2017-2018学年高中数学全一册教学案（打包27套）苏教版选修2-2

1．1.1　平均变化率
假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)．
问题1：若旅游者从A点爬到B点，则自变量x和函数值y的改变量Δx，Δy分别是多少？
提示：Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0.
问题2：如何用Δx和Δy来刻画山路的陡峭程度？
提示：对于山坡AB，可用来近似刻画山路的陡峭程度．
问题3：试想＝的几何意义是什么？
提示：＝表示直线AB的斜率．
问题4：从A到B，从A到C，两者的相同吗？的值与山路的陡峭程度有什么关系？
提示：不相同.的值越大，山路越陡峭．
1．一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.
2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点：
(1)函数在[x1，x2]上有意义；
(2)在式子中，x2－x1>0，而f(x2)－f(x1)的值可正、可负、可为0.
(3)在平均变化率中，当x1取定值后，x2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x2取定值后，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．

求函数在某区间的平均变化率
[例1]　(1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率；
(2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率．
[思路点拨]　求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率．
[精解详析]　(1)函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为：
＝＝12.3.
(2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为＝
＝＝3.
[一点通]　求函数平均变化率的步骤为：
第一步：求自变量的改变量x2－x1；
第二步：求函数值的改变量f(x2)－f(x1)；
第三步：求平均变化率.
1．函数g(x)＝－3x在[2,4]上的平均变化率是________．
解析：函数g(x)＝－3x在[2,4]上的平均变化率为＝＝＝－3.
答案：－3
2.如图是函数y＝f(x)的图象，则：
(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.
(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝
所以，函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.
答案：：(1)　(2)
3．本例条件不变，分别计算f(x)与g(x)在区间[1,2]上的平均变化率，并比较变化率的大小．
解：(1)＝＝9.
(2)＝＝3.
f(x)比g(x)在[1,2]上的平均变化率大．
实际问题中的平均变化率
[例2]　物体的运动方程为S＝(位移单位：m；时间单位：s)，求物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度．
[思路点拨]　求物体在某段时间内的平均速度，就是求位移的改变量与时间的改变量的比值．
[精解详析]　物体在[1,1＋Δt]内的平均速度为
＝
＝＝
＝(m/s)．
即物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度为 m/s.
[一点通]　平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．
4．圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________．
解析：∵S＝πr2，∴圆的半径r从0.1变化到0.3时，
圆的面积S的平均变化率为
＝＝0.4π.
答案：0.4π
5．在F1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系S＝10t＋5t2，则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？
解：赛车在[20,20.1]上的平均速度为＝＝＝210.5(m/s)．
函数平均变化率的应用
[例3]　甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人的速度哪个大？
[思路点拨]　要比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过平均变化率的大小关系得出结论．
[精解详析]　在t0处s1(t0)＝s2(t0)，
但<，
所以在单位时间内乙的速度比甲的速度大，因此，在如图所示的整个运动状态中乙的速度比甲的速度大．
[一点通]　平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢．
6.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系是________．
解析：＝＝kOA，
＝＝kAB，
＝＝kBC，
由图象知：kOA所以>>.
答案：>>
7．A、B两机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中W1(t)、W2(t)分别表示A、B两机关的用电量与时间第t天的关系，则下列说法一定正确的是________．(填序号)
①两机关节能效果一样好；
②A机关比B机关节能效果好；
③A机关在[0，t0]上的用电平均变化率比B机关在[0，t0]上的用电平均变化率大；
④A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大．
解析：由图可知，在t＝0时，W1(0)>W2(0)，
当t＝t0时，W1(t0)＝W2(t0)，
所以<，
且>.
故只有②正确．
答案：②
1．求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题
(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差．
(2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点．
2．一次函数的平均变化率
一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率为＝＝k.由上述计算可知，一次函数y＝kx＋b，在区间[m，n]上的变化率与m，n的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数．
3．平均变化率的几何意义
(1)平均变化率表示点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．
(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．
[对应课时跟踪训练(一)]
一、填空题
1．函数f(x)＝x2－1在区间[1,1.1]上的平均变化率为________．
解析：＝＝＝2.1.
答案：2.1
2．函数f(x)＝2x＋4在区间[a，b]上的平均变化率为________．
解析：＝＝＝2.
答案：2
3．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值：
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
c(t)/
(mg/mL)
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63
服药后30～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________．
解析：＝＝－0.002.
答案：－0.002
4.如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则在0到t0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在t0到t1范围内甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”、“大于”或“小于”)．
解析：由图可知，在[0，t0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在[t0，t1]上，甲的平均速度大于乙的平均速度．
答案：等于　大于
5．函数y＝x3＋2在区间[1，a]上的平均变化率为21，则a＝________.
解析：＝＝a2＋a＋1＝21.
解之得a＝4或a＝－5.
又∵a>1，∴a＝4.
答案：4
二、解答题
6．已知函数f(x)＝2x2＋1.求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率．
解：函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率为＝8.02.
7．求函数y＝sin x在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小．
解：在0到之间的平均变化率为＝；
在到之间的平均变化率为＝.
∵2－<1，∴>，
∴函数y＝sin x在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，故在0到之间的平均变化率较大．
8．已知气球的表面积S(单位：cm2)与半径r(单位：cm)之间的函数关系是S(r)＝4πr2.求：
(1)气球表面积S由10 cm2膨胀到20 cm2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；
(2)气球表面积S由30 cm2膨胀到40 cm2时的平均膨胀率．
解：根据函数的增量来证明．
由S(r)＝4πr2，r>0，把r表示成表面积S的函数：
r(S)＝.
(1)当S由10 cm2膨胀到20 cm2时，气球表面积的增量ΔS＝20－10＝10(cm2)，气球半径的增量Δr＝r(20)－r(10)＝(－)≈0.37(cm)．
所以气球的平均膨胀率为≈＝0.037.
(2)当S由30 cm2膨胀到40 cm2时，气球表面积的增量ΔS＝(－)≈0.239(cm2)．所以气球的平均膨胀率为≈＝0.023 9.
1．1.2　瞬时变化率——导数
曲线上一点处的切线
如图Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)，P的坐标为(x0，y0)．
问题1：当点Pn→点P时，试想割线PPn如何变化？
提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置．
问题2：割线PPn斜率是什么？
提示：割线PPn的斜率是kn＝.
问题3：割线PPn的斜率与过点P的切线PT的斜率k有什么关系呢？
提示：当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．
问题4：能否求得过点P的切线PT的斜率？
提示：能．
1．割线
设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．
2．切线
随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线.
瞬时速度与瞬时加速度
一质点的运动方程为S＝8－3t2，其中S表示位移，t表示时间．
问题1：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度是多少？
提示：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝－6－3Δt.
问题2：Δt的变化对所求平均速度有何影响？
提示：Δt越小，平均速度越接近常数－6.
1．平均速度
运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．
2．瞬时速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
3．瞬时加速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
导　数
1．导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
2．导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
3．导函数
(1)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)，在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称f(x)的导数．
(2)f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程．
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．

求曲线上某一点处的切线
[例1]　已知曲线y＝x＋上的一点A，用切线斜率定义求：
(1)点A处的切线的斜率；
(2)点A处的切线方程．
[思路点拨]　先计算，再求其在Δx趋近于0时无限逼近的值．
[精解详析]　(1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋－＝＋Δx，
∴＝＋＝＋1.
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于，
即点A处的切线的斜率是.
(2)切线方程为y－＝(x－2)，
即3x－4y＋4＝0.
[一点通]　根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数．
1．曲线y＝－x2－2在点P处的切线的斜率为________．
解析：设P，Q，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝－Δx－1.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－1，所以曲线y＝－x2－2在点P处的切线的斜率为－1.
答案：－1
2．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则P点坐标为________．
解析：设P点坐标为(x0，y0)，则＝＝4x0＋4＋2Δx.
当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，
因此4x0＋4＝16，即x0＝3，
所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.
即P点坐标为(3,30)．
答案：(3,30)
3．已知曲线y＝3x2－x，求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．
解：设A(1,2)，B(1＋Δx,3(1＋Δx)2－(1＋Δx))，
则kAB＝＝5＋3Δx，
当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.
切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.
瞬时速度
[例2]　一质点按规律S(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
[思路点拨]　先求出质点在t＝2s时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解．
[精解详析]　因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝4a＋aΔt.
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4a.
所以t＝2 s时的瞬时速度为4a m/s.
故4a＝8，即a＝2.
[一点通]　要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt，求出相应的位移的改变量ΔS，再求出平均速度＝，最后计算当Δt无限趋近于0时，无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．
4．一做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S＝3t－t2，则此物体在t＝2时的瞬时速度为________．
解析：由于ΔS＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－(Δt)2＝－Δt－(Δt)2，
所以＝＝－1－Δt.
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数－1.
故物体在t＝2时的瞬时速度为－1.
答案：－1
5．如果一个物体的运动方程S(t)＝试求该物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度．
解：当t＝1时，S(t)＝t2＋2，
则＝＝＝2＋Δt，
当Δt无限趋近于0时，2＋Δt无限趋近于2，
所以v(1)＝2；
∵t＝4∈[3，＋∞)，
∴S(t)＝29＋3(t－3)2＝3t2－18t＋56，
∴＝
＝＝3·Δt＋6，
∴当Δt无限趋近于0时，3·Δt＋6→6，即→6，
所以v(4)＝6.
导数及其应用
[例3]　已知f(x)＝x2－3.
(1)求f(x)在x＝2处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]　根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键．
[精解详析]　(1)因为＝
＝
＝4＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，4＋Δx无限趋近于4，
所以f(x)在x＝2处的导数等于4.
(2)因为＝
＝
＝2a＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，2a＋Δx无限趋近于2a，
所以f(x)在x＝a处的导数等于2a.
[一点通]　由导数的定义知，求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)令Δx无限趋近于0，求得导数．
6．函数y＝x＋在x＝1处的导数是________．
解析：∵函数y＝f(x)＝x＋，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝1＋Δx＋－1－1＝，
∴＝，当Δx→0时，→0，
即y＝x＋在x＝1处的导数为0.
答案：0
7．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
解析：∵＝＝a，
∴f′(1)＝a，即a＝2.
答案：2
8．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．求函数y＝f(x)在x＝6处的导数f′(6)，并解释它的实际意义．
解：当x从6变到6＋Δx时，函数值从f(6)变到f(6＋Δx)，函数值y关于x的平均变化率为：

＝
＝＝5＋Δx.
当x→6时，即Δx→0，平均变化率趋近于5，
所以f′(6)＝5，导数f′(6)＝5表示当x＝6 h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h时温度的变化速度，每经过1 h时间，原油温度将升高5℃.
1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
2．f′(x0)与f′(x)的异同
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值
f′(x)
f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
[对应课时跟踪训练(二)]　
一、填空题
1．一质点运动的方程为S＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度为________．
解析：∵当Δt无限趋近于0时，－3Δt－6无限趋近于常数－6，∴该质点在t＝1时的瞬时速度为－6.
答案：－6
2．函数f(x)＝1－3x在x＝2处的导数为________．
解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－3Δx，＝－3，
则Δx趋于0时，＝－3.
故f(x)在x＝2处的导数为－3.
答案：－3
3．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
解析：由题意知f′(1)＝，f(1)＝＋2＝，
所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
答案：3
4．曲线f(x)＝x2－2在点处的切线的倾斜角为________．
解析：∵＝
＝＝Δx＋1.
∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.
∴切线的倾斜角为.
答案：
5．已知曲线y＝2ax2＋1过点P(，3)，则该曲线在P点处的切线方程为________．
解析：∵y＝2ax2＋1过点P(，3)，
∴3＝2a2＋1，即a2＝1.
又∵a≥0，∴a＝1，即y＝2x2＋1.
∴P(1,3)．
又＝＝＝4＋2Δx.
∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数4，
∴f′(1)＝4，即切线的斜率为4.
由点斜式可得切线方程为y－3＝4(x－1)，
即4x－y－1＝0.
答案：4x－y－1＝0
二、 解答题
6．已知质点运动方程是S(t)＝gt2＋2t－1(g是重力加速度，常量)，求质点在t＝4 s时的瞬时速度(其中s的单位是m，t的单位是s)．
解：＝
＝
＝
＝gΔt＋4g＋2.
∵当Δt→0时，→4g＋2，
∴S′(4)＝4g＋2，即v(4)＝4g＋2，
所以，质点在t＝4 s时的瞬时速度为(4g＋2) m/s.
7．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程．
解：∵
＝＝2＋3·Δx，
∴当Δx→0时，2＋3·Δx→2，∴f′(1)＝2，
所以直线的斜率为2，
所以直线方程为y－2＝2(x＋1)，
即2x－y＋4＝0.
8．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切．求a的值及切点的坐标．
解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
∵＝
＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3x－4x0.
∴当Δx→0时，→3x－4x0，
即f′(x0)＝3x－4x0，
由导数的几何意义，得3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2.
∴切点的坐标为或(2,3)，
当切点为时，
有＝4×＋a，∴a＝，
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，
当a＝时，切点为；
a＝－5时，切点为(2,3)．
1.2.1　常见函数的导数
几个常见函数的导数
已知函数
(1)f(x)＝c，(2)f(x)＝x，(3)f(x)＝x2，
(4)f(x)＝，(5)f(x)＝.
问题1：函数f(x)＝x的导数是什么？
提示：∵＝＝＝1，
∴当Δx→0时，→1，即x′＝1.
问题2：函数f(x)＝的导数是什么？
提示：∵＝＝
＝＝－，
∴当Δx→0时，→－，即′＝－.
1．(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；
2．C′＝0(C为常数)；
3．(x)′＝1；
4．(x2)′＝2x；
5．(x3)′＝3x2；
6.′＝－；
7．()′＝ .
基本初等函数的导数公式
1．(xα)′＝αxα－1(α为常数)；
2．(ax)′＝axln_a(a>0，且a≠1)；
3．(logax)′＝logae＝ (a>0，且a≠1)；
4．(ex)′＝ex；
5．(ln x)′＝；
6．(sin x)′＝cos_x；
7．(cos x)′＝－sin_x.
函数f(x)＝logax的导数公式为f′(x)＝(logax)′＝，当a＝e时，上述公式就变形为(ln x)′＝，即f(x)＝ln x是函数f(x)＝logax当a＝e时的特殊情况．类似地，还有f(x)＝ax与f(x)＝ex.

求函数的导数
[例1]　求下列函数的导数．
(1)y＝x8；
(2)y＝；
(3)y＝x；
(4)y＝log2x.
[思路点拨]　解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导．
[精解详析]　(1)y′＝(x8)′＝8x7；
(2)y′＝′＝(x－3)′＝－3·x－4＝－；
(3)y′＝(x)′＝(x)′＝·x＝；
(4)y′＝(log2x)′＝.
[一点通]　用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．
1．函数y＝sin的导数是________．
解析：y＝sin＝cos x，所以y′＝－sin x.
答案：－sin x
2．下列结论中不正确的是________．
①若y＝3，则y′＝0；
②′＝cos ；
③′＝；
④若y＝x，则y′＝1.
解析：①正确；②sin ＝，而()′＝0，不正确；对于③，′＝(－x－)′＝x－＝，正确；④正确．
答案：②
3．求下列函数的导函数．
(1)y＝10x；(2)y＝logx；
(3)y＝；(4)y＝2－1.
解：(1)y′＝(10x)′＝10xln 10；
(2)y′＝(logx)′＝＝－；
(3)∵y＝＝x，
∴y′＝(x)′＝x－＝；
(4)∵y＝(sin＋cos)2－1
＝sin2＋2sincos＋cos2－1＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
求函数在某一点处的导数
[例2]　求函数f(x)＝在x＝1处的导数．
[思路点拨]　先求导函数，再求导数值．
[精解详析]　∵f(x)＝＝x－，
∴f′(x)＝′＝x－，
∴f′(1)＝－.
[一点通]　求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．
4．若函数f(x)＝，则f′(1)＝________.
解析：∵f′(x)＝()′＝(x)′＝x－，
∴f′(1)＝.
答案：
5．若函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________.
解析：∵f′(x)＝(sin x)′＝cos x.
∴f′(6π)＝cos 6π＝1.
答案：1
6．已知f(x)＝ 且f′(1)＝－，求n.
解：f′(x)＝′＝(x－)′＝－x－－1＝－x－，
∴f′(1)＝－，
由f′(1)＝－得－＝－，得n＝2.
求切线方程
[例3]　已知曲线方程y＝x2，求：
(1)曲线在点A(1,1)处的切线方程；
(2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
[思路点拨]　(1)点A在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．
[精解详析]　(1)y′＝2x，当x＝1时，y′＝2，故过点A(1,1)的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(2)∵B(3,5)不在曲线y＝x2上，
∴可设过B(3,5)与曲线y＝x2相切的直线与曲线的切点为(x0，y0)．
∵y′＝2x，
∴当x＝x0时，y′＝2x0.
故切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．
又∵直线过B(3,5)点，
∴5－x＝2x0(3－x0)．
即x－6x0＋5＝0.
解得x0＝1或x0＝5.
故切线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
[一点通]　
(1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况：
①求曲线在点P处的切线方程，P为切点，在曲线上；
②求过点P与曲线相切的直线方程，P不一定为切点，不一定在曲线上．
(2)求曲线上某点(x0，y0)处的切线方程的步骤：
①求出f′(x0)，即切线斜率；
②写出切线的点斜式方程；
③化简切线方程．
(3)求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：
①设出切点坐标为(x0，y0)；
②写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；
③代入点P的坐标，求出方程．
7．已知直线y＝x＋a与曲线y＝ln x相切，则a的值为________．
解析：设切点为P(x0，y0)，∵y′＝，由题意得＝1，∴x0＝1，∴点P的坐标为(1,0)，把点P的坐标代入直线y＝x＋a，得a＝－1.
答案：－1
8．求曲线y＝2x2－1的斜率为4的切线的方程．
解：设切点为P(x0，y0)，y′＝4x，由题意知，当x＝x0时，y′＝4x0＝4，
所以x0＝1.
当x0＝1时， y0＝1，∴切点P的坐标为(1,1)．
故所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
1．对公式y＝xn的理解：
(1)y＝xn中，x为自变量，n为常数；
(2)它的导数等于指数n与自变量的(n－1)次幂的乘积．公式中n∈Q，对n∈R也成立．
2．在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：
(1)对于公式(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，一要注意函数的变化，二要注意符号的变化．
(2)对于公式(ln x)′＝和(ex)′＝ex很好记，但对于公式(logax)′＝logae和(ax)′＝axln a的记忆就较难，特别是两个常数logae与ln a很容易混淆．
[对应课时跟踪训练(三)]
一、填空题
1．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α的值是________．
解析：∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，
∴f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4.
∴α＝4.
答案：4
2．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为________．
解析：设P(x0，y0)，则f′(x0)＝－＝－4.
所以x0＝±，所以P或P.
答案：或
3．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，则适合方程f′(x)＋1＝g′(x)的x值为________．
解析：由导数公式可知f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.
所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0.
解之得x＝1或x＝－.
答案：1或－
4．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.
解析：∵f′(x)＝，∴f′(1)＝＝－1.
∴ln a＝－1，即a＝.
答案：
5．已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值等于________．
解析：∵y′＝(ln x)′＝，设切点坐标为(x0，y0)，
则切线方程为y－y0＝(x－x0)．
即y＝x＋ln x0－1.由ln x0－1＝0，知x0＝e.
∴k＝.
答案：
二、解答题
6．求下列函数的导数．
(1)y＝lg 2；
(2)y＝2x；
(3)y＝；
(4)y＝2cos2－1.
解：(1)y′＝(lg 2)′＝0；
(2)y′＝(2x)′＝2xln 2；
(3)y′＝(x)′＝x；
(4)∵y＝2cos2－1＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
7．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：∵y′＝(x2)′＝2x，
设切点为M(x0，y0)，则当x＝x0时，y′＝2x0.
又∵PQ的斜率为k＝＝1，
而切线平行于PQ，∴k＝2x0＝1，
即x0＝，所以切点为M，
∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
8．求曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．
解：由解得交点为(1,1)．
∵y′＝′＝－，
∴曲线y＝在(1,1)处的切线方程为
y－1＝－x＋1，即y＝－x＋2.
又y′＝(x2)′＝2x，
∴曲线y＝x2在(1,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
y＝－x＋2与y＝2x－1和x轴的交点分别为(2,0)，
.
∴所求面积S＝×1×＝.
1．2.2　函数的和、差、积、商的导数
已知f(x)＝x，g(x)＝.
问题1：f(x)、g(x)的导数分别是什么？
提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－.
问题2：若Q(x)＝x＋，则Q(x)的导数是什么？
提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋，
∴＝1－.
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于1－，
∴Q′(x)＝1－.
问题3：Q(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有什么关系？
提示：Q′(x)＝f′(x)＋g′(x)．
导数的运算法则
设两个函数分别为f(x)和g(x)，则
(1)[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)；
(2)[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)；
(3)[Cf(x)]′＝Cf(x)′(C为常数)；
(4)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(5)′＝(g(x)≠0)．
1．对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．
2．对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及(5)′＝这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．

求函数的导数
[例1]　求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝；
(4)y＝xtan x.
[思路点拨]　结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导．
[精解详析]　(1)y′＝(x2＋log3x)′
＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.
(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′
＝3x2·ex＋x3·ex＝(3x2＋x3)ex.
(3)y′＝′＝
＝
＝－.
(4)y′＝(x·tan x)′＝′
＝
＝
＝.
[一点通]　(1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．
(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．
1．若f(x)＝x3＋2x＋1，则f′(－1)＝________.
解析：f′(x)＝′＝′＋(2x)′＋1′＝x2＋2，
所以f′(－1)＝(－1)2＋2＝3.
答案：3
2．函数y＝x(x2＋1)的导数是________．
解析：y′＝[x(x2＋1)]′＝(x3＋x)′＝3x2＋1.
答案：3x2＋1
3．求下列函数的导数：
(1)y＝－2x；(2)y＝.
解：(1)y′＝′－(2x)′
＝－2xln 2
＝－2xln 2
＝－2xln 2.
(2)y′＝′＝′
＝′＝
＝.
导数运算法则的简单应用
　　[例2]　设f(x)＝a·ex＋bln x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．
[思路点拨]　首先求f′(x)，然后利用条件建立a，b的方程组求解．
[精解详析]　f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋，
由f′(1)＝e，f′(－1)＝，得
解得所以a，b的值分别为1,0.
[一点通]　利用导数值求解参数问题，是高考的热点问题．它比较全面地考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键．
4．设f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a＝________.
解析：∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，即a＝.
答案：
5．若函数f(x)＝在x＝c(c≠0)处的导数值与函数值互为相反数，求c的值．
解：∵f(x)＝，∴f(c)＝，
又f′(x)＝＝，∴f′(c)＝，
依题意知f(c)＋f′(c)＝0，∴＋＝0，
∴2c－1＝0得c＝.
导数运算法则的综合应用
　　[例3]　已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．
[思路点拨]　题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数a、b、c的值．
[精解详析]　∵曲线y＝ax2＋bx＋c过P(1,1)点，
∴a＋b＋c＝1.①
∵y′＝2ax＋b，当x＝2时，y′＝4a＋b.
∴4a＋b＝1.②
又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1.③
联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.
[一点通]　利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q(2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．
6．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
解析：易知抛物线y＝x2上的点P(4,8)，Q(－2,2)，
且y′＝x，则过点P的切线方程为y＝4x－8，过点Q的切线方程为y＝－2x－2，联立两个方程解得交点A(1，－4)，所以点A的纵坐标是－4.
答案：－4
7．已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．
解：由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
把f(x)，f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1中得：
x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.
要使方程对任意x恒成立，
则需有a＝b，b＝2c，c－1＝0，
解得a＝2，b＝2，c＝1，
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．
2．对复杂函数求导，一般要遵循先化简后求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性．
[对应课时跟踪训练(四)]　
一、填空题
1．(广东高考)曲线y＝－5ex＋3 在点(0，－2) 处的切线方程为________．
解析：由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
答案：5x＋y＋2＝0
2．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.
解析：f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1.
∵f′(x0)＝2，∴1＋ln x0＝2，
∴x0＝e.
答案：e
3．函数f(x)＝excos x，x∈[0,2π]，且f′(x0)＝0，则x0＝________.
解析：f′(x)＝excos x－exsin x，
由f′(x0)＝0，得ex0cos x0－ex0sin x0＝0，
∴cos x0＝sin x0，即tan x0＝1.
又∵x0∈[0,2π]，∴x0＝或.
答案：或
4．(江西高考)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.
解析：由题意y′＝αxα－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k＝α，又切线过坐标原点，所以α＝＝2.
答案：2
5．曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为________．
解析：∵y′＝，∴当x＝1时，y′＝－1.
∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
二、解答题
6．求下列函数的导数：
(1)y＝sin x＋3x2＋x；
(2)y＝(1＋cos x)(2x2＋ex)．
解：(1)y′＝(sin x＋3x2＋x)′＝(sin x)′＋(3x2)′＋x′＝cos x＋6x＋1.
(2)y′＝[(1＋cos x)(2x2＋ex)]′
＝(1＋cos x)′(2x2＋ex)＋(1＋cos x)(2x2＋ex)′
＝－sin x(2x2＋ex)＋(1＋cos x)(4x＋ex)
＝ex(1＋cos x－sin x)－2x2sin x＋4x(1＋cos x)．
7．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
解：(1)法一：由题设和基本不等式可知，
f(x)＝ax＋＋b≥2＋b，
其中等号成立当且仅当ax＝1，
即当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.
法二：f(x)的导数f′(x)＝a－＝，
当x>时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增；
当0所以当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.
(2)由题设知，f′(x)＝a－，f′(1)＝a－＝，
解得a＝2或a＝－(不合题意，舍去)．
将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，
解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.
8．已知函数f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直．求a的值和切线l的方程．
解：∵f(x)＝x3－2x2＋ax，
∴f′(x)＝x2－4x＋a.
由题意可知，方程f′(x)＝x2－4x＋a＝－1有两个相等的实根．
∴Δ＝16－4(a＋1)＝0，∴a＝3.
∴f′(x)＝x2－4x＋3＝－1.
化为x2－4x＋4＝0.
解得切点横坐标为x＝2，
∴f(2)＝×8－2×4＋2×3＝.
∴切线l的方程为y－＝(－1)(x－2)，
即3x＋3y－8＝0.
∴a＝3，切线l的方程为3x＋3y－8＝0.
1.2.3 简单复合函数的导数
[对应学生用书P11]
已知函数f(x)＝sin，g(x)＝(3x＋2)2.
问题1：这两个函数是复合函数吗？
提示：是复合函数．
问题2：试说明g(x)＝(3x＋2)2是如何复合的？
提示：函数g(x)＝(3x＋2)2是由 g(u)＝u2，u＝3x＋2复合而成的．
问题3：试求g(x)＝(3x＋2)2，g(u)＝u2，u＝3x＋2的导数．
提示：g′(x)＝[(3x＋2)2]′＝[9x2＋12x＋4]′＝18x＋12.g′(u)＝2u，u′＝3.
问题4：观察问题3中导数有何关系？
提示：g′(x)＝g′(u)·u′.
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.
1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量．
2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单．
3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．

