课件31张PPT。第1课时 根式第3章 3.1.1 分数指数幂学习目标
1.理解n次实数方根、n次根式的概念.
2.正确运用根式运算性质化简、求值.
3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 n次实数方根，n次根式若x2＝3，这样的x有几个？x叫做3的什么？怎么表示？答案答案 这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作± .(1)n次实数方根的概念梳理(2)根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做 ，a叫做被开方数.根指数思考 知识点二 根式的性质答案梳理根式的性质0a－aa题型探究解答类型一 根式的意义反思与感悟∴a－1≥0，∴a≥1.解答例2 化简：类型二 利用根式的性质化简或求值解答解答解 由题意知a－1≥0，即a≥1.
原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.反思与感悟跟踪训练2 求下列各式的值.解答解答类型三 有限制条件的根式的化简解答∵－3
∴当－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.引申探究
例3中，若将“－3∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.当n为偶数时， 先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号.反思与感悟解析 ∵x∈[1,2]，∴x－1≥0，x－2≤0，1＝x－1－(x－2)
＝1.答案解析当堂训练1.已知x5＝6，则x等于________.答案234512.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是________.答案23451③答案234512答案23451－2234512x－1答案规律与方法3.一个数到底有没有n次实数方根，我们一定要先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数还是偶数这两种情况.本课结束课件34张PPT。第2课时 分数指数幂第3章 3.1.1 分数指数幂学习目标
1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.
2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.
3.了解无理数指数幂的意义.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 分数指数幂根据n次实数方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？答案答案 当a>0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数.分数指数幂的定义
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是： ＝_____(a>0，m，n均为正整数)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是： ＝______ (a>0，m，n均为正整数)；
(3)0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 .梳理0没有意义思考 知识点二 有理数指数幂的运算性质答案梳理整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂，即
(1)asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)；
(2)(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)；
(3)(ab)t＝atbt(a>0，b>0，s，t∈Q).知识点三 无理数指数幂一般地，当a>0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.题型探究命题角度1 分数指数幂化根式
例1 用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0).
(1) ；解答类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化(2) .解 实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便.而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握.反思与感悟解析 ＝ ＝ .跟踪训练1 用根式表示 (x>0，y>0).解答命题角度2 根式化分数指数幂
例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.解答＝ .解答.指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后，当a≤0时， 有时有意义，有时无意义.如反思与感悟 但 就不是实数了.为了保证在.
取任何有理数时， 都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分.跟踪训练2 把下列根式化成分数指数幂.解答解答例3 计算下列各式(式中字母都是正数).类型二 运用指数幂运算公式化简求值解答解答＝4ab0＝4a.解 原式＝[2×(－6)÷(－3)] 一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.反思与感悟解答.解答解 由 ＝5，两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理得：x＋x－1＝23，则有 ＝23.类型三 运用指数幂运算公式解方程例4 已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值.解 方法一 ∵a>0，b>0，又ab＝ba，∴ ＝ ?a＝ ?a＝ ，方法二 ∵ab＝ba，b＝9a，∴a9a＝(9a)a，解答指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等目的.反思与感悟跟踪训练4 已知67x＝27,603y＝81，求 的值.解答解 由67x＝33，得67＝ ，由603y＝81，得603＝ ，当堂训练1.化简 的值为_____.答案2345142. 等于________.答案23451答案23451答案23451a2答案23451165.计算 × 的结果是 .规律与方法1.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号的先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数的运算性质.
2.指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.本课结束课件41张PPT。3.1.2 指数函数 (一)第3章 3.1 指数函数学习目标
1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.
2.掌握指数函数图象的性质.
3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 指数函数细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？答案答案 y＝2x.它的底为常数，自变量为实数，在指数位置，而y＝x2恰好反过来.一般地， 叫做指数函数，它的定义域是___.
特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的原因：
①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③ax的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数.梳理函数y＝ax(a>0，a≠1)R思考 知识点二 指数函数的图象和性质函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？答案答案 函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般.梳理指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质题型探究例1 已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式.解答类型一 求指数函数的解析式解 设f(x)＝ax，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，即a3＝π，解得a＝ ，于是f(x)＝ .(1)根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数.
(2)要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可.反思与感悟解 由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2.
将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.跟踪训练1 已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值.解答命题角度1 f(ax)型
例2 求下列函数的定义域、值域.类型二 求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域解答解 函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1).又∵3x>0,1＋3x>1，(2)y＝4x－2x＋1.解答解 函数的定义域为R，解此类题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的范围.从而把问题转化为y＝f(t)的问题.反思与感悟跟踪训练2 求下列函数的定义域与值域.解答∴原函数的定义域为[0，＋∞).∴原函数的值域为[0,1).解答解 原函数的定义域为R.
