第五章 相交线与平行线压轴题解析
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文档简介
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相交线与平行线
【知识脉络】
( http: / / www.21cnjy.com )
【基础知识】
1.两直线相交
2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
3.对顶角
（1） 定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别 ( http: / / www.21cnjy.com )是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。2·1·c·n·j·y
（2） 对顶角的性质：对顶角相等。
4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。
5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。
6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b是平行线，可记作“a∥b”【出处：21教育名师】
7．平行公理及推论
（1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
注：
（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。
（2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c。
8．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。
9．平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）
（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）
（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）
10．平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）
（2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）
（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
补充：
（5）平行的定义；（在同一平面内）
（6）在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行。
11.平移的定义及特征
定义：将一个图形向某个方向平行移动，叫做图形的平移。
特征：①平移前后的两个图形形状、大小完全一样；
②平移前与平移后两个图形的对应点连线平行且相等。
【典例解析】
例题1：如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在AB上．
（1）试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说出理由；
（2）如果点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B不重合）
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【考点】平行线的性质．
【分析】（1）过点P作l1的平行线，根据平行线的性质进行解题．（2）（3）都是同样的道理．
【解答】解：（1）∠1+∠2=∠3；
理由：过点P作l1的平行线，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PQ，
∴∠1=∠4，∠2=∠5，（两直线平行，内错角相等）
∵∠4+∠5=∠3，
∴∠1+∠2=∠3；
（2）同（1）可证：∠1+∠2=∠3；
（3）∠1﹣∠2=∠3或∠2﹣∠1=∠3
理由：当点P在下侧时，过点P作l1的平行线PQ，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PQ，
∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4，（两直线平行，内错角相等）
∴∠1﹣∠2=∠3；
当点P在上侧时，同理可得：∠2﹣∠1=∠3．
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例题2：（1）如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM=90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；21·世纪*教育网
（2）如图2，当∠M=90°且AB与CD的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置关系保持（1）中的不变，当直角顶点M移动时，问∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，G为线段AC上一定点，点H为 ( http: / / www.21cnjy.com )直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当点H在射线CD上运动时（点C除外）∠CGH+∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．21*cnjy*com
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【考点】平行线的判定与性质．
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可得出答案；
（2）过M作MF∥AB，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据平行线的性质得出∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，再根据∠M=90°，即可得出∠BAM+∠MCD=90°；【版权所有：21教育】
（3）过点G作GP∥AB，根据平行线的性质得出∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，从而得出∠BAC=∠CHG+∠CGH．21教育名师原创作品
【解答】解：（1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，
∵∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD；
（2）∠BAM+∠MCD=90°；
理由：如图2，过M作MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴MF∥AB∥CD，
∴∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，
∵∠M=90°，
∴∠BAM+∠MCD=90°；
（3）过点G作GP∥AB，
∵AB∥CD
∴GP∥CD，
∴∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，
∴∠PGC=∠CHG+∠CGH，
∴∠BAC=∠CHG+∠CGH．
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例题3：下列各图中的MA1与NAn平行．
（1）图①中的∠A1+∠A2= 180 度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3= 360 度，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 540 度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= 720 度，…，21*cnjy*com
