广西陆川县中学2017-2018学年高二下学期开学考试数学（理）试卷

广西陆川县中学2018年春季期高二开学基础知识竞赛试卷
理科数学
（命题人： 审题人：）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在数列1，2，，，，…中，是这个数列的第（ ）
A. 16项 B. 24项 C. 26项 D. 28项
2．在中，若则的形状一定是（）
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
3．将两颗骰子各掷一次，设事件A=“两个点数都是偶数”，则概率等于（ ）
A. B. C. D.
4．右图是抛物线形拱桥，当水面在位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽( )米
A． B． C． D．
5．椭圆的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2．若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
6．若两点 ， ，当||取最小值时， 的值等于(　　)
A．19 B．－ C． D．
7．已知命题p:? ，,命题q: ,则(　　)
A．命题p∨q是假命题 　　　 　B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧()是真命题 　 　D．命题p∨()是假命题
8．设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是(　　)
A． B． C． D．
9．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为(　　)?
A．7 B．8 C．9 D．10
10．正方体 的棱长为1，O是底面 的中心，则O到平面
的距离为(　　)
A． B． C． D．
11．已知直线的斜率为，它与抛物线相交于A，B两点，为抛物线的焦点， 若 ,则＝（ ）
A． B． C． D．
12．过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点,使得 ，若这样的直线有且仅有两条,则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13. 半径为的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的体积为 .
14. 设，若，则的最小值为 .
15. 在正四面体中，分别是和的中点，则异面直线和所成角为__________．
16. 数列是正数列，且，则= .
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本大题满分10分）
已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2+y2=64相内切求动圆C的圆心的轨迹方程.
18．（本大题满分12分）
已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
(1)求a，b的值与函数f（x）的单调区间
(2)若对x?〔－1，2〕，不等式f（x）?c2恒成立，求c的取值范围
19．（本大题满分12分）
如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．建立如图的空间直角坐标系。
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
20．（本大题满分12分）
如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F
是CD的中点。
（1）求证：AF//平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.
21．（本大题满分12分）
设椭圆的离心率为=,点是椭圆上的一点,且点到椭圆两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围.
22．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若函数上为单调增函数，求a的取值范围；
（2）设
理科数学答案
1-6．CB A BBA 7—12 C C C D A D B

13. 14. 4 15. 16.
17.（本小题满分10分）定圆M圆心M（2,0）,半径r=8,因为动圆C与定圆M内切,且动圆C过定点A（-2,0）|MA|+|MB|=8．所以动圆心C轨迹是以B、A为焦点,长轴长为8的椭圆．C=2,a=4,b2=12,动圆心轨迹方程
18．（本小题满分12分）
解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f?（x）＝3x2＋2ax＋b
由f?（）＝，f?（1）＝3＋2a＋b＝0得
a＝，b＝－2
f?（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
x
（－?，－）
－
（－，1）
1
（1，＋?）
f?（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
?
极大值
?
极小值
?
所以函数f（x）的递增区间是（－?，－）与（1，＋?）递减区间是（－，1）
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x?〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值
要使f（x）?c2（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c2?f（2）＝2＋c
解得c?－1或c?2
19（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，平面．
连结，在正方形中，分别为的中点，，．
在正方形中，，平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，
连结，由（Ⅰ）得平面．
，为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又， ．
所以二面角的正弦值为．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由得，．
点到平面的距离为．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立
空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，．
平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为．
，．
，，
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．
，．所以二面角的正弦值为．
（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，．
点到平面的距离
20(（本小题满分12分）解（I）取CE中点P，连结FP、BP，
∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=
又AB//DE，且AB=∴AB//FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。
又∵AF平面BCE，BP平面BCE，
∴AF//平面BCE。
（II）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。
∵AB⊥平面ACD，DE//AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，
∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D， ∴AF⊥平面CDE。
又BP//AF，∴BP⊥平面CDE又∵BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE。
（III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，则C（0，—1，0），

显然，为平面ACD的法向量。
设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为
，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。
21（本小题满分12分）解：(1)依题意知,????
∵,∴．∴所求椭圆的方程为．
（2）∵ 点关于直线的对称点为，
∴??……………………………………………8分
解得：，．……………………………………………10分
∴．∵ 点在椭圆:上,∴, 则．
∴的取值范围为．……………………………………………12分
22．（本小题满分12分）解：（I）
因为上为单调增函数，
所以上恒成立.
所以a的取值范围是
即证只需证
由（I）知上是单调增函数，又，
所以