第八章 二元一次方程组压轴题解析
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文档简介
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二元一次方程组
【知识脉络】
( http: / / www.21cnjy.com )
【基础知识】
1.二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2.二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3.二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。21·cn·jy·com
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
5.代入消元法解二元一次方程组：
（1思路：未知数又多变少。
（2法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（3消元法：把二元一次方程组中一个方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
（4法解二元一次方程组的一般步骤：
（5程组中选出一个系数比较简单的方程，将这 ( http: / / www.21cnjy.com )个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”
（6）ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
（7）这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
（8）把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”
（9） 把x、y的值用｛联立起来即“联”
6.加减消元法解二元一次方程组
（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数 ( http: / / www.21cnjy.com )相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
（2）用加减消元法解二元一次方程组的解
（3）方程组的两个方程中， ( http: / / www.21cnjy.com )如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
（4）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。
解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。
将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。
把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
7.二元一次方程组应用题
（1）一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
（2）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；
（3）找：找出能够表示题意两个相等关系；
（4）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
（5）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
（6）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案
【典例解析】
例题1：某商场用15.5万元购进甲、乙 ( http: / / www.21cnjy.com )两种品牌手机共50部，已知甲品牌手机的进货价是4000元，乙品牌的进货价是2500元，该商场购进甲、乙两种品牌手机各多少部？21*cnjy*com
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设该商场购进甲品牌手机x部 ( http: / / www.21cnjy.com )，乙品牌手机y部，题中的等量关系：甲、乙两种品牌手机共50部；甲、乙两种品牌手机共15.5万元．据此列出方程组并解答．
【解答】解：设甲品牌手机x部，乙品牌手机y部，
依题意得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
答：该商场购进甲品牌手机30部，乙品牌手机30部．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
例题2：甲、乙两所学校计划在暑假期 ( http: / / www.21cnjy.com )间组织学生自愿参加“某地一日游”活动，甲校报名参加的学生人数大于100人，乙校报名参加的学生人数小于100人．两校分别组团共需花费20800元，两校联合组团只需花费18000元．某旅行社的收费标准如表：21教育名师原创作品
学生人数为m（m为正整数） 0＜m≤100 100＜m≤200 m＞200
收费标准（元/人） 90 85 75
（1）求甲、乙两所学校参加旅游的学生人数之和．
（2）求甲、乙两所学校参加旅游的学生人数．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】（1）由已知分两种情况讨论，即a＞200和100＜a≤200，得出结论；
（2）根据两种情况的费用，即x＞200和100＜x≤200分别设未知数列方程求解，讨论得出答案．
【解答】解：（1）设两校人数之和为a．
若a＞200，则a=18000÷75=240．
若100＜a≤200，则a=18000÷85=211 ( http: / / www.21cnjy.com )，不合题意，舍去．
答：两所学校报名参加旅游的学生人数之和是240人．
（2）设甲、乙两所学校参加旅游的学生人数分别是x、y人．
①当100＜x≤200时，由题意，得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )；
②当x＞200时，由题意，得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，此解不合题意，舍去；
答：甲、乙两所学校参加旅游的学生人数分别是160、80人．
例题3：已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货 ( http: / / www.21cnjy.com )物一次可运货10吨； 用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：2·1·c·n·j·y
①1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
②请你帮该物流公司设计租车方案．
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．
【分析】（1）根据“用2辆 ( http: / / www.21cnjy.com )A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；”“用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可；【版权所有：21教育】
（2）由题意理解出：3a+4b=31，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案．
【解答】解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )．
答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．
（2）结合题意和（1）得：3a+4b=31，
∴a= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵a、b都是正整数，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )．
答：有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；
方案二：A型车5辆，B型车4辆；
方案三：A型车1辆，B型车7辆．
例题4：先阅读第（1）小题的解答，然后解答第（2）小题．
