第七章 平面直角坐标系压轴题解析
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平面直角坐标系
【知识脉络】
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【基础知识】
1、 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；
2、 坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对 有序实数对（）
一一对应；其中，为横坐标，为纵坐标坐标；
3、轴上的点，纵坐标等于0；轴上的点，横坐标等于0；
坐标轴上的点不属于任何象限；
4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：
象限 横坐标 纵坐标
第一象限 正 正
第二象限 负 正
第三象限 负 负
第四象限 正 负
小结：（1）点P（）所在的象限 横、纵坐标、的取值的正负性；
（2）点P（）所在的数轴 横、纵坐标、中必有一数为零；
5、 在平面直角坐标系中，已知点P，则
（1）点P到轴的距离为；（2）点P到轴的距离为；
（3）点P到原点O的距离为PO＝
6、 平行直线上的点的坐标特征：
a) 在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；
点A、B的纵坐标都等于；
b) 在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；
点C、D的横坐标都等于；
7、 对称点的坐标特征：
a) 点P关于轴的对称点为， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；
b) 点P关于轴的对称点为， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；
c) 点P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数；
关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称21
8、 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：
a)点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等；
b)若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数；
在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上
【典例解析】
例题1：．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的位置如图（每个小正方形的边长均为1）．
（1）请画出△ABC沿x轴向平移3个单位 ( http: / / www.21cnjy.com )长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后的△A′B′C′（其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应点，不写画法）
（2）直接写出A′、B′、C′三点的坐标：
A′（ 0 ， 5 ）；
B′（ ﹣1 ， 3 ）；
C′（ 4 ， 0 ）．
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【考点】作图﹣平移变换．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可．
【解答】解：（1）△A′B′C′如图所示；
（2）由图可知，A′（0，5），B′（﹣1，3），C′（4，0）．
故答案为：0，5；﹣1，3；4，0．
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例题2：如图，写出三角形ABC三个顶点的坐标，并求出三角形ABC的面积．
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【考点】坐标与图形性质；三角形的面积．
【分析】用“割、补”法把三角形ABC的面积转化为S矩形DEBF﹣S△AEB﹣S△BCF﹣S△ADC，然后根据矩形和三角形的面积公式计算．21cnjy.com
【解答】解：如图，
S△ABC=S矩形DEBF﹣S△AEB﹣S△BCF﹣S△ADC
=12×7﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×6×7﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×12×5﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×2×6
=27．
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例题3：在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．21·cn·jy·com
（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；www.21-cn-jy.com
（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴 ( http: / / www.21cnjy.com )的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD=7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．2·1·c·n·j·y
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使=（S△PCD表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；
（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据S△BCD=7（S△BCD建立方程求解，即可，
（3）设出点P的坐标，表示出PC用=，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵B（3，0）平移后的对应点C（﹣2，4），
∴设3+a=﹣2，0+b=4，
∴a=﹣5，b=4，
即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C（﹣2，4），
∴A点平移后的对应点D（﹣4，2），
（2）∵点C在y轴上，点D在第二象限，
∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移（2+y）个单位，符合题意，
∴C（0，2+y），D（﹣2，y），
连接OD，
S△BCD=S△BOC+S△COD﹣S△BOD
=OB×OC+OC×2﹣OB×y=7，
∴y=2，
∴C（0，4）．D（﹣2，2）；
（3）设点P（0，m），
∴PC=|4﹣m|，
∵=，
∴|4﹣m|×2= ( http: / / www.21cnjy.com )×7，
∴|4﹣m|= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴m=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )或m= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴存在点P，其坐标为（0，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）或（0， ( http: / / www.21cnjy.com )）．
例题4：已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P在y轴上；
（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；
（4）点P到x轴、y轴的距离相等．
【考点】点的坐标．
【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；
（2）利用y轴上点的坐标性质横坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；
（3）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案；
（4）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或相反数进而得出答案．
【解答】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，
∴2a+8=0，
解得：a=﹣4，
故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，
则P（﹣6，0）；
（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，
∴a﹣2=0，
解得：a=2，
