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湘教版数学八年级下册1.4三元一次方程组教学设计
课题 1.4三元一次方程组 单元 第一章 学科 数学 年级 七年级下
学习目标 知识目标：（1）了解三元一次方程的概念；（2）会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决（3）能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法
重点 三元一次方程组的解法及消元思想
难点 根据方程组的特点，选择适合的消元法进行消元。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问题：1.什么是二元一次方程组，其中“元”和“次”又分别代表什么意思？2.二元一次方程组有哪些解法？1.“元”代表未知数；“次”代表未知数的次数2.解二元一次方程组可以用代入法和加减法 教师提出问题，学生思考并尝试回答。 通过已学知识的问题引入课题，引导学生思考，巩固旧知，引发新知。
讲授新课 问题：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的数量是2 元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.问题：小丽家三口人的年龄之和为80岁，小丽的爸爸比妈妈大6岁，小丽的年龄是爸爸与妈妈年龄和的.问这家人的年龄分别是多少岁 ：可建立二元一次方程组来解决.设爸爸的年龄为x岁，小丽的年龄为y岁，则妈妈的年龄为（x-6）岁.根据题意得：解上述方程组得x=38，y=10.因此爸爸的年龄为38岁，妈妈的年龄为32岁，小丽的年龄为10岁.想一想，还有其他的方法列方程组求解吗？因为要求三个人的年龄，所以可设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，小丽的年龄为z岁.根据题意得： x+y+z=80， x-y=6， x+y=7z. 三人的年龄必须同时满足上述三个方程，所以，我们把这三个方程联立在一起写成： x+y+z=80， x-y=6， x+y=7z. 问题：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的数量是2 元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.（1）这个问题中包含有_______个相等关系：（2）这个问题中包含有_______个未知数:总结：可以发现，这个方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.在三元一次方程组中，适合每一个方程的一组未知数的值，叫做这个方程组的一个解.练习：判断下列方程组是不是三元一次方程组？(1) (2)(3) (4)思考：解二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，使其转化为一元一次方程来求解，那么我们在解三元一次方程组时，能不能同样利用代入法或加减法来消去一个或两个未知数，使其转化为二元一次方程组或一元一次方程呢？现在我们来解下面的三元一次方程组：从上面解方程组的过程可以看出，解三元一次方程组的基本思想是：先消去一个未知数，将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解二元一次方程.消元的基本方法仍然是代入法和加减法.【例】解三元一次方程组：分析：通过观察发现，z或y的系数较为简单，可以先下去消去z或y来求解.讨论：解三元一次方程组注意什么？注：如果三个方程中有一个方程是二元一次方程，则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中这个二元一次方程组中缺少的那个元。缺某元，消某元。在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注意选择最恰当、最简便的方法。练习：解下列方程组：给出两种解法。 教师引导学生运用已学知识，分析题目中条件；选取合适的未知量设为未知数；找出题干中的等量关系，根据等量关系列出二元一次方程组，即可解答问题。通过探究问题进一步引导学生思考：还有其他的方法列方程组求解吗？通过对问题的不同解答方法，引入新知——三元一次方程组，只是学生还不明确三元一次方程组的概念。通过方程组的形式，引导学生初步认识三元一次方程组的形式。通过类似问题的引导回答，帮助学生明确三元一次方程组的含义。教师引导学生总结归纳三元一次方程组的概念。通过练习来巩固三元一次方程组的概念，帮助学生巩固新知，学以致用。在学习了三元一次方程组的基础上，引导学生解三元一次方程组，提示同学们通过类比解二元一次方程组的方法解三元一次方程组。通过案例解答三元一次方程组，进一步理解与熟悉解三元一次方程组的一般步骤。教师引导学生总结归纳解三元一次方程组的基本思想。通过练习来巩固三元一次方程组的概念，帮助学生巩固新知，学以致用。教师给出两种解法。 通过引导学生运用已学知识解答实际问题，回顾并巩固了用二元一次方程解决实际问题的一般过程与思路。通过实际案例的解答，引导学生逐步探究，巩固二元一次方程组解决实际问题的同时，也引入新知。通过队问题进行多种方法的解答，拓展了学生的思路，自然而然地引入了三元一次方程组。通过案例解答与整理思路，帮助学生建立列三元一次方程组的思路，并初步认识三元一次方程组。通过总结归纳，帮助学生把知识梳理、消元。通过练习帮助学生及时巩固知识，帮助学生把知识内化。通过类比法，引导学生类比解二元一次方程组的方法解三元一次方程组：用代入法或加减法消去一个未知数，逐步转化后再解答，带领学生体会“化归”这一数学思想。通过总结归纳，帮助学生把知识梳理、消元。通过练习帮助学生及时巩固知识，帮助学生把知识内化。主要强调一题可以多解，让学生在学会三元一次方程组的解法后，还能灵活处理问题。
