课件50张PPT。2.1.1 合情推理第二章 §2.1 合情推理与演绎推理学习目标
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.
2.了解合情推理在数学发现中的作用.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 归纳推理思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电.
(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体.
以上属于什么推理？答案答案 属于归纳推理.符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理.梳理
(1)定义：根据一类事物的 具有某种性质，推出该类事物的 都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳).
(2)特征：由 到 ，由 到 .部分对象所有对象部分整体个别一般科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等.由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在.他们使用了什么样的推理？知识点二 类比推理思考 答案 类比推理.答案梳理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫类比推理(简称类比).答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理.
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假.知识点三 合情推理思考1 归纳推理与类比推理有何区别与联系？ 答案归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？思考2 答案 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确.答案梳理
(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过____、____、____、____，再进行____、____，然后提出____的推理，我们把它们统称为合情推理.简言之，合情推理就是“合乎情理”的推理.
(2)推理的过程观察分析比较联想归纳类比猜想题型探究命题角度1 数、式中的归纳推理
例1 (1)观察下列等式：类型一 归纳推理据此规律，第n个等式可为______________________________________
__________.答案解析解析 等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现，(2)已知f(x)＝ ，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为_________.答案解析又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，引申探究
在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x) (n∈N＋)的表达式.解答又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法
①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论.
(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.
①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.答案解析(2)观察下列等式：答案解析命题角度2 图形中的归纳推理
例2 如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中顶点的个数为A.(n＋1)(n＋2) B.(n＋2)(n＋3)
C.n2 D.n答案解析解析 由已知中的图形我们可以得到：
当n＝1时，顶点共有12＝3×4(个)，
当n＝2时，顶点共有20＝4×5(个)，
当n＝3时，顶点共有30＝5×6(个)，
当n＝4时，顶点共有42＝6×7(个)，
…，
则第n个图形共有顶点(n＋2)(n＋3)个，
故选B.图形中归纳推理的特点及思路
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系.
(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化.跟踪训练2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中黑色地面砖的块数是________.5n＋1解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，
从而第n个图案中黑色地面砖的块数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.答案解析命题角度1 数列中的类比推理
例3 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，_____，_____， 成等比数列.类型二 类比推理答案解析解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列.下面证明该结论的正确性：
设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d，q分别是公差和公比)：跟踪训练3 若数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有数列bn＝
(n∈N＋)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0，则有数列dn＝_____________(n∈N＋)也是等比数列.答案解析解析 数列{an}(n∈N＋)是等差数列，类比猜想：若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，命题角度2 几何中的类比推理
例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.解答解 如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.
类似地，如图所示，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.(1)类比推理的一般步骤(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：跟踪训练4 在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明.解答解 在长方形ABCD中，于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.证明如下：当堂训练1.有一串彩旗，?代表蓝色，?代表黄色.两种彩旗排成一行，如图所示：
???????????????????????????…，
那么在前200个彩旗中黄旗的个数为
A.111 B.89 C.133 D.67√答案23451解析 观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗.则200÷9＝22余2，
则200个旗子中黄旗的个数为22×3＋1＝67.故选D.解析2.下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是
A.三角形 B.梯形
C.平行四边形 D.矩形答案23451√解析解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.23451答案解析√4.按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________.23451答案解析40解析 图1中的点数为4＝1×4，
图2中的点数为8＝2×4，
图3中的点数为12＝3×4，
所以第10个图中的点数为10×4＝40.5.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为_______.234511∶8解析 设两个正四面体的体积分别为V1，V2，答案解析1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.
2.合情推理的过程概括为本课结束2.1.1 合情推理(一)
明目标、知重点 1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发展中的作用.
1.推理
根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理.推理一般由两部分组成：前提和结论.
2.合情推理
前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理.
3.归纳推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳).
4.归纳推理具有如下的特点
(1)归纳推理是从特殊到一般的推理；
(2)由归纳推理得到的结论不一定正确；
(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.
[情境导学]
佛教《百喻经》中有这样一则故事.从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园去买，并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买.”仆人拿好钱就去了.到了果园，园主说：“我这里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看.”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠.”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去.带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了.
想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？学习了下面的知识，你将清楚是何道理.
探究点一 归纳推理的定义
思考1 在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？
答 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理.
