第十七章 勾股定理压轴题解析

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勾股定理
【知识脉络】
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【基础知识】
Ⅰ. 勾股定理
(1)内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么.
(2)勾股定理的证明
　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
　用拼图的方法验证勾股定理的思路是:
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.
常见方法如下：
方法一：，，化简可证．
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为 所以
方法三：，，化简得证
(3)勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
(4)勾股定理的应用:
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则， ，；
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题
Ⅱ. 勾股定理的逆定理
(1)内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，
其中为斜边。
1 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；21cnjy.com
2 若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；2·1·c·n·j·y
3 定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边21·世纪*教育网
(2)勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为
正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；；8,15,17； 9,12,15；9,40,41；等
Ⅲ. 勾股定理及其逆定理的实际应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．
通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：21*cnjy*com
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Ⅳ. 互逆命题的概念
　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
【典例解析】
例题1：如图，一透明的圆柱体玻璃杯，从内 ( http: / / www.21cnjy.com )部测得底部直径为6cm，杯深8cm．今有一根长为16cm的吸管如图放入杯中，露在杯口外的长度为h，则h的变化范围是：　 　．【版权所有：21教育】
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【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放 ( http: / / www.21cnjy.com )进杯里垂直于底面时最短为8cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣8=8cm；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：当吸管放进杯里垂直于底面时最短为8cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣8=8cm；
最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为6cm，高为8cm，
所以由勾股定理可得杯里面管长为 ( http: / / www.21cnjy.com )=10cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣10=6cm；
所以，露在杯口外的长度在6cm和8cm范围变化．
故答案为：6cm＜h＜8cm．
例题2：在数轴上作出表示﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )及 ( http: / / www.21cnjy.com )的点．
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【考点】勾股定理；实数与数轴．
【分析】 ( http: / / www.21cnjy.com )为直角边长为1，1的直角三角形的斜边的长，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )在数轴的负半轴上；
( http: / / www.21cnjy.com )为两直角边长分别为2，3的直角三角形，进而得到斜边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )，再以，原点为圆心、 ( http: / / www.21cnjy.com )长为半径画弧与数轴的交点即为表示 ( http: / / www.21cnjy.com )的位置．
【解答】解：点B表示﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，点A表示 ( http: / / www.21cnjy.com )，
如图所示
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【点评】此题主要考查了运用勾股定理解答关于数轴上如何表示无理数的作法，熟练掌握基本作图方法是解题关键，属中档题．21世纪教育网版权所有
例题3：（2017春 韶关期末）在甲村至乙 ( http: / / www.21cnjy.com )村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．21·cn·jy·com
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【考点】：勾股定理的应用．
【分析】过C作CD⊥AB于　D．根据BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，利用根据勾股定理有AB=500米．利用S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB CD= ( http: / / www.21cnjy.com )BC AC得到CD=240米．再根据240米＜250米可以判断有危险．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：公路AB需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于　D．
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因为BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，
所以根据勾股定理有AB=500米．
因为S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB CD= ( http: / / www.21cnjy.com )BC AC
所以CD= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=240米．
由于240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
例题4：（1）如图1，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；2-1-c-n-j-y
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；【出处：21教育名师】
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．21教育名师原创作品
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【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，AB ( http: / / www.21cnjy.com )长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，同理连接AE，CE，如图所示，由△ABD与△ACE都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，都为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△CAD与△EAB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）BE=CD，理由与（1）同理；
（3）根据（1）、（2）的经验，过 ( http: / / www.21cnjy.com )A作等腰直角△ABD，连接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的长，由题意得到△DBC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长，即为BE的长．21*cnjy*com
【解答】解：（1）完成图形，如图所示：
证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中，
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∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；
