课时跟踪检测（一） 回归分析的基本思想及其初步应用
层级一 学业水平达标
1．在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：
①对所求出的回归直线方程作出解释；
②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；
③求线性回归方程；
④求相关系数；
⑤根据所搜集的数据绘制散点图．
如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是( )
A．①②⑤③④ B．③②④⑤①
C．②④③①⑤ D．②⑤④③①
解析：选D 对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①， 故选D．21教育网
2．有下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；
②R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好；
③比较两个模型的拟合效果， 可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D ①选用的模型是否合适与残差点的分布有关； 对于②③， R2的值越大， 说明残差平方和越小， 随机误差越小，则模型的拟合效果越好．21世纪教育网版权所有
3．下图是根据变量x，y的观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．①② B．①④
C．②③ D．③④
解析：选D 根据散点图中点的分布情况，可判断③④中的变量x，y具有相关的关系．
4．(重庆高考)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3．5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )21·世纪*教育网
A．＝0．4x＋2．3 B．＝2x－2．4
C．＝－2x＋9．5 D．＝－0．3x＋4．4
解析：选A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D．且直线必过点(3,3．5)代入A，B得A正确．【版权所有：21教育】
5．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8．2
8．6
10．0
11．3
11．9
支出y(万元)
6．2
7．5
8．0
8．5
9．8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0．76，＝－．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )21cnjy.com
A．11．4万元 B．11．8万元
C．12．0万元 D．12．2万元
解析：选B 由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴＝8－0．76×10＝0．4，
∴当x＝15时，＝0．76×15＋0．4＝11．8(万元)．
6．以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据：
年平均气温(℃)
12．51
12．84
12．84
13．69
13．33
12．74
13．05
年降雨量(mm)
542
507
813
574
701
432
464
根据这组数据可以推断，该地区的降雨量与年平均气温________相关关系．(填“具有”或“不具有”)www.21-cn-jy.com
解析：画出散点图，观察可知，降雨量与年平均气温没有相关关系．
答案：不具有
7．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．21*cnjy*com
解析：根据样本相关系数的定义可知， 当所有样本点都在直线上时， 相关系数为1．
答案：1
8．下列说法正确的命题是________(填序号)．
①回归直线过样本点的中心(，)；
②线性回归方程对应的直线＝x＋至少经过其样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点；www-2-1-cnjy-com
③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高；
④在回归分析中，R2为0．98的模型比R2为0．80的模型拟合的效果好．
解析：由回归分析的概念知①④正确，②③错误．
答案：①④
9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8．2
8．4
8．6
8．8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)＝(8＋8．2＋8．4＋8．6＋8．8＋9)＝8．5，＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，21·cn·jy·com
从而＝＋20＝80＋20×8．5＝250,
故＝－20x＋250．
(2)由题意知， 工厂获得利润
z＝(x－4)y＝－20x2＋330x－1 000＝－202＋361．25，所以当x＝＝8．25时，zmax＝361．25(元)．【出处：21教育名师】
即当该产品的单价定为8．25元时，工厂获得最大利润．
10．关于x与y有以下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
已知x与y线性相关，由最小二乘法得＝6．5，
(1)求y与x的线性回归方程；
(2)现有第二个线性模型：＝7x＋17，且R2＝0．82．
若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．
解：(1)依题意设y与x的线性回归方程为＝6．5x＋．
＝＝5，
＝＝50，
∵＝6．5x＋经过(，)，
∴50＝6．5×5＋，∴＝17．5，
∴y与x的线性回归方程为＝6．5x＋17．5．
(2)由(1)的线性模型得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i
－0．5
－3．5
10
－6．5
0．5
yi－
－20
－10
10
0
20
所以(yi－i)2＝(－0．5)2＋(－3．5)2＋102＋(－6．5)2＋0．52＝155．
(yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000．
所以R＝1－＝1－＝0．845．
由于R＝0．845，R2＝0．82知R>R2，
所以(1)的线性模型拟合效果比较好．
层级二 应试能力达标
1．在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择4个不同模型，求出它们相对应的R2如表，则其中拟合效果最好的模型是( )2·1·c·n·j·y
模型
1
2
3
4
R2
0．67
0．85
0．49
0．23
A．模型1 B．模型2
C．模型3 D．模型4
解析：选B 线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1, 相关程度越大； |r|越小， 相关程度越小，故其拟合效果最好． 故选B．21*cnjy*com
2．如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0．8，a＝2，|e|≤0．5，如果今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过( )
A．10亿 B．9亿
C．10．5亿 D．9．5亿
解析：选C ∵x＝10时，y＝0．8×10＋2＋e＝10＋e，
又∵|e|≤0．5，∴y≤10．5．
3．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y(个)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
销售量(个)
24
34
38
64
由表中数据，得线性回归方程＝－2x＋a．当气温为－4 ℃时，预测销售量约为( )
A．68 B．66
C．72 D．70
解析：选A ∵＝(18＋13＋10－1)＝10，＝(24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a，∴a＝60，当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68．2-1-c-n-j-y
4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－i)2如下表：
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选D 根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R2的表达式中(yi－)2为确定的数，则残差平方和越小，R2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．故选D．【来源：21cnj*y.co*m】
5．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围，令＝ln y，求得回归直线方程为＝0．25x－2．58，则该模型的回归方程为________．21教育名师原创作品
解析：因为＝0．25x－2．58，＝ln y，所以y＝e0．25x－2．58．
答案：y＝e0．25x－2．58
6．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0．254x＋0．321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：以x＋1代x，得＝0．254(x＋1)＋0．321，与＝0．254x＋0．321相减可得，年饮食支出平均增加0．254万元．
答案：0．254
7．下表是某年美国旧轿车价格的调查资料．
使用年数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
平均价格(美元)
2 651
1 943
1 494
1 087
765
538
484
290
226
204
观察表中的数据，试问平均价格与使用年数间存在什么样的关系？
解：设x表示轿车的使用年数，y表示相应的平均价格，作出散点图．
由散点图可以看出y与x具有指数关系，
令z＝ln y，变换得
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
z
7．883
7．572
7．309
6．991
6．640
6．288
6．182
5．670
5．421
5．318
作出散点图：
由图可知各点基本上处于一直线，由表中数据可求出线性回归方程：
＝8．166－0．298x．
因为旧车的平均价格与使用年数具有指数关系，其非线性回归方程为＝e8．166－0．298x．
8．某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如下对应数据：
x
10
15
17
20
25
28
32
y
1
1．3
1．8
2
2．6
2．7
3．3
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)估计销售总额为24千万元时的利润．
解：(1)散点图如图：
(2)列下表，并利用科学计算器进行有关计算．
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
10
15
17
20
25
28
32
yi
1
1．3
1．8
2
2．6
2．7
3．3
＝21，＝2．1
＝3 447，iyi＝346．3
于是＝≈0．104．
＝2．1－0．104×21＝－0．084，
因此回归直线方程为＝0．104x－0．084．
(3)当x＝24时，y＝0．104×24－0．084＝2．412(千万元)．
课时跟踪检测（七） 数系的扩充和复数的概念
层级一 学业水平达标
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是 ( )
A．3－3i ．3＋i
C．－＋i .＋i
解析：选A 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.