方法一 设ax＝t，则t∈(0，＋∞).∵t>0，∴t＋1>1，即原函数的值域为(－1,1).∴原函数的值域是(－1,1).命题角度2 af(x)型解答解 要使函数有意义，∵y＝3x在R上是单调增函数，∴原函数的值域为[0，＋∞).y＝af(x)的定义域即f(x)的定义域，求y＝af(x)的值域可先求f(x)的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f(x)的范围求y＝at的范围.反思与感悟(1)y＝ ；跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域.解答解 由x－1≠0，得x≠1，
所以函数定义域为{x|x≠1}.所以函数值域为{y|y>0且y≠1}.解答命题角度1 指数函数整体图象
例4 试画出y＝2x＋1的图象，指出它与y＝2x的图象的关系.类型三 指数函数图象的应用解答解 y＝2x＋1的图象如图，它是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到.函数y＝ax的图象主要取决于01.但前提是a>0且a≠1.在此基础上通过平移、伸缩对称等变换，可得到一些常遇到的函数图象.反思与感悟跟踪训练4 已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是________.解析 方法一 当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5).
方法二 y＝ax过定点(0,1)，它向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得y＝ax＋1＋4的图象.
∴f(x)的图象过定点P(－1,5).(－1,5)答案解析命题角度2 指数函数局部图象
例5 若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围.解答图象如下：由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，需0<2a<1，即01)的图象.解答解 函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax.由已知a>1，图象如图.当堂训练1.下列各函数中，为指数函数的是________.(填序号)
①y＝(－3)x； ②y＝－3x； ③y＝3x－1； ④y＝( )x.答案23451④2.若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是
_____________.答案234513.函数y＝ 的值域是________.答案23451(0,1]4.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则a，b的取值范围分别是______________.答案2345102.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.
3.由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.4.求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域.本课结束课件43张PPT。3.1.2 指数函数 (二)第3章 3.1 指数函数学习目标
1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间
的求法及单调性的判断.
2.能借助指数函数性质比较大小.
3.会解简单的指数方程、不等式.
4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 不同底指数函数图象的相对位置y＝2x与y＝3x都是单调增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？答案答案 经描点观察，在y轴右侧，2x＜3x，即y＝3x图象在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图象上方.一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系
(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即
无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.
这一性质可通过令x＝1时，y＝a去记忆，如图.梳理思考 知识点二 比较幂的大小若x1＜x2，则 与 (a＞0且a≠1)的大小关系如何？答案答案 当a＞1时，y＝ax在R上为单调增函数，所以 ＜ ，
当0＜a＜1时，y＝ax在R上为单调减函数，所以 ＞ .梳理一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的 来判断.
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的 的变化规律来判断.
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断.单调性图象中间值思考 知识点三 解指数方程、不等式若 ＜ ，则x1，x2的大小关系如何？答案答案 当f(x)在区间[m，n]上单调递增(减)时，若x1，x2∈[m，n]，则f(x1)＜f(x2)?x1＜x2(x1＞x2).
所以，当0＜a＜1时， ＜ ?x1＞x2，
当a＞1时， ＜ ?x1＜x2.
此原理可用于解指数方程、不等式.梳理简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的 求解.
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的 求解.
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解，也可化归为( )x>1求解.单调性单调性知识点四 与指数函数复合的函数单调性思考 答案 由于y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域为R，一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 的定义域.
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 的单调性；当0∴2x＋4＝－2(x＋2)，
∴x＝－2.(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.解答解 ∵22x＋2＋3×2x－1＝0，
∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，(1)af(x)＝b型通常化为同底来解.
(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围.转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍.反思与感悟解 ∵81＝34，∴33x－2＝34，
∴3x－2＝4，解得x＝2.跟踪训练1 解下列方程.
(1)33x－2＝81；解答解 令t＝5x，则t>0，
原方程可化为t2－6t＋5＝0，
解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，
∴x＝1或x＝0.(3)52x－6×5x＋5＝0.解答命题角度1 比较大小
例2 比较下列各题中两个值的大小.
(1)1.7－2.5,1.7－3；类型二 指数函数单调性的应用解答解 ∵1.7＞1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是单调增函数.
∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.(2)1.70.3,1.50.3；解答解 方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方.
而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.∴1.70.3＞1.50.3.(3)1.70.3,0.83.1.解答解 ∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，
∴1.70.3＞0.83.1.当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.反思与感悟跟踪训练2 比较下列各题中两个值的大小.
(1)0.8－0.1,1.250.2；解 ∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是单调减函数.
∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
即0.8－0.1＜1.250.2.解答解答命题角度2 解指数不等式
例3 解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1).解答解 当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}.解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数的单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响.反思与感悟∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x?x>1跟踪训练3 已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是__________.答案解析命题角度3 与指数函数复合的单调性问题
例4 (1)求函数y＝ 的单调区间；解答解 y＝ 的定义域为R.
∵在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是单调减函数，
∴y＝ 在(－∞，3]上是单调增函数.
在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是单调增函数，
∴y＝ 在[3，＋∞)上是单调减函数.
∴y＝ 的单调增区间是(－∞，3]，单调减区间是[3，＋∞).解答解 设t＝ ，又y＝t2－8t＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，
令 ≤4，得x≥－2.
∴当－2≤x1 ，∴y＝ －8· ＋17的单调增区间是[－2，＋∞).
同理可得单调减区间是(－∞，－2].复合函数单调性问题归根结底是由x1(1)y＝ ；解答解 设y＝au，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为单调减函数，在[－1，＋∞)上为单调增函数.