复合函数的求导
[例1]　求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝e－0.05x＋1；
(3)y＝cos(ωx＋φ)(其中ω、φ为常数)；
(4)y＝log2(5－3x)．
[思路点拨]　先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解．
[精解详析]　(1)y＝＝(2x＋3)－是函数y＝u－，u＝2x＋3的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝(u－)′·(2x＋3)′
＝－u－·2＝－3u－＝－3(2x＋3)－.
(2)y＝e－0.05x＋1是函数y＝eu，u＝－0.05x＋1的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－0.05x＋1)′
＝－0.05eu＝－0.05e－0.05x＋1.
(3)y＝cos(ωx＋φ)是y＝cos u，u＝ωx＋φ的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(ωx＋φ)′
＝－sin u·ω＝－ωsin(ωx＋φ)．
(4)y＝log2(5－3x)是y＝log2u，u＝5－3x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝(log2u)′·(5－3x)′＝－3·
＝＝.
[一点通]　对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．
1．若函数f(x)＝ln，则f′(x)＝________.
解析：f(x)＝ln是f(u)＝ln u与u＝的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·′
＝·＝－.
答案：－
2．函数y＝sin3x＋sin x3的导数为________．
解析：y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2·cos x3.
答案：3sin2xcos x＋3x2·cos x3
3．求下列函数的导数：
(1)y＝e2x2＋3x；(2)y＝.
解：(1)y＝eu，u＝2x2＋3x，
所以y′x＝y′u·u′x＝eu·(2x2＋3x)′
＝eu·(4x＋3)＝(4x＋3)e2x2＋3x.
(2)∵y＝＝(1－3x)－4，
∴可设y＝u－4，u＝1－3x，
∵y′u＝－4u－5，u′x＝－3，
∴y′x＝y′u·u′x＝－4u－5×(－3)＝12(1－3x)－5.
求导法则的综合应用
[例2]　求下列函数的导数．
(1)y＝31－xsin(2x－1)；
(2)y＝.
[思路点拨]　根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解．
[精解详析]　(1)y′＝(31－x)′sin(2x－1)＋31－x·[sin(2x－1)]′
＝－31－xln 3·sin(2x－1)＋31－x·2cos(2x－1)
＝31－x[2cos(2x－1)－sin(2x－1)·ln 3]．
(2)y′＝
＝
＝
＝ .
[一点通]　(1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．
(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．
4．若函数f(x)＝xcos 2x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′cos 2x＋x(cos 2x)′
＝cos 2x－2xsin 2x.
答案：cos 2x－2xsin 2x
5．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝sin2(1－x)．
解：(1)y′＝
＝
＝ .
(2)∵y＝sin2(1－x)＝[1－cos(2－2x)]
＝－cos(2－2x)＝－cos(2x－2)．
∴y′＝sin(2x－2)．
复合函数导数的应用
　[例3]　已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值．
[思路点拨]　→→→→.
[精解详析]　∵f′(x)＝a(x2)′＋2··(2－x)′
＝2ax－，
∴f′(1)＝2a－2，又f(1)＝a＋2ln 1＝a，
∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－1)，
即2(a－1)x－y－a＋2＝0.
∵直线l与圆C：x2＋y2＝ 相切，
∴圆心(0,0)到直线l的距离为，
所以有＝，解得a＝.
∴a的值为.
[一点通]　有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．
6．函数y＝cos 2x在点处的切线方程是________．
解析：∵y′＝－2sin 2x，∴k＝－2sin＝－2.
∴切线方程为y－0＝－2，
即2x＋y－＝0.
答案：2x＋y－＝0
7．求y＝ln(2x＋3)的导数，并求在点处切线的倾斜角．
解：令y＝ln u，u＝2x＋3，则y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(2x＋3)′＝·2＝.
当x＝－时，y′＝＝1，
即在处切线的倾斜角的正切值为1，
所以倾斜角为.
8．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S(t)．
(1)求切线l的方程；
(2)求S(t)的解析式．
解：∵y＝e－x，
∴y′＝(e－x)′＝－e－x，
∴y′|x＝t＝－e－t.
故切线方程为y－e－t＝－e－t(x－t)，
即x＋ety－(t＋1)＝0.
(2)令y＝0得x＝t＋1.
令x＝0得y＝e－t(t＋1)．
∴S(t)＝(t＋1)·e－t(t＋1)
＝(t＋1)2e－t(t≥0)．
求复合函数导数的技巧及注意点
(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．
(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异．
(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．
[对应课时跟踪训练(五)]　
一、填空题
1．设函数f(x)＝sin(4x－2)，则f′(x)＝________.
解析：∵f(x)＝sin(4x－2)，
∴f′(x)＝[sin(4x－2)]′＝4cos(4x－2)．
答案：4cos(4x－2)
2．(全国大纲卷改编)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．
解析：y′＝ex－1＋xex－1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y′|x＝1＝2.
答案：2
3．设曲线y＝f(x)＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析：∵切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，
∴切线的斜率k＝2.
又∵f′(x)＝(eax)′＝aeax，
∴k＝f′(0)＝a＝2.
答案：2
4．函数y＝xsincos的导数为________．
解析：∵y＝xsincos＝sin(4x＋π)＝－sin 4x，
∴y′＝′sin 4x＋·(sin 4x)′
＝－sin 4x－2xcos 4x.
答案：－sin 4x－2xcos 4x
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
解析：设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，
且y0＝ln(x0＋a)，所以x0＋1＝ln(x0＋a)①
对y＝ln(x＋a)求导得y′＝，
则＝1，x0＋a＝1，②
由①②可得x0＝－1，所以a＝2.
答案：2
二、解答题
6．求下列函数的导数．
(1)y＝5log2(2x＋1)；
(2)y＝cos(π－7x)；
(3)y＝(2x－1)5.
解：(1)设y＝log2u，u＝2x＋1.
则y′＝y′u·u′x＝×2＝＝.
(2)设y＝cos u，u＝π－7x.
则y′＝y′u·u′x＝－sin u×(－7)＝7sin.
(3)设y＝u5，u＝2x－1，
则y′＝y′u·u′x＝5u4×2＝10u4＝10(2x－1)4.
7．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
解：f′(x)＝－1＋2x.
由于f(1)＝ln 2，f′(1)＝，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－ln 2＝(x－1)，
即3x－2y＋2ln 2－3＝0.
8．已知A(1，f′(x))是函数y＝f(x)的导函数图象上的一点，点B的坐标为(x，ln(2－x))，向量a＝(1,1)，设f(x)＝AB―→·a，试求函数y＝f(x)的表达式．
解：∵AB―→＝(x，ln(2－x))－(1，f′(1))
＝(x－1，ln(2－x)－f′(1))，
a＝(1,1)，
∴f(x)＝AB―→·a＝x－1＋ln(2－x)－f′(1)
＝ln(2－x)＋x－f′(1)－1
∴f′(x)＝·(2－x)′＋1＝＋1，
∴f′(1)＝0，
∴f(x)＝ln(2－x)＋x－1.
1.3.1　单 调 性
[对应学生用书P13]
已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝.
问题1：试作出上述三个函数的图象．
提示：图象为
问题2：试根据上述图象说明函数的单调性．
提示：函数y1＝x在R上为增函数，
y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，
y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．
问题3：判断它们导函数的正负．
提示：y1′＝1>0，y2′＝2x，当x>0时，y2′>0，当x<0时，y2′<0，y3′＝－<0.
问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．
提示：当f′(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数．
一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
f(x)为该区间上的增函数
f′(x)<0
f(x)为该区间上的减函数
上述结论可以用下图来直观理解．
1．根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈现上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈现下降的状态，即函数单调递减．
2．在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x) 在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是充要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.

判断(或证明)函数的单调性
[例1]　讨论下列函数的单调性．
(1)y＝ax5－1(a>0)；
(2)y＝ax－a－x(a>0且a≠1)．
[思路点拨]　先求出函数的导数，然后通过导数的符号来讨论函数的单调性．
[精解详析]　(1)∵y′＝5ax4且a>0，
∴y′≥0在R上恒成立，
∴y＝ax5－1在R上为增函数．
(2)y′＝axln a－a－xln a(－x)′＝(ax＋a－x)ln a，
当a>1时，ln a>0，ax＋a－x>0，
∴y′>0在R上恒成立，
∴y＝ax－a－x在R上为增函数．
当00，
∴y′<0在R上恒成立，
∴y＝ax－a－x在R上为减函数．
[一点通]　判定函数单调性的方法有两种：
(1)利用函数的单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1(2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)，②确定f′(x)在(a，b)内的符号，③得出结论．
1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的有________．
①y＝2－3x2；②y＝ln x；③y＝；④y＝sin x.
解析：显然，函数y＝2－3x2在区间(－1,1)上是不单调的；
函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，不满足题目要求；
对于函数y＝，其导数y′＝<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y＝在区间(－1,1)上是减函数；
函数y＝sin x在上是增函数，所以函数y＝sin x在区间(－1,1)上也是增函数．
答案：③
2．证明：函数y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．
证明：显然函数的定义域为{x|x>0}，
又f′(x)＝(ln x＋x)′＝＋1，
当x>0时，f′(x)>1>0，
故y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．
3．判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．
解：因为y′＝3ax2，又x2≥0.
(1)当a>0时，y′≥0，函数在R上是增函数；
(2)当a<0时，y′≤0，函数在R上是减函数；
(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．
求函数的单调区间
[例2]　求下列函数的单调区间：
(1)y＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝3x2－2ln x.
[思路点拨]　先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，并与定义域求交集从而得到相应的单调区间．
[精解详析]　(1)y′＝3x2－4x＋1.
令3x2－4x＋1>0，解得x>1或x<，
因此，y＝x3－2x2＋x的单调递增区间为(1，＋∞)，.
再令3x2－4x＋1<0，解得因此，y＝x3－2x2＋x的单调递减区间为.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)>0，即2·>0，
解得－.
又∵x>0，∴x>.
令f′(x)<0，即2·<0，
解得x<－或0又∵x>0，∴0∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
[一点通]　(1)利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是函数的单调区间．
(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、“和”等连接，而不能写成并集的形式．如本例(1)中的单调增区间不能写成∪(1，＋∞)．
(3)要特别注意函数的定义域．
4．若函数f(x)＝x2－2x－4ln x，则函数f(x)的单调递增区间为________．
解析：由已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－2－＝，
由f′(x)>0得x2－x－2>0，解得x<－1或x>2，
又x>0，所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
5．函数f(x)＝xln x的单调递增区间为________．
解析：∵f(x)＝xln x(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1，
令f′(x)>0，则ln x＋1>0，即ln x>－1.
∴x>，
即函数f(x)＝xln x的单调递增区间为.
答案：
6．已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)由f(x)＝，
得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，
所以f′(1)＝0，因此k＝1.
(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.
又ex>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，
单调递减区间为(1，＋∞)．
已知函数的单调性求参数
[例3]　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围．
[思路点拨]　解答本题可先对函数求导，再将问题转化为f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立问题求解．
[精解详析]　f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立．
∵x2>0，∴2x3－a≥0，
∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是增函数，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))恒成立．
∴a的取值范围是a≤16.
[一点通]　(1)已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法：
①利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
②利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上单调，则f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
(2)两个非常重要的转化：
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
7．函数f(x)＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为(0,3)，则m＝________.
解析：∵f(x)＝x3－mx2＋m－2，
∴f′(x)＝3x2－2mx.
令f′(x)＝0，则x＝0或x＝m，
又∵函数f(x)的单调递减区间为(0,3)，
∴m＝3，即m＝.
答案：
8．若f(x)＝－(x－2)2＋bln x在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
解析：由题意可知f′(x)＝－(x－2)＋≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x(x∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b≤－1即可．
答案：(－∞，－1]
9．已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0,1]．若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围．
解：由已知得f′(x)＝2a＋，
∵f(x)在(0,1]上单调递增，
∴f′(x)≥0，即a≥－在x∈(0,1]上恒成立．
而g(x)＝－在(0,1]上单调递增，
∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1.
当a＝－1时，f′(x)＝－2＋.
对x∈(0,1]也有f′(x)≥0.
∴a＝－1时，f(x)在(0,1]上为增函数．
∴综上，f(x)在(0,1]上为增函数，
a的取值范围是[－1，＋∞)．
1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
2．一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间．
3．如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．
[对应课时跟踪训练(六)]　
一、填空题
1．函数y＝x3－x2－40x＋80的增区间为________，减区间为________．
解析：y′＝3x2－2x－40＝(3x＋10)(x－4)，
由y′>0，得x>4或x<－；由y′<0，得－所以函数的单调增区间为和(4，＋∞)，单调减区间为.
答案：和　
2．函数f(x)＝的单调递减区间是________．
解析：令f′(x)＝<0，解得0又因为函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，
所以函数f(x)＝的单调递减区间是(0,1)，(1，e)．
答案：(0,1)，(1，e)
3．函数y＝x2－ln x的单调减区间为________．
解析：y′＝x－，由y′<0，得x<－1或0又∵x>0，∴0即函数的单调减区间为(0,1)．
答案：(0,1)
4.(浙江高考改编)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是________．
解析：由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．
答案：②
5．已知函数f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)．则不等式x2f－f(x)<0的解集为________．
解析：令φ(x)＝，则φ′(x)＝<0.
∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又x2f即<，∴φ<φ(x)．
故>x.又∵x>0，∴0答案：(0,1)
二、解答题
6．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x4－2x2＋3；
(2)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0解：(1)函数f(x) 的定义域为R.
f′(x)＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)．
令f′(x)>0，则4x(x＋1)(x－1)>0，
解得－11，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
令f′(x)<0，则4x(x＋1)(x－1)<0.
得x<－1或0所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)．
(2)f′(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x)＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)．
∵00，
由f′(x)>0得0由f′(x)<0得7．设函数f(x)＝ax－2－ln x(a∈R)．
(1)若f(x)在点(e，f(e))处的切线为x－ey－2e＝0，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)∵f(x)＝ax－2－ln x(x＞0)，
∴f′(x)＝a－＝.
又f(x)在点(e，f(e))处的切线为x－ey－2e＝0，
∴f′(e)＝a－＝，
故a＝.
(2)由(1)知：f′(x)＝a－＝(x＞0)，
当a≤0时，f′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上是单调减函数．
当a＞0时，令f′(x)＝0解得：x＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
0



f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
?
由表可知：f(x)在上是单调减函数，在上是单调增函数．
综上所述：当a≤0时，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)；
当a＞0时，f(x)的单调减区间为，单调增区间为.
8．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x在区间(1,4)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，试求实数a的取值范围．
解：f′(x)＝x2－ax＋(a－1)，因为f(x)在(1,4)上单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1.因为2因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1.
因为x＋1>7，所以a≤7.
综上可知，实数a的取值范围是5≤a≤7.
1．3.2　极大值与极小值
[对应学生用书P16]
极　值
已知y＝f(x)的图象(如图)．
问题1：当x＝a时，函数值f(a)有何特点？
提示：在x＝a的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值．
问题2：当x＝b时，函数值f(b)有何特点？
提示：在x＝b的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是y＝f(x)的最大值．
1．观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．
2．类似地，上图中f(x2)为函数的一个极小值．
3．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．
极值与导数的关系
观察图(Ⅰ)．
问题1：试分析在函数取得极大值的x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？
提示：左侧导数大于0，右侧导数小于0.
问题2：试分析在函数取得极小值的x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？
提示：左侧导数小于0，右侧导数大于0.
1．极大值与导数之间的关系如下表：
x
x1左侧
x1
x1右侧
f′(x)
f′(x)>0
f′(x)＝0
f′(x)<0
f(x)
增?
极大值f(x1)
?减
2．极小值与导数之间的关系如下表：
x
x2左侧
x2
x2右侧
f′(x)
f′(x)<0
f′(x)＝0
f′(x)>0
f(x)
?减
极小值f(x2)
增?
1．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最大或最小．
2．函数的极值并不惟一(如图所示)．
3．极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示，f(x1)是极大值，f(x4)是极小值，而f(x4)>f(x1)．

求函数的极值
[例1]　求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
(2)f(x)＝.
[思路点拨]　按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域．
[精解详析]　(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值10
?
极小值－22
?
因此，函数f(x)的极大值为f(－1)＝10；
极小值为f(3)＝－22.
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值
?
因此函数f(x)的极大值为f(e)＝，没有极小值．
[一点通]　(1)求可导函数极值的步骤：
①求导数f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)的值在方程f′(x)＝0的根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
(2)注意事项：
①不要忽视函数的定义域；
②要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值．
解析：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；
在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.
即f(x)在(a，x1)内单调递增，
在(x1，x2)内单调递减，
在(x2，x3)内单调递增，
在(x3，b)内单调递减．
所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值，
极小值为f(x2)．
答案：1
2．关于函数f(x)＝x3－3x2有下列命题，其中正确命题的序号是________．
①f(x)是增函数；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2.
易知当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)；极大值为f(0)，极小值为f(2)．
答案：③④
3．设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解：(1)因f(x)＝aln x＋＋x＋1，
故f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因x2＝－不在定义域内，舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.
已知函数极值求参数
[例2]　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0.求a，b的值．
[思路点拨]　解答本题可先求f′(x)，利用x＝－1时有极值0这一条件建立关于a，b的方程组．解方程组可得a，b的值，最后将a，b代入原函数验证极值情况．
[精解详析]　∵f(x)在x＝－1时有极值0且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
∴即
解得或
当a＝1，b＝3时，
f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数．
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
[一点通]　已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：
(1)常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则ab＝________.
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意可知：
即
得或
当a＝－3，b＝3时，
f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2，
易知在x＝1的左右两侧都有f′(x)＞0，
即函数f(x)在R上是单调递增的，
因此f(x)在x＝1处并不存在极值，
故ab＝－44.
答案：－44
5．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为________ .
解析：y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，
令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，
经判断知极大值为f(1)＝2＋m＝10，m＝8.
答案：8
6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值．
解：∵f′(x)＝3ax2＋2bx－3，
依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即
解得a＝1，b＝0，∴f(x)＝x3－3x，
∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1，
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(－1)＝2是极大值，f(1)＝－2是极小值．
极值的综合应用
[例3]　已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；
(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？
[精解详析]　(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，
得f′(x)＝－3x2＋3，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；
极大值为f(1)＝a＋2.
由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示．这里，极大值a＋2大于极小值a－2.
(2)结合图象，当极大值a＋2＝0或极小值a－2＝0时，曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根．
综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．
[一点通]　极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．
7．在例3中当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x) 与x轴仅有一个交点？
解：函数f(x)的大致图象如图所示：
当函数f(x)的极大值a＋2<0或极小值a－2>0时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，所以所求实数a的范围是a<－2或a>2.
8．已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．
(1)求a；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．
解：(1)因为f′(x)＝＋2x－10，
所以f′(3)＝＋6－10＝0，因此a＝16.
(2)由(1)知，
f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)．
f′(x)＝，当x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，
f′(x)>0，当x∈(1,3)时，f′(x)<0，
所以f(x)的单调增区间是(－1,1)和(3，＋∞)，f(x)的单调减区间是(1,3)．
(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0，
所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln 2－9，
极小值为f(3)＝32ln 2－21，
所以要使直线y＝b与y＝f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)因此b的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．
根据可导函数极值的定义、方法、步骤，要弄清以下几点：
(1)极大(小)值未必是最大(小)值，可以有多个数值不同的极大(小)值；
(2)极大(小)值是局部充分小的领域内的最大(小)值；
(3)极大(小)值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值；
(4)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．
[对应课时跟踪训练(七)]　
一、填空题
1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b)上的图象如图所示，则函数y＝f(x)在(a，b)上极大值点的个数为________．
解析：极大值点在导函数f′(x0)＝0处，且满足x0左侧为正，右侧为负，由图象知有3个．
答案：3
2．(新课标全国卷Ⅰ改编)函数f(x) 在x＝x0 处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则p是q的________条件．
解析：设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故p是q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
3．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0＝________.
解析：f′(x)＝2x＋x·2xln 2，
令f′(x)＝0，得x＝－.
答案：－
4．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R取极值的点大于0，则a的取值范围是________．
解析：令x＝f(x)，则f′(x)＝aeax＋3，
函数f(x)取极值的点大于0，
即f′(x)＝aeax＋3＝0有正根．
当f′(x)＝aeax＋3＝0成立时，显然有a＜0，
此时x＝ln，
由x＞0可得a＜－3.
答案：(－∞，－3)
5．(福建高考改编)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是________．
①?x∈R，f(x)≤f(x0)；
②－x0是f(－x)的极小值点；
③－x0是－f(x)的极小值点；
④－x0是－f(－x)的极小值点．
解析：不妨取函数f(x)＝x3－x，则x＝－为f(x)的极大值点，但f(3)>f，∴排除①；取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点，∴排除②；
－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除③，
∵－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得－x0应为函数－f(－x)的极小值点，∴填④.
答案：④
二、解答题
6．已知函数f(x)＝x3－4x＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．
解：(1)f′(x)＝x2－4.
解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?

