2．1.1 矩阵的概念
1．矩阵
在数学中，把形如，，这样的矩形数字(或字母)阵列称作矩阵，一般地，我们用大写黑体拉丁字母A，B，…或者(aij)来表示矩阵，其中i，j分别表示元素所在的行和列．同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素，所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，记为0.
2．行矩阵，列矩阵
一般地，我们把像[a11 a12]这样只有一行的矩阵称为行矩阵，而把像这样只有一列的矩阵称为列矩阵，并用希腊字母α，β，…来表示．
平面上向量α＝(x，y)的坐标和平面上的点P(x，y)都可以看做是行矩阵[x，y]，也可以看做是列矩阵.因此，我们又称[x y]为行向量，称为列向量，在本书中，我们把平面向量(x，y)的坐标写成的形式．
3．矩阵相等
对于两个矩阵A，B，只有当A，B的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A和B才相等，此时记作A＝B.
用矩阵表示平面图形
[例1] 画出矩阵所表示的三角形，并求该三角形的面积．
[思路点拨] 写出平面图形顶点的坐标即可．
[精解详析]
矩阵所表示的三角形的三个顶点分别为(－1,1)，(4，－1)，(3,1)．所求三角形的面积为4.
1．矩阵可以表示点A(－1,1)，B(4，－1)，C(3,1)或由它们构成的三角形；
2．表示同一个三角形的矩阵不唯一，如本例三角形，可用矩阵等表示；
3．空间图形也可以用矩阵表示，不过需注意空间中点的坐标是由3个实数构成的有序数组．
1．在平面直角坐标系内，分别画出矩阵，，，所表示的以坐标原点为起点的向量．
解：矩阵，，，所表示的以坐标原点为起点的向量对应的坐标分别为(1,2)，(－1,2)，(1，－2)，(0，－2)．按要求画出相应向量即可．
2．已知A(0,0)，B(2,3)，C(6,3)，D(4,0)，写出表示四边形ABCD的一个矩阵．
解：表示四边形ABCD的矩阵可以为
或等．
矩阵在实际生活中的应用
[例2] 已知甲、乙、丙三人中，甲与乙相识，甲与丙不相识，乙与丙相识．用0表示两人之间不相识，用1表示两人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关系(规定每个人和自己相识)．
[思路点拨] 先列出一个表格表示他们之间的相识关系，然后利用表格再用矩阵表示即可．
[精解详析] 将他们之间的相识关系列表如下：
甲
乙
丙
甲
1
1
0
乙
1
1
1
丙
0
1
1
故用矩阵表示为.
用矩阵表示实际问题时，要注意元素的次序，矩阵中元素的次序不一样，表示的实际问题可能就不一样．
3．某物流公司负责从两个矿区向三个企业配送煤：
从甲矿区向企业A，B，C送的煤分别是100万吨、200万吨、150万吨；从乙矿区向企业A，B，C送的煤分别是150万吨、150万吨、300万吨．试用矩阵表示上述数据关系．
解：列表如下(单位：万吨)：
企业A
企业B
企业C
甲矿区
100
200
150
乙矿区
150
150
300
记M＝，则矩阵M就是上述数据关系的一个表示．
4．两类药片有效成分如下表所示：
成分
药品
阿司匹林(mg)
小苏打(mg)
可待因(mg)
A(1片)
2
5
1
B(1片)
1
7
6
试用矩阵表示A、B两种药品每片中三种成分所含的质量．
解：表示A、B两种药品成分的矩阵为.
矩阵相等
[例3] 已知矩阵A＝，B＝，若A＝B，试求a，b，c，d的值．
[思路点拨] 我们说两个矩阵是相等的，是指两个矩阵的行数和列数相同，并且相应位置的元素也分别相等，本题考查对矩阵相等定义的理解．
[精解详析]
因为A＝B，即＝，
由矩阵相等的意义可知
由此解得a＝2，b＝0，c＝1，d＝4.
两个同行同列的矩阵，只要有一个对应位置上的元素不一样，这两个矩阵就不相等，如≠两个不同行(或者不同列)的矩阵一定是不相等的，如以零矩阵为例：[0,0]和，尽管两个矩阵的元素均为0，但两者不相等．这好比，现在有甲、乙两支球队进行足球比赛，前一个零矩阵可表示他们之间进行了一场比赛，比赛结果为0∶0，而后者可表示他们之间进行了两场比赛，两场比赛的结果均为0∶0.
5．已知A＝，B＝，若A＝B，求x与y的值．
解：∵A＝B，
∴解得
6．已知A＝，B＝，且A＝B，求x，y，m，n的值．
解：由矩阵相等的充要条件得
解得
1．设A为二阶矩阵，且规定元素aij＝i＋j(i＝1,2，j＝1,2)，试求A.
解：由题意可知a11＝2，a12＝3，a21＝3，a22＝4，
∴A＝.
2．矩阵M＝表示平面中三角形ABC的顶点坐标，问三角形是什么三角形？
解：由A(1,1)，B(1,3)，C(3,1)，画图可得△ABC是等腰直角三角形．
3．已知二元一次方程组的系数矩阵为，方程组右边的常数项矩阵为，试写出该方程组．
解：
4．营养配餐中心为学生准备了各种菜肴，每份中能量、脂肪、蛋白质的含量各不相同．“红烧肉”中所含上述三种营养成分分别为649千卡(1千卡＝4 187 焦耳)、30 g、10 g；“青椒肉丝”中所含上述三种营养成分分别为258千卡、20 g、19 g；“韭菜豆芽”中所含上述三种营养成分分别为131千卡、15 g、3 g，试将上述结果用矩阵表示出来．
解：每千克各种菜肴中各种营养成分的含量如下表：
能量(千卡)
脂肪(g)
蛋白质(g)
红烧肉
649
30
10
青椒肉丝
258
20
19
韭菜豆芽
131
15
3
所以可用矩阵M表示为M＝.
5．已知平面上正方形ABCD(顺时针)的四个顶点可以用矩阵表示为，求a，b，c，d的值及正方形ABCD的面积．
解：由题意知正方形ABCD的四个顶点的坐标依次为A(0,0)、B(a，c)、C(0,4)、D(b，d)，从而可求得a＝－2，b＝2，c＝d＝2.∴|AB|＝2，正方形ABCD的面积为8.
6．已知A＝，B＝，若A＝B，试求x，y，m，n的值．
解：由于A＝B，则和
解得x＝1，y＝2，m＝3，n＝4.
7．已知A＝，B＝，若A＝B，求α、β.
解：由矩阵相等的充要条件得
∴
∴
8．设M是一个3×3的矩阵，且规定其元素aij＝2i＋j，i＝1，2,3，j＝1,2,3，试求M.
解：由题意可知，a11＝3，a12＝4，a13＝5，a21＝5，a22＝6，a23＝7，a31＝7，a32＝8，a33＝9.故矩阵M＝.
2．1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法
1．二阶矩阵与平面列向量的乘法规则
(1)行矩阵与列矩阵的乘法规则： ＝；
(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则： ＝.
一般地，前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．
2．二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义
(1)一个列向量左乘一个2×2矩阵M后得到一个新的列向量，如果列向量表示一个点P(x，y)，那么列向量左乘矩阵M后的列向量就对应平面上的一个新的点．
(2)对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为：T：(x，y)→(x′，y′)或T：→.
(3)一般地，对于平面向量变换T，如果变换规则为T：→＝，那么根据二阶矩阵与平面列向量的乘法规则可以改写为T：→＝ 的矩阵形式，反之亦然(a、b、c、d∈R)．
(4)由矩阵M确定的变换，通常记为TM，根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在TM的作用下得到一个新的图形．
二阶矩阵与平面列向量相乘
[例1] 设A＝，Z＝，Y＝，求AZ和AY.
[思路点拨] 利用二阶矩阵和平面列向量的乘法公式求解．
[精解详析] AZ＝ ＝，
AY＝ ＝.
若矩阵A＝，列向量为α＝，则Aα＝ ＝，其结果仍是一个列向量，同时应注意，给出点的坐标可写成列向量的形式．
1．计算：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
解：(1) ＝＝；
(2) ＝＝；
(3) ＝＝；
(4) ＝＝.
2．给定向量α＝，矩阵A＝，B＝，C＝，D＝，计算Aα，Bα，Cα，Dα.
解：根据矩阵与向量的乘法，得
Aα＝ ＝，Bα＝ ＝，
Cα＝ ＝，Dα＝ ＝.
坐标变换与矩阵乘法的互化
[例2] (1)已知变换＝ ，试将它写成坐标变换的形式；
(2)已知变换＝，试将它写成矩阵的乘法形式．
[思路点拨] 直接应用二阶矩阵与向量乘积的规定．
[精解详析] (1)＝.
故它表示的坐标变换为.
(2)＝ .
对于＝ ，首先由二阶矩阵与平面列向量乘法得 ＝，再由向量相等，得
3．已知，试将它写成二阶矩阵与平面向量相乘的形式．
解：因为所以
即＝＝ .
故＝ .
4．解下列用矩阵表达式表示的方程组．
(1) ＝；
(2) ＝.
解：(1)由 ＝，
得＝，即
解得
(2)由 ＝，
得＝，即
解得
求变换矩阵
[例3] 已知变换T：平面上的点P(2，－1)，Q(－1,2)分别变换成点P1(3，－4)，Q1(0,5)，求变换矩阵A.
[思路点拨] 由题意可知，变换矩阵A为二阶矩阵，根据二阶矩阵与列向量的乘法，可列出方程组，解方程组即可求出二阶矩阵中的各元素．
[精解详析] 设所求的变换矩阵A＝.
依题意可得 ＝，
＝，
即解得
所以所求的变换矩阵A＝.
求变换矩阵的常用方法是待定系数法，要正确利用条件，合理准确计算．
5．若点A(1,1)在矩阵M＝对应变换的作用下得到的点为B(－1,1)，求矩阵M.
解：由M＝，得＝，
所以即所以M＝.
6．设矩阵M对应的线性变换把点A(1,2)变成点A′(2,3)，把点B(－1,3)变成点B′(2,1)，那么这个线性变换把点C(－5,10)变成什么？
解：设变换矩阵M＝，
∴M＝ ＝＝.
M＝ ＝＝.
∴解得
∴M＝.
M＝ ＝.
∴该线性变换把点C(－5,10)变成了点C′(6,1)．
1．给定向量α＝，利用矩阵与向量的乘法，试说明下列矩阵把向量α分别变成了什么向量．
(1)；(2)；(3).
解：(1) ＝.
(2) ＝.
(3) ＝.
2．求点(x，y)在矩阵对应的变换作用下对应点的坐标．
解： ＝，所以点(x，y)在矩阵对应的变换作用下对应点的坐标为(x,2y)．
3．(1)已知→＝ ，试将它写成坐标变换的形式；
(2)已知→＝，试将它写成矩阵的乘法形式．
解：(1)→＝＝.
(2)→＝＝ .
4．计算 ，并解释计算结果的几何意义．
解： ＝.
几何意义：表示点(3,1)在矩阵对应的变换作用下变成点(5，－1)．
5．已知在一个二阶矩阵M对应的变换作用下，点A(1,2)变成了点A′(7,10)，点B(2,0)变成了点B′(2,4)，求矩阵M.
解：设M＝，
则 ＝， ＝，
即解得所以M＝.
6．已知点(x，y)在矩阵对应的变换作用下变为点(－1,1)，试求x，y的值．
解：由 ＝，
得解得
7．已知矩阵T＝，O为坐标原点，点A(1,0)在矩阵T的变换下得到点P.设b＞0，当△POA的面积为，∠POA＝时，求a，b的值．
解：由 ＝，得点P坐标为(a，b)．
又b＞0，所以S△POA＝×1×b＝.所以b＝2.
又∠POA＝，所以a＝2.
即a＝2，b＝2.
8.已知图形F表示的四边形ABCD如图所示，若由二阶矩阵M确定的变换T，使F上点的纵坐标变为原来的一半而横坐标不变．求矩阵M.
解：图形F对应的矩阵为，变换后的图形F′对应的矩阵为，
设M＝，则有
解得∴M＝.
2．2.1～2.2.2 恒等变换 伸压变换
1．恒等变换矩阵和恒等变换
对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵对应的变换，都把自己变成自己．我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵(简记为E)，所实施的对应的变换称作恒等变换．
2．伸压变换矩阵和伸压变换
像矩阵，这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩，作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称做沿y或x轴的垂直伸压变换矩阵；对应的变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换．
[说明]
(1)线段经过伸压变换以后仍然是线段，直线仍然是直线，恒等变换是伸压变换的特例．
(2)将平面图形F作沿x轴方向的伸压变换，其对应的变换矩阵的一般形式是(k>0)，沿y轴方向的伸压变换对应的矩阵形式是(k>0)．
求点在变换作用下的象
[例1] 在直角坐标系xOy内矩阵对应的坐标变换公式是什么？叙述这个变换的几何意义，并求出点P(4，－3)在这个变换作用下的象P′.
[思路点拨] 根据矩阵与变换之间的关系求出变换公式，此变换为伸缩变换，然后写出点P在此变换下的象．
[精解详析] 由 ＝得
对应的坐标变换公式为，这个变换把平面上的点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍；
当x＝4，y＝－3时，x′＝2，y′＝－6，故点P在这个变换下的象为P′(2，－6)．
把变换与矩阵之间的对应关系理解清楚，用数(即二阶矩阵与列向量的乘法)研究形(即变换作用下的象)．
1．已知矩阵M＝，求出点A(3，)在矩阵M对应变换作用下的象A′.