思考2 观察下面两个推理，回答后面的两个问题：
(1)哥德巴赫猜想：
6＝3＋3
8＝3＋5
10＝5＋5
12＝5＋7
14＝7＋7
16＝5＋11
……
1 000＝29＋971
1 002＝139＋863
……
猜想：任何一个不小于6的偶数都可写成两个奇质数之和.
(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电.
问题： ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？
②其结论一定正确吗？
答 ①共同特点：部分推出整体，个别推出一般.(这种推理称为归纳推理)
②其结论不一定正确.
探究点二 归纳推理的应用
例1 已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式.
解 当n＝1时，a1＝1；
当n＝2时，a2＝＝；
当n＝3时，a3＝＝；
当n＝4时，a4＝＝.
通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an＝.
反思与感悟 归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个
明确表述的一般性命题(猜想).
归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项找出数列项的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前n项和公式.
跟踪训练1 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
解 (1)当n＝1时，知a1＝1，由an＋1＝2an＋1得a2＝3，
a3＝7，a4＝15，a5＝31.
(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N＋).
例2 在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝______；f(n)＝______(答案用含n的代数式表示).
答案 10
解析 观察图形可知：f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋.
将以上(n－1)个式子相加可得
f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋
＝[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]
＝[n(n＋1)(2n＋1)＋]
＝.
反思与感悟 解本例的关键在于寻找递推关系式：f(n)＝f(n－1)＋，然后用“叠加法”求通项，而第一层的变化规律，结合图利用不完全归纳法可得，即为正整数前n项和的变化规律.
跟踪训练2 在平面内观察：
凸四边形有2条对角线，
凸五边形有5条对角线，
凸六边形有9条对角线，
…
由此猜想凸n(n≥4且n∈N＋)边形有几条对角线？
解 凸四边形有2条对角线，
凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，
凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，
……
于是猜想凸n边形比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线.因此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝n(n－3)(n≥4且n∈N＋).
1.已知 ＝2， ＝3， ＝4，…，若 ＝6(a、b均为实数).请推测a＝______，b＝________.
答案 6 35
解析 由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 中，a＝6，b＝62－1＝35.
2.将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________.
答案
解析 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，
即个，
因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.
[呈重点、现规律]
归纳推理的一般步骤
(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想，注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围.
2.1.1 合情推理(二)
明目标、知重点 1.通过具体实例理解类比推理的意义.2.会用类比推理对具体问题作出判断.
1.类比推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比).
2.类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).
探究点一 平面图形与立体图形间的类比
阅读下面的推理，回答后面提出的问题：
1.科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：
(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；
(2)有大气层，在一年中也有季节变更；
(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等.科学家猜想：火星上也可能有生命存在.
2.根据等式的性质猜想不等式的性质.
等式的性质：
(1)a＝b?a＋c＝b＋c；
(2)a＝b?ac＝bc；
(3)a＝b?a2＝b2等等.
猜想不等式的性质：
(1)a>b?a＋c>b＋c；
(2)a>b?ac>bc；
(3)a>b?a2>b2等等.
思考1 这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？
答 这两个推理实例都是根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质.
思考2 猜想正确吗？
答 不一定正确.
思考3 类比圆的特征，填写下表中球的有关特征
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆的周长
球的表面积
圆的面积
球的体积
圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大
以点P(x0，y0)为圆心，r为半径的圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2
以点P(x0，y0，z0)为球心，r为半径的球的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2
例1 如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝，
类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于多少？
解 对平面凸四边形：
S＝a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4
＝(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)
＝(h1＋2h2＋3h3＋4h4)，
所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝；
类比在三棱锥中，
V＝S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4
＝(KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4)
＝(H1＋2H2＋3H3＋4H4).
故H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.
反思与感悟 解决此类问题注意用类比推理的方法去分析问题，研究当条件变化时，问题的本质有哪些不同，有哪些变化，如本题中平面图形中点到直线的距离类比三棱锥中点到平面的距离.平面图形中的面积类比三棱锥中的体积，进而计算出结果.
跟踪训练1 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”.拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是____________________________________________.
答案 设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S＋S＋S＝S
解析 类比条件：
两边AB、AC互相垂直侧面ABC、ACD、ADB互相垂直.
结论：AB2＋AC2＝BC2 S＋S＋S＝S.