2．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
解析：选C 由题意知解得a＝－4.
3．下列命题中：①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；④若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )2·1·c·n·j·y
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错； ②③错；对于④，a＝0时，ai＝0，④错，故选A.【来源：21·世纪·教育·网】
4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠b D．a≤0
解析：选D 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.
5．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )
A. B.或π
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：选D 由复数相等定义得
∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋(k∈Z)，故选D.
6．下列命题中：①若a∈R，则ai为纯虚数；②若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i；③两个虚数不能比较大小；④x＋yi的实部、虚部分别为x，y.其中正确命题的序号是________．21·世纪*教育网
解析：①当a＝0时，0i＝0，故①不正确；②虚数不能比较大小，故②不正确；③正确；④x＋yi中未标注x，y∈R，故若x，y为复数，则x＋yi的实部、虚部未必是x，y.
答案：③
7．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．
解析：由题意得解得m＝2.
答案：2
8．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.www-2-1-cnjy-com
解析：由复数相等的充要条件有
?
答案：2 ±2
9．设复数z＝log2(m2－3m－3)＋log2(3－m)i，m∈R，如果z是纯虚数，求m的值．
解：由题意得解得m＝－1.
10．求适合等式(2x－1)＋i＝y＋(y－3)i的x，y的值．其中x∈R，y是纯虚数．
解：设y＝bi(b∈R且b≠0)，代入等式得(2x－1)＋i＝bi＋(bi－3)i，
即(2x－1)＋i＝－b＋(b－3)i，
∴
解得
即x＝－，y＝4i.
层级二 应试能力达标
1．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
解析：选C 若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.21世纪教育网版权所有
2．已知集合M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数m的值为( )21cnjy.com
A．4 B．－1
C．4或－1 D．1或6
解析：选B 由题意知∴m＝－1.
3．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )21·cn·jy·com
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
解析：选B 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得
∴z＝3－i，故应选B.
4．若复数z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于( )www.21-cn-jy.com
A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
解析：选D 由复数相等的定义可知，
∴cos θ＝，sin θ＝.∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.
5．已知z1＝(－4a＋1)＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，则a的取值集合为________．2-1-c-n-j-y
解析：∵z1＞z2，∴
∴a＝0，故所求a的取值集合为{0}．
答案：{0}
6．若a－2i＝bi＋1(a，b∈R)，则b＋ai＝________.
解析：根据复数相等的充要条件，得
∴b＋ai＝－2＋i.
答案：－2＋i
7．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
解：由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以有
得
得x＝－1，y＝2.
8．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N?M，求实数a，b的值．21教育网
解：依题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i.②
由①，得a＝－3，b＝±2，
由②，得a＝±3，b＝－2.
综上，a＝－3，b＝2，或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.
课时跟踪检测（三） 合情推理
层级一 学业水平达标
1．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A. B．△
C. D．○
解析：选A 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．21·世纪*教育网
2．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形的内角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)．
A．①② B．①③④
C．①②④ D．②④
解析：选C ①是类比推理；②④是归纳推理，∴①②④都是合情推理．
3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为( )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶16
解析：选C 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.www.21-cn-jy.com
4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选B 根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．
5．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )2-1-c-n-j-y
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析：选A 观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A正确．21*cnjy*com
6．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第n个等式为________．
解析：观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n－1，故第n行等式左边的数依次是n，n＋1，n＋2，…，(3n－2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
7．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是_______________________．
解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．
答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大
8．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列{an}的通项公式为an＝__________.21世纪教育网版权所有
解析：根据OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝＝＝，a3＝OA3＝＝＝，…，故可归纳推测出an＝.【出处：21教育名师】
答案：
9．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n边形有几条对角线？21*cnjy*com
解：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，…，于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线，由此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)，由等差数列求和公式可得n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
所以凸n边形的对角线条数为n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
10．已知f(x)＝，分别求f(0)＋f(1) ，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．
解：f(x)＝，
所以f(0)＋f(1)＝＋＝，
f(－1)＋f(2)＝＋＝，
f(－2)＋f(3)＝＋＝.
归纳猜想一般性结论；f(－x)＋f(x＋1)＝.
证明如下：f(－x)＋f(x＋1)＝＋
＝＋＝＋
＝＝＝.
层级二 应试能力达标
1．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt?m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
其中类比结论正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B.
2．类比三角形中的性质：
(1)两边之和大于第三边；
(2)中位线长等于底边长的一半；
(3)三内角平分线交于一点．
可得四面体的对应性质：
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的；
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点．
其中类比推理方法正确的有( )
A．(1) B．(1)(2)
C．(1)(2)(3) D．都不对
解析：选C 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．2·1·c·n·j·y
3．观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋＜( )www-2-1-cnjy-com
A. B.
C. D.
解析：选C 观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1＋＋＋…＋＜，所以当n＝2 016时不等式为：1＋＋＋…＋＜.【来源：21cnj*y.co*m】
4．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P-ABC的体积为V，则r＝( )21教育名师原创作品
A. B.
C. D.
解析：选C 将△ABC的三条边长a，b，c类比到四面体P-ABC的四个面面积S1，S2，S3，S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，∴r＝.21·cn·jy·com
5．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为____________．
解析：每条边上有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，∴S与n的关系为S＝4(n－1)(n≥2)．【版权所有：21教育】
答案：S＝4(n－1)(n≥2)
6．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是＋＝1(a＞b＞0)与x2＋y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为______________．
解析：由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为，
即k＝，∴椭圆面积S＝πa2·＝πab.
答案：πab
7．观察下列两个等式：
①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝①；
②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝②.
