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湘教版数学八年级下册2.1多边形（第一课时）教学设计
课题 2.1多边形（第一课时） 单元 1 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 通过对生活中数学问题的探究，进一步提高学数学、用数学的意识，在自主探究、合作交流的过程中，体会数学的重要作用，感受数学活动的重要意义和合作成功的喜悦，提高学生学习的热情。
能力目标 1、通过测量、类比、推理等数学活动，探索多边形的内角和的公式，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力。2、通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的应用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。3、通过探索多边形内角和公式，让学生逐步从实验几何过渡到论证几何.
知识目标 通过探究，归纳出多边形的内角和
重点 多边形内角和定理及其应用。
难点 如何引导学生把多边形通过不同方法分割三角形，并归纳出多边形内角和定理
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 请你欣赏观察你能从图中找出一些由首尾相连所组成的图形吗 学生解答问题 体验多边形的美，并为多边形的引出做铺垫，为下一步设置问题墙。
讲授新课 三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所形成的图形叫三角形 你能仿照三角形的定义给出多边形定义吗？多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形多边形以边数命名画一个四边形，并用正确的方法表示出来温馨提示：我们现在所学的是凸多边形，即多边形的各边都在任意一条边所在直线的同一侧多边形的相关概念组成多边形的各条线段叫作多边形的边相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫做正多边形各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形总结n边形有__个顶点，__条边，__个内角，____条对角线。请说出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：从同一顶点引出的对角线的条数：0 1 2 3 n-3分割出的三角形的个数：1 2 3 4 n-2总结n边形从一个顶点出发的对角线条数为： 条(n≥3)n边形共有对角线 条(n≥3)对角线是解决多边形问题的常用辅助线三角形的内角和等于180 °，四边形的内角和是多少度呢？从四边形的一个顶点出发，可以作_____条对角线，它们将四边形分为 个三角形，四边形的内角和等于180°×____= °．从五边形的一个顶点出发，可以作_____条对角线，它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和等于180°×____= °．从六边形的一个顶点出发，可以作_____条对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于180°×____= °．上.总结思考你能从五边形、六边形、七边形的内角和的研究过程获得启发，发现多边形的内角和与边数的关系吗？能证明你发现的结论吗？归纳从n 边形的一个顶点出发，可以作（n -3）条对角线，它们将n 边形分为（n -2）个三角形，这（n -2）个三角形的内角和就是n 边形的内角和，所以，n 边形的内角和等于（n -2）×180°．动脑筋你还可以用其他方法探究n边形的内角和公式吗？在n边形内任取一点O，与多边形各顶点连接， 把n边形分成n个三角形，用n个三角形的内角和 n· 180°减去中心的周角360°，得n边形的内角和为（n-2）· 180°.在n边形的边上任取一点O，与多边形各顶点连接， 把n边形分成n个三角形，用n个三角形的内角和 n· 180°减去中心的平角180°，得n边形的内角和为（n-2）· 180°. 例1、 (1)十边形的内角和是多少度？ (2)一个多边形的内角和等于1980°，它是几边形？练习：已知两个多边形的内角和为1440°，且两多边形的边数之比为1︰3，求它们的边数分别是多少？ 让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．教师参与此活动，并给学生以提示、启发学生观察图形，得出多边形的相关概念学生得出正多边形的概念以及性质，并总结出n边形的顶点，边，内角，对角线的个数让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．教师参与此活动，并给学生以提示、启发学生自主进行探究四边形，五边形，六边形的内角和，教师适时的进行提示学生填表并归纳出多边形内角和，教师巡视学生的结果让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路学生自主解答，教师适时的进行提示学生自主解答 通过三角形的定义的得出方法，由学生自己去发现结论．教师要有足够的耐心，要为学生的思考留有时间和空间．培养学生的数学抽象概括能力及理性精神.让学生体验成功通过动手画得出对角线的条数，由学生自己去发现结论．教师要有足够的耐心，要为学生的思考留有时间和空间．培养学生的数学抽象概括能力及理性精神.让学生体验成功通过此题的解答，充分调动学生动脑的积极性，培养学生发散思维。增强学生一题多解，发散思维的能力。通过此题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高进一步理解和掌握多边形的内角和定理，提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力．
巩固提升 1、一个多边形的内角和为1 440°，则此多边形的边数为( )A.9 B.10 C.11 D.12答案：B2、将一个n边形变成n＋1边形，内角和将( ) A.减少180° B.增加90° C.增加180° D.增加360°答案：C3.如图，在四边形ABCD中，∠A=45°.直线l与边AB、AD分别相交于点M、N，则∠1+∠2＝__________. 答案： 72°4.凸n边形的对角线的条数记作an(n≥4)，例如：a4=2，那么：①a5=__________；②a6-a5=__________；③an+1-an=______(n≥4，用含n的代数式表示).答案：5，4，n-15、某同学在求多边形的内角和时，多算了一个内角的度数，求得内角和为1560°，问这个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？答案：解：设这个多边形的边数为n，多算的这个内角为α，则有： (n-2)·180°+α=1 560°. α=1560°-(n-2)·180°. 显然：0°＜α＜180°， 所以0°＜1 560°-(n-2)·180°＜180°.解得9 观察图形可知，∠1+∠2=∠8+∠9. 由五边形内角和可知∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9＝540°.∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°. 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认真思考；发现解决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 谈一谈本节的主要内容，畅所欲言聊收获。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书