探究点二 定义、定理或性质中的类比
例2 在等差数列{an}中，若a10＝0，证明等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈
N＋)成立，并类比上述性质相应在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式_____________成立.
答案 b1 b2…bn＝b1b2…＋b17－n(n<17，n∈N＋)
解析 在等差数列{an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，
即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，
又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，
∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.
若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n.
相应地，类比此性质在等比数列{bn}中，
可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n≤17，n∈N＋).
反思与感悟 (1)运用类比思想找出项与项的联系，应用等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键.
(2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质，一般情况下等差数列中的和(或差)对应着等比数列中的积(或商).
跟踪训练2 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，______，______， 成等比数列.
答案
1.下列说法正确的是( )
A.由合情推理得出的结论一定是正确的
B.合情推理必须有前提、有结论
C.合情推理不能猜想
D.合情推理得出的结论不能判断正误
答案 B
解析 根据合情推理可知，合情推理必须有前提、有结论.
2.在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________.
答案 1∶8
解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，
∴它们的面积之比是相似比的平方.
同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.
3.若数列{cn}是等差数列，则当dn＝时，数列{dn}也是等差数列，类比上述性质，若数列{an}是各项均为正数的等比数列，则当bn＝________时，数列{bn}也是等比数列.
答案
4.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________.
答案 中心
[呈重点、现规律]
1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.
2.合情推理的过程概括为：
―→―→―→
2.1.2 演绎推理
明目标、知重点 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.
1.演绎推理
由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理.
2.演绎推理的特征
当前提为真时，结论必然为真.
3.三段论推理，三段论的一般表示
M是P，S是M；所以，S是P.
[情境导学]
小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中.由于每月的零花钱不够用，便向亲戚邻人要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财.但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？
探究点一 演绎推理与三段论
思考1 分析下面几个推理，找出它们的共同点.
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；
(3)三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tan α是周期函数；
(4)两条直线平行，同旁内角互补.如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.
答 思考1中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论.
思考2 演绎推理有什么特点？演绎推理的结论一定正确吗？
答 演绎推理是从一般到特殊的推理.演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实.
在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的.
思考3 演绎推理一般是怎样的模式？
答 “三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：
(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
例1 将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；
(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.
解 (1)平行四边形的对角线互相平分，大前提
菱形是平行四边形，小前提
菱形的对角线互相平分.结论
(2)等腰三角形的两底角相等，大前提
∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提
∠A＝∠B.结论
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提
通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提
通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.结论
反思与感悟 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
跟踪训练1 把下列推断写成三段论的形式：
(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；
(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线；
(3)y＝sin x(x∈R)是周期函数.
解 (1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提
△ABC三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52，小前提
△ABC是直角三角形.结论
(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，大前提
函数y＝2x＋5是一次函数，小前提
函数y＝2x＋5的图象是一条直线.结论
(3)三角函数是周期函数，大前提
y＝sin x(x∈R)是三角函数，小前提
y＝sin x(x∈R)是周期函数.结论
探究点二 三段论推理中的易错点
例2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：
(1)整数是自然数，大前提
－3是整数，小前提
－3是自然数.结论
(2)常数函数的导函数为0，大前提
函数f(x)的导函数为0，小前提
f(x)为常数函数.结论
(3)无限不循环小数是无理数，大前提
(0.333 33…)是无限不循环小数，小前提
是无理数.结论
解 (1)结论是错误的，原因是大前提错误.自然数是非负整数.
(2)结论是错误的，原因是推理形式错误.大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”.
(3)结论是错误的，原因是小前提错误.(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数.
反思与感悟 演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确.
跟踪训练2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：
(1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提
北京大学是中国的大学，小前提
所以北京大学分布在中国各地.结论
(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提
而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提
所以菱形是正多边形.结论
解 (1)推理形式错误.大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误.(2)结论是错误的，原因是大前提错误.因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形.
探究点三 三段论的应用
例3 如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，求证：AB的中点M到点D，E的距离相等.
证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提
在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，小前提
所以△ABD是直角三角形.结论
同理，△AEB也是直角三角形.
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提
因为DM是直角三角形ABD斜边上的中线，小前提
所以DM＝AB.结论
同理EM＝AB.
所以DM＝EM.
反思与感悟 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论.如果大前提是显然的，则可以省略.