由上面两个等式的结构特征，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
解：由①②知若两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为.
猜想：若β－α＝30°，则β＝30°＋α，sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.下面进行证明：21教育网
左边＝sin2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α]
＝sin2α＋
＝sin2α＋cos2α－sin2α＝＝右边．
所以，猜想是正确的．
故sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.
8．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，有＝＋成立．那么在四面体A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．
解：猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A-BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝＋＋.21cnjy.com
下面证明上述猜想成立
如图所示，连接BE，并延长交CD于点F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
AC∩AD=A，
∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
课时跟踪检测（九） 复数代数形式的加减运算及其几何意义
层级一 学业水平达标
1．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于( )
A．z－1 B．z＋1
C．－10＋18i D．10－18i
解析：选C 1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i.
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
解析：选B z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.
3．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．www.21-cn-jy.com
4．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
解析：选D z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.21·世纪*教育网
5．设向量，，对应的复数分别为z1，z2，z3，那么( )
A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0
C．z1－z2＋z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0
解析：选D ∵＋＝，∴z1＋z2＝z3，即z1＋z2－z3＝0.
6．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝__________，y＝__________.【来源：21·世纪·教育·网】
解析：x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i
∴解得
答案：6 11
7．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ ＝5.www-2-1-cnjy-com
答案：5
8．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________.21*cnjy*com
解析：∵z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i＝4，
由复数相等的条件知
解得∴a＋b＝3.
答案：3
9．计算下列各式．
(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；
(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)．
解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i.
(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014＋2 015)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015－2 016)i＝1 008－1 009i.【来源：21cnj*y.co*m】
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，
∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
∴解得
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
层级二 应试能力达标
1．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
A．0 B．1
C. D.
解析：选C 由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离即为.
2．复平面内两点Z1和Z2分别对应于复数3＋4i和5－2i，那么向量对应的复数为( )
A．3＋4i B．5－2i
C．－2＋6i D．2－6i
解析：选D ＝－，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－(3＋4i)＝2－6i.
3．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )21世纪教育网版权所有
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．21cnjy.com
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )2-1-c-n-j-y
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
解析：选D 依题意有＝＝－.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，故对应的复数为4－2i，故选D.21教育网
5．设复数z满足z＋|z|＝2＋i，则z＝________.
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ .
∴x＋yi＋＝2＋i.
∴解得∴z＝＋i.
答案：＋i
6．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________．2·1·c·n·j·y
解析：＝－＝－(＋)＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i.【出处：21教育名师】
答案：4－4i
7．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
(3)求△ABC的面积．
解：(1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i.
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝××2＝2.
8．设z＝a＋bi(a，b∈R)，且4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，又ω＝sin θ－icos θ，求z的值和|z－ω|的取值范围．21·cn·jy·com
解：∵4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，∴6a＋2bi＝3＋i，
∴∴∴z＝＋i，
∴z－ω＝－(sin θ－icos θ)
＝＋i
∴|z－ω|＝
＝
＝ ＝ ，
∵－1≤sin≤1，
∴0≤2－2sin≤4，∴0≤|z－ω|≤2，
故所求得z＝＋i，|z－ω|的取值范围是[0,2]．
课时跟踪检测（二） 独立性检验的基本思想及其初步应用
层级一 学业水平达标
1．以下关于独立性检验的说法中， 错误的是( )
A．独立性检验依赖于小概率原理
B．独立性检验得到的结论一定准确
C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异
D．独立性检验不是判断两事物是否相关的唯一方法
解析：选B 根据独立性检验的原理可知得到的结论是错误的情况是小概率事件，但并不一定是准确的．
2．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是( )
解析：选D 在四幅图中，D图中两个阴影条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D．
3．在列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大( )
A．与 B．与
C．与 D．与
解析：选C 由等高条形图可知与的值相差越大，|ad－bc|就越大，相关性就越强．
4．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是( )
A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小
B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小
D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大
解析：选B K2的观测值k越大，“X与Y有关系”的可信程度越大．因此，A、C、D都不正确．
5．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据：
种子处理
种子未处理
总计
得病
32
101
133
不得病
61
213
274
总计
93
314
407
根据以上数据，可得出( )
A．种子是否经过处理跟是否生病有关
B．种子是否经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．以上都是错误的
解析：选B 由K2＝≈0．164＜2．706，即没有把握认为是否经过处理跟是否生病有关．
6．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K2的观测值k＝27．63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(填“有关”或“无关”)【来源：21·世纪·教育·网】
解析：∵K2的观测值k＝27．63，∴k＞10．828，∴在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为打鼾与患心脏病是有关的．21*cnjy*com
答案：有关
7．如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到K2≈3．852＞3．841，则判断性别与是否爱好运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过________．2·1·c·n·j·y
解析：∵P(K2≥3．841)≈0．05．
∴判断性别与是否爱好运动有关，出错的可能性不超过5%．
答案：5%
8．统计推断，当________时，在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为事件A与B有关；当________时，认为没有充分的证据显示事件A与B是有关的．
解析：当k>3．841时，就有在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为事件A与B有关，当k≤2．706时认为没有充分的证据显示事件A与B是有关的．
答案：k>3．841 k≤2．706
9．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)根据以上数据列出2×2列联表；
(2)在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？
解：(1)由已知可列2×2列联表：
患胃病
未患胃病
总计
生活规律
20
200
220
生活不规律
60
260
320
总计
80
460
540
(2)根据列联表中的数据，由计算公式得K2的观测值
k＝≈9．638．
∵9．638＞6．635，
因此，在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．
10．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
a
b＝5
女生
c＝10
d
合计
50
已知在全部50人中随机抽取1人抽到爱打篮球的学生的概率为．
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)是否有99．5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关；请说明理由．
附参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P(K2≥k0)
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
k0
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