（1）解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )
解：由①得x﹣y=1③
将③代入②得4×1﹣y=5，即y=﹣1，
将y=﹣1代入③得，x=0
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】根据（1）中的解法求出（2）中方程组的解即可．
【解答】解：（2） ( http: / / www.21cnjy.com )，
将①代入②得：1+2y=9，即y=4，
将y=4代入①得：x=7，
则方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【跟踪训练】
1. 甲、乙两人同时解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )甲解题看错了①中的m，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，乙解题时看错②中的n，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，试求原方程组的解．www-2-1-cnjy-com
2. 青藏铁路于2006 ( http: / / www.21cnjy.com )年7月1日胜利通车，青藏高原天堑变通途，圆了几代人的梦想．作为世界上海拔最高，施工难度最大的铁路，青藏铁路全县有一座大桥﹣拉萨河大桥（如图）全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘T22次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究T22次列车的长度与速度，记录了以下两个数据：
火车完全在主桥上的时间为35秒
火车上主桥到完全通过主桥用了45秒
知道这两个数据后，小明一会就算出了T22次列车的长度与速度，聪明的同学们，你知道他怎么算的吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
3. 甲乙两人共同计算一道整式乘法：（ ( http: / / www.21cnjy.com )2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．【出处：21教育名师】
4. 若（x+y+4）2+|3x﹣y|=0，则x= ，y= ．
5. 已知方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )，由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )，若按正确的a、b计算，则原方程组的解x与y的差x﹣y的值是多少？21cnjy.com
6. 低碳生活的理念已逐步被人们接受．据相关资料统计：
一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约18kg；
一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约6kg．
甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电 ( http: / / www.21cnjy.com )”、“少买衣服”的倡议．2013年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排二氧化碳总量为600kg．
（1）2013年两校响应本校倡议的人数分别是多少？
（2）2013年到2015年，甲校 ( http: / / www.21cnjy.com )响应本校倡议的人数每年增加相同的数量；2015乙校响应本校倡议的人数比2014增长了50%，且2014年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍多8；2015年两校响应本校倡议的总人数比2014年两校响应本校倡议的总人数多100人．求2014年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量．21*cnjy*com
参考答案：
1. 甲、乙两人同时解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )甲解题看错了①中的m，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，乙解题时看错②中的n，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，试求原方程组的解．
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；把m与n的值代入方程组求出解即可．
【解答】解：（1）把 ( http: / / www.21cnjy.com )代入②得：7+2n=13，
解得：n=3，
把 ( http: / / www.21cnjy.com )代入①得：3m﹣7=5，
解得：m=4；
把m=4，n=3代入方程组得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
①×3+②得：14x=28，即x=2，
把x=2代入①得：y=﹣3，
则方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
2. 青藏铁路于2006年7月1日胜利通 ( http: / / www.21cnjy.com )车，青藏高原天堑变通途，圆了几代人的梦想．作为世界上海拔最高，施工难度最大的铁路，青藏铁路全县有一座大桥﹣拉萨河大桥（如图）全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘T22次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究T22次列车的长度与速度，记录了以下两个数据：21世纪教育网版权所有
火车完全在主桥上的时间为35秒
火车上主桥到完全通过主桥用了45秒
知道这两个数据后，小明一会就算出了T22次列车的长度与速度，聪明的同学们，你知道他怎么算的吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案．
【解答】解：设T22次列车的长度为xm，速度为ym/s，根据题意可得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
答：T22次列车的长度为100m，速度为20m/s．
3. 甲乙两人共同计算一道整式乘法： ( http: / / www.21cnjy.com )（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．www.21-cn-jy.com
【考点】多项式乘多项式．
【分析】先按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值，再把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：∵甲得到的算式：（2x﹣a）（3x+b）=6x2+（2b﹣3a）x﹣ab=6x2+11x﹣102-1-c-n-j-y
对应的系数相等，2b﹣3a=11，ab=10，
乙得到的算式：（2x+a）（x+b）=2x2+（2b+a）x+ab=2x2﹣9x+10
对应的系数相等，2b+a=﹣9，ab=10，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴正确的式子：（2x﹣5）（3x﹣2）=6x2﹣19x+10．
4. 若（x+y+4）2+|3x﹣y|=0，则x= ﹣1 ，y= ﹣3 ．
【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【分析】先根据非负数的性质得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值即可．
【解答】解：∵（x+y+4）2+|3x﹣y|=0，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案为：﹣1，﹣3．
5. 已知方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )，由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )，若按正确的a、b计算，则原方程组的解x与y的差x﹣y的值是多少？21·世纪*教育网