跟踪训练3 已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.
证明 三角形的中位线平行于底边，大前提
点E、F分别是AB、AD的中点，小前提
所以EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提
EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，小前提
EF∥平面BCD.结论
1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B.某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D.在数列{an}中a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案 A
解析 A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理.
2.已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形.根据“三段论”推理出一个结论.则这个结论是__________________.
答案 正方形的对角线相等
解析 根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等.
3.把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________；
小前提：____________；
结论：____________.
答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y＝x2＋x＋1是二次函数 函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线
4.如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD.
证明：在△ABC中，
因为CD⊥AB，AC>BC，①
所以AD>BD, ②
于是∠ACD>∠BCD. ③
则在上面证明的过程中错误的是________.(只填序号)
答案 ③
解析 由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误.
[呈重点、现规律]
1.演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确.
2.在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.
课件35张PPT。2.1.2 演绎推理第二章 §2.1 合情推理与演绎推理学习目标
1.理解演绎推理的意义.
2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.
3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 演绎推理思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点.
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除.答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理.答案梳理
演绎推理的定义
由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的
过程，通常叫做演绎推理.所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？知识点二 三段论思考 答案答案 分为三段.
大前提：所有的金属都能导电.
小前提：铜是金属.
结论：铜能导电.梳理 已知的一般原理所研究的特殊情况题型探究例1 将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；解答类型一 演绎推理与三段论解 平行四边形的对角线互相平分， 大前提
菱形是平行四边形， 小前提
菱形的对角线互相平分. 结论(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；解 等腰三角形的两底角相等， 大前提
∠A，∠B是等腰三角形的两底角， 小前提
∠A＝∠B. 结论解答(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.解 在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列， 大前提
当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)， 小前提
通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列. 结论解答用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.跟踪训练1 (1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是_____.答案②(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为
大前提：______________________________________.
小前提：_________________________.
结论：______________________________.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线 函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图象是一条直线命题角度1 用三段论证明几何问题
例2 如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理.类型二 三段论的应用证明证明 因为同位角相等，两直线平行， 大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， 小前提
所以FD∥AE. 结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 大前提
DE∥BA，且FD∥AE， 小前提
所以四边形AFDE为平行四边形. 结论
因为平行四边形的对边相等， 大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边， 小前提
所以ED＝AF. 结论(1)用“三段论”证明命题的格式×××××× (大前提)
×××××× (小前提)
×××××× (结论)(2)用“三段论”证明命题的步骤
①理清证明命题的一般思路.
②找出每一个结论得出的原因.
③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.跟踪训练2 已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.证明 证明 因为三角形的中位线平行于底边， 大前提
点E、F分别是AB、AD的中点， 小前提
所以EF∥BD. 结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，
则直线与此平面平行， 大前提
EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD， 小前提
所以EF∥平面BCD. 结论命题角度2 用三段论证明代数问题
例3 设函数f(x)＝ ，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.解 若函数对任意实数恒有意义，则函数的定义域为R， 大前提
因为f(x)的定义域为R， 小前提
所以x2＋ax＋a≠0恒成立. 结论
所以Δ＝a2－4a<0，
所以0
即当0若例3的条件不变，求f(x)的单调递增区间.解答由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a.
∵00.
∴在(－∞，0)和(2－a，＋∞)上，f′(x)>0.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a，＋∞).
当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).
当2∴在(－∞，2－a)和(0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，2－a)，(0，＋∞).
综上所述，当0当a＝2时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当21)，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.证明证明 方法一 (定义法)
任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x10，且a>1，所以 >1，
而－10，x2＋1>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.又因为a>1，所以ln a>0，ax>0，
所以axln a>0，所以f′(x)>0.方法二 (导数法)当堂训练1.下面几种推理过程是演绎推理的是
A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁
内角，则∠A＋∠B＝180°
B.某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数
超过50人
C.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质答案23451解析项公式解析 A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理.√答案23451解析2.“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝ 是对数函数(小前提)，所以y＝ 是增函数(结论).”下列说法正确的是
A.大前提错误导致结论错误
B.小前提错误导致结论错误
C.推理形式错误导致结论错误
D.大前提和小前提都错误导致结论错误解析 y＝logax是增函数错误.故大前提错误.√3.三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是
A.① B.② C.①② D.③23451答案√4.把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：__________________________；小前提：________________________；结论：_________________________________.23451答案函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线二次函数的图象是一条抛物线 函数y＝x2＋x＋1是二次函数 5.设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根.23451证明证明 因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，
那么方程有两个相异实根. 大前提
方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式
Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4
＝(2m－1)2＋3>0， 小前提
所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根. 结论1.应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.