解：(1)列联表补充如下：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
(2)∵K2＝≈8．333＞7．879，
∴有99．5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．
层级二 应试能力达标
1．在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性中有1 560名持反对意见，2 452名女性中有1 200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力( )21·cn·jy·com
A．平均数与方差 B．回归直线方程
C．独立性检验 D．概率
解析：选C 由于参加调查的人按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况，判断有关与无关，符合2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服力．
2．对于独立性检验，下列说法正确的是( )
A．K2＞3．841时，有95%的把握说事件A与B无关
B．K2＞6．635时，有99%的把握说事件A与B有关
C．K2≤3．841时，有95%的把握说事件A与B有关
D．K2＞6．635时，有99%的把握说事件A与B无关
解析：选B 由独立性检验的知识知：K2＞3．841时，有95%的把握认为“变量X与Y有关系”；K2＞6．635时，有99%的把握认为“变量X与Y有关系”．故选项B正确．
3．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验( )
A．H0：男性喜欢参加体育活动
B．H0：女性不喜欢参加体育活动
C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关
D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关
解析：选D 独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的K2应该很小，如果K2很大，则可以否定假设，如果K2很小，则不能够肯定或者否定假设．2-1-c-n-j-y
4．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”，得到如下的列联表：21*cnjy*com
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
由此表得到的正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
解析：选C 由2×2列联表得到a＝45，b＝10，c＝30，d＝15．
则a＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100．
代入K2＝，得K2的观测值k＝≈3．030．因为2．706<3．030<3．841．
所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．
5．若两个分类变量X与Y的列联表为：
y1
y2
x1
10
15
x2
40
16
则“X与Y之间有关系”这个结论出错的可能性为________．
解析：由题意可得K2的观测值
k＝≈7．227，
∵P(K2≥6．635)≈1%, 所以“x与y之间有关系”出错的可能性为1%．
答案：1%
6．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：【出处：21教育名师】
又发作过心脏病
未发作过心脏病
合计
心脏搭桥手术
39
157
196
血管清障手术
29
167
196
合计
68
324
392
试根据上述数据计算K2≈________，能否作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论________(填“能”或“不能”)．21教育网
解析：根据列联表中的数据，可以求得K2的观测值k＝≈1．779．
K2＜2．072的概率为0．85．作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．
答案：1．779 不能
7．甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x(单位：cm)及个数y，如下表：
零件尺寸x
1．01
1．02
1．03
1．04
1．05
零件个数y
甲
3
7
8
9
3
乙
7
4
4
4
a
由表中数据得y关于x的线性回归方程为＝－91＋100x(1．01≤x≤1．05)，其中合格零件尺寸为1．03±0．01(cm)．完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关？www.21-cn-jy.com
合格零件数
不合格零件数
总计
甲
乙
总计
解：＝1．03，＝，由＝－91＋100x知，＝－91＋100×1．03，所以a＝11，由于合格零件尺寸为1．03±0．01 cm，故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为：21·世纪*教育网
合格零件数
不合格零件数
总计
甲
24
6
30
乙
12
18
30
总计
36
24
60
所以K2＝
＝＝10，
因K2＝10>6．635，故有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关．
8．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品
不喜欢甜品
总计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
总计
70
30
100
(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品．现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．21cnjy.com
P(K2≥k0)
0．100
0．050
0．010
k0
2．706
3．841
6．635
解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K2＝＝≈4．762．
由于4．762>3．841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．21世纪教育网版权所有
(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．www-2-1-cnjy-com
(其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1,2．bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1,2,3)Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．【版权所有：21教育】
用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则
A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．21教育名师原创作品
事件A是由7个基本事件组成，因而P(A)＝．
课时跟踪检测（五） 综合法和分析法
层级一 学业水平达标
1．要证明＋＜＋(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )
A．综合法 B．类比法
C．分析法 D．归纳法
解析：选C 直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．
2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ ”，其过程应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．间接证法
解析：选B 结合分析法及综合法的定义可知B正确．
3．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件( )
A．a2＜b2＋c2 B．a2＝b2＋c2
C．a2＞b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析：选C 由cos A＝＜0，得b2＋c2＜a2.
4．若a＝，b＝，c＝，则( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
解析：选C 利用函数单调性．设f(x)＝，则f′(x)＝，∴0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x＞e时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．又a＝，∴b＞a＞c.
5．已知m＞1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a，b大小不定
解析：选B ∵a＝－＝，
b＝－＝ .
而＋＞＋＞0(m＞1)，
∴＜，即a6．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．21教育网
解析：该证明过程符合综合法的特点．
答案：综合法
7．如果a＋b＞a＋b，则正数a，b应满足的条件是________．
解析：∵a＋b－(a＋b)
＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)
＝(－)2(＋)．
∴只要a≠b，就有a＋b＞a＋b.
答案：a≠b
8．若不等式(－1)na＜2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当n为偶数时，a＜2－，而2－≥2－＝，所以a＜，当n为奇数时，a＞－2－，而－2－＜－2，所以a≥－2.综上可得，－2≤a＜.21cnjy.com
答案：
9．求证：2cos(α－β)－＝.
证明：要证原等式，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①
因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]
＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α
＝sin β.
所以①成立，所以原等式成立．
10．已知数列{an}的首项a1＝5，Sn＋1＝2Sn＋n＋5，(n∈N*)．
(1)证明数列{an＋1}是等比数列．
(2)求an.
解：(1)证明：由条件得Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋5(n≥2)①
又Sn＋1＝2Sn＋n＋5，②
②－①得an＋1＝2an＋1(n≥2)，
所以＝＝＝2.
又n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，
所以a2＝11，
所以＝＝2，
所以数列{an＋1}是以2为公比的等比数列．
(2)因为a1＋1＝6，
所以an＋1＝6×2n－1＝3×2n，
所以an＝3×2n－1.
层级二 应试能力达标
1．使不等式＜成立的条件是( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＞b且ab＜0 D．a＞b且ab＞0
解析：选D 要使＜，须使－＜0，即＜0.
若a＞b，则b－a＜0，ab＞0；若a＜b，则b－a＞0，ab＜0.
2．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( )
A．sin(α＋β)＞sin α＋sin β
B．sin(α＋β)＞cos α＋cos β
C．cos(α＋β)＞sin α＋sin β
D．cos(α＋β)＜cos α＋cos β
解析：选D 因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．21·cn·jy·com
3．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：选B ∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋的最小值为4，要使不等式m2－3m＞x＋有解，应有m2－3m＞4，∴m＜－1或m＞4，故选B.www.21-cn-jy.com
4．下列不等式不成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
B.＋＞(a＞0，b＞0)
C.－＜－(a≥3)
D.＋＞2
解析：选D 对A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对B，∵(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，∴＋＞；对C，要证 －＜－(a≥3)成立，只需证明＋＜＋，两边平方得2a－3＋2＜2a－3＋2，即＜，两边平方得a2－3a＜a2－3a＋2，即0＜2.因为0＜2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(＋)2－(2)2＝12＋4－24＝4(－3)＜0，∴＋＜2，故D错误．
5．已知函数f(x)＝2x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系是________．21世纪教育网版权所有
解析：∵≥(a，b为正实数)，≤，且f(x)＝2x是增函数，∴f≤f()≤f，即C≤B≤A.2·1·c·n·j·y
答案：C≤B≤A
6．如图所示，四棱柱ABCD- A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．21·世纪*教育网
解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.
