第十六章 二次根式压轴题解析
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二次根式
【知识脉络】
【基础知识】
Ⅰ. 二次根式
二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，
但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，
，等是二次根 式，而，等都不是二次根式。
Ⅱ. 二次根式的一般性质
1）．二次根式（）的双重非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）。
注：这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，
则a=0,b=0； 若，则a=0,b=0。
2）．二次根式的性质
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，。
3）．二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
4）．与的异同点
a．不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的：21教育网
，而。
b．相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而。
Ⅲ. 二次根式的运算
1）．最简二次根式
必须同时满足下列条件：
1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母；
（3）分母中不含根式。
2）．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是
同类二次根式。
3）．二次根式的运算
1、二次根式的加减运算：a+b=（a+b），（m≥0）；
2、二次根式的乘法运算：.=，( a≥0, b≥0)；
3、二次根式的除法运算：÷= ，( a≥0, b＞0)；
【典例解析】
例题1：阅读下面材料，回答问题：
（1）在化简 ( http: / / www.21cnjy.com )的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
小李的化简如下： ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
（2）请你利用上面所学的方法化简 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）利用二次根式的性质对他们的化简结果进行判断；
（2）利用完全平方公式把原式变形为 ( http: / / www.21cnjy.com )，然后根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）小李化简正确，小张的化简结果错误．
因为 ( http: / / www.21cnjy.com )=| ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )|= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）原式= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先 ( http: / / www.21cnjy.com )把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能
例题2：若x=﹣3，则 ( http: / / www.21cnjy.com )等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【考点】7A：二次根式的化简求值．
【分析】x=﹣3时，1+x＜0， ( http: / / www.21cnjy.com ) =﹣1﹣x，再去绝对值．
【解答】解：当x=﹣3时，1+x＜0，
( http: / / www.21cnjy.com )=|1﹣（﹣1﹣x）|
=|2+x|=﹣2﹣x=1．故选B．
例题3：已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： ( http: / / www.21cnjy.com ) + ( http: / / www.21cnjy.com )﹣|a﹣b|．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】先根据数轴判断a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，然后再根据二次根式的性质化简原式即可．
【解答】解：∵a＜﹣1，b＞1，a＜b
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴原式=|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
=﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）
=﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b
=﹣2
例题4：观察下列各式： ( http: / / www.21cnjy.com )…请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】观察分析可得： ( http: / / www.21cnjy.com ) =（1+1） ( http: / / www.21cnjy.com )； ( http: / / www.21cnjy.com ) =（2+1） ( http: / / www.21cnjy.com )；…则将此题规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来www.21-cn-jy.com
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com ) =（1+1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )=（2+1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=（n+1） ( http: / / www.21cnjy.com )（n≥1）．
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com ) =（n+1） ( http: / / www.21cnjy.com )（n≥1）．
【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．本题的关键是根据数据的规律得到 ( http: / / www.21cnjy.com )=（n+1） ( http: / / www.21cnjy.com )（n≥1）．2·1·c·n·j·y
【跟踪训练】
1.当a≥0时， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )中，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )≥﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )＞ ( http: / / www.21cnjy.com )＞﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com )＜ ( http: / / www.21cnjy.com )＜﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )＜﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
2. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )+y2﹣4y+4=0，则xy的值为 ．
3. 小东在学习了 ( http: / / www.21cnjy.com )后，认为 ( http: / / www.21cnjy.com )也成立，因此他认为一个化简过程： ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由．【来源：21·世纪·教育·网】
4. 先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 ( http: / / www.21cnjy.com )的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=n，这样（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=m， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，那么便有 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )± ( http: / / www.21cnjy.com )（a＞b）例如：化简 ( http: / / www.21cnjy.com )21·cn·jy·com
解：首先把 ( http: / / www.21cnjy.com )化为 ( http: / / www.21cnjy.com )，这里m=7，n=12；
由于4+3=7，4×3=12，即（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=7， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2+ ( http: / / www.21cnjy.com )
由上述例题的方法化简：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )．
5. 观察下列各式
2× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
3× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
4× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
则依次第四个式子是 ．用n（n＞1）表示你观察得到的规律是 ．
参考答案：
1. 当a≥0时， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )中，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )≥﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )＞ ( http: / / www.21cnjy.com )＞﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com )＜ ( http: / / www.21cnjy.com )＜﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )＜﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】实数大小比较．