?
－
?
从上表看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为f(－2)＝；
而当x＝2时，函数有极小值，且极小值为f(2)＝－.
函数f(x)＝x3－4x＋4的图象如图所示．
7．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解：(1)∵f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，由f′(x)>0解得x<－，或x>，
由f′(x)<0解得－∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.
∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1，
由(1)中f(x)的单调性可知，
f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3,1)．
8．(重庆高考)已知函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.
(1)确定a，b的值；
(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；
(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－c，
由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，
即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以a＝b.
又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.
(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥2－3＝1>0，
故f(x)在R上为增函数．
(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，
而2e2x＋2e－2x≥2＝4，
当x＝0时等号成立．
下面分三种情况进行讨论．
当c<4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f(x)无极值；
当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时f(x)无极值；
当c>4时，令e2x＝t，注意到方程2t＋－c＝0有两根t1,2＝>0，
即f′(x)＝0有两个根x1＝ln t1或x2＝ln t2.
当x1x2时，f′(x)>0，从而f(x)在x＝x2处取得极小值．
综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，＋∞)．
1．3.3　最大值与最小值
[对应学生用书P19]
1．问题：如何确定你班哪位同学最高？
提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．
2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
问题1：试说明y＝f(x)的极值．
提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？
提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．
3．函数y＝g(x)，y＝h(x)在闭区间[a，b]的图象都是一条连续不断的曲线(如下图所示)．
问题1：两函数的最大值和最小值分别是什么？
提示：函数y＝g(x)的最大值为g(a)，最小值是其极小值g(c)；函数y＝h(x)的最大值为h(b)，最大值为h(a)．
问题2：函数的最大值和最小值是否都在区间的端点处取得？
提示：不一定．
问题3：函数的极值与函数的最值是同一个问题吗？
提示：不是．
1．最大值与最小值
(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值．
最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值惟一．
(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值．最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值惟一．
2．求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将第(1)步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
1．函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
2．函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．
3．极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．

求函数的最大值与最小值
[例1]　求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]上的最值．
[思路点拨]　→→→→→
[精解详析]　f′(x)＝－4x3＋4x，
令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，
得x＝－1，x＝0，x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
0
－
f(x)
－60
?
极大值4
?
极小值3
?
极大值4
?
－5
所以当x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
[一点通]　求函数的最值需要注意的问题：
(1)用导数求函数的最值与求函数的极值方法类似，在给定区间是闭区间时，极值要和区间端点的函数值进行比较，并且要注意取极值的点是否在区间内；
(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求解时，可考虑用导数的方法求解．
1．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m.则M－m＝________.
解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.
计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.
答案：32
2．求函数f(x)＝ex(3－x2)在区间[2,5]上的最值．
解：∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)
＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)，
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
即函数f(x)在区间[2,5]上是单调递减函数，
∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
已知函数的最值求参数
[例2]　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
[思路点拨]　根据导数与单调性之间的关系求解，由于f(x)既有最大值，又有最小值，因此a≠0，要注意对参数的取值情况进行讨论．
[精解详析]　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．
取导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍)．
(1)∵当a＞0时，如下表：
x
(－1,0)
0
(0,2)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
最大值
?
∴当x＝0时，f(x)取得最大值，f(0)＝3，∴b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3＞f(2)＝－16a＋3，
∴最小值f(2)＝－16a＋3＝－29，a＝2.
(2)∵当a＜0时，如下表：
x
(－1,0)
0
(0,2)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
最小值
?
∴当x＝0时，f(x)取得最小值，
∴b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29＜f(2)＝－16a－29，
∴最大值f(2)＝－16a－29＝3，a＝－2.
综上，或
[一点通]　解决由函数的最值来确定参数问题的关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，其最值也受a的符号的影响，因此，需要进行分类讨论．本题是运用最值的定义，从逆向出发，由已知向未知转化，通过待定系数法，列出相应的方程，从而得出参数的值．
3．已知函数f(x)＝x2－aln x，a∈R.
(1)若a＝2，求函数在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[1，e]上的最小值．
解：(1)a＝2时，f(x)＝x2－2ln x，
f(1)＝，f′(x)＝x－，f′(1)＝－1，
故切线方程为y－＝－(x－1)，即2x＋2y－3＝0.
(2)依题意，x＞0，f′(x)＝x－＝(x2－a)，
①a≤1时，因为x∈[1，e]，1≤x2≤e2，所以f′(x)≥0(当且仅当x＝a＝1时等号成立)，所以f(x)在区间[1，e]上单调递增，最小值为f(1)＝.
②a≥e2时，因为1≤x2≤e2，所以f′(x)≤0(当且仅当x＝e，a＝e2时等号成立)，所以f(x)在区间[1，e]上单调递减，最小值为f(e)＝e2－a.
③1＜a＜e2时，解f′(x)＝(x2－a)＝0得x＝±(负值舍去)，f′(x)的符号和f(x)的单调性如下表：
x



f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
最小值
?
f(x)在区间[1，e]上的最小值为f＝a－aln a.
综上所述，a≤1时，f(x)的最小值为f(1)＝；
1＜a＜e2时，f(x)的最小值为f＝a－aln a；
a≥e2时，f(x)的最小值为f(e)＝e2－a.
4．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，
即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，
解得a＝3，b＝3.
(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，
h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.
h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1,2)
2
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
?
28
?
－4
?
3
由此可知：
当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；
当－3因此，k的取值范围是(－∞，－3]．
与最值有关的恒成立问题
[例3]　设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m，对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
[思路点拨]　(1)可通过配方求函数f(x)的最小值；
(2)h(t)<－2t＋m，即m>h(t)＋2t恒成立，从而可转化为求h(t)＋2t的最大值问题解决．
[精解详析]　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取得最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)＋2t＝－t3＋3t－1.
则g′(t)＝－3t2＋3＝－3(t－1)(t＋1)．
令g′(t)＝0，得t1＝1，t2＝－1(舍去)．
列表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
?
极大值1
?
由表可知，g(t)在(0,2)内有最大值1.
∵h(t)<－2t＋m在(0,2)恒成立等价于m>g(t)在(0,2)内恒成立．
∴m>1.即实数m的取值范围是(1，＋∞)．
[一点通]　有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数．
一般地，λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.
5．已知g(x)＝ln x－a，若g(x)解：g(x)ln x－x2，
故g(x)ln x－x2在(0，e]上恒成立．
设h(x)＝ln x－x2，则h′(x)＝－2x＝，
由h′(x)＝0及0当00，当即h(x)在上为增函数，在上为减函数，
所以当x＝时h(x)取得最大值为h＝ln－.
所以g(x)a的取值范围为.
6．设函数f(x)＝ex－ax－2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增．
(2)由于a＝1，
所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.
故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于
k<＋x(x>0)．①
令g(x)＝＋x，则
g′(x)＝＋1＝.
由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在惟一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)上存在惟一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．
当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．
又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．
由于①式等价于k1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．
例如：函数f(x)＝在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值．
2．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下
(1)求f(x)在(a，b) 内的极值．
(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值与最小值．
3．求实际问题的最大值(最小值)的方法
在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．
[对应课时跟踪训练(八)]　
一、填空题
1．函数f(x)＝x－sin x，x∈的最大值是________．
解析：∵f(x)＝x－sin x，∴f′(x)＝1－cos x≥0.
∴函数f(x)＝x－sin x在上为单调增函数，
∴当x＝π时，f(x)取最大值π.
答案：π
2. 函数y＝的最大值为________．
解析：y′＝＝，
令y′＝0，则x＝e.
因此函数f(x)的最大值为f(e)＝.
答案：
3．函数f(x)＝x·e－x，x∈[0,4]的最小值为________．
解析：f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，
令f′(x)＝0，得x＝1.
而f(0)＝0，f(1)＝，f(4)＝.
因此函数f(x)的最小值为0.
答案：0
4．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a＝________.
解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1.
而f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠，∴a>－1.
而f(2)＝－4－4＋3＝－5，
因此f(a)＝－a2－2a＋3＝，
解得a＝－(舍去)或a＝－.
答案：－
5．函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)在[1,4])上的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝________.
解析：f′(x)＝4ax3－12ax2(a>0，x∈[1,4])．
由f′(x)＝0，得x＝0(舍)，或x＝3，可得x＝3时，f(x)取到最小值为b－27a.
又f(1)＝b－3a，f(4)＝b，
因此f(4)为最大值．
由解得
所以a＋b＝.
答案：
二、解答题
6．已知函数f(x)＝aln x＋1(a＞0)．
(1)若a＝2，求函数f(x)在(e，f(e))处的切线方程；
(2)当x＞0时，求证：f(x)－1≥a.
解：(1)当a＝2时，f(x)＝2ln x＋1，
f′(x)＝，f(e)＝3，k＝f′(e)＝，
所以函数f(x)在(e，f(e))处的切线方程为
y－3＝(x－e)，
即2x－ey＋e＝0.
(2)令g(x)＝f(x)－1－a
＝aln x－a(x＞0)，
则g′(x)＝－＝，由g′(x)＝0，得x＝1.
当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)在(0,1)上单调递减；
当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
所以g(x)在x＝1处取得极小值，也是最小值．
因此g(x)≥g(1)＝0，即f(x)－1≥a.
7．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x2－2x－3)
＝－3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)<0，则－3(x＋1)(x－3)<0，
解得x<－1或x>3.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)结合(1)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.
又∵x∈[－2,2]，∴x＝－1.
当－2当－10.
∴x＝－1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在[－2,2]上的最小值，
即f(x)min＝f(－1)＝a－5.
又函数f(x)的区间端点值为
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝a＋22，
f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2.
∵a＋22>a＋2，∴f(x)max＝a＋22＝20，∴a＝－2.
此时f(x)min＝a－5＝－2－5＝－7.
8．已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x＞0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x＞0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
解：由题意知f(1)＝－3－c.
因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.
对f(x)求导，得f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×＋4bx3＝x3(4aln x＋a＋4b)．
由题意知f′(1)＝0，
得a＋4b＝0，解得a＝12.
因为f′(x)＝48x3ln x(x>0)，
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0当x>1时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．
所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，
并且此极小值也是最小值．
所以要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，
只需－3－c≥－2c2即可．
整理得2c2－c－3≥0，解得c≥或c≤－1.
所以c的取值范围为(－∞，－1]∪.
1.4 导数在实际生活中的应用

面积、体积最大问题
[例1]　用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
[思路点拨]　不妨设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h＝＝(4.5－3x)m.建立长方体的体积函数模型，再求最值．
[精解详析]　设长方体的宽为x m，
则长为2x m，
高为h＝＝(4.5－3x)m.
故长方体的体积为
V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m3.
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．
令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)，或x＝1，因此x＝1.
当00；
当1从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
故当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.
[一点通]　在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．
1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________cm.
解析：设该漏斗的高为x cm，则底面半径为 cm，其体积为V＝πx(202－x2)＝π(400x－x3)(0令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当00；
当所以当x＝时，V取得最大值．
答案：
2．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
解：设容器的高为x cm，容积为V(x) cm3，则
V(x)＝x(90－2x)(48－2x)
＝4x3－276x2＋4 320x(0故V′(x)＝12x2－552x＋4 320
＝12(x－10)(x－36)．
令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝36(舍去)．
当00，即V(x)为增函数；
当10因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19 600(cm3)．
因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.
成本最低(费用最省)问题
[例2]　如图，某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；
(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．
[思路点拨]　→→→→→
[精解详析]　(1)污水处理池长为x m，则宽为 m.
据题意
解得≤x≤16，
y＝×400＋×248＋16 000
＝800x＋＋16 000，
(2)由(1)知y′＝800－＝0，
解得x＝18，
当x∈(0,18)时，函数y为减函数；
当x∈(18，＋∞)时，函数y为增函数．
又∵≤x≤16，
∴当x＝16时，ymin＝45 000.
∴当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，
总造价y最低为45 000元．
[一点通]　(1)实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出函数取极值的点(注意根据实际意义舍去不合适的函数取极值的点)，若函数在该点附近满足左减右增，则此时惟一的极小值就是所求函数的最小值．
(2)在解题过程中很容易忽略关键词“无盖”，从而多求了一个底面积．实际问题中的用料最省问题一般都是要求几何体的表面积，但要注意实物的表面积往往会缺少一个底面或侧面等．
3．做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________分米时最省材料．
解析：设水箱底面边长为x分米，则高为分米，用料总面积S＝x2＋4··x＝x2＋，
S′＝2x－，令S′＝0得x＝8，
当0＜x＜8时，S′＜0，当x＞8时，S′＞0，
所以当x＝8时，S取得最小值，则高为4分米．
答案：4
4．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解：(1)设需新建n个桥墩，
则(n＋1)x＝m，即n＝－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，
f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；
当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数．
所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
利润最大问题
[例3]　某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系式为P＝24 200－x2，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x(元)．问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)
[思路点拨]　根据利润与生产量以及价格之间的关系，建立满足题意的函数关系式，然后利用导数求解．
[精解详析]　每月生产x吨时的利润为
f(x)＝x－(50 000＋200x)
＝－x3＋24 000x－50 000(x≥0)．
由f′(x)＝－x2＋24 000＝0，
解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．
因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，且0＜x＜200时，f′(x)＞0；x＞200时，f′(x)＜0；故x＝200就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．
所以每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．
[一点通]　利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．求解时要注意：①价格要大于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．
5．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．
解析：利润为S(x)＝(x－30)(200－x)
＝－x2＋230x－6 000(30≤x≤200)，
S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，
当30≤x<115时，S′(x)>0；
当115所以当x＝115时利润最大．
答案：115
6．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/kg时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/kg，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解：(1)因为x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值42
?
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/kg时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
1．解决实际生活问题的基本思路：
 
 
2．求实际问题中的最大(小)值，主要步骤如下：
(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点处的取值大小，最大者为最大值，最小者为最小值．
[对应课时跟踪训练(九)]　
一、填空题
1．已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)之间的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．
解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9(x＝－9舍)，且经讨论知x＝9是函数取极大值的点，所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件．
答案：9
2．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m，则当高为________m时，容器的容积最大．
解析：设高为x米，则V＝x(x＋0.5)，令V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，
解得x＝1.
答案：1
3.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为________．
解析：设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝kxh2＝kx(d2－x2)，00，f(x)单调递增；
当d所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x＝d.所以x＝d时，f(x)有最大值．
答案：d
4.如图，已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL，则它的底面半径等于________时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．
解析：设圆柱的高为h，表面积为S，容积为V，底面半径为r，则表面积S＝2πrh＋2πr2，而V＝250＝πr2h，得h＝，则S＝2πr·＋2πr2＝＋2πr2，S′＝－＋4πr，令S′＝0得r＝，因为S只有一个极值，所以当r＝时，S取得最小值，即此时所用的材料最省．
答案：
5.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A、B在抛物线上运动，C、D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
解析：设CD＝x，则点C坐标为.
点B坐标为
所以矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·＝－＋x(x∈(0,2))．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
所以x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，
x∈时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，
当x＝时，f(x)取最大值.
答案：
二、解答题
6．某品牌电视生产厂家有A，B两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A，B两种型号的电视机的投放金额分别为p，q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为p，ln q万元，已知A，B两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A，B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)
解：设B型号电视机的投放金额为x万元(1≤x≤9)，农民得到的补贴为y万元，则A型号的电视机的投放金额为(10－x)万元，由题意得
y＝(10－x)＋ln x＝ln x－ x＋1,1≤x≤9，
∴y′＝－.
令y′＝0得x＝4，
由y′>0得1≤x<4，由y′<0得4故y在[1,4)上单调递增，在(4,9]上单调递减，
∴当x＝4时，y取得最大值，且ymax＝ ln 4－×4＋1≈1.2，这时，10－x＝6.
故厂家对A，B两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．
7．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，
V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.
8．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100 km.
(1)当汽车以40 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少L?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为多少L?
解：(1)当x＝40 km/h时，
汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5 h，
要耗油×2.5＝17.5(L)．
∴当汽车以40 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 L.
(2)设当速度为x km/h时，汽车从甲地到乙地行驶了 h，耗油量为h(x)升，依题意得
h(x)＝·
＝x2＋－(0＜x≤120)，
则h′(x)＝－＝(0＜x≤120)．
令h′(x)＝0，得x＝80，
当x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是单调递减函数；
当x∈(80,120)时，h′(x)＞0，h(x)是单调递增函数．
∴当x＝80时，h(x)取到极小值，h(80)＝11.25.
∵h(x)在(0,120]上只有一个极值，
且h(120)＝>h(80)．
∴当x＝80时函数取得最小值．
∴当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L.
1．5.1 & 1.5.2　曲边梯形的面积　定积分
[对应学生用书P24]
曲边梯形的面积
如图，阴影部分是由直线x＝1，x＝2，y＝0和函数f(x)＝x2所围成的图形，
问题1：利用你已学知识能求出阴影部分的面积吗？
提示：不能．
问题2：若把区间[1,2]分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，你能近似地求出这些小曲边梯形的面积吗？
提示：可以．把每一个小曲边梯形看作一个小矩形求解．
问题3：我们知道，拆分后的所有小曲边梯形的面积和是该阴影部分的面积，如何才能更精确地求出阴影部分的面积呢？
提示：分割的曲边梯形数目越多，所求面积越精确．
1．曲边梯形的面积
将已知区间[a，b]等分成n个小区间，当分点非常多(n很大)时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长．于是，可用f(xi)Δx来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xn)Δx表示了曲边梯形面积的近似值．
2．求曲边梯形的面积的步骤
求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为：
→→→
定积分
设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，将区间[a，b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，…，xi，…，xn，作和Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx.
如果当Δx→0(亦即n→＋∞)时，Sn→S(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分．记为S＝f(x)dx.
其中，f(x)称为被积函数，[a，b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限．
定积分的几何意义
问题1：试利用定积分的定义计算xdx的值．
提示：将区间[0,1]等分成n个小区间，则第i个小区间为，第i个小区间的面积为
ΔSi＝f·＝·，
所以Sn＝Si＝·＝(1＋2＋3＋…＋n)
＝·＝＋，
当n→＋∞时，Sn→，所以xdx＝.
问题2：直线x＝0，x＝1，y＝0和函数f(x)＝x围成的图形的面积是多少？
提示：如图，S＝×1×1＝.
问题3：以上两个问题的结果一样吗？
提示：一样．
问题4：以上问题说明了什么道理？
提示：定积分f(x)dx(f(x)≥0)的值等于直线x＝a，x＝b，(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的面积．
一般地，定积分 f(x)dx的几何意义是，在区间[a，b]上曲线与x轴所围图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积．)
1．“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”，例子中以“矩形”代替“曲边梯形”，分割越细，这种“代替”就越精确．当n越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积”．
2．定积分f(x)dx是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如x2dx＝t2dt.

利用定积分的定义求曲边梯形的面积
[例1]　求由直线x＝1，x＝2和y＝0及曲线y＝x3围成的图形的面积．
[思路点拨]　依据求曲边梯形面积的步骤求解．
[精解详析]　(1)分割
如图，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[1,2]等分成n个小区间：，，…，，…，，每个小区间的长度为Δx＝－＝，
过各分点作x轴的垂线，把曲
边梯形ABCD分割成n个小曲边梯
形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)以直代曲
取各小区间的左端点ξi，用ξ为一边长，以小区间长Δx＝为其邻边长的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为
ΔSi≈ξ·Δx＝3·(i＝1,2,3，…，n)．
(3)作和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD的面积S的近似值，即S＝Si≈3.①
(4)逼近
当分割无限变细，即Δx→0时，和式①的值→S.
因为3＝(n＋i－1)3
＝(n－1)3＋3(n－1)2i＋3(n－1)i2＋i3]
＝[n(n－1)3＋3(n－1)2·＋3(n－1)··(n＋1)·(2n＋1)＋n2(n＋1)2]，
当n→∞时，
S＝3＝1＋＋1＋＝.
[一点通]　
(1)规则四边形：利用四边形的面积公式．
(2)曲边梯形
①思想：以直代曲；
②步骤：分割→以直代曲→作和→逼近；
③关键：以直代曲；
④结果：分割越细，面积越精确．
1．已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2t(单位：km/h)，求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？
解：将时间区间[1,2]等分成n个小区间，
则第i个小区间为，
在第i个时间段的路程近似为ΔSi＝vΔt＝·，i＝1,2，…，n.
所以Sn＝Si＝·＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋
[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]
＝－＋·
＝－＋＋3＋，
n→＋∞时，－＋＋3＋→S.
则当n→∞时，－＋
＋3＋→.
由此可知，S＝.
所以这段时间行驶的路程为 km.
利用定积分的几何意义求定积分
[例2]　利用定积分的几何意义，求：
(1) dx；
(2) (2x＋1)dx.
[思路点拨]　f(x)dx的几何意义：介于x＝a，x＝b之间，x轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和．
[精解详析]　(1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆(如图(1)所示)．
其面积为S＝·π·32＝π.
由定积分的几何意义知dx＝π.
(2)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线．
(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积(如图(2)所示)．
其面积为S＝(1＋7)×3＝12.
根据定积分的几何意义知(2x＋1)dx＝12.
[一点通]　(1)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则图形常用分割法求面积，注意分割点的确定．
(2)两种典型的曲边梯形面积的计算方法：
①由三条直线x＝a、x＝b(a②由三条直线x＝a、x＝b(a－f(x)dx(如图(2)所示)．
2．利用定积分的几何意义求dx.
解：由y＝可得x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．
dx等于圆心角为60°的弓形面积CDE与矩形ABCD的面积之和．
∵S弓形＝××22－×2×2sin ＝－，
S矩形＝AB·BC＝2，
∴dx＝2＋－＝＋.
3．利用定积分的几何意义求sin xdx.
解：∵函数y＝sin x在x∈上是奇函数，
∴sin xdx＝0.
4．利用定积分的几何意义求 dx.
解：令y＝，则(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
因此 dx表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆的面积．
 dx＝.
利用定积分表示平面图形的面积
[例3]　利用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积．
(1)y＝0，y＝，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2.
[思路点拨]　画出图形，利用定积分的几何意义表示．
[精解详析]　(1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积为S，
则S＝(－0)dx＝dx.
(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，
S＝A1＋A2，A1由y＝，y＝－，x＝1围成；
A2由y＝，y＝x－2，x＝1和x＝4围成．
所以A1＝2dx，
A2＝[－(x－2)]dx，
所以S＝2dx＋(－x＋2)dx.
[一点通]　用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：
(1)准确画出各曲线围成的平面区域；
(2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没有区域；
(3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限；
(4)根据定积分的几何意义写出结果．
5．曲线y＝cos x(0≤x≤2π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积是________．
解析：如图，求曲线y＝cos x(0≤x≤2π)与直线围成的封闭图形的面积可根据余弦函数图象的对称性转化为求由直线y＝0，y＝1，x＝0，x＝2π围成的矩形的面积．
答案：2π
6．画出曲线y＝logx，y＝0，x＝，x＝3所围成的平面区域并用定积分表示其面积．
解：曲线所围成的平面区域如图所示．
设此面积为S.
则S＝logxdx－logxdx.
1．当函数f(x)≥0时，定积分f(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a2．当函数f(x)≤0时，曲边梯形位于x轴的下方，此时f(x)dx等于曲边梯形面积S的相反数，即f(x)dx＝－S.
3．当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．
[对应课时跟踪训练(十)]　
一、填空题
1．当n→＋∞时，表示成定积分为________．
解析：根据定积分的几何意义，
当n→＋∞时，
表示曲线y＝sin x，x＝0，x＝π，y＝0所围成图形的面积，所以表示成定积分为sin xdx.
答案：sin xdx
2.dx＝________.
解析：定积分dx等于直线y＝与x＝0，x＝2，y＝0围成三角形的面积S＝×2×1＝1.
答案：1
3．已知xdx＝2，则xdx＝________.
解析：xdx表示直线y＝x，x＝0，x＝t，y＝0所围成图形的面积，而表示直线y＝x，x＝0，x＝－t，y＝0所围成图形面积的相反数，所以xdx＝－2.
答案：－2
4．若cos xdx＝1，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sin x及x轴围成的图形的面积为________．
解析：由正弦函数与余弦函数的图象，知f(x)＝sin x，x∈[0，π]的图象与x轴围成的图形的面积，等于g(x)＝cos x，x∈的图象与x轴围成的图形的面积的2倍．所以答案应为2.
答案：2
5．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
(1)S＝__________(图(1))；(2)S＝__________(图(2))；(3)S＝__________(图(3))．
答案：(1) πsin xdx　(2) x2dx
(3) (x)dx
二、解答题
6．若xdx＝1(a>0)，求实数a的值．
解：由定积分的几何意义知：
xdx＝×a×a＝1(a>0)，
则有a＝.
7．计算定积分(3x－6)dx.
解：如图，计算可得A的面积为，B的面积为6，从而(3x－6)dx＝－6＝.
8．利用定积分的几何意义求： dx.
解：∵被积函数为y＝，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义，可知所求的定积分即为四分之一圆的面积，
所以dx＝×12＝.
1．5.3　微积分基本定理
[对应学生用书P28]
已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x.
问题1：f(x) 和F(x)有何关系？
提示：F′(x)＝f(x)．
问题2：利用定积分的几何意义求(2x＋1)dx的值．
提示：(2x＋1)dx＝6.
问题3：求F(2)－F(0)的值．
提示：F(2)－F(0)＝4＋2＝6.
问题4：你得出什么结论？
提示：f(x)dx＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)．
问题5：已知f(x)＝x3，F(x)＝x4，试探究f(x)dx与F(1)－F(0)的关系．
提示：因f(x)dx＝x3dx＝.F(1)－F(0)＝，有f(x)＝F(1)－F(0)且F′(x)＝f(x)．
微积分基本定理
对于被积函数f(x)，如果F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，即F′(x)dx＝F(b)－F(a)．
1．微积分基本定理表明，计算定积分f(x)dx的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法．