第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10= 1620 度
（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An= （n﹣1）180° ．
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【考点】平行线的性质．
【分析】（1）①根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；②③④⑩分别过拐点作MA1的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答；
（2）根据（1）中的计算规律，不难发现为180°的倍数，然后根据脚码的变化规律写出即可．
【解答】解：（1）图①中，∵MA1∥NA2，
∴∠A1+∠A2=180°，
如图，分别过A2、A3、A4作MA1的平行线，
图②中的∠A1+∠A2+∠A3=360°，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°，
图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720°，
…，
第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=1620°；
（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=（n﹣1）180°．
故答案为：180，360，540，720，1620；（n﹣1）180°．
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【点评】本题考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，过拐点作辅助线利用平行线的性质是解题的关键．
例题4：如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP．21·cn·jy·com
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【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质．
【分析】要证EP⊥FP，即证∠PEF+∠EFP=90°，由角平分线的性质和平行线的性质可知，∠PEF+∠EFP= ( http: / / www.21cnjy.com )（∠BEF+∠EFD）=90°．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
又EP、FP分别是∠BEF、∠EFD的平分线，
∴∠PEF= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BEF，∠EFP= ( http: / / www.21cnjy.com )∠EFD，
∴∠PEF+∠EFP= ( http: / / www.21cnjy.com )（∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠P=180°﹣（∠PEF+∠EFP）=180°﹣90°=90°，
即EP⊥FP．
【点评】本题的关键就是找到∠PEF+∠EFP与∠BEF+∠EFD之间的关系，考查了整体代换思想．
【跟踪训练】
1. 如图，AD∥BC，∠1=∠C，∠B=60°．
（1）求∠C的度数；
（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
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2. 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．
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3. 探索：小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A、∠的数量关系．21世纪教育网版权所有
发现：在图1中，小明和小亮都发现：∠APC=∠A+∠C；
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小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（ 平行于同一直线的两直线平行 ）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD．
∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是 小明的证法 ．
应用：
在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠P的度数为 100° ；
在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为 40° ；
拓展：
在图4中，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
4. 已知如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
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5. 如图，已知直线l1∥l2，l3、 ( http: / / www.21cnjy.com )l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．
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6. 小明同学在做作业时，遇到这样一道几何题：
已知：如图1，l1∥l2∥l3，点 ( http: / / www.21cnjy.com )A、M、B分别在直线l1，l2，l3上，MC平分∠AMB，∠1=28°，∠2=70°．求：∠CMD的度数．
小明想了许久没有思路，就去请教好朋友小坚，小坚给了他如图2所示的提示：
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请问小坚的提示中①是∠ 2 ，④是∠ AMD ．
理由②是： 两直线平行，内错角相等 ；
理由③是： 角平分线定义 ；
∠CMD的度数是 21 °．
参考答案：
1. 如图，AD∥BC，∠1=∠C，∠B=60°．
（1）求∠C的度数；
（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
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【考点】平行线的判定与性质．
【分析】（1）根据平行线的性质和已知求出∠C=∠1=∠B，即可得出答案；
（2）求出∠1=∠B=60°，根据平行线的性质求出∠ADC，求出∠ADE，即可得出∠1=∠ADE，根据平行线的判定得出即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠1=∠B，
∵∠1=∠C，∠B=60°，
∴∠C=∠B=60°；
（2）DE∥AB，
理由是：∵AD∥BC，∠B=60°，
∴∠1=∠B=60°，
∵AD∥BC，∠C=60°，
∴∠ADC=180°﹣∠C120°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE= ( http: / / www.21cnjy.com )∠ADC=60°，
∴∠1=∠ADE，
∴DE∥AB．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
2. 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．
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【考点】平行线的判定．