解： ＝
∴A′(9，)．
2．研究直角坐标平面内正方形OBCD在矩阵M＝对应的变换作用下得到的几何图形，其中O(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)．
解：矩阵M为恒等变换矩阵，O、B、C、D在矩阵对应的恒等变换作用下变成自身，即分别为O′(0,0)，B′(2,0)，C′(2,2)，D′(0,2)，仍然是正方形OBCD.
求曲线在变换作用下的象
[例2] 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．
[思路点拨] 求曲线F的方程即求F上的任意一点的坐标(x，y)满足的关系式．
[精解详析] 设P(x0，y0)是椭圆上的任意一点，点P(x0，y0)在矩阵A对应的变换作用下得到的点为P′(x，y)，则有＝ ＝，
即所以
又因为点P(x0，y0)在椭圆上，所以4x＋y＝1，
从而有x＋y＝1，
所以曲线F的方程是x2＋y2＝1.
先利用二阶矩阵与列向量的乘法把P(x0、y0)与P′(x，y)的关系找出，再利用已知曲线的方程即可得到所求的方程．
3．求圆C：x2＋y2＝4在矩阵A＝对应的伸压变换下所得的曲线的方程，并判断曲线的轨迹．
解：设P(x，y)是圆C：x2＋y2＝4上的任意一点，而P1(x′，y′)是P(x，y)在矩阵A＝对应的伸压变换下的曲线上的对应点，则＝ ＝，即所以代入x2＋y2＝4得＋y′2＝4，所以方程＋＝1即为所求的曲线方程，其表示的曲线的轨迹为椭圆．
4．已知圆C：x2＋y2＝1在矩阵A＝(a>0，b>0)对应的变换下变为椭圆x2＋＝1，求a，b的值．
解：设P(x0，y0)为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为点P′(x，y)，
则＝ ，
所以
又因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
所以x＋y＝1，所以＋＝1，
即圆C在矩阵A对应的变换下的象为＋＝1.
由已知条件可知，变换后的椭圆方程为x2＋＝1，
所以a2＝1，b2＝4，
又因为a>0，b>0，所以a＝1，b＝2.
5．已知矩阵M1＝，M2＝，研究圆x2＋y2＝1先在矩阵M1对应的变换作用下，再在矩阵M2对应的变换作用下，所得的曲线的方程．
解：设P0(x0，y0)为圆上的任意一点，在M1的作用下变为P1(x1，y1)，P1在M2的作用下变为P2(x2，y2)，
即＝ ，＝ .
∴
∴即
∵P0在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1.
∴x＋4y＝1，
故所求曲线的方程为＋4y2＝1.
1．求圆x2＋y2＝9在矩阵M＝对应的变换作用后所得图形的面积．
解：矩阵M＝所对应变换是恒等变换，在它的作用下，圆x2＋y2＝9变成一个与原来的圆恒等的圆，故所求图形的面积为9π.
2．已知点(x，y)在矩阵对应的变换作用下变为点(－1,3)，试求x，y的值．
解：由 ＝，
得解得
3．在平面直角坐标系中，已知线性变换对应的二阶矩阵为.求：
(1)点A(，3)在该变换作用下的象；
(2)圆x2＋y2＝1上任意一点P(x0，y0)在该变换作用下的象．
解：(1)由 ＝ ，
得点A(，3)在该变换作用下的象为(，)；
(2)由 ＝，
得点P(x0，y0)在变换作用下的象为(x0，)．
4．求出如图所示的图形在矩阵M＝对应的变换作用下所成的图形，并画出示意图，其中点A(1,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(3,1)，E(3,2)，F(0,2)，G(0,1)，H(1,1)．
解：M＝对应的是沿y轴的伸压变换，保持横坐标不变，而纵坐标变成原来的1.5倍．在此变换下，A→A′(1,0)，B→B′(2,0)，C→C′(2,1.5)，D→D′(3，1.5)，E→E′(3,3)，F→F′(0,3)，G→G′(0,1.5)，H→H′(1,1.5)．变换后的图形如图所示．
5．求椭圆C：＋＝1先在矩阵M＝对应的变换，再在矩阵N＝对应的变换作用下得到的曲线C′的方程．
解：因为矩阵M＝对应的变换是恒等变换，所以曲线C′是椭圆C：＋＝1在矩阵N＝对应变换下得到的曲线，设椭圆C上任意一点P(x，y)在矩阵N对应的变换下得到曲线C′上的点P(x′，y′)，则有＝ ，即所以
因为＋＝1，所以＋＝1，即＋y′2＝1.故曲线C′的方程为＋y2＝1.
6.如图，一个含有60°角的菱形ABCD，试求变换矩阵M，使得只变换四个顶点中的两个顶点后，菱形即变成为正方形．试问该变换矩阵唯一吗？若不唯一，写出所有满足条件的变换矩阵．
解：由题设知，这里的变换是伸压变换，且变换不唯一．
由题设知，AC∶BD＝∶1，
若只变换A，C两点，则必须将A，C的横坐标进行压缩，于是变换矩阵为M＝.
若只变换B，D两点，则应把B，D的纵坐标伸长到原来的倍，于是变换矩阵M＝，
所以满足条件的所有变换矩阵为或.
7．求出梯形OABC先在矩阵M＝对应的变换作用下，再在矩阵N＝对应的变换作用下的图形，其中O(0,0)，A(2,0)，B(1,1)，C(0,1)．
解：矩阵M＝对应的是沿x轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍．而矩阵N＝对应的是沿x轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标变为原来的倍，也就是说梯形OABC先后两次变换，横、纵坐标不变，即图形保持不变．
8．设M＝，N＝，试求曲线C：y＝sin x在矩阵M、N对应的变换先后两次作用下得到的曲线的方程．
解：设P0(x0，y0)为曲线C上的任意一点，在TM的作用下变为P1(x1，y1)，P1在TN的作用下变为P2(x2，y2)，
即＝ ，＝ .
∴
∴∴
∵P0在曲线C上，
∴y0＝sin x0.
∴y2＝sin 2x2，
即y2＝2sin 2x2.
∴所求曲线的方程为y＝2sin 2x.
2．2.3 反射变换
1．反射变换矩阵和反射变换
像，，这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．相应地，前者叫做轴反射，后者称做中心反射．其中定直线称为反射轴，定点称做反射点．
2．线性变换
二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换称为线性变换．二阶零矩阵把平面上所有的点都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的退化情况．
点在反射变换作用下的象
[例1] (1)矩阵将点A(2,5)变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变换．
(2)矩阵将点A(2,7)变成了怎样的图形？画图并指出该变换是什么变换．
[思路点拨] 先通过反射变换求出变换后点的坐标，再画出图形即可看出是什么变换．
[精解详析]
(1)因为 ＝，
即点A(2,5)经过变换后变为点A′(－2,5)，它们关于y轴对称，
所以该变换为关于y轴对称的反射变换(如图1)．
(2)因为 ＝，即点A(2,7)经过变换后变为点A′(7,2)，它们关于y＝x对称，
所以该变换为关于直线y＝x对称的反射变换(如图2)．
(1)点在反射变换作用下对应的象还是点．(2)常见的反射变换矩阵：表示关于原点对称的反射变换矩阵，表示关于x轴对称的反射变换矩阵，表示关于y轴对称的反射变换矩阵，表示关于直线y＝x对称的反射变换矩阵，表示关于直线y＝－x对称的反射变换矩阵．
1．计算下列各式，并说明其几何意义．
(1) ；
(2) ；
(3) .
解：(1) ＝；
(2) ＝；
(3) ＝.
三个矩阵对应的变换分别是将点(5,3)作关于x轴反射变换、关于原点的中心反射变换以及关于直线y＝x的轴反射变换，得到的点分别是(5，－3)，(－5，－3)和(3,5)．
2．求出△ABC分别在M1＝，M2＝，M3＝对应的变换作用下的几何图形，并画出示意图，其中A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)．
解：在M1下，A→A′(0,0)，B→B′(－2,0)，C→C′(－1,2)；
在M2下，A→A″(0,0)，B→B″(2,0)，C→C″(1，－2)；
在M3下，A→A?(0,0)，B→B?(－2,0)，C→C?(－1，－2)．
图形分别为
曲线在反射变换作用下的象
[例2] 椭圆＋y2＝1在经过矩阵对应的变换后所得的曲线是什么图形？
[思路点拨] 先通过反射变换求出曲线方程，再通过方程判断图形的形状．
[精解详析] 任取椭圆＋y2＝1上的一点P(x0，y0)，它在矩阵对应的变换作用下变为P′(x，y)．则有 ＝，故.
因为点P在椭圆＋y2＝1上，所以＋y＝1，
∴＋x′＝1；因此x′＋＝1.
从而所求曲线方程为x2＋＝1，是椭圆．
矩阵把一个图形变换为与之关于直线y＝x对称的图形，反射变换对应的矩阵要区分类型：点对称、轴对称．
3．求曲线y＝(x>0)在矩阵对应的变换作用下得到的曲线．
解：矩阵对应的变换是关于原点对称的变换，因此，得到的曲线为y＝(x<0)．
4．求直线y＝4x在矩阵作用下变换所得的图形．
解：任取直线y＝4x在矩阵作用下变换所得的图形上的一点P(x，y)，一定存在变换前的点P′(x′，y′)与它对应，使得
＝ ，即(*)
又点P′(x′，y′)在直线y＝4x上，所以y′＝4x′，从而有y＝
x，从而直线y＝4x在矩阵作用下变换成直线y＝x.根据(*)，它们关于直线y＝－x对称．如图所示．
1．计算 ，并说明其几何意义．
解： ＝，其几何意义是：由矩阵M＝确定的变换是关于直线y＝－x的轴反射变换，将点(x，y)变换为点(－y，－x)．
2．在矩阵变换下，图(1)，(2)中的△ABO变成了△A′B′O，其中点A的象为点A′，点B的象为点B′，试判断相应的几何变换是什么？
解：(1)对应的是关于原点的中心反射变换，矩阵形式为.
(2)对应的是关于y轴的轴反射变换，矩阵形式为.
3．求△ABC在经过矩阵对应的变换后所得图形的面积，其中A(1,0)，B(－2,0)，C(5,4)．
解：矩阵确定的变换是关于y轴的轴反射变换，它将点(x，y)变换为点(－x，y)．所以平面△ABC在经过矩阵对应的变换后所得图形是与原图形全等的三角形，故只需求出△ABC的面积即可．所以所求图形的面积为6.
4．求出曲线y＝ex先在矩阵对应的变换，后在矩阵对应的变换作用下形成的曲线，并说明两次变换后对应的是什么变换？
解：因为矩阵对应的变换是关于y轴的轴反射变换，变换后曲线为y＝e－x.又因为矩阵对应的变换是关于原点O的中心反射变换，变换后曲线为－y＝ex，即y＝－ex.两次变换对应的变换是关于x轴的轴反射变换．
5．变换T使图形F：y＝x2－1变为F′：y＝|x2－1|，试求变换T对应的变换矩阵A.
解：当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，A＝；
当x∈[－1,1]时，A＝.
6．若曲线＋＝1经过反射变换T变成曲线＋＝1，求变换T对应的矩阵．(写出两个不同的矩阵)
解：T＝或T＝.
7．求关于直线y＝3x对称的反射变换所对应的矩阵A.
解：在平面上任取一点P(x，y)，令点P关于y＝3x的对称点为P′(x′，y′)．
则
化简得
∴＝ .
∴关于直线y＝3x对称的反射变换对应的矩阵为
A＝.
8．已知矩阵M＝，N＝.在平面直角坐标系中，设直线2x－y＋1＝0在变换TM，TN先后作用下得到曲线F，求曲线F的方程．
解：∵TM是关于直线y＝x对称的反射变换，
∴直线2x－y＋1＝0在TM的作用下得到直线F′：
2y－x＋1＝0.
设P(x0，y0)为F′上的任意一点，它在TN的作用下变为P′(x′，y′)，
∴＝ ，即
∵点P在直线F′上，
∴2y0－x0＋1＝0，
即－2x′－y′＋1＝0.
∴所求曲线F的方程为2x＋y－1＝0.
2．2.4 旋转变换
[对应学生用书P14]
1．旋转变换
将一个图形F绕某个定点O旋转角度θ所得图形F′的变换称为旋转变换．其中点O称为旋转中心，角度θ称为旋转角．
2．旋转变换矩阵
像这样的矩阵，称为旋转变换矩阵．
旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状．
[对应学生用书P14]
点在旋转变换作用下的象
[例1] 在直角坐标系xOy内，将每个点绕原点O按逆时针方向旋转135°的变换称为旋转角是135°的旋转变换．
(1)试写出这个旋转变换的坐标变换公式和相应的矩阵；
(2)求点A(4,8)在这个旋转变换作用下的象A′.
[思路点拨] 根据其坐标变换公式写出旋转变换对应的矩阵后求解．
[精解详析] (1)该变换的坐标变换公式为：
，该变换对应的矩阵为：
＝.
(2)由(1)知，当x＝4，y＝8时，
x′＝－6，y′＝－2，
所以点A(4,8)在这个旋转变换作用下的象为
A′(－6，－2)．
由旋转角θ的大小，写出旋转变换矩阵是解决这类问题的关键．逆时针旋转时，θ为正值，顺时针方向旋转时，θ为负值．
1．求出△ABC分别在M1＝，M2＝，M3＝对应的变换作用下的图形这里A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)．
解析：在M1下，A→A′(0,0)，B→B′(－2,0)，C→C′(－1，－1)．
在M2下，A→A″(0,0)，B→B″(0,2)，C→C″(－1,1)．
在M3下，A→A?(0,0)，B→B?(，)，C→C?(0，)．
图形分别为
2．在直角坐标系xOy内，将每个点绕坐标原点O按顺时针方向旋转60°的变换称为旋转角为－60°的旋转变换，求点A(－1,0)在这个旋转变换作用下得到的点A′的坐标．
解：由题意得旋转变换矩阵为
＝，
故对应的坐标变换公式为.