（2）BE=CD，理由同（1），
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中，
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∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；
（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角△ABD，∠BAD=90°，
则AD=AB=100米，∠ABD=45°，
∴BD=100 ( http: / / www.21cnjy.com )米，
连接CD，BD，则由（2）可得BE=CD，
∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100 ( http: / / www.21cnjy.com )米，
根据勾股定理得：CD= ( http: / / www.21cnjy.com )=100 ( http: / / www.21cnjy.com )米，
则BE=CD=100 ( http: / / www.21cnjy.com )米．
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【跟踪训练】
1. 如图，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为　 　厘米．21教育网
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2. （2017春 韶关期末）已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 ( http: / / www.21cnjy.com )+|c﹣a|=0，则△ABC的形状　 　．
3. 中国数学史上最先完成勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com )证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副”弦图“，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为　 　．
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4. 如图，在矩形ABCD中，AB=24厘米 ( http: / / www.21cnjy.com )，BC=10厘米，点P从A开始沿AB边以4厘米/秒的速度运动，点Q从C开始沿CD边2厘米/秒的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求P、Q两点之间的距离；
（2）t为何值时，线段AQ与DP互相平分？
（3）t为何值时，四边形APQD的面积为矩形面积的 ( http: / / www.21cnjy.com )？
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参考答案;
1. 如图，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为　14　厘米．
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【考点】勾股定理的应用．
【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即 ( http: / / www.21cnjy.com )=10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．
【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即 ( http: / / www.21cnjy.com )=10cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为24﹣10=14cm，
故答案为14．
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【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
2. （2017春 韶关期末）已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 ( http: / / www.21cnjy.com )+|c﹣a|=0，则△ABC的形状　等腰直角三角形　．
【考点】KS：勾股定理的逆定理；16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根；KW：等腰直角三角形．
【分析】根据非负数的性质可 ( http: / / www.21cnjy.com )得c﹣a=0，c2+a2﹣b2=0，再解可得a=c，c2+a2=b2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状是等腰直角三角形．
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )+|c﹣a|=0，
∴c﹣a=0，c2+a2﹣b2=0，
解得：a=c，c2+a2=b2，
∴△ABC的形状是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
【点评】此题主要考查了勾 ( http: / / www.21cnjy.com )股定理逆定理，以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．【来源：21cnj*y.co*m】
3. 中国数学史上最先完成勾股定理证明 ( http: / / www.21cnjy.com )的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副”弦图“，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为　6　．
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【分析】设四边形MTKN的面积为x，八个全等的三角形面积一个设为y，构建方程组，利用整体的思想思考问题，求出x+4y即可．
【解答】解：设四边形MTKN的面积为x，八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，
∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，
x+4y=6，
所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面积为6．
故答案为6
【点评】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质、全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．
4. 如图，在矩形ABCD中，AB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )4厘米，BC=10厘米，点P从A开始沿AB边以4厘米/秒的速度运动，点Q从C开始沿CD边2厘米/秒的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求P、Q两点之间的距离；
（2）t为何值时，线段AQ与DP互相平分？
（3）t为何值时，四边形APQD的面积为矩形面积的 ( http: / / www.21cnjy.com )？
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【考点】矩形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．
【专题】动点型．
【分析】（1）当t=2秒时，表示出QC，AP的长，利用勾股定理求出PQ的长即可；
（2）根据线段AQ与DP互相平分，则四边形APQDA为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解出即可；www.21-cn-jy.com
（3）用t表示出四边形APQD的面积，再求出矩形面积的 ( http: / / www.21cnjy.com )进而得出即可．
【解答】解：（1）如图所示：连接PQ，过点P作PE⊥DQ于点E，
∵AB=24厘米，BC=10厘米，点P从A开始沿AB边以4厘米/秒的速度运动，点Q从C开始沿CD边2厘米/秒的速度移动，
∴当t=2秒时，QC=4cm，AP=8cm，
∴DQ=24﹣QC=20，则EQ=12，
∴PQ= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )（cm），
（2）∵AP=4t，DQ=24﹣2t，
当线段AQ与DP互相平分，则四边形APQD为矩形时，
则AP=DQ，即4t=24﹣2t，
解得：t=4．
故t为4秒时，线段AQ与DP互相平分；
（3）∵P在AB上，
∴S= ( http: / / www.21cnjy.com )（DQ+AP）AD，
= ( http: / / www.21cnjy.com )（4t+24﹣2t）×10，
=10t+120（0＜t≤6），
S矩形ABCD=10×24=240，
∴10t+120= ( http: / / www.21cnjy.com )×240，
解得：t=3．
∴t为3秒时，四边形APQD的面积为矩形面积的 ( http: / / www.21cnjy.com )．
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【点评】本题考查了矩形的性质及勾股定理等知识，根据运动速度得出QC以及AP的长是解题关键．
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方法三
方法二
方法一
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