小结
1.你能说说什么是分解因式吗？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
2.应该怎样认识“因式分解”？
（分解因式与整式乘法是互逆过程.）
3.分解因式要注意以下几点：分解的对象必须是多项式；分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；要分解到不能分解为止.
五.教学板书
布置作业:教材“习题4.1”中第1、2 题.
根据课下学生的反馈情况来看，本节课的教学设计基本上达到了预期的目的.学生对因式分解有了清晰的认识,理解了因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并基本掌握了这种关系寻求因式分解的方法．还有个别学生虽然会判断哪些是因式分解，但在寻求因式分解的方法上还存在一定的困难.在下一课时，我将针对本课时所反馈的情况，调整侧重点，争取让所有的学生能对因式分解有更进一步的学习.
第四章 因式分解
章末复习
【知识与技能】
掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，及在实数范围内分解因式的运用，培养学生简便运算和应用因式分解解决数学问题的能力.
【过程与方法】
通过寻求乘法公式与因式分解的关系，理解因式分解的含义.
【情感态度】
通过因式分解的学习，体会整体数学思想和转化的数学思想.
【教学重点】
熟练运用各种方法来进行因式分解.
【教学难点】
因式分解各种方法的综合运用，利用因式分解解决数学问题.
一.知识结构
【教学说明】
引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系
二、释疑解惑，加深理解
1.因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2.提公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
3.公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.
（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
【教学说明】
(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算;
(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.
三、典例精析，复习新知
1.下列变形是否是因式分解？为什么，
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；
(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
【解析】
(1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其正确性.
(2)不是因式分解，不满足因式分解的含义;
(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等;
(4)不是因式分解，是整式乘法.
2.下列变形是否正确？为什么？
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；
(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；
(3)x2-2x-1=(x-1)2.
【解析】
(1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解.
(2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解.
(3)不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解.
3.用提公因式法将下列各式因式分解.
(1)ax-ay； (2)6xyz-3xz2；
(3)-x3z+x4y； (4)36aby-12abx+6ab；
(5)3x(a-b)+2y(b-a)； (6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).
【解析】
(1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中(5)题把b-a化成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式.
解：(1)ax-ay=a(x-y); (2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z);
(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy); (4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1);
(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y);
(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)
=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)
=(m-x)(m-y)(x-m)
=-(m-x)2(m-y).
4.用公式法分解因式.
(1)m2+2m+1；(2)9x2-12x+4；(3)1-10x+25x2；
(4)(m+n)2-6(m+n)+9;（5）4x2-9.
解：(1) m2+2m+1=(m+1)2; (2) 9x2-12x+4=(3x-2)2;
(3) 1-10x+25x2=(1-5x)2;
(4) (m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2;
(5) 4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).
5.分解因式.
(1)x3-2x2+x；(2)(a+b)2-4a2；(3)x4-81x2y2；
(4)x2(x-y)+y2(y-x)；(5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.
解：
(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2;
(2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a);
(3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y);
(4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2;
(5)( a+b+c)2-(a-b-c)2=［(a+b+c)+(a-b-c)］［(a+b+c)-(a-b-c)］
=2a·(2b+2c)=4a(b+c).
【教学说明】
基础习题的练习，增强学生对于上面知识点的理解，也有利于学生发现自己的学习漏洞，及时弥补，同时也为本节课做了一个很好的知识铺垫.
四、复习训练，巩固提高
1.若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=_______.
分析： 完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
解析：∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2，
∴kxy=±2·3x·6y=±36xy. ∴k=±36.
2.利用因式分解计算下列各题.
(1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9；
(2)20022-4006×2002+20032；
(3)5652×11-4352×11；(4)(5)2-(2)2.
解：(1)原式=1999；(2)原式=1；
(3)原式=1430000； (4)原式=28.
3. 计算
4.解方程组
分析：本题是一个二元二次方程组，就目前的知识水平来说，用代入消元法或加减消元法来解是困难的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x2-4y2=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5，再把x-2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中，即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出.