令x＝－1，y＝0得.
所以所求的点A′的坐标为.
曲线在旋转变换作用下的象
[例2] 已知曲线C：x2＋y2＝2，将曲线C绕坐标原点逆时针旋转60°后，求得到的曲线C′的方程．
[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线方程．
[精解详析] 旋转变换对应的矩阵
M＝＝，
设P(x0，y0)为曲线C上任意的一点，它在矩阵M对应的变换作用下变为P′(x，y)．
则有 ＝，
故
因为点P(x0，y0)在曲线C：x2＋y2＝2上，
所以x＋y＝2，
即 2＋2＝2，
∴x′＋y′＝2.
从而曲线C′的方程为x2＋y2＝2.
理解与掌握旋转变换对应的变换矩阵和坐标变换公式是解答该类问题的关键，对于特殊图形的旋转变换，也可根据数形结合直接得出，如本例中，曲线C是以原点为圆心的圆，所以它不管旋转多少度，所得的图形仍是其自身．
3．将双曲线C：x2－y2＝1上的点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C′，试求C′的方程．
解：根据题意，得旋转变换矩阵
M＝＝，
任意选取双曲线x2－y2＝1上的一点P(x0，y0)，它在变换作用下变为P′(x，y)，
则有
那么
又因为点P在曲线x2－y2＝1上，
所以x－y＝1，
即有(x＋y)2－(y－x)2＝1，
整理可得2xy＝1，
所以所求C′的方程为xy＝.
4．已知椭圆Γ：＋＝1，试求该曲线绕逆时针方向旋转90°后所得到的曲线，画出示意图．
解：设椭圆与坐标轴的交点分别为A(－2,0)，B(0，－)，C(2,0)，D(0，)(如图所示)．
因为绕原点逆时针旋转90°的变换所对应的矩阵为
M＝＝.
所以 ＝，
＝，
＝， ＝.
故点A，B，C，D在旋转变换M的作用下分别变为点A′(0，－2)，B′(，0)，C′(0,2)，D′(－，0)，从而椭圆曲线Γ：＋＝1在逆时针旋转90°后所成的曲线为椭圆曲线Γ ′：＋＝1.
1．若点A在矩阵对应的变换作用下得到的点为(1,0)，求α.
解：由 ＝，
得
∴
∴(k∈Z)
∴(k∈Z)
∴α＝－＋2kπ(k∈Z)．
2．设点P的坐标为(1，－2)，T是绕原点逆时针旋转的旋转变换，求旋转变换T对应的矩阵A，并求点P在旋转变换T作用下得到的点P′的坐标．
解：由题意知旋转变换矩阵
A＝＝
设P′(x′，y′)，则 ＝
∴即P′.
3．已知曲线C：xy＝1.
(1)将曲线C绕坐标原点逆时针方向旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；
(2)求曲线C′的焦点坐标和渐近线的方程．
解：(1)由题设知，
M＝＝.
由＝ ＝，
得解得代入xy＝1，
得曲线C′的方程为y2－x2＝2.
(2)由(1)知曲线C′的焦点为(0,2)，(0，－2)，渐近线方程为y＝±x.
4．求直线y＝x绕原点逆时针旋转后所得的直线的方程．
解：直线y＝x的倾斜角为，绕原点逆时针旋转后所得的直线的倾斜角为，故所求的直线方程为x＝0.
5．将抛物线E：y2＝4x绕它的顶点逆时针旋转60°，得到曲线E′.求曲线E′的焦点坐标和准线方程．
解：已知抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程l：x＝－1.旋转变换对应的矩阵为.
设点P(x，y)为变换前坐标系中任意一点，经变换后得到P′(x′，y′)，∴(1)
将x＝1，y＝0代入(1)式得
由(1)消去y，并将x＝－1代入，得x′＋y′＝－2.
∴曲线E′仍为抛物线，它的焦点坐标F′，准线方程l′：x＋y＋2＝0.
6．已知椭圆＋＝1经过矩阵M对应的变换作用下变为椭圆＋＝1，求变换矩阵M.
解：将椭圆＋＝1变换为椭圆＋＝1，可以伸压变换，可以是反射变换(关于原点成中心反射或关于直线y＝x与y＝－x成轴对称)，还可以是旋转变换(绕原点旋转90°)，其中反射与旋转较为方便，所以矩阵M可以是或或或等．
7．已知椭圆C：x2＋y2＋xy＝3，将曲线C绕原点O顺时针旋转，得到椭圆C′.求：
(1)椭圆C′的标准方程；
(2)椭圆C的焦点坐标．
解：(1)矩阵A＝，
设椭圆C上的点P(x，y)变换后为P′(x′，y′)，
则 ＝，
故
代入x2＋y2＋xy＝3中，
得(x′－y′)2＋(x′＋y′)2＋(x′2－y′2)＝3.
∴椭圆C′的方程为＋＝1.
(2)∵椭圆C′的焦点坐标为(0，±2)，
∴椭圆C的焦点坐标为F1(－，)，F2(，－)．
8．已知点A(3,4)，点A绕原点逆时针旋转60°后得到的对应点为B，求点B的坐标，并求出线段OA旋转过程中所扫描过的图形的面积．
解：由题意可得旋转变换矩阵为
M＝＝，
对应的坐标变换公式为
可得
即点B的坐标为，
由于线段OA旋转过程中所扫描过的图形是半径为OA，圆心角为的扇形，
而OA＝＝5，
所以相应的面积为S＝××52＝π.
2．2.5 投影变换
1．投影变换
将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为投影变换．
2．投影变换矩阵
像，这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵．
3．常见的投影变换矩阵
(1)将坐标平面内的图形垂直投影到x轴上的变换矩阵为；
(2)将坐标平面内的图形垂直投影到y轴上的变换矩阵为；
(3)将坐标平面内的图形沿垂直于y轴方向投影到y＝x上的变换矩阵为；
(4)将坐标平面内的图形沿垂直于x轴方向投影到y＝x上的变换矩阵为.
[说明] 投影变换虽然是映射，但不是一一映射．
点或平面图形在投影变换作用下的象
[例1] 已知变换T1，T2对应的矩阵分别为M＝和N＝，平面上三个点A(3,1)，B(2,3)，C(0,4)．
(1)分别求直线AB，BC在T1，T2变换下得到的直线方程；
(2)变换T1，T2有什么不同？
[思路点拨] 二阶非零矩阵对应的变换将直线变为直线，所以只要求出A，B，C在T1，T2变换下得到的点A′，B′，C′的坐标，就可以求出直线AB，BC在T1，T2变换下得到的直线方程．
[精解详析] (1)A，B，C在T1变换下变为A′(3,0)，B′(2,0)，C′(0,0)，A，B，C在T2变换下变为A″(3，－1)，B″(2，－3)，C″(0，－4)．
∴直线A′B′的方程为y＝0，直线B′C′的方程为y＝0，
直线A″B″的方程为2x－y－7＝0，
直线B″C″的方程为y＝x－4.
(2)由(1)可知，直线AB：2x＋y－7＝0，直线BC：y＝－x＋4，在T1变换下得到的图像均为y＝0，在T2变换下得到两个不同的图像，所以T2是一一映射，T1不是一一映射．
投影变换不仅依赖于投影的目标直线(或点)，还依赖于投影的方向．这很好理解，以树木在太阳下形成影子为例，我们把太阳光看似平行光，当在正午的时候，树木的影子会投影到树根，但在清晨或者黄昏时分，投影到大地上的树木的影子就变斜了．正午时候太阳光所作的垂直投影变换对应的矩阵形式为M＝，下面我们考察太阳光所作的斜投影变换的矩阵形式，如图所示．
在这样的斜投影变换下，P(x，y)→P′(x′，y′)，记k＝cot α，则P′的坐标为(x＋ky,0)，即有
＝＝ ，
所以即为这样的斜投影变换的矩阵形式，特别地，当k＝0时，即为垂直投影变换．
1．已知△ABC三顶点坐标分别为A(－1,1)，B(2,0)，C(1,2)，此三角形在矩阵M＝作用下得到怎样的图形？
解：因 ＝， ＝，
＝，故A、B、C三点在M作用下的象为A1(－1，－1)，B1(2,2)，C1(1,1)，而A1、B1、C1三点都在直线y＝x上且C1点在线段A1B1上，故△ABC在矩阵M作用下的象是线段y＝x(－1≤x≤2)．
2．研究直线3x－2y＋1＝0在矩阵对应的变换作用下变成什么图形，并说明其几何意义．
解：任取直线3x－2y＋1＝0上的一点P(x0，y0)，它在矩阵对应的变换作用下变为P′(x，y)，
则有 ＝，
整理得，即.
又因为点P在直线3x－2y＋1＝0上，
所以3x0－2y0＋1＝0，
即有3x－2(x－y)＋1＝0，即x＋2y＋1＝0.
从而直线3x－2y＋1＝0在矩阵作用下变成直线x＋2y＋1＝0.
其几何意义是：把直线3x－2y＋1＝0上的每一点沿垂直于直线x＋2y＋1＝0的方向投影到该直线上．
求投影变换矩阵
[例2] 已知直线x＋y＝5在矩阵M对应变换作用下得到点(5,5)，求矩阵M.
[思路点拨] 先设出变换矩阵，利用变换公式列方程求解即可．
[精解详析] 设矩阵M＝，
则由题意得： ＝＝，
即恒有ax＋by＝5，cx＋dy＝5，
又因为x＋y＝5，比较得a＝b＝c＝d＝1，
所以M＝.
根据变换的形式或变换对应的矩阵找出对应的关系，寻找变换后图形上点的横、纵坐标关系来理解投影变换具有的特点．
3．已知变换T是将平面图形投影到直线y＝3x上的变换，试求它所对应的矩阵M.
解：∵→＝，
∴M＝.
4．求直角坐标系内关于直线l：y＝kx(k≠0)的投影变换的坐标变换公式及其矩阵．
解：设平面内点P(x，y)在l上投影为P′(x′，y′)，
据题意解得
则相应的矩阵为.
1．求点A(3,1)，B(2,3)，C(3,2)在矩阵对应的变换下变成的点的坐标，并回答下列问题：
(1)该矩阵把直线AB变成什么图形？
(2)该矩阵把线段AC变成什么图形？
解：设点A，B，C在矩阵变换作用下的点分别是A′(x1，y1)，B′(x2，y2)，C′(x3，y3)，
则＝ ＝，
∴点A′的坐标为(3,0)，同理B′(2,0)，C′(3,0)．
(1)易知该矩阵把直线AB变成x轴；
(2)易知该矩阵把线段AC变成了一个点(3,0)．
2．直线x＋y＝3在矩阵M＝对应的变换作用下变成什么图形？
解：直线x＋y＝3在矩阵M＝对应变换下变成了点(3,0)，如图所示．
3．正方形ABCD分别在M1＝，M2＝，M3＝，M4＝对应的变换作用下的图形是什么？请画出示意图，这里点A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．
解：如图所示，根据矩阵对应变换的几何意义，可知在M1，M2，M3，M4对应变换下，正方形ABCD分别变成线段A′B′，A″E，FG，A?C′.
4．直线x－y＝2分别在矩阵M＝与矩阵N＝对应的变换作用下变成什么图形？
解：设P(x，y)是直线x－y＝2上任意一点，P′(x′，y′)是矩阵M对应变换下P对应的点，则由＝ ，
得代入x－y＝2，得直线x－y＝2在矩阵M对应变换下变为点(2，－2)．同理可得直线x－y＝2在矩阵N对应变换下变为直线y＝x.
5．已知变换T是将平面图形沿y轴方向投影到直线y＝2x上的变换，试求它的变换矩阵M.
解：因为→＝＝ ，
所以M＝.
6．圆x2＋y2＝1在矩阵变换作用下得到什么图形？
解：圆x2＋y2＝1在矩阵对应的变换作用下得到的图形是线段x＝0(－1≤y≤1)．
7．已知变换T把平面上的所有点都垂直投影到直线y＝x上．
(1)试求出变换T所对应的矩阵M；
(2)求直线x＋y＝2在变换T下所得到的图形．
解：(1)因为点P(x，y)在直线y＝x上的投影为，于是＝.
所以矩阵M＝.
(2)因为＝，x＋y＝2，
故＝，即直线x＋y＝2在变换T下所得到的图形是一个点(1,1)．
8．已知直线l：x＋y＝5.
(1)求直线l在矩阵M＝对应的变换作用下得到的图形；
(2)是否存在矩阵N，使直线l在矩阵N对应的变换作用下得到点(5,0)?
解：(1)设P(x0，y0)是直线l：x＋y＝5上的任一点，该点在矩阵M变换作用得到的点P′的坐标为(x，y)，则 ＝＝.
∴又x0＋y0＝5，
∴P′(0,5)，即直线l：x＋y＝5在矩阵M对应变换作用下变为一个点(0,5)．
(2)假设存在适合题意的矩阵N，设N＝，
P(x0，y0)是直线l上任一点，该点在矩阵N对应变换作用下对应的点为P′(x，y)，
则 ＝＝.
∴
此方程组对任意x0∈R，y0∈R恒成立，
且x0＋y0＝5，
∴，∴N＝.
