第十九章 一次函数压轴题解析
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一次函数
【知识脉络】
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【基础知识】
（1）函数
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应
3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式
6、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值 ( http: / / www.21cnjy.com )为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
（2）一次函数
1、一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当时，一次函数，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当，时，仍是一次函数．
⑶当，时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
2、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从 ( http: / / www.21cnjy.com )左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
2.解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
3.必过点：（0，0）、（1，k）
4.走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
5.增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
6.倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
3、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b( ( http: / / www.21cnjy.com )k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0) （2）必过点：（0，b）和（-，0）
（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限
（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
一次函数
，符号
图象 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
性质 随的增大而增大 随的增大而减小
4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b）， ( http: / / www.21cnjy.com ).即横坐标或纵坐标为0的点.【来源：21·世纪·教育·网】
b>0 b<0 b=0
k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
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图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
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图象从左到右下降，y随x的增大而减小
5、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移
6、正比例函数和一次函数及性质
正比例函数 一次函数
概 念 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量范 围 X为全体实数
图 象 一条直线
必过点 （0，0）、（1，k） （0，b）和（-，0）
走 向 k>0时，直线经过一、三象限；k<0时，直线经过二、四象限 k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限
增减性 k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度 |k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的平 移 b>0时，将直线y=kx的图象向上平移个单位；b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位.
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6、直线（）与（）的位置关系
（1）两直线平行且 （2）两直线相交
（3）两直线重合且 （4）两直线垂直
7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
【典例解析】
例题1：（2017春 韶关期末）如图1 ( http: / / www.21cnjy.com )，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长是（ ）
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A．18 B．20 C．22 D．26
【考点】E7：动点问题的函数图象．
【分析】根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值，即可得出矩形ABCD的周长．
【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，21教育网
函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=4时，y开始不变，说明BC=4，x=9时，接着变化，说明CD=9﹣4=5，21·cn·jy·com
∴AB=5，BC=4，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=18．
故选 A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出AB、BC的长度是解决问题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
例题2：小明为备战体育中考，每天早 ( http: / / www.21cnjy.com )晨坚持锻炼，他花20分钟慢跑到离家900米的江边，在江边休息10分钟后，再用15分钟快跑回家，下列图中表示小明离家的距离y（米）与时间x（分）的函数图象是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】E6：函数的图象．
【分析】在江边休息10分钟后，应是一段平行与x轴的线段，B是10分钟，而A是20分钟，依此即可作出判断．【出处：21教育名师】
【解答】解：根据题意，从20分钟到30分钟在江边休息，离家距离没有变化，是一条平行于x轴的线段．
故选B．
例题3：（2013 辽宁模拟）某商 ( http: / / www.21cnjy.com )场推出两种优惠方法，甲种方法：购买一个书包赠送一支笔；乙种方法：购买书包和笔一律按九折优惠，书包20元/个，笔5元/支，小明和同学需购买4个书包，笔若干（不少于4支）．
（1）分别写出两种方式购买的费用y（元）与所买笔支数x（支）之间的函数关系式；
（2）比较购买同样多的笔时，哪种方式更便宜；
（3）如果商场允许可以任意选择一种优惠方式，也可以同时用两种方式购买，请你就购买4个书包12支笔，设计一种最省钱的购买方式．
【考点】FH：一次函数的应用．
【专题】16 ：压轴题．
【分析】（1）根据购买的费用等于书包的费用+笔的费用就可以得出结论；
（2）由（1）的解析式，分情 y甲＞y乙时，况y甲=y乙时和y甲＜y乙时分别建立不等式和方程讨论就可以求出结论；21*cnjy*com