求简单函数的定积分
[例1]　求下列定积分：
(1)(x2＋2x＋3)dx；
(2)(sin x－cos x)dx；
(3)(cos x－ex)dx.
[思路点拨]　先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．
[精解详析]　(1)取F(x)＝＋x2＋3x，
则F′(x)＝x2＋2x＋3，
从而(x2＋2x＋3)dx＝F′(x)dx＝F(2)－F(1)＝.
(2)取F(x)＝－cos x－sin x，
则F′(x)＝sin x－cos x，
从而(sin x－cos x)dx＝F′(x)dx＝F(π)－F(0)＝2.
(3)取F(x)＝sin x－ex，则F′(x)＝cos x－ex，
从而(cos x－ex)dx＝F′()dx＝F(0)－F(－π)＝－1.
[一点通]　求简单的定积分关键注意两点：
(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；
(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
1．(江西高考改编)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则
f(x)dx＝____________.
解析：∵f(x)＝x2＋2f(x)dx，
∴f(x)dx＝＝＋2f(x)dx.
∴f(x)dx＝－.
答案：＝－
2.(cos x＋1)dx＝________.
解析：∵(sin x＋x)′＝cos x＋1，
∴(cos x＋1)dx＝(sin x＋x)
＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π.
答案：π
3．求下列定积分：
(1)sin2dx；(2)(2－x2)(3－x)dx.
解：(1)sin2＝－，
而′＝－cos x，
所以sin2dx＝dx
＝＝－＝.
(2)原式＝(6－2x－3x2＋x3)dx
＝
＝－
＝－.
求分段函数的定积分
[例2]　(1)设f(x)＝
求f(x)dx；
(2)求dx(a>0)．
[思路点拨]　按照函数f(x)的分段标准，求出每一段上的积分，然后求和．
[精解详析]　(1)f(x)dx＝x2dx＋(cos x－1)dx
＝x3＋(sin x－x)＝sin 1－.
(2)由＝得dx＝xdx＋(－x)dx＝x2－x2＝a2.
[一点通]　(1)分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．
(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．
4.|x＋2|dx＝________.
解析：∵|x＋2|＝
∴|x＋2|dx＝(x＋2)dx＋(－x－2)dx
＝＋＝.
答案：
5．设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.
解析：显然f(1)＝lg 1＝0，
故f(0)＝0＋ 3t2dt＝t3＝1，
得a＝1.
答案：1
求图形的面积
[例3]　求由曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成的图形的面积．
[思路点拨]　→→.
[精解详析]　画出草图，如图所示．
解方程组
得A(0,3)，B(3,6)．
所以S＝(x＋3)dx－(x2－2x＋3)dx，
取F(x)＝x2＋3x，则F′(x)＝x＋3，
取H(x)＝x3－x2＋3x，则H′(x)＝x2－2x＋3，
从而S＝F(3)－F(0)－[H(3)－H(0)]
＝－0－
＝.
[一点通]　利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤：
(1)根据题意画出图形；
(2)找出范围，定出积分上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差；
(5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果．
6．曲线y＝ ，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为________．
解析：所围成的图形如图阴影部分所示，点A(0，－2)，
由得
所以B(4,2)，因此所围成的图形的面积为dx＝＝.
答案：
7．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
解析：由已知得S＝dx＝x＝a＝a2，所以a＝，所以a＝.
答案：
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)求被积函数是分段函数的定积分，应分段求定积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．
2．利用定积分求曲边梯形的面积
(1)在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限．
(2)要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当f(x)≤0时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来．
[对应课时跟踪训练(十一)]
一、填空题
1.dx＝________.
解析：dx＝ln x＝ln e－ln 1＝1.
答案：1
2.(2sin x－3ex＋2)dx＝________.
解析：(2sin x－3ex＋2)dx＝(－2cos x－3ex＋2x)＝7＋2π－3eπ.
答案：7＋2π－3eπ
3．(江西高考改编)若S1＝x2dx，S2＝dx，
S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为________．
解析：S1＝x3＝－＝，S2＝ln x＝ln 2答案：S24．设f(x)＝则f(x)dx＝________.
解析：f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋(2x－x2)＝.
答案：
5．(福建高考)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．
解析：因为函数y＝ex与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，又因为函数y＝ex与直线y＝e的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为
2(e×1－exdx)＝2e－2ex＝2e－(2e－2)＝2，
由几何概型的概率计算公式，
得所求的概率P＝＝.
答案：
二、解答题
6．f(x)是一次函数，且 f(x)dx＝5， xf(x)dx＝，
求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则(ax＋b)dx＝＝a＋b＝5.
x(ax＋b)dx＝(ax2＋bx)dx
＝＝a＋b＝，
所以由
解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.
7．求由曲线y＝x2与直线x＋y＝2围成的面积．
解：如图，先求出抛物线与直线的交点，解方程组
得或
即两个交点为(1,1)，(－2,4)．直线为y＝2－x，则所求面积S为：
S＝[(2－x)－x2]dx
＝＝.
8．设f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0.
(1)求f(x)的表达式；
(2)求f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
(3)若直线x＝－t(0＜t＜1)把f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，
∵其图象过点(0,1)，∴c＝1，
又∵在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0，
∴
∵f′(x)＝2ax＋b，
∴
∴a＝1，b＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)依题意，f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，
故所求面积S＝(x2＋2x＋1)dx＝＝.
(3)依题意，有
S＝(x2＋2x＋1)dx＝＝，
即t3－t2＋t＝，
∴2t3－6t2＋6t－1＝0，
∴2(t－1)3＝－1，
∴t＝1－.
第一章 导数及其应用
[对应学生用书P31]
一、导数的概念
1．导数
函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
2．导函数
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f′(x)在各点的导数中随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数．记作f′(x)．
二、导数的几何意义
1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x0处切线的斜率，这是导数的几何意义．
2．求切线方程：
常见的类型有两种：
一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
三、导数的运算
1．基本初等函数的导数
(1)f(x)＝C，则f′(x)＝0(C为常数)；
(2)f(x)＝xα，则f′(x)＝α·xα－1(α为常数)；
(3)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f′(x)＝axln a；
(4)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则f′(x)＝；
(5)f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x；
(6)f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x.
2．导数四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
四、导数与函数的单调性
利用导数求函数单调区间的步骤：
(1)求导数f′(x)；
(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
(3)写出单调增区间或减区间．
特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．
五、导数与函数的极值
利用导数求函数极值的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧的f′(x)的符号，若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值．
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值，否则此根不是f(x)的极值点．
六、求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以判断f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
七、导数的实际应用
利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：
(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．
(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．
八．定积分
(1)定积分是一个数值．定积分的定义体现的基本思想是：先分后合、化曲为直(以不变代变)．
定积分的几何意义是指相应直线、曲线所围曲边梯形的面积．要注意区分f(x)dx，|f(x)|dx及三者的不同．
(2)微积分基本定理是计算定积分的一般方法，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆．
　
一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为________．
解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，
∴f′(1)＝2a，
又∵f′(1)＝2，∴a＝1.
答案：1
2．曲线y＝x3－4x在点(1，－3)处的切线的倾斜角为________．
解析：∵y′＝3x2－4，
∴当x＝1时，y′＝－1，即tan α＝－1.
又∵α∈(0，π)，∴α＝π.
答案：π
3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a2－12≤0?－≤a≤，所以实数a的取值范围是[－，]．
答案：[－，]
4．y＝2x3－3x2＋a的极大值为6，则a＝________.
解析：y′＝6x2－6x＝6x(x－1)，
令y′＝0，则x＝0或x＝1.
当x＝0时，y＝a，当x＝1时，y＝a－1.
由题意知a＝6.
答案：6
5．函数y＝的导数为________．
解析：y′＝′
＝
＝.
答案：
6．若(x－k)dx＝，则实数k的值为________．
解析：(x－k)dx＝＝－k＝，
解得k＝－1.
答案：－1
7．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间是________．
解析：∵f′(x)＝2x－＝.
令f′(x)<0，因为x∈(0，＋∞)，
∴2x2－1<0，即0∴函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间是.
答案：
8．函数f(x)＝3x－4x3在[0,1]上的最大值为________．
解析：f′(x)＝3－12x2，
令f′(x)＝0，则x＝－(舍去)或x＝，
f(0)＝0，f(1)＝－1，f＝－＝1
∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.
答案：1
9．(山东高考改编)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为________．
解析：由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为＝＝4.
答案：4
10．若f(x)＝则f(x)dx＝________.
解析：因为f(x)dx＝(－x)dx＋(x2＋3)dx.
因为′＝－x，′＝x2＋3，
所以f(x)dx＝－x2＋＝.
答案：
11．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99＝________.
解析：由于y′＝n＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝xn＝，
∴an＝lg，∴原式＝lg ＋lg＋…＋lg＝lg＝lg＝－2.
答案：－2
12．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：∵f′(x)＝4x－＝，x>0，∴当0时，f′(x)>0，f(x)为增函数，依题意得∴1≤k<.
答案：
13．周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________．
解析：设矩形一边长为x cm，则邻边长为(10－x)cm；
体积V＝πx2(10－x)＝π(10x2－x3)，
由V′＝π(20x－3x2)＝0得x＝0(舍去)，
x＝可以判断x＝时，Vmax＝π(cm3)．
答案：π cm3
14．已知f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)＜－xf′(x)，则不等式f(x＋1)＞(x－1)·f(x2－1)的解集是________．
解析：令g(x)＝x·f(x)
则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＜0.
∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数．
又∵f(x＋1)＞(x－1)f(x2－1)，
∴(x＋1)f(x＋1)＞(x2－1)f(x2－1)，
∴?
∴x＞2.
答案：{x|x＞2}
二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax2－ax＋b，f(1)＝2，f′(1)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程．
解：(1)f′(x)＝2ax－a，
由已知得　解得
所以f(x)＝x2－2x＋.
(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.
16．(本小题满分14分)求下列定积分．
(1)(1－t3)dt；
(2)(cos x＋ex)dx；
(3)dx.
解：(1)∵′＝1－t3，
∴(1－t3)dt＝＝－(－2－4)＝.
(2)∵(sin x＋ex)′＝cos x＋ex，
∴(cos x＋ex)dx＝(sin x＋ex)
＝1－e－π＝1－.
(3)dx＝dx
取F(x)＝x2－3x－，
则F′(x)＝x－3＋，
dx＝F(4)－F(2)
＝－
＝.
17．(本小题满分14分)已知x＝1是函数f(x)＝ax3－x2＋(a＋1)x＋5的一个极值点．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，求实数m的取值范围．
解：(1)依题意f′(x)＝ax2－3x＋a＋1，
由f′(1)＝0得a＝1，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x3－x2＋2x＋5.
(2)曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，
即x3－x2＋2x＋5－2x－m＝0有三个实数根，
令g(x)＝x3－x2＋2x＋5－2x－m＝x3－x2＋5－m，则g(x)有三个零点．
由g′(x)＝x2－3x＝0得x＝0或x＝3.
令g′(x)>0得x<0或x>3；令g′(x)<0得0∴函数g(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数．
∴函数在x＝0处取得极大值，在x＝3处取得极小值．
要使g(x)有三个零点，只需解得∴实数m的取值范围为.
18．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－2(e≈2.71，a∈R)．
(1)判断曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)的公共点个数；
(2)当x∈时，若函数y＝f(x)－g(x)有两个零点，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝ln x＋1，所以斜率k＝f′(1)＝1.
又f(1)＝0，曲线在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1.
由?x2＋(1－a)x＋1＝0.
由Δ＝(1－a)2－4＝a2－2a－3可知：
当Δ＞0时，即a＜－1或a＞3时，有两个公共点；
当Δ＝0时，即a＝－1或a＝3时，有一个公共点；
当Δ＜0时，即－1＜a＜3时，没有公共点．
(2)y＝f(x)－g(x)＝x2－ax＋2＋xln x，
由y＝0得a＝x＋＋ln x.
令h(x)＝x＋＋ln x，
则h′(x)＝.
当x∈，由h′(x)＝0得x＝1.
所以h(x)在上单调递减，在[1，e]上单调递增，
故hmin(x)＝h(1)＝3.
由h＝＋2e－1，h(e)＝e＋＋1，
比较可知h＞h(e)．
所以，当3＜a≤e＋＋1时，函数y＝f(x)－g(x)有两个零点．
19．(本题满分16分)某公司将进货单价为a元(a为常数，3≤a≤6)一件的商品按x元(7≤x≤10)一件销售，一个月的销售量为(12－x)2万件．
(1)求该公司经销此种商品一个月的利润L(x)(万元)与每件商品的售价x(元)的函数关系式；
(2)当每件商品的售价为多少元时，L(x)取得最大值？并求L(x)的最大值．
解：(1)L(x)＝(x－a)(12－x)2(7≤x≤10)．
(2)L′(x)＝(12－x)2＋(x－a)(2x－24)＝(12－x)(12＋2a－3x)．
令L′(x)＝0得x＝或x＝12.
由a∈[3,6]得∈[6,8]．
当∈[6,7]，即3≤a≤时，
L(x)在[7,10]上是减函数，
L(x)的最大值为L(7)＝25(7－a)；
当∈(7,8]，即L(x)在上是增函数，
在[，10]上是减函数．
L(x)的最大值为L＝
综上可知，若3≤a≤，则当x＝7时，
L(x)取得最大值，最大值是25(7－a)；
若20．(本小题满分16分)(山东高考)设函数f(x)＝aln x＋，其中a 为常数．
(1)若 a＝0，求曲线y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)由题意知a＝0时，f(x)＝，x∈(0，＋∞)．
此时f′(x)＝.
可得f′(1)＝，又f(1)＝0，
所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，
f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－＜a＜0，Δ＞0.
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，x2＝.
由x1＝＝＞0，
所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
综上可得：
当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－＜a＜0时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增．
3.1 数系的扩充
[对应学生用书P52]
一、合情推理和演绎推理
1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．
2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．
二、直接证明和间接证明
1．直接证明包括综合法和分析法：
(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“?”．
(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B?B1?B2?…?Bn?A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“?”．
2．间接证明主要是反证法：
反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．
反证法主要适用于以下两种情形：
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；
(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
三、数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．
　
一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．
答案：A
2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．
解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．
故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．
答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大
3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)
①演绎推理是由一般到特殊的推理　②演绎推理得到的结论一定是正确的　③演绎推理的一般模式是“三段论”形式　④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关
解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．
答案：①③④
4．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．
答案：菱形对角线互相垂直且平分
5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：＝＝·＝×＝.
答案：1∶8
6．(陕西高考)观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
7．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________．
解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．
答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心
8．已知x，y∈R＋，当x2＋y2＝________时，有x＋y＝1.
解析：要使x＋y＝1，
只需x2(1－y2)＝1＋y2(1－x2)－2y，
即2y＝1－x2＋y2.
只需使(－y)2＝0，
即＝y，∴x2＋y2＝1.
答案：1
9．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1；
③则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，则当n＝k＋1时等式成立．由此可知，对任何n∈N*，等式都成立．
上述证明步骤中错误的是________．
解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误．
答案：③
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝r2(r＞0)内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若＝m＋n (m，n∈R)，则是m2，n2的等差中项；现有一椭圆＋＝1(a＞b＞0)内切于矩形ABCD，任取椭圆上一点P，若＝m＋n (m，n∈R)，则m2，n2的等差中项为________．
解析：如图，设P(x，y)，由＋＝1知A(a，b)，B(－a，b)，由＝m＋n可得代入＋＝1可得(m－n)2＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝，所以＝，即m2，n2的等差中项为.
答案：
11．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；…，依此类推．设BA＝a1 ，AA1＝a2 , A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________.
解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×6＝.
法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n，故a7＝2×6＝.
答案：
12．已知x>0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为________．
解析：由x＋≥2，x＋＝x＋≥3，x＋＝x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，故a＝nn.
答案：nn
13．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中共有________个顶点．
解析：设第n个图形中有an个顶点，
则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，
an－2＝n＋n·n，
an＝(n＋2)2＋n＋2＝n2＋5n＋6.
答案：n2＋5n＋6
14．(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数　　　 N(n,3)＝n2＋n，
正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
六边形数 N(n,6)＝2n2－n，
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.
解析：N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中数列{ak}是以为首项，为公差的等差数列；数列{bk}是以为首项，－为公差的等差数列；所以N(n,24)＝11n2－10n，当n＝10时，N(10,24)＝11×102－10×10＝1 000.
答案：1 000
二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.
证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1.
∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，
∴≥4，
又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4.

∴＋＋≥8.
16．(本小题满分14分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝n(n∈N*)，若Tn＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n－1，bn＝6Tn－5nan，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，求数列{bn}的通项公式．
解：因为Tn＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n－1，①
所以5Tn＝a1·5＋a2·52＋a3·53＋…＋an－1·5n－1＋an·5n，②
由①＋②得：
6Tn＝a1＋(a1＋a2)·5＋(a2＋a3)·52＋…＋(an－1＋an)·5n－1＋an·5n
＝1＋×5＋2×52＋…＋n－1×5n－1＋an·5n
＝n＋an·5n，
所以6Tn－5nan＝n，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝n.
17．(本小题满分14分)观察
①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝；
②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝.
由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，
由此猜想：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝.
证明：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)
＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin 2α
＝＋＋sin 2α
＝＋＋cos 2α－sin 2α＋sin 2α
＝.
18．(本小题满分16分)已知实数a、b、c满足0证明：假设(2－a)b>1，(2－b)c>1，(2－c)a>1，
则三式相乘：(2－a)b(2－b)c(2－c)a>1①
而(2－a)a≤2＝1，
同理，(2－b)b≤1，(2－c)c≤1，
即(2－a)b(2－b)c(2－c)a≤1，
显然与①矛盾，
所以原结论成立．
19．(本小题满分16分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项an的表达式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
解：(1)由Sn＝2n－an，得，a1＝2－a1，即a1＝1.
S2＝a1＋a2＝4－a2，解得a2＝.
S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，解得a3＝.
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，解得a4＝.
由此猜想an＝(n∈N*)．
(2)①当n＝1时，a1＝1，结论成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，
则ak＋1＝＝＝＝，
这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．
根据①和②，可知猜想对任何n∈N*都成立，
即an＝(n∈N*)．
20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)，
(1)证明：an≥2n－1(n∈N*)．
(2)试比较＋＋…＋与1的大小，并说明理由．
解：(1)证明：∵f′(x)＝x2－1，
∴an＋1≥(an＋1)2－1＝a＋2an.
①当n＝1时，a1≥1＝21－1，命题成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，
即ak≥2k－1；那么当n＝k＋1时，
ak＋1≥a＋2ak＝ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)
＝22k－1≥2k＋1－1.
即当n＝k＋1时，命题成立，
综上所述，命题成立．
(2)∵an≥2n－1，∴1＋an≥2n，∴≤.
∴＋＋…＋≤＋＋…＋＝1－<1.
第一课时　复数的加减与乘法运算
复数的加减法
已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？
提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．
问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？
提示：满足．
1．复数的加法、减法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．
2．复数加法的运算律
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)
问题1：如何规定两复数相乘？
提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
问题2：试验复数乘法的交换律．
提示：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，
z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
故z1z2＝z2z1.
1．复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i(a，b，c，d∈R)．
2．复数乘法的运算律
对于任意z1、z2、z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
共轭复数
问题：复数3＋4i与3－4i，a＋bi与a－bi(a，b∈R)有什么特点？
提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．
1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数．
2．复数z＝a＋bi的共轭复数记作，即＝a－bi.
3．当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．
1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．
2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．

复数的加减运算
[例1]　计算：
(1)(3＋5i)＋(3－4i)；
(2)(－3＋2i)－(4－5i)；
(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．
[思路点拨]　解答本题可根据复数加减运算的法则进行．
[精解详析]　(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.
(2)(－3＋2i)－(4－5i)
＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.
(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)
＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.
[一点通]　复数加减运算法则的记忆方法：
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.
解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)
＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i
＝－4－10i.
答案：－4－10i
2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋yi)＝2，则x＋y＝________.
解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋yi)
＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i
＝(x－4)＋(y＋1)i.
∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，
即x－4＝2，y＋1＝0.
∴x＝6，y＝－1.
∴x＋y＝5.
答案：5
3．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．
解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；
(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
复数的乘法
[例2]　计算：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
[思路点拨]　应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．
[精解详析]　(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
[一点通]　(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．
(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.
4．(浙江高考改编)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________.
解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i.
答案：－1＋3i
5．若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________.
解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋bi，∴a＝1，b＝3，
故a＋b＝4.
答案：4
6．计算下列各题．
(1)(1＋i)2；
(2)(－1＋3i)(3－4i)；
(3)(1－i)(1＋i)．
解：(1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i＋9i－12i2＝9＋13i.
(3)法一：(1－i)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i＋i＋i2
＝－1＋i.
法二：原式＝(1－i)(1＋i)
＝(1－i2)＝2
＝－1＋i.
共轭复数的概念
　　
[例3]　已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
[思路点拨]　―→―→.
[精解详析]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
[一点通]　
(1)实数的共轭复数是它本身，即z∈R?z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数．
(2)若≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．
7．已知复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z·－z－1＝________.　
解析：∵z＝1＋i，∴＝1－i，
∴z·＝(1＋i)(1－i)＝2，
∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i－1＝－i.
答案：－i
8．复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.
解析：设z＝a＋bi，则＝a－bi.
∴(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i，
∴a－bi＋2ai＋2b＝4＋3i，
即(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，
∴解之得a＝2，b＝1.
∴z＝2＋i.
答案：2＋i
9．已知复数 z＝1＋i，求实数 a，b 使 az＋2b＝(a＋2z)2成立．
解：∵z＝1＋i，
∴az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，
(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i
＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.
∵a，b 都是实数，
∴由 az＋2b＝(a＋2z)2，得
两式相加，整理得 a2＋6a＋8＝0.
解得 a1＝－2，a2＝－4，对应得 b1＝－1，b2＝2.
∴所求实数为 a＝－2，b＝－1 或 a＝－4，b＝2.
1．复数的加减运算
把复数的代数形式z＝a＋bi看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．
2．复数的乘法运算
复数的乘法可以把虚数单位i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．

一、 填空题
1．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为________．
解析：(－i＋3)－(－2＋5i)
＝－i＋3＋2－5i
＝－6i＋5.
答案：5－6i
2．若复数z＝1－2i，(i为虚数单位)则z·＋z的实部是________．
解析：∵z＝1－2i，
∴＝1＋2i，
∴z·＝(1－2i)(1＋2i)＝5，
∴z·＋z＝5＋1－2i＝6－2i.
答案：6
3．已知3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)，则z＝________.
解析：∵3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)
∴z＝3＋i－(4＋3i)＋(6＋7i)
＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i
＝5＋5i.
答案：5＋5i
4．(北京高考)若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________.　
解析：(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，由复数相等的定义知x＝2.
答案：2
5．已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t＝________.
解析：∵z2＝t＋i，
∴2＝t－i，
∴z1·2＝(3＋4i)(t－i)
＝3t－3i＋4ti－4i2
＝(3t＋4)＋(4t－3)i，
又∵z1·2是实数，
∴4t－3＝0，即t＝.
答案：
二、解答题
6．计算：(1)＋；
(2)(3＋2i)＋(－2)i；
(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．
解：(1)原式＝－i＝－i；
(3)(3＋2i)＋(－2)i
＝3＋(2＋－2)i＝3＋i；
(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)
＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i
＝8＋2i.
7．计算：
(1)(4i－6)＋2＋i；
(2)(1＋i)．
解：(4i－6)＋2＋i
＝2i＋6i2－3－9i＋2＋i
＝－7－6i.
(2)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i
＝－＋i.
8．(江西高考改编)是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，求z.
解：法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.
又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2.
∴b＝－1.
故z＝1－i.
法二：∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i
又z＋＝2.
∴z－＋(z＋)＝－2i＋2，
∴2z＝－2i＋2，
∴z＝1－i.
第二课时　复数的乘方与除法运算
问题1：在实数中，若a·b＝c(a≠0)，则b＝.反之，若b＝，则a·b＝c.那么在复数集中，若z1·z2＝z3，有z1＝(z2≠0)成立吗？
提示：成立．
问题2：若复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则如何运算？
提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c－di，化简后可得结果，即＝＝
＝＋i(c＋di≠0)．
对任意复数z，z1，z2和m，n∈N*，有
(z)m·(z)n＝(z)m＋n；
(zm)n＝zmn；
(z1·z2)n＝z·z.
2．虚数单位in(n∈N*)的周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
3．复数的除法运算及法则
把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi除以复数c＋di的商．且x＋yi＝＝＝＋i.
由＝＝＝＋i，可以看出复数除法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化．

虚数单位i的幂的周期性
[例1]　求1＋i＋i2＋…＋i2 014的值．
[思路点拨]　利用in的性质计算，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，还可以利用等比数列求和来解．
[精解详析]　法一：1＋i＋i2＋…＋i2 014
＝＝＝＝i.
法二：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)，
∴1＋i＋i2＋…＋i2 014
＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 009＋i2 010＋i2 011＋i2 012)＋i2 013＋i2 014
＝1＋i－1＝i.
[一点通]　等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．
1．若z＝－，则z2 014＋z102＝________.
解析：∵z2＝2＝－i，
∴z2 014＋z102＝(－i)1 007＋(－i)51
＝(－i)1 004·(－i)3＋(－i)48·(－i)3
＝i＋i＝2i.
答案：2i
2．设z1＝i4＋i5＋i6＋…＋i12，z2＝i4·i5·i6 ·… ·i12，则z1与z2的关系为z1________z2(用“＝”或“≠”填)．
解析：∵z1＝＝＝1，
z2＝i4＋5＋6＋…＋12＝i＝i72＝(i4)18＝1，
∴z1＝z2.
答案：＝
复数的除法
[例2]　计算：(1)＋(5＋i2)－2；
(2).
[思路点拨]　解答较为复杂的复数相乘、除时，一个方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算．
[精解详析]　(1)原式＝＋(5＋i2)－2＝i＋5－1－i＝i＋4－i＝4.
(2)原式＝
＝＝
＝·(2i)2i＝－4i.
[一点通]　复数的除法就是分子，分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，熟悉以下结论对简化运算很有帮助．
b－ai＝(a＋bi)(－i)，－b＋ai＝(a＋bi)i.
3．设复数z＝，则复数z2的实部与虚部的和为________．
解析：∵z＝＝＝
＝－i＋1，
∴z2＝(1－i)2＝1－2i－1＝－2i.
实部为0，虚部为－2.
因此，实部与虚部的和为－2.
答案：－2
4．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z＝________.　
解析：∵z(2－i)＝11＋7i，
∴z＝＝＝＝3＋5i.
答案：3＋5i
5．化简：＋＝________.
解析：原式＝3＋＝i＋i＝2i.
答案：2i
1．复数除法的运算技巧
在实际进行的复数除法运算中，每次都按乘法的逆运算进行计算将十分麻烦．我们可以用简便方法操作：先把两个复数相除写成分式形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简．
2．注意复数计算中常用的整体
(1)i的性质：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；　
(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i；
(3)设ω＝－＋i，则ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝，3＝1.