即存在矩阵N，使直线l在此矩阵对应的变换作用下得到点(5,0)．
2．2.6 切变变换
1．由矩阵M＝或N＝确定的变换称为切变变换，矩阵M，N称为切变变换矩阵．
2．矩阵把平面上的点(x，y)沿x轴方向平移|ky|个单位．当ky>0时，沿x轴正方向移动；当ky<0时，沿x轴负方向移动；当ky＝0时，保持不变，在此变换下，x轴上的点为不动点．
3．矩阵把平面上的点(x，y)沿y轴方向平移_|kx|个单位．当kx＝0时，保持不变，在此变换下，y轴上的点为不动点．
求点或平面图形在切变变换作用下的象
[例1] 画出平行四边形ABCD，其中A(0,0)，B(2,0)，C(4,1)，D(2,1)，在切变变换的作用下对应的图形，并指出在这个变换下的不变量．
[思路点拨] 把平面上的点(x，y)沿x轴方向平移|ky|个单位，此题中k＝－2，故每个点的纵坐标不变，横坐标沿x轴负方向平移2y个单位．
[精解详析] 变换矩阵是平行于x轴的切变变换矩阵，在这个变换下，平行四边形上的每个点的纵坐标不变，横坐标沿x轴的负方向平移2y个单位，
设变换后平行四边形的顶点是A′，B′，C′，D′，则A′(0,0)，B′(2,0)，C′(2,1)，D′(0,1)，变换前后的图形如图所示，其中线段AB上的点为不变量．
解决此类问题的关键是确定变换前后点的坐标之间的关系，此关系的确定可通过矩阵与向量的乘法规则完成．
1．求直线x＝1在矩阵M＝所确定的变换作用下的象．
解：因为M＝→＝ ＝，
所以所以直线x＝1在矩阵所确定的变换的作用下的结果是直线x＋y－1＝0.
2．如图所示，已知矩形ABCD，试求在矩阵对应的变换作用下的图形，并指出矩形区域ABCD在变换过程中的不变线段．
解：因为 ＝， ＝， ＝， ＝.
所以矩形ABCD在矩阵作用下变成了平行四边形A′B′C′D′.这里A′(－2，－1)，B′(4,1)，C′(1,1)，D′(－5，－1)，如图所示．线段EF为该切变变换下的不变线段．
求切变变换矩阵
[例2] 如图，在切变变换下，平行四边形ABCD变换为平行四边形A′B′C′D′，试写出这个切变变换的变换矩阵，指出其中的不变线段．
[思路点拨] 观察各点变换前后坐标变化特点，易知是何种切变变换，确定k值．
[精解详析] 显然A，B，C，D各点的横坐标不变，纵坐标各自加上了－x，故这个切变变换的变换矩阵是，这个变换中只有平行四边形中与y轴相交部分的线段是不变量．
这类试题既可以通过观察，找到k值，也可以根据待定系数的方法确定k值，如例2根据点A(－3，－2)变换前后的坐标可得1＝k(－3)＋(－2)，即得k＝－1.根据两类切变变换的变换公式，平行于x轴的切变变换x轴上的点是不动点，平行于y轴的切变变换y轴上的点是不动点．
3．如图已知正方形ABCD在矩阵M对应的线性变换的作用下变成?A′B′C′D′，求矩阵M.
解：由图知，A(0,0)变换为A′(0,0)，B(1,0)变换为B′(1,1)，C(1,1)变换为C′(1,2)，D(0,1)变换为D′(0,1)，从而可知变换T是沿y轴正方向平移1个单位的切变变换，在此变换下，y轴上的点为不动点，故可得M＝.
4．如图所示，已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形A′B′C′D′，试求变换T对应的矩阵M.
解：从图中可以看出，T是一个切变变换，且
T：→＝.
故T对应的变换矩阵为M＝.
验证如下：
＝， ＝，
＝， ＝.
所以矩形ABCD在矩阵的作用下变成了平行四边形A′B′C′D′.
1．求图形F＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2}在矩阵A＝对应的线性变换作用下的图形．
解：易知图形F为正方形，如图，其中，O(0,0)，A(2,0)，B(2,2)，C(0,2)，
设变换后的图形为O′A′B′C′，
所以 ＝，
＝，
＝， ＝.
所以O′、A′、B′、C′的坐标分别为(0,0)、(2,0)、(8,2)、(6,2)，于是O′A′＝(2,0)，C′B′＝(2,0)，O′C′＝(6,2)，
∴O′A′綊C′B′，又O′A′·O′C′≠0，
所以四边形O′A′B′C′为平行四边形．
2．已知直线l：y＝2x－1，变换T对应的矩阵M＝，l在T变换下得到的图像为l′.求l′的方程．
解：设P(x0，y0)是直线l上的任一点，该点在变换T对应的矩阵M作用下对应的点P′的坐标为(x，y)．
则 ＝＝.
∴
∴
∵点P(x0，y0)在直线y＝2x－1上，
∴y＝2(x－y)－1，即2x－3y－1＝0.
∴所求的l′的方程为2x－3y－1＝0.
3．如图所示，已知△ABC在变换T的作用下变成△A′B′C′，试求变换T对应的矩阵M.
解：从△ABC到△A′B′C′对应的是x轴方向上的切变变换，因为点A，B在x轴上，原地不变，注意到C(－1,1)→C′(1,1)，由此可知该变换使得横坐标依纵坐标的比例为＝2.从而这个变换对应的矩阵为.
4．设直线y＝2x在矩阵所确定的变换的作用下得到曲线F，求曲线F的解析式．
解：因为→＝ ＝，
所以?
代入y＝2x，整理得2x′－7y′＝0.
所以直线y＝2x在矩阵所确定的变换的作用下的结果是直线2x－7y＝0.
5．已知曲线F在矩阵确定的变换作用下所得到的曲线的方程为x＋y＝1，求曲线F的方程．
解：由＝ ＝
得
代入直线x＋y＝1得曲线F的方程．
所以曲线F的方程为2x＋y＝1.
6．已知△ABC在变换T作用下变成△A′B′C′，其中A(－1,0)，B(1,0)，C(－1,1)，A′(－1,0)，B′(1,0)，C′(2,1)，试求变换T对应的矩阵M.
解：由题意知，变换T是切变变换，
设M＝，
则 ＝，
即k＝3.所以M＝.
7.图中的正方形，每接受一个矩阵命令就作一次图形变换，从现在图中位置，按M→N→P的顺序依次完成一组变换，画出每一次变换后的示意图，这里M＝，N＝，P＝.
解：
8．对于一个平面图形来说，在切变变换前后，它的几何性质(如线段长度、角度、周长、面积)有变化吗？试以切变变换对应的矩阵和平行四边形ABCD为例加以说明，其中A(0,0)，B(2,2)，C(6,2)，D(4,0)．
解：设A、B、C、D四点在矩阵对应的切变变换作用下依次得到A1，B1，C1，D1，则有：
＝， ＝，
＝， ＝，
所以平行四边形ABCD在矩阵对应的切变变换作用下得到平行四边形A1B1C1D1(如图所示)，其中A1(0，0)，B1(4,2)，C1(8,2)，D1(4,0)．
观察图形可知，切变变换后线段AD、BC的长度不变，线段AB和CD的长度改变，平行四边形ABCD的四个角大小改变，周长也改变，但是面积没有改变．
2．3.1 矩阵乘法的概念
1．二阶矩阵乘法法则：
＝
.
2．矩阵乘法MN的几何意义是对向量连续实施两次变换的复合变换．
3．矩阵MN对应的复合变换的顺序是先进行矩阵N对应的变换，再进行矩阵M对应的变换．
二阶矩阵的乘法
[例1] (1)已知A＝，B＝，计算AB；
(2)已知A＝，B＝，计算AB，BA；并观察AB与BA相等吗？
[思路点拨] 直接运用二阶矩阵的乘法法则计算即可．
[精解详析]
(1)AB＝
＝.
(2)AB＝ ＝，
BA＝ ＝.
观察可知，AB≠BA.
两个二阶矩阵乘法的结果还是一个二阶矩阵，进行矩阵乘法运算时，必须按矩阵乘法法则依次进行．
1．已知A＝，B＝，计算AB，BA.
解：AB＝ ＝；
BA＝ ＝.
2.(1)已知A＝，B＝，C＝，计算AB，AC；
(2)已知A＝，B＝，计算A2，B2.
解：(1)AB＝
＝，
AC＝
＝.
(2)A2＝
＝，
B2＝
＝.
矩阵乘法的几何意义
[例2] 已知矩阵M＝，N＝.
(1)若对平面上的图形F先实施TM变换，再把所得的图形实施TN变换，得到图形F′，那么F与F′有什么关系？
(2)计算NM，若对平面上的图形F实施TNM变换，得到图形F0，那么F与F0什么关系？
(3)根据(1)(2)，说明由矩阵NM确定的变换的几何意义．
[思路点拨] 先由对称变换确定F与F′的关系，再通过计算NM确定F与F0的关系，由上述关系即可说明由NM确定的变换的几何意义．
[精解详析] (1)变换TM把平面上的图形F变换成与F关于x轴对称的图形F1，变换TN把平面上的图形F1变换成与F1关于y轴对称的图形F′，所以F与F′关于原点对称．
(2)NM＝，变换TNM是把平面上的图形F变换成与F关于原点对称的图形F0.
(3)由(1)(2)知，把平面上的图形F先实施TM变换，再把所得的图形实施TN变换，与把平面上的图形F实施TNM的结果相同．这也就验证了矩阵乘法NM的几何意义：“对图形连续实施两次变换(先TM后TN)的复合变换”的结论．
矩阵MN的几何意义是对向量连续实施的两次变换(先N再M)的复合变换，进行复合变换时，一定要注意先后顺序，顺序不同，所得变换结果就可能不同．
3．已知M1＝，M2＝，试求M2M1并对其几何意义给予解释．
解：M2M1＝ ＝.
矩阵M1和M2分别表示把平面上的点向x轴垂直压缩为原来的和，利用M1和M2对平面上的点连续作两次变换即先压缩为原来的，再压缩为实际上连续完成这两个变换，变换的结果可以用一个变换来表示，即矩阵N＝对应的变换．
4．已知矩形ABCD，其中点A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)，先将矩形绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形作关于y轴的反射变换．
(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M；
(2)求点A，B，C，D在连续两次变换后所得到的结果；
(3)在平面直角坐标系内画出两次对应的几何图形，并验证(2)中的结论．
解：(1)绕原点逆时针方向旋转90°的变换矩阵为Q＝，而关于y轴的变换矩阵P＝，则连续两次变换所对应的变换矩阵M由矩阵乘法可得．
M＝PQ＝ ＝.
(2)因为 ＝， ＝，
＝， ＝，
所以点A，B，C，D分别变换成点A″(0,0)，B ″(0,2)，C ″(1,2)，D ″(1,0)．
(3)从几何变换角度，先作绕原点逆时针旋转90°的变换T1，再将所得图形作关于y轴的轴反射变换T2，所得结果与(2)一致，如图所示．
求曲线在复合变换后的解析式
[例3] 试求曲线y＝sin x在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M＝，N＝.
[思路点拨] 本题先求矩阵M、N的积，再利用矩阵变换求曲线y＝sin x在MN变换下的解析式．
[精解详析] MN＝ ＝，
即在矩阵MN变换下→＝，
则y′＝sin 2x′，即曲线y＝sin x在矩阵MN变换下的函数解析式为y＝2sin 2x.
此类题目是对曲线进行两次或两次以上的变换，可先求出两次或两次以上的变换的复合变换，即先求矩阵M、N、…的积，再对曲线进行变换．
5．已知圆C：x2＋y2＝1，先将圆C作关于矩阵P＝的线性变换，再将所得的图形绕原点逆时针旋转90°，求所得的曲线方程．
解：绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q＝，
则M＝QP＝ ＝，
设A(x，y)为圆C上任意一点，在矩阵M对应的变换作用下变为A′(x′，y′)
则＝ ＝.
∴∴
又点A在曲线x2＋y2＝1上，
∴(y′)2＋2＝1，即＋y′2＝1.
故所求曲线方程为＋y2＝1.
6．已知曲线C1：x2＋y2＝1，对它先作矩阵A＝对应的变换，再作矩阵B＝对应的变换，得到曲线C2：＋y2＝1，求实数b的值．
解：从曲线C1得到曲线C2的变换对应的矩阵为BA＝ ＝，在曲线C1上任意选一点P(x0，y0)，设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，则有＝，即＝，所以即
代入曲线C1方程，得y′2＋2＝1，即曲线C2的方程为2x2＋y2＝1，即2＝，故b＝±1.
1．已知A＝，B＝，分别计算AB和BA.
解：AB＝ ＝，
BA＝ ＝.
2．设A＝，B＝，C＝，求证：
(1)AB＝0；(2)AB＝AC.
证明：(1)AB＝ ＝＝0.
(2)因为AC＝ ＝＝0，
所以AB＝AC.
3．求使 ＝成立的实数a，b，c，d.
解： ＝＝，
∴∴a＝2，b＝0，c＝1，d＝2.
4．已知矩阵A＝，B＝，向量α＝，x，y为实数．若Aα＝Bα，求x＋y的值．
解：由已知，得Aα＝ ＝，Bα＝ ＝.
因为Aα＝Bα，所以＝，
故
解得所以x＋y＝.
5．已知矩阵M＝和N＝.
(1)计算MN，NM；
(2)说明M，N所表示的几何变换，解释MN、NM的几何意义．
解：(1)MN＝
＝，
NM＝
＝.
(2)矩阵M所表示的变换是：把坐标平面上的点绕原点逆时针旋转；矩阵N所表示的变换是：把坐标平面上的点绕原点顺时针旋转(或逆时针旋转)．矩阵MN表示的变换是：把坐标平面上的点先绕原点顺时针旋转，再把该点绕原点逆时针旋转，即把点绕原点逆时针旋转；矩阵NM表示的变换是：把坐标平面上的点先绕原点逆时针旋转，再把该点绕原点顺时针旋转，即把点绕原点逆时针旋转.故矩阵MN和矩阵NM所表示的变换是同一变换．
6．已知矩阵A＝，B＝，若矩阵AB对应的变换把直线l：x＋y－2＝0变为直线l′，求直线l′的方程．
解：AB＝ ＝.