（3）由条件分析可以得出用一种方式购买选择甲 ( http: / / www.21cnjy.com )商场求出费用，若两种方法都用 设用甲种方法购书包x个，则用乙种方法购书包（4﹣x）个总费用为y，再根据一次函数的性质就可以求出结论．
【解答】解：（1）由题意，得
y甲=20×4+5（x﹣4）=5x+60，
y乙=90%（20×4+5x）=4.5x+72；
（2）由（1）可知 当 y甲＞y乙时
5x+60＞4.5x+72，
解得：x＞24，即当购买笔数大于24支时，乙种方式便宜．
当 y甲=y乙时，
5x+60=4.5x+72
解得：x=24，即当购买笔数为24支时，甲乙两种方式所用钱数相同即甲乙两种方式都可以．
当 y甲＜y乙时，
5x+60＜4.5x+72，
解得：x＜24，即当购买笔数大于4支而小于24支时，甲种方式便宜；
（3）用一种方法购买4个书包，12支笔时，由12＜24，则选甲种方式 需支出
y=20×4+8×5=120（元）
若两种方法都用 设用甲种方法购书包x个，则用乙种方法购书包（4﹣x）个总费用
y=20 x+90%〔20（4﹣x）+5（12﹣x）〕（0＜x≤4）
y=﹣2.5 x+126
由k=﹣2.5＜0则y随x增大而减小，即当x=4时 y最小=116（元）
综上所述，用甲种方法购买4个书包，用乙种方法购买8支笔最省钱．
【点评】本题考查了一次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的解析式的运用，分类讨论的运用及不等式和方程的解法的运用，一次函数的性质的运用，解答时先表示出两种购买方式的解析式是解答第二问的关键，解答第三问灵活运用一次函数的性质是难点．
例题4：某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．
（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；www-2-1-cnjy-com
（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？
（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设购买篮球 ( http: / / www.21cnjy.com )x个，购买篮球和排球的总费用y元，根据某校计划购买篮球和排球共100个，已知篮球每个80元，排球每个20元可列出函数式．
（2）先设出购买篮球x个，根据篮球的个数不少于排球个数的3倍和购买两种球的总费用及单价，列出不等式组，解出x的值，即可得出答案；
（3）根据（2）得出的篮球和排球的个数，再根据它们的单价，即可求出总费用，再进行比较，即可得出更合算的方案．
【解答】解：（1）设购买排球x个，购买篮球和排球的总费用y元，
y=20x+80（100﹣x）=8000﹣60x；
（2）设购买排球x个，则篮球的个数是（100﹣x），根据题意得：
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解得：23≤x≤25，
因为x是正整数，
所以x只能取25，24，23，
当买排球25个时，篮球的个数是75个，
当买排球24个时，篮球的个数是76个，
当买排球23个时，篮球的个数是77个，
所以有3种购买方案．
（3）根据（2）得：
当买排球25个，篮球的个数是75个，总费用是：25×20+75×80=6500（元），
当买排球24个，篮球的个数是76个，总费用是：24×20+76×80=6560（元），
当买排球23个，篮球的个数是77个，总费用是：23×20+77×80=6620（元），
所以采用买排球25个，篮球75个时更合算．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组及一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
【跟踪训练】
1. 匀速地向如图的容器内注水，最后把 ( http: / / www.21cnjy.com )容器注满，在注水过程中，水面的高度h随时间t的变化而变化，变化规律为一折线，下列图象（草图）正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
2. 如图所示为某汽车行驶的路程S（km）与时间t（min）的函数关系图，观察图中所提供的信息解答下列问题：21·世纪*教育网
（1）汽车在前9分钟内的平均速度是多少？
（2）汽车中途停了多长时间？
（3）当16≤t≤30时，求S与t的函数关系式？
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3. 某校实行学案式教学，需印制若干份 ( http: / / www.21cnjy.com )数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：
（1）填空：甲种收费的函数关系式是 ．
乙种收费的函数关系式是 ．
（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？
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4. 新农村社区改造中，有一部分楼 ( http: / / www.21cnjy.com )盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2．【版权所有：21教育】
若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：
方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；
方案二：降价10%，没有其他赠送．
（1）请写出售价y（元/米2）与楼层x（1≤x≤23，x取整数）之间的函数关系式；
（2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．
5. 甲乙两地相距300千米，一辆货车和 ( http: / / www.21cnjy.com )一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？
（2）求线段CD对应的函数解析式．
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6. 平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y=kx+2k与x轴交于点C，与直线l1交于点P．
（1）当k=1时，求点P的坐标；
（2）如图1，点D为PA的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l2于点F，若DF=2DE，求k的值；
（3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的延长线交直线l1于点R，若PR=PC，求点P的坐标．
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参考答案：
1. 匀速地向如图的容器内注水，最后 ( http: / / www.21cnjy.com )把容器注满，在注水过程中，水面的高度h随时间t的变化而变化，变化规律为一折线，下列图象（草图）正确的是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com )B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com )D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】E6：函数的图象．
【分析】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．
【解答】解：最下面的容器较最粗，第二个容器较粗，那么每个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓陡，用时较短，21cnjy.com
故选C．
2. 如图所示为某汽车行驶的路程S（km）与时间t（min）的函数关系图，观察图中所提供的信息解答下列问题：