【分析】设AB与DE相交于H，若判 ( http: / / www.21cnjy.com )断ED与FB的位置关系，首先要判断∠1和∠EHA的大小；由∠3=∠4可证得BD∥CF（内错角相等，两直线平行），可得到∠5=∠BAF；已知∠5=∠6，等量代换后发现AB∥CD，即∠2=∠EHA，由此可得到∠1=∠EHA，根据同位角相等，两直线平行即可判断出BF、DE的位置关系．
【解答】解：BF、DE互相平行；
理由：如图；
∵∠3=∠4，
∴BD∥CF，
∴∠5=∠BAF，
又∵∠5=∠6，
∴∠BAF=∠6，
∴AB∥CD，
∴∠2=∠EHA，
又∵∠1=∠2，即∠1=∠EHA，
∴BF∥DE．
另解：BF、DE互相平行；
理由：如图；
∵∠3=∠4，
∴BD∥CF，
∴∠5=∠BAF，
∵∠5=∠6，
∴∠BAF=∠6，
∵△BFA、△DEC的内角和都是180°
∴△BFA=∠1+∠BFA+BAF；△DEC=∠2+∠4+∠6
∵∠1=∠2；∠BAF=∠6
∴∠BFA=∠4，
∴BF∥DE．
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3. 探索：小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A、∠的数量关系．21教育网
发现：在图1中，小明和小亮都发现：∠APC=∠A+∠C；
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小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（ 平行于同一直线的两直线平行 ）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD．
∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是 小明的证法 ．
应用：
在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠P的度数为 100° ；
在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为 40° ；
拓展：
在图4中，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】过点P作AB的平行线，用相似的证明方法运用平行线的性质进行证明即可．
【解答】解：如图1，过点P作PQ∥AB，
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∴∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C，
故两人的证明过程中，完全正确的是小明的证法；
如图2，过点P作PE∥AB，
∴∠APE+∠A=180°，∠A=120°，
∴∠APE=60°，
∵PE∥AB，AB∥CD．
∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPE+∠C=180°，∠C=140°，
∴∠CPE=40°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE
=100°；
如图3，过点P作PF∥AB，
∴∠APF=∠A，
∵PF∥AB，AB∥CD．
∴PF∥CD，
∴∠CPF=∠C
∴∠CPF﹣∠APF=∠C﹣∠A
即∠APC=∠C﹣∠A=40°；
如图4，过点P作PG∥AB，
∴∠APG+∠A=180°，
∴∠APG=180°﹣∠A
∵PG∥AB，AB∥CD，
∴PG∥CD，（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPG+∠C=180°，
∴∠CPG=180°﹣∠C
∴∠APC=∠CPG﹣∠APG=∠A﹣∠C．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；小明的证法；100°；40°．
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4. 已知如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．www.21-cn-jy.com
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【考点】平行线的判定与性质；垂线．
【分析】先结合图形猜想BF与AC的位置关系是 ( http: / / www.21cnjy.com )：BF⊥AC．要证BF⊥AC，只要证得DE∥BF即可，由平行线的判定可知只需证∠2+∠3=180°，根据平行线的性质结合已知条件即可求证．21cnjy.com
【解答】证明：BF与AC的位置关系是：BF⊥AC．
理由：∵∠AGF=∠ABC，
∴BC∥GF（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠3；
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠3=180°，
∴BF∥DE；
∵DE⊥AC，
∴BF⊥AC．
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5. 如图，已知直线l1∥ ( http: / / www.21cnjy.com )l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．
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【考点】平行线的性质．
【分析】此题三个小题的解 ( http: / / www.21cnjy.com )题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．2-1-c-n-j-y
【解答】证明：（1）过P作PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．
（2）关系：∠3=∠2﹣∠1；
过P作直线PQ∥l1∥l2，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3=∠2﹣∠1．
（3）关系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
过P作PQ∥l1∥l2；
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
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6. 小明同学在做作业时，遇到这样一道几何题：
已知：如图1，l1∥l2∥l3，点A、 ( http: / / www.21cnjy.com )M、B分别在直线l1，l2，l3上，MC平分∠AMB，∠1=28°，∠2=70°．求：∠CMD的度数．www-2-1-cnjy-com
小明想了许久没有思路，就去请教好朋友小坚，小坚给了他如图2所示的提示：
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请问小坚的提示中①是∠ 2 ，④是∠ AMD ．
理由②是： 两直线平行，内错角相等 ；
理由③是： 角平分线定义 ；
∠CMD的度数是 21 °．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得 ( http: / / www.21cnjy.com )∠1=∠AMD=28°，∠2=∠DMB=70°，进而可得∠AMB，再根据角平分线定义可得∠BMC的度数，然后可得答案．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴∠1=∠AMD=28°，∠2=∠DMB=70°（两直线平行，内错角相等），
∴∠AMB=28°+70°=98°，
∵MC平分∠AMB，
∴∠BMC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AMB=98°× ( http: / / www.21cnjy.com )=49°（角平分线定义），
∴∠DMC=70°﹣49°=21°，
故答案为：2；AMD；两直线平行，内错角相等；角平分线定义；
