河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年高二下学期开学考试数学（理）试题

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河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年下学期开学考试
高二（理科）数学
注意事项：
1．你现在拿到的这份试卷是满分150分，作答时间为120分钟
2．答题前请在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
3．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题60分）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。)
1.已知为正数，则“”是“ ”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 由命题“存在，使”是假命题，得的取值范围是，则实数的值是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
3. 如图，空间四边形中，点分别在上， ， ，则 ( )
A. B.
C. D.
4. 设点为双曲线（， ）上一点， 分别是左右焦点， 是的内心，若， ， 的面积满足，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B.
C. 4 D.
5.如图，面,B为AC的中点， ，且P到直线BD的距离为则的最大值为（ ）
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
6.如图，在长方体中，点分别是棱上的动点， ,直线与平面所成的角为，则的面积的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，60°的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（　　）
A. B. 7
C. D. 9
8.已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形， 平面， ，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
9.若直线与曲线有交点，则（ ）
A. 有最大值，最小值 B. 有最大值，最小值
C. 有最大值，最小值 D. 有最大值，最小值
10.在四面体中， 分别是的中点，若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
11.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为
A. 1 B. 5 C. D.
12.如图，在长方体中， ， ，点在棱上，且，则当的面积最小时，棱的长为
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 90分）
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)
13. 已知是双曲线 的左焦点，若点，以线段的长为直径的圆与双曲线左，右两支在轴上方的交点分别为，则______.
14. 如图所示，四棱锥的底面为矩形， ， ，且，记二面角的平面角为，若，则的取值范围是___________
15.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点， ，则与的面积之__________．
16. 给出如下命題:
①命题 “在中，若，则” 的逆命題为真命题;
②若动点到两定点的距离之和为，则动点的轨迹为线段;
③若为假命题，则都是假命題;
④设，则“”是“”的必要不充分条件
⑤若实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为;
其中所有正确命题的序号是_________.
三、解答题(本大题共6个小题，70分。)
17. (本题10分)如图，在四棱锥中， 平面, ,.
(1)求证： ；
(2)求多面体的体积.
18. (本题12分)已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点.
（1）若的坐标为，求的值；
（2）设线段的中点为，点的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于两点，求的取值范围.
19. (本题12分)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，
（Ⅰ）求证：A1C1⊥BC1；
（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．
20. (本题12分)如图,直线与圆 且与椭圆相交于两点.
(1)若直线恰好经过椭圆的左顶点,求弦长
(2)设直线的斜率分别为,判断是否为定值,并说明理由
(3)求，面积的最小值.
21. (本题12分)如图,已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点,过作准线的垂线,垂足为为原点.
(1)求证: 三点共线；
(2)求的大小.
22. (本题12分)如图，在四棱锥中，，，，平面底面，.和分别是和的中点，求证：
（Ⅰ）底面；
（Ⅱ）平面；
（Ⅲ）平面平面.
河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年下学期开学考试
高二（理科）数学
参考答案解析
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
C
B
A
B
B
C
A
C
C
A
A
1.C
【解析】设，则在上单调递减。
若，则，即；
若，即，则有。
综上可得“”是“ ”的充要条件。
选C。
2. C
【解析】命题“存在，使”是假命题，对任意的，有，为真命题，，又当时，取得最小值，的取值范围是，故选C.
3. B
【解析】， ，故选B.
4. A
【解析】
如图,设圆I与的三边、、分别相切于点，连接，
则，
它们分别是, , 的高，
∴，
，
，
其中r是的内切圆的半径。
∵，
∴? = ，
两边约去r得： ，
根据双曲线定义,得，
∴离心率为.
故选：A.
5.B
【解析】∵到直线的距离为
∴空间中到直线的距离为的点构成一个圆柱面，它和面相交得一椭圆，即点在内的轨迹为一个椭圆， 为椭圆中心， ， ，则
∴为椭圆的焦点
∵椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值
∴的最大值为
故选B
6.B
【解析】以C为原点，以CD，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则C（0，0，0）， 设P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3．
设平面PQC′的一个法向量为 则 令z=1，得
a2b2≥2ab，解得ab≥8．∴当ab=8时，S△PQC=4，棱锥C′-PQC的体积最小，∵直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，∴C到平面PQC′的距离d=2
∵VC′-PQC=VC-PQC′，
故选B
7.C
【解析】7.∵， ，∴，∵，∴ ，∴，故选C.
