(共19张PPT)
2.2.1平行四边形的性质
湘教版 八年级下
导入新知
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地平均分给他的四个孩子，他是这样分的：
新知讲解
探究
如图，已知□ABCD两条对角线AC与BD相交于点O，比较OA，OC，OB，OD的长度，有哪些线段相等 ？你能做出什么猜测？
新知讲解
OA=OC，OB=OD
我猜测点O是每条对角线的中点
你能证明吗？
新知讲解
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥DC，AB=DC，
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
∴ △OAB≌△OCD.
∴ OA=OC，OB=OD.
新知讲解
平行四边形的性质定理：
总结
∵四边形ABCD是平行四边形
几何语言
∴OA=OC=，OB=OD=.
平行四边形的对角线互相平分
我们再来看开始的问题：老人分地合理吗？
结论：平行四边形被两条对角线分成面积相等的四等份
O
新知讲解
等底同高，面积相等
新知讲解
例1、如图，在□ABCD 中，对角线AC与BD相交于点O， AC= 6，BD=10，CD=4.8. 试求△COD的周长.
解 ∵ AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，
∴ OC=AC = 3，OD=BD=5.
又∵CD=4.8
∴△COD的周长为 3+5+4.8= 12.8.
如图，□ABCD的两条对角线相交于点O，已知AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周长是18cm，那么△AOD的周长是 .
学以致用
16cm
例2、如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线MN分别交AD，BC于点M，N.
求证：点O是线段MN的中点.
新知讲解
证明 ∵ AC，BD为□ABCD的对角线， 且相交于点O，
∴ OA=OC.
∵ AD∥BC，
∴ ∠MAO=∠NCO.
又∠AOM=∠CON，
∴ △AOM≌△CON.
∴ OM=ON.
∴ 点O是线段MN的中点.
新知讲解
如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF分别交BA，DC的延长线于点F，E.
求证：OE=OF
学以致用
小结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等。
证明 ∵ AC，BD为□ABCD的对角线
∴ OA=OC.
∵ DC∥AB，
∴ ∠OFA=∠OEC.
又∠AOF=∠COE，
∴ △AOF≌△COE.
∴ OE=OF.
学以致用
巩固提升
1. 平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对边平行
C．对角线互相垂直 D．对边相等
2.如图，□ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则□ABCD的两条对角线的和是 ( )
A．18 B．28 C．36 D．46
C
C
巩固提升
3、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O．若AC＝6，则线段AO的长度等于_______．
3
4、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC＝14，BD＝8，AB＝x，那么x的取值范围是 ．
3巩固提升
5、小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有一口井，为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水井修一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分. 同学们，你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗？
动脑筋
想一想
A
B
C
D
结论：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分
M
课堂小结
平行四边形的性质
平行四边形的性质
边
平行四边形的对边平行
平行四边形的对边相等
角
平行四边形的对角相等
对角线
平行四边形的对角线互相平分
谢谢
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2.2.1平行四边形的性质(第二课时)练习题
一、选择题
1.如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（ ）
A.AB∥CD B.AB=CD C.AC=BD D.OA=OC
2． 如图，□ABCD的周长是22 cm，△ABC的周长是17 cm，则AC的长为 ( )
21·cn·jy·com
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
3．已知 ABCD中，AC、BD交于点O．下列结论中，不一定成立的是（ ）
A. ABCD关于点O对称 B.OA=OC C.AC=BD D.∠B=∠D
4. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC+BD=10，BC=4，则△BOC的周长为（ ）
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A.8 B.9 C.10 D.14
5. 如图，□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O ， 若AC＝8，AB＝6，BD＝m ， 那么m的取范围是（ ）.www.21-cn-jy.com
A.2＜m＜10 B.2＜m＜14 C.6＜m＜8 D.4＜m＜20
6. 如图所示，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， M ， N在对角线AC上，且AM=CN ， 则BM与DN的关系是（ ）.
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A.BM∥DN B.BM∥DN,BM=DN C.BM=DN D.没有关系
二、填空题
7．如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在点E处，BE与AD相交于点O ， 若∠DBC=15°，则∠BOD= .www-2-1-cnjy-com
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，BC=6，E、F分别是AD、DC的中点，若EF=7，则四边形EACF的周长是 .2-1-c-n-j-y
9．已知一个平行四边形的一条对角线将其分为全等的两个等腰直角三角形，且这条对角线的长为8，则另一条对角线长为 ．【来源：21cnj*y.co*m】
10．如图，平行四边形ABCD中，AB=AD=6，∠DAB=60度，F为AC上一点，E为AB中点，则EF+BF的最小值为 ．【出处：21教育名师】
11. 如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABC≌△AED；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△ABE=S△CDE；⑤S△ABE=S△CEF ． 其中正确的是 。 【版权所有：21教育】
三、解答题
12. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，与BC，AD分别相交于点E，F， 求证：OE=OF．21*cnjy*com
13.ABCD的周长为30 cm，它的对角线AC和BD交于O，且△AOB的周长比△BOC的周长大5 cm，求AB，AD的长．21教育名师原创作品
14. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，EO⊥AC，
（1）、若△ABE的周长为10cm，求平行四边形ABCD的周长，
（2）、若∠DAB=108°，AE平分∠BAC，试求∠ACB的度数．
15. 如图14,已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G.2·1·c·n·j·y
(1)求证:AF=GB；
(2)请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG是等腰直角三角形,并说明理由.