（1）汽车在前9分钟内的平均速度是多少？
（2）汽车中途停了多长时间？
（3）当16≤t≤30时，求S与t的函数关系式？
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【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）根据速度=路程÷时间，列式计算即可得解；
（2）根据停车时路程没有变化列式计算即可；
（3）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．
【解答】解：（1）平均速度= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )km/min；
（2）从9分到16分，路程没有变化，停车时间t=16﹣9=7min．
（3）设函数关系式为S=kt+b，
将（16，12），C（30，40）代入得，
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
所以，当16≤t≤30时，求S与t的函数关系式为S=2t﹣20．
3. 某校实行学案式教学，需印制若干份 ( http: / / www.21cnjy.com )数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：
（1）填空：甲种收费的函数关系式是 y1=0.1x+6（x≥0） ．
乙种收费的函数关系式是 y2=0.12x（x≥0） ．
（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？
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【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；FH：一次函数的应用．
【分析】（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论；2-1-c-n-j-y
（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式．21教育名师原创作品
【解答】解：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，由题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，12=100k1，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，k1=0.12，
∴y1=0.1x+6（x≥0），y2=0.12x（x≥0）；
（2）由题意，得
当y1＞y2时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300；
当y1=y2时，0.1x+6=0.12x，得x=300；
当y1＜y2时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300；
∴当100≤x＜300时，选择乙种方式合算；
当x=300时，甲、乙两种方式一样合算；
当300＜x≤450时，选择甲种方式合算．
答：印制100～300（含10 ( http: / / www.21cnjy.com )0）份学案，选择乙种印刷方式较合算，印制300份学案，甲、乙两种印刷方式都一样合算，印制300～450（含450）份学案，选择甲种印刷方式较合算．
4. 新农村社区改造中，有一部分楼盘要 ( http: / / www.21cnjy.com )对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2．
若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：
方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；
方案二：降价10%，没有其他赠送．
（1）请写出售价y（元/米2）与楼层x（1≤x≤23，x取整数）之间的函数关系式；
（2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）根据题意分别求出当1≤x≤8 ( http: / / www.21cnjy.com )时，每平方米的售价应为4000﹣（8﹣x）×30元，当9≤x≤23时，每平方米的售价应为4000+（x﹣8）×50元；21*cnjy*com
（2）根据购买方案一、二求出实交房款的关系式，然后分情况讨论即可确定那种方案合算．
【解答】解：（1）当1≤x≤8时，每平方米的售价应为：
y=4000﹣（8﹣x）×30=30x+3760 （元/平方米）
当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：
y=4000+（x﹣8）×50=50x+3600（元/平方米）．
∴y= ( http: / / www.21cnjy.com )
（2）第十六层楼房的每平方米的价格为：50×16+3600=4400（元/平方米），
按照方案一所交房款为：W1=4400×120×（1﹣8%）﹣a=485760﹣a（元），
按照方案二所交房款为：W2=4400×120×（1﹣10%）=475200（元），
当W1＞W2时，即485760﹣a＞475200，
解得：0＜a＜10560，
当W1=W2时，即485760﹣a=475200，
解得：a=10560
当W1＜W2时，即485760﹣a＜475200，
解得：a＞10560，
∴当0＜a＜10560时，方案二合算；当a＞10560时，方案一合算．当a=10560时，方案一与方案二一样．2·1·c·n·j·y
5. 甲乙两地相距300千米 ( http: / / www.21cnjy.com )，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？
（2）求线段CD对应的函数解析式．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）根据图象可知货车5小时行 ( http: / / www.21cnjy.com )驶300千米，由此求出货车的速度为60千米/时，再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地相距300千米，则此时货车距乙地的路程为：300﹣270=30千米；
（2）设CD段的函数解析式为y=kx+b，将C（2.5，80），D（4.5，300）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）根据图象信息：货车的速度V货= ( http: / / www.21cnjy.com )=60（千米/时）．
∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，
∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60=270（千米），
此时，货车距乙地的路程为：300﹣270=30（千米）．
答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米；
（2）设CD段函数解析式为y=kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．
∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CD段函数解析式：y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）．
6. 平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y=kx+2k与x轴交于点C，与直线l1交于点P．www.21-cn-jy.com
（1）当k=1时，求点P的坐标；
（2）如图1，点D为PA的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l2于点F，若DF=2DE，求k的值；