在直线l上任取一点P(x′，y′)，经矩阵AB变换为点Q(x，y)，则＝ ＝，
即
所以
代入x′＋y′－2＝0，得x－y＋－2＝0，所以直线l′的方程为4x＋y－8＝0.
7．(福建高考)已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.
(1)求实数a，b的值；
(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A＝，求点P的坐标．
解：(1)设直线l：ax＋y＝1上任意一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的象是M′(x′，y′)由＝ ＝，得
又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，即x＋(b＋2)y＝1.
依题意解得
(2)由A＝，得解得y0＝0.
又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.
故点P的坐标为(1,0)．
8．已知单位正方形OABC，其中O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，先将正方形作压缩变换，对应的矩阵为，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.
(1)求连续两次变换所对应的矩阵M；
(2)矩阵M对应的变换把正方形OABC变成了什么图形？
(3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证(2)中的结论．
解：(1)设压缩变换对应的矩阵为Q＝，绕原点逆时针旋转90°的变换对应的矩阵为P＝，
则M＝PQ＝ ＝.
(2)因为 ＝， ＝，
＝， ＝，
所以点O，A，B，C分别被变换到点O″(0,0)，A″，B″，C″(－1,0)，即矩阵M对应的变换把正方形OABC变成了矩形O″A″B″C″.
(3)从几何变换的角度可以发现，上述变换可由如图所示的几何变换得到，由此可以验证与第(2)问的结果是一致的．
2．3.2 矩阵乘法的简单性质
1．矩阵的乘法只具有结合律，即(AB)C＝A(BC)，不满足交换律和消去律，即AB≠BA，若AB＝AC，则一般情况下B≠C.
2．二阶矩阵的幂Mn＝
矩阵乘法的性质
[例1] (1)设A＝，B＝，验证：若AB≠BA，则(AB)2≠A2B2；
(2)求证：当AB＝BA时，(AB)2＝A2B2，(其中A、B均为二阶矩阵)．
[思路点拨] (1)利用矩阵乘法法则直接验证；(2)依据条件，利用矩阵的乘法具有结合律进行验证．
[精解详析] (1)AB＝ ＝，
BA＝ ＝，
∴AB≠BA.
A2＝＝ ＝，
B2＝
＝ ＝，
∴A2B2＝ ＝.
又∵(AB)2＝＝ ＝，
∴(AB)2≠A2B2.
故若AB≠BA，则(AB)2≠A2B2.
(2)∵AB＝BA，
∴(AB)2＝(AB)(AB)＝A(BA)B
＝A(AB)B＝(AA)(BB)＝A2B2.
(1)矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．
(2)根据矩阵乘法满足结合律可知，多个矩阵相乘时，无论先进行哪两个相邻矩阵的乘积均不影响最终结果．
1．计算 .
解：原式＝
＝
＝.
2．设A＝，B＝，C＝，求A(BC)和(AB)C，并判断它们是否满足结合律．
解：因为BC＝ ＝，
AB＝ ＝，
所以A(BC)＝ ＝，
(AB)C＝ ＝.
显然，有A(BC)＝(AB)C.
因此满足结合律.
二阶矩阵的幂运算
[例2] 设A＝，求A2，A3，猜想An(n∈N*)并证明你的猜想．
[思路点拨] 先利用矩阵乘法法则求A2、A3，猜想An，然后用数学归纳法证明．
[精解详析] A2＝ ＝，
A3＝A2A＝ ＝，
猜想An＝其中n∈N*，n≥2.
下面用数学归纳法证之：
(1)当n＝2时，由以上计算可知猜想成立．
(2)假设n＝k时猜想成立，即Ak＝.
当n＝k＋1时，
Ak＋1＝Ak·A＝ ＝，
故n＝k＋1时猜想也成立．
由(1)和(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)，
都有An＝.
求矩阵具体数幂的运算可依据Mn＝ 求解．若求矩阵一般字母幂的运算可利用数学归纳法求之．
3．计算4.
解：4＝
＝ ＝ ＝.
4．已知A＝，求A2，A3，并据此猜想An(n≥2，n∈N*)，并加以证明．
解：A2＝
＝
＝.
A3＝A2·A＝
＝
＝.
据此猜想An＝.
下面用数学归纳法证明：
(1)由以上可知当n＝2时，猜想成立．
(2)假设n＝k(k≥2)时，猜想成立．
即Ak＝.
当n＝k＋1时，Ak＋1＝Ak·A
＝
＝
＝.
即n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)可知对一切n≥2，n∈N*都有
An＝.
1．已知A＝，B＝，C＝，计算AB，AC.
解：AB＝ ＝，
AC＝ ＝.
2．已知矩阵A＝，求A4，A5，A9.
解：因为A2＝ ＝，所以
A4＝A2·A2＝ ＝，
A5＝A·A4＝ ＝.
A9＝A4·A5＝ ＝.
3．求使等式＝M成立的二阶矩阵M.
解：设M＝，则
M＝
＝＝.
∴∴a＝1，b＝－2，c＝3，d＝－5.
∴M＝.
4．(1)构造两个矩阵A，B，使它们不满足AB＝BA；
(2)构造两个矩阵A，B(A，B均不为零矩阵)，使AB＝成立；
(3)构造一个矩阵A(A既不是零矩阵，也不是单位矩阵)，使A2＝A成立；
(4)构造一个矩阵B(B不是零矩阵)，使得B2＝成立．
解：(1)如A＝，B＝；
(2)如A＝，B＝；
(3)如A＝；
(4)如B＝.
5．设数列{an}，{bn}满足an＋1＝2an＋3bn，bn＋1＝2bn，且满足＝M，试求二阶矩阵M.
解：由题意得＝ ，
令A＝，则＝
＝ ＝A2.
∴＝A4，∴M＝A4.
∵A2＝ ＝，
∴M＝A4＝(A2)2＝ ＝.
6．设M＝，求Mn(n∈N*)．
解：M2＝ ＝.
M3＝MM2＝ ＝.
由此猜想Mn＝.
下面用数学归纳法证明．
(1)n＝1时显然成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时成立，
即k＝.
则当n＝k＋1时，
Mk＋1＝M·Mk＝ ＝.
故n＝k＋1时也成立．∴n为正整数时，结论都成立．
故Mn＝(n∈N*)．
7．矩阵M＝，N＝，向量α＝.
(1)验证：(MN)α＝M(Nα)；
(2)验证这两个矩阵不满足：MN＝NM.
证明：(1)因为MN＝ ＝，
所以(MN)α＝ ＝.
因为Nα＝ ＝，
所以M(Nα)＝ ＝.
故(MN)α＝M(Nα)．
(2)因为NM＝ ＝，
又MN＝，所以MN≠NM.
8．求满足A2＝A的一切的二阶矩阵．
解：设A＝，∵A2＝A，
∴＝.
∴a2＋bc＝a①
ab＋bd＝b②
ac＋cd＝c③
bc＋d2＝d④
由②③得(c＋d－1)b＝0，(a＋d－1)c＝0.
(1)当a＋d－1＝0时，
由①得a＝，由④得d＝.
故A如下
或
其中b、c为任意实数且bc≤.
(2)当a＋d－1≠0时，则c＝0且b＝0，
再由①④得a＝0或1，d＝0或1，
但又由a＋d－1≠0，∴a＝d＝0或a＝d＝1.
此时有A＝或A＝.
故满足A2＝A的二阶方阵为或
及
或
(其中b、c为任意实数且bc≤)．
2．4.1 逆矩阵的概念
1．逆矩阵的定义
对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记为A－1.
2．逆矩阵的性质
(1)若二阶矩阵A、B均可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1.
(2)已知A、B、C为二阶矩阵且AB＝AC，若A存在逆矩阵，则B＝C.
3．逆矩阵的求法
(1)公式法：对于二阶矩阵A＝，若ad－bc≠0，则A必可逆，且A－1＝.
(2)待定系数法．
(3)逆变换法．
逆矩阵的求法
[例1] 求矩阵A＝的逆矩阵．
[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解．
[精解详析] 法一：待定系数法：设A－1＝，
则 ＝.
即＝，
故
解得x＝－1，z＝2，y＝2，w＝－3，
从而A的逆矩阵为A－1＝.
法二：公式法：ad－bc＝3×1－2×2＝－1≠0，
∴A－1＝.
用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A的逆矩阵A－1，再由AA－1＝E得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A－1.
1．(江苏高考)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.
解：设矩阵A的逆矩阵为，则 ＝，即＝
故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，从而A的逆矩阵为A－1＝，
所以A－1B＝ ＝.
2．已知矩阵M＝所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′(13,5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标．
解：由M＝，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0，
故M －1＝.
从而由 ＝得
＝ ＝＝，
故即A(2，－3)为所求．
[例2] 用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵．
(1)A＝；(2)B＝.
[思路点拨] A为伸压变换矩阵，B为旋转变换矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．
[精解详析]
(1)矩阵A为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换，因此它存在逆变换TA－1：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x轴方向压缩为原来的，所对应的变换矩阵为A－1＝.
(2)矩阵B为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.它存在逆变换TB－1：将平面内的点绕原点逆时针旋转90°，所对应的变换矩阵为B－1＝.
从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一一映射．
关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．
3．已知矩阵A＝，求A－1.
解：矩阵A对应的变换是旋转变换R240°，它的逆变换是R－240°
∴A－1＝
＝.
4．已知矩阵A＝，求A－1.
解：因矩阵A所对应的变换为伸缩变换，
所以A－1＝.
逆矩阵的概念与性质的应用
[例3] 若矩阵A＝，B＝，求矩阵AB的逆矩阵．
[思路点拨] 根据公式(AB)－1＝B－1A－1，先求出B－1、A－1，再利用矩阵乘法求解．
[精解详析] 因为矩阵A所对应的变换为伸缩变换，
所以A－1＝.
而矩阵B对应的变换为切变变换，
其逆矩阵B－1＝，
∴(AB)－1＝B－1A－1
＝＝.
(1)要避免犯如下错误(AB)－1＝A－1B－1.
(2)此题也可以先求出AB再求其逆．
5．已知A＝ ，求A－1.
解：设M＝，N＝，则A＝MN.
∵1×1－0×(－1)＝1≠0，
∴M－1＝，同理N－1＝.
由逆矩阵的性质，得
A－1＝(MN)－1＝N－1M－1
＝ ＝.
6．若矩阵A＝，B＝，求曲线x2＋y2＝1在矩阵(AB)－1变换下的曲线方程．
解：(AB)－1＝B－1A－1＝ ＝.
设P(x，y)是圆x2＋y2＝1上任意一点，P点在(AB)－1对应变换下变成Q(x′，y′)
则＝ ＝.
∴故
∴P(x′＋2y′，y′)．
又P点在圆上，∴(x′＋2y′)2＋(y′)2＝1.
展开整理为(x′)2＋4x′y′＋5(y′)2＝1.
故所求曲线方程为x2＋4xy＋5y2＝1.
[例4] 已知矩阵A＝，B＝，C＝，求满足AXB＝C的矩阵X.
[思路点拨] 由AXB＝C得X＝A－1CB－1，从而求解．
[精解详析] ∵A－1＝，
B－1＝，
∴X＝A－1CB－1＝
＝ ＝.
此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律．
7．已知矩阵A＝.
若矩阵X满足AX＝，试求矩阵X.
解：设A－1＝，
则＝，
即＝，
所以解得
故所求的逆矩阵A－1＝.
因为AX＝，
所以A－1AX＝A－1，
所以X＝A－1＝ ＝.
8．若点A(2,2)在矩阵M＝对应变换的作用下得到的点为B(－2,2)，求矩阵M的逆矩阵．
解：因为M＝，
即＝，
所以解得
所以M＝.
法一：由M＝＝，知M是绕原点O逆时针旋转90°的旋转变换矩阵，于是M－1＝＝.
法二：由M＝，则ad－bc＝1≠0.∴M－1＝.
1．求下列矩阵的逆矩阵．
(1)A＝；(2)B＝.
解：法一：利用逆矩阵公式．
(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A存在逆矩阵A－1，且
A－1＝＝.
(2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B存在逆矩阵B－1，且
B－1＝＝.
法二：利用待定系数法．
(1)设矩阵A的逆矩阵为，
则 ＝，
即＝.
故
解得a＝3，c＝－2，b＝－1，d＝1.
从而A－1＝.
(2)设矩阵B的逆矩阵为，
则 ＝，
即＝.
故
解得x＝－，z＝2，y＝，w＝－1.
从而B－1＝.
2．已知可逆矩阵A＝的逆矩阵A－1＝，求a，b的值．
解：根据题意，得AA－1＝E，
所以 ＝，
即＝，
所以解得a＝5，b＝3.
3．已知A＝，B＝，求证B是A的逆矩阵．
证明：因为A＝，B＝，
所以AB＝ ＝，
BA＝ ＝，
所以B是A的逆矩阵．
4．求矩阵乘积AB的逆矩阵．
(1)A＝，B＝；
(2)A＝，B＝.
解：(1)(AB)－1＝B－1A－1
＝ ＝.
(2)(AB)－1＝B－1A－1
＝
＝.
5．已知变换矩阵A把平面上的点P(2，－1)，Q(－1,2)分别变换成点P1(3，－4)，Q1(0,5)．
(1)求变换矩阵A；
(2)判断变换矩阵A是否可逆，如果可逆，求矩阵A的逆矩阵A－1；如果不可逆，请说明理由．
解：(1)设A＝，依题意，得 ＝， ＝，
即解得
所以A＝.
(2)变换矩阵A是可逆的，理由如下：
设矩阵A的逆矩阵为，
则由 ＝，得
解得
故矩阵A的逆矩阵为A－1＝.