当a>1时，y关于u为单调增函数；
当0∴当a>1时，原函数的单调增区间为[－1，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1]；
当0又∵ ＞ ，
∴ ＜ ，解得x＞1.答案解析4.函数f(x)＝ 的单调增区间为____________.23451(－∞，0]答案解析5.若指数函数y＝ax 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝
________.答案解析解析 若01，则a－a－1＝1，即a2－a－1＝0，1.比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2.解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解.如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论.
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解.规律与方法3.(1)研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0当a>1时，y＝af(x)与f(x)的单调性相同.
当0(2)研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的单调增区间还是单调减区间.本课结束课件35张PPT。第1课时 对数的概念第3章 3.2.1 对 数学习目标
1.了解对数的概念.
2.会进行对数式与指数式的互化.
3.会求简单的对数值.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 对数的概念答案答案 不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念.对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是
，记作_________，其中，a叫做 ，N叫
做 .
通常将以10为底的对数称为 ，以e为底的对数称为 .
log10N可简记为 ，logeN简记为 .梳理以a为底N的对数对数的底数真数常用对数自然对数lg Nln NlogaN＝b思考 知识点二 对数与指数的关系loga1(a>0，且a≠1)等于？答案答案 设loga1＝t，化为指数式at＝1，则不难求得t＝0，即loga1＝0.梳理(1)对数与指数的关系
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝ .
对数恒等式： ＝ ；logaax＝ (a>0，且a≠1).
(2)对数的性质
①1的对数为 ；
②底的对数为 ；
③零和负数 .xNx零1没有对数题型探究例1 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是_____________.类型一 对数的概念20，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.反思与感悟解得0(1)log2(log5x)＝0；类型二 应用对数的基本性质求值解答解 ∵log2(log5x)＝0，
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)log3(lg x)＝1.解 ∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题.logaN＝0?N＝1；logaN＝1?N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记.反思与感悟跟踪训练2 若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为____.9解析 ∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.答案解析命题角度1 指数式化为对数式
例3 将下列指数式写成对数式.
(1)54＝625；类型三 对数式与指数式的互化解答解 log5625＝4.(3)3a＝27；解答解 log327＝a.解 5.73＝m.指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：反思与感悟解答解 m＝ 5.命题角度2 对数式化为指数式
例4 求下列各式中x的值.解答(2)logx8＝6；解答解 因为10x＝100＝102，所以x＝2.(3)lg 100＝x；(4)－ln e2＝x；解 由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.
所以x＝－2.所以x＝1.解答要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解.反思与感悟跟踪训练4 计算：(1)log927；解答(2) ；(3) .命题角度3 对数恒等式 ＝N的应用
例5 (1)求 ＝2中x的值；解答(2)求 的值(a，b，c∈(0，＋∞)且不等于1，N＞0).解 ＝ ＝ ＝N.应用对数恒等式时应注意
(1)底数相同.
(2)当N>0时才成立，例如y＝x与y＝ 并非相等的函数.反思与感悟跟踪训练5 设 ＝9，则x＝________.解答 ∵ ＝ ＝ ＝(2x－1)2＝9.
∴2x－1＝±3，
又∵2x－1>0，∴2x－1＝3.
∴x＝2.2答案解析当堂训练1.logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是________.答案23451ba＝N2.若logax＝1，则x＝_____.答案23451a3.下列指数式与对数式互化不正确的一组的序号是________.
①e0＝1与ln 1＝0；
③log39＝2与 ＝3；
④log77＝1与71＝7.答案23451③4.已知logx16＝2，则x＝________.答案2345145.设10lg x＝100，则x的值等于________.答案23451100规律与方法1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2) ＝N.
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.本课结束课件34张PPT。第2课时 对数的运算性质第3章 3.2.1 对 数学习目标
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程
和成立条件.
2.掌握换底公式及其推论.
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 对数运算性质有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算.那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？答案答案 有.例如，设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，∴MN＝am·an＝am＋n，
∴loga(MN)＝m＋n＝logaM＋logaN.
得到的结论loga(MN)＝logaM＋logaN可以当公式直接进行对数运算.一般地，如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(M·N)＝ ；
(2)loga ＝ ；
(3)logaMn＝ (n∈R).梳理logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM思考1 知识点二 换底公式观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式.而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e为底)，可以查表求对数值.那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？答案答案 设法换为同底.假设 ＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，再化为对数式可得到什么结论？思考2 答案 把3x＝5化为对数式为log35＝x，答案梳理一般地，我们有logaN＝ ，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1.这个公式称为对数的换底公式.题型探究例1 计算：(1)log345－log35；解答类型一 具体数字的化简求值解 log345－log35＝log3 ＝log39＝log332＝2log33＝2.(2)log2(23×45)；解 log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2(213)＝13log22＝13.解答解答(4)log29·log38.解 log29·log38＝log2(32)·log3(23)
＝2log23·3log32＝6.具体数的化简求值主要遵循2个原则
(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式.