一、填空题
1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝________.
解析：z＝＝＝＝－1＋i.
答案：－1＋i
2．设i是虚数单位，复数的虚部为________．
解析：＝＝3＋i.
答案：1
3．如果z1＝－2－3i，z2＝，则＝________.
解析：∵z1＝－2－3i，z2＝，
∴＝＝
＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i.
答案：4－3i
4．(浙江高考)已知 i是虚数单位，计算 ＝________.
解析： ＝＝＝＝－－i.
答案：－－i
5．i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________.
解析：设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋8i8①
则iS＝i2＋2i3＋…＋7i8＋8i9②
①－②得
(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i8－8i9
＝－8i
＝－8i.
∴S＝＝＝
＝4－4i.
答案：4－4i
二、解答题
6．计算2－20.
解：2－20
＝2－i10
＝(1＋i)2－i10
＝1＋2i.
7．复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a.
解：z＝＝＝＝1－i.
∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则
z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋i＜0，
∴
∴m＝4.∴a＝4i.
8．已知1＋i是实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根．
(1)求a、b的值；
(2)试判断1－i是否是方程的根．
解：(1)∵1＋i是方程x2＋ax＋b＝0的根，
∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0，
即(a＋b)＋(a＋2)i＝0，
∴
∴
∴a、b的值为a＝－2，b＝2.
(2)方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程，
左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0显然方程成立．
∴1－i也是方程的一个根.
3．3 复数的几何意义
[对应学生用书P43]　
复平面的定义
问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？
提示：可以．
问题2：试说明理由．
提示：因复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复数的几何意义
已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)．
问题1：在复平面内作出复数z所对应的点Z.
提示：如图所示．
问题2：向量和点Z有何关系？
提示：有一一对应关系．
问题3：复数z＝a＋bi与有何关系？
提示：也是一一对应．
1．复数与点，向量间的对应关系
2．复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模(或绝对值)，记作|z|，且|z|＝|a＋bi|＝.
复数加减法的几何意义
如图、分别与复数a＋bi，
c＋di对应．
问题1：试写出、及＋、－的坐标．
提示：＝(a，b)，＝(c，d)，
＋＝(a＋c，b＋d)，－＝(a－c，b－d)．
问题2：向量＋及－所对应的复数分别是什么？
提示：(a＋c)＋(b＋d)i及(a－c)＋(b－d)i.
1．复数加法的几何意义
设向量，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且和不共线．如图，以，为邻边画平行四边形OZ1ZZ2，则其对角线OZ所表示的向量就是复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．
2．复数减法的几何意义
复数的减法是加法的逆运算，设，分别与复数a＋bi，c＋di相对应，且，不共线，如图．
则这两个复数的差z1－z2与向量－ (等于)对应，这就是复数减法的几何意义．
3．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则|z1－z2|＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．
1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．
2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.
3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．

复数的几何意义
[例1]　实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z在下列位置？
(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x－y－3＝0上？
[思路点拨]　利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则当a<0且b<0时，复数z对应的点在第三象限；当a>0且b<0时，复数z对应的点在第四象限；当a－b－3＝0时，复数z对应的点在直线x－y－3＝0上．
[精解详析]　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．　
若已知复数z＝a＋bi，则当a＜0，且b＜0时，复数z对应的点在第三象限；
当a＞0，且b＜0时，复数z对应的点在第四象限；
当a－b－3＝0时，复数z对应的点在直线x－y－3＝0上．
(1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z在第三象限．
(2)当实数x满足
即2＜x＜5时，点Z在第四象限．
(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．
[一点通]　按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．
1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限．
解析：z＝＝＝＝i＋1的共轭复数为1－i，对应的点为(1，－1)在第四象限．
答案：四
2．求当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴的负半轴上．
解：(1)由题意，知
解得
即－7故当－7(2)由题意，知
由②得m＝－7或m＝4.
因m＝－7不适合不等式①，
m＝4适合不等式①，
所以m＝4.
故当m＝4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上．
复数模及其几何意义的应用
[例2]　已知复数z1＝－i及z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|的值并比较它们的大小；
(2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点z的集合是什么图形．
[思路点拨]　由复数的模长公式求出|z1|及|z2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形．
[精解详析]　(1)|z1|＝|－i|＝＝2，
|z2|＝＝ ＝1，
所以|z1|＞|z2|.
(2)由(1)知1≤|z|≤2，因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．
[一点通]　(1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．
3．(辽宁高考改编)复数z＝的模为________．
解析：∵z＝＝＝
＝－－i，
∴|z|＝ ＝.
答案：
4．已知z＝3＋ai，且|z－2|＜2，则实数a的取值范围是________．
解析：∵z＝3＋ai，∴z－2＝1＋ai，
∴|z－2|＝<2，即1＋a2<4，
∴a2<3，即－答案：(－，)
5．设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
解：法一：由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.
这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.
因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．
法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.
∵|3＋4i|＝5，
∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．
复数加减运算的几何意义
[例3]　已知?OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1) 表示的复数；(2) 表示的复数；(3)点B对应的复数．
[思路点拨]　
[精解详析]　(1)＝－，故表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.
(2)＝－，故表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)＝＋＝＋，故表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即点B对应的复数为1＋6i.
[一点通]　(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．
(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
(3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．
6．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋2i在复平面内对应的点分别为A、B，求对应的复数z，z在平面内对应的点在第几象限？
解：z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，
∵z的实部－1<0，虚部1>0，
∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内．
7．在复平面内，点A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．
解：如图，由复数加减法的几何意义，
＝＋，
即z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)．
所以z4＝z2＋z3－z1＝7＋3i.
|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.
1．复数模的几何意义
复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．

一、填空题
1．若、对应的复数分别是7＋i,3－2i，则||＝________.
解析：∵＝(7,1)，＝(3，－2)，
∴＝－＝(－4，－3)，
∴||＝5.
答案：5
2．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限．
解析：i(1－2i)＝2＋i对应的点为(2,1)，位于第一象限．
答案：一
3．若z＋|z|＝2＋8i，则z＝________.
解析：法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i.
所以解得
所以z＝－15＋8i.
法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部．
于是|z|＝，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，
∴|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.
答案：－15＋8i
4．已知z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，若z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________.
解析：z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝5＋(a＋1)i，
由z1＋z2所对应的点在实轴上可知a＋1＝0，即a＝－1.
答案：－1
5．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z＝＋i，则|z|＝________.
解析：＋i＝＋i＝＋i＝＋i，则|z|＝ ＝.
答案：
二、解答题
6．若复数z＝(m2＋m－2)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的集合．
解：由题意得＝(m2＋m－2)－(4m2－8m＋3)i，对应的点位于第一象限，
所以有所以
所以
即17．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.　
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
解：(1)对应的复数为zB－zA＝(2＋i)－1＝1＋i.
对应的复数为zC－zB＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.
对应的复数为zC－zA＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.
(2)由(1)知||＝|1＋i|＝，||＝|－3＋i|＝，||＝|－2＋2i|＝2，
∴||2＋||2＝||2.
故△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝||·||＝××2＝2.
8．若z∈C且|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的最小值．
解：已知|z－(－2＋2i)|＝1中，z的对应点轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，|z－(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3
第三章 数系的扩充与复数的引入

1．虚数单位i
(1)i2＝－1(即－1的平方根是±i)．
(2)实数可以与i进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．
(3)i的幂具有周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，则有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．
2．复数的分类
复数
(z＝a＋bi，a，b∈R).
3．共轭复数的性质
设复数z的共轭复数为，则
(1)z·＝|z|2＝||2；
(2)z为实数?z＝，z为纯虚数?z＝－.
4．复数的几何意义
5．复数相等的条件
(1)代数形式：复数相等的充要条件为a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c，b＝d.特别地，a＋bi＝0(a，b∈R)?a＝b＝0.　
注意：两复数不是实数时，不能比较大小．
(2)几何形式：z1，z2∈C，z1＝z2?对应点Z1，Z2重合?与重合．
6．复数的运算
(1)加法和减法运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．
(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．

(时间：120分钟，总分：160分)
一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝________.
解析：∵z1＝2＋i在复平面内对应点(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
则z2的对应点为(－2,1)，则z2＝－2＋i，
∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.
答案：－5
2．(山东高考改编)若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝________.
解析：根据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.　
答案：3＋4i
3．若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为________．
解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴z＝＝＝＝＋i，
∴z的虚部是.
答案：
4．已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni等于________．
解析：＝1－ni，所以m＝(1＋n)＋(1－n)i，
因为m，n∈R，
所以所以
即m＋ni＝2＋i.
答案：2＋i
5．定义运算＝ad－bc，则满足条件＝4＋2i的复数z为________．
解析：＝zi＋z，
设z＝x＋yi，
∴zi＋z＝xi－y＋x＋yi＝x－y＋(x＋y)i＝4＋2i，
∴∴
∴z＝3－i.
答案：3－i
6．在复平面内，复数对应的点位于第________象限．
解析：＝＝＝－i，
对应的点位于第四象限．
答案：四
7.＝________.
解析：＝＝
＝1－38i.
答案：1－38i
8．设a是实数，且＋是实数，则a等于________．
解析：∵＋＝＋＝＋i是实数，
∴＝0，即a＝1.
答案：1
9．复数z满足方程＝4，那么复数z的对应点P组成图形为________．
解析：＝|z＋(1－i)|＝|z－(－1＋i)|＝4.
设－1＋i对应的点为C(－1,1)，则|PC|＝4，
因此动点P的轨迹是以C(－1,1)为圆心，4为半径的圆．
答案：以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆
10．已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝________.
解析：由M∩N＝{4}，知4∈M，
故zi＝4，∴z＝＝－4i.
答案：－4i
11．若复数z满足|z|－＝，则z＝________.
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴|z|－＝－(a－bi)＝－a＋bi，
＝＝＝2＋4i，
∴解得
∴z＝3＋4i.
答案：3＋4i
12．若＝3i＋4，＝－1－i，i是虚数单位，则＝________.(用复数代数形式表示)
解析：由于＝3i＋4，＝－1－i，i是虚数单位，
所以＝－＝(－1－i)－(3i＋4)＝－5－4i.
答案：－5－4i
13．复数z满足|z＋1|＋|z－1|＝2，则|z＋i＋1|的最小值是________．
解析：由|z＋1|＋|z－1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z对应的点到两点(－1,0)和(1,0)的距离和为2，说明该点在线段y＝0(x∈[－1,1])上，而|z＋i＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.
答案：1
14．已知关于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)＝0有实根，则纯虚数m的值是________．
解析：方程有实根，不妨设其一根为x0，设m＝ai代入方程得x＋(1＋2i)x0－(3ai－1)i＝0，
化简得，(2x0＋1)i＋x＋x0＋3a＝0，
∴
解得a＝，∴m＝i.
答案：i
二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)计算：
(1)；(2).
解：(1)＝
＝＝2.
(2)＝
＝＝＝
＝－＋i.
16．(本小题满分14分)求实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数；
(4)零．
解：由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，
∴k＝6或k＝－1.
(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
(3)当时，z是纯虚数，
∴k＝4.
(4)当时，z＝0，解得k＝－1.
综上，当k＝6或k＝－1时，z∈R.
当k≠6且k≠－1时，z是虚数．
当k＝4时，z是纯虚数，当k＝－1时，z＝0.
17．(本小题满分14分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求的值．
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝1＋3i－z，
得－1－3i＋a＋bi＝0，
则所以
所以z＝－4＋3i.
则＝＝＝3＋4i.
18．(本小题满分16分)已知ω＝－＋i.
(1)求ω2及ω2＋ω＋1的值；
(2)若等比数列{an}的首项为a1＝1，公比q＝ω，求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)ω2＝2＝－i－＝－－i.
ω2＋ω＋1＝＋＋1＝0.
(2)由于ω2＋ω＋1＝0，
∴ωk＋2＋ωk＋1＋ωk＝ωk(ω2＋ω＋1)＝0，k∈Z.
∴Sn＝1＋ω＋ω2＋…＋ωn－1＝
∴Sn ＝
19．(本小题满分16分)已知z＝(a∈R且a＞0)，复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω的模．
解：把z＝(a＞0)代入ω中，
得ω＝
＝＋i.
由－＝，得a2＝4.
又a＞0，所以a＝2.
所以|ω|＝|＋3i|＝.
20．(本小题满分16分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2.
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，所以点A(1,1)，B(0,2)，
C(1，－1)，所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1；
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
即△ABC的面积为1.
第一课时　归 纳 推 理
问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？
提示：都能导电．
问题2：由问题1你能得出什么结论？
提示：一切金属都能导电．
问题3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用适当的数填入表中.
年龄(岁)
30
35
40
45
50
55
60
65
收缩压(水银柱/毫米)
110
115
120
125
130
135
145
舒张压(水银柱/毫米)
70
73
75
78
80
83
88
提示：140　85
问题4：由问题3中的数据你还能得出什么结论？
提示：随着人的年龄增长，人的血压在增高．
问题5：数列{an}的前五项为1,3,5,7,9试写出an.
提示：an＝2n－1(n∈N*)．
1．推理
(1)推理的定义
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．
(2)推理的组成
任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．
2．归纳推理
(1)归纳推理的定义
从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．
(2)归纳推理的思维过程如图
→→
(3)归纳推理的特点
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
1．归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式．因此，由归纳得到的结论超越了前提所包容的范围．
2．归纳是根据若干已知的条件(现象)推断未知结论(现象)，因而，结论(现象)具有猜测的性质．
3．归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．
4．观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据．
5．由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一．

归纳推理在数列中的应用
[例1]　已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2，…)，求出a2，a3，a4，并推测an.
[思路点拨]　数列的通项公式表示的是数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系，根据已知的递推公式，求出数列的前几项，观察出n与an的关系即可解决．
[精解详析]　当n＝1时，a1＝1；
当n＝2时，a2＝＝；
当n＝3时，a3＝＝；
当n＝4时，a4＝＝.
观察可得，数列的前4项等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为
an＝.
[一点通]　在求数列的通项与前n项和时，经常用归纳推理得出结论．这就需要在进行归纳推理时要先转化为一个统一的形式，分出变化部分和不变部分，重点分析变化规律与n的关系，往往会较简捷地获得结论．
1．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝.求出a1，a2，a3，a4，并推测an.
解：∵Sn＝，∴a1＝，∴a＝1.
又∵an>0，∴a1＝1；
a1＋a2＝，即1＋a2＝，∴a2＝－1；
a1＋a2＋a3＝，
即＋a3＝，∴a3＝－；
a1＋a2＋a3＋a4＝，
∴＋a4＝，∴a4＝2－；
观察可得，an＝－.
2．已知数列{an}中，a2＝6，＝n.
(1)求a1，a3，a4；
(2)猜想数列{an}的通项公式．
解：(1)由a2＝6，＝1，得a1＝1.
由＝2，得a3＝15.
由＝3，得a4＝28.
故a1＝1，a3＝15，a4＝28.
(2)由a1＝1＝1×(2×1－1)；
a2＝6＝2×(2×2－1)；
a3＝15＝3×(2×3－1)；
a4＝28＝4×(2×4－1)，
…
猜想an＝n(2n－1)．
归纳推理在不等式中的应用
[例2]　对任意正整数n，试归纳猜想2n与n2的大小关系．
[思路点拨]　→→→
[精解详析]　当n＝1时，21>12；
当n＝2时，22＝22；
当n＝3时，23<32；
当n＝4时，24＝42；
当n＝5时，25>52；
当n＝6时，26>62.
归纳猜想，当n＝3时，2n当n∈N*，且n≠3时，2n≥n2.
[一点通]　对于与正整数n有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处．对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形(通分、因式分解等)，变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简．
3．观察下列式子：
1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，猜想第n个不等式为________．
解析：第1个不等式：1＋<；
第2个不等式：1＋＋<；
第3个不等式：1＋＋＋<；
…
故猜想第n个不等式为
1＋＋＋＋…＋<.
答案：1＋＋＋…＋<
4．对任意正整数n，猜想nn＋1与(n＋1)n的大小关系．
解：n＝1时，12<21；
n＝2时，23<32，n＝3时；34>43；
n＝4时，45>54，n＝5时；56>65.
据此猜想，当n<3时，nn＋1<(n＋1)n，
n≥3时，nn＋1>(n＋1)n.
归纳推理在图形推理中的应用
[例3]　古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：
由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形的数的特点，归纳第n个三角形数．
[思路点拨]　将1,3,6,10分别写成，，，，据此可完成本题的求解．
[精解详析]　观察项与项数的关系特点如下：
项
1
2
3
4
项数




分析：项的各分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数与1和的积．
归纳：第n个三角形数应为(n∈N*)．
[一点通]　此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点．题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前n项和等．
5．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：
设第n个图有an个树枝，则an＋1与an(n≥1)之间的关系是________________．
解析：由图可得，第一个图形有1根树枝，a1＝1，
第2个图形有3根树枝，即a2＝3，同理可知：
a3＝7, a4＝15，a5＝31.
归纳可知：a2＝3＝2×1＋1＝2a1＋1，
a3＝7＝2×3＋1＝2a2＋1，
a4＝15＝2×7＋1＝2a3＋1，
a5＝31＝2×15＋1＝2a4＋1，
由归纳推理可猜测：an＋1＝2an＋1.
答案：an＋1＝2an＋1
6．根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图中点的个数.
解析：图中点的个数依次为：1,3,7,13,21.
又1＝1＋0×1；3＝1＋1×2；7＝1＋2×3,13＝1＋3×4,21＝1＋4×5.
结合项数与项的关系猜想第n个图中点的个数为：1＋(n－1)n，即为n2－n＋1(n∈N*)．
答案：n2－n＋1(n∈N*)
归纳推理在数阵中的应用
[例4]　如图是杨辉三角的前5行，请试写出第8行，并归纳、猜想一般规律．
[思路点拨]　由杨辉三角的前5行总结各行数字的规律，由此寻找第8行的数字，整体观察杨辉三角可得到多个有趣的规律．
[精解详析]　第8行：1 7 21 35 35 21 7 1.
一般规律：
(1)每行左、右的数字具有对称性；
(2)两斜边的数字都是1，其余数字等于它肩上两数字之和；
(3)奇数行中间一项最大，偶数行中间两项相等且最大．
[一点通]　解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下：
(1)明确各行、各列数的大小；
(2)分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系；
(3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论．
7.将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，则数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是________．
解析：第1行，第2行，第3行，…分别有1,2,3，…个数字，且每个数字前后差1，则第n－1行的最后一个数字加3即为第n(n≥3)行的从左至右的第3个数，前n－1行共有数字1＋2＋3＋…＋(n－1)＝，则第n(n≥3)行的从左至右的第3个数为＋3＝.
1
2　 4
3　 5　 7
6　 8　 10　12
9　 11　13　15　17
14 16 18 20 2224
… … … … ………
答案：
8.把正整数按一定的规则排成了右边所示的三角形数表，设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j行．如a42＝8，若aij＝2 009.则i和j的和为________．
解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32
个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1 923,2 009＝1 923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.
答案：107
1．归纳推理的一般步骤
(1)通过观察某类事物个别情况，发现某些相同性质．
(2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论．
(3)猜想这个结论对该类事物都成立．
2．归纳推理应注意的问题
归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．

一、填空题
1．(陕西高考)观察下列等式
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
…
照此规律， 第n个等式可为________________．
解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×
(2n－1)．
答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)
2．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2 014(x)＝________.
解析：f1(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，
f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，
f5(x)＝f4′(x)＝cos x，…再继续下去会重复出现，周期为4，
∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x.
答案：－sin x
3．根据三角恒等变换，可得到如下等式：
cos θ＝cos θ；
cos 2θ＝2cos2 θ－1；
cos 3θ＝4cos3 θ－3cos θ；
cos 4θ＝8cos4 θ－8cos2 θ＋1；
cos 5θ＝16cos5 θ－20cos3 θ＋5cos θ
依照规律猜想cos 6θ＝32cos6 θ＋mcos4 θ＋ncos2 θ－1.
则m＋n＝________.
解析：根据三角恒等变换等式可知，各项系数与常数项的和是1，
即32＋m＋n－1＝1.
∴m＋n＝－30.
答案：－30
4．已知an＝n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：
a1
a2　a3　a4
a5　a6　a7　a8　a9
……
记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)＝________.　
解析：每行对应的元素个数分别为1,3,5 …，那么第10行最后一个数为a100，则第11行的第12个数为a112，即A(11,12)＝a112＝112.
答案：112
5．经计算发现下列不等式：＋<2，＋<2， ＋<2，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________.
解析：2＋18＝20,4.5＋15.5＝20,3＋＋17－＝20，…，即各不等式左边两根号内的数之和等于20，右侧均为2.
答案：当a＋b＝20，a，b∈(0，＋∞)时，有＋≤2
二、解答题
6．已知 ＝2， ＝3， ＝4，…，若 ＝6(a，b均为实数)，请推测a，b的值．
解：由前面三个等式，推测归纳被开方数的整数部分与分数部分的关系，发现规律．
由三个等式，知整数部分和分数部分的分子相同，
而分母是这个分子的平方减1，
由此推测 中，a＝6，b＝62－1＝35，
即a＝6，b＝35.
7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线……由此猜出凸n边形有几条对角线？
解：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…
于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n－1边形多n－2条对角线，由此凸n边形对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
8．观察：①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1；
②tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.
由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．
解：观察到10°＋20°＋60°＝90°，5°＋10°＋75°＝90°，
因此猜测此推广为α＋β＋γ＝，
且α、β、γ都不为kπ＋，k∈Z，
则tan αtan β＋tan β tan γ＋tan αtan γ＝1.
证明如下：由α＋β＋γ＝得α＋β＝－γ，
∴tan(α＋β)＝tan＝cot γ.
又∵tan(α＋β)＝，
∴tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
＝cot γ(1－tan αtan β)．
∴tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α
＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β
＝tan γ(1－tan αtan β)·cot γ＋tan αtan β
＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1.
第二课时　类 比 推 理
为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家们把火星与地球作为类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．
问题：科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？
提示：在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的一个已知特征(有生命存在)出发，猜测火星也可能具有这个特征．
1．类比推理
根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：
→→
2．合情推理
合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践结果_，以及个人的经验等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．
类比推理的特点主要体现在以下几个方面：
(1)类比推理是从特殊到特殊的推理．
(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以，类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征．所以，进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征．