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】将甲得到的方程组的解代入第二个 ( http: / / www.21cnjy.com )方程求出b的值，将乙得到方程组的解代入第一个方程求出a的值，确定出正确的方程组，求出方程组的解得到正确的x与y的值，进而求得x﹣y的值．
【解答】解：将x=﹣13，y=﹣1代入方程组中的第二个方程得：﹣52+b=﹣2，
解得：b=50，
将x=5，y=4代入方程组中的第一个方程得：5a+20=15，
解得：a=﹣1，
则方程组为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
①×10+②得：﹣6x=148，
解得：x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
将x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )代入①得：y= ( http: / / www.21cnjy.com )，
即方程组的正确解为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
则x﹣y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
6. 低碳生活的理念已逐步被人们接受．据相关资料统计：
一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约18kg；
一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约6kg．
甲、乙两校分别对本校师生提出“ ( http: / / www.21cnjy.com )节约用电”、“少买衣服”的倡议．2013年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排二氧化碳总量为600kg．
（1）2013年两校响应本校倡议的人数分别是多少？
（2）2013年到2015年，甲校响应 ( http: / / www.21cnjy.com )本校倡议的人数每年增加相同的数量；2015乙校响应本校倡议的人数比2014增长了50%，且2014年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍多8；2015年两校响应本校倡议的总人数比2014年两校响应本校倡议的总人数多100人．求2014年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量．21教育网
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设2013年甲校响应本校倡议的人数为x人，乙校响应本校倡议的人数为y人，根据题意列出方程组求解即可．【来源：21·世纪·教育·网】
（2）设甲校每年增长的人数为m，根据201 ( http: / / www.21cnjy.com )4年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍多8；2015年两校响应本校倡议的总人数比2014年两校响应本校倡议的总人数多100人．列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设2009年甲校响应本校倡议的人数为x人，乙校响应本校倡议的人数为y人，依题意得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得， ( http: / / www.21cnjy.com )．
答：2013年两校响应本校倡议的人数分别是20人和40人．
（2）设甲校每年增长的人数为m，则
甲校2015年响应本校倡议的人数为：（20+m）×2．
乙校2014年响应本校倡议的人数为：2（20+m）+8．
乙校2015年响应本校倡议的人数为：[2（20+m）+8]（1+50%）．
[2（20+m）+8]（1+50%）+（20+m）×2=20+m+2（20+m）+8+100，
解得m=28．
∴18×[20+28+2（20+28）+8]=2376（kg），
∴2014年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量为2376 kg．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到合适的等量关系．
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二元一次方程组
【知识脉络】
( http: / / www.21cnjy.com )
【基础知识】
1.二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2.二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3.二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。21·cn·jy·com
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
5.代入消元法解二元一次方程组：
（1思路：未知数又多变少。
（2法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（3消元法：把二元一次方程组中一个方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
（4法解二元一次方程组的一般步骤：
（5程组中选出一个系数比较简单的方程，将这 ( http: / / www.21cnjy.com )个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”
（6）ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
（7）这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
（8）把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”
（9） 把x、y的值用｛联立起来即“联”
6.加减消元法解二元一次方程组
（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数 ( http: / / www.21cnjy.com )相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
（2）用加减消元法解二元一次方程组的解
（3）方程组的两个方程中， ( http: / / www.21cnjy.com )如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
（4）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。
解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。
将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。
把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
7.二元一次方程组应用题
（1）一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
（2）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；
（3）找：找出能够表示题意两个相等关系；
（4）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
（5）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
（6）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案
【典例解析】
例题1：某商场用15.5万元购进甲、乙 ( http: / / www.21cnjy.com )两种品牌手机共50部，已知甲品牌手机的进货价是4000元，乙品牌的进货价是2500元，该商场购进甲、乙两种品牌手机各多少部？21*cnjy*com
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设该商场购进甲品牌手机x部 ( http: / / www.21cnjy.com )，乙品牌手机y部，题中的等量关系：甲、乙两种品牌手机共50部；甲、乙两种品牌手机共15.5万元．据此列出方程组并解答．