(2)不同底化为同底.反思与感悟跟踪训练1 计算：(1)2log63＋log64；解答解 原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2.(3)log43·log98；解答命题角度1 代数式恒等变换
例2 化简loga类型二 代数式的化简解答∴y>0，z>0.使用公式要注意成立条件，如lg x2不一定等于2lg x，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的.要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.反思与感悟解答命题角度2 用代数式表示对数
例3 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.解答解 方法一 ∵log189＝a,18b＝5，
∴log185＝b，方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，方法三 ∵log189＝a,18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元.反思与感悟又∵log37＝b，跟踪训练3 已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.解答当堂训练答案234510234511答案解析3.log29×log34等于________.答案2345144.lg 0.01＋log216的值是________.234512解析 lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2.答案解析答案解析234512＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝4－2＝2.规律与方法1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
2.运用对数的运算性质时应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n；②loga(MN)＝logaM·logaN；
③logaM±logaN＝loga(M±N).本课结束课件47张PPT。3.2.2 对数函数(一)第3章 3.2 对数函数学习目标
1.理解对数函数的概念.
2.掌握对数函数的性质.
3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 对数函数的概念已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？答案答案 由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞).一般地， 叫做对数函数，它的定义域是 .梳理函数y＝logax(a>0，a≠1)(0，＋∞)思考 知识点二 对数函数的图象与性质y＝logax化为指数式是x＝ay.你能用指数函数的单调性推导出对数函数的单调性吗？答案答案 当a＞1时，若0＜x1＜x2，则 ＜ ，解指数不等式，得y1＜y2，从而y＝logax在(0，＋∞)上为单调增函数.
当0＜a＜1时，同理可得y＝logax在(0，＋∞)上为单调减函数.梳理类似地，我们可以借助指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质(0，＋∞)R(1,0)(－∞，0) [0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0]x轴题型探究例1 已知对数函数y＝f(x)过点(4,2)，求f 及f(2lg 2).解答类型一 对数函数的概念解 设y＝logax(a＞0，且a≠1)，则2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x，一个函数是对数函数必须满足以下条件
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数.
(3)对数的真数仅有自变量x.反思与感悟解 ∵中真数不是自变量x，
∴不是对数函数；跟踪训练1 判断下列函数是不是对数函数？并说明理由.
(1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)；解答解 ∵中对数式后减1，∴不是对数函数；(2)y＝log2x－1；解 ∵中底数是自变量x，而非常数a，
∴不是对数函数.(3)y＝logxa(x＞0，且x≠1)；解 为对数函数.(4)y＝log5x.解答例2 求下列函数的定义域.
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；类型二 对数函数的定义域的应用解答∴函数的定义域是{x|－30，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}.引申探究
1.若将例2(1)中的函数改为y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，求定义域.∴函数y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)的定义域为{x|x>3}.解答2.求函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？解得x<－3或x>3.
∴函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域为{x|x<－3或x>3}.
相比引申探究1，函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域多了(－∞，－3)这个区间，原因是对于y＝loga[(x＋3)·(x－3)]，要使对数有意义，只需(x＋3)与(x－3)同号，而对于y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，要使对数有意义，必须(x－3)与(x＋3)同时大于0.解答求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变.反思与感悟跟踪训练2 求下列函数的定义域.解答故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞).(2)y＝log(x＋1)(16－4x)；解答所以－1故所求函数的定义域为{x|－1例3 比较下列各组数中两个值的大小.
(1)log23.4，log28.5；类型三 对数函数单调性的应用解答解 考察对数函数y＝log2x，
因为它的底数2>1，
所以它在(0，＋∞)上是单调增函数，
又3.4＜8.5，
于是log23.4所以它在(0，＋∞)上是单调减函数，
又1.8＜2.7，
于是 log0.31.8>log0.32.7.(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1).解答解 当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是单调增函数，
又5.1＜5.9，
于是loga5.1当0又5.1＜5.9，
于是loga5.1>loga5.9.
综上，当a＞1时，loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数的底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论.对于不同底的对数，可以估算范围，如log22b>c答案解析命题角度2 求y＝logaf(x)型的函数值域
例4 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为___________.解析 f(x)的定义域为R.
∵3x>0，∴3x＋1>1.
∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，
即f(x)的值域为(0，＋∞).(0，＋∞)答案解析在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系.故求y＝logaf(x)型函数的值域必先求定义域，进而确定f(x)的范围，再利用对数函数y＝logax的单调性求出logaf(x)的取值范围.反思与感悟当x≥1时，log2x≥log21＝0，[0，＋∞)答案解析命题角度1 画与对数函数有关的函数图象
例5 画出函数y＝lg|x－1|的图象.解答类型四 对数函数的图象解 (1)先画出函数y＝lg x的图象(如图).(2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图).(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图象(如图).现在画图象很少单纯描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点.反思与感悟跟踪训练5 画出函数y＝|lg(x－1)|的图象.解答解 (1)先画出函数y＝lg x的图象(如图).(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图象(如图).(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图象(如图).命题角度2 与对数函数有关的图象变换
例6 函数f(x)＝4＋loga(x－1)(a>0，a≠1)的图象过一个定点，则这个定点的坐标是__________.解析 因为函数y＝loga(x－1)的图象过定点(2,0)，所以函数f(x)＝4＋loga(x－1)的图象过定点(2,4).(2,4)答案解析反思与感悟跟踪训练6 若函数f(x)＝ax－1的图象经过点(4,2)，则函数g(x)＝loga
的图象是________.④答案解析解析 代入(4,2)，得2＝a4－1，即a3＝2，在(－1，＋∞)上为单调减函数且过点(0,0).故填④.当堂训练1.函数y＝log2(x－2)的定义域是________.答案23451(2，＋∞)23451∴定义域为(－1,1)∪(1，＋∞).答案解析(－1,1)∪(1，＋∞)3.函数f(x)＝log0.2(2x＋1)的值域为____________.答案23451(－∞，0)4.已知函数y＝loga( x＋b)(a，b为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则a＋b的值为________.23451答案解析23451y＝logau为单调减函数，
∴0又由图象过(0,2)，(3,0)，5.若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是__________.23451(1,3)答案规律与方法1.含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数.