2.合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理.
3.合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.本课结束2.2.1 综合法与分析法
明目标、知重点 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.
1.综合法
从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论.
2.分析法
从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
[情境导学]
证明对我们来说并不陌生，我们在之前学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识.
探究点一 综合法
思考1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？
已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
证明 因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
总结：此证明过程运用了综合法.一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
思考2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？
答 因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理.
例1 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形.
证明 由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①
由于A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②
由①②，得B＝，③
由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
从而a＝c，所以A＝C.⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝，
所以△ABC为等边三角形.
反思与感悟 综合法的证明步骤如下：
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.
跟踪训练1 在△ABC中，＝，证明：B＝C.
证明 在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.
于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0，因为－π从而B－C＝0，所以B＝C.
探究点二 分析法
思考1 回顾一下：基本不等式≥(a>0，b>0)是怎样证明的？
答 要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立.
思考2 证明过程有何特点？
答 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件.
小结 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法.
思考3 综合法和分析法的区别是什么？
答 综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件.
例2 求证：－<－(a≥3).
证明 方法一 要证－<－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
只需证2a－3＋2<2a－3＋2，
只需证<，
只需证0<2，而0<2显然成立，
所以－<－(a≥3).
方法二 ∵＋>＋>0，
∴<，
∴－<－.
反思与感悟 当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法.
跟踪训练2 求证：＋<2.
证明 因为＋和2都是正数，
所以要证＋<2，只需证(＋)2<(2)2，
展开得10＋2<20，只需证<5，只需证21<25，
因为21<25成立，所以＋<2成立.
探究点三 综合法和分析法的综合应用
思考 在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？
答 对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若P?Q，则结论得证.
例3 已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且
sin θ＋cos θ＝2sin α， ①
sin θcos θ＝sin2β. ②
求证：＝.
证明 因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，
所以将①②代入，可得
4sin2α－2sin2β＝1. ③
另一方面，要证＝，
即证＝，
即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，
即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，
即证4sin2α－2sin2β＝1.
由于上式与③相同，于是问题得证.
反思与感悟 用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：
跟踪训练3 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β).
证明 由tan(α＋β)＝2tan α，
得＝，
即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.①
要证3sin β＝sin(2α＋β)，
即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即证3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，
化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
这就是①式.所以，命题成立.
1.已知y>x>0，且x＋y＝1，那么( )
A.x<C.x<<2xy答案 D
解析 ∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，
则＝，2xy＝，∴x<2xy<2.欲证－<－成立，只需证( )
A.(－)2<(－)2
B.(－)2<(－)2
C.(＋)2<(＋)2
D.(－－)2<(－)2
答案 C
解析 根据不等式性质，a>b>0时，才有a2>b2，
即证：＋<＋，
只需证：(＋)2<(＋)2.
3.要证明＋<2，可选择的方法有很多，最合理的应为________.
答案 分析法
4.已知＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α).
证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，
只需证＝3，
只需证＝3，
只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，
只需证tan α＝－，
∵＝1，
∴1－tan α＝2＋tan α，
即2tan α＝－1.
∴tan α＝－显然成立，
∴结论得证.
[呈重点、现规律]
1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.
2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.
3.在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.
课件37张PPT。2.2.1 综合法与分析法第二章 §2.2 直接证明与间接证明学习目标
1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.
2.会用综合法、分析法解决问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 综合法思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？
已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
证明 因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.答案答案 利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论.梳理
(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学 、 、 等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的 成立，这种证明方法叫做综合法.
(2)综合法的框图表示定义公理定理推理论证结论(P表示 、已有的 、 、 等，Q表示_________
_______)已知条件定义公理定理所要证明的结论知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？答案答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件.梳理
(1)定义：从要证明的 出发，逐步寻求使它成立的 ，
直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件( 、
、 、 等)，这种证明方法叫做分析法.