因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，
即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
答案：AC⊥BD(答案不唯一)
7．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
证明：在锐角三角形ABC中，∵A＋B＞，∴A＞－B.
∴0＜－B＜A＜，
又∵在内正弦函数y＝sin x是单调递增函数，
∴sin A＞sin＝cos B，
即sin A＞cos B．①
同理sin B＞cos C，②
sin C＞cos A．③
由①＋②＋③，得：
sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
8．已知n∈N，且n＞1，求证：logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)．
证明：要证明logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)，
即证明logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)＞0.(*)
∵logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)＝－logn＋1(n＋2)
＝.
又∵当n＞1时，logn＋1n＞0，
且logn＋1(n＋2)＞0，logn＋1n≠logn＋1(n＋2)，
∴logn＋1n·logn＋1(n＋2)＜[logn＋1n＋logn＋1(n＋2)]2＝log[n(n＋2)]＝log(n2＋2n)＜log(n＋1)2＝1，【来源：21·世纪·教育·网】
故1－logn＋1n·logn＋1(n＋2)＞0，
∴＞0.
这说明(*)式成立，∴logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)．
课时跟踪检测（八） 复数的几何意义
层级一 学业水平达标
1．与x轴同方向的单位向量e1与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是( )
A．e1对应实数1，e2对应虚数i
B．e1对应虚数i，e2对应虚数i
C．e1对应实数1，e2对应虚数－i
D．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i
解析：选A e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
2．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵＜m＜1，∴3m－2＞0，m－1＜0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．
3．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是( )
A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,5)
解析：选B |z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，)．
5．复数z＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
解析：选B |z|＝＝＝＝2|cos|.∵π＜α＜2π，∴＜＜π，cos＜0，于是|z|＝－2cos.
6．复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．21·cn·jy·com
解析：由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.
答案：5
7．过原点和－i对应点的直线的倾斜角是________．
解析：∵－i在复平面上的对应点是(，－1)，
∴tan α＝＝－(0≤α＜π)，∴α＝.
答案：
9．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z.
解：∵z为纯虚数，∴设z＝ai(a∈R且a≠0)，
又|－1＋i|＝，由|z－1|＝|－1＋i|，
得 ＝，解得a＝±1，∴z＝±i.
10．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．
(1)若z是实数，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求m的值；
(3)若在复平面内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．
解：(1)∵z为实数，∴m2＋2m－3＝0，
解得m＝－3或m＝1.
(2)∵z为纯虚数，
∴ 解得m＝0.
(3)∵z所对应的点在第四象限，
∴ 解得－3＜m＜0.
故m的取值范围为(－3,0)．
层级二 应试能力达标
1．已知复数z1＝2－ai(a∈R)对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z2＝a＋2i对应的点在( )21教育网
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 复数z1＝2－ai对应的点为(2，－a)，它在直线x－3y＋4＝0上，故2＋3a＋4＝0，解得a＝－2，于是复数z2＝－2＋2i，它对应点的点在第二象限，故选B.
2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1
C．a＝0 D．a＝2或a＝0
解析：选D ∵z在复平面内对应的点在虚轴上，
∴a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0.
3．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在( )21cnjy.com
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A ∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，∴
解得∴复数1＋2i所对应的点在第一象限．
4．在复平面内，复数z1，z2对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2＝( )www.21-cn-jy.com
A．4＋5i B．5＋4i
C．3＋4i D．5＋4i或＋i
解析：选D 设z2＝x＋yi(x，y∈R)，由条件得， ∴ 或
故选D.
5．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________.
解析：由条件知∴m＝3，∴z＝12i，∴|z|＝12.
答案：12
6．已知复数z＝x－2＋yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________．
解析：由模的计算公式得 ＝2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
答案：(x－2)2＋y2＝8
7．已知复数z0＝a＋bi(a，b∈R)，z＝(a＋3)＋(b－2)i，若|z0|＝2，求复数z对应点的轨迹．21世纪教育网版权所有
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则复数z的对应点为P(x，y)，由题意知
∴ ①
∵z0＝a＋bi，|z0|＝2，∴a2＋b2＝4.
将①代入得(x－3)2＋(y＋2)2＝4.
∴点P的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．
8．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
解：(1)|z1|＝ ＝2，
|z2|＝ ＝1，∴|z1|＞|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.
因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．2·1·c·n·j·y
课时跟踪检测（六） 反证法
层级一 学业水平达标
1．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：21教育网
①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．
则正确的序号顺序为( )
A．①②③ B．③①②
C．①③② D．②③①
解析：选B 根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②.
2．用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )21·cn·jy·com
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
解析：选B “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”，故选B.
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( )
A．三个内角中至少有一个钝角
B．三个内角中至少有两个钝角
C．三个内角都不是钝角
D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
解析：选B “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．
4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
解析：选C 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.2·1·c·n·j·y
5．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵c＞d，∴－c＜－d，a＞b，∴a－c与b－d的大小无法比较．可采用反证法，当a－c＞b－d成立时，假设a≤b，∵－c＜－d，∴a－c＜b－d，与题设矛盾，∴a＞b.综上可知，“a＞b”是“a－c＞b－d”的必要不充分条件．www-2-1-cnjy-com
6．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设是________．
答案：自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
7．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．21*cnjy*com
解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.
答案：a≠1或b≠1
8．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是____________．
解析：假设AC与BD共面于平面α，则A，C，B，D都在平面α内，∴AB?α，CD?α，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面．21教育名师原创作品
答案：异面
9．求证：1，，2不能为同一等差数列的三项．
证明：假设1，，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，
则1＝－md,2＝＋nd，其中m，n为两个正整数，
由上面两式消去d，得n＋2m＝(n＋m)．
因为n＋2m为有理数，而(n＋m)为无理数，
所以n＋2m≠(n＋m)，矛盾，因此假设不成立，
即1，，2不能为同一等差数列的三项．
10．已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R.
(1)求证：如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．
解：(1)证明：当a＋b≥0时，a≥－b且b≥－a.
∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)(1)中命题的逆命题为“如果f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0”，此命题成立．【来源：21·世纪·教育·网】
用反证法证明如下：
假设a＋b＜0，则a＜－b，∴f(a)＜f(－b)．
同理可得f(b)＜f(－a)．
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立，【出处：21教育名师】
∴a＋b≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立．
层级二 应试能力达标
1．用反证法证明命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程ax＝b(a≠0)( )【版权所有：21教育】
A．无解 B．有两解
C．至少有两解 D．无解或至少有两解
解析：选D “唯一”的否定是“至少两解或无解”．
2．下列四个命题中错误的是( )
A．在△ABC中，若∠A＝90°，则∠B一定是锐角
B.，，不可能成等差数列
C．在△ABC中，若a＞b＞c，则∠C＞60°
D．若n为整数且n2为偶数，则n是偶数
解析：选C 显然A、B、D命题均真，C项中若a＞b＞c，则∠A＞∠B＞∠C，若∠C＞60°，则∠A＞60°，∠B＞60°，∴∠A＋∠B＋∠C＞180°与∠A＋∠B＋∠C＝180°矛盾，故选C.www.21-cn-jy.com
3．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋( )
A．都不大于－2
B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2
D．至少有一个不小于－2
解析：选C 假设都大于－2，则a＋＋b＋＋c＋＞－6，但＋＋＝＋＋≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．2-1-c-n-j-y
4．若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
解析：选B 分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则∠ADB＋∠ADC＝π，若∠ADB为钝角，则∠ADC为锐角．而∠ADC＞∠BAD，∠ADC＞∠ABD，△ABD与△ACD不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝时，才符合题意．
5．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数，且a＞b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．21·世纪*教育网
解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a＞b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，所以不存在n使an＝bn.
答案：0
6．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．【来源：21cnj*y.co*m】
证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝________＝________＝0.
但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．
解析：据题目要求及解题步骤，
∵a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，
∴(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也为奇数．
即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)为奇数．
又∵a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，
∴a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式为0，
所以奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.
答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)
7．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
因为0＜a＜1,0＜b＜1,0＜c＜1，
所以1－a＞0.由基本不等式，
得≥＞＝.
同理，＞，＞.
将这三个不等式两边分别相加，得
＋＋＞＋＋，
即＞，这是不成立的，
故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
8．已知数列{an}满足：a1＝，＝，anan＋1＜0(n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a－a(n≥1)．21世纪教育网版权所有
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
解：(1)由题意可知，1－a＝(1－a)．
令cn＝1－a，则cn＋1＝cn.
又c1＝1－a＝，则数列{cn}是首项为c1＝，公比为的等比数列，即cn＝·n－1，
故1－a＝·n－1?a＝1－·n－1.
又a1＝＞0，anan＋1＜0，
故an＝(－1)n－1 .
bn＝a－a＝－1－·n－1＝·n－1.
(2)用反证法证明．
假设数列{bn}存在三项br，bs，bt(r＜s＜t)按某种顺序成等差数列，由于数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，于是有br＞bs＞bt，则只可能有2bs＝br＋bt成立．
∴2··s－1＝·r－1＋·t－1，
两边同乘以3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s.
由于r＜s＜t，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．21cnjy.com
课时跟踪检测（十一）流 程 图
层级一 学业水平达标
1．下列框图中，属于流程图的是( )
A.→→
B.→→
C.→→
D.→→→→
解析：选D 根据流程图的定义分析知，只有D项中的框图为流程图，故选D.
2．下面是求过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的流程图，则空白处应填( )
A．x1＝x2？ B．x1≠x2?
C．y1＝y2? D．y1≠y2?
解析：选A 根据过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的定义知，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．21cnjy.com
3．下列表示旅客搭乘火车的流程正确的是( )
A．买票→候车→检票→上车
B．候车→买票→检票→上车
C．买票→候车→上车→检票
D．候车→买票→上车→检票
解析：选A 旅客搭乘火车的流程应为“买票→候车→检票→上车”．
4．在如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是( )
A．设备安装 B．土建设计
C．厂房土建 D．工程设计
解析：选A 由流程图可知，设备采购的下一道工序是设备安装．
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 程序框图表示的是比较2n和n2的大小关系．当n＝1时，2>1；当n＝2时，4＝4.所以输出n＝2.21教育网
6．如图，该程序框图的功能是判断正整数x是奇数还是偶数，则①处应填________．
解析：若r＝1，则x是奇数；若r≠1，则x是偶数，故填r＝1.
答案：r＝1
7．阅读如图所示的程序框图．若输入n＝5，则输出k的值为________．
解析：执行程序框图可得n＝5，k＝0；n＝16，k＝1；n＝49，k＝2；n＝148，k＝3；n＝148×3＋1＞150，循环结束，故输出的k值为3.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：3
8．在华罗庚先生的《统筹方法平话》文中，有一个“喝茶问题”：假设洗水壶需要2 min，烧开水需要15 min，洗茶壶、茶杯需要3 min，取、放茶叶需要2 min，沏茶需要1 min.为了能最快沏好茶，需要的最短时间为________分钟．21·世纪*教育网
解析：“喝茶问题”中的这些工作，有些没有先后顺序，可以同时进行，有些有先后顺序，需要依次完成．最快能沏好茶的流程图如图所示．www-2-1-cnjy-com
上述流程图需要时间18分钟．
答案：18
9．某高校大一新生入学注册，分为以下几步：
①交录取通知书；②交费；③班级注册；④领书及宿舍钥匙；⑤办理伙食卡；⑥参加年级迎新大会．请用流程图表示新生入学注册的步骤．2-1-c-n-j-y
解：流程图如图所示：
10．如图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图，
根据此流程图回答下列问题：
(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？
(2)哪些环节可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是什么？
(3)该流程图的终点是什么？
解：(1)一件屏幕成品可能经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序，也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．21*cnjy*com
(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．【来源：21cnj*y.co*m】
(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．
层级二 应试能力达标
1．淮南麻鸭资源的开发与利用的流程图如图所示，则羽绒加工的前一道工序是( )
A．孵化鸭雏
B．商品鸭饲养
C．商品鸭收购、育肥、加工
D．羽绒服加工生产体系
解析：选C 由工序流程图可知，羽绒加工的前一道工序是商品鸭收购、育肥、加工．
2.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B 开始a＝1，b＝1，k＝0；第一次循环a＝－，k＝1；第二次循环a＝－2，k＝2；第三次循环a＝1，条件判断为“是”，跳出循环，此时k＝2.21世纪教育网版权所有
3．下面是图书印刷成书的流程图，表示正确的是( )
A.→→→
B.→→→
C.→→→
D.→→→
解析：选B 出版一本图书，应首先编审，然后制版，制版后方能印刷，印刷后才能装订，故选B.