判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式.如：y＝2log2x，y＝log5 都不是对数函数，可称其为对数型函数.
2.研究y＝logaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质.
3.研究与对数函数图象有关的问题，以对数函数图象为基础，加以平移、伸缩、对称或截取一部分.本课结束课件44张PPT。3.2.2 对数函数(二)第3章 3.2 对数函数学习目标
1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判
定方法.
2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.
3.会解简单的对数不等式.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 y＝logaf(x)型函数的单调区间我们知道y＝2f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，那么y＝log2f(x)的单调区间与y＝f(x)的单调区间相同吗？答案答案 y＝log2f(x)与y＝f(x)的单调区间不一定相同，因为y＝log2f(x)的定义域与y＝f(x)的定义域不一定相同.形如函数f(x)＝logag(x)的单调区间的求法(1)先求g(x)＞0的解集(也就是函数的定义域).
(2)当底数a大于1时， g(x)＞0限制之下g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间，g(x)＞0限制之下g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间.
(3)当底数a大于0且小于1时，g(x)＞0限制之下g(x)的单调区间与f(x)的单调区间正好相反.梳理思考 知识点二 对数不等式的解法log2x＜log23等价于x＜3吗？答案答案 不等价.log2x＜log23成立的前提是log2x有意义，即x＞0，
∴log2x＜log23?0＜x＜3.梳理对数不等式的常见类型
当a＞1时，当0＜a＜1时，思考 知识点三 不同底的对数函数图象的相对位置y＝log2x与y＝log3x同为(0，＋∞)上的单调增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？答案答案 可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数.梳理一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0例1 求函数y＝ (－x2＋2x＋1)的值域和单调区间.解答类型一 对数型复合函数的单调性解 设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.∵y＝ t为单调减函数，且00，由二次函数的图象知1－求复合函数的单调性要抓住两个要点
(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域.
(2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为单调增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为单调减函数，简称“同增异减”.反思与感悟跟踪训练1 已知函数f(x)＝ (－x2＋2x).
(1)求函数f(x)的值域；解答解 由题意得－x2＋2x>0，
由二次函数的图象知0当01，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0因为a>0，所以u＝6－ax是单调减函数，
那么函数y＝logau就是单调增函数，所以a>1，
因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，
解得a<3，所以1即f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，解答引申探究∵f(x)为奇函数，∴－(－b)＝a，即a＝b.＝ln 1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.
故f(x)为奇函数时，a＝b.(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数).
(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单.反思与感悟解答所以函数的定义域为R且关于原点对称，即f(－x)＝－f(x).＝lg(1＋x2－x2)＝0.
所以f(－x)＝－f(x)，例4 已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0，且a≠1).解关于x的不等式：loga(1－ax)＞f(1).类型三 对数不等式解答解 ∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a).
∴1－a＞0.∴0＜a＜1.
∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a).∴0＜x＜1.
∴不等式的解集为(0,1).对数不等式解法要点
(1)化为同底logaf(x)＞logag(x).
(2)根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向.
(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0.反思与感悟∴A＝(0,4).答案解析当堂训练答案234512.如果 x< y<0，那么x，y,1的大小关系为_________.答案234511①f(x)＝lg(2x＋ )；②f(x)＝|lg x|；③f(x)＝lg|x|.其中是偶函数的是______.(填序号)答案23451①③5.若函数f(x)＝ (mx＋6)在(1,3)上是单调增函数，则实数m的取值范围是________.答案解析解析 ∵f(x)＝ (mx＋6)在(1,3)上是单调增函数，23451[－2,0)∴y＝mx＋6在(1,3)上是单调减函数，并且在(1,3)上恒有mx＋6>0，即实数m的取值范围是[－2,0).规律与方法1.判断函数奇偶性的三个步骤：
(1)一看：定义域是否关于原点对称；
(2)二找：若函数的定义域关于原点对称，再确定是否满足恒等式f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0，或者f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0.
(3)三判断：判断是奇函数还是偶函数.2.判断函数是否具有单调性的方法步骤
(1)对于由基本初等函数通过运算构成的函数或复杂函数，先利用换元法将函数分解为基本初等函数，利用“同增异减”的规律判断单调性.
(2)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反.
特别提醒：在解决函数的单调性和奇偶性问题时，首先要确定其定义域.本课结束课件38张PPT。3.3 幂函数第3章 指数函数、对数函数和幂函数学习目标
1.理解幂函数的概念.
2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法.