(2)分析法的框图表示结论充分条件已知条件定理定义公理题型探究命题角度1 用综合法证明不等式
例1 已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.证明 类型一 综合法证明 ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，
∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
又∵a，b，c互不相等，
∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.(1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角.通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则.
(2)用综合法证明不等式时常用的结论：证明 又a，b，c为不全相等的正实数，且上述三式等号不能同时成立，命题角度2 用综合法证明等式
例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β).证明证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)
＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β)
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
所以原等式成立.证明三角恒等式的主要依据
(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式.
(2)和、差、倍角的三角函数公式.
(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理.
(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.证明于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0.因为－π从而B－C＝0，所以B＝C.类型二 分析法证明分析法的应用范围及方法证明只需证0<2，而0<2显然成立，证明(2)在锐角△ABC中，求证：tan Atan B>1.证明 要证tan Atan B>1，∵A、B均为锐角，∴cos A>0，cos B>0.
即证sin Asin B>cos Acos B，
即cos Acos B－sin Asin B<0，
只需证cos(A＋B)<0.
∵△ABC为锐角三角形，∴90°∴cos(A＋B)<0，因此tan Atan B>1.当堂训练1.设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex (x<0)，则a与b的大小关系为
A.a>b B.a＝b
C.ab＝exb.解析√A.c B.b
C.a D.随x取值不同而不同答案23451解析√23451答案解析√解析 根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2，23451答案<23451证明23451证明 方法一 (综合法)原不等式得证.
方法二 (分析法)∵x，y是正实数，且x＋y＝1，∴y＝1－x，23451即证(1＋x)(1－x＋1)≥9x(1－x)，
即证2＋x－x2≥9x－9x2，
即证4x2－4x＋1≥0，
即证(2x－1)2≥0，此式显然成立.
∴原不等式成立.1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.
2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.
3.在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.本课结束2.2.2 反证法
明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
1.反证法的定义
一般地，由证明p?q转向证明：綈q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾.从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.
2.反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾，或与公认的简单事实矛盾等.
3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下
结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有
(不存在)
至少有两个
至多有
(n－1)个
至少有
(n＋1)个
结论词
只有一个
对所有x成立
对任意x不成立
反设词
没有或至
少有两个
存在某个x不成立
存在某个x成立
结论词
都是
一定是
p或q
p且q
反设词
不都是
不一定是
綈p且綈q
綈p或綈q
[情境导学]
王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”
这就是著名的“道旁苦李”的故事.王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法.
探究点一 反证法的概念
思考1 结合情境导学描述反证法的一般模式是什么？
答 (1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法.
思考2 反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾.反证法引出的矛盾有几种情况？
答 (1)与假设矛盾；
(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；
(3)与公认的简单事实矛盾.
思考3 反证法主要适用于什么情形？
答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；
②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论
例1 已知直线a，b和平面α，如果a?α，b?α，且a∥b，求证：a∥α.
证明 因为a∥b，
所以经过直线a，b确定一个平面β.
因为a?α，而a?β，所以α与β是两个不同的平面.
因为b?α，且b?β，所以α∩β＝b.
下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点.
假设直线a与平面α有公共点P，如图所示，
则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点，
这与a∥b矛盾.所以a∥α.
反思与感悟 数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明.正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法.
跟踪训练1 如图，已知a∥b，a∩平面α＝A.求证：直线b与平面α必相交.
证明 假设b与平面α不相交，即b?α或b∥α.
①若b?α，因为b∥a，a?α，所以a∥α，
这与a∩α＝A相矛盾；
②如图所示，如果b∥α，
则a，b确定平面β.
显然α与β相交，
设α∩β＝c，因为b∥α，
所以b∥c.又a∥b，
从而a∥c，且a?α，c?α，
则a∥α，这与a∩α＝A相矛盾.
由①②知，假设不成立，故直线b与平面α必相交.
探究点三 用反证法证明否定性命题
例2 求证：不是有理数.
证明 假设是有理数.于是，存在互质的正整数m，n，
使得＝，从而有m＝n，因此m2＝2n2，
所以m为偶数.于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有
4k2＝2n2，即n2＝2k2，
所以n也为偶数.这与m，n互质矛盾.
由上述矛盾可知假设错误，从而不是有理数.
反思与感悟 当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法.
跟踪训练2 已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列.