类比推理在数列中的应用
[例1]　在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？
[思路点拨]　在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．
[精解详析]　在等差数列{an}中，a10＝0，
∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，
即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1.
又由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n
＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
∴a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，
∴a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n，
若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n，
相应的，在等比数列{bn}中，若b9＝1，
则可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．
[一点通]　类比推理的一般模式为：A类事物具有性质a，b，c，d，B类事物具有性质a′，b′，c′，d′(a，b，c分别与a′，b′，c′相似或相同)，所以B类事物可能具有性质d′(d与d′相似或相同)．
若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N*)也是等差
数列．
类比上述性质，相应地：
若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn>0，则数列dn＝________(n∈N*)也是等比数列．
答案：
2．已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m，n∈N*)，则am＋n＝.现已知等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，且bm＝a，bn＝b(m≠n，m，n∈N*)，类比上述结论，求bm＋n.
解：等差数列通项an与项数n是一次函数关系，等比数列通项bn与项数n是指数型函数关系．利用类比可得bm＋n＝＝.
类比推理在几何中的应用
[例2]　
如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
[思路点拨]　在△DEF中，有三条边，三个角，与△DEF相对应的是四面体S－ABC，与三角形三条边长对应的是四面体三个侧面的面积，三角形三个角对应的是SA，SB，SC与底面ABC所成的三个线面角α1，α2，α3.在平面几何中三角形的有关性质，我们可以用类比的方法，推广到四面体、三棱柱等几何体中．
[精解详析]　在△DEF中，由正弦定理，得＝＝.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想＝＝成立．
[一点通]　(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．
(2)平面图形与空间图形类比
平面图形
空间图形
点
线
线
面
边长
面积
面积
体积
线线角
二面角
三角形
四面体
3．在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为________．
　　　 图(1)　　　　　　　　　(2)
解析：平面中的面积类比到空间为体积，
故类比成.
平面中的线段长类比到空间为面积，
故类比成.
故有＝.
答案：＝
4.如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解：如图所示，在四面体P—ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
合情推理的应用
[例3]　我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？
(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；
(2)探索等和数列{an}的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明；
(3)在等和数列{an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的前n项和Sn.
[思路点拨]　可先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n项和．
[精解详析]　(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．
(2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2，
所以an＋2＝an.
所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．
(3)当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈N*，则
Sn＝S2k－1＝S2k－2＋a2k－1＝(a＋b)＋a
＝(a＋b)＋a＝a＋b；
当n为偶数时，令n＝2k，k∈N*，则
Sn＝S2k＝k(a＋b)＝(a＋b)．
所以它的前n项和Sn＝
[一点通]　(1)本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能 力．
(2)本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．
5．类比平面向量基本定理：“如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么对于平面α内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2.”写出空间向量基本定理的是________．
答案：如果e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，那么对空间内任一向量a，有且只有一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3
6．已知椭圆C：＋＝1具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出类似的性质，并加以证明．
解：类似的性质：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．
证明如下：
设M(m，n)，则N(－m，－n)，其中－＝1.
设P(x，y)，由KPM＝，KPN＝，
得KPM·KPN＝·＝，
将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入得KPM·KPN＝.
1．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
2．多用下列技巧会提高所得结论的准确性：
(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．
(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．
(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．

一、填空题
1．正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是________，结论是________．
答案：正方体　正方体的体积为棱长的立方
2．给出下列推理：
(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，
四边形的内角和为(4－2)·180°，
五边形的内角和为(5－2)·180°，
……
所以凸n边形的内角和为(n－2)·180°；
(2)三角函数都是周期函数，y＝tan x是三角函数，所以y＝tan x是周期函数；
(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．
其中属于合情推理的是________．(填序号)
解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．
答案：(1)(3)(4)
3．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为________．
解析：△ABC的内心为O，连结OA，OB，OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c；类比：设四面体A－BCD的内切球球心为O，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.
答案：(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径)
4．在平面几何中，有射影定理：“在△ABC中，AB⊥AC，点A在BC边上的射影为D，有AB2＝BD·BC.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，点A在底面BCD上的射影为O，则有________．”
答案：S＝S△BOC·S△BCD
5．已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则＝________.”
解析：如图，易知球心O在线段AM上，不妨设四面体ABCD的边长为1，外接球的半径为R，
则BM＝×＝，
AM＝ ＝，
R＝ ，解得R＝.
于是，＝＝3.
答案：3
二、解答题
6．已知：等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，有如下的性质：
(1)通项an＝am＋(n－m)·d.
(2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，q∈N*，则am＋an＝ap＋aq.
(3)若m＋n＝2p，且m，n，p∈N*，则am＋an＝2ap.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．
解：设等比数列{bn}中，公比为q，前n项和为Sn.
(1)通项an＝am·qn－m.
(2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，q∈N*，
则am·an＝ap·aq.
(3)若m＋n＝2p，且m，n，p∈N*，则a＝am·an.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
7．类比圆的下列特征，找出球的相关特征．
(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；
(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；
(3)圆的周长与面积可求．
解：(1)在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球；
(2)空间中不共面的4个点确定一个球；
(3)球的表面积与体积可求．
8．若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b＝，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，写出对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式．
解：由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不惟一．解决这道试题要把握住a*b＝，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号 “*”和“＋”，则可容易得到a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋b)．
正确的结论还有：(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)，(a*b)＋c＝(b*a)＋c等．
2．1.2　演 绎 推 理
看下面两个问题：
(1)?是任意非空集合的真子集，A是非空集合，所以?是集合A的真子集；
(2)循环小数是有理数，0.33是循环小数，所以0.33是有理数．
问题1：这两个问题中的第一句都说明什么？
提示：都说的一般原理．
问题2：第二句又说什么？
提示：都说的特殊示例．
问题3：第三句呢？
提示：由一般原理对特殊示例作出判断．
1．演绎推理
含义
由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法．
特点
(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．
(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系．
(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化.
2．三段论
一般模式
常用格式
大前提
提供了一个一般性的原理
M是P
小前提
指出了一个特殊对象
S是M
结论
揭示了一般原理与特殊对象的内在联系
S是P
1．演绎推理是由一般到特殊的推理，一种必然性的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提与结论之间的联系是必然的．
2．三段论中大前提是一个一般性结论，是共性，小前提是指其中的一个，结论为这一个也具有大前提中的结论．要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误，结论就不正确．

把演绎推理写成三段论
[例1]　将下面的演绎推理写成三段论的形式：
(1)所有椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)，曲线C：＋y2＝1是椭圆，所以曲线C的离心率e的取值范围为(0,1)．
(2)等比数列的公比都不为零，数列{2n}(n∈N*)是等比数列，所以数列{2n}的公比不为零．
[思路点拨]　这种类型的题目只要明确各推理案例中的大前提、小前提与结论即可．
[精解详析]　(1)大前提：所有椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)．
小前提：曲线C：＋y2＝1是椭圆．
结论：曲线C的离心率e的取值范围为(0,1)．
(2)大前提：等比数列的公比都不为零．
小前提：数列{2n}(n∈N*)是等比数列．
结论：数列{2n}的公比不为零．
[一点通]　演绎推理的重要形式是三段论，分清大前提、小前提和结论是解题的关键．大前提是给出一般性的原理，小前提是指出特殊对象，结论是体现一般性原理与特殊对象的内在联系的必然结果．
1．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．
(2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不是对顶角，则此两角不相等．
(3)0.332是有理数．
(4)y＝sin x(x∈R)是周期函数．
解：(1)因为菱形的对角线相互垂直，(大前提)
正方形是菱形，(小前提)
所以正方形的对角线相互垂直．(结论)
(2)如果两个角是对顶角，则这两个角相等，(大前提)
∠1和∠2不是对顶角，(小前提)
所以∠1和∠2不相等．(结论)
(3)因为所有的有限小数是有理数，(大前提)
0．332是有限小数，(小前提)
所以0.332是有理数．(结论)
(4)因为三角函数是周期函数，(大前提)
y＝sin x(x∈R)是三角函数，(小前提)
所以y＝sin x是周期函数．(结论)
2．指出下列各演绎推理中的大前提、小前提，并判断结论是否正确．
(1)a∥b一定有a＝λb(λ∈R)，向量c与向量d平行，所以c＝λd.
(2)指数函数y＝ax(0解：(1)大前提：a∥b一定有a＝λb(λ∈R)．
小前提：向量c与向量d平行．
结论是错误的，原因是大前提错误．
因为当a≠0，b＝0时a∥b，
这时找不到实数λ使得a＝λb.
(2) 大前提：指数函数y＝ax(0小前提：y＝x是指数函数．
结论是正确的．因为大前提、小前提均是正确的．
利用三段论证明数学问题
[例2]　在平面四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求证：四边形ABCD为平行四边形．写出三段论形式的演绎推理．
[思路点拨]　原题可用符号表示为：AB＝CD且BC＝AD?四边形ABCD为平行四边形．用演绎推理来证明命题的方法，也就是从包含在命题中的一般原理推出包含在命题中的个别、特殊事实．为了证明这个命题为真，我们只需在前提(AB＝CD且BC＝AD)为真的情况下，以已知公理、已知定义、已知定理为依据，根据推理规则，导出结论为真．
[精解详析]　(1)连结AC.
(2)AB＝CD，(已知)
BC＝AD，(已知)
CA＝AC.
(3)平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：
对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等；(大前提)
△ABC和△CDA的三边对应相等；(小前提)
△ABC与△CDA全等．(结论)
符号表示：
AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC?△ABC≌△CDA.
(4)由全等三角形的性质可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：
对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等；(大前提)
△ABC和△CDA全等；(小前提)
它们的对应角相等，即∠1＝∠2，∠3＝∠4.(结论)
(5)内错角相等，两直线平行；(大前提)
∠1与∠2、∠3与∠4分别是AB与CD、AD
与BC被AC所截得到的内错角；(小前提)
AB∥CD，AD∥BC.(结论)
(6)两组对边分别平行的四边形为平行四边形；(大前提)
四边形ABCD的两组对边分别平行；(小前提)
四边形ABCD是平行四边形．(结论)
[一点通]　应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目的外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．
常见的解题错误：
①条件理解错误(小前提错)；
②定理引入和应用错误(大前提错)；
③推理过程错误等．
3．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝________.
解析：∵由题意可得，＋＋＝10，
∴a2＋b2＋c2＋＋＋－ax－by－cz＝0，
即2＋2＋2＝0.
∴a＝，b＝，c＝.
∴＝＝.
答案：
4.梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角．
已知：在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线．
求证：AC平分∠BCD，BD平分∠CBA.
证明：(1)等腰三角形两底角相等，(大前提)
△DAC是等腰三角形，DA，DC为两腰，(小前提)
∴∠1＝∠2.(结论)
(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等，(大前提)
∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截出的内错角，(小前提)，
∴∠1＝∠3.(结论)
(3)等于同一个量的两个量相等，(大前提)
∠2和∠3都等于∠1，(小前提)
∴∠2＝∠3.(结论)即AC平分∠BCD.
(4)同理DB平分∠CBA.
5.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.求证：AB⊥DE.
证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，
∴BD＝ ＝2，
∴AB2＋BD2＝AD2，
∴AB⊥BD.
又∵平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，
∴AB⊥平面EBD.
∵DE?平面EBD，
∴AB⊥DE.
合情推理
演绎推理
区别
定义
根据已有的事实和正确的结论(包括实验和实践的结果)，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程
根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程
思维方法
归纳、类比
三段论
推理形式
由部分到整体、由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理
由一般到特殊的推理
结论
结论不一定正确，有待于进一步证明
在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确
作用
具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，利于创新意识的培养
按照严格的逻辑法则推理，利于培养和提高演绎推理和逻辑证明的能力
联系
合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过逻辑推理来证明

一、填空题
1．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提_____________________________________________________________________；
小前提_____________________________________________________________________；
结论______________________________________________________________________．
答案：一次函数的图象是一条直线　函数y＝2x＋5是一次函数　函数y＝2x＋5的图象是一条直线．
2．“指数函数y＝ax(a>1)是增函数，y＝xα(α>1)是指函数，所以y＝xα(α>1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的命题序号是________．
①推理完全正确　②大前提不正确　③小前提不正确　④推理形式不正确
解析：∵y＝xα(α>1)是幂函数，而不是指数函数，∴小前提错误．
答案：③
3．“公差不为零的等差数列{an}的前n项和为关于n的没有常数项的二次函数，{bn}的前n项和为Sn＝n2＋3n.所以{bn}为等差数列”．上述推理中，下列说法正确的序号是________．
①大前提错误　②小前提错误　③结论错误　④正确
解析：该推理过程中，大前提、小前提、结论都正确．
答案：④
4．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是序号________．
解析：该推理的大前提是①，小前提是③，结论是②.
答案：③
5．α<0，幂函数y＝xα的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，y＝x－2是幂函数，由“三段论”可得结论________．
解析：“三段论”的结论是蕴涵于前提之中的特殊事实，结合大前提，小前提可得答案．
答案：y＝x－2的图象在区间(0，＋∞)上是减函数
二、解答题
6．将下面的演绎推理写成三段论的形式：
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾．
(2)两直线平行，同位角相等，如果∠A与∠B是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角，则∠A＝∠B.
解：(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，
小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃，
结论：水会沸腾．
(2)大前提：两条直线平行，同位角相等．
小前提：∠A与∠B是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角．
结论：∠A＝∠B.
7．已知函数f(x)＝(ax－a－x)，其中a＞0，且a≠1.
(1)判断函数f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性，并加以证明；
(2)判断f(2)－2与f(1)－1，f(3)－3与f(2)－2的大小关系，由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明．
解：(1)由已知得f′(x)＝(ax＋a－x)＞0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
(2)f(2)－2＞f(1)－1，f(3)－3＞f(2)－2.
一般的结论：f(n＋1)－(n＋1)＞f(n)－n(n∈N*)．
证明如下：
上述不等式等价于f(n＋1)－f(n)＞1，即＞1，
化简得(an＋1－1)(an－1)＞0，
在a＞0且a≠1的条件下，(an＋1－1)(an－1)＞0显然成立，
故f(n＋1)－(n＋1)＞f(n)－n(n∈N*)成立．
8．已知{an}是各项均为正数的等差数列．lg a1、lg a2、lg a4成等差数列，又bn＝(n＝1,2,3，…)．证明：{bn}为等比数列．
证明：∵lg a1、lg a2、lg a4成等差数列，
∴2lg a2＝lg a1＋lg a4，即a＝a1a4.
若{an}的公差为d，
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2，
从而d(d－a1)＝0.
①若d＝0，{an}为常数列，相应{bn}也是常数列，此时{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列．
②若d＝a1≠0，
则a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，bn＝＝.
这时{bn}是首项b1＝，公比为的等比数列．
综上，{bn}为等比数列．
2.1.3推理案例赏析

归纳推理的应用
[例1]　观察如图所示的“三角数阵”：
记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：
(1)第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、______________；
(2)依次写出a2、a3、a4、a5；
(3)归纳出an＋1与an的关系式．
[思路点拨]　(1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．
(2)由数阵可直接写出答案．
(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．
[精解详析]　(1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．
[答案]　6,16,25,25,16,6
(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11
(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，
∴由此归纳：an＋1＝an＋n.
[一点通]　对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了．
1．设[x]表示不超过x的最大整数，如[]＝2，[π]＝3，[k]＝k (k∈N*)．　
我的发现：[]＋[]＋[]＝3；
[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10；
[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21；
…
通过归纳推理，写出一般性结论_____________________________________________
__________________________________________________________(用含n的式子表示)．
解析：第n行右边第一个数是[]，往后是[]，[]，…，最后一个是[]．等号右边是n(2n＋1)．　
答案：[]＋[]＋[]＋ … ＋[]＝n(2n＋1)
2．(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面围成了多少个区域？
顶点数
边数
区域数
(a)
(b)
(c)
(d)
(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？
解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为
顶点数
边数
区域数
(a)
3
3
2
(b)
8
12
6
(c)
6
9
5
(d)
10
15
7
(2)观察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2，
通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.
(3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1 996，故这个平面图形有1 996条边．
类比推理的应用
[例2]　通过计算可得下列等式：
23－13＝3×12＋3×1＋1；
33－23＝3×22＋3×2＋1；
43－33＝3×32＋3×3＋1；
…
(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.
将以上各等式两边分别相加，得
(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，
即12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值．
[思路点拨]　类比上面的求法；可分别求出24－14，34－24,44－34，…(n＋1)4－n4，然后将各式相加求解．
[精解详析]　∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，
34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，
44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，
…
(n＋1)4－n4＝4×n3＋6×n2＋4×n＋1.
将以上各式两边分别相加，
得(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n
∴13＋23＋…＋n3＝·＝n2(n＋1)2.
[一点通]　(1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．
(2)类比推理的步骤与方法
第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．
第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．
3．二维空间中圆的一维侧度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.则四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.
解析：(2πr4)′＝8πr3.
答案：2πr4
4．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面的面积，S4表示截面的面积，那么你类比得到的结论是________．
解析：由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比，因此所得到的结论为：S＝S＋S＋S.
答案：S＝S＋S＋S
演绎推理的应用
　　[例3]　已知{an}为等差数列，首项a1>1，公差d>0，n>1且n∈N*.
求证：lg an＋1lg an－1<(lg an)2.
[思路点拨]　对数之积不能直接运算，可由基本不等式转化为对数之和进行运算．
[精解详析]　∵{an}为等差数列，
∴an＋1＋an－1＝2an.
∵d>0，
∴an－1an＋1＝(an－d)(an＋d)＝a－d2∵a1>1，d>0，∴an＝a1＋(n－1)d>1.
∴lg an>0.
∴lg an＋1·lg an－1≤2
＝2<2＝(lg an)2，
即lg an＋1·lg an－1<(lg an)2.
[一点通]　三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
5．如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.　
(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．
要求：写出每一个三段论的大前提、小前提、结论．
解：(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提)，侧面BCC1B1是菱形(小前提)，
所以B1C⊥BC1(结论)．
又线面垂直的判定定理(大前提)，
B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B(小前提)，
所以B1C⊥平面A1BC1(结论)．
又面面垂直的判定定理(大前提)，
B1C?平面AB1C，B1C⊥平面A1BC(小前提)，
所以平面AB1C⊥平面A1BC1(结论)．
(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．
根据线面平行的性质定理(大前提)，因为A1B∥平面B1CD(小前提)，所以A1B∥DE(结论)．
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1∶1.
6．求证：函数y＝是奇函数，且在定义域上是增函数．
证明：y＝f(x)＝＝1－，
所以f(x)的定义域为x∈R.
f(－x)＋f(x)＝＋
＝2－
＝2－
＝2－
＝2－2＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝2
＝2·.
因为x1所以f(x1)1．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常为我们提供证明的思路和方向．
2．在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论，再想办法去证明或否定发现的结论．

一、填空题
1．设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k＋1)＝f(k)＋________.
解析：k棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k－2条侧棱可构成k－2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．
所以f(k＋1)＝f(k)＋k－2＋1＝f(k)＋k－1.
答案：k－1
2．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有____条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝______；f(n)＝______.(答案用数字或含n的式子表示)
解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，即n＋n＋＝.
f(4)＝4×2＋×2＝12，
f(n)＝n(n－2)＋×(n－2)＝.
答案：　12　
3．(陕西高考)已知f(x)＝ ，x≥0，若 f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N*, 则f2 014(x)的表达式为________．
解析：由f1(x)＝?f2(x)＝f＝＝；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝＝，故可猜想f2 014(x)＝.
答案：
4．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
23＝　33＝　43＝　….
仿此，若m3的“分裂数”中有一个是2 015，则m＝________.
解析：根据分裂特点，设最小数为a1，
则ma1＋×2＝m3，
∴a1＝m2－m＋1.
∵a1为奇数，又452＝2 025，
∴猜想m＝45.
验证453＝91 125＝.
答案：45
5．观察以下等式
sin230°＋cos290°＋sin 30°·cos 90°＝；
sin225°＋cos285°＋sin 25°·cos 85°＝；
sin210°＋cos270°＋sin 10°·cos 70°＝.
推测出反映一般规律的等式：____________________.
解析：∵90°－30°＝60°，85°－25°＝60°，70°－10°＝60°，
∴其一般规律为sin2α＋cos2(60°＋α)＋sin αcos(60°＋α)＝.
答案：sin2α＋cos2(60°＋α)＋sin αcos(60°＋α)＝
二、解答题
6．试将下列演绎推理写成三段论的形式：
(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；
(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；
(4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．
解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，(大前提)
海王星是太阳系中的大行星，(小前提)
海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(结论)
(2)所有导体通电时发热，(大前提)
铁是导体，(小前提)
铁通电时发热．(结论)
(3)一次函数都是单调函数，(大前提)
函数y＝2x－1是一次函数，(小前提)
y＝2x－1是单调函数．(结论)
(4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，(大前提)
数列1,2,3，…，n是等差数列，(小前提)
数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．(结论)
7．平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与其对边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与其相对面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题．(写出三种即可)
解：(1)(平面)在平行四边形中，对角线互相平分；
(立体)在平行六面体中，体对角线相交于同一点，且在这一点互相平分．
(2)(平面)在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；
(立体)在平行六面体中，各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和．
(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；
(立体)球体积等于球表面积与半径之积的1/3.
(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍；
(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍．
8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)写出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
解：(1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…
由以上规律，可得出f(n＋1)－f(n)＝4n，
因为f(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，
所以当n≥2时，
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…
＝f[n－(n－1)]＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4[n－(n－1)]
＝2n2－2n＋1.
f(1)＝1也适合上式，故f(u)＝2n2－2n＋1(n∈N*)．
(3)当n≥2时，
＝＝，
所以＋＋＋…＋
＝1＋＝1＋＝－.
2.2.1　直 接 证 明
[对应学生用书P26]　
1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4.
证明：因为2a＋2b≥2＝2，
又a＋b＝3，所以2a＋2b≥2＝4.
故2a＋2b≥4成立．
问题1：本题利用什么公式？
提示：基本不等式．
问题2：本题证明顺序是什么？
提示：从已知到结论．
2．求证：＋2<2＋.
证明：要证明＋2<2＋，
由于＋2>0,2＋>0，
只需证明(＋2)2<(2＋)2，
展开得11＋4<11＋4，只需证明6<7，显然6<7成立．
所以＋2<2＋成立．
问题1：本题证明从哪里开始？
提示：从结论开始．
问题2：证题思路是什么？
提示：寻求上一步成立的充分条件．
1．直接证明
(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．
(2)直接证明的一般形式
?…?本题结论．
2．综合法和分析法
直接证明
定义
推证过程
综合法
从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法
?…?…?
分析法
从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法
?…?…?
1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．
2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．

综合法的应用
[例1]　已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥.
[思路点拨]　从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．
[精解详析]　∵a2＋≥，
b2＋≥，c2＋≥，
∴＋＋≥a＋b＋c
＝(a＋b＋c)＝.
∴a2＋b2＋c2≥.
[一点通]　综合法证明问题的步骤
第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．
第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．
第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
1．设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，
求证：＋＋>＋＋.
证明：∵a>0，b>0，c>0，且abc＝1，
∴＋＋＝bc＋ca＋ab.
又bc＋ca≥2·＝2＝2，
同理bc＋ab≥2，ca＋ab≥2.
∵a、b、c不全相等．
∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立．
∴2(bc＋ca＋ab)>2(＋＋)，
即bc＋ca＋ab>＋＋，
故＋＋>＋＋.
2.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；
(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．
解：(1)证明：法一：如图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，则a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b)＋μ(a·n)，
因为a⊥b，所以a·b＝0，
又因为a?π，n⊥π，所以a·n＝0，
故a·c＝0，从而a⊥c.
法二：如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，
则O∈c.
∵PO⊥π，a?π，
∴直线PO⊥a.
又a⊥b，b?平面PAO，PO∩b＝P，
∴a⊥平面PAO.又c?平面PAO，∴a⊥c.
(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.
逆命题为真命题．
分析法的应用
[例2]　已知a>b>0，求证：<－<.
[思路点拨]　本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．
[精解详析]　要证明<－<成立，
只需证即证<(－)2<成立．
只需证<－<成立．
只需证<1<成立，
即证＋<2且＋>2，
即<.
∵a>b>0，∴<成立．
∴<－<成立．
[一点通]　在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．
3．若P＝＋，Q＝＋，a≥0，求证：P＜Q.
证明：要证P＜Q，主要证P2＜Q2，
只要证2a＋7＋2＜2a＋7＋2，
即证a2＋7a＜a2＋7a＋12，
即证0＜12.
因为0＜12成立，
所以P＜Q成立．
4．已知a、b是正实数，求证：＋≥ ＋.
证明：要证＋≥ ＋，
只需证a＋b≥(＋)．
即证(a＋b－)(＋)≥(＋)，
即证a＋b－≥.
也就是要证a＋b≥2.
因为a，b为正实数，所以a＋b≥2成立，
所以＋≥ ＋.
综合法与分析法的综合应用
[例3]　已知0求证：≥1.
[思路点拨]　因为0[精解详析]　∵a>0，b>0，c>0，
∴要证≥1，
只需证1＋ab＋bc＋ca≥a＋b＋c＋abc，
即证1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0.
∵1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)
＝(1－a)＋b(a－1)＋c(a－1)＋bc(1－a)
＝(1－a)(1－b－c＋bc)＝(1－a)(1－b)(1－c)，
又a≤1，b≤1，c≤1，
∴(1－a)(1－b)(1－c)≥0，
∴1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0成立，
即证明了≥1.
[一点通]　(1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．
(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．
5．在△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列．求证：＋＝.
证明：要证＋＝，
只需证＋＝3，即＋＝1，
只需证＝1，
即＝1.
下面证明：＝1.
∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°.
∴b2＝a2＋c2－ac.
∴＝＝1.
故原等式成立．
6．若a，b，c是不全相等的正数．
求证：lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c.
证明：要证lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c成立，即证lg>lg(abc)成立，
只需证··>abc成立，
∵≥>0，≥>0，≥>0，
∴··≥abc>0，(*)
又∵a，b，c是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立，
∴原不等式成立．
1．综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．
2．分析法是执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．
3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P2；当由P1可以推出P2时，结论得证．