解：由①得(x+2y)(x-2y)=5，③把②代入③中得x+2y=5，④
∴原方程组化为
②+④得2x=6，∴x=3.
②-④得4y=4，∴y=1.
∴原方程组的解为
5.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
解：x3y-2x2y2+xy3=xy(x2-2xy+y2)=xy(x-y)2.
当x-y=1，xy=2时，原式=2×12=2.6.已知x-y=2，x2-y2=6，求x与y的值.
解：∵x2-y2=6,∴(x+y)(x-y)=6.
又∵x-y=2，①
∴x+y=3.②.
7.求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.
证明：设这四个连续自然数依次为n，n+1，n+2，n+3，则
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2
∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数.
【教学说明】
这些训练题有一定的难度，应对学生分层教学.
五、师生互动，课堂小结
解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公因式后，在考虑能否用公式法，最后，直到每一个因式都不能再分解为止.
布置作业:教材“复习题”中第1、3、4、7、9题.
（1）对象：因式分解是把一个多项式进行恒等变形；
（2）方向：因式分解与整式的乘法是互逆的过程，具有方向性；
（3）目标：是要把一个多项式化成几个整式的乘积；
（4）最终：把一个多项式分解到不能再分解为止．第五章分式与分式方程
2提公因式法
第1课时 公因式为单项式的因式分解
【知识与技能】
理解公因式和提公因式法的概念，会用提公因式法进行公因式为单项式的因式分解.
【过程与方法】
通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想.
【情感态度】
通过对公因式是单项式的因式分解的教学，体会提公因式法.
【教学重点】
掌握提公因式法的一般步骤.
【教学难点】
用提公因式法分解公因式为单项式的多项式.
一.情景导入，初步认知
采用什么方法？依据是什么？
【教学说明】
由乘法分配律的逆运算过渡到因式分解，从提取的公因式是一个单项式，进一步发展学生的类比思想.
二.思考探究，获取新知
1.多项式ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？
【归纳结论】多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．
2.多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？那多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？
【归纳结论】
（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
3.将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：
（1）ab+ac
（2）x2+4x
（3）mb2+nb-b
【归纳结论】
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
【教学说明】
由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力.
三.运用新知，深化理解
1.见教材P95例1.
2.因式分解：3x(x－2)－(2－x)
解：3x(x－2)－(2－x)=3x(x－2)+(x－2)=(x－2)(3x+1)
3.计算：(－2)11+(－2)10的结果是（ ）
A. 2100 B. －210 C. －2 D. －1
答案：B.
【教学说明】
四.师生互动，课堂小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
五.教学板书
布置作业:教材“习题4.2”中第1、2 题.
本课时运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受提取公因式法时，由提公因数到找公因式，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解.
3 公式法
第1课时 用平方差公式进行因式分解
【知识与技能】会用平方差公式进行因式分解.
【过程与方法】经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性.
【情感态度】在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.
【教学重点】掌握公式法中的平方差公式进行分解因式.
【教学难点】灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式,正确判断因式分解的彻底性.
一.情景导入，初步认知
填空：
（1）（x+5）（x-5）=________；
（2）（3x+y）（3x-y）=________；
（3）（3m+2n）（3m-2n）=________________
它们的结果有什么共同特征？
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
x2－25=________; 9x2－y2=_______; 9m2－4n2=______.
【教学说明】
对平方差公式进行复习，利于本节课的教学.
二.思考探究，获取新知
1.观察下列过程，谈谈你的感受.
将多项式a2-b2进行因式分解:
∵（a+b）(a-b)=a2-b2
整式乘法
∴a2-b2=（a+b）(a-b)
因式分解
【归纳结论】
整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法.这种分解因式的方法称为运用公式法.
2.找特征
a2-b2=(a+b)(a-b)
(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）2－（ ）2的形式.