4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )www.21-cn-jy.com
A．26 B．24
C．20 D．19
解析：选D 路线D→C→B的最大信息量是3；
路线D→E→B的最大信息量为4；
路线G→F→B的最大信息量为6；
路线G→H→B的最大信息量为6.
故从A到B的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
5．如图是一个程序框图，则输出的k的值是________．
解析：解一元二次不等式k2－5k＋4＞0，得k＜1或k＞4，依据k的初始值和增量，可知当k＝5时跳出循环．故输出的k值是5.2·1·c·n·j·y
答案：5
6．某环形道路上顺时针排列着4所中学：A1，A2，A3，A4，它们依次有彩电15台、8台、5台、12台，相邻中学间可借调彩电，为使各校的彩电台数相同，调配出彩电的总台数最少为________．21·cn·jy·com
解析：调配后每所学校彩电台数为10，最好的方案为
总数为5＋3＋2＝10.
答案：10
7．某公司业务销售的工作流程是：与客户接洽，商讨单价及数量，签订销售合同、销售订单，之后，发货并装货，开票据付款，凭交款单送货．试画出它的流程图．
解：流程图如图所示：
8．某市环境保护局信访工作流程如下：
(1)信访办受理来访，一般信访填单转办；重大信访报局长批示后转办．
(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈．
(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．
据上画出该局信访工作流程图．
解：流程图如图所示．
课时跟踪检测（十二）结 构 图
层级一 学业水平达标
1．在结构图中，常在表示逻辑先后关系时出现的结构是( )
A．“树”形结构 B．“环”形结构
C．知识结构图 D．组织结构图
答案：B
2．如图所示的框图中“幂函数的定义”“幂函数的图象与性质”与“幂函数”的关系是( )
A．并列关系 B．从属关系
C．包含关系 D．交叉关系
答案：B
3．如图是一商场制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有( )
A．经理
B．政府行为
C．政府行为、策划部、社会需求
D．社会需求
解析：选C 影响“计划”的主要要素应是三个“上位”要素，即“政府行为”“策划部”“社会需求”，故选C.21世纪教育网版权所有
4．下列结构图中，各要素之间表示从属关系的是( )
解析：选D A，B，C中的结构图表示的是逻辑关系，只有D中结构图表示的是从属关系．
5．在如图所示的知识结构图中，“求简单函数的导数”的“上位”要素有________个．
解析：基本导数公式、导数的运算法则、复合函数求导法则都是其“上位”要素．
答案：3
6．如图所示为《数学5》第三章“不等式”的知识结构图，填空：①________________________________________________________________________；
②________________________________________________________________________.
答案：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 基本不等式：≤
7．在工商管理学中，MRP(Material Requirement Planning)指的是物资需求计划，基本MRP的体系结构如图所示．2·1·c·n·j·y
从图中可以看出，基本MRP直接受________、________和________的影响．
解析：从结构图中可以看出，影响“基本MRP”的主要要素应是其3个“上位”要素：主生产计划、产品结构、库存状态．21教育网
答案：主生产计划 产品结构 库存状态
8．我们学过圆的有关知识及应用，试画出有关圆的知识结构图．
解：知识结构图如图所示．
9．某公司局域网设置如下：由服务器联结经理室、市场部、销售部、客户服务部、系统管理员，与外部联结是通过服务器，试画出该公司局域网设置结构图．
解：结构图如下：
层级二 应试能力达标
1．下图所示的是“概率”知识的( )
A．流程图 B．结构图
C．程序框图 D．直方图
解析：选B 这是关于“概率”知识的结构图．
2．下图是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在( )
A．“集合的概念”的下位
B．“集合的表示”的下位
C．“基本关系”的下位
D．“基本运算”的下位
解析：选C 子集是集合与集合之间的基本关系，故应为“基本关系”的下位．
3．如图是人教A版教材选修1－2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“三段论”，那么应该放在图中( )21cnjy.com
A．“①”处 B．“②”处
C．“③”处 D．“④”处
解析：选B 三段论是演绎推理的内容，因此应放在“②”处．
4．某自动化仪表公司组织结构图如图，其中采购部的直接领导是( )
A．副总经理(甲) B．副总经理(乙)
C．总经理 D．董事会
解析：选B 由组织结构图可知：采购部由副总经理(乙)直接领导．
5．下图是一种信息管理系统的结构图，则其构成有________部分．
解析：由框图的结构知共4个部分．
答案：4
6．某市质量技术监督局质量认证审查流程图如图所示，从图中可得在审查过程中可能不被审查通过的环节有________处．21·cn·jy·com
解析：这是一个实际问题，观察流程图可知有3处判断框，即3处环节可能不被审查通过．
答案：3
7．试画出我们认识的“数”的知识结构图．
解：从大范围到小范围，逐步细化．知识结构图如图所示．
8．下面是中国移动关于发票的表述：我们在充分考虑您的个性化需求的基础上提供了以下几种话费发票方式：后付费话费发票、预付费话费发票、充值发票、全球通发票，其中全球通简单发票和单一发票是为满足全球通客户的个性化需要而制定的．您可以根据您的实际情况选择其中的话费发票方式．试写出关于发票的结构图．www.21-cn-jy.com
解：
课时跟踪检测（十） 复数代数形式的乘除运算
层级一 学业水平达标
1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )
A．6－4i B．－6－4i
C．6＋4i D．－6＋4i
解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
2．(全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
解析：选C z－1＝＝1－i，所以z＝2－i，故选C.
3．(广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．2－3i B．2＋3i
C．3＋2i D．3－2i
解析：选A ∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1 024 B．1 024
C．0 D．512
解析：选C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.www.21-cn-jy.com
5．(全国卷Ⅱ)若a为实数，且＝3＋i，则a＝( )
A．－4 B．－3
C．3 D．4
解析：选D ＝＝＋i＝3＋i，
所以解得a＝4，故选D.
6．(天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
解析：因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，
又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，
所以＝2.
答案：2
7．设复数z＝1＋i，则z2－2z＝________.