6．已知矩阵M＝，N＝，试求曲线y＝cos x在矩阵M－1N对应的线性变换作用下的函数解析式．
解：M－1＝，
∴M－1N＝ ＝.
∴＝ ＝
即∴
代入y＝cos x得y′＝cos 2x′
故曲线y＝cos x在矩阵M－1N对应的变换作用下解析式为y＝2cos 2x.
7．已知矩阵A＝.
(1)求矩阵A的逆矩阵B；
(2)若直线l经过矩阵B变换后的方程为y＝x，求直线l的方程．
解：(1)设矩阵A的逆矩阵为B＝，则
＝，得解得
所以B＝.
(2)设直线l上任一点P(x，y)经过B对应变换变为点P(x′，y′)，则 ＝，
即
又y′＝x′，所以－2x＋y＝x－y，
即直线l的方程为7x－3y＝0.
8．已知曲线C在矩阵对应的变换作用下的象为x2＋y2＝1，求曲线C的方程．
解：矩阵对应的变换为：平面内点的纵坐标沿y轴方向缩短为原来的，横坐标沿x轴方向缩短为原来的，其逆变换为：将平面内点的纵坐标沿y轴方向拉伸为原来的2倍，横坐标沿x轴方向拉伸为原来的3倍，故－1＝.
设圆x2＋y2＝1上任一点P(x，y)在矩阵对应的伸缩变换作用下的象为P′(x′，y′)，
则即代入x2＋y2＝1，
得＋＝1.
故曲线C的方程为＋＝1.
2．4.2 二阶矩阵与二元一次方程组
1．把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det(A)＝＝ad－bc.
2．方程组写成矩阵形式为AZ＝B，其中A＝，称为系数矩阵，Z＝，B＝，当A可逆时，方程组有唯一解，当A不可逆时，方程组无解或有无数组解．
3．对于方程组，令D＝，Dx
＝，Dy＝，当D≠0时，方程组有唯一组解，为x＝，y＝.
4．对于方程组，令D＝，当D＝0时，此方程组有非零解．
5．二阶矩阵A＝可逆的充要条件是det(A)≠0且A－1＝.
求行列式的值
[例1] 求的最大值(其中λ∈R)．
[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值．
[精解详析]
＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5)
＝－λ2－6λ－6＝－(λ＋3)2＋3≤3，
∴的最大值为3.
(1)矩阵A＝与它的行列式det(A)＝的意义是不同的．矩阵A不是一个数，而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式det(A)是由矩阵A算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．
(2)＝ad－bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．
1．计算下列行列式的值：
(1)；(2)
解：(1)＝6×(－3)－(－5)×2＝－8；
(2)＝cos2 θ－(－sin2 θ)＝1.
2．若＝，求x＋y的值．
解：x2＋y2＝－2xy?x＋y＝0.
利用行列式求可逆矩阵的逆矩阵
[例2] 已知A＝，B＝，判断AB是否可逆，若可逆求出逆矩阵．
[思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解．
[精解详析]
AB＝ ＝.
因det(AB)＝＝－1＋9＝8≠0，故AB可逆，
∴(AB)－1＝.
已知矩阵A＝，利用行列式求矩阵A的逆矩阵的步骤如下：
(1)首先计算det(A)＝＝ad－bc，当det(A)≠0时，逆矩阵存在．
(2)利用A－1＝，求出逆矩阵A－1.
3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．
(1)；(2)；(3).
解：(1)二阶行列式＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为.
(2)二阶行列式＝1≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为.
(3)二阶行列式＝a，当a＝0时，矩阵不可逆，当a≠0时，矩阵可逆，逆矩阵为.
4．若矩阵A＝存在逆矩阵，求x的取值范围．
解：据题意det(A)≠0，即≠0.
∴3x2－54≠0.
∴x≠±3.
故x的取值范围是{x|x∈R且x≠±3}.
二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法
[例3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组
[思路点拨] 求出相应行列式的值，利用x＝，y＝求解，或求出方程组对应的逆矩阵，利用逆矩阵法求解．
[精解详析] 法一：(行列式解法)
D＝＝12－2＝10，
Dx＝＝4＋6＝10，
Dy＝＝9＋1＝10，
故方程组的解为
法二：(逆矩阵解法)已知方程组可以写成矩阵形式
＝.
令M＝，则其行列式
det(M)＝＝3×4－(－1)×(－2)＝10≠0，
所以矩阵M存在逆矩阵M－1，且
M－1＝＝，
这样＝M－1＝ ＝.
即方程组的解为
利用逆矩阵解二元一次方程组的步骤为：
(1)将二元一次方程组化成标准形式并写成矩阵形式．
(2)判定系数矩阵是否可逆，即看是否为零．若可逆则二元一次方程组有唯一解，若不可逆，方程组无解或解不唯一．
(3)若可逆，求逆矩阵：
(4)利用矩阵乘法求解：即计算.
5．利用行列式解下列方程组：
(1)(2)
解：(1)因为D＝＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组存在唯一解．
又Dx＝＝1×4－(－3)×3＝13，
Dy＝＝3×3－1×(－1)＝10.
所以x＝＝，y＝＝.
故该方程组的解为
(2)先将方程组改写成一般形式
因为D＝＝－2≠0，此方程组存在唯一解．
又Dx＝＝－6，Dy＝＝4，
所以x＝＝3，y＝＝－2.
故该方程组的解为
含参的齐次线性方程组解的讨论
[例4] m为何值时，二元一次方程组 ＝m有非零解？
[思路点拨] 先求出方程组对应行列式，利用行列式值为0时方程组有非零解求解．
[精解详析] 二元一次方程组 ＝m，
即为＝，
∴
即
即 ＝.
∴当＝0，
即－(3－m)(4＋m)＋2＝0时，方程组有非零解．
∴当m＝时，方程有非零解．
齐次线性方程组有非零解的充要条件为对应系数成比例，即＝，此时，该齐次线性方程组的一组非零解为.
6．齐次线性方程组存在非零解吗？如果存在，求出一组非零解．
解：因D＝＝－4＋4＝0，
所以存在非零解．
其中一组非零解为.
7．若关于x，y的二元一次方程组有非零解，求m的值．
解：D＝＝－33－4m，
令D＝0，则得m＝－.
1．求下列行列式的值：(1)；(2).
解：(1)＝3×5－(－1)×2＝15＋2＝17.
(2)＝28－(－72)＝28＋72＝100.
2．已知矩阵不可逆，求函数f(x)＝ax2－7x＋4的最小值．
解：∵矩阵不可逆，
∴＝ax·－3×1＝a－3＝0，
即a＝3，
∴f(x)＝3x2－7x＋4
＝3(x2－x＋)＋4－×3
＝3(x－)2－.
∴当x＝时，函数f(x)有最小值－.
3．已知矩阵A＝，X＝，B＝，解方程AX＝B.
解：因为|A|＝＝1≠0，所以A的逆矩阵存在，且A－1＝，所以X＝A－1B＝＝.
4．已知二元一次方程组AZ＝B，其中A是可逆矩阵，B＝，试证明该方程组的解只能是.
证明：因为A是可逆矩阵，则原方程组的解为Z＝A－1B＝A－1，因为A－1是唯一存在的，所以Z＝是原方程组唯一的解．
5．分别利用行列式法及逆矩阵法解方程组.
解：法一：方程组可化为，
D＝＝4－6＝－2，
Dx＝＝20－12＝8，
Dy＝＝6－15＝－9，
故方程组的解为
法二：方程组用矩阵表示为 ＝.
故＝
＝－ ＝
6．试写出齐次线性方程组的矩阵形式及该方程组的一组非零解．
解：齐次线性方程组改写成矩阵形式为 ＝，
∵＝2×6－3×4＝0，
∴此齐次线性方程组有非零解
如就是它的一组非零解．
7．当λ为何值时，二元一次方程组 ＝λ有非零解？
解：由题意知二元一次方程组为
即
D＝＝(2－λ)(3－λ)－2＝λ2－5λ＋4，
当D＝0即λ＝1或4时，
二元一次方程组 ＝λ有非零解．
8．如果建立如下字母与数字的对应关系
a b c … y z
? ? ? … ? ?
1 2 3 … 25 26
并且发送方按可逆矩阵A＝进行加密．
(1)若要发出信息work hard，试写出所要发送的密码；
(2)将密码93,36,60,21,159,60,110,43恢复成原来的信息．
解：(1)若要发出信息work hard，则其编码为23,15,18,11,8,1,18,4.
把上述编码按顺序分成四组并写成列向量，，，，计算它们在矩阵A对应的变换下的象，可得
A＝ ＝，
A＝ ＝，
A＝ ＝，
A＝ ＝，
于是，得到所要发送的密码为160,61,123,47,43,17,102,40.
(2)因为det(A)＝＝5×1－2×3＝－1，所以A的逆矩阵A－1＝.把接受到的密码按顺序分成四组并写成列向量，计算它们在矩阵A－1对应的变换作用下的象， 可得
A－1＝ ＝，
A－1＝ ＝，
A－1＝ ＝，
A－1＝ ＝.
于是密码恢复成编码15,6,3,15,21,18,19,5，再根据已知的对应关系，即得到原来的信息of course.
模块综合检测
(时间：100分钟，总分100分)
1．(本小题满分10分)曲线9x2＋4y2＝1在→＝伸压变换下变成另一曲线C，求曲线C的方程．
解：伸压变换矩阵为M＝，由＝ ，得即其中点P(x，y)在曲线9x2＋4y2＝1上，所以有92＋42＝1，即x′2＋y′2＝1.
故曲线C的方程为x2＋y2＝1.
2．(本小题满分10分)二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．
(1)求矩阵M；
(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y－4＝0，求l的方程．
解：(1)设M＝，
则有 ＝， ＝，
所以且解得
所以M＝.
(2)因为＝ ＝，
且x′－y′－4＝0，所以(x＋2y)－(3x＋4y)－4＝0，
整理得x＋y＋2＝0，
所以直线l的方程为x＋y＋2＝0.
3．(本小题满分10分)已知M＝，N＝，求二阶方阵X，使MX＝N.
解：设X＝，
据题意有 ＝，
根据矩阵乘法法则有
解得所以X＝.
4.(本小题满分10分)变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2＝.
(1)求点P(2,1)在T1作用下的点P′的坐标；
(2)求曲线2x2－2xy＋y2＝1先在T1旋转变换作用下，后在T2变换的作用下所得曲线的方程．
解：(1)由题意知M1＝，
故M1＝ ＝，
所以点P(2,1)在T1作用下的点P′的坐标是(－1,2)．
(2)由题意得M＝M2M1＝，
设是变换后的图像上任意一点，与之对应的变换前的点是，则M＝，也就是即代入2x－2x0y0＋y＝1，得2y2－2y(y－x)＋(y－x)2＝1，即x2＋y2＝1.
所以所求曲线的方程是x2＋y2＝1.
5．(本小题满分10分)在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积．这里M＝，N＝.
解：在矩阵N＝的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90°得到的图形，
在矩阵M＝的作用下，一个图形变换为与之关于直线y＝x对称的图形．
所以△ABC在矩阵MN的作用下变换所得到的图形与△ABC全等，
从而其面积等于△ABC的面积，即为×2×1＝1.
6．(本小题满分10分)已知矩阵A＝，B＝.
(1)计算AB；
(2)若矩阵B把曲线：x2－y2＝1变为曲线C′，求曲线C′的方程．
解：(1)AB＝.
(2)任取直线l上一点P(x，y)，经矩阵B变换后为点P′(x′，y′)，
则＝ ＝，
∴
∴
代入x2－y2＝1，得(x′＋2y′)2－y′2＝1，
∴x′2＋4x′y′＋3y′2＝1.
∴曲线C′的方程为x2＋4xy＋3y2＝1.
7．(本小题满分10分)已知二阶矩阵A的特征值λ1＝3及其对应向量α1＝，特征值λ2＝－1及其对应向量α2＝，求矩阵A的逆矩阵A－1.
解：设二阶矩阵A＝(a，b，c，d∈R)，则有 ＝3，
且 ＝－，
即且
解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1.
所以A＝，从而A－1＝.
8．(本小题满分10分)给定矩阵M＝及向量α＝.
(1)求矩阵M的特征值及与各自对应的一个特征向量e1，e2；
(2)确定实数a，b，使向量α可以表示为α＝ae1＋be2；
(3)利用(2)中的表达式计算M3α，Mnα.
解：(1)矩阵M的特征多项式
f(λ)＝
＝(λ－2)(λ－1)－30＝(λ－7)(λ＋4)．
令f(λ)＝0，解得矩阵M的特征值λ1＝－4，λ2＝7.
易求得属于特征值λ1＝－4的一个特征向量e1＝，
属于特征值λ2＝7的一个特征向量e2＝.
(2)由(1)可设＝a＋b，
解得a＝1，b＝3，所以α＝e1＋3e2.
(3)M3α＝M3(e1＋3e2)＝M3e1＋3M3e2
＝(－4)3×＋3×73×
＝＝.
Mnα＝Mn(e1＋3e2)＝Mne1＋3Mne2
＝(－4)n×＋3×7n×
＝.
9．(本小题满分10分)曲线x2＋4xy＋2y2＝1在二阶矩阵M＝的作用下变换为曲线x2－2y2＝1.
(1)求a，b的值；(2)求M的逆矩阵．
解：(1)设P(x，y)为曲线x2－2y2＝1上任意一点，
P′(x′，y′)为曲线x2＋4xy＋2y2＝1上与P对应的点，
则 ＝，即，
代入得(x′＋ay′)2－2(bx′＋y′)2＝1，
即(1－2b2)x′2＋(2a－4b)x′y′＋(a2－2)y′2＝1，
即为方程x2＋4xy＋2y2＝1，比较系数得，
解得a＝2，b＝0.