（3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的延长线交直线l1于点R，若PR=PC，求点P的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）解两个函数解析式组成的方程组即可求解；
（2）过点P作PG⊥DF于点G，易证△ ( http: / / www.21cnjy.com )PDG≌△ADE，点P作PH⊥CA于点H，可以证明H是AC的中点，则H的坐标即可求得，进而求得P的坐标，进而求得k的值；
（3）Rt△PMC≌Rt△PQR，则RQ=MC，设NR=NC=a，则R（﹣a﹣2，a），代入y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x+3，求得a的值，设P（m，n），根据P在直线l1上和RQ=MC即可列方程组求解．
【解答】解：（1）当k=1时，直线l2为y=x+2．
解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴P（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )）；
（2）当y=0时，kx+2k=0，
∵k≠0，
∴x=﹣2，
∴C（﹣2，0）则OC=2，
当y=0时，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) x+3=0，
∴x=6，
∴A（6，0），OA=6，
过点P作PG⊥DF于点G，
在△PDG和△ADE中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△PDG≌△ADE，
得DE=DG= ( http: / / www.21cnjy.com )DF，
∴PD=PF，
∴∠PFD=∠PDF
∵∠PFD+∠PCA=90°，∠PDF+∠PAC=90°
∴∠PCA=∠PAC，
∴PC=PA
过点P作PH⊥CA于点H，
∴CH= ( http: / / www.21cnjy.com )CA=4，
∴OH=2，
当x=2时，y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×2+3=2代入y=kx+2k，得k= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）直角△PQR和直角△PMC中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴Rt△PMC≌Rt△PQR，
∴CM=RQ，
∴NR=NC，
设NR=NC=a，则R（﹣a﹣2，a），
代入y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x+3，
得﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（﹣a﹣2）+3=a，解得a=8，
设P（m，n），则 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴P（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )）．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题是一次函数和全等三角形的判定的综合应用，正确作出辅助线，构造全等的三角形，证明H是AC的中点是解决本题的关键．21世纪教育网版权所有
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一次函数
【知识脉络】
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【基础知识】
（1）函数
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应
3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式
6、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值 ( http: / / www.21cnjy.com )为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
（2）一次函数
1、一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当时，一次函数，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当，时，仍是一次函数．
⑶当，时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
2、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从 ( http: / / www.21cnjy.com )左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
2.解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
3.必过点：（0，0）、（1，k）
4.走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
5.增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
6.倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
3、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b( ( http: / / www.21cnjy.com )k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0) （2）必过点：（0，b）和（-，0）
（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限
（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
一次函数
，符号
图象 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
性质 随的增大而增大 随的增大而减小
4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b）， ( http: / / www.21cnjy.com ).即横坐标或纵坐标为0的点.【来源：21·世纪·教育·网】
b>0 b<0 b=0
k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
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图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图象从左到右下降，y随x的增大而减小
5、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移
6、正比例函数和一次函数及性质
正比例函数 一次函数
概 念 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量范 围 X为全体实数
图 象 一条直线
必过点 （0，0）、（1，k） （0，b）和（-，0）
走 向 k>0时，直线经过一、三象限；k<0时，直线经过二、四象限 k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限
增减性 k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度 |k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的平 移 b>0时，将直线y=kx的图象向上平移个单位；b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位.