课堂练习 1.已知x∶y∶z＝1∶2∶3，且x＋y＋z＝30， 则xyz＝________． 2.三元一次方程组的解是_______. 3.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成。如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个．请你为该厂设计一下，应该如何安排工人，才能使每天缝制出的衣袖，衣身，衣领正好配套． 通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知，训练学生举一反三的能力，并理解掌握二元一次方程组及解二元一次方程组 通过练习巩固本课所学，创设学生活动的机会，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。
课堂小结 通过本节课的内容，你有哪些收获？1.方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.2.解三元一次方程组的基本思想是：先消去一个未知数，将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解二元一次方程. 学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。 帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
板书 1.4三元一次方程组问题
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1.4三元一次方程组
一．选择题
1. 已知，则x+y+z的值是（ ）
A．80 B．40 C．30 D．不能确定 21·cn·jy·com
2．若3x-y-7=2x+3y-1=y-kx+9=0，则k的值为（ ）
A．3 B．-3 C．4 D．-4 2·1·c·n·j·y
3．三个二元一次方程2x+5y-6=0，3x-2y-9=0，y=kx-9有公共解的条件是k=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1 www.21-cn-jy.com
4．已知x+4y-3z=0，且4x-5y+2z=0，x：y：z为（ ）
A．1：2：3 B．1：3：2 C．2：1：3 D．3：1：2
5．如果方程组的解x、y的值相同，则m的值是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2 【来源：21·世纪·教育·网】
6．若二元一次方程3x-y=7，2x+3y=1，y=kx-9有公共解，则k的取值为（ ）
A．3 B．-3 C．-4 D．4
二．填空题
7．已知x+2y-3z=0，2x+3y+5z=0，则=_______．
8．在代数式ax2+bx+c中，当x=-1，1，2时，代数式的值依次是0，-8，-9，当x=10时，这个代数式的值是_____．21世纪教育网版权所有
9．若方程组中x和y值相等，则k=_____．
10．三元一次方程组的解为________.
三．解答题
11．已知△ABC的周长为48cm，最长边与最短边之差为14cm，另一边与最短边之和为25cm，求△ABC各边的长．21教育网
12．琪琪、倩倩、斌斌三位同学去商店买文具用品．琪琪说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元．”倩倩说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元．”斌斌说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格．21cnjy.com
参考答案：
一．选择题
1．B．
2．C．
3．B．
4．A．
5．B．
6．D．
二．填空题
7．．
8．55．
9．1．
10．.
三．解答题
11．解：设该三角形的最长边为xcm，最短边为ycm，另一边为zcm，
根据题意得：
解得：
解得：
答：△ABC的最长边为23cm，最短边为9cm，另一边长为16cm．
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1.4三元一次方程组
数学湘教 七年级下
问题：1.什么是二元一次方程组，其中“元”和“次”又分别代表什么意思？
导入新知
“元”代表未知数；“次”代表未知数的次数
解二元一次方程组可以用代入法和加减法
2.二元一次方程组有哪些解法？
问题：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的数量是2 元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.
新知讲解
（1）这个问题中包含有_______个相等关系：
（2）这个问题中包含有_______个未知数:
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张
1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍
1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元
1元、2元、5元纸币的张数
3
3
问题：小丽家三口人的年龄之和为80岁，小丽的爸爸比妈妈大6岁，小丽的年龄是爸爸与妈妈年龄和的 .问这家人的年龄分别是多少岁
新知讲解
可建立二元一次方程组来解决.设爸爸的年龄为x岁，小丽的年龄为y岁，则妈妈的年龄为（x-6）岁.根据题意得：
解上述方程组得x=38，y=10.