故2a+8=2×2+8=12，
则P（0，12）；
（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，
∴a﹣2=1，
解得：a=3，
故2a+8=14，
则P（1，14）；
（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，
解得：a1=﹣10，a2=﹣2，
故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，
则P（﹣12，﹣12）；
故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，
则P（﹣4，4）．
综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．
【跟踪训练】
1. 如图，在平面直角坐标系中，直径为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．（2014，0） B．（2015，﹣1） C．（2015，1） D．（2016，0）
2. 如图，平面直角坐标系中，C（0，5）、D（a，5）（a＞0），A、B在x轴上，∠1=∠D，请写出∠ACB和∠BED数量关系以及证明．21·世纪*教育网
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3. 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，2）、B（2，0），C（﹣4，﹣2）．www-2-1-cnjy-com
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）若将（1）中的△ABC平移，使点B的对应点B′坐标为（6，2），画出平移后的△A′B′C′；
（3）求△A′B′C′的面积．
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4. 如图，将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度请回答下列问题：
（1）平移后的三个顶点坐标分别为：A1 （4，7） ，B1 （1，2） ，C1 （6，4） ；
（2）画出平移后三角形A1B1C1；
（3）求三角形ABC的面积．
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参考答案：
1. 如图，在平面直角坐标系中，直径为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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B．（2014，0） B．（2015，﹣1） C．（2015，1） D．（2016，0）
【考点】规律型：点的坐标．
【分析】设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P4n+1（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )），P4n+2（2n+1，0），P4n+3（ ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )），P4n+4（2n+2，0）”，依此规律即可得出结论．
【解答】半径为1个单位长度的半圆的周长为：，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
∴点P1秒走个半圆，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，-1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），
…，
∵2015÷4=503…3
∴A2015的坐标是（2015，-1），
故选：B．
2. 如图，平面直角坐标系中，C（0，5）、D（a，5）（a＞0），A、B在x轴上，∠1=∠D，请写出∠ACB和∠BED数量关系以及证明．【来源：21cnj*y.co*m】
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【考点】平行线的判定与性质；坐标与图形性质．
【分析】先由C点、D点的纵坐标相等，可得C ( http: / / www.21cnjy.com )D∥x轴，即CD∥AB，然后由两直线平行同旁内角互补，可得：∠1+∠ACD=180°，然后根据等量代换可得：∠D+∠ACD=180°，然后根据同旁内角互补两直线平行，可得AC∥DE，然后由两直线平行内错角相等，可得：∠ACB=∠DEC，然后由平角的定义，可得：∠DEC+∠BED=180°，进而可得：∠ACB+∠BED=180°．【出处：21教育名师】
【解答】解：∠ACB+∠BED=180°．
理由：∵C（0，5）、D（a，5）（a＞0），
∴CD∥x轴，即CD∥AB，
∴∠1+∠ACD=180°，
∵∠1=∠D，
∴∠D+∠ACD=180°，
∴AC∥DE，
∴∠ACB=∠DEC，
∵∠DEC+∠BED=180°，
∴∠ACB+∠BED=180°．
【点评】本题考查了平行线的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，另外由C点、D点的纵坐标相等，可得CD∥x轴，也是解题的关键．21教育名师原创作品
3. 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，2）、B（2，0），C（﹣4，﹣2）．21*cnjy*com
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）若将（1）中的△ABC平移，使点B的对应点B′坐标为（6，2），画出平移后的△A′B′C′；
（3）求△A′B′C′的面积．
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【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标描点，从而可得到△ABC；
（2）利用点B和B′的坐标关系可判断△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A′B′C′，利用此平移规律写出A′、C′的坐标，然后描点即可得到△A′B′C′；【版权所有：21教育】
（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△A′B′C′的面积．
【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；
（2）如图，△A′B′C′为所作；
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（3）△A′B′C′的面积=6×4﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×2×6﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×2×4﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×4×2=10．
【点评】本题考查了平移变换：确定平 ( http: / / www.21cnjy.com )移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
4. 如图，将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度请回答下列问题：
（1）平移后的三个顶点坐标分别为：A1 （4，7） ，B1 （1，2） ，C1 （6，4） ；
（2）画出平移后三角形A1B1C1；
（3）求三角形ABC的面积．
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【考点】作图﹣平移变换．
【分析】（1）先画出平移后的图形，结合直角坐标系可得出三点坐标；
（2）根据平移的特点，分别找到各点的对应点，顺次连接即可得出答案；
（3）将△ABC补全为矩形，然后利用作差法求解即可．
【解答】解：（1）结合所画图形可得：A1坐标为（4，7），点B1坐标为（1，2），C1坐标为（6，4）．21教育网
（2）所画图形如下：
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（3）
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S△ABC=S矩形EBGF﹣S△ABE﹣S△GBC﹣S△AFC=25﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣5﹣3= ( http: / / www.21cnjy.com )．
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-3 -2 -1 0 1 a
b
1
-1
-2
-3
P(a,b)
Y
x
P（）
Y
A
B
X
B
X
y
P
O
X
y
P
O
X
y
P
O
y
P
O
X
X
y
P
O