【分析】首先根据二次根式的性质可知 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )≥0，而﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )≤0，进一步得出 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )≥﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，由此选择答案即可．21·世纪*教育网
【解答】解：由分析可知当a≥0时， ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )≥﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选：A．
2. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )+y2﹣4y+4=0，则xy的值为 4 ．
【考点】因式分解﹣运用公式法；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【分析】首先配方，进而利用二次根式的性质以及偶次方的性质，进而得出关于x，y的方程组求出即可．
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )+y2﹣4y+4=0，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )+（y﹣2）2=0，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴xy的值为：4．
故答案为：4．
3. 小东在学习了 ( http: / / www.21cnjy.com )后，认为 ( http: / / www.21cnjy.com )也成立，因此他认为一个化简过程： ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由．21cnjy.com
【考点】二次根式的乘除法．
【分析】根据被开方数为非负数可得化简过程是错误的，然后进行二次根式的化简即可．
【解答】解：错误，原因是被开方数应该为非负数．
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2．
【点评】本题主要考查二次根式的除法法则运用的条件，注意被开方数应该为非负数．
4. 先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 ( http: / / www.21cnjy.com )的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=n，这样（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=m， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，那么便有 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )± ( http: / / www.21cnjy.com )（a＞b）例如：化简 ( http: / / www.21cnjy.com )21世纪教育网版权所有
解：首先把 ( http: / / www.21cnjy.com )化为 ( http: / / www.21cnjy.com )，这里m=7，n=12；
由于4+3=7，4×3=12，即（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=7， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2+ ( http: / / www.21cnjy.com )
由上述例题的方法化简：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )．
【考点】分母有理化．
【分析】先把各题中的无理式变成 ( http: / / www.21cnjy.com )的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
5. 观察下列各式
2× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
3× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
4× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
则依次第四个式子是 5× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ) ．用n（n＞1）表示你观察得到的规律是 n× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ) ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】规律型．
【分析】第四个式子的整数为5，分数的分子与整数相同，分母是分子的平方减1，写出即可；
根据分数的分子与整数相同，分母是分子的平方减1解答．
【解答】解：第四个式子为：5× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；
n× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案为：5× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；n× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，观察出分数的分子、分母与整数的关系是解题的关键．
( http: / / www.21cnjy.com )
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二次根式
【知识脉络】
【基础知识】
Ⅰ. 二次根式
二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，
但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，
，等是二次根 式，而，等都不是二次根式。
Ⅱ. 二次根式的一般性质
1）．二次根式（）的双重非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）。
注：这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，
则a=0,b=0； 若，则a=0,b=0。
2）．二次根式的性质
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，。
3）．二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
4）．与的异同点
a．不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的：21教育网
，而。
b．相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而。
Ⅲ. 二次根式的运算
1）．最简二次根式
必须同时满足下列条件：
1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母；
（3）分母中不含根式。
2）．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是
同类二次根式。
3）．二次根式的运算
1、二次根式的加减运算：a+b=（a+b），（m≥0）；
2、二次根式的乘法运算：.=，( a≥0, b≥0)；
3、二次根式的除法运算：÷= ，( a≥0, b＞0)；
【典例解析】
例题1：阅读下面材料，回答问题：
（1）在化简 ( http: / / www.21cnjy.com )的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
小李的化简如下： ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
（2）请你利用上面所学的方法化简 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）利用二次根式的性质对他们的化简结果进行判断；
（2）利用完全平方公式把原式变形为 ( http: / / www.21cnjy.com )，然后根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）小李化简正确，小张的化简结果错误．
因为 ( http: / / www.21cnjy.com )=| ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )|= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）原式= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先 ( http: / / www.21cnjy.com )把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能
例题2：若x=﹣3，则 ( http: / / www.21cnjy.com )等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【考点】7A：二次根式的化简求值．
【分析】x=﹣3时，1+x＜0， ( http: / / www.21cnjy.com ) =﹣1﹣x，再去绝对值．
【解答】解：当x=﹣3时，1+x＜0，
( http: / / www.21cnjy.com )=|1﹣（﹣1﹣x）|
=|2+x|=﹣2﹣x=1．故选B．
例题3：已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： ( http: / / www.21cnjy.com ) + ( http: / / www.21cnjy.com )﹣|a﹣b|．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】先根据数轴判断a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，然后再根据二次根式的性质化简原式即可．
【解答】解：∵a＜﹣1，b＞1，a＜b
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴原式=|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
=﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）
=﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b
=﹣2
例题4：观察下列各式： ( http: / / www.21cnjy.com )…请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】观察分析可得： ( http: / / www.21cnjy.com ) =（1+1） ( http: / / www.21cnjy.com )； ( http: / / www.21cnjy.com ) =（2+1） ( http: / / www.21cnjy.com )；…则将此题规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来www.21-cn-jy.com