一、填空题
1．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝.
又∵A>B，∴a>b，∴sin A>sin B
反之，若sin A>sin B，则a>b，∴A>B
∴A>B是sin A>sin B的充要条件．
答案：充要
2．设n∈N，则－________－(判断大小)．
解析：要证－<－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
即2n＋5＋2<2n＋5＋2.
只需证<，
只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，
即n2＋5n＋4而4<6成立，故－<－.
答案：<
3．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：a＋b>a＋b
?a－a>b－b
?a(－)>b(－)
?(a－b)(－)>0
?(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
4．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)
解析：如图，设S在底面ABC上的射影为点O，
∴SO⊥平面ABC，连接AO，BO，
∵SA⊥BC，SO⊥BC，
∴BC⊥平面SAO，
∴BC⊥AO.
同理可证，AC⊥BO.
∴O为△ABC的垂心．
答案：垂心
5．已知函数f(x)＝10x，a＞0，b＞0，A＝f，B＝f，C＝f，则A，B，C的大小关系为________．
解析：由≥≥，又f(x)＝10x在R上是单调增函数，所以f≥f≥f，
即A≥B≥C.
答案：A≥B≥C
二、解答题
6．已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．
解：f(a)＋f(c)＞2f(b)．
证明如下：因为a，b，c是两两不相等的正数，
所以a＋c＞2.
因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)＞b2＋4b，
即ac＋2(a＋c)＋4＞b2＋4b＋4，
从而(a＋2)(c＋2)＞(b＋2)2.
因为f(x)＝log2(x＋2)是增函数，
所以log2(a＋2)(c＋2)＞log2(b＋2)2，
即log2(a＋2)＋log2(c＋2)＞2log2(b＋2)．
故f(a)＋f(c)＞2f(b)．
7．已知a>0，用分析法证明： －>a＋－2.
证明：要证 －≥a＋－2，
只需证 ＋2≥a＋＋.
因为a>0，故只需证2≥2，
即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2 ＋2，
从而只需证2≥ ，
只需证4≥2，
即a2＋≥2，
而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
8．(江苏高考改编)设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和．记bn＝，n∈N*，其中 c为实数．若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)．
证明：由c＝0，得bn＝＝a＋d.
又b1，b2，b4成等比数列，所以b＝b1b4，
即2＝a，
化简得d2－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.
因此，对于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.
从而对于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.
2．2.2　间 接 证 明
1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？
提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”．
2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证：a，b，c不可能都是奇数．
问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？
提示：不能．
问题2：a、b、c不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件a2＋b2＝c2吗？
提示：都是奇数．若a、b、c都是奇数，则不能满足条件a2＋b2＝c2.
1．间接证明
不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．反证法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有同一法、枚举法等．
2．反证法
(1)反证法证明过程
反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)，用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下面的框图表示：
→→→
(2)反证法证明命题“若p则q”的步骤
①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．
②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．
③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．
1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法．
2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与反设矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．

用反证法证明否定性命题
[例1]　已知平面上四点，没有三点共线，求证：以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
[思路点拨]　本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角形，再分情况去推出矛盾．
[精解详析]　假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D，考虑△ABC，点D的位置分为在△ABC之内或之外两种情况．
(1)如果点D在△ABC之内(如图(1))，根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．
(2)如果点D在△ABC之外(如图(2))，根据假设∠A，∠B，∠C，∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．
综上所述．原结论成立．
[一点通]　(1)结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法．
(2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”．
1．实数a、b、c不全为0等价于________(填序号)．
①a，b，c全不为0；②a，b，c中最多只有一个为0；③a，b，c中只有一个不为0；④a，b，c中至少有一个不为0.
解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”．
答案：④
2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线．
解：假设直线BM与A1N共面．
则A1D1?平面A1BND1，
且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，
由正方体特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN，
又A1D1∥BC，所以BN∥BC.
这与BN∩BC＝B矛盾，故假设不成立．
所以直线BM与直线A1N是两条异面直线．
3．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，， 不成等差数列．
证明：假设，，成等差数列，
则＋＝2，
即a＋c＋2＝4b，
而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，
所以(－)2＝0.即＝，
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故， ， 不成等差数列．
用反证法证明惟一性命题
[例2]　求证：两条相交直线有且只有一个交点．
[思路点拨]　“有且只有一个”的否定分两种情况：“至少有两个”、“一个也没有”．
[精解详析]　假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点．
若直线a，b无交点，
则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．
若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，
这样同时经过点A，B就有两条直线，
这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
[一点通]　证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单明了．
4．证明方程2x＝3有且仅有一个根．
证明：∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程有一个根．
下面用反证法证明方程2x＝3的根是惟一的，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3.
两式相除得：2b1－b2＝1.
如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这就同b1≠b2相矛盾．
如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．
故2x＝3有且仅有一个根．
5．求证：过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．
解：已知P?平面α.
求证：过点P和平面α垂直的直线b有且只有一条．
证明：(1)存在性：∵P?平面α，由立体几何知识知：过点P能作出一条直线与平面α垂直，故直线b存在．
(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与平面α垂直．
由b⊥α，c⊥α，得b∥c，这与b∩c＝P矛盾，故假设不存在，因此直线b惟一．
综上所述，过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．
用反证法证明“至多”、“至少”型命题
　
[例3]　已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.
求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
[思路点拨]　本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数，具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能．所以正面证明很复杂，可考虑用反证法．
[精解详析]　假设a、b、c、d都不是负数，
即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.
∵a＋b＝c＋d＝1，
∴b＝1－a≥0，d＝1－c≥0.
∴ac＋bd＝ac＋(1－a)(1－c)＝2ac－(a＋c)＋1
＝(ac－a)＋(ac－c)＋1＝a(c－1)＋c(a－1)＋1.
∵a(c－1)≤0，c(a－1)≤0.
∴a(c－1)＋c(a－1)＋1≤1，
即ac＋bd≤1.
与ac＋bd>1相矛盾．
∴假设不成立．∴a、b、c、d中至少有一个是负数．
[一点通]　(1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．
(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：
原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有(不存在)
至少有两个
至多有n－1个
至少有n＋1个
6．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
∵a，b，c∈(0,1)，
∴1－a＞0,1－b＞0,1－c＞0，
∴≥＞＝.
同理＞，＞.
三式相加，得＋＋＞，
即＞，矛盾．
所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
7．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．
证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个根，
设α，β为其中的两个实根．
因为α≠β，不妨设α<β，
又因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，
所以f(α)这与f(α)＝0＝f(β)矛盾．
所以方程f(x)＝0在区间 [a，b]上至多只有一个实根．
1．反证法证明的适用情形
(1)一些基本命题、基本定理；
(2)易导出与已知矛盾的命题；
(3)“否定性”命题；
(4)“惟一性”命题；
(5)“必然性”命题；
(6)“至多”“至少”类命题；
(7)涉及“无限”结论的命题．
2．用反证法证明问题应注意以下三点
(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必然罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；
(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；
(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．

一、填空题
1．命题“，中至多有一个小于2”的反设为________．
答案：，都小于2
2．(山东高考改编)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是____________________．
解析：至少有一个实根的否定是没有实根．
答案：方程x3＋ax＋b＝0没有实根
用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为
____________________．
解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．
答案：a，b不全为0
4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.
答案：③①②
5．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．
解析：对“且”的否定应为“或”，所以“x≠a且x≠b”的否定应为“x＝a或x＝b”．
答案：x＝a或x＝b
二、解答题
6．(陕西高考)设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
解：(1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，
∴Sn＝
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．
7．设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
证明：假设|f(1)|<，|f(2)|<，|f(3)|<，
则有
于是有
由①、②得－4由②、③得－6④、⑤显然相互矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确．
8．已知P?直线a.求证：过点P和直线a平行的直线b有且只有一条．
证明：(1)存在性：∵P?直线a，∴点P和直线a确定一个平面α.
由平面几何知识知：在平面α内过点P能作出一条直线与直线a平行，故直线b存在．
(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与a平行．
∵a∥b，a∥c，∴b∥c，这与直线b、c有共点P矛盾．
故假设不存在，因此直线b惟一．
综上所述，过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．
第一课时　利用数学归纳法证明等式、不等式问题
[对应学生用书P48]
在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．
问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？
提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．
问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？
提示：一些与正整数n有关的问题．
数学归纳法
一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果
(1)当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．
那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．
数学归纳法的两个步骤之间的联系：
第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得不出正确的结论，因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判断．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．

用数学归纳法证明恒等式
[例1]　用数学归纳法证明：
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
[思路点拨]　等式的左边有2n项，右边共有n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左右两边的首项不同．因此，从n＝k到n＝k＋1时要注意项的合并．
[精解详析]　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，
右边＝，命题成立．
(2)假设当n＝k时命题成立，即
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
那么当n＝k＋1时，
左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋＋.
右边＝＋＋…＋＋＋，
左边＝右边，
上式表明当n＝k＋1时命题也成立．
由(1)和(2)知，命题对一切非零自然数均成立．
[一点通]　(1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
(2)证明n＝k＋1时成立，必须用到假设n＝k成立的结论．
1．用数列归纳法证明：当n∈N*时，
－1＋3－5＋ … ＋(－1)n(2n－1)＝(－1)n·n.
证明：(1)当n＝1时，左边＝－1，右边＝－1，
所以左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k＞1，k∈N*)时等式成立，
即－1＋3－5＋ … ＋(－1)k(2k－1)＝(－1)k·k.
那么当n＝k＋1时，
－1＋3－5＋ … ＋(－1)k(2k－1)＋(－1)k＋1·(2k＋1)
＝(－1)k·k＋(－1)k＋1(2k＋1)
＝(－1)k＋1(－k)＋(－1)k＋1(2k＋1)
＝(－1)k＋1(2k＋1－k)
＝(－1)k＋1(k＋1)
这就是说n＝k＋1时等式也成立，
由(1)(2)可知，对任何n∈N*等式都成立．
2．用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，
所以左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k时等式成立，
即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立．
则当n＝k＋1时，
左边＝12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋[2(k＋1)－1]2－[2(k＋1)]2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)2
＝(k＋1) [2k＋1－4(k＋1)]＝(k＋1)(－2k－3)
＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]＝右边，
所以当n＝k＋1时，等式成立．
由(1)(2)可知对于任意正整数n，等式都成立．
用数学归纳法证明不等式
[例2]　求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．
[思路点拨]　运用数学归纳法证明，证明时仔细观察不等式的结构特征，在第二步证明当n＝k＋1时，如何进行不等式的变换是关键．另外，要注意本题n的初始值为2.
[精解详析]　(1)当n＝2时，
左边＝＋＋＋＝>，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，
即＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋
＝＋＋…＋＋－>＋>＋＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)(2)可知原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立．
[一点通]　利用数学归纳法证明与n有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一，应用过程中注意：
(1)证明不等式的第二步即从n＝k到n＝k＋1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现；
(2)与n有关的不等式的证明有时并不一定非用数学归纳法不可，还经常用到不等式证明中的比较法、分析法、配方法、放缩法等．
3．用数学归纳法证明不等式＋＋ … ＋＞的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．
解析：n＝k，左边＝＋＋ … ，
n＝k＋1时，
左边＝＋＋ …＋
＝＋＋＋ …＋ ＋＋－
＝＋＋ … ＋＋.
答案：
4．求证＋＋＋…＋＞(n≥2且n∈N*)．
证明：当n＝2时，左边＝＋＝，右边＝＝0，左边＞右边，此时不等式成立．
假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式成立，
即＋＋＋…＋＞.
当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＝＋＝＋
＝＝，
即当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任何n≥2且n∈N*，不等式都成立．
5．证明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2＝2.
显然命题成立．
(2)假设n＝k时命题成立，
即1＋＋＋…＋<2.
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋<2＋
＝<
＝＝2
这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．
根据(1)(2)，可知不等式对任意正整数n都成立．
应用数学归纳法时应注意的问题
(1)第一步的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3甚至需要验证n＝10，如证明：对足够大的正整数n，有2n>n3，就需要验证n＝10时不等式成立．
(2)n＝k＋1时式子的项数，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错．因此对n＝k与n＝k＋1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．
(3)“假设n＝k(k≥1)时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设，否则这样的证明就不再是数学归纳法了．另外在推导过程中要把步骤写完整，注意证明过程中的严谨性、规范性．
[对应课时跟踪训练(十八)]　
一、填空题
1．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”，在验证n＝1成立时，左边＝________.
解析：因为左边式子中a的最高指数是n＋1，所以当n＝1时，a的最高指数为2，根据左边式子规律可得，当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.
答案：1＋a＋a2
2．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．
答案：1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2
3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取________．
解析：左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－代入验证可知n的最小值为8.
答案：8
4．对于不等式(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立；
(2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 <＝＝
(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，命题成立．
上述证法的错误在于_______________________________________________________．
答案：没有用归纳假设
5．用数学归纳法证明：“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”．从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为________．
解析：当n＝k时左端的第一项为(k＋1)，最后一项为(k＋k)，当n＝k＋1时，左端的第一项为(k＋2)，最后一项为(2k＋2)，
所以左边乘以(2k＋1)(2k＋2)，同时还要除以(k＋1)．
答案：2(2k＋1)
二、解答题
6．用数学归纳法证明：
1＋5＋9＋13＋…＋(4n－3)＝2n2－n(n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k.
则当n＝k＋1时，1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)
＝2k2－k＋(4k＋1)
＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1)．
所以当n＝k＋1时，命题成立．
综上所述，原命题成立．
7．用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；
(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即
1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1.
则n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1
＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1)
＝2k2＋2k＋1
＝2(k＋1)2－2(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，等式成立，
由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立．
8．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式…>均成立．
证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.
∵左边>右边，∴不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时，不等式成立，即
…>.
则当n＝k＋1时，
…
>·
＝＝>
＝＝.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．
第二课时　利用数学归纳法证明几何、整除等问题

利用数学归纳法证明几何问题
[例1]　平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，用数学归纳法证明：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分．
[思路点拨]　分清当n从k变到k＋1时，增加了几部分．
[精解详析]　(1)当n＝1时，f(1)＝12－1＋2＝2，
一个圆把平面分成两部分，命题成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．
当n＝k＋1时，第k＋1个圆与其他k个圆相交于2k个点．
第k＋1个圆被分成2k条弧，而每条弧把原区域分成2块，因此这个平面被分成的总区域数增加了2k块，
即f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，
故当n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)和(2)，可知命题对任何n∈N*都成立．
[一点通]　用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．
1．几个半圆的圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，求证这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧段数为f(n)＝n2.(n≥2，n∈N*)．
证明：
(1)如图，n＝2时，两个半圆交于一点，
则分成4段圆弧，故f(2)＝4＝22.
(2)假设n＝k时，f(k)＝k2成立，
当n＝k＋1时，第k＋1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k＋1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧，另外原k个半圆把k＋1个半圆分成k＋1段，这样又多出了k＋1段圆弧．
所以f(k＋1)＝k2＋k＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
由(1)，(2)可知命题得证．
利用数学归纳法证明整除问题
[例2]　用数学归纳法证明f(n)＝3×52n＋1＋23n＋1对任意正整数n，都能被17整除．
[思路点拨]　证明整除性问题的关键是在命题f(k＋1)中拼凑出f(k)的表达式，分析其余项能被17整除就可以了．
[精解详析]　(1)当n＝1时，
f(1)＝3×53＋24＝17×23，能被17整除，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，
f(k)＝3×52k＋1＋23k＋1能被17整除．
则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝3×52k＋3＋23k＋4
＝52×3×52k＋1＋23×23k＋1
＝25×3×52k＋1＋8×23k＋1
＝17×3×52k＋1＋8×(3×52k＋1＋23k＋1)
＝17×3×52k＋1＋8×f(k)．
由归纳假设，f(k)能被17整除，17×3×52k＋1也能被17整除，所以f(k＋1)能被17整除．
由(1)和(2)可知，对任意n∈N*，f(n)都能被17整除．
[一点通]　证明整除性问题的关键是“凑项”，即f(k＋1)的式子中“凑”出f(k)的形式，常采用拆项、增项、减项和因式分解等手段，凑完项后式子总会含有两部分，一部分是归纳假设，即f(k)．另一部分是一定能被题中的数(或式)整除的量．
2．求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.
证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．
(2)假设n＝k时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.
由归纳假设知，上式中的两部分均能被a2＋a＋1整除，
故n＝k＋1时命题成立．
根据(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．
3．用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
证明：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，
f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9
＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9
＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)
＝9f(k)＋64(k＋1)．
∴n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，对任意的n∈N*，命题都成立．
归纳——猜想——证明
[例3]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)．
(1)试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
(2)证明你的猜想，并求出an的表达式．
[思路点拨]　→→
[精解详析]　(1)∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
∴Sn＝n2(Sn－Sn－1)．
∴Sn＝Sn－1(n≥2)，
∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，
S2＝，S3＝＝，S4＝，
猜想Sn＝.
(2)证明：①当n＝1时，S1＝1成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，
即Sk＝，
当n＝k＋1时，
Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1
＝ak＋1＋Sk＝ak＋1＋，
∴ak＋1＝，
∴Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝＝，
∴n＝k＋1时等式也成立，得证．
∴根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立．
又∵ak＋1＝，
∴an＝.
[一点通]　(1)数列是定义在N*上的特殊函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中不少问题常用数学归纳法解决．
(2)数学归纳法证明数列问题的一般思路：归纳——猜想——证明．
4．数列{an}满足an＞0(n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和，并且满足Sn＝，求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．
解：由an＞0，得Sn＞0，
由a1＝S1＝，整理得a＝1，
取正根得a1＝1，所以S1＝1.
由S2＝及a2＝S2－S1＝S2－1，
得S2＝，
整理得S＝2，取正根得S2＝.
同理可求得S3＝.
由此猜想Sn＝.
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，上面已求出S1＝1，结论成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即Sk＝.
那么，当n＝k＋1时，
Sk＋1＝
＝
＝.
整理得S＝k＋1，取正根得Sk＋1＝.
故当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，对一切n∈N*，Sn＝都成立．
5．是否存在常数a，b，使得等式(n2－12)＋2(n2－22)＋3(n2－32)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2对一切正整数n都成立？荐存在，求出a，b值；若不存在说明理由．
解：存在a，b，使得所给等式成立．
将n＝1,2代入等式得解得
下面用数学归纳法证明等式(n2－12)＋2(n2－22)＋3(n2－32)＋…＋n(n2－n2)＝n4－n2对一切正整数n都成立．
①当n＝1时，由以上可知等式成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，
即(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k4－k2，
则当n＝k＋1时，[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]
＝(k2－1)2＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)
＝k4－k2＋(2k＋1)·
＝(k＋1)4－(k＋1)2.
由①②知，存在a＝，b＝－使得等式对一切正整数n都成立．
1．在证明整除问题时，有些命题可能仅当n是偶数(或奇数)时成立，证明时可适当地转化k，使k成为全体自然数的形式．如：证明xn＋yn，n为正奇数，能被x＋y整除，证明时需将问题转化为证明x2k－1＋y2k－1，k∈N*，能被x＋y整除．
2．几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊猜想出一般结论．
3．利用“归纳——猜想——证明”来研究探索性问题，一般从最特殊的情况入手，通过分析、归纳、猜想，从而达到探索一般规律的目的．
[对应课时跟踪训练(十九)]　
一、填空题
1．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.
答案：π
2．用数学归纳法证明n(n＋1)(2n＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n＝k＋1时命题成立，需将n＝k＋1时的原式表示成________．
解析：f(k)＝k(k＋1)(2k＋1)，f(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2.
答案：f(k＋1)＝f(k)＋6(k＋1)2
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成________．
解析：∵n为正奇数，∴第二步应设n＝2k－1(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除．
答案：设n＝2k－1(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除
4．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，且n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．
解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k.
答案：2k
5．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
解析：观察不等式中的分母变化知，＋＋…＋＋＋>－.
答案：＋＋…＋＋＋>－
二、解答题
6．设an＝8n－1，用数学归纳法证明：an能被7整除(n∈N*)．
证明：(1)n＝1时，a1＝81－1＝7，显然a1能被7整除．
(2)假设n＝k时，ak能被7整除，不妨设ak＝7S，
S∈N*，
即8k＝7S＋1.
则当n＝k＋1时，ak＋1＝8k＋1－1
＝8·8k－1＝8(7S＋1)－1
＝56S＋7.
∴ak＋1能被7整除．
由(1)，(2)知，an能被7整除．
7．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
解：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，
猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)．
(2)证明：①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，猜想成立．
②假设n＝k时成立，即ak＝5×2k－2(k≥2，k∈N*)，
当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2
＝5＋＝5×2k－1，
故n＝k＋1时猜想也成立．
由①②可知，对n≥2，n∈N*有an＝5×2n－2.
所以数列{an}的通项an＝
8．设函数y＝f(x)，对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值；
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式并用数学归纳法证明．
解：(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，
得f(0)＝0.
(2)由f(1)＝1，
得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4；
f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9；
f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.
(3)由(2)可猜想f(n)＝n2.
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，f(1)＝12＝1显然成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即f(k)＝k2，
则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，
故当n＝k＋1时命题也成立，
由①②可得，对一切n∈N*都有f(n)＝n2成立．
第二章 推理与证明
[对应学生用书P52]
一、合情推理和演绎推理
1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．
2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．
二、直接证明和间接证明
1．直接证明包括综合法和分析法：
(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“?”．
(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B?B1?B2?…?Bn?A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“?”．
2．间接证明主要是反证法：
反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．
反证法主要适用于以下两种情形：
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；
(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
三、数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．
　
一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．
答案：A
2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．
解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．
故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．
答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大
3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)
①演绎推理是由一般到特殊的推理　②演绎推理得到的结论一定是正确的　③演绎推理的一般模式是“三段论”形式　④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关
解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．
答案：①③④
4．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．
答案：菱形对角线互相垂直且平分
5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：＝＝·＝×＝.
答案：1∶8
6．(陕西高考)观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
7．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________．
解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．
答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心
8．已知x，y∈R＋，当x2＋y2＝________时，有x＋y＝1.
解析：要使x＋y＝1，
只需x2(1－y2)＝1＋y2(1－x2)－2y，
即2y＝1－x2＋y2.
只需使(－y)2＝0，
即＝y，∴x2＋y2＝1.
答案：1
9．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1；
③则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，则当n＝k＋1时等式成立．由此可知，对任何n∈N*，等式都成立．
上述证明步骤中错误的是________．
解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误．
答案：③
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝r2(r＞0)内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若＝m＋n (m，n∈R)，则是m2，n2的等差中项；现有一椭圆＋＝1(a＞b＞0)内切于矩形ABCD，任取椭圆上一点P，若＝m＋n (m，n∈R)，则m2，n2的等差中项为________．
解析：如图，设P(x，y)，由＋＝1知A(a，b)，B(－a，b)，由＝m＋n可得代入＋＝1可得(m－n)2＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝，所以＝，即m2，n2的等差中项为.
答案：
11．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；…，依此类推．设BA＝a1 ，AA1＝a2 , A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________.
解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×6＝.
法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n，故a7＝2×6＝.
答案：
12．已知x>0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为________．
解析：由x＋≥2，x＋＝x＋≥3，x＋＝x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，故a＝nn.
答案：nn
13．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中共有________个顶点．
解析：设第n个图形中有an个顶点，
则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，
an－2＝n＋n·n，
an＝(n＋2)2＋n＋2＝n2＋5n＋6.
答案：n2＋5n＋6
14．(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数　　　 N(n,3)＝n2＋n，
正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
六边形数 N(n,6)＝2n2－n，
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.
解析：N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中数列{ak}是以为首项，为公差的等差数列；数列{bk}是以为首项，－为公差的等差数列；所以N(n,24)＝11n2－10n，当n＝10时，N(10,24)＝11×102－10×10＝1 000.
答案：1 000
二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.
证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1.
∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，
∴≥4，
又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4.