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2.1多边形（1）练习题
一、选择题
1．若一个多边形的边数增加1，它的内角和（ ）
A．不变 B．增加1 C．增加180° D．增加360°
2．某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（ ）
A．180° B．540° C．1900° D．1080°
3．如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是（ ）
A．6 B．9 C．14 D．20
4．一个多边形的内角中，锐角的个数最多有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．一个凸多边形除一个内角外，其余各内角的和为2570°，则这个内角的度数等于（ ）
A．90° B．105° C．130° D．120°
6．将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
二、填空题
7．如果一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角都大于135°，那么这个多边形的边数最少为 ．
8.如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，AB∥DE，∠B=78°，∠C=60°，则∠EDC的
度数为 。
9.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠2=70°，则∠1+∠3= 。
21cnjy.com
10．如图，在四边形ABCD中，∠A=45°．直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1+∠2= _________ ．21·cn·jy·com
三、解答题
11．若两个多边形的边数之比是1：2，内角和度数之和为1440°，求这两个多边形的边数．
12. 某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的边数分别为x、y、z，求+的值．www.21-cn-jy.com
13. 已知如图，四边形中，和的平分线交于点．
求证：．
14．一个多边形截去一个角（不过顶点）后，所形成的一个多边形的内角和是2520°，求原多边形的边数。21世纪教育网版权所有
15.若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个多边形的边数？
答案：
1.C
解：n边形的内角和是（n﹣2） 180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（n+1﹣2） 180°．则（n+1﹣2） 180°﹣（n﹣2） 180°=180°．2·1·c·n·j·y
故选C．
2.C
3.B．
4. A
5. C
解；设这是一个n边形，这个内角的度数为x度．
因为（n﹣2）180°=2570°+x，
所以x=（n﹣2）180°﹣2570°=180°n﹣2930°，
∵0＜x＜180°，∴0＜180°n﹣2930°＜180°，
解得：16.2＜n＜17.2，又n为正整数，
∴n=17，
所以多边形的内角和为（17﹣2）×180°=2700°，
即这个内角的度数是2700°﹣2570°=130°．
故本题选C．
6.D
7. 解：因为n边形的外角和是360度，每一个内角都大于135°即每个外角小于45度，
就得到不等式：，解得n＞8．
因而这个多边形的边数最少为9．
8. 42°
9. 80°
10. 2250
11. 解：设多边形较少的边数为n，则
（n﹣2） 180°+（2n﹣2） 180°=1440°，
解得n=4．
2n=8．
故这两个多边形的边数分别为4，8
12. 解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，
已知正多边形的边数为x、y、z，
那么这三个多边形的内角和可表示为： ++=360，
两边都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣=2，
两边都除以2得： +=．
13. 解： ∵OB和OC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠BCD），
∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D），
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠BCD）=180°-[∠360°-（∠A+∠D）]= （∠A+∠D）21教育网
15. 解：设这个内角度数为x°，边数为n，
则（n-2）×180-x=2570，
180 n=2930+x，
∵n为正整数，
∴n=17，
∴这个多边形是十七边形
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2.1.1多边形
数学湘教版 八年级下
导入新知
欣赏图片
导入新知
观察
你能从图中找出一些由首尾相连所组成的图形吗
四边形
五边形
八边形
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所形成的图形叫三角形
三角形定义：
多边形定义：
你能仿照三角形的定义给出多边形定义吗？
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形
新知讲解
多边形以边数命名:五边形ABCDE或者五边形EDCBA
A
B
C
D
E
画一个四边形，并用正确的方法表示出来
温馨提示：
我们现在所学的是凸多边形，即多边形的各边都在任意一条边所在直线的同一侧
新知讲解
新知讲解
多边形的相关概念
组成多边形的各条线段叫作多边形的边
相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点
连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线
相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角
顶点
内角
边
对角线
在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫做正多边形
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正八边形
各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形
新知讲解
各边相等
各角相等
正多边形
新知讲解
n边形有_____个顶点，
_____条边，
_____个内角，
_____条对角线。
n
n
n
总结
？
新知讲解
三角形
六边形
四边形
八边形
……..