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相交线与平行线
【知识脉络】
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【基础知识】
1.两直线相交
2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
3.对顶角
（1） 定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别 ( http: / / www.21cnjy.com )是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。2·1·c·n·j·y
（2） 对顶角的性质：对顶角相等。
4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。
5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。
6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b是平行线，可记作“a∥b”【出处：21教育名师】
7．平行公理及推论
（1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
注：
（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。
（2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c。
8．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。
9．平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）
（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）
（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）
10．平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）
（2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）
（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
补充：
（5）平行的定义；（在同一平面内）
（6）在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行。
11.平移的定义及特征
定义：将一个图形向某个方向平行移动，叫做图形的平移。
特征：①平移前后的两个图形形状、大小完全一样；
②平移前与平移后两个图形的对应点连线平行且相等。
【典例解析】
例题1：如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在AB上．
（1）试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说出理由；
（2）如果点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B不重合）
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【考点】平行线的性质．
【分析】（1）过点P作l1的平行线，根据平行线的性质进行解题．（2）（3）都是同样的道理．
【解答】解：（1）∠1+∠2=∠3；
理由：过点P作l1的平行线，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PQ，
∴∠1=∠4，∠2=∠5，（两直线平行，内错角相等）
∵∠4+∠5=∠3，
∴∠1+∠2=∠3；
（2）同（1）可证：∠1+∠2=∠3；
（3）∠1﹣∠2=∠3或∠2﹣∠1=∠3
理由：当点P在下侧时，过点P作l1的平行线PQ，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PQ，
∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4，（两直线平行，内错角相等）
∴∠1﹣∠2=∠3；
当点P在上侧时，同理可得：∠2﹣∠1=∠3．
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例题2：（1）如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM=90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；21·世纪*教育网
（2）如图2，当∠M=90°且AB与CD的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置关系保持（1）中的不变，当直角顶点M移动时，问∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，G为线段AC上一定点，点H为 ( http: / / www.21cnjy.com )直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当点H在射线CD上运动时（点C除外）∠CGH+∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．21*cnjy*com
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【考点】平行线的判定与性质．
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可得出答案；
（2）过M作MF∥AB，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据平行线的性质得出∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，再根据∠M=90°，即可得出∠BAM+∠MCD=90°；【版权所有：21教育】
（3）过点G作GP∥AB，根据平行线的性质得出∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，从而得出∠BAC=∠CHG+∠CGH．21教育名师原创作品
【解答】解：（1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，
∵∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD；
（2）∠BAM+∠MCD=90°；
理由：如图2，过M作MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴MF∥AB∥CD，
∴∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，
∵∠M=90°，
∴∠BAM+∠MCD=90°；
（3）过点G作GP∥AB，
∵AB∥CD
∴GP∥CD，
∴∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，
∴∠PGC=∠CHG+∠CGH，
∴∠BAC=∠CHG+∠CGH．
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例题3：下列各图中的MA1与NAn平行．
（1）图①中的∠A1+∠A2= 180 度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3= 360 度，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 540 度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= 720 度，…，21*cnjy*com
第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10= 1620 度