( http: / / www.21cnjy.com )
6、直线（）与（）的位置关系
（1）两直线平行且 （2）两直线相交
（3）两直线重合且 （4）两直线垂直
7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
【典例解析】
例题1：（2017春 韶关期末）如图1 ( http: / / www.21cnjy.com )，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．18 B．20 C．22 D．26
【考点】E7：动点问题的函数图象．
【分析】根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值，即可得出矩形ABCD的周长．
【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，21教育网
函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=4时，y开始不变，说明BC=4，x=9时，接着变化，说明CD=9﹣4=5，21·cn·jy·com
∴AB=5，BC=4，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=18．
故选 A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出AB、BC的长度是解决问题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
例题2：小明为备战体育中考，每天早 ( http: / / www.21cnjy.com )晨坚持锻炼，他花20分钟慢跑到离家900米的江边，在江边休息10分钟后，再用15分钟快跑回家，下列图中表示小明离家的距离y（米）与时间x（分）的函数图象是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】E6：函数的图象．
【分析】在江边休息10分钟后，应是一段平行与x轴的线段，B是10分钟，而A是20分钟，依此即可作出判断．【出处：21教育名师】
【解答】解：根据题意，从20分钟到30分钟在江边休息，离家距离没有变化，是一条平行于x轴的线段．
故选B．
例题3：（2013 辽宁模拟）某商 ( http: / / www.21cnjy.com )场推出两种优惠方法，甲种方法：购买一个书包赠送一支笔；乙种方法：购买书包和笔一律按九折优惠，书包20元/个，笔5元/支，小明和同学需购买4个书包，笔若干（不少于4支）．
（1）分别写出两种方式购买的费用y（元）与所买笔支数x（支）之间的函数关系式；
（2）比较购买同样多的笔时，哪种方式更便宜；
（3）如果商场允许可以任意选择一种优惠方式，也可以同时用两种方式购买，请你就购买4个书包12支笔，设计一种最省钱的购买方式．
【考点】FH：一次函数的应用．
【专题】16 ：压轴题．
【分析】（1）根据购买的费用等于书包的费用+笔的费用就可以得出结论；
（2）由（1）的解析式，分情 y甲＞y乙时，况y甲=y乙时和y甲＜y乙时分别建立不等式和方程讨论就可以求出结论；21*cnjy*com
（3）由条件分析可以得出用一种方式购买选择甲 ( http: / / www.21cnjy.com )商场求出费用，若两种方法都用 设用甲种方法购书包x个，则用乙种方法购书包（4﹣x）个总费用为y，再根据一次函数的性质就可以求出结论．
【解答】解：（1）由题意，得
y甲=20×4+5（x﹣4）=5x+60，
y乙=90%（20×4+5x）=4.5x+72；
（2）由（1）可知 当 y甲＞y乙时
5x+60＞4.5x+72，
解得：x＞24，即当购买笔数大于24支时，乙种方式便宜．
当 y甲=y乙时，
5x+60=4.5x+72
解得：x=24，即当购买笔数为24支时，甲乙两种方式所用钱数相同即甲乙两种方式都可以．
当 y甲＜y乙时，
5x+60＜4.5x+72，
解得：x＜24，即当购买笔数大于4支而小于24支时，甲种方式便宜；
（3）用一种方法购买4个书包，12支笔时，由12＜24，则选甲种方式 需支出
y=20×4+8×5=120（元）
若两种方法都用 设用甲种方法购书包x个，则用乙种方法购书包（4﹣x）个总费用
y=20 x+90%〔20（4﹣x）+5（12﹣x）〕（0＜x≤4）
y=﹣2.5 x+126
由k=﹣2.5＜0则y随x增大而减小，即当x=4时 y最小=116（元）
综上所述，用甲种方法购买4个书包，用乙种方法购买8支笔最省钱．
【点评】本题考查了一次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的解析式的运用，分类讨论的运用及不等式和方程的解法的运用，一次函数的性质的运用，解答时先表示出两种购买方式的解析式是解答第二问的关键，解答第三问灵活运用一次函数的性质是难点．
例题4：某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．
（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；www-2-1-cnjy-com
（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？
（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设购买篮球 ( http: / / www.21cnjy.com )x个，购买篮球和排球的总费用y元，根据某校计划购买篮球和排球共100个，已知篮球每个80元，排球每个20元可列出函数式．
（2）先设出购买篮球x个，根据篮球的个数不少于排球个数的3倍和购买两种球的总费用及单价，列出不等式组，解出x的值，即可得出答案；
（3）根据（2）得出的篮球和排球的个数，再根据它们的单价，即可求出总费用，再进行比较，即可得出更合算的方案．
【解答】解：（1）设购买排球x个，购买篮球和排球的总费用y元，
y=20x+80（100﹣x）=8000﹣60x；
（2）设购买排球x个，则篮球的个数是（100﹣x），根据题意得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得：23≤x≤25，
因为x是正整数，
所以x只能取25，24，23，
当买排球25个时，篮球的个数是75个，
当买排球24个时，篮球的个数是76个，
当买排球23个时，篮球的个数是77个，
所以有3种购买方案．
（3）根据（2）得：
当买排球25个，篮球的个数是75个，总费用是：25×20+75×80=6500（元），
当买排球24个，篮球的个数是76个，总费用是：24×20+76×80=6560（元），
当买排球23个，篮球的个数是77个，总费用是：23×20+77×80=6620（元），
所以采用买排球25个，篮球75个时更合算．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组及一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
【跟踪训练】
1. 匀速地向如图的容器内注水，最后把 ( http: / / www.21cnjy.com )容器注满，在注水过程中，水面的高度h随时间t的变化而变化，变化规律为一折线，下列图象（草图）正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
2. 如图所示为某汽车行驶的路程S（km）与时间t（min）的函数关系图，观察图中所提供的信息解答下列问题：21·世纪*教育网
（1）汽车在前9分钟内的平均速度是多少？
（2）汽车中途停了多长时间？
（3）当16≤t≤30时，求S与t的函数关系式？
( http: / / www.21cnjy.com )