8.A
【解析】
由题意画出几何体的图形如图，把扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，
∵， 是正三角形，
所以
，
所求球的表面积为： 。
故选A。
9.C
【解析】如图所示，曲线表示以为圆心， 为半径的圆（轴上方部分），
当直线与曲线相切时，
有最大值，最小值
故答案选
10.C
【解析】如图所示， 连接，∵、分别是、的中点，∴，∴，又，∴，故选C.
11.A
【解析】由题意可得：直线经过圆心，所以；
则，所以应选D．
12.A
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，由题设，即，也即；又，故（当且仅当取等号），此时即，应选答案A。
二、填空题
13 .
【解析】.由于F为双曲线的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，
以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M，N，
不妨设A为椭圆的右焦点，则F（﹣5，0），A（5，0），|FN|﹣|NA|=8，
由双曲线的对称性得到|FM|=|NA|，
∴|FN|﹣|FM|=8
则=
14．
【解析】由题意易得： ，∴△CPA≌△CBA，
过P作PO⊥AC于O点，连OB，则OB⊥AC，
∴∠POB为二面角的平面角
，
即，又
∴的取值范围是
15.
【解析】
由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为。
如图，设，过A,B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E,N，则
，解得。
把代入抛物线，解得。
∴直线AB经过点与点，
故直线AB的方程为，代入抛物线方程解得。
∴。
在中， ，
∴
∴。答案：
16. .①②④
【解析】①命题“在中,若,则”的逆命题为“在中,若,则”,是真命题；②若动点到两定点的距离之和为,则动点的轨迹为线段,正确,原因是只有线段上的点到定点的距离之和为；③若为假命题,则都是假命题,错误,原因是只要中有一个是假命题,就有为假命题；④设,由能得到,反之由不一定有.则“”是“”的必要不充分条件；⑤若实数成等比数列,则,.若,圆锥曲线表示焦点在轴上的双曲线,此时,,,圆锥曲线的离心率为,命题⑤错误.因此，本题正确答案是①②④.
三、简答题
17.
(I) 面面
面
又面
(II)解：连接
平面
为直角三角形且为直角.
18. （1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得，
则抛物线的方程为.
设切线的方程为，代入得，
由得，
当时，点的横坐标为，
则，
当时，同理可得.
综上得。
（2）由（1）知， ，
所以以线段为直径的圆为圆，
根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线即可，
因为为直线与圆的切点，
所以， ，
所以，
所以，
所以直线的方程为，
由消去整理得，
因为直线与圆相交，所以。
设，则，
所以，
所以，
设，因为，所以，
所以，
所以.
19.
证明(法一: 故有,A. 法二: ;由直三棱柱;;平面; 平面,平面, 平面,
(连接相交于点O,连OD,易知// , 平面 , 平面,故//平面.
20.
（1）由题意直线斜率存在，设直线
因为直线与圆相切，
所以
解得
当时，由解得，所以
当时，同理
所以。
（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，得；
（ⅱ）当的斜率存在时，设直线
因为直线与圆相切，
所以
整理得所以①，
由消去y整理得，
由直线与圆相交得
设
则 ，②
所以③，
将①②代入③式得
综上可得
（3）由（2）知
记直线与圆的切点为
设
所以，
则
所以当时， .
21.
（1）设直线
由消去y整理得
设
则
因为
所以，
所以，
又线段有公共点，
所以三点共线.
（2）因为
所以，
所以，
所以
22.
（Ⅰ）因为平面底面，且垂直于这两个平面的交线，
所以底面.
（Ⅱ）因为，，是的中点，
所以，且.
所以为平行四边形.
所以，.
又因为平面，平面，
所以平面.
（Ⅲ）因为，并且为平行四边形，
所以,.
由（Ⅰ）知底面，
所以，
所以平面.
所以.
因为和分别是和的中点，
所以.
所以.
所以平面.
所以平面平面.