（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An= （n﹣1）180° ．
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【考点】平行线的性质．
【分析】（1）①根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；②③④⑩分别过拐点作MA1的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答；
（2）根据（1）中的计算规律，不难发现为180°的倍数，然后根据脚码的变化规律写出即可．
【解答】解：（1）图①中，∵MA1∥NA2，
∴∠A1+∠A2=180°，
如图，分别过A2、A3、A4作MA1的平行线，
图②中的∠A1+∠A2+∠A3=360°，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°，
图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720°，
…，
第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=1620°；
（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=（n﹣1）180°．
故答案为：180，360，540，720，1620；（n﹣1）180°．
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【点评】本题考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，过拐点作辅助线利用平行线的性质是解题的关键．
例题4：如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP．21·cn·jy·com
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【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质．
【分析】要证EP⊥FP，即证∠PEF+∠EFP=90°，由角平分线的性质和平行线的性质可知，∠PEF+∠EFP= ( http: / / www.21cnjy.com )（∠BEF+∠EFD）=90°．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
又EP、FP分别是∠BEF、∠EFD的平分线，
∴∠PEF= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BEF，∠EFP= ( http: / / www.21cnjy.com )∠EFD，
∴∠PEF+∠EFP= ( http: / / www.21cnjy.com )（∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠P=180°﹣（∠PEF+∠EFP）=180°﹣90°=90°，
即EP⊥FP．
【点评】本题的关键就是找到∠PEF+∠EFP与∠BEF+∠EFD之间的关系，考查了整体代换思想．
【跟踪训练】
1. 如图，AD∥BC，∠1=∠C，∠B=60°．
（1）求∠C的度数；
（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
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2. 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．
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3. 探索：小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A、∠的数量关系．21世纪教育网版权所有
发现：在图1中，小明和小亮都发现：∠APC=∠A+∠C；
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小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（ 平行于同一直线的两直线平行 ）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD．
∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是 小明的证法 ．
应用：
在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠P的度数为 100° ；
在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为 40° ；
拓展：
在图4中，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
4. 已知如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
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5. 如图，已知直线l1∥l2，l3、 ( http: / / www.21cnjy.com )l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．
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6. 小明同学在做作业时，遇到这样一道几何题：
已知：如图1，l1∥l2∥l3，点 ( http: / / www.21cnjy.com )A、M、B分别在直线l1，l2，l3上，MC平分∠AMB，∠1=28°，∠2=70°．求：∠CMD的度数．
小明想了许久没有思路，就去请教好朋友小坚，小坚给了他如图2所示的提示：
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请问小坚的提示中①是∠ 2 ，④是∠ AMD ．
理由②是： 两直线平行，内错角相等 ；
理由③是： 角平分线定义 ；
∠CMD的度数是 21 °．
参考答案：
1. 如图，AD∥BC，∠1=∠C，∠B=60°．
（1）求∠C的度数；
（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
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【考点】平行线的判定与性质．
【分析】（1）根据平行线的性质和已知求出∠C=∠1=∠B，即可得出答案；
（2）求出∠1=∠B=60°，根据平行线的性质求出∠ADC，求出∠ADE，即可得出∠1=∠ADE，根据平行线的判定得出即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠1=∠B，
∵∠1=∠C，∠B=60°，
∴∠C=∠B=60°；
（2）DE∥AB，
理由是：∵AD∥BC，∠B=60°，
∴∠1=∠B=60°，
∵AD∥BC，∠C=60°，
∴∠ADC=180°﹣∠C120°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE= ( http: / / www.21cnjy.com )∠ADC=60°，
∴∠1=∠ADE，
∴DE∥AB．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
2. 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．
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【考点】平行线的判定．