(2)公式右边:（是分解因式的结果）分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.
三.运用新知，深化理解
1.见教材P99例1、例2
2.下列多项式能转化成（ ）2－（ ）2的形式吗？如果能，请将其转化成（ ）2－（ ）2的形式.
（1）m2－81=m2－92;
（2）1－16b2=12－(4b)2;
（3）4m2+9;
（4）a2x2－25y2=(ax)2－(5y)2;
（5）－x2－25y2.
3.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2
答案：B
4.(x＋1)2－9(x－1)2
解：原式=4(2x－1)(2－x)
5.将下列各式分解因式
（1）a2b2-a2c2=a2（b2-c2）=a2（b+c）（b-c）；
（2）-x5y3+x3y5=x3y3（-x2+y2）=x3y3（x+y）（-x+y）
（3）（a+b）2-9（a-b）2=［（a+b）+3（a-b）］［（a+b）-3（a-b）］=（a+b+3a-3b）（a+b-3a+3b）=（4a-2b）（4b-2a）=4（2a-b）（2b-a）；
（4） p4－1=（p2+1）（p2－1）=(p2+1)(p-1)(p+1).
6.若a＋b=2011,a－b=1,求a2－b2的值.
解：a2－b2=（a＋b）（a－b）=2011×1=2011
7.简便计算.(1)5652－4352=（565+435）（565-435）=1000×130=130000.
【教学说明】
在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现的错误情况.
四.师生互动,课堂小结
1. 本节课我们主要学习了,运用平方差公式进行因式分解，利用平方差公式时,先判断能否使用平方差公式进行因式分解，判断的依据：
1) 是一个二项式（或可看成一个二项式）；
2)每项可写成平方的形式；
3)两项的符号相反.
2.在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后再用平方差公式分解因式.
3.分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止.
五.教学板书
布置作业:教材“习题4.4”中第1、2 题.
本节课下来能很好地完成了课前设定的目标，学生能利用平方差公式来进行因式分解.学生在课堂上和老师的互动也比较好。在教学过程中，教师应该语言流畅、教态亲切、语速合适、设计合理、设计中小步骤.当然,本节课也存在一些问题，其中比较突出的就是在例题的安排上对题目的把握不是很好.把所有类型的利用平方差进行因式分解的题型在同一道例题中出现，对于刚接触这种方法的学生来说要求过高，也违背了小步骤教学的教学特点.
第2课时 公因式为多项式的因式分解
【知识与技能】
让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解.
【过程与方法】
通过多项式因式分解，领悟把公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律.
【情感态度】
通过对公因式是多项式时的因式分解的教学，培养“换元”的意识.
【教学重点】
用提公因式法把多项式分解因式.
【教学难点】
准确找出公因式，并能找出公因式.
一.情景导入，初步认知
1.公因式的定义.?
2.把下列各式分解因式.?
（1）8mn2+2mn
（2）a2b-5ab+9b
（3）-3ma3+6ma2-12ma
（4）-2x3+4x2-8x
【教学说明】回顾上一课时提取单项式公因式的方法的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础，以板演的形式让学生回忆提取公因式的方法与步骤，使学生真正理解基本方法和步骤.
二.思考探究，获取新知
探究：因式分解：（1）a（x-3）+2b（x-3）（2）y（x+1）+y2（x+1）2
【教学说明】引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取多项式公因式.由于题中很明显地表明，多项式中的两项都存在着（x-3），通过观察，学生较容易找到第一题公因式是（x-3），而第二题公因式是y（x+1），并能顺利地进行因式分解.
三.运用新知，深化理解
1.见教材P97例2、例3.
2.因式分解：3x(x－2)－(2－x)
解：3x(x－2)－(2－x)=3x(x－2)+(x－2)=(x－2)(3x+1)
3.因式分解a(a－b)3+2a2(b－a)2－2ab(b－a)2
解：原式=a(a－b)3+2a2(a－b)2－2ab(a－b)2
=a(a－b)2［(a－b)+2a－2b］
=a(a－b)2(3a－3b)
=3a(a－b)3
4.已知x、y都是正整数，且x(x－y)－y(y－x)=12，求x、y.