证明 假设，，成等差数列，则
＋＝2，即a＋c＋2＝4b，
而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，
∴(－)2＝0.即＝，
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列.
探究点四 含至多、至少、唯一型命题的证明
例3 若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根.
证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根.因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)反思与感悟 当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的假设.
跟踪训练3 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a、b、c中至少有一个大于0.
证明 假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
所以a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c＝(x2－2y＋)＋(y2－2z＋)＋(z2－2x＋)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，
故a、b、c中至少有一个大于0.
1.用反证法证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )
A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角
答案 B
2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )
A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60°
答案 B
3.“aA.a≠b B.a>b
C.a＝b D.a＝b或a>b
答案 D
4.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( )
A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c
C.a⊥b D.a与b相交
答案 D
5.已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根.
证明 由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝.
如果方程不止一个根，不妨设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1＝b， ①
ax2＝b. ②
①－②，得a(x1－x2)＝0.
因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以应有a＝0，这与已知矛盾，故假设错误.
所以，当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根.
[呈重点、现规律]
1.反证法证明的基本步骤：
(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)
(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬)
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的.(结论)
2.反证法证题与“逆否命题法”的异同：
反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题.反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾.因此，反证法与证明逆否命题是不同的.
课件36张PPT。2.2.2 反证法第二章 §2.2 直接证明与间接证明学习目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.
2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点 反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”思考1 本故事中王戎运用了什么论证思想？答案答案 运用了反证法思想.思考2 反证法解题的实质是什么？答案答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.梳理
(1)定义：一般地，由证明p?q转向证明綈q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.
(2)反证法常见的矛盾类型
①与假设矛盾；
②与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；
③与公认的简单事实矛盾.题型探究例1 设{an}是公比为q的等比数列.设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列.证明类型一 用反证法证明否定性命题证明 假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾.
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列.(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.
(2)用反证法证明数学命题的步骤证明 ∵a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac， ②∴a＝c，从而a＝b＝c.
这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，
∴假设不成立.例2 a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题证明证明 假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.
因为a，b，c∈(0,2)，
所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.即3>3，矛盾.
所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.引申探究
已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于 .证明∵a，b，c都是小于1的正数，
∴1－a,1－b,1－c都是正数.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，
由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，
且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.
同向不等式求和，得
4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，所以a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证.例3 求证：方程2x＝3有且只有一个根.证明 ∵2x＝3，∴x＝log23.
这说明方程2x＝3有根.
下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的.
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则 ＝3, ＝3，两式相除得 ＝1，
∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾.
∴假设不成立，从而原命题得证.证明类型三 用反证法证明唯一性命题用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.跟踪训练3 若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根.证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根.
因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)这与假设f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根.证明当堂训练1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设
A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角答案23451√2.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中
A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60°答案23451√3.“aA.a≠b B.a>b
C.a＝b D.a＝b或a>b23451答案√4.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设
A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c
C.a⊥b D.a与b相交23451答案√5.用反证法证明：关于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，当a≤－ 或a≥－1时，至少有一个方程有实数根.23451证明23451证明 假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.本课结束第二章 推理与证明章末复习课
题型一 合情推理与演绎推理
1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.
2.演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式.另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.
例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N＋)与组的编号数n的关系式为________.
(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
①a2＋b2＝c2；
②cos2A＋cos2B＝1；
③Rt△ABC的外接圆半径为r＝.
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？
(1)答案 f(n)＝n3
解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，
7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.
(2)解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.
①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S＋S＋S＝S2.
②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝.
反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法.
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性.
跟踪训练1 下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________.
①A、B为定点，若动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则点P的轨迹是椭圆；
②由a1＝1，an＋1＝3an－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的通项an和Sn的表达式；
③由圆x2＋y2＝1的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab；
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.
答案 ② ③④
题型二 综合法与分析法
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径.一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程.
例2 用综合法和分析法证明.
已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤.
证明 (分析法)
要证明2sin 2α≤成立.
只要证明4sin αcos α≤.
∵α∈(0，π)，∴sin α>0.
只要证明4cos α≤.
上式可变形为
4≤＋4(1－cos α).
∵1－cos α>0，
∴＋4(1－cos α)≥2＝4，
当且仅当cos α＝，即α＝时取等号.
∴4≤＋4(1－cos α)成立.
∴不等式2sin 2α≤成立.
