河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年高一下学期开学考试数学试题

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河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年下学期开学考试
高一数学
注意事项：
1．你现在拿到的这份试卷是满分150分，作答时间为120分钟
2．答题前请在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
3．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（共60分）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。)
1.已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
2.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示的Venn图中， 是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，
若，则
A. B.
C. D.
4.函数，若且， ， 互不相等，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如： ， ，已知函数，则函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
6.函数的图象为（ ）
A. B. C. D.
7.函数为奇函数，定义域为，若为偶函数，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数 满足对任意的实数都有 成立，则实数的取值范围为
A. (0,1) B. C. D.
9.已知函数是定义域为的偶函数，当时， ，若关于的方程有且只有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.已知定义域为的偶函数在上是减函数，且 ，则不等式的解集为（? ）
A. B.
C. D.
11.已知定义在上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A． B．
C． D．
12.已知定义在上的函数 和的图象如图
给出下列四个命题：
①方程有且仅有个根；②方程有且仅有个根；
③方程有且仅有个根；④方程有且仅有个根；
其中正确命题的序号是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
第II卷（非选择题 90分）
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)
13.若幂函数的图象经过点，则__________.
14.设，则__________．
15.已知函数的周期为4，当时， ，则__________.
16.下列几个命题正确的有__________（写出你认为正确的序号即可）.
①函数的图像与直线有且只有一个交点；
②函数的值域是[-2,2],则函数的值域为[-3,1]；
③设函数定义域为，则函数与的图像关于直线对称；
④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分。)
17. (本题共2个小题，每小题5分，共10分。)
计算：（1）；
（2）
18. (本题共12分)已知集合， .
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
19. (本题共12分)设函数满足， 为常数.
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并给出证明.
20. (本题共12分)已知幂函数满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
21. (本题共12分)我市某商业公司为全面激发每一位职工工作的积极性、创造性，确保2017年超额完成销售任务，向党的十九大献礼．年初该公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：每季度销售利润不超过15万元时，则按其销售利润的进行奖励；当季销售利润超过15万元时，若超过部分为万元，则超出部分按进行奖励，没超出部分仍按季销售利润的进行奖励．记奖金总额为 (单位:万元)，季销售利润为 (单位:万元).
（Ⅰ）请写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
（Ⅱ）如果业务员李明在本年的第三季度获得5.5万元的奖金，那么，他在该季度的销售利润是多少万元?
22. (本题共12分)已知二次函数满足，且.
（1）求函数的解析式；
（2）令，
① 若函数在区间上不是单调函数，求实数的取值范围；
②求函数在区间的最小值.
参考答案
1.C
【解析】集合，若，则，所以有，所以，故选C.
考点：集合间的关系.
2.C
【解析】2.函数有意义，则： ，
求解不等式组可得函数的定义域为： .
本题选择C选项.
3.C
【解析】3.由图可知， ， ， ， ， 或， 或或，故选C.
4.C
【解析】函数的图象如图：∵且， ， 互不相等，∴，∴由得，即，即，∴，由函数图象得的取值范围是，故选C.
5.D
【解析】5.， 为奇函数， 函数化简得出： ， ，
， 当时， ，当时， ，当时， ， 函数的值域为，故选D.
6.D
【解析】因为，所以函数是偶函数，图象关于y轴对称，又当时， ，所以选D.
7.D
【解析】由题 为偶函数， ∵f（x）是奇函数， 即 即 则 则 是奇函数，
则
，则 ．故选D．
8.D
【解析】由条件知，分段函数 在R上单调递减，则
所以有 ，所以有，故选D
9.C
【解析】
由题意， 在和上是减函数，在和上是增函数， 时，函数取极大值时，取极小值， 时， ，画出函数的图象，如图， 关于的方程有且只有个不同实数根，设，则方程必有两个根，结合函数图象， ，则，故选C.
10.A
【解析】因为，所以不等式，化为 ，又偶函数在上是减函数， 在上是增函数， 或， 或，故选A.
11.B
【解析】由题意知，函数的周期为，则函数，在区间上的图象如图所示，由图形可知函数，在区间上的交点为，，，易知点的横坐标为，若设的横坐标为 ，则点的横坐标为，所以方程在区间上的所有实数根之和为．故选：B.
12.D
【解析】根据图象可得 ，①由于满足方程的有三个不同值，由于每个值对应了2个值，故满足的值有6个，即方程有且仅有6个根，故①正确．②由于满足方程的有2个不同的值，从图中可知， 一个的值在上，令一个的值在上．当的值在上时，原方程有一个解；当的值在上时，原方程有3个解．故满足方程的值有4个，故②不正确．③由于满足方程 的有3个不同的值，从图中可知，一个等于0，一个，一个．而当 时对应3个不同的x值；当时，只对应一个值；当时，也只对应一个值．故满足方程的值共有5个，故③正确．④由于满足方程的值有2个，而结合图象可得，每个值对应2个不同的值，故满足方程 的值有4个，即方程有且仅有4个根，故④正确．故选 D．
13.
【解析】由题意有： ，
则： .
14.1008
【解析】∵函数，∴，∴ ，故答案为1008.
15.2
【解析】由题意结合函数的周期性可得.
16.③④
【解析】函数的图像与直线最多只有一个交点，故①错误；函数的图象向左平移1个单位得到的图象，故其值域不变，故②错误；函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象关于直线对称，故③正确；∵曲线，∴直线与曲线的交点个数只能是0，2，3，4，故④正确；故答案为③④.
17.
(1) 原式＝
(2)
.
18.
（1）由已知：，，.
（2）若时符合题意；
若时有，
即；
综上可得：的取值范围为.
19.
（1）因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
解得
当时， ，定义域为，不满足.
当时， 满足题意.
所以.
（2）当 时， ，函数的定义域为.
在上为增函数.证明如下：
设，且

因为且，
所以
可得
从而，
即，
∴
因此在上为增函数.
20.
（1）∵是幂函数，
∴，
解得或，
当时， ，不满足，
当时， ，满足，
∴
∴。
（2）令，则，
设，
①当，即时，由题意得
，
解得；
②当，即时，由题意得
，
解得（舍去）；
③当，即时，由题意得
，
解得（舍去）
综上存在使得的最小值为0。
（3）由题意得，
∴在定义域内为单调递减函数；
若存在实数，使函数在上的值域为，
则，
由②-①，得
，
∴，
将③代入②得，
，
令，
∵，
∴，
又，故在区间上单调递减，
∴。
∴存在实数，使函数在上的值域为且实数的取值范围为
．
21.
（Ⅰ）∵当销售利润不超过15 万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为万元，则超出部分按进行奖励，
∴时， ； 时，
∴该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型为；
（Ⅱ）∵时，
∵，∴，
∴，解得
∴李明的销售利润是39万元.
22.
由已知令；
（1）
又
（2）①=其对称轴为
， ，
②当
当
当
综上，