河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年高二下学期开学考试数学（文）试题

启用前绝密
河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年下学期开学考试
高二（文科）数学
注意事项：
1．你现在拿到的这份试卷是满分150分，作答时间为120分钟
2．答题前请在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
3．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题60分）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。)
1.命题“若，则”的逆否命题为（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2. 抛物线（）的焦点，双曲线的左、右焦点依次为，是坐标原点，当与重合时，与的一个交点为，则( )
A. B. C. D.
3.设命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
4.设是可导函数，且，则（ ）
A. B. C. D. 0
5.已知函数，若，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
6.设分别是椭圆的左,右焦点， 是椭圆上一点，则的面积为 （ ）
A. 24 B. 25 C. 30 D. 40
7.在平面直角坐标系中，已知为函数图象上一点，若，则 （ ）
A. B. C. D.
8.如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9.已知是两个定点，点是以和为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且，记和分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有
A. B. C. D.
10.对于每个自然数n，抛物线与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点间的距离，则|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2 017B2 017|的值是(　 　)
A. B. C. D.
11.已知点是抛物线（）上一点，为其焦点，以为圆心，以为半径的圆交准线于，两点，为正三角形，且的面积是，则抛物线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知为实数，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 充要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件
第II卷（非选择题 90分）
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)
13.函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为为正整数，若，则________.
14.已知为抛物线上一个动点，定点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和的最小值是__________．
15.一圆形纸片的半径为，圆心为， 为圆内一定点， ， 为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使与重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕，设与交于点（如图），以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，则点的轨迹方程为__________．
16.有下列四种说法：
①， 均成立；
②若是假命题，则都是假命题；
③命题“若，则”的逆否命题是真命题；
④“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
其中正确的命题有__________．
三、解答题(本大题共6个小题，70分。)
17. (本题10分)已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
18. (本题12分)如图，由围成的曲边三角形，在曲线弧上求一点，使得过所作的的切线与围城的三角形的面积最大，并求得最大值．
19. (本题12分)已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点， 为坐标原点，双曲线的离心率为的面积为.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）求的值.
20. (本题12分)已知双曲线， 是上的任意点.
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点的坐标为，求的最小值.
21. (本题12分)已知抛物线的方程为，抛物线的焦点到直线的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）设点在抛物线上，过点作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线、分别交直线于、两点，求最小时直线的方程.
22. (本题12分)已知函数， .
（1）求函数在点点处的切线方程；
（2）当时，求函数的极值点和极值；
（3）当时， 恒成立，求的取值范围.
河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年下学期开学考试
高二（文科）数学
参考答案解析
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
B
C
C
A
C
B
D
D
C
C
1.B
【解析】由题意得，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”。选B。
2. C
【解析】依题意得，由两曲线相交，解得，舍去），则．本题选择C选项.
3.B
【解析】根据命题否定的定义，改全称量词为存在性量词，否定结论即可得到， ： ，故选B.
4.C
【解析】4.

故选 C．
5.C
【解析】 ,选C.
6.A
【解析】∵|PF1|：|PF2|=4：3，
∴可设|PF1|=4k，|PF2|=3k，
由题意可知3k+4k=2a=14，
∴k=2，
∴|PF1|=8，|PF2|=6，
∵|F1F2|=10，
∴△PF1F2是直角三角形，
其面积=××=×6×8=24．
故选A．
7.C
【解析】由得，所以函数图象为双曲线的上支，又点分别为双曲线的上、下焦点。
由双曲线的定义得，又，所以。
在中，由余弦定理得。选C。
8.B
【解析】
如图所示，抛物线的焦点，圆的圆心坐标是，半径，设，由抛物线的定义可知， ，显然直线不可能平行于轴，设直线的方程为代入到抛物线的方程中，得， ，显然， ，等号成立当且仅当和同时成立，即等号成立当且仅当， 的最小值是，故选B.
9.D
【解析】9.由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，不妨令 在双曲线的右支上由双曲线的定义 ? ①由椭圆的定义 ? ②又 故? ③
得 ④将④代入③得 即
即
故选D
10.D
【解析】当时， 解得，则两点的坐标为，则，所以,
，故选D.
11.C
【解析】由题意，如图可得及，可得，从而，由抛物线的定义知点A到准线的距离也为，又因为△ABC的面积为，所以，解得p=8，故抛物线的方程为.
本题选择C选项.
12. C
【解析】取，满足，但是此时，即充分性不满足，
反之，若，结合，利用不等式的性质相加可得： ，即必要性满足，
综上可得：“”是“”的必要非充分条件 .
本题选择C选项.
13.21
【解析】，则斜率为，切线方程为，令，得， 是以16为首项，以为公比的等比数列， .
14.
【解析】由抛物线的焦点为，
根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点的焦点的距离，
设点到抛物线的准线的距离为，所以，
可得当三点共线时，点到点的距离与点到准线的距离之和最小，
所以最小值为.

15.
【解析】以FO所在直线为x轴，线段FO的中垂线为y轴，建立直角坐标系。
由题设，得：CD垂直平分线段MF，则有：|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=10
即|PO|+|PF|=10>|OF|,所以点P的轨迹是以F,O为焦点的椭圆。
方程为： ,2a=10,2c=6?b2=16,
点P的轨迹方程为： .
16.①③
【解析】对于①, 恒成立,命题正确;
对于②, 若是假命题，则， 中至少有一个是假命题,命题错误;
对于③, 若，则正确,则它的逆否命题也正确;
对于④,当时, 直线与直线互相垂直,命题正确;
故填①③④.
17.(1) 当时， 取最小值且为;(2) .
（1）函数的定义域为
，
在，
所以当时， 取最小值且为
（2）问题等价于： 对恒成立，
令，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以， 所以
18.， .
设 ，则 ，
∵ ， ，
即 ∴。
令，得 , ∴,
令，得, ∴.
∴ ,
,
令，则（舍去）或， 即当时， ,
∴ ,∴ .
19.（1）；（2）
(1)由双曲线的离心率为，所以
由此可知，双曲线的两条渐近线方程为，即
（2）抛物线的准线方程为，由得
即，同理可得，所以，
由题意，由于，解得，所求的值为.
20.
（1）设， 到两准线的距离记为、，
∵两准线为， ，
∴，
又∵点在曲线上，∴，得（常数）
即点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 .
（2）设，由平面内两点距离公式得，
，
∵，可得，∴，
又∵点在双曲线上，满足，∴当时， 有最小值， .
21.（1）；（2）
（1）抛物线的焦点为， ，得，或（舍去）
∴抛物线的方程为.
（2）点在抛物线上，∴，得，
设直线为， ， ，
由得， ；
∴， ，
，
由，得，同理；
∴；
∴当时， ，此时直线方程： .
22.（1）;（2）的极大值，函数无极小值;（3）.
（1）由题，所以，
所以切线方程为：
（2）由题时， ，所以
所以； ，
所以在单增，在单减，所以在取得极大值.
所以函数的极大值，函数无极小值
（3），令，
，令，
（1）若， ， 在递增，
∴在递增， ，从而，不符合题意
（2）若，当， ，∴在递增，
从而，以下论证同（1）一样，所以不符合题意
（3）若， 在恒成立，
∴在递减， ，
从而在递减，∴， ，
综上所述， 的取值范围是.