五边形
请说出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：
新知讲解
从同一顶点引出的对角线的条数：
1
2
3
n－3
分割出的三角形的个数：
2
3
4
n－2
0
1
n边形
……
三角形
四边形
五边形
六边形
探究
新知讲解
n边形从一个顶点出发的对角线条数为： 条(n≥3)
(n－3)
n边形共有对角线 条(n≥3)
总结
对角线是解决多边形问题的常用辅助线
多边形问题
(未知)
三角形问题
(已知)
转化
新知讲解
三角形的内角和等于180 °，四边形的内角和是多少度呢？
新知讲解
从四边形的一个顶点出发，
可以作_____条对角线，它们将
四边形分为 个三角形，
四边形的内角和等于
180°×____= °．
1
2
2
360
A
B
C
D
从五边形的一个顶点出发，
可以作_____条对角线，它们将
五边形分为 个三角形，
五边形的内角和等于
180°×____= °．
2
3
540
3
新知讲解
从六边形的一个顶点出发，
可以作_____条对角线，它们将
六边形分为 个三角形，
六边形的内角和等于
180°×____= °．
3
4
720
4
新知讲解
新知讲解
总结
3
4
5
6
······
······
······
n 边形
八边形
七边形
六边形
五边形
多边形内角和
分割出三角形的个数
多边形
······
图形
边数
······
5
6
7
8
n
n-2
(5-2) ×180°
(6-2) ×180°
(7-2) ×180°
(8-2) ×180°
(n-2) ×180°
你能从五边形、六边形、七边形的内角和的研究过程获得启发，发现多边形的内角和与边数的关系吗？能证明你发现的结论吗？
新知讲解
从n 边形的一个顶点出发，可以作（n -3）条对角线，它们将n 边形分为（n -2）个三角形，这（n -2）个三角形的内角和就是n 边形的内角和，所以，n 边形的内角和等于（n -2）×180°．
新知讲解
归纳
动脑筋
你还可以用其他方法探究n边形的内角和公式吗？
在n边形内任取一点O，与多边形各顶点连接， 把n边形分成n个三角形，用n个三角形的内角和 n· 180°减去中心的周角360°，得n边形的内角和为（n-2）· 180°.
新知讲解
在n边形的边上任取一点O，与多边形各顶点连接， 把n边形分成n个三角形，用n个三角形的内角和 n· 180°减去中心的平角180°，得n边形的内角和为（n-2）· 180°.
新知讲解
新知讲解
例1、 (1)十边形的内角和是多少度？
(2)一个多边形的内角和等于1980°，它是几边形？
解：(1)十边形的内角和是(10-2)×180°＝1440°．
(2)设这个多边形的边数为 n， 则
(n-2)×180°＝1980°，
解得n＝13.
所以这是一个十三边形.
学以致用
已知两个多边形的内角和为1440°，且两多边形的边数之比为1︰3，求它们的边数分别是多少？
解:设它们的边数分别是x,y.由题意得：
（x-2）·180+（y -2）·180=1440
x : y=1 : 3
解之得 x =3
y =9
答：它们的边数分别是3和9。
巩固提升
1、一个多边形的内角和为1 440°，则此多边形的边数为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
2、将一个n边形变成n＋1边形，内角和将( )
A.减少180° B.增加90°
C.增加180° D.增加360°
B
C
巩固提升
3.如图，在四边形ABCD中，∠A=45°.直线l与边AB、AD分别相交于点M、N，则∠1+∠2＝__________.
4.凸n边形的对角线的条数记作an(n≥4)，例如：a4=2，那么：①a5=__________；②a6-a5=__________；
③an+1-an=______(n≥4，用含n的代数式表示).
72°
5
n-1
4
巩固提升
5、某同学在求多边形的内角和时，多算了一个内角的度数，求得内角和为1560°，问这个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？
解：设这个多边形的边数为n，多算的这个内角为α，则有：
(n-2)·180°+α=1 560°.
α=1560°-(n-2)·180°.
显然：0°＜α＜180°，
所以0°＜1 560°-(n-2)·180°＜180°.解得9 因此n=10.α=1 560°-(10-2)·180°=120°.
答：这个内角是120°，这个多边形的边数是10.
巩固提升
6.如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数.
解：连接∠3与∠7的顶点，
8
9
观察图形可知，∠1+∠2=∠8+∠9.
由五边形内角和可知∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9＝540°.
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°.
课堂小结
多边形
一、多边形的有关概念
二、多边形的内角和公式
多边形内角和
三角形内角和
转化
n边形的内角和等于(n-2) ·180°
三、多边形的内角和公式的应用
(1)已知边数如何求内角和
(2)已知内角和如何求边数
谢谢
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