(2)因为det(M)＝＝1≠0，
故M－1＝＝.
10．(本小题满分10分)已知矩阵A＝(BC)－1，其中B＝，C＝，求A特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2.
解：由B＝，得B－1＝，
由C＝，得C－1＝，
所以A＝(BC)－1＝C－1B－1
＝
＝.
矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－3)·(λ＋1)．
令f(λ)＝0，得A的特征值为λ1＝3，λ2＝－1.
当λ1＝3时，由 ＝3，
得
所以y＝0，取x＝1，得到A属于特征值3的一个特征向量为α1＝；
当λ2＝－1时，由 ＝－，得
取x＝1，则y＝－4，得到A属于特征值－1的一个特征向量为α2＝.
特征值与特征向量
1．设矩阵A＝，对于实数λ，若存在一个非零向量α使Aα＝λα，则λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．
2．设α是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量，则有：
(1)kα(k≠0)也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量．
(2)Anα＝λnα(n∈N*)．
3．多项式f(λ)＝称为矩阵A＝的特征多项式，方程f(λ)＝0称为矩阵A的特征方程．
4.给定矩阵A＝，求A的特征向量和特征值一般步骤为：
(1)首先求出特征方程f(λ)＝0的两个根λ1、λ2即为矩阵A的特征值．
(2)分别将λ1、λ2代入齐次线性方程组
分别求出与之相应的两组非零解α1、α2即为相应的特征向量．
特征值、特征向量的概念
[例1] 给定矩阵M＝，N＝及向量e1＝，e2＝.求证：
(1)M和N互为逆矩阵；
(2)e1和e2都是M的特征向量．
[思路点拨] (1)只需证明MN＝NM＝E即可；(2)只需证明Me1＝λe1，Me2＝λe2即可．
[精解详析] (1)因为MN＝
＝，
NM＝ ＝，
所以M和N互为逆矩阵．
(2)向量e1＝ 在M的作用下，其象与其保持共线，即 ＝＝，
向量e2＝在M的作用下，其象与其保持共线，即 ＝，
所以e1和e2都是M的特征向量．
1．设A是可逆的二阶矩阵，求证：若λ是A的特征值，则是A－1的特征值．
证明：∵Aα＝λα，∴A－1(Aα)＝A－1(λα)，
∴α＝A－1(λα)＝λ(A－1α)，
∴A－1α＝α.∴是A－1的特征值．
2．若向量是矩阵的一个特征向量，求m的值．
解：由题意知是齐次方程组的一组解，即解之得
故m的值为12.
特征值和特征向量的求法
[例2] 求矩阵A＝的特征值与相应特征值的一个特征向量．
[思路点拨] 先求特征多项式，令特征多项式为0求出特征值，再求相应特征向量．
[精解详析] 矩阵A的特征多项式为
＝λ2－－＝λ2－1.
令λ2－1＝0，解得矩阵A的特征值为λ1＝1，λ2＝－1.
当λ1＝1时，代入齐次线性方程组得
即3x－y＝0，令x＝1，则y＝.
所以X1＝是矩阵A的属于特征值λ1＝1的一个特征向量．
当λ2＝－1时，代入齐次线性方程组得
即x＋y＝0，令x＝3，则y＝－.
所以X2＝是矩阵A的属于特征值λ2＝－1的一个特征向量．
已知矩阵A＝，求它的特征值和特征向量可以分成以下两步：
(1)求出矩阵A的特征多项式等于零的全部根，它们就是矩阵A的全部特征值．
(2)对于每个特征值λ0，解齐次线性方程组，其所有非零解就是属于λ0的特征向量．
3．已知矩阵A＝，求A的特征值及其对应的所有特征向量．
解：由f(x)＝
＝(λ－3)(λ－2)－20
＝λ2－5λ－14＝0
得矩阵A的特征值为λ1＝7，λ2＝－2.
当λ1＝7时，由方程组得α1＝.
故矩阵A属于特征值λ＝7的所有特征向量为(k≠0)．
当x2＝－2时，由方程组得α2＝.
故矩阵A属于特征值λ＝－2的所有特征向量为(k≠0)．
4．矩阵A＝的特征值为－1,2，求m，n的值．
解：f(λ)＝＝(λ－3)(λ－n)－2m
＝λ2－(3＋n)λ＋3n－2m，
据题意可知方程(关于λ的)λ2－(3＋n)λ＋3n－2m＝0的两个根为－1,2；
∴∴
由特征值和特征向量求矩阵
[例3] 已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A.
[思路点拨] 利用矩阵，特征向量及特征值满足的关系式构建方程组，通过解方程组求得矩阵的所有元素即可．
[精解详析] 设A＝，
由题意知 ＝， ＝，
即解得∴A＝.
解此类问题可利用待定系数法，首先设出待求矩阵的元素，再利用矩阵A、特征向量ξ及特征值λ间满足Aξ＝λξ构建方程组，最后通过解方程组求出矩阵的所有元素．
5．已知矩阵A有特征值λ1＝8及对应的特征向量α1＝，并有特征值λ2＝2及对应的特征向量α2＝，试确定矩阵A.
解：不妨设矩阵A＝，a，b，c，d均为实数．由题意则有
＝8及 ＝2，
即解得即矩阵A＝.
6．给定的矩阵A＝，B＝.
(1)求A的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2；
(2)求A4B.
解：(1)设A的一个特征值为λ，由题意知
＝0，
即(λ－2)(λ－3)＝0，
∴λ1＝2，λ2＝3.
当λ1＝2时，由 ＝2，得A属于特征值2的特征向量α1＝；
当λ2＝3时，由 ＝3，得A属于特征值3的特征向量α2＝.
(2)由于B＝＝＋＝α1＋α2，
故A4B＝A4(α1＋α2)
＝24α1＋34α2
＝16α1＋81α2
＝＋
＝.
1．已知矩阵M＝的一个特征值为3，求其另一个特征值．
解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝
＝(λ－1)(λ－x)－4.
由特征值为3，可解得x＝1.
因为(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1.
所以矩阵M的另一个特征值为－1.
2．设二阶矩阵M＝，其中m，n是实数且向量是矩阵M的属于特征值λ＝1的一个特征向量，试找出适合条件的一个矩阵M.
解：由题意知 ＝，
故＝.
∴2m＋n＝1，取m＝0，n＝1，
则M＝为适合条件的一个矩阵．
3．已知矩阵M＝，向量α＝，求M4α.
解：矩阵M的特征值满足方程
＝(λ－8)(λ＋3)－5×(－6)＝λ2－5λ＋6＝0，
解得矩阵M的两个特征值λ1＝2，λ2＝3.
分别将λ1＝2，λ2＝3代入方程组 ＝λ，
可求得它们对应的特征向量分别可取为α1＝，α2＝.
显然α1，α2不共线，
又因为α＝＝＋2＝α1＋2α2，
因此，M4α＝M4(α1＋2α2)＝M4α1＋2(M4α2)＝λα1＋2λα2＝24＋2×34＝.
4．对任意实数x，矩阵总存在特征向量，求m的取值范围．
解：由题意知，对任意实数x，
矩阵总存在特征向量，
设λ为矩阵的一个特征值，
则f(λ)＝＝(λ－x)(λ－3)－(－2－m)·(m－3)．
令f(λ)＝0，由题意知(λ－x)(λ－3)－(－2－m)(m－3)＝0对任意实数x恒成立，
∴Δ＝(3＋x)2－12x＋4(m＋2)(3－m)≥0恒成立，
即(x－3)2＋4(m＋2)(3－m)≥0恒成立．
由x的任意性可知4(m＋2)(3－m)≥0恒成立，
∴－2≤m≤3.
5．已知二阶矩阵M有两个特征值：λ1＝8，λ2＝2，其中λ1对应的一个特征向量e1＝，λ2对应的一个特征向量e2＝，求M.
解：设M＝，则 ＝8，
且 ＝2.
∴且
∴a＝6，b＝2，c＝4，d＝4.
∴M＝.
6．已知矩阵M＝，向量α＝，β＝.
(1)求向量2α＋3β在矩阵M表示的变换作用下的象；
(2)试问向量?＝是矩阵M的特征向量吗？为什么？
解：(1)因为2α＋3β＝2＋3＝，
所以M(2α＋3β)＝ ＝，
所以向量2α＋3β在矩阵 M表示的变换作用下的象为.
(2)向量?＝不是矩阵M的特征向量．理由如下：
M?＝ ＝，向量与向量?＝不共线，所以向量?＝不是矩阵M的特征向量．
7．已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°.
(1)求矩阵A及A的逆矩阵B；
(2)已知矩阵M＝，求M的特征值和特征向量；
(3)若α＝在矩阵B的作用下变换为β，求M4β.
解：(1)A＝ ＝.
B＝A－1＝.
(2)设M的特征值为λ，则由条件，得＝0，
即(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6＝0.
解得λ1＝1，λ2＝6.
当λ1＝1时，由 ＝，
得M属于1的特征向量为α1＝；
当λ2＝6时，由 ＝6，
得M属于6的特征向量为α2＝.
(3)由Bα＝β，得β＝ ＝，
设＝mα1＋nα2＝m＋n
＝，
则由
解得
所以β＝－α1＋2α2.
所以M4β＝M4(－α1＋2α2)＝－M4α1＋2M4α2
＝－＋2×64×＝
＝.
8．已知矩阵A＝的特征多项式为f(λ)＝
λ2－λ＋.
(1)求a，d的值；
(2)若α＝，且Aα＝λα，求λ的值．
解：(1)由题意，得f(λ)＝
＝(λ－a)(λ－d)＝λ2－(a＋d)λ＋ad
＝λ2－λ＋，
即所以或
(2)由(1)，得A＝，于是由 ＝λ，得λ＝，或A＝，于是由 ＝λ，得λ＝1.
故若A＝，则λ＝；若A＝，则λ＝1.
矩阵的简单应用
设λ1、λ2是二阶矩阵A的两个不同的特征值，α1、α2是A的属于特征值λ1、λ2的特征向量，对于 任意的非零向量
β，设β＝t1α1＋t2α2(t1，t2∈R)，则有Anβ＝t1λα1＋t2λα2(n∈N*)．
Anα(n∈N*)的求法
[例1] 已知矩阵M＝，β＝.
(1)求出矩阵M的特征值和特征向量；
(2)计算M4β，M10β，M100β；
(3)从第(2)小题的计算中，你发现了什么？
[思路点拨] (1)先求出矩阵M的特征多项式，求出特征值，再求出与其对应的特征向量；
(2)利用Anβ＝t1λα1＋t2λα2(λ1、λ2是矩阵A的特征值，α1、α2是λ1、λ2的特征向量，β＝t1α1＋t2α2)计算；
(3)由Mnβ中n的变化情况与计算结果即可发现规律．
[精解详析] (1)矩阵M的特征多项式为
f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2)，
令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2.
所以它们对应的特征向量为α1＝，α2＝.
(2)令β＝mα1＋nα2，
则有m＋n＝，
解得m＝2，n＝1，即β＝2α1＋α2.
所以M4β＝M4(2α1＋α2)＝2M4α1＋M4α2＝2λα1＋λα2＝2×14×＋24×＝.
同理可得，M10β＝，M100β＝.
(3)当n很大时，可近似的认为
Mnβ＝Mn(2α1＋α2)≈Mnα2＝2n＝.
求Anα的一般步骤为：
第一步：求矩阵A的特征值λ和相应的特征向量ξ；
第二步：把向量α用ξ1，ξ2线性表出，即α＝t1ξ1＋t2ξ2；
第三步：由公式计算Anα＝t1λξ1＋t2λξ2.
1．已知矩阵A的一个特征值为3，对应特征值3的特征向量α＝，求A100α.
解：A100α＝λ100α＝3100＝.
2．给定矩阵A＝，B＝.
(1)求A的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2；
(2)求A4B.
解：(1)设λ为A的特征值，
由f(λ)＝＝λ(λ－2)－3＝0，
解得λ1＝－1，λ2＝3.
当λ1＝－1时，由 ＝－，
得A属于特征值－1的特征向量为α1＝.
同理，A属于特征值3的特征向量为α2＝.
(2)设B＝mα1＋nα2＝＋，
得
解得
所以B＝α1＋α2.
因此A4B＝A4(α1＋α2)＝(－1)4α1＋34α2
＝＋＝.
矩阵方幂An的求法
[例2] 设A＝，利用矩阵的特征值和特征向量计算An.
[思路点拨] 先求出矩阵A的特征值λ1，λ2与其对应的特征向量α1，α2，然后利用Anα＝λnα，并令An＝，最后利用待定系数法建立二元方程组求得a，b，c，d.
[精解详析] A的特征多项式
f(λ)＝
＝(λ－4)(λ－2)－15
＝λ2－6λ－7＝0，
令f(λ)＝0，得A的特征值为λ1＝7，λ2＝－1.
对λ1＝7，解相应的线性方程组
可得α1＝为矩阵A的属于特征值λ1＝7的特征向量．
对λ2＝－1，解相应的方程组，
可得α2＝为矩阵A的属于特征值λ2＝－1的特征向量．
于是A α1＝ ＝7·
Aα2＝ ＝－1·.
显然An＝7n，An＝(－1)n.
设An＝，则有
＝，＝，
所以
解得a＝，b＝，
c＝，d＝，
所以An＝.
矩阵的平方运算可直接进行矩阵相乘，更高次方的运算可运用矩阵的特征向量与特征值对计算进行设计、转化．一般步骤为：
(1)求二阶矩阵A的特征方程的根λ1，λ2，并分别求出对应的一个特征向量X1，X2，令X1＝，X2＝；
(2)设An＝，根据AnX1＝λX1，AnX2＝λX2，得 ＝， ＝；
(3)解方程组和即可求得An.