3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 幂函数的概念y＝ ，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？答案答案 底数为x，指数为常数.一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.梳理y＝xα知识点二 五个幂函数的图象与性质1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图.2.五个幂函数的性质[0，＋∞)[0，＋∞){x|x≠0}{y|y≠0}增减偶奇非奇非偶奇减减奇增增RRR___RR[0，＋∞)思考 知识点三 一般幂函数的图象特征类比y＝x3的图象和性质，研究y＝x5的图象与性质.答案答案 y＝x3与y＝x5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同.只不过当01时，x5＝x3·x2>x3，结合两函数性质，可得图象如下：梳理一般幂函数特征
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 .
(2)α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是单调 函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象 ；当0<α<1时，幂函数的图象
.
(3)当 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是单调减函数.
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称.
(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 到 的顺序排列.(1,1)原点增下凸上凸α<0小大题型探究例1 已知y＝(m2＋2m－2) －2＋2n－3是幂函数，求m，n的值.解答类型一 幂函数的概念幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为一常数这三个条件，才是幂函数.如：y＝3x2，y＝(2x)3，反思与感悟都不是幂函数.y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y＝1不是幂函数.答案解析类型二 幂函数的图象及应用解答问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，
观察图象可得：
(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1例3 设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是________.类型三 幂函数性质的综合应用b>a>c∴ < ，即a ，即a>c.∴b>a>c.答案解析此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量.反思与感悟跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小.解答解 ∵0<0.3<1，
∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为单调增函数.解答解 ∵y＝x－1在(－∞，0)上是单调减函数，解答解 ∵y＝x0.3在(0，＋∞)上为单调增函数，又y＝0.3x在(－∞，＋∞)上为单调减函数，∴0.30.3> . ②解答命题角度2 幂函数性质的综合应用
例4 已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 <的a的取值范围.解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.则原不等式可化为 < .因为y＝ 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋1>3－2a>0或3－2a(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；解 ∵m∈N*，
∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数.
令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝ ，
∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为单调增函数.(2)若函数还经过点(2， )，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围.解答∴m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝ ，
由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为单调增函数，
∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，当堂训练23451答案解析答案23451答案234511,34.下列是y＝ 的图象的是________.(填序号)答案23451②5.以下结论正确的是________.
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限.答案23451④规律与方法1.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.
2.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)当α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.
(2)曲线在第一象限的凹凸性：当α＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸.
3.在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1， ，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.本课结束课件32张PPT。第1课时 函数的零点第3章 3.4.1 函数与方程学习目标
1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系.
2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.
3.能借助函数的单调性及图象判断零点个数.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 函数的零点概念函数的“零点”是一个点吗？答案答案 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.(1)一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的 .
(2)方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0 ?函数y＝f(x)的图象 ?函数y＝f(x) .梳理零点有实数根与x轴有交点有零点思考 知识点二 零点存在性定理答案梳理函数零点存在性定理
一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，
且 ，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.不间断f(a)·f(b)<0题型探究例1 函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为_____________.类型一 求函数的零点解析 由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.x＝1或x＝10答案解析函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.反思与感悟解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)
＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3).
可知零点为±1，－2,3，共4个.跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________.答案解析4例2 根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是________.类型二 判断函数零点所在的区间答案解析(1,2)解析 令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.
由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点.反思与感悟跟踪训练2 若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝____.2解析 ∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是单调增函数，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点.
∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln 2<0，f(3)＝9－7＋ln 3>0，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2,3)内，
∴n＝2.答案解析命题角度1 判断函数零点的个数
例3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2零点的个数.类型三 函数零点个数问题解答解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点.又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为单调增函数，
故函数f(x)有且只有一个零点.
方法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图.
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点.判断函数零点个数的方法主要有
(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数.
(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数.反思与感悟跟踪训练3 求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的个数.解答解 方法一 由于f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点.
又因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调增函数，所以它仅有一个零点.
方法二 通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，
观察两图象的交点个数得出结论.
也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函
数y＝ln x与y＝－2x＋6的图象交点的个数.
由图象可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点.命题角度2 根据零点情况求参数范围
例4 f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是
___________.(－1，＋∞)答案解析为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向为
(1)化为常见的基本初等函数.
(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单.反思与感悟跟踪训练4 若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是____________.答案解析解析 函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，
即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，当堂训练1.函数f(x)＝2x2－3x＋1零点的个数是________.234512解析 ∵Δ＝9－4×2×1＝1>0，
∴f(x)有两个零点.答案解析2.函数f(x)＝x2－2x的零点是________.23451解析 令x2－2x＝0，得x＝0，x＝2，
∴零点为0,2.0,2答案解析3.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，对于下面的判断：
①f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点；
②f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点；
③f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点；
④f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点.
正确的说法是______.(填序号)答案23451③4.若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________.23451(－1,0)解析 f(0)·f(1)<0，即b(b＋1)<0，
∴－12.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.
3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象.
4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.本课结束课件32张PPT。第2课时 用二分法求方程的近似解第3章 3.4.1 函数与方程学习目标
1.理解二分法的原理及其适用条件.
2.掌握二分法的实施步骤.
3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 二分法的原理我们已经知道f(x)＝ex－3x的零点在区间(1,2)内，如何缩小零点所在区间(1,2)的范围？答案答案 ①取区间(1,2)的中点1.5.