【解答】解：设甲品牌手机x部，乙品牌手机y部，
依题意得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
答：该商场购进甲品牌手机30部，乙品牌手机30部．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
例题2：甲、乙两所学校计划在暑假期 ( http: / / www.21cnjy.com )间组织学生自愿参加“某地一日游”活动，甲校报名参加的学生人数大于100人，乙校报名参加的学生人数小于100人．两校分别组团共需花费20800元，两校联合组团只需花费18000元．某旅行社的收费标准如表：21教育名师原创作品
学生人数为m（m为正整数） 0＜m≤100 100＜m≤200 m＞200
收费标准（元/人） 90 85 75
（1）求甲、乙两所学校参加旅游的学生人数之和．
（2）求甲、乙两所学校参加旅游的学生人数．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】（1）由已知分两种情况讨论，即a＞200和100＜a≤200，得出结论；
（2）根据两种情况的费用，即x＞200和100＜x≤200分别设未知数列方程求解，讨论得出答案．
【解答】解：（1）设两校人数之和为a．
若a＞200，则a=18000÷75=240．
若100＜a≤200，则a=18000÷85=211 ( http: / / www.21cnjy.com )，不合题意，舍去．
答：两所学校报名参加旅游的学生人数之和是240人．
（2）设甲、乙两所学校参加旅游的学生人数分别是x、y人．
①当100＜x≤200时，由题意，得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )；
②当x＞200时，由题意，得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，此解不合题意，舍去；
答：甲、乙两所学校参加旅游的学生人数分别是160、80人．
例题3：已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货 ( http: / / www.21cnjy.com )物一次可运货10吨； 用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：2·1·c·n·j·y
①1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
②请你帮该物流公司设计租车方案．
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．
【分析】（1）根据“用2辆 ( http: / / www.21cnjy.com )A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；”“用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可；【版权所有：21教育】
（2）由题意理解出：3a+4b=31，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案．
【解答】解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )．
答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．
（2）结合题意和（1）得：3a+4b=31，
∴a= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵a、b都是正整数，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )．
答：有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；
方案二：A型车5辆，B型车4辆；
方案三：A型车1辆，B型车7辆．
例题4：先阅读第（1）小题的解答，然后解答第（2）小题．
（1）解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )
解：由①得x﹣y=1③
将③代入②得4×1﹣y=5，即y=﹣1，
将y=﹣1代入③得，x=0
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】根据（1）中的解法求出（2）中方程组的解即可．
【解答】解：（2） ( http: / / www.21cnjy.com )，
将①代入②得：1+2y=9，即y=4，
将y=4代入①得：x=7，
则方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【跟踪训练】
1. 甲、乙两人同时解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )甲解题看错了①中的m，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，乙解题时看错②中的n，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，试求原方程组的解．www-2-1-cnjy-com
2. 青藏铁路于2006 ( http: / / www.21cnjy.com )年7月1日胜利通车，青藏高原天堑变通途，圆了几代人的梦想．作为世界上海拔最高，施工难度最大的铁路，青藏铁路全县有一座大桥﹣拉萨河大桥（如图）全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘T22次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究T22次列车的长度与速度，记录了以下两个数据：
火车完全在主桥上的时间为35秒
火车上主桥到完全通过主桥用了45秒
知道这两个数据后，小明一会就算出了T22次列车的长度与速度，聪明的同学们，你知道他怎么算的吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
3. 甲乙两人共同计算一道整式乘法：（ ( http: / / www.21cnjy.com )2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．【出处：21教育名师】
4. 若（x+y+4）2+|3x﹣y|=0，则x= ，y= ．
5. 已知方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )，由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )，若按正确的a、b计算，则原方程组的解x与y的差x﹣y的值是多少？21cnjy.com
6. 低碳生活的理念已逐步被人们接受．据相关资料统计：
一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约18kg；
一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约6kg．
甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电 ( http: / / www.21cnjy.com )”、“少买衣服”的倡议．2013年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排二氧化碳总量为600kg．
（1）2013年两校响应本校倡议的人数分别是多少？
（2）2013年到2015年，甲校 ( http: / / www.21cnjy.com )响应本校倡议的人数每年增加相同的数量；2015乙校响应本校倡议的人数比2014增长了50%，且2014年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍多8；2015年两校响应本校倡议的总人数比2014年两校响应本校倡议的总人数多100人．求2014年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量．21*cnjy*com
参考答案：
1. 甲、乙两人同时解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )甲解题看错了①中的m，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，乙解题时看错②中的n，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，试求原方程组的解．