(综合法)
∵＋4(1－cos α)≥4，
(1－cos α>0，当且仅当cos α＝，即α＝时取等号)
∴4cos α≤.
∵α∈(0，π)，∴sin α>0.
∴4sin αcos α≤.
∴2sin 2α≤.
跟踪训练2 求证：－2cos(α＋β)＝.
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以sin α得
－2cos(α＋β)＝.
题型三 反证法
反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论.
反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p则q”的否定是“若p则綈q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p则綈q”为假，从而可以导出“若p则q”为真，从而达到证明的目的.
例3 若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2或<2中至少有一个成立.
证明 假设<2和<2都不成立，
则有≥2和≥2同时成立.
因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，
所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾.
故<2与<2至少有一个成立.
反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法.
跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d).
求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根.
证明 假设两方程都没有实数根，
则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立.
[呈重点、现规律]
1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.
2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.
3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.
课件39张PPT。章末复习课第二章 推理与证明学习目标
1.理解合情推理和演绎推理.
2.会用直接证明和间接证明方法证明问题.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.合情推理
(1)归纳推理：由 到 、由 到 的推理.
(2)类比推理：由 到 的推理.
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.部分整体个别一般特殊特殊2.演绎推理
(1)演绎推理：由 到 的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
① ——已知的一般原理；
② ——所研究的特殊情况；
③ ——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.一般特殊大前提小前提结论3.直接证明和间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是 和 ：
① 是从已知条件推出结论的证明方法；
② 是从结论追溯到条件的证明方法.
(2)间接证明的一种方法是 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法.综合法分析法综合法分析法反证法题型探究例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和f(n)(n∈N＋)与组的编号数n的关系式为_________.类型一 合情推理的应用f(n)＝n3解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，
7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，
猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.答案解析(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝ 把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.解答解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.下面对①的猜想进行证明.
如图在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，面ABC，面ABD，面ACD为三个两两垂直的侧面.设AB＝a，AC＝b，AD＝c，即所证猜想为真命题.(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法.
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性.跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有____________个小正方形.答案解析解析 第1个图有3个正方形记作a1，
第2个图有3＋3个正方形记作a2，
第3个图有6＋4个正方形记作a3，
第4个图有10＋5个正方形记作a4，
…，
正方形的个数构成数列{an}，
则a2－a1＝3， (1)
a3－a2＝4, (2)
a4－a3＝5, (3)
? ?an－an－1＝n＋1， (n－1)
(1)＋(2)＋…＋(n－1)，得an－a1＝3＋4＋5＋…＋(n＋1)，类型二 综合法与分析法证明证明 方法一 (综合法)
因为a>0，b>0，a＋b＝1，方法二 (分析法)
因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以原不等式成立.分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.证明证明 要证明(x2＋y2) >(x3＋y3) ，
只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2.
只需证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，
只需证3x4y2＋3x2y4>2x3y3.
又x>0，y>0，∴x2y2>0，
∴只需证3x2＋3y2>2xy.
∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy，
∴3x2＋3y2>2xy成立，
故(x2＋y2) >(x3＋y3) .证明 类型三 反证法因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾.反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法.跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d).
求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根.证明证明 假设两方程都没有实数根，
则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，
有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，
从而有4(b＋d)>2ac，
即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立.当堂训练1.观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为
A.9(n＋1)＋n＝10n＋9
B.9(n－1)＋n＝10n－9
C.9n＋(n－1)＝10n－1
D.9(n－1)＋(n－1)＝10n－10答案23451解析√23451解析 由已知中的式子，我们观察后分析：
等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号，
等式右边是一个等差数列.
根据已知可以推断：
第n(n∈N＋)个等式为9(n－1)＋n＝10n－9.
故选B.答案23451解析√234513.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是
A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数
C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根23451答案解析解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.√4.如图，这是一个正六边形的序列：23451答案解析则第n个图形的边数为________.5n＋1解析 图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为首项，5为公差的等差数列，则图(n)的边数为an＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.23451证明 证明 因为a⊥b，所以a·b＝0，平方得|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|≤2(|a|2＋|b|2)，
只需证|a|2＋|b|2－2|a|·|b|≥0成立.
即只需证(|a|－|b|)2≥0，它显然成立.
故原不等式得证.1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.
2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用.间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.本课结束