答案：
1．C
2．B
3．C
4. B
5. D
6.B
7．150°
8．29
9．8或8
10．3
解析：根据对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF最小值=ED，然后解直角三角形即可求解：21教育网
∵平行四边形ABCD中AB=AD=6，∴平行四边形ABCD是菱形.
∴AC与BD互相垂直平分．∴点B、D关于AC对称.
如图，连接BD，ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段.
∵E为AB的中点，∠DAB=60°，∴DE⊥AB，
∴EF+BF的最小值为3
11. ①②⑤
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形；②正确；
∴∠ABE=∠EAD=60°，
∵AB=AE，BC=AD，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；①正确；
∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S△FCD=S△ABC，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S△AEC=S△DEC，
∴S△ABE=S△CEF；⑤正确．
若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC
即EC=CD=BE
即BC=2CD，
题中未限定这一条件
∴③④不一定正确；【来源：21·世纪·教育·网】
12. 解答：证明：∵ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF．21cnjy.com
13. 解：
∵△AOB的周长比△BOC的周长大5 cm，
∴AO＋AB＋BO－(BO＋OC＋BC)＝5(cm)．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，∴AB－BC＝5(cm)．
∵ABCD的周长为30 cm，
∴AB＋BC＝15(cm)．
∴得
∴AB＝10 cm，AD＝BC＝5 cm.
14. (1)解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
∵OE⊥AC
∴AE=CE
∴△ABE的周长为AB+AC=10
根据平行四边形的对边相等得
平行四边形的周长为2×10=20cm
(2) ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE
∵△ACE是等腰三角形
∴∠ACB=∠CAD
∴∠DAB=∠BAE+∠CAE+∠CAD=3∠CAD=108°
∴∠ACB=∠CAD=36°
15.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠AGD=∠CDG.
∵∠ADG=∠CDG，∴∠ADG=∠AGD.∴AD=AG.同理,BC=BF.
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AG=BF.∴AG-GF=BF-GF，
即AF=GB.
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湘教版数学八年级下册2.2.1平行四边形的性质第2课时教学设计
课题 平行四边形的性质 单元 2 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 培养学生严谨的推理能力，培养学生独立思考的习惯与和合作交流的习惯，体会平行四边形的实际应用价值
能力目标 经历探索平行四边形性质的过程，发现学生的合情推理的意识，提高应用能力
知识目标 1、能正确说出平行四边形的对角线互相平分的性质2、会用平行四边形的对角线互相平分的性质进行有关的论证和计算
重点 理解并应用平行四边形的对角线互相平分的性质
难点 理解平行四边形对角线互相平分的性质
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问题：一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地平均分给他的四个孩子，他是这样分的：当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？ 学生：积极思考带着问题参与新课. 通过实际情境，让学生感受数学来源于生活，数学知识与生活实践密切相关，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程
讲授新课 探究 如图，已知□ABCD两条对角线AC与BD相交于点O，比较OA，OC，OB，OD的长度，有哪些线段相等 ？你能做出什么猜测？ 你能证明吗？证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形∴ AB∥DC，AB=DC， ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4. ∴ △OAB≌△OCD. ∴ OA=OC，OB=OD. 总结：平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分几何语言表达：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC=，OB=OD=. 我们再来看开始的问题：老人分地合理吗？结论：平行四边形被两条对角线分成面积相等的四等份例1、如图，在□ABCD 中，对角线AC与BD相交于点O， AC= 6，BD=10，CD=4.8. 试求△COD的周长. 练一练如图，□ABCD的两条对角线相交于点O，已知AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周长是18cm，那么△AOD的周长是 . 例2、如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线MN分别交AD，BC于点M，N. 求证：点O是线段MN的中点.练一练：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF分别交BA，DC的延长线于点F，E. 求证：OE=OF小结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等。 教师提出问题，引导学生观察猜想并验证OA=OC,OB=OD即平行四边形的对角线互相平分。师进一步板书性质的文字语言、图形语言及符号语言。1、平行四边形对边平行且相等2、平行四边形对角相等 3、平行四边形对角线互相平分。回到问题，解决问题学生自主解答 教师引导学生审题，学生弄清题意后，师生共同分析思路，教师渗透综合分析法。学生口答，教师板书解题过程。学生自主解答，教师提示解答的思路以及方法。 学生自己解答并进行思考，得出结论 对知识进一步升华 采用动手操作感知，辅以三角形全等知识的应用，发现验证了所要学习的内容，并用规范的数学语言将它们表达出来。解决了重点，突破了难点对平行四边形的性质的归纳是学生对平行四边形特征的再认识，是知识的一次升华，培养了学生的概括能力，突出了教学的重点。培养学生独立思考，总结归纳的能力。学生审题是解题的关键，通过运用平行四边形的性质学会解决简单的实际问题，培养了学生的应用意识。将图形与证明、图形的变换进行有机的整合，同时训练学生能够清晰有条理的表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据的意识。让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况。培养学生独立思考，解决问题的能力。
巩固提升 1. 平行四边形不一定具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对边相等答案：C2.如图，□ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则□ABCD的两条对角线的和是 ( ) A．18 B．28 C．36 D．46 答案：C3、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O．若AC＝6，则线段AO的长度等于_______．答案：34.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC＝14，BD＝8，AB＝x，那么x的取值范围是 ．答案： 3课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？ 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书
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