解析：∵z＝1＋i，
∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋i)(1＋i－2)＝(1＋i)(－1＋i)＝－3.
答案：－3
8．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.
解析：∵a，b∈R，且＝1－bi，
则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，
∴
∴
∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝.
答案：
9．计算：＋.
解：因为＝＝＝i－1，＝＝＝－i，
所以＋＝i－1＋(－i)＝－1.
10．已知为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有
解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
层级二 应试能力达标
1．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A B．B
C．C D．D
解析：选B 设z＝a＋bi(a，b∈R)，且a＜0，b＞0，则z的共轭复数为a－bi，其中a＜0，－b＜0，故应为B点．21教育网
2．设a是实数，且∈R，则实数a＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
解析：选B 因为∈R，所以不妨设＝x，x∈R，则1＋ai＝(1＋i)x＝x＋xi，所以有所以a＝1.21cnjy.com
3．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
解析：选B ∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴＝|1－ai|＝＝2，解得a＝或a＝－(舍)．21·cn·jy·com
4．计算＋的值是( )
A．0 B．1
C．i D．2i
解析：选D 原式＝＋＝＋＝＋i＝＋i＝＋i＝2i.
5．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：＝＝＝
＝，
∵为纯虚数，
∴
∴a＝.
答案：
6．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，
∴
解得或
∴|z|＝＝.
答案：
7．设复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a.
解：由z2＋＜0可知z2＋是实数且为负数．
z＝＝＝＝1－i.
∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m∈R且m≠0)，则
z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋i＜0，
∴
∴m＝4，∴a＝4i.
8．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．21世纪教育网版权所有
解：z＝(a＋bi)
＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4，得a2＋b2＝4，①
∵复数0，z，对应的点构成正三角形，
∴|z－|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②
又∵z对应的点在第一象限，
∴a＜0，b＜0.
由①②得
故所求值为a＝－，b＝－1.
课时跟踪检测（四） 演绎推理
层级一 学业水平达标
1．下面说法：
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．21教育网
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C ①③④都正确．
2．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是( )21·cn·jy·com
A．三段论推理 B．假言推理
C．关系推理 D．完全归纳推理
解析：选A ∵三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大前提)，在△ABC中，AB＝AC，(小前提)，∴在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，符合三段论推理规则，故选A.
3．推理过程“大前提：__________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是( )www.21-cn-jy.com
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
解析：选B 由三段论的一般模式知应选B.
4．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在( )2·1·c·n·j·y
A．大前提 B．小前提
C．推理过程 D．没有出错
解析：选A 要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的．21·世纪*教育网
5．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
解析：选A 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．
6．求函数y＝ 的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是 有意义，结论是____________．www-2-1-cnjy-com
解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.
答案：log2x－2≥0
7．某一三段论推理，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断，该三段论的另一前提必为________判断．21*cnjy*com
解析：根据三段论的特点，三段论的另一前提必为否定判断．
答案：否定
8．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：_______________________________________________________________.
小前提：___________________________________________________________________.
结论：_____________________________________________________________.
解析：本题忽略了大前提和小前提．大前提为：一次函数的图象是一条直线．小前提为：函数y＝2x＋5为一次函数．结论为：函数y＝2x＋5的图象是一条直线．
答案：①一次函数的图象是一条直线 ②y＝2x＋5是一次函数 ③函数y＝2x＋5的图象是一条直线
9．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)菱形的对角线互相平分．
(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．
解：(1)平行四边形的对角线互相平分(大前提)；
菱形是平行四边形(小前提)；
菱形的对角线互相平分(结论)．
(2)一切奇数都不能被2整除(大前提)；
75是奇数(小前提)；
75不能被2整除(结论)．
10．下面给出判断函数f(x)＝的奇偶性的解题过程：
解：由于x∈R，且＝·
＝＝＝－1.
∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数．
试用三段论加以分析．
解：判断奇偶性的大前提“若x∈R，且f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；若x∈R，且f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)．层级二 应试能力达标21世纪教育网版权所有
1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )2-1-c-n-j-y
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
解析：选C 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．【来源：21cnj*y.co*m】
2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( )【出处：21教育名师】
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：选C 用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．【来源：21·世纪·教育·网】
3．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是点B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的( )
A．AC⊥β
B．AC⊥EF
C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D．AC与α，β所成的角相等
解析：选D 只要能推出EF⊥AC即可说明BD⊥EF.当AC与α，β所成的角相等时，推不出EF⊥AC，故选D.【版权所有：21教育】
4．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)＜0.对任意正数a，b，若a＜b，则必有( )21cnjy.com
A．bf(a)＜af(b) B．af(b)＜bf(a)
C．af(a)＜f(b) D．bf(b)＜f(a)
解析：选B 构造函数F(x)＝xf(x)，
则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)．
由题设条件知F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．
若a＜b，则F(a)＞F(b)，即af(a)＞bf(b)．
又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，
所以bf(a)＞af(a)＞bf(b)＞af(b)．故选B.
5．已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝________.
解析：因为奇函数f(x)在x＝0处有定义且f(0)＝0(大前提)，而奇函数f(x)＝a－的定义域为R(小前提)，所以f(0)＝a－＝0(结论)．解得a＝.
答案：
6．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m,1)给出以下三个结论：
(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.
其中正确结论为________．
解析：由条件可知，
因为f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，且f(1,1)＝1，
所以f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6＝
f(1,1)＋8＝9.
又因为f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
所以f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3,1)＝23f(2,1)
＝24f(1,1)＝16，
所以f(5,6)＝f(5,1)＋10＝24f(1,1)＋10＝26.
故(1)(2)(3)均正确．
答案：(1)(2)(3)
7．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上有意义、单调递增且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x2)＝2f(x)；
(2)求f(1)的值；
(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．
解：(1)证明：∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，(大前提)
∴f(x2)＝f(x·x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)．(结论)
(2)∵f(1)＝f(12)＝2f(1)，(小前提)
∴f(1)＝0.(结论)
(3)∵f(x)＋f(x＋3)＝f(x(x＋3))≤2＝2f(2)
＝f(4)，(小前提)
函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(大前提)
∴
解得0＜x≤1.(结论)
8．已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明＜.
证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b＜a，m＞0，(小前提)
所以mb＜ma.(结论)
因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)
mb＜ma，(小前提)
所以mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论)
因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)
所以＜，即＜.(结论)