∴＋＋≥8.
16．(本小题满分14分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝n(n∈N*)，若Tn＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n－1，bn＝6Tn－5nan，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，求数列{bn}的通项公式．
解：因为Tn＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n－1，①
所以5Tn＝a1·5＋a2·52＋a3·53＋…＋an－1·5n－1＋an·5n，②
由①＋②得：
6Tn＝a1＋(a1＋a2)·5＋(a2＋a3)·52＋…＋(an－1＋an)·5n－1＋an·5n
＝1＋×5＋2×52＋…＋n－1×5n－1＋an·5n
＝n＋an·5n，
所以6Tn－5nan＝n，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝n.
17．(本小题满分14分)观察
①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝；
②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝.
由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，
由此猜想：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝.
证明：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)
＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin 2α
＝＋＋sin 2α
＝＋＋cos 2α－sin 2α＋sin 2α
＝.
18．(本小题满分16分)已知实数a、b、c满足0证明：假设(2－a)b>1，(2－b)c>1，(2－c)a>1，
则三式相乘：(2－a)b(2－b)c(2－c)a>1①
而(2－a)a≤2＝1，
同理，(2－b)b≤1，(2－c)c≤1，
即(2－a)b(2－b)c(2－c)a≤1，
显然与①矛盾，
所以原结论成立．
19．(本小题满分16分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项an的表达式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
解：(1)由Sn＝2n－an，得，a1＝2－a1，即a1＝1.
S2＝a1＋a2＝4－a2，解得a2＝.
S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，解得a3＝.
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，解得a4＝.
由此猜想an＝(n∈N*)．
(2)①当n＝1时，a1＝1，结论成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，
则ak＋1＝＝＝＝，
这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．
根据①和②，可知猜想对任何n∈N*都成立，
即an＝(n∈N*)．
20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)，
(1)证明：an≥2n－1(n∈N*)．
(2)试比较＋＋…＋与1的大小，并说明理由．
解：(1)证明：∵f′(x)＝x2－1，
∴an＋1≥(an＋1)2－1＝a＋2an.
①当n＝1时，a1≥1＝21－1，命题成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，
即ak≥2k－1；那么当n＝k＋1时，
ak＋1≥a＋2ak＝ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)
＝22k－1≥2k＋1－1.
即当n＝k＋1时，命题成立，
综上所述，命题成立．
(2)∵an≥2n－1，∴1＋an≥2n，∴≤.
∴＋＋…＋≤＋＋…＋＝1－<1.
高考七大高频考点例析
[对应学生用书P64]
导数的几何意义及运算
考查方式
　　从近几年的高考试题分析，对该部分内容的考查，主要考查利用导数的几何意义求切线方程；导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导；题型既有填空题，又有解答题，难度中等左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识．
备考指要
　　函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)，于是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．求切线方程时，应明确“在某点处的切线方程”和“过某点的切线方程”的不同；熟练掌握基本函数的导数及导数的四则运算.

[例1]　(广东高考)曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________________．
[解析]　由y＝e－5x＋2?y′＝－5e－5x?切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，于是切线方程为y－3＝－5(x－0)?5x＋y－3＝0.
[答案]　5x＋y－3＝0
[例2]　曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________________．
[解析]　∵y＝x(3ln x＋1)，
∴y′＝3ln x＋1＋x·＝3ln x＋4，
∴k＝y′|x＝1＝4，
∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
[答案]　y＝4x－3

1．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线的斜率为________．
解析：y′＝(ex)′＝ex，
所以当x＝0时，y′＝e0＝1.
答案：1
2．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为________．
解析：y′＝－3x2＋6x，∴当x＝1时，y′＝3，
即斜率k＝3.
所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.
答案：3x－y－1＝0
3．如果曲线y＝x4－x在点P处的切线垂直于直线y＝－x，那么点P的坐标为________．
解析：由y′＝4x3－1，当y′＝3时，有4x3－1＝3，可解得x＝1，此时，点P的坐标为(1,0)．
答案：(1,0)
4．(北京高考)已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
解：由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得f′(x)＝x(2＋cos x)，f(x)为偶函数．
(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，
所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．
解得a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f′(x)＝0，得x＝0.
f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
1
?
所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．
当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；
当b>1时，
f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，
f(0)＝1所以存在x1∈(－2b,0)，x2∈(0,2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.
由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．
综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．
利用导数研究函数的单调性
考查方式
　　利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用之一．主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性，在高考命题中，若以填空题的形式出现，难度则以中低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主．
备考指要
　　利用导数的符号判断函数的单调性是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．
特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接 .

[例3]　(山东高考)已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R)．
(1)设a≥0，求f(x)的单调区间；
(2)设a＞0，且对任意x＞0，f(x)≥f(1)．试比较ln a与－2b的大小．
[解]　(1)由f(x)＝ax2＋bx－ln x，x∈(0，＋∞)，
得f′(x)＝.
①当a＝0时，f′(x)＝.
(ⅰ)若b≤0，当x>0时，f′(x)<0恒成立，
所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)．
(ⅱ)若b>0，当0当x>时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
②当a>0时，令f′(x)＝0，
得2ax2＋bx－1＝0.
由Δ＝b2＋8a>0，得x1＝，
x2＝.
当0当x>x2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
综上所述，
当a＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；
当a＝0，b>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；
当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是，＋∞.
(2)由题意知，函数f(x)在x＝1处取得最小值．
由(1)知是f(x)的唯一极小值点，
故＝1，整理得2a＋b＝1即b＝1－2a.
令g(x)＝2－4x＋ln x，
则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝，
当00，g(x)单调递增；
当x>时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
因此g(x)≤g＝1＋ln ＝1－ln 4<0.
故g(a)<0，即2－4a＋ln a＝2b＋ln a<0，
即ln a<－2b.

5．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3ax2－1，∵f(x)在R上为减函数，
∴f′(x)≤0在R上恒成立，∴a≤0.
答案：(－∞，0]
6．函数f(x)＝3x2－x3的单调递减区间为________．
解析：f′(x)＝6x－3x2，令f′(x)<0，
则6x－3x2<0，即x2－2x>0，
解之得x>2或x<0，
所以该函数的单调减区间为(2，＋∞)，(－∞，0)．
答案：(2，＋∞)，(－∞，0)
7．函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．
解析：∵f′(x)＝3x2－a，∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即3x2－a≥0，∴a≤3x2，∴a≤3，即a的最大值为3.
答案：3
8．(新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值；
(3)已知1.414 2<<1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．
解：(1)f′(x)＝ex＋e－x－2≥0，等号仅当x＝0时成立．所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(ex－e－x)＋(8b－4)x，
g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(ex＋e－x)＋(4b－2)]
＝2(ex＋e－x－2)(ex＋e－x－2b＋2)．
(ⅰ)当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，
所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．而g(0)＝0，
所以对任意x>0，g(x)>0；
(ⅱ)当b>2时，若x满足2综上，b的最大值为2.
(3)由(2)知，g(ln)＝－2b＋2(2b－1)ln 2.
当b＝2时，g(ln )＝－4＋6ln 2>0，
ln 2>>0.692 8；
当b＝＋1时，ln(b－1＋)＝ln，
g(ln)＝－－2＋(3＋2)ln 2<0，
ln 2<<0.693 4.
所以ln 2的近似值为0.693.

利用导数研究函数的极值和最值
考查方式
　　利用导数研究函数的极值是高考对导数考查的一个重点内容，经常与函数单调性，函数图象的考查融合在一起，研究方程根的情况、不等式的证明等．本部分内容是高考的重点和热点．在高考试题中，既有填空题的形式，也有解答题的形式．基本上是中档或中档偏难题目．
备考指要
　　利用导数研究函数的极值和最值应明确求解步骤，求解时切记函数的定义域，正确区分最值与极值不同，函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值比较大小．而最值是在整个区间上对函数值比较大小．函数的极值可以有多个，但最值只能有一个，极值只能在区间内取得，而最值还可以在端点处取得，最值只要不在端点处，必是一个极值.

[例4]　(广东高考)设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k∈时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M.
[解]　(1)当k＝1时，
f(x)＝(x－1)ex－x2，
f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln 2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
由表可知，函数f(x)的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)．
(2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx
＝x(ex－2k)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln (2k)，
令g(k)＝ln (2k)－k，则g′(k)＝－1＝≥0，
所以g(k)在上递增，
所以g(k)≤ln 2－1＝ln 2－ln e<0，
从而ln(2k)所以当x∈(0，ln(2k))时，f′(x)<0；
当x∈(ln (2k)，＋∞)时，f′(x)>0.
所以M＝max{f(0)，f(k)}
＝max{－1，(k－1)ek－k3}．
令h(k)＝(k－1)ek－k3＋1，则h′(k)＝k(ek－3k)，
令φ(k)＝ek－3k，则φ′(k)＝ek－3≤e－3<0，
所以φ(k)在上递减，
而φ·φ(1)＝(e－3)<0，
所以存在x0∈使得φ(x0)＝0，且当k∈时，φ(k)>0，
当k∈(x0,1)时，φ(k)<0，所以φ(k)在上单调递增，在(x0,1)上单调递减．
因为h＝－ ＋>0，h(1)＝0，
所以h(k)≥0在上恒成立，当且仅当k＝1时取得“＝”．
综上，函数f(x)在[0，k]上的最大值M＝(k－1)ek－k3.
[例5]　(山东高考)设函数f(x)＝－k
(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．
[解]　(1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－k
＝－＝
由k≤0可得ex－kx>0，
所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减，
x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．
所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)由(1)知，k≤0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，
故f(x)在(0,2)内不存在极值点；
当k>0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)，
因为g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，
当0当x∈(0,2)时，g′(x)＝ex－k>0，y＝g(x)单调递增．
故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；
当k>1时，得x∈(0，ln k)时，g′(x)<0，函数y＝g(x)单调递减．
x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)>0，函数y＝g(x)单调递增．
所以函数y＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)．
函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，
当且仅当解得e综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为.

9．已知函数f(x)＝x2＋2aln x.
(1)当a＝1时，求函数f′(x)的最小值；
(2)求函数f(x)的单调区间和极值．
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(1)当a＝1时，f′(x)＝2x＋≥2＝4，
当且仅当2x＝，即x＝1时等号成立，
故函数f′(x)的最小值为4.
(2)f′(x)＝2x＋＝2.
①当a≥0时，f′(x)＞0，因此f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，这时函数无极值；
②当a＜0时，f′(x)＝.
当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(0，)

(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
因此函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．且当x＝时，函数f(x)有极小值f()＝－a＋2aln，无极大值．
10．已知函数f(x)＝(x－k)2e.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．
解：(1)f ′(x)＝(x2－k2)e.
令f ′(x)＝0，得x＝±k.
当k>0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：
x
(－∞，－k)
－k
(－k，k)
k
(k，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
4k2e－1
?
0
?
所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．
当k<0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：
x
(－∞，k)
k
(k，－k)
－k
(－k，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
0
?
4k2e－1
?
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．
(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e>，所以不会有?x∈(0，＋∞)，f(x)≤.
当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是
f(－k)＝.
所以?x∈(0，＋∞)，f(x)≤等价于f(－k)＝≤.
解得－≤k<0.
故当?x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，
k的取值范围是.
导数的实际应用
考查方式
　　最值的综合应用问题是高中数学最重要的题型之一，导数知识为解决数学及其他学科的实际应用题提供了很大的方便，近几年的高考中也越来越重视，已成为高考命题的一个新热点，试题多以解答题形式出现，难度一般为中等偏难题目．
备考指要
　　利用导数解决生活中的实际问题时：
(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定出函数关系式中自变量的定义区间．
(2)一定要注意求得结果的实际意义，不符合实际的值应舍去．
(3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.

[例6]　(重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
由h>0，且r>0可得0(2)由(1)知V(r)＝(300r－4r3)，
故V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5
(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．

11.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 m3，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
解：(1)设容器的容积为V，
由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，
故l＝＝－r＝.
由于l≥2r，因此0所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c
＝2πr××3＋4πr2c.
因此y＝4π(c－2)r2＋，0(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－
＝，0由于c>3，所以c－2>0，
当r3－＝0时，r＝.
令 ＝m，则m>0，
所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．
①若0，
则当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′<0；
当r∈(m,2)时，y′>0，
所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②若m≥2，即3则当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，
所以r＝2是函数y的最小值点．
综上所述，当3当c>时，建造费用最小时r＝ .
合情推理与演绎推理
考查方式
　　归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中低档题，突出了“小而巧”，主要考查类比、归纳推理能力；演绎推理大多数出现在解答题中，为中高档题目，在知识的交汇点处命题，考查学生分析问题、解决问题以及逻辑推理能力．
备考指要
　　对本部分知识的学习，要注意做好以下两点：一要熟悉归纳推理、类比推理、演绎推理的一般原理、步骤、格式，搞清合情推理与演绎推理的联系与区别；二要把握归纳推理、类比推理、演绎推理的基本应用，在给定的条件下，能够运用归纳推理、类比推理获得新的一般结论，能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证明.

[例7]　(陕西高考)观察下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为__________________________________________________．
[解析]　观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
[答案]　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
[例8]　回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
(1)4位回文数有________个；
(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．
[解析]　2位回文数有9个，4位回文数有9×10＝90个，3位回文数有90个，5位回文数有9×10×10＝100×9个，依次类推可得2n＋1位有9×10n个．
[答案]　90　9×10n

12．下面的数组均由三个数组成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(an，bn，cn)．
(1)请写出cn的一个表达式，cn＝________；
(2)若数列{cn}的前n项和为Mn，则M10＝______.(用数字作答)
解析：(1)通过观察归纳，得an＝n，bn＝2n，cn＝an＋bn＝n＋2n.
(2)M10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝2 101.
答案：n＋2n　2 101
13．先阅读下面的文字：“求 的值时，采用了如下的方法：令 ＝x，则有x＝，两边同时平方，得1＋x＝x2，解得x＝(负值已舍去)”．可以用类比的方法，求得1＋的值为________．
解析：由1＋＝1＋，
得2x2－2x－1＝0，
于是x＝(负值已舍去)，故所求值为.
答案：
直接证明与间接证明
考查方式
　　近几年试题对本部分内容的考查是应用直接证明和间接证明解决数列，立体几何中的平行、垂直，不等式，解析几何等问题，题型大多为解答题，难度为中高档．
备考指要
　　在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的.

[例9]　某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
[解]　(1)选择(2)式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°
＝1－＝.
(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.

14．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，且f(1)＝－，3a>2c>2b.求证：a>0，且－3<<－.
证明：f(1)＝a＋b＋c＝－，
即3a＋2b＋2c＝0.
又3a>2c>2b，所以3a>0,2b<0，则a>0，b<0.
又2c＝－3a－2b,3a>2c>2b，
所以3a>－3a－2b>2b.可得－3a因为a>0，所以－3<<－.
15．(陕西高考)设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．
(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式；
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)设n∈N*，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．
解：由题设得，g(x)＝(x≥0)．
(1)由已知，g1(x)＝，
g2(x)＝g(g1(x))＝＝，
g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.
下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立．
②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝.
那么，当n＝k＋1时，
gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝，
即结论成立．
由①②可知， 结论对n∈N＋成立．
所以gn(x)＝.
(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．
设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，
则φ′(x)＝－＝，
当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，
∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，
∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，
∴a≤1时，ln(1＋x)≥恒成立(仅当x＝0时等号成立)．
当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，
∴φ(a－1)<φ(0)＝0，
即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥不恒成立．
综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．
(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，n－f(n)＝n－ln(n＋1)，
比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)．
证明如下：
证法一：上述不等式等价于＋＋…＋在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>，x>0.
令x＝，n∈N＋，则下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，②假设当n＝k时结论成立，即＋＋…＋那么，当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋即结论成立．
由①②可知，结论对n∈N＋成立．
证法二：上述不等式等价于＋＋…＋在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>，x>0.
令x＝，n∈N＋，则ln>.
故有ln 2－ln 1>，
ln 3－ln 2>，
……
ln(n＋1)－ln n>，
上述各式相加可得ln(n＋1)>＋＋…＋，
结论得证．
证法三：如图，dx是由曲线y＝，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而＋＋…＋是图中所示各矩形的面积和，
∴＋＋…＋>dx＝dx＝n－ln(n＋1)，结论得证．
复　数
考查方式
　　复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置上，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算．
备考指要
　　要明确复数的分类及复数运算，掌握化归思想，设出复数z的代数形式，即复数问题实数化.

[例10]　(山东高考改编)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数＝________________.
[解析]　由(z－3)(2－i)＝5，
得z＝3＋＝3＋＝3＋2＋i＝5＋i，
所以＝5－i.
[答案]　5－i
[例11]　(上海高考)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
[解析]　由题意得?
∴m＝－2.
[答案]　－2

16．(安徽高考改编)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝________.
解析：＋i·＝＋i(1－i)＝－i＋1＋i＋1＝2.
答案：2
17．(湖南高考)复数( i为虚数单位)的实部等于________．
解析：直接运算得＝－(3＋i)＝－3－i，故实部为－3.
答案：－3
18．复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应点位于第________象限．
解析：z＝i(1＋i)＝－1＋i，在复平面上对应点的坐标为(－1,1)，其在第二象限．
答案：二
19．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：复数＝＝，
依题意得所以a＝2.
答案：2

一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
1．(四川高考)复数＝________.
解析：＝＝(1－i)2＝－2i.
答案：－2i
2．函数y＝的导数是________．
解析：y′＝＝.
答案：y′＝
3．已知函数f(x)＝xex＋c有两个零点，则c的取值范围是________．
解析：∵f′(x)＝ex(x＋1)，
∴易知f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f(x)min＝f(－1)＝c－e－1，由题意得c－e－1＜0，得c＜e－1.
答案：
4．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________________．
解析：“a，b中至少有一个能被5整除”的否定是“a、b都不能被5整除”．
答案：a，b都不能被5整除
5．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需乘的代数式是________．
解析：当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋1＋k＋1)，
∴增加了＝2(2k＋1)．
答案：2(2k＋1)
6．已知定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)＜f′(x)，且f(0)＝2，则不等式＞2的解集为________．
解析：令g(x)＝，
∴g′(x)＝′＝＞0，
∴g(x)为增函数．
由＞2得＞，
所以g(x)＞g(0)，
∴x＞0.
答案：(0，＋∞)
7．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.
解析：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R.
z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
答案：4＋2i
8．函数y＝sin2x的图象在点A处的切线的斜率是________．
解析：y′＝(sin2x)′＝sin 2x，∴函数y＝sin2x的图象在点A处的切线的斜率k＝sin＝.
答案：
9．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a2 014 ，则a2 014 ＝________.
解析：5＝2＋3＝a1,9＝2＋3＋4＝a2,14＝2＋3＋4＋5＝a3，…，an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝＝×(n＋1)(n＋4)，由此可得a2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝×2 015×2 018＝2 015×1 009.
答案：2 015×1 009
10．复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3－i)＝z2(1＋3i)，|z1|＝，则z1＝________.
解析：设z1＝a＋bi，则z2＝－a＋bi，
∵z1(3－i)＝z2(1＋3i)，且|z1|＝，
∴
解得或
∴z1＝1－i或z1＝－1＋i.
答案：1－i或－1＋i
11．对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at－(t－1)as＝0”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是：____________________________________.
答案：若{bn}是等比数列，b1＝1，s，t是互不相等的正整数，则有＝1
12．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值为________，极小值为________．
解析：f′(x)＝3x2－2px－q，f′(1)＝3－2p－q＝0，
即2p＋q＝3. ①
因f(x)过(1,0)点，所以1－p－q＝0，即p＋q＝1.②
由①②，得p＝2，q＝－1，
即f(x)＝x3－2x2＋x.
f′(x)＝3x2－4x＋1.
令3x2－4x＋1＝0，解得x1＝，x2＝1.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x



1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以当x＝时，f(x)取得极大值；
当x＝1时，f(x)取得极小值0.
答案：　0
13．类比平面几何中的定理：△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则有S△ADE∶S△ABC＝1∶4；若三棱锥A－BCD有中截面EFG∥平面BCD，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为________．
解析：平面几何中的面积类比空间几何体中的体积，
∴VA－EFG∶VA－BCD＝1∶8.
答案：VA－EFG∶VA－BCD＝1∶8
14．(辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．
解析：由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P＝＝＝＝.
答案：
二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)设复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝1得＝1，(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(4a＋3b)i是纯虚数，则3a－4b＝0,4a＋3b≠0，
∴解得或
∴＝－i或－＋i.
16．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，∴c＝0.
则f(x)＝ax3＋bx.
∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，
∴a＞0，b＝－12，
又直线x－6y－7＝0的斜率为，
∴f′(1)＝3a＋b＝－6，解得a＝2.
∴a＝2，b＝－12，c＝0.
(2)由(1)知f(x)＝2x3－12x.
f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，令f′(x)＝0得，x1＝－，x2＝，列表如下：
x
(－∞，－)
－
(－，)

(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴函数f(x)的单调增区间是(－∞，－)和(，＋∞)．
∵f(－1)＝10，f()＝－8，f(3)＝18，
∴f(x)在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8.
17．(本小题满分14分)(浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝2x3－6x2＋6x，
则f′(x)＝6x2－12x＋6，所以f′(2)＝6.
又因为f(2)＝4，所以切线方程为y＝6x－8.
(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．
f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．
令f′(x)＝0，得到x1＝1，x2＝a.
当a>1时，
列表：
x
0
(0,1)
1
(1，a)
a
(a,2a)
2a
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
?
极大值
3a－1
?
极小值
a2(3－a)
?
4a3
比较f(0)＝0和f(a)＝a2(3－a)的大小可得
g(a)＝
当a<－1时，
列表：
x
0
(0,1)
1
(1，－2a)
－2a
f′(x)
－
0
＋
f(x)
0
?
极小值
3a－1
?
－28a3－24a2
得g(a)＝3a－1.
综上所述，f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为
g(a)＝
18．(本小题满分14分)已知数列，，…，，…，Sn为该数列的前n项和，计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.
观察上述结果，推测出Sn(n∈N*)，并用数学归纳法加以证明．
解：推测Sn＝(n∈N*)．
用数学归纳法证明如下：
(1)当n＝1时，S1＝＝，等式成立；
(2)假设当n＝k时等式成立，
即Sk＝，那么当n＝k＋1时，
Sk＋1＝Sk＋
＝＋
＝
＝
＝
＝＝.
也就是说，当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)，可知对一切n∈N*，等式均成立．
19．(本小题满分16分)(安徽高考)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．
当xx2时，f′(x)<0；当x10.
故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0.
①当a≥4时，x2≥1.
由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增．
所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减．
所以f(x)在x＝x2＝处取得最大值．
又f(0)＝1，f(1)＝a，
所以当0当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值；
当120．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ln x.
(1)若直线y＝x＋m与函数f(x)的图象相切，求实数m的值．
(2)证明曲线y＝f(x)与曲线y＝x－有唯一的公共点；
(3)设0＜a解：(1)f′(x)＝，
设切点为(x0，y0)，则k＝＝1，
∴x0＝1，y0＝ln x0＝ln 1＝0，
代入y＝x＋m，得m＝－1.
(2)令h(x)＝f(x)－＝ln x－x＋.
则h′(x)＝－1－＝＝＜0，
∴h(x)在(0，＋∞)内单调递减．
又h(1)＝ln 1－1＋1＝0，
∴x＝1是函数h(x)唯一的零点，
故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．
(3)＝＝，
要比较与的大小．
∵b－a＞0，
∴只要比较ln 与的大小．
∵ln －＝ln －，
构造函数φ(x)＝ln x－，(x＞1)，
则φ′(x)＝－＝，
显然φ′(x)＞0，
∴φ(x)在(1，＋∞)内单调递增．
又当x＝1时，φ(1)＝0，
∴当x＞1时，φ(x)＞0，
即ln x－＞0.
则有ln ＞成立，即＞成立．
即得＞.
∴＞.