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新沪科版八下数学《第17章 一元二次方程》
单元测试卷
本卷共八大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x的一次项系数是（ ）
A．﹣5 B．﹣9 C．0 D．5
2．用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时，应将其变形为（ ）
A．（x﹣）2= B．（x+）2= C．（x﹣）2=0 D．（x﹣）2=
3．一元二次方程x2﹣3x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
4．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
5．若实数x、y满足（x+y﹣3）（x+y）+2=0，则x+y的值为（ ）
A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或﹣2 D．1或2
6．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1
7．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1+x）2=108 B．168（1﹣x）2=108
C．168（1﹣2x）=108 D．168（1﹣x2）=108
8．若方程组只有一组实数解，则k的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
9．已知，则x等于（ ）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
10．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1=0有实数根，则k的取值范围是 ．
12．把x2+6x+5=0化成（x+m）2=k的形式，则m= ．
13．已知a、b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则a2+a+3b的值是 ．
14．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．21cnjy.com
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0．
16．（8分）已知a2+b2+2a﹣4b+5=0．求2a2+4b﹣3的值．
17．（8分）已知x=0是一元二次方程﹣2=0的一个根，求m的值．
18．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．21·cn·jy·com
19．（10分）已知：关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0．
（1）不解方程：判断方程的根的情况；
（2）若△ABC为等腰三角形，BC=5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．
20．（10分）阅读下面的材料，解决问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
请参照例题，解方程 （x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．
21．（12分）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1、x2
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1 x2，求实数k的值．
22．（12分）4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每千克猪肉的价格是原价格的，原来用120元买到的猪肉下调后可多买2kg．4月中旬猪肉价格开始回升，经过两个月后，猪肉价格上调为每千克28.8元．21教育网
（1）求4月初猪肉价格下调后变为每千克多少元．
（2）求5、6月份猪肉价格的月平均增长率．
23．（14分）某商店销售甲、乙两种商品，现有如下信息：
请结合以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的进货单价；
（2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元，该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1300件，经市场调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元，在不考虑其他因素的条件下，求当m为何值时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1800元（注：单件利润=零售单价﹣进货单价）
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新沪科版八下数学《第17章 一元二次方程》
单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x的一次项系数是（ ）
A．﹣5 B．﹣9 C．0 D．5
解：化为一般式，得
x2﹣5x﹣9=0，
一次项系数为﹣5，
故选：A．
2．用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时，应将其变形为（ ）
A．（x﹣）2= B．（x+）2= C．（x﹣）2=0 D．（x﹣）2=
解：∵x2﹣x﹣1=0，
∴x2﹣x=1，
∴x2﹣x+=1+，
∴（x﹣）2=．
故选D．
3．一元二次方程x2﹣3x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
解：△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×4=﹣7，
∵﹣7＜0，
∴原方程没有实数根．
故选D．
4．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
解：∵4y2=12y+3
∴4y2﹣12y﹣3=0
∴a=4，b=﹣12，c=﹣3
∴b2﹣4ac=192
∴y==．故选C．
5．若实数x、y满足（x+y﹣3）（x+y）+2=0，则x+y的值为（ ）
A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或﹣2 D．1或2
解：t=x+y，则由原方程，得
t（t﹣3）+2=0，
整理，得
（t﹣1）（t﹣2）=0．
解得t=1或t=2，
所以x+y的值为1或2．
故选：D．
6．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1
解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=2m，x1 x2=m2﹣m﹣1．
∵x1+x2=1﹣x1x2，
∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=0，
解得：m1=﹣2，m2=1．
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根，
∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0，
解得：m≥﹣1．
∴m=1．
故选D．
7．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1+x）2=108 B．168（1﹣x）2=108
C．168（1﹣2x）=108 D．168（1﹣x2）=108
解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1﹣x）2=108．
故选：B．
8．若方程组只有一组实数解，则k的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
解：由（2）得，3y=x﹣k（3）；把（3）代入（1）得，x2﹣4（x﹣k）=0，即x2﹣4x+4k=0．由于方程组只有一组实数解，所以关于x的二次方程有两个相等的实数根．△=（﹣4）2﹣4×1×4k=16﹣16k=0，解得k=1．
故选A．
9．已知，则x等于（ ）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
解：已知，∴x＞0，
∴原式可化简为：++3=10，
∴=2，
两边平方得：2x=4，
∴x=2，
故选C．
10．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（ ）