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；把m与n的值代入方程组求出解即可．
【解答】解：（1）把 ( http: / / www.21cnjy.com )代入②得：7+2n=13，
解得：n=3，
把 ( http: / / www.21cnjy.com )代入①得：3m﹣7=5，
解得：m=4；
把m=4，n=3代入方程组得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
①×3+②得：14x=28，即x=2，
把x=2代入①得：y=﹣3，
则方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
2. 青藏铁路于2006年7月1日胜利通 ( http: / / www.21cnjy.com )车，青藏高原天堑变通途，圆了几代人的梦想．作为世界上海拔最高，施工难度最大的铁路，青藏铁路全县有一座大桥﹣拉萨河大桥（如图）全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘T22次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究T22次列车的长度与速度，记录了以下两个数据：21世纪教育网版权所有
火车完全在主桥上的时间为35秒
火车上主桥到完全通过主桥用了45秒
知道这两个数据后，小明一会就算出了T22次列车的长度与速度，聪明的同学们，你知道他怎么算的吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案．
【解答】解：设T22次列车的长度为xm，速度为ym/s，根据题意可得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
答：T22次列车的长度为100m，速度为20m/s．
3. 甲乙两人共同计算一道整式乘法： ( http: / / www.21cnjy.com )（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．www.21-cn-jy.com
【考点】多项式乘多项式．
【分析】先按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值，再把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：∵甲得到的算式：（2x﹣a）（3x+b）=6x2+（2b﹣3a）x﹣ab=6x2+11x﹣102-1-c-n-j-y
对应的系数相等，2b﹣3a=11，ab=10，
乙得到的算式：（2x+a）（x+b）=2x2+（2b+a）x+ab=2x2﹣9x+10
对应的系数相等，2b+a=﹣9，ab=10，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴正确的式子：（2x﹣5）（3x﹣2）=6x2﹣19x+10．
4. 若（x+y+4）2+|3x﹣y|=0，则x= ﹣1 ，y= ﹣3 ．
【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【分析】先根据非负数的性质得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值即可．
【解答】解：∵（x+y+4）2+|3x﹣y|=0，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案为：﹣1，﹣3．
5. 已知方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )，由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )，若按正确的a、b计算，则原方程组的解x与y的差x﹣y的值是多少？21·世纪*教育网
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】将甲得到的方程组的解代入第二个 ( http: / / www.21cnjy.com )方程求出b的值，将乙得到方程组的解代入第一个方程求出a的值，确定出正确的方程组，求出方程组的解得到正确的x与y的值，进而求得x﹣y的值．
【解答】解：将x=﹣13，y=﹣1代入方程组中的第二个方程得：﹣52+b=﹣2，
解得：b=50，
将x=5，y=4代入方程组中的第一个方程得：5a+20=15，
解得：a=﹣1，
则方程组为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
①×10+②得：﹣6x=148，
解得：x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
将x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )代入①得：y= ( http: / / www.21cnjy.com )，
即方程组的正确解为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
则x﹣y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
6. 低碳生活的理念已逐步被人们接受．据相关资料统计：
一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约18kg；
一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约6kg．
甲、乙两校分别对本校师生提出“ ( http: / / www.21cnjy.com )节约用电”、“少买衣服”的倡议．2013年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排二氧化碳总量为600kg．
（1）2013年两校响应本校倡议的人数分别是多少？
（2）2013年到2015年，甲校响应 ( http: / / www.21cnjy.com )本校倡议的人数每年增加相同的数量；2015乙校响应本校倡议的人数比2014增长了50%，且2014年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍多8；2015年两校响应本校倡议的总人数比2014年两校响应本校倡议的总人数多100人．求2014年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量．21教育网
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设2013年甲校响应本校倡议的人数为x人，乙校响应本校倡议的人数为y人，根据题意列出方程组求解即可．【来源：21·世纪·教育·网】
（2）设甲校每年增长的人数为m，根据201 ( http: / / www.21cnjy.com )4年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍多8；2015年两校响应本校倡议的总人数比2014年两校响应本校倡议的总人数多100人．列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设2009年甲校响应本校倡议的人数为x人，乙校响应本校倡议的人数为y人，依题意得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得， ( http: / / www.21cnjy.com )．
答：2013年两校响应本校倡议的人数分别是20人和40人．
（2）设甲校每年增长的人数为m，则
甲校2015年响应本校倡议的人数为：（20+m）×2．
乙校2014年响应本校倡议的人数为：2（20+m）+8．
乙校2015年响应本校倡议的人数为：[2（20+m）+8]（1+50%）．
[2（20+m）+8]（1+50%）+（20+m）×2=20+m+2（20+m）+8+100，
解得m=28．
∴18×[20+28+2（20+28）+8]=2376（kg），
∴2014年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量为2376 kg．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到合适的等量关系．
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