3．已知A＝，求A10.
解：特征多项式为
f(λ)＝＝(λ－1)2－1＝λ2－2λ，
令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值λ1＝0，λ2＝2，
对λ1＝0，解相应的线性方程组
可得α1＝是矩阵A属于特征值λ1＝0的一个特征向量．
对λ2＝2，解相应的线性方程组
可得α2＝是矩阵A的属于特征值λ2＝2的一个特征向量．
于是，Aα1＝ ＝0·，
Aα2＝ ＝2.
显然，A10＝，A10＝210.
设A10＝，则有＝；
＝＝.
所以
解得a＝512，b＝512，c＝512，d＝512.
所以，A10＝.
4．已知A＝，求An.
解：特征多项式为
f(λ)＝＝(λ－2)λ－3＝λ2－2λ－3.
解方程λ2－2λ－3＝0，求得特征值λ1＝－1，λ2＝3.
对于λ1＝－1，解相应的线性方程组
得是属于λ1的一个特征向量．
对λ2＝3，解相应的线性方程组
得是属于λ2的一个特征向量．
于是A＝－，A＝3，
显然An＝(－1)n，①
An＝3n.②
设An＝，代入①②得
＝(－1)n， ＝3n，
∴＝，＝.
∴
解得
因此An＝.
矩阵的实际应用
[例3] 某人进行股票投资，获利与亏损的规律为：如果某年投资获利，则第二年投资亏损的概率为；如果某年投资亏损，则第二年投资获利的概率为，假设2013年他获利的概率为.
(1)求他2014年投资获利的概率；
(2)问他2014年与2015年哪一年投资获利机会大？
[思路点拨] 列出数组之间的矩阵表达式，转化为矩阵问题求解．
[精解详析] (1)2013年他获利的概率为，则投资亏损的概率为，它可以用W＝表示.2014年他获利与亏损的概率为W2014＝ ＝，所以2014年获利的概率为.
(2)2015年获利与亏损的概率为
W2015＝ ＝ ＝.
所以2015年获利的概率为，2015年投资获利机会大．
对于一些实际问题可通过列出数组之间的矩阵表达式，将实际问题转化为矩阵问题，利用矩阵的相关知识，最终达到解决实际问题的目的．
5．为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密原理如下：
明文X加密,密文Y发送,密文Y解密,明文X
现在加密方式为：把发送的数字信息X写为“a11a21a12a22”的形式，先左乘矩阵A＝，再左乘矩阵B＝，得到密文Y.现在已知接收方得到的密文是4,12,10,22，试破解该密码．
解：由题意知，
BA＝ ＝，
∴(BA)－1＝.
又(BA)X＝，
∴X＝(BA)－1＝
＝，
即发送的数据信息是2 012.
6．已知不等式组确定的平面区域为F0，点M0(a，b)在平面区域F0内，点M1(a＋b,2b)在平面区域F1内．
(1)求平面区域F1的面积；
(2)若点M1(a1，b1)在平面区域F1内，则点M2(a1＋b1,2b1)便在平面区域F2内，若点M2(a2，b2)在平面区域F2内，则点M3(a2＋b2,2b2)便在平面区域F3内，…，依次类推，试判断平面区域Fn的形状，并求其面积Sn(n∈N*)．
解：(1)设M1(a1，b1)，依题意有
可表示为＝ .
由于平面区域F0是由三个点O0(0,0)，A0(2,0)，B0(0,2)组成的，故平面区域F1是由三个点O1(0,0)，A1(2,0)，B1(2,4)组成的，其面积S1＝4.
(2)设Mn＋1(an＋1，bn＋1)(n∈N*)，由题意有
可表示为＝ .
设A＝，则＝An，
求得A的特征值λ1＝1，λ2＝2，
λ1＝1对应的一个特征向量α1＝，
λ2＝2对应的一个特征向量α2＝.
又＝2α1，
故An＝2λα1＝2×1n×＝.
又＝－2α1＋2α2，
故An＝－2×λα1＋2×λα2
＝－2×1nα1＋2×2nα2
＝.
由题意知矩阵A所对应的变换是线性变换，即在矩阵A的作用下，将直线A0B0变换成A1B1，将A1B1变换成A2B2，…，将直线An－1Bn－1变换为AnBn，
∴平面区域Fn是由三点On(0,0)，An(2,0)，Bn(2n＋1－2,2n＋1)组成的三角形，其面积Sn＝2n＋1(n∈N*)．
1．已知向量ξ1＝，ξ2＝，α＝，把α用ξ1，ξ2线性表出．
解：设α＝t1ξ1＋t2ξ2即＝.
∴故
∴α＝ξ1＋2ξ2.
2．若矩阵A有特征值λ1＝2，λ2＝－1，它们对应的特征向量分别为i＝和j＝
(1)求矩阵A及逆矩阵A－1；
(2)若α＝，试求A100α.
解：(1)设A＝，则由题意可得
即
所以 即A＝.
所以A－1＝.
(2)设α＝mi＋nj，则＝m＋n＝.
所以m＝1，n＝16.
所以A100α＝mλi＋nλj
＝1·2100＋16·(－1)100·＝.
3．设A＝，求An(n∈N*)．
解：矩阵A的特征多项式为：
f(λ)＝＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，
令f(λ)＝0得矩阵A的特征值为λ1＝7，λ2＝－2.
把λ1＝7，λ2＝－2代入线性方程组
＝
得各自对应的一个特征向量α1、α2，
α1＝，α2＝.
∴Aα1＝λ1α1，Aα2＝λ2α2，
Anα1＝λα1，Anα2＝λα2.
设An＝，则
＝7n，
＝(－2)n.
解得：a＝[5×7n＋(－1)n·2n＋2]，
b＝[7n＋(－1)n＋1·2n]，
c＝[7n＋(－1)n＋1·2n]，
d＝[4×7n＋(－1)n×5×2n]．
∴An＝
.
4．若M＝，N＝，β＝，求[(MN)－1]100β.
解：∵MN＝ ＝，
∴det(MN)＝＝1.
∴(MN)－1＝.
设(MN)－1的特征值为λ，特征向量为ξ，
则 ＝λ，
∴f(λ)＝
＝－λ(－2－λ)＋1＝λ2＋2λ＋1＝0.
∴λ＝－1，ξ＝.∴β＝2ξ.
∴[(MN)－1]100β＝λ100·2ξ＝2ξ＝β＝.
5．已知矩阵A＝的一个特征值为λ＝2，其对应的特征向量是α1＝，向量β＝.求a、b及A5β.
解：由题意可知 ＝2
即：，得.
∴A＝的特征多项式为
f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，
令f(λ)＝0得：λ1＝2，λ2＝3.
显然λ1＝2时的一个特征向量为α1＝.
设λ2＝3时的一个特征向量为α2＝，
则 ＝3，
即：，得y＝x，不妨令α2＝，
又β＝＝3＋＝3α1＋α2，
∴A5β＝3×25＋35＝＝.
6．已知矩阵A＝及向量α＝，
(1)计算Anα，并分析讨论当n的值越来越大时，Anα的变化趋势；
(2)给出Anα的一个近似公式，并利用这一公式计算A100α.
解：(1)f(λ)＝＝λ2－5λ－6＝(λ＋1)(λ－6)，
则矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝6.
属于特征值λ1＝－1的一个特征向量α1＝，
属于特征值λ2＝6的一个特征向量α2＝，
α＝＝＋＝α1＋α2.
Anα＝λα1＋λα2＝.
当n的值越来越大时，(－1)n和(－1)n＋1可忽略不计，
Anα≈.
(2)由(1)可得，Anα≈，
∴A100α＝.
7．已知矩阵A＝，求点P(3,3)经过矩阵A的连续50次作用后得到的点P50的坐标．
解：矩阵A的特征多项式
f(λ)＝＝(λ－)(λ－2)，
由f(λ)＝0得λ1＝，λ2＝2.
当λ＝时，由方程组
令x＝1，y＝0，
得属于特征值的一个特征向量为.
同理属于特征值2的一个特征向量为.
由于＝3＋3，
所以A50＝3＋3
＝，
即点P(3,3)经过矩阵A的连续50次作用后得到的点P50的坐标是.
8．狐狸和兔子在同一栖息地生存，我们忽略其他因素，只考虑兔子数量与狐狸数量的相互影响．现假设在第n年时，兔子的数量为an，狐狸的数量为bn，在初始时刻时(即第0年)，兔子有a0＝100只，狐狸有b0＝30只，且两种群之间满足(n≥1) (*)
试分析随着时间的变化，兔子和狐狸的数量有着怎样的变化？
解：令βn＝，M＝，则(*)式可以改写成βn＝M βn－1(n≥1)．
由此可知βn＝M βn－1＝M2βn－2＝…＝Mnβ0.
经过计算，矩阵M有两个特征值λ1＝1，λ2＝0.95，且分别可取α1＝，α2＝为对应的特征向量，显然α1，α2不共线，又不妨假设β0＝s α1＋t α2(其中s，t待定)．
则有解得s＝70，t＝－110，
即β0＝70α1－110α2.
从而由特征向量性质知βn＝Mnβ0＝Mn(70α1－110α2)＝70λα1－110λα2，
即＝70×1n－110×0.95n
＝－0.95n.
即第n年兔子和狐狸的数量为
由此可看出，随着时间的增加，兔子和狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子和狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．
章末小结
[对应学生用书P47]
?考情分析
矩阵与变换是新增内容，限制了矩阵为二阶矩阵，因此运算求解难度都不大，大多为基础题，考查基本概念与方法．
?真题体验
1．(福建高考)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.
(1)求实数a，b的值；
(2)求A2的逆矩阵．
解：(1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任一点P(x，y)在矩阵A对应变换下的像是P′(x′，y′)，则＝ ＝得
又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，
即a2x2＋(bx＋y)2＝1，
整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.
依题意得解得或
因为a＞0，所以
(2)由(1)知，A＝，A2＝ ＝，
所以|A2|＝1，(A2)－1＝.
2．(江苏高考)已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.
解：A2＝ ＝.
设α＝.由A2α＝β，得 ＝，
从而
解得x＝－1，y＝2，所以α＝.
求矩阵、逆矩阵
掌握矩阵、逆矩阵的概念，矩阵相等的定义，二阶矩阵与平面向量的乘法规则，两个二阶矩阵的乘法法则及简单性质，会求逆矩阵，会用系数矩阵的逆矩阵或二阶行列式求解二元一次方程组．
[例1] 求矩阵A＝的逆矩阵．
[解] 设A－1＝，根据可逆矩阵的定义，
则 ＝，
即＝，
根据矩阵相等得以及
解得a＝－5，b＝3，c＝2，d＝－1，
所以A－1＝.
[例2] 设矩阵A＝，X＝，B＝，试解方程AX＝B.
[解] 由于A＝，
而det(A)＝＝2×2－1×3＝1≠0，
系数矩阵A可逆，
此时方程组有唯一解，
而A－1＝＝，
所以X＝A－1B
＝ ＝＝.
即
求曲线在平面变换下的方程
掌握平面变换与对应矩阵之间的相互转化关系，理解矩阵乘法与复合变换之间的关系．
[例3] 二阶矩阵M1和M2对应的变换对正方形区域的作用结果如下图．
(1)分别写出一个满足条件的矩阵M1和M2；
(2)根据(1)的结果，令M＝M2M1，求直线x－y－1＝0在矩阵M对应的变换作用下的曲线方程．
[解] (1)观察图形可知，M1对应的变换为横坐标不变，纵坐标缩短为原来的的伸缩变换，M2对应的变换为逆时针方向旋转的旋转变换，
故M1＝，M2＝.
(2)M＝ ＝，
设直线x－y－1＝0上任意一点P(x0，y0)在矩阵M对应的变换作用下的对应点P′(x，y)，
则 ＝＝，
∴
因x0－y0－1＝0，∴y＋2x－1＝0.
故所求曲线方程为2x＋y－1＝0.
[例4] 设矩阵M＝(其中a＞0，b＞0)．
(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；
(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a，b的值．
解：(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝，
则MM－1＝.
又M＝，所以 ＝，
所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，
即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，
故所求的逆矩阵M－1＝.
(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，
则 ＝，即
又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以＋y′2＝1，
则＋b2y2＝1为曲线C的方程．
又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故
又a＞0，b＞0，所以
特征值与特征向量
理解特征值、特征向量的概念，会求一个二阶矩阵的特征多项式，特征值及每个特征值对应的一个特征向量；能够计算多次变换的结果；应用二阶矩阵的特征值、特征向量求解实际问题．
[例5] (江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．
解：∵A－1A＝E，∴A＝(A－1)－1.
∵A－1＝，∴A＝(A－1)－1＝.
∴矩阵A的特征多项式为
f(λ)＝＝λ2－3λ－4.
令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.
[例6] 给定矩阵M＝，向量α＝.
(1)求M的特征值及对应的特征向量e1，e2；
(2)确定实数m，n使向量α可表示为α＝me1＋ne2；
(3)利用(2)中表达式间接计算M2008α.
[解] (1)特征多项式
f(λ)＝＝(λ－1)2－4，
令f(λ)＝0，得λ1＝3，λ2＝－1.
M的特征值λ1＝3对应的特征向量e1＝，
特征值λ2＝－1对应的特征向量e2＝，
(2)因为α＝me1＋ne2，
所以＝m＋n，即
m＝4，n＝－3，
(3)M2008α＝M2008(4e1－3e2)
＝4(M2008e1)－3(M2008e2)＝4(λe1)－3(λe2)
＝4×32008－3×(－1)2008＝.