3. 某校实行学案式教学，需印制若干份 ( http: / / www.21cnjy.com )数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：
（1）填空：甲种收费的函数关系式是 ．
乙种收费的函数关系式是 ．
（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？
( http: / / www.21cnjy.com )
4. 新农村社区改造中，有一部分楼 ( http: / / www.21cnjy.com )盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2．【版权所有：21教育】
若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：
方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；
方案二：降价10%，没有其他赠送．
（1）请写出售价y（元/米2）与楼层x（1≤x≤23，x取整数）之间的函数关系式；
（2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．
5. 甲乙两地相距300千米，一辆货车和 ( http: / / www.21cnjy.com )一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？
（2）求线段CD对应的函数解析式．
( http: / / www.21cnjy.com )
6. 平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y=kx+2k与x轴交于点C，与直线l1交于点P．
（1）当k=1时，求点P的坐标；
（2）如图1，点D为PA的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l2于点F，若DF=2DE，求k的值；
（3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的延长线交直线l1于点R，若PR=PC，求点P的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案：
1. 匀速地向如图的容器内注水，最后 ( http: / / www.21cnjy.com )把容器注满，在注水过程中，水面的高度h随时间t的变化而变化，变化规律为一折线，下列图象（草图）正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com )B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com )D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】E6：函数的图象．
【分析】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．
【解答】解：最下面的容器较最粗，第二个容器较粗，那么每个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓陡，用时较短，21cnjy.com
故选C．
2. 如图所示为某汽车行驶的路程S（km）与时间t（min）的函数关系图，观察图中所提供的信息解答下列问题：
（1）汽车在前9分钟内的平均速度是多少？
（2）汽车中途停了多长时间？
（3）当16≤t≤30时，求S与t的函数关系式？
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【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）根据速度=路程÷时间，列式计算即可得解；
（2）根据停车时路程没有变化列式计算即可；
（3）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．
【解答】解：（1）平均速度= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )km/min；
（2）从9分到16分，路程没有变化，停车时间t=16﹣9=7min．
（3）设函数关系式为S=kt+b，
将（16，12），C（30，40）代入得，
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
所以，当16≤t≤30时，求S与t的函数关系式为S=2t﹣20．
3. 某校实行学案式教学，需印制若干份 ( http: / / www.21cnjy.com )数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：
（1）填空：甲种收费的函数关系式是 y1=0.1x+6（x≥0） ．
乙种收费的函数关系式是 y2=0.12x（x≥0） ．
（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？
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【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；FH：一次函数的应用．
【分析】（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论；2-1-c-n-j-y
（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式．21教育名师原创作品
【解答】解：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，由题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，12=100k1，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，k1=0.12，
∴y1=0.1x+6（x≥0），y2=0.12x（x≥0）；
（2）由题意，得
当y1＞y2时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300；
当y1=y2时，0.1x+6=0.12x，得x=300；
当y1＜y2时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300；
∴当100≤x＜300时，选择乙种方式合算；
当x=300时，甲、乙两种方式一样合算；
当300＜x≤450时，选择甲种方式合算．
答：印制100～300（含10 ( http: / / www.21cnjy.com )0）份学案，选择乙种印刷方式较合算，印制300份学案，甲、乙两种印刷方式都一样合算，印制300～450（含450）份学案，选择甲种印刷方式较合算．
4. 新农村社区改造中，有一部分楼盘要 ( http: / / www.21cnjy.com )对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2．
若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：
方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；
方案二：降价10%，没有其他赠送．
（1）请写出售价y（元/米2）与楼层x（1≤x≤23，x取整数）之间的函数关系式；