【分析】设AB与DE相交于H，若判 ( http: / / www.21cnjy.com )断ED与FB的位置关系，首先要判断∠1和∠EHA的大小；由∠3=∠4可证得BD∥CF（内错角相等，两直线平行），可得到∠5=∠BAF；已知∠5=∠6，等量代换后发现AB∥CD，即∠2=∠EHA，由此可得到∠1=∠EHA，根据同位角相等，两直线平行即可判断出BF、DE的位置关系．
【解答】解：BF、DE互相平行；
理由：如图；
∵∠3=∠4，
∴BD∥CF，
∴∠5=∠BAF，
又∵∠5=∠6，
∴∠BAF=∠6，
∴AB∥CD，
∴∠2=∠EHA，
又∵∠1=∠2，即∠1=∠EHA，
∴BF∥DE．
另解：BF、DE互相平行；
理由：如图；
∵∠3=∠4，
∴BD∥CF，
∴∠5=∠BAF，
∵∠5=∠6，
∴∠BAF=∠6，
∵△BFA、△DEC的内角和都是180°
∴△BFA=∠1+∠BFA+BAF；△DEC=∠2+∠4+∠6
∵∠1=∠2；∠BAF=∠6
∴∠BFA=∠4，
∴BF∥DE．
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3. 探索：小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A、∠的数量关系．21教育网
发现：在图1中，小明和小亮都发现：∠APC=∠A+∠C；
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小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（ 平行于同一直线的两直线平行 ）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD．
∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是 小明的证法 ．
应用：
在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠P的度数为 100° ；
在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为 40° ；
拓展：
在图4中，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】过点P作AB的平行线，用相似的证明方法运用平行线的性质进行证明即可．
【解答】解：如图1，过点P作PQ∥AB，
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∴∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C，
故两人的证明过程中，完全正确的是小明的证法；
如图2，过点P作PE∥AB，
∴∠APE+∠A=180°，∠A=120°，
∴∠APE=60°，
∵PE∥AB，AB∥CD．
∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPE+∠C=180°，∠C=140°，
∴∠CPE=40°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE
=100°；
如图3，过点P作PF∥AB，
∴∠APF=∠A，
∵PF∥AB，AB∥CD．
∴PF∥CD，
∴∠CPF=∠C
∴∠CPF﹣∠APF=∠C﹣∠A
即∠APC=∠C﹣∠A=40°；
如图4，过点P作PG∥AB，
∴∠APG+∠A=180°，
∴∠APG=180°﹣∠A
∵PG∥AB，AB∥CD，
∴PG∥CD，（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPG+∠C=180°，
∴∠CPG=180°﹣∠C
∴∠APC=∠CPG﹣∠APG=∠A﹣∠C．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；小明的证法；100°；40°．
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4. 已知如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．www.21-cn-jy.com
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【考点】平行线的判定与性质；垂线．
【分析】先结合图形猜想BF与AC的位置关系是 ( http: / / www.21cnjy.com )：BF⊥AC．要证BF⊥AC，只要证得DE∥BF即可，由平行线的判定可知只需证∠2+∠3=180°，根据平行线的性质结合已知条件即可求证．21cnjy.com
【解答】证明：BF与AC的位置关系是：BF⊥AC．
理由：∵∠AGF=∠ABC，
∴BC∥GF（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠3；
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠3=180°，
∴BF∥DE；
∵DE⊥AC，
∴BF⊥AC．
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5. 如图，已知直线l1∥ ( http: / / www.21cnjy.com )l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．
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【考点】平行线的性质．
【分析】此题三个小题的解 ( http: / / www.21cnjy.com )题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．2-1-c-n-j-y
【解答】证明：（1）过P作PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．
（2）关系：∠3=∠2﹣∠1；
过P作直线PQ∥l1∥l2，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3=∠2﹣∠1．
（3）关系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
过P作PQ∥l1∥l2；
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
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6. 小明同学在做作业时，遇到这样一道几何题：
已知：如图1，l1∥l2∥l3，点A、 ( http: / / www.21cnjy.com )M、B分别在直线l1，l2，l3上，MC平分∠AMB，∠1=28°，∠2=70°．求：∠CMD的度数．www-2-1-cnjy-com
小明想了许久没有思路，就去请教好朋友小坚，小坚给了他如图2所示的提示：
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请问小坚的提示中①是∠ 2 ，④是∠ AMD ．
理由②是： 两直线平行，内错角相等 ；
理由③是： 角平分线定义 ；
∠CMD的度数是 21 °．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得 ( http: / / www.21cnjy.com )∠1=∠AMD=28°，∠2=∠DMB=70°，进而可得∠AMB，再根据角平分线定义可得∠BMC的度数，然后可得答案．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴∠1=∠AMD=28°，∠2=∠DMB=70°（两直线平行，内错角相等），
∴∠AMB=28°+70°=98°，
∵MC平分∠AMB，
∴∠BMC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AMB=98°× ( http: / / www.21cnjy.com )=49°（角平分线定义），
∴∠DMC=70°﹣49°=21°，
故答案为：2；AMD；两直线平行，内错角相等；角平分线定义；
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