解：∵x(x－y)－y(y－x)=12∴(x－y)(x+y)=12
∵x、y是正整数∴12分解成1×12，2×6，3×4
又∵x－y与x+y奇偶性相同，且x－y【教学说明】这个问题的关键是把式子化成两个式子相乘的形式，而且要找出12的约数.
四.师生互动，课堂小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
五.教学板书
布置作业:教材“习题4.3”中第1、2 题.
学生们通过本节课的学习已经能准确的找出公因式，并用提公因式法分解因式，但是在学习的过程中，我发现学生们还存在以下几个不足之处：
1.因式分解结果的书写不符合代数式的书写规范.当结果是几个因式的积时，应把单项式写在前面，多项式写在后面.
2.因式分解最后的结果应该以最简的形式展现，有相同因式的，要写成幂的形式.提公因式后，还有同类项的，一定要合并.
3.提取公因式一定要一次性提取完整，不能只看相同的因式，也要注意系数，应该取各项系数的最大公约数.
4.遇到互为相反数的因式有的学生不能很好的处理.遇到互为相反数的项，先转化，再提公因式，转化原则：变后不变前,变偶不变奇,变少不变多.
第2课时 用完全平方公式进行因式分解
【知识与技能】
使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，然后再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式.
【过程与方法】
经历整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力.
【情感态度】
培养学生灵活运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值.
【教学重点】
掌握公式法中的完全平方公式进行分解因式
【教学难点】
灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性问题.
一.情景导入，初步认知
完全平方公式
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方.
【教学说明】
对完全平方公式进行复习，为本节课的教学作准备.
二.思考探究，获取新知
形如的多项式称为完全平方式.
【归纳结论】
我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫公式法.
三.运用新知，深化理解
1.见教材P101例3、例4
2.判别下列各式是不是完全平方式．
(1)x2+y2; (2)x2+2xy+y2; (3)x2-2xy+y2; (4)x2+2xy-y2 (5)-x2+2xy-y2.
答案：（2）（3）（5）是完全平方式
3.当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．
答案: 8或－2
4.分解因式：-8ax2+16axy-8ay2
解：原式=-8a（x2-2xy+y2）=-8a（x-y）2
5.分解因式：（a2+1）2-4a2
解：原式=（a2+1+2a）（a2+1-2a）=（a+1）2（a-1）2
6.分解因式:（a2-4a+4）-c2
解：原式=（a-2）2-c2=（a-2+c）（a-2-c）
7.（x+3y）2+（2x+6y）（3y-4x）+（4x-3y）2
解：原式=（x+3y）2-2（x+3y）（4x-3y）+（4x-3y）2=（x+3y-4x+3y）2 =(-3x+6y)2=9(x-2y)2
8.一天,小明在纸上写了一个算式为4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”
解： 4x2 +8x+11=（2x+2）2+7
∵（2x+2）2+7≥0∴无论x取何值,这个代数式的值都是正值
【教学说明】
在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：
（1）有公因式，先提公因式；
（2）再用公式法进行因式分解.
四.师生互动,课堂小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？
五.教学板书
布置作业:教材“习题4.5”中第1、2 题.
因式分解虽然与整式的乘法是互逆运算，但是对于学生而言，它是一个新的知识，学生在前面的学习中虽然已经掌握平方差公式和完全平方公式，然而受思维定势的影响，学生对公式的逆用会产生混淆，学生的惯性思维是：平方差公式是（a+b）（a-b）=a2-b2，完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2，一旦要将公式逆向，部分学生就比较难以接受，特别是学习能力较弱的学生，难度就更大一些。在练习中，根据学生的个体差异，有效分层，开展课内技能训练，让每个学生都学有所成.