因此爸爸的年龄为38岁，妈妈的年龄为32岁，小丽的年龄为10岁.
想一想，还有其他的方法列方程组求解吗？
因为要求三个人的年龄，所以可设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，小丽的年龄为z岁.根据题意得：
x+y+z=80，
x-y=6，
x+y=7z.
新知讲解
三人的年龄必须同时满足上述三个方程，所以，我们把这
三个方程联立在一起写成：
新知讲解
含有三个未知数
含未知数的项次数都是1
新知讲解
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
在三元一次方程组中，适合每一个方程的一组未知数的值，叫做这个方程组的一个解.
总结：
定义
新知讲解
练习：判断下列方程组是不是三元一次方程组？
(1)
(2)
(3)
(4)
√
×
×
√
解二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，使其转化为一元一次方程来求解，那么我们在解三元一次方程组时，能不能同样利用代入法或加减法来消去一个或两个未知数，使其转化为二元一次方程组或一元一次方程呢？
新知讲解
思考：
现在我们来解下面的三元一次方程组：
①
②
③
我们把①、②两式相加得到一个只含x和z的二元一次方程，即2x+z=86.再把②、③两式相加又得到一个只含x和z的二元一次方程，即2x=6+7z.
由此可得到一个关于x，z的二元一次方程组：
新知讲解
把x=38，z=10代入①式，得 38+y+10=80，
新知讲解
因此，三元一次方程组的解为
解得 y=32.
解得
从上面解方程组的过程可以看出，解三元一次方程组的基本思想是：先消去一个未知数，将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
消元的基本方法仍然是代入法和加减法.
新知讲解
总结：
【例】解三元一次方程组：
分析：通过观察发现，z或y的系数较为简单，可以先下去消去z或y来求解.
①
②
③
新知讲解
解：②×4-①，得 7x-17z=4.
②-③，得 2x-5z=3.
两次转化都必须是消去同一个未知数.
由此得到
解这个二元一次方程组得
把x=-31，z=-13代入③式，得y=42.
所以原方程组的解为
新知讲解
新知讲解
做一做：请你用其他方法来解上例中的方程组
解： ①×4+②，得 23x+17y=1.
①-③，得 4x+3y=2.
由此得到
解这个二元一次方程组得
把x=-31，y=42代入③式，得z=-13.
所以原方程组的解为
新知讲解
讨论：解三元一次方程组注意什么？
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次方程，则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中这个二元一次方程组中缺少的那个元。缺某元，消某元。
在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注意选择最恰当、最简便的方法。
新知讲解
解下列方程组：
练习：
解：①-②，得 y-z=-5. ④
①
②
③
④+③，得2y= -2，所以y=-1.
将y=-1代入①，得x=2.
再将y=-1代入③，得z=4.
所以原方程组的解是
原方程组中有哪个方程还没有用到？
可不可以不用③
注意：在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的二元一次方程组过程中，原方程组的每一个方程一般都至少要用到一次。
新知讲解
也可以这样解：
解：①+ ② +③ ，得 2（x+y+z）=12. ④
即，x+y+z=6 ⑤
⑤ -①，得z=3
⑤- ②，得x=1
⑤- ③，得y=2
所以原方程组的解是
2． 三元一次方程组 的解是
_____________．
巩固提升
1．已知x∶y∶z＝1∶2∶3，且x＋y＋z＝30，
则xyz＝________．
750
巩固提升
3.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成。如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个．请你为该厂设计一下，应该如何安排工人，才能使每天缝制出的衣袖，衣身，衣领正好配套．
巩固提升
解：解设x个人缝制衣袖，y个人缝制衣身，z个人缝制衣领．
解方程组，得
答：衣袖、衣身、衣领：120人，40人，50人．
据题意有
课堂小结
先消去一个未知数，
将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组
再转化为解一元一次方程.
解三元一次方程组的基本思想是：
谢谢
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