②计算f(1.5)的值，用计算器算得f(1.5)≈－0.018.
因为f(1.5)·f(2)<0，所以零点在区间(1.5,2)内.二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解.梳理知识点二 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤用二分法求方程f(x)＝0近似解的一般步骤：
第一步：取一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，令a0＝a，b0＝b；
第二步：取区间(a0，b0)的中点，x0＝ (a0＋b0)；
第三步：计算f(x0).(1)若f(x0)＝0，则x0就是f(x)＝0的解，计算终止；
(2)若f(a0)·f(x0)<0，则解位于区间(a0，x0)中，令a1＝a0，b1＝x0；
(3)若f(x0)·f(b0)<0，则解位于区间(x0，b0)中，令a1＝x0，b1＝b0.第四步：取区间(a1，b1)的中点，x1＝ (a1＋b1)，重复第二步和第三步，直到第n步，方程的解总位于区间(an，bn)内.
第五步：当an，bn精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.题型探究例1 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点(精确到0.1).解答类型一 二分法的操作解 由于f(0)＝－3＜0，
f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，
故可取区间(1,2)作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：因为1.437 5和1.445 313精确到0.1的近似值都是1.4，所以f(x)的零点的近似值为1.4.解答由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.反思与感悟跟踪训练1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1).解答解 原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，
用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图象如下：观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0，
所以x0∈(1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5).
同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.437 5).
因为1.375与1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4，
所以原方程的近似解为1.4.例2 若函数f(x)在(1,2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)二等分的次数至少为____.类型二 二分法取中点的次数问题答案解析7解析 设对区间(1,2)至少二等分n次，初始区间长为1.…，∵6＜log2100＜7，∴n≥7.
故对区间(1,2)至少二等分7次.反思与感悟跟踪训练2 在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精确度为0.05，则取中点的次数不小于________.5答案解析解析 ∵初始区间的长度为1，精确度为0.05，∴n≥5，∴取中点的次数不小于5.当堂训练1.下列函数中，只能用二分法求其零点的是________.
①y＝x＋7; ②y＝5x－1；
③y＝log3x; ④y＝( )x－x.答案23451④2.用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝ ＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________.答案23451(2,3)3.方程2x－1＋x＝5的根所在的区间为________.答案23451(2,3)4.定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当f( )＝0时，则函数f(x)的零点是________.答案234515.用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝ ＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________.答案23451(2,3)规律与方法1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号.
3.求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.本课结束课件41张PPT。3.4.2 函数模型及其应用第3章 函数的应用学习目标
1.理解函数模型的概念和作用.
2.能用函数模型解决简单的实际问题.
3.了解建立拟合函数模型的思想和步骤，并了解检验
和调整的必要性.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 函数模型自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型.类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？答案答案 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数即为函数模型.函数模型通常用来解释已有数据和预测.设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.梳理知识点二 用函数模型解决实际问题(1)解答应用问题的基本思想(2)解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③求模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将数学结论还原为实际应用问题的结论.思考1 知识点三 数据拟合我们知道不同的身高需要坐不同高度的桌椅，但你知道任一确定的身高对应的桌椅的最佳高度吗？如何解决？答案答案 我们知道桌椅高度与身高有关系，但我们不知道具体的对应关系是什么.这需要调查获得大量的数据，再从数据中找出规律或近似的规律.梳理现实世界中的事物都是相互联系、相互影响的，反映事物变化的变量之间就存在着一定的关系.这些关系的发现，通常是通过试验或实验测定得到一批数据，再经过分析处理得到的.
数据拟合就是研究变量之间这种关系，并给出近似的数学表达式的一种方法，根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制.
此类题的解题过程一般有如下五步：
(1)作图：即根据已知数据，画出散点图；
(2)选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试；(3)求出函数模型：求出(2)中找到的几个函数模型的解析式；
(4)检验：将(3)中求出几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型；
(5)利用所求出的函数模型解决问题.思考2 答案答案 因为限于我们的认识水平和一些未知因素的影响，现实可能与我们所估计的函数有误差或甚至不切合客观实际，此时就要检验，调整模型或改选其他函数模型.数据拟合时，得到的函数为什么要检验？题型探究例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程.解答类型一 利用已知函数模型求解实际问题在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式.再根据解题需要研究函数性质.反思与感悟跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.则水位下降1米后，水面宽________米.答案解析解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系(如图)，
则水面和拱桥交点A(2，－2)，
设抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2(a≠0)，命题角度1 非分段函数模型
例2 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝ －48x＋
8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？类型二 自建确定性函数模型解决实际问题解答解 设可获得总利润为R(x)万元，∵R(x)在[0,210]上是单调增函数，∴当x＝210时，∴当年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.反思与感悟解答解 设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元.由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元.命题角度2 分段函数模型
例3 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.
旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入.(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)
(1)求函数y＝f(x)的解析式；解答解 当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3.
又因为x∈N，所以3≤x≤6，且x∈N.
当6＜x≤20，且x∈N时，
y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115，(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？解 当3≤x≤6，且x∈N时，
因为y＝50x－115是单调增函数，
所以当x＝6时，ymax＝185.