（2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）根据题意分别求出当1≤x≤8 ( http: / / www.21cnjy.com )时，每平方米的售价应为4000﹣（8﹣x）×30元，当9≤x≤23时，每平方米的售价应为4000+（x﹣8）×50元；21*cnjy*com
（2）根据购买方案一、二求出实交房款的关系式，然后分情况讨论即可确定那种方案合算．
【解答】解：（1）当1≤x≤8时，每平方米的售价应为：
y=4000﹣（8﹣x）×30=30x+3760 （元/平方米）
当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：
y=4000+（x﹣8）×50=50x+3600（元/平方米）．
∴y= ( http: / / www.21cnjy.com )
（2）第十六层楼房的每平方米的价格为：50×16+3600=4400（元/平方米），
按照方案一所交房款为：W1=4400×120×（1﹣8%）﹣a=485760﹣a（元），
按照方案二所交房款为：W2=4400×120×（1﹣10%）=475200（元），
当W1＞W2时，即485760﹣a＞475200，
解得：0＜a＜10560，
当W1=W2时，即485760﹣a=475200，
解得：a=10560
当W1＜W2时，即485760﹣a＜475200，
解得：a＞10560，
∴当0＜a＜10560时，方案二合算；当a＞10560时，方案一合算．当a=10560时，方案一与方案二一样．2·1·c·n·j·y
5. 甲乙两地相距300千米 ( http: / / www.21cnjy.com )，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？
（2）求线段CD对应的函数解析式．
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【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）根据图象可知货车5小时行 ( http: / / www.21cnjy.com )驶300千米，由此求出货车的速度为60千米/时，再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地相距300千米，则此时货车距乙地的路程为：300﹣270=30千米；
（2）设CD段的函数解析式为y=kx+b，将C（2.5，80），D（4.5，300）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）根据图象信息：货车的速度V货= ( http: / / www.21cnjy.com )=60（千米/时）．
∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，
∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60=270（千米），
此时，货车距乙地的路程为：300﹣270=30（千米）．
答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米；
（2）设CD段函数解析式为y=kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．
∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CD段函数解析式：y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）．
6. 平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y=kx+2k与x轴交于点C，与直线l1交于点P．www.21-cn-jy.com
（1）当k=1时，求点P的坐标；
（2）如图1，点D为PA的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l2于点F，若DF=2DE，求k的值；
（3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的延长线交直线l1于点R，若PR=PC，求点P的坐标．
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【分析】（1）解两个函数解析式组成的方程组即可求解；
（2）过点P作PG⊥DF于点G，易证△ ( http: / / www.21cnjy.com )PDG≌△ADE，点P作PH⊥CA于点H，可以证明H是AC的中点，则H的坐标即可求得，进而求得P的坐标，进而求得k的值；
（3）Rt△PMC≌Rt△PQR，则RQ=MC，设NR=NC=a，则R（﹣a﹣2，a），代入y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x+3，求得a的值，设P（m，n），根据P在直线l1上和RQ=MC即可列方程组求解．
【解答】解：（1）当k=1时，直线l2为y=x+2．
解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴P（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )）；
（2）当y=0时，kx+2k=0，
∵k≠0，
∴x=﹣2，
∴C（﹣2，0）则OC=2，
当y=0时，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) x+3=0，
∴x=6，
∴A（6，0），OA=6，
过点P作PG⊥DF于点G，
在△PDG和△ADE中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△PDG≌△ADE，
得DE=DG= ( http: / / www.21cnjy.com )DF，
∴PD=PF，
∴∠PFD=∠PDF
∵∠PFD+∠PCA=90°，∠PDF+∠PAC=90°
∴∠PCA=∠PAC，
∴PC=PA
过点P作PH⊥CA于点H，
∴CH= ( http: / / www.21cnjy.com )CA=4，
∴OH=2，
当x=2时，y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×2+3=2代入y=kx+2k，得k= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）直角△PQR和直角△PMC中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴Rt△PMC≌Rt△PQR，
∴CM=RQ，
∴NR=NC，
设NR=NC=a，则R（﹣a﹣2，a），
代入y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x+3，
得﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（﹣a﹣2）+3=a，解得a=8，
设P（m，n），则 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴P（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )）．
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【点评】本题是一次函数和全等三角形的判定的综合应用，正确作出辅助线，构造全等的三角形，证明H是AC的中点是解决本题的关键．21世纪教育网版权所有
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