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com ) =（1+1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )=（2+1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=（n+1） ( http: / / www.21cnjy.com )（n≥1）．
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com ) =（n+1） ( http: / / www.21cnjy.com )（n≥1）．
【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．本题的关键是根据数据的规律得到 ( http: / / www.21cnjy.com )=（n+1） ( http: / / www.21cnjy.com )（n≥1）．2·1·c·n·j·y
【跟踪训练】
1.当a≥0时， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )中，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )≥﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )＞ ( http: / / www.21cnjy.com )＞﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com )＜ ( http: / / www.21cnjy.com )＜﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )＜﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
2. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )+y2﹣4y+4=0，则xy的值为 ．
3. 小东在学习了 ( http: / / www.21cnjy.com )后，认为 ( http: / / www.21cnjy.com )也成立，因此他认为一个化简过程： ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由．【来源：21·世纪·教育·网】
4. 先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 ( http: / / www.21cnjy.com )的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=n，这样（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=m， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，那么便有 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )± ( http: / / www.21cnjy.com )（a＞b）例如：化简 ( http: / / www.21cnjy.com )21·cn·jy·com
解：首先把 ( http: / / www.21cnjy.com )化为 ( http: / / www.21cnjy.com )，这里m=7，n=12；
由于4+3=7，4×3=12，即（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=7， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2+ ( http: / / www.21cnjy.com )
由上述例题的方法化简：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )．
5. 观察下列各式
2× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
3× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
4× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
则依次第四个式子是 ．用n（n＞1）表示你观察得到的规律是 ．
参考答案：
1. 当a≥0时， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )中，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )≥﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )＞ ( http: / / www.21cnjy.com )＞﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com )＜ ( http: / / www.21cnjy.com )＜﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )＜﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】实数大小比较．
【分析】首先根据二次根式的性质可知 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )≥0，而﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )≤0，进一步得出 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )≥﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，由此选择答案即可．21·世纪*教育网
【解答】解：由分析可知当a≥0时， ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )≥﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选：A．
2. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )+y2﹣4y+4=0，则xy的值为 4 ．
【考点】因式分解﹣运用公式法；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【分析】首先配方，进而利用二次根式的性质以及偶次方的性质，进而得出关于x，y的方程组求出即可．
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )+y2﹣4y+4=0，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )+（y﹣2）2=0，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴xy的值为：4．
故答案为：4．
3. 小东在学习了 ( http: / / www.21cnjy.com )后，认为 ( http: / / www.21cnjy.com )也成立，因此他认为一个化简过程： ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由．21cnjy.com
【考点】二次根式的乘除法．
【分析】根据被开方数为非负数可得化简过程是错误的，然后进行二次根式的化简即可．
【解答】解：错误，原因是被开方数应该为非负数．
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2．
【点评】本题主要考查二次根式的除法法则运用的条件，注意被开方数应该为非负数．
4. 先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 ( http: / / www.21cnjy.com )的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=n，这样（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=m， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，那么便有 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )± ( http: / / www.21cnjy.com )（a＞b）例如：化简 ( http: / / www.21cnjy.com )21世纪教育网版权所有
解：首先把 ( http: / / www.21cnjy.com )化为 ( http: / / www.21cnjy.com )，这里m=7，n=12；
由于4+3=7，4×3=12，即（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=7， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2+ ( http: / / www.21cnjy.com )
由上述例题的方法化简：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )．
【考点】分母有理化．
【分析】先把各题中的无理式变成 ( http: / / www.21cnjy.com )的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
5. 观察下列各式
2× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
3× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
4× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
则依次第四个式子是 5× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ) ．用n（n＞1）表示你观察得到的规律是 n× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ) ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】规律型．
【分析】第四个式子的整数为5，分数的分子与整数相同，分母是分子的平方减1，写出即可；
根据分数的分子与整数相同，分母是分子的平方减1解答．
【解答】解：第四个式子为：5× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；
n× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案为：5× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；n× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，观察出分数的分子、分母与整数的关系是解题的关键．
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