第六章 实数压轴题解析

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实数
【知识脉络】
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【基础知识】
考点一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有3类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
考点二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的 ( http: / / www.21cnjy.com )两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。21cnjy.com
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
；注意的双重非负性：
3、立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
考点四、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
考点五、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
【典例解析】
例题1：已知某正数的两个平方根分别是m+4和2m﹣16，n的立方根是﹣2，求﹣n﹣m的算术平方根．
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【分析】首先根据平方根的性质，求出m值，再根据立方根的性质求出n，带入﹣n﹣m，求出这个值的算术平方根即可．21教育网
【解答】解：∵某正数的两个平方根分别是m+4和2m﹣16，
可得：m+4+2m﹣16=0，
解得：m=4，
∵n的立方根是﹣2，
∴n=﹣8，
把m=4，n=﹣8代入﹣n﹣m=8﹣4=4，
所以﹣n﹣m的算术平方根是2
例题2：已知a，b，c在数轴上如图所示，化简： ( http: / / www.21cnjy.com )．
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【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】根据数轴abc的位置推出a+b＜0 ( http: / / www.21cnjy.com )，c﹣a＞0，b+c＜0，根据二次根式的性质和绝对值进行化简得出﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c，再合并即可．
【解答】解：∵从数轴可知：a＜b＜0＜c，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣|a+b|+ ( http: / / www.21cnjy.com )+|b+c|
=﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c
=﹣a．
【点评】本题考查了二次根式的性质，实数、数轴的应用，关键是能得出﹣a+a+b+c﹣a﹣b例题3：如图，数轴上表示1、 ( http: / / www.21cnjy.com )的对应点分别为点A、点B，若点A是BC的中点，则点C表示的数为　 　．www.21-cn-jy.com
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【考点】实数与数轴．
【分析】设点C表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．
【解答】解：设点C表示的数是x，
∵数轴上表示1、 ( http: / / www.21cnjy.com )的对应点分别为点A、点B，点A是BC的中点，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=1，解得x=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选D．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
例题4：若一个数的平方根是2a﹣3和4﹣a，求这个数．
【考点】平方根．
【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可得出a的值，继而得出这个正数．
【解答】解：由题意得，2a﹣3+4﹣a=0，
解得：a=﹣1，
则2a﹣3=﹣2﹣3=﹣5，
则这个数为25．
【点评】本题考查了平方根的知识，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
【跟踪训练】
1. 在数轴上标注了四段范围，如图，则表示 ( http: / / www.21cnjy.com )的点落在（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．段① B．段② C．段③ D．段④
2. 阅读下面材料：点A， ( http: / / www.21cnjy.com )B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|.当A，B两点中有一点在原点时：设点A在原点处，如图①，则|AB|＝|OB|＝|a－b|；2·1·c·n·j·y
当A，B两点都不在原点时：
如图②所示，点A，B都在原点的右边，则|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；【来源：21·世纪·教育·网】
如图③所示，点A，B都在原点的左边，则|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；21·世纪*教育网
如图④所示，点A，B在原点的两边，|AB|＝|OA|＋|OB|＝|a|＋|b|＝a＋(－b)＝|a－b|；21*cnjy*com
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图①　 图②
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图③ 　图④
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )__________，数轴上表示－2和－5两点之间的距离是__________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是__________；
(2)数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是__________，若|AB|＝2，求x的值．
3. 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2．www-2-1-cnjy-com
(1)公园的宽大约是多少？它有1 000 m吗？
(2)如果要求误差小于10 m，它的宽大约是多少？
(3)该公园中心有一圆形花坛，面积是800 m2，它的半径大约是多少米(误差小于1 m)
4. (1)已知a，b满足，解关于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1．
(2)实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，求代数式x2＋(a＋b)cdx＋的值．【来源：21cnj*y.co*m】
参考答案;
1. 在数轴上标注了四段范围，如图，则表示 ( http: / / www.21cnjy.com )的点落在（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．
【分析】根据数的平方，即可解答．
【解答】解：2.62=6.76，2.72=7.29，2.82=7.84，2.92=8.41，32=9，
∵7.84＜8＜8.41，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )的点落在段③，
故选：C．
2. 阅读下面材料：点A，B在数轴 ( http: / / www.21cnjy.com )上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|.当A，B两点中有一点在原点时：设点A在原点处，如图①，则|AB|＝|OB|＝|a－b|；21世纪教育网版权所有
当A，B两点都不在原点时：
如图②所示，点A，B都在原点的右边，则|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；2-1-c-n-j-y
如图③所示，点A，B都在原点的左边，则|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；【出处：21教育名师】
如图④所示，点A，B在原点的两边，|AB|＝|OA|＋|OB|＝|a|＋|b|＝a＋(－b)＝|a－b|；【版权所有：21教育】
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图①　 图②
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图③ 　图④
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5两点之间的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离为__________，数轴上表示－2和－5两点之间的距离是__________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是__________；
(2)数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是__________，若|AB|＝2，求x的值．
【解析】解：(1)3　3　4
(2)|AB|＝|x－(－1)|＝|x＋1|，
当|AB|＝2时，|x＋1|＝2，于是x＋1＝±2.故x＝1或x＝－3.
3. 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2．21教育名师原创作品
(1)公园的宽大约是多少？它有1 000 m吗？
(2)如果要求误差小于10 m，它的宽大约是多少？
(3)该公园中心有一圆形花坛，面积是800 m2，它的半径大约是多少米(误差小于1 m)
解：(1)设公园的宽为x m，则x·2x＝400 000，.
因为4002＝160 000＜200 000,5002＝250 000＞200 000，
所以400＜x＜500.
答：公园的宽大约有400多m，没有1 000 m宽．
(2)因为4402＝193 600,4502＝202 500，
所以193 600＜200 000＜202 500.
于是可知440＜x＜450.因为误差可以小于10 m，
所以公园的宽可以是440 m或450 m.
(3)设花坛的半径为R m，则πR2＝800，
可得R2≈254.6.因为225＜254.6＜256，
所以152＜R2＜162.因为误差可以小于1 m，所以花坛的半径大约是15 m或16 m.
4. (1)已知a，b满足，解关于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1．
(2)实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，求代数式x2＋(a＋b)cdx＋的值．21·cn·jy·com
解：(1)因为，|b－|≥0，而，所以有2a＋8＝0，b－＝0，解得a＝－4，.
把a＝－4，代入方程(a＋2)x＋b2＝a－1中得(－4＋2)x＋()2＝－4－1，整理得
－2x＋3＝－5，x＝4.
(2)因为实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，所以a＋b＝0，cd＝1，.
故x2＋(a＋b)cdx＋＝(±)2＋0×1×(±)＋0＋1＝7＋0＋0＋1＝8.
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