A． B． C． D．
解：依题意得（a+b）2=b（b+a+b），
而a=1，
∴b2﹣b﹣1=0，
∴b=，而b不能为负，
∴b=．
故选B．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1=0有实数根，则k的取值范围是 k≤5 ．
解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1=0有实数根，
∴△=42﹣4（k﹣1）≥0，
解得：k≤5．
故答案为：k≤5．
12．把x2+6x+5=0化成（x+m）2=k的形式，则m= 3 ．
解：方程移项得：x2+6x=﹣5，
配方得：x2+6x+9=4，即（x+3）2=4，
可得m=3，
故答案为3．
13．已知a、b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则a2+a+3b的值是 7 ．
解：由题意知，ab=﹣1，a+b=2，x2=2x+1，即a2=2a+1，
∴a2+a+3b=2a+1+a+3b=3（a+b）+1=3×2+1=7．
故选答案为：7．
14．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 2 m．21教育网
解：设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x）m，宽为（24﹣2x）m，
由已知得：（30﹣3x） （24﹣2x）=480，
整理得：x2﹣22x+40=0，
解得：x1=2，x2=20，
当x=20时，30﹣3x=﹣30，24﹣2x=﹣16，不符合题意舍去，
即x=2．
答：人行通道的宽度为2米．
故答案为2．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0．
解：方程化为一般形式，得3x2+10x+5=0，
∵a=3，b=10，c=5，
∴b2﹣4ac=102﹣4×3×5=40，
∴x===，
∴x1=，x2=．
16．（8分）已知a2+b2+2a﹣4b+5=0．求2a2+4b﹣3的值．
解：a2+b2+2a﹣4b+5=0
a2+2a+1+b2﹣4b+4=0
（a+1）2+（b﹣2）2=0
a+1=0，b﹣2=0，
解得，a=﹣1，b=2，
则2a2+4b﹣3=2+8﹣3=7．
17．（8分）已知x=0是一元二次方程﹣2=0的一个根，求m的值．
解：当x=0时，m2﹣2=0，
解得m1=，m2=﹣．
∵m﹣≠0，
∴m=﹣．
18．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．21·cn·jy·com
解：设每件衬衫应降价x元，利润为w元，
根据题意，商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数，
则有w=（20+2x）（40﹣x）
=﹣2x2+60x+800
=﹣2（x﹣15）2+1250
即当x=15时，w有最大值，为1250，
答：每件衬衫应降价15元，可获得最大利润，最大利润为1250．
19．（10分）已知：关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0．
（1）不解方程：判断方程的根的情况；
（2）若△ABC为等腰三角形，BC=5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．
解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，
∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，
∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．
将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，
解得：m1=2，m2=3．
当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，
解得：x1=3，x2=5，
∵3、5、5能够组成三角形，
∴该三角形的周长为3+5+5=13；
当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，
解得：x1=5，x2=7，
∵5、5、7能够组成三角形，
∴该三角形的周长为5+5+7=17．
综上所述：此三角形的周长为13或17．
20．（10分）阅读下面的材料，解决问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
请参照例题，解方程 （x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．
解：设x2+x=y，原方程可变为y2﹣4y﹣12=0，
解得y1=6，y2=﹣2，
当y=6时，x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2，
当y=﹣2时，x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，
∵△=b2﹣4ac=12﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根，
所以原方程有两个根：x1=﹣3，x2=2．
21．（12分）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1、x2
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1 x2，求实数k的值．
解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，
∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，
解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤；
（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=1﹣2k，x1 x2=k2﹣1．
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1 x2=16+x1 x2，
∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12=0，
解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）．
∴实数k的值为﹣2．
22．（12分）4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每千克猪肉的价格是原价格的，原来用120元买到的猪肉下调后可多买2kg．4月中旬猪肉价格开始回升，经过两个月后，猪肉价格上调为每千克28.8元．21cnjy.com
（1）求4月初猪肉价格下调后变为每千克多少元．
（2）求5、6月份猪肉价格的月平均增长率．
解：（1）设4月初猪肉价格下调后变为每千克x元．
根据题意，得﹣=2，
解得x=20．
经检验，x=20是原方程的解．
答：4月初猪肉价格下调后变为每千克20元．
（2）设5、6月份猪肉价格的月平均增长率为y．
根据题意，得20（1+y）2=28.8．
解得y1=0.2=20%，y2=﹣2.2（舍去）．
答：5、6月份猪肉价格的月平均增长率为20%．
23．（14分）某商店销售甲、乙两种商品，现有如下信息：
请结合以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的进货单价；
（2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元，该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1300件，经市场调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元，在不考虑其他因素的条件下，求当m为何值时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1800元（注：单件利润=零售单价﹣进货单价）
解：（1）设甲商品进货单价x元，乙商品进货单价y元．
依题意，得
解得：．
答：甲商品进货单价为1元，乙商品进货单价为2元．
（2）依题意，得
（2﹣m﹣1） （500+1000m）+（3﹣2）×1300=1800
（1﹣m） （500+1000m）=500
即2m2﹣m=0
∴m1=0.5，m2=0
∵m＞0
∴m=0不合舍去，即m=0.5
答：当m=0.5时，商店获取的总利润为1800元．
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