当6＜x≤20，且x∈N时，所以当x＝11时，ymax＝270.
综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元.解答自变量x按取值不同，依不同的对应关系对应应变量y是分段函数的典例特征，建立分段函数模型时应注意：
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.反思与感悟跟踪训练3 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图所示的图象.当x∈(0,12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10,80)，过点B(12,78)；当x∈[12,40]时，图象是线段BC，其中C(40,50).根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.
(1)试求y＝f(x)的函数关系式；解答解 当x∈(0,12]时，
设f(x)＝a(x－10)2＋80(a≠0).当x∈[12,40]时，设f(x)＝kx＋b(k≠0).所以f(x)＝－x＋90.(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.解答解得4＜x≤12或12＜x＜28，即4＜x＜28.
故老师应在x∈(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.当堂训练1.从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为_____.答案23451192.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是________.(填序号)答案23451①y＝ax＋b; ②y＝ax2＋bx＋c；
③y＝aex＋b; ④y＝aln x＋b.②3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是____________.答案23451y＝0.9574.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：答案23451则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是________.
①y＝2x－1; ②y＝x2－1；
③y＝2x－1; ④y＝1.5x2－2.5x＋2.④5.一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价的 优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.解答23451∴当x＝1时，两家旅行社收费相等.
当x＞1时，甲旅行社更优惠.23451解 设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N*)，旅游收费为y，旅游原价为a.规律与方法1.几类常见的函数模型：2.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题.本课结束课件43张PPT。章末复习课第3章 指数函数、对数函数和幂函数学习目标
1.掌握基本初等函数的图象和性质.
2.会借助基本初等函数的图象性质研究函数与方程问题.
3.能建立函数模型解决简单的实际问题．题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 指数函数与对数函数的性质知识点二 幂函数y＝xα的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
(2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为单调增函数；
(3)如果α<0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是单调减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；
(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．知识点三 函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．知识点四 函数模型及其应用解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为题型探究命题角度1 函数性质及应用
例1 已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；类型一 指数函数、对数函数、幂函数的综合应用解答解 当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；
当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，
所以函数f(x)单调递减．(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．解 f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.解答指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．反思与感悟跟踪训练1 已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；解答解得－3loga[－(x＋1)2＋4]．
∵－3∵0例2 如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．(－1,1]答案解析解析 借助函数的图象求解该不等式．
令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图. ∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－10，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象中正确的是________．(填序号)②答案解析解析 由题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.
①中，y＝3－x＝( )x，显然图象错误；
②中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；
③中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；
④中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称．显然不符．故填②.例3 已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－ －1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是____________．类型二 函数的零点与方程的根的关系及应用x1＜x2＜x3答案解析解析 令x＋2x＝0，得2x＝－x；
令x＋ln x＝0，得ln x＝－x；
在同一坐标系内画出y＝2x，y＝ln x，y＝－x的图象，如图可知x1＜0＜x2＜1.(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．反思与感悟跟踪训练3 若函数f(x)＝2x－ －a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是________．解析 显然f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，由条件可知f(1)·f(2)＜0，即(2－2－a)(4－1－a)＜0，
即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.答案解析(0,3)例4 已知函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(0,1)，进行两次二分后，零点所在区间为________．类型三 用二分法求函数的零点或方程的近似解解析 ∵f(x)是R上的单调增函数且图象是连续的，且f(0)＝e0＋4×0－3＜0，
f(1)＝e＋4－3＞0，
∴f(x)在(0,1)内有唯一零点．答案解析(1)根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间．
(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次数相差较大．
(3)取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，an，bn与精确度要求的近似值相等．反思与感悟跟踪训练4 已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)，当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝_____.答案解析2解析 ∵a＞2，
∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上为单调增函数，且f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b.
∵2＜a＜3＜b＜4，∴0＜loga2＜1，－2＜2－b＜－1，
∴－2＜loga2＋2－b＜0.
又1＜loga3＜2，－1＜3－b＜0，
∴0＜loga3＋3－b＜2，即f(2)＜0，f(3)＞0.
又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，
∴f(x)在(2,3)内必存在唯一零点．解答类型四 函数模型及应用例5 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－ (1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，所以炮的最大射程为10千米．(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解答解 因为a＞0，所以炮弹可击中目标?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根?
判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?0所以当它的横坐标a不超过6时，可击中目标．在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题(如最大射程翻译成y＝0时求x的最大值)非常重要．另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响．反思与感悟跟踪训练5 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是___小时．答案解析24即该食品在33℃的保鲜时间是24小时．当堂训练234513答案解析2．如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是________．23451④答案解析解析 由晨练的图象可知，总共分为三部分，前一段随着时间的增加，离家的距离增大，接着一段时间是保持离家距离不变，根据所给路线可知只有④符合，同时，最后一段是随着时间的增加，离家的距离越来越小，④也符合．故填④.234513．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为_____．23451解析 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝图象的交点个数．答案解析2在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|，y＝ 的图象(图略)，易知有2个交点．4．设函数f(x)＝log3 －a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．答案23451(log32,1)5．已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝______.答案234512规律与方法1.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围．
2.函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．3.函数建模的基本过程如图：本课结束