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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平面直角坐标系
【知识脉络】
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【基础知识】
1、 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；
2、 坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对 有序实数对（）
一一对应；其中，为横坐标，为纵坐标坐标；
3、轴上的点，纵坐标等于0；轴上的点，横坐标等于0；
坐标轴上的点不属于任何象限；
4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：
象限 横坐标 纵坐标
第一象限 正 正
第二象限 负 正
第三象限 负 负
第四象限 正 负
小结：（1）点P（）所在的象限 横、纵坐标、的取值的正负性；
（2）点P（）所在的数轴 横、纵坐标、中必有一数为零；
5、 在平面直角坐标系中，已知点P，则
（1）点P到轴的距离为；（2）点P到轴的距离为；
（3）点P到原点O的距离为PO＝
6、 平行直线上的点的坐标特征：
a) 在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；
点A、B的纵坐标都等于；
b) 在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；
点C、D的横坐标都等于；
7、 对称点的坐标特征：
a) 点P关于轴的对称点为， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；
b) 点P关于轴的对称点为， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；
c) 点P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数；
关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称21
8、 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：
a)点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等；
b)若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数；
在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上
【典例解析】
例题1：．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的位置如图（每个小正方形的边长均为1）．
（1）请画出△ABC沿x轴向平移3个单位 ( http: / / www.21cnjy.com )长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后的△A′B′C′（其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应点，不写画法）
（2）直接写出A′、B′、C′三点的坐标：
A′（ 0 ， 5 ）；
B′（ ﹣1 ， 3 ）；
C′（ 4 ， 0 ）．
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【考点】作图﹣平移变换．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可．
【解答】解：（1）△A′B′C′如图所示；
（2）由图可知，A′（0，5），B′（﹣1，3），C′（4，0）．
故答案为：0，5；﹣1，3；4，0．
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例题2：如图，写出三角形ABC三个顶点的坐标，并求出三角形ABC的面积．
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【考点】坐标与图形性质；三角形的面积．
【分析】用“割、补”法把三角形ABC的面积转化为S矩形DEBF﹣S△AEB﹣S△BCF﹣S△ADC，然后根据矩形和三角形的面积公式计算．21cnjy.com
【解答】解：如图，
S△ABC=S矩形DEBF﹣S△AEB﹣S△BCF﹣S△ADC
=12×7﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×6×7﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×12×5﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×2×6
=27．
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例题3：在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．21·cn·jy·com
（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；www.21-cn-jy.com
（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴 ( http: / / www.21cnjy.com )的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD=7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．2·1·c·n·j·y
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使=（S△PCD表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；
（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据S△BCD=7（S△BCD建立方程求解，即可，
（3）设出点P的坐标，表示出PC用=，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵B（3，0）平移后的对应点C（﹣2，4），
∴设3+a=﹣2，0+b=4，
∴a=﹣5，b=4，
即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C（﹣2，4），
∴A点平移后的对应点D（﹣4，2），
（2）∵点C在y轴上，点D在第二象限，
∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移（2+y）个单位，符合题意，
∴C（0，2+y），D（﹣2，y），
连接OD，
S△BCD=S△BOC+S△COD﹣S△BOD
=OB×OC+OC×2﹣OB×y=7，
∴y=2，
∴C（0，4）．D（﹣2，2）；
（3）设点P（0，m），
∴PC=|4﹣m|，
∵=，
∴|4﹣m|×2= ( http: / / www.21cnjy.com )×7，
∴|4﹣m|= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴m=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )或m= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴存在点P，其坐标为（0，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）或（0， ( http: / / www.21cnjy.com )）．
例题4：已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P在y轴上；
（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；
（4）点P到x轴、y轴的距离相等．
【考点】点的坐标．
【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；
（2）利用y轴上点的坐标性质横坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；
（3）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案；
（4）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或相反数进而得出答案．
【解答】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，
∴2a+8=0，
解得：a=﹣4，
故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，
则P（﹣6，0）；
（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，
∴a﹣2=0，
解得：a=2，
故2a+8=2×2+8=12，
则P（0，12）；
（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，
∴a﹣2=1，
解得：a=3，
故2a+8=14，
则P（1，14）；
（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，
解得：a1=﹣10，a2=﹣2，
故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，
则P（﹣12，﹣12）；
故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，
则P（﹣4，4）．
综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．
【跟踪训练】
1. 如图，在平面直角坐标系中，直径为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．（2014，0） B．（2015，﹣1） C．（2015，1） D．（2016，0）
2. 如图，平面直角坐标系中，C（0，5）、D（a，5）（a＞0），A、B在x轴上，∠1=∠D，请写出∠ACB和∠BED数量关系以及证明．21·世纪*教育网
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3. 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，2）、B（2，0），C（﹣4，﹣2）．www-2-1-cnjy-com
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）若将（1）中的△ABC平移，使点B的对应点B′坐标为（6，2），画出平移后的△A′B′C′；
（3）求△A′B′C′的面积．
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4. 如图，将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度请回答下列问题：
（1）平移后的三个顶点坐标分别为：A1 （4，7） ，B1 （1，2） ，C1 （6，4） ；
（2）画出平移后三角形A1B1C1；
（3）求三角形ABC的面积．
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参考答案：
1. 如图，在平面直角坐标系中，直径为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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B．（2014，0） B．（2015，﹣1） C．（2015，1） D．（2016，0）
【考点】规律型：点的坐标．
【分析】设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P4n+1（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )），P4n+2（2n+1，0），P4n+3（ ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )），P4n+4（2n+2，0）”，依此规律即可得出结论．
【解答】半径为1个单位长度的半圆的周长为：，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
∴点P1秒走个半圆，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，-1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），
…，
∵2015÷4=503…3
∴A2015的坐标是（2015，-1），
故选：B．
2. 如图，平面直角坐标系中，C（0，5）、D（a，5）（a＞0），A、B在x轴上，∠1=∠D，请写出∠ACB和∠BED数量关系以及证明．【来源：21cnj*y.co*m】
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【考点】平行线的判定与性质；坐标与图形性质．
【分析】先由C点、D点的纵坐标相等，可得C ( http: / / www.21cnjy.com )D∥x轴，即CD∥AB，然后由两直线平行同旁内角互补，可得：∠1+∠ACD=180°，然后根据等量代换可得：∠D+∠ACD=180°，然后根据同旁内角互补两直线平行，可得AC∥DE，然后由两直线平行内错角相等，可得：∠ACB=∠DEC，然后由平角的定义，可得：∠DEC+∠BED=180°，进而可得：∠ACB+∠BED=180°．【出处：21教育名师】
【解答】解：∠ACB+∠BED=180°．
理由：∵C（0，5）、D（a，5）（a＞0），
∴CD∥x轴，即CD∥AB，
∴∠1+∠ACD=180°，
∵∠1=∠D，
∴∠D+∠ACD=180°，
∴AC∥DE，
∴∠ACB=∠DEC，
∵∠DEC+∠BED=180°，
∴∠ACB+∠BED=180°．
【点评】本题考查了平行线的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，另外由C点、D点的纵坐标相等，可得CD∥x轴，也是解题的关键．21教育名师原创作品
3. 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，2）、B（2，0），C（﹣4，﹣2）．21*cnjy*com
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）若将（1）中的△ABC平移，使点B的对应点B′坐标为（6，2），画出平移后的△A′B′C′；
（3）求△A′B′C′的面积．
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【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标描点，从而可得到△ABC；
（2）利用点B和B′的坐标关系可判断△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A′B′C′，利用此平移规律写出A′、C′的坐标，然后描点即可得到△A′B′C′；【版权所有：21教育】
（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△A′B′C′的面积．
【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；
（2）如图，△A′B′C′为所作；
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（3）△A′B′C′的面积=6×4﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×2×6﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×2×4﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×4×2=10．
【点评】本题考查了平移变换：确定平 ( http: / / www.21cnjy.com )移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
4. 如图，将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度请回答下列问题：
（1）平移后的三个顶点坐标分别为：A1 （4，7） ，B1 （1，2） ，C1 （6，4） ；
（2）画出平移后三角形A1B1C1；
（3）求三角形ABC的面积．
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【考点】作图﹣平移变换．
【分析】（1）先画出平移后的图形，结合直角坐标系可得出三点坐标；
（2）根据平移的特点，分别找到各点的对应点，顺次连接即可得出答案；
（3）将△ABC补全为矩形，然后利用作差法求解即可．
【解答】解：（1）结合所画图形可得：A1坐标为（4，7），点B1坐标为（1，2），C1坐标为（6，4）．21教育网
（2）所画图形如下：
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（3）
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S△ABC=S矩形EBGF﹣S△ABE﹣S△GBC﹣S△AFC=25﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣5﹣3= ( http: / / www.21cnjy.com )．
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-3 -2 -1 0 1 a
b
1
-1
-2
-3
P(a,b)
Y
x
P（）
Y
A
B
X
B
X
y
P
O
X
y
P
O
X
y
P
O
y
P
O
X
X
y
P
O
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