人教版八年级数学专题讲解第01讲：三角形的基本知识
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学专题讲解第01讲：三角形的基本知识 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 127.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-03-08 17:39:31 | ||
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文档简介
专题01 三角形的基本知识
阅读与思考
三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.
解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.
应熟悉以下基本图形：
例题与求解
【例1】如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（ ）
A．114° B．122° C．123° D．132°
【考点】MI：三角形的内切圆与内心．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据内心的概念得到∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．21世纪教育网版权所有
【解答】解：∵∠A=66°，
∴∠ABC+∠ACB=114°，
∵点I是内心，
∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=57°，
∴∠BIC=180°﹣57°=123°，
故选：C．
【例2】（2017湖南株洲）
如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（ ）
A．145° B．150° C．155° D．160°
【考点】K7：三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．
【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，
∴6x=180，
∴x=30，
∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，
故选B．
【例3】如图，∠1=55°，∠3=108°，则∠2的度数为（ ）
A．52° B．53° C．54° D．55°
【考点】三角形的外角性质．
【专题】探究型．
【分析】直接根据三角形外角的性质进行解答即可．
【解答】解：∵∠3是△ABC的外角，∠1=55°，∠3=108°，
∴∠2=∠3﹣∠1=108°﹣55°=53°．
故选B．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．
【例4】如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为（ ）www.21-cn-jy.com
A．20° B．30° C．10° D．15°
【考点】三角形的角平分线、中线和高；垂线；三角形内角和定理．
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：∵∠BAC=60°，∠C=80°，
∴∠B=40°．
又∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=30°，
∴∠ADE=70°，
又∵OE⊥BC，
∴∠EOD=20°．
故选A．
【点评】此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义．
【例5】如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．【来源：21cnj*y.co*m】
【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．
【分析】由三角形的内角和是180°，可求∠A=60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，所以∠ABE=30°．同理，∠ACF=30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC=120°．【出处：21教育名师】
【解答】解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．
又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，
∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．
同理，∠ACF=30°，
∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．
【点评】此题主要考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
能力训练
1. 如图，△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数（ ）21教育名师原创作品
A．35° B．5° C．15° D．25°
2. 如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段 是△ABC中AC边上的高．21·世纪*教育网
3. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）
A．35° B．95° C．85° D．75°
4. 如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠A=70°时，则∠BPC的度数为 ．
5. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
6. 如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ）
A．140米 B．150米 C．160米 D．240米
7. 如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
8. （1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．
（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；
（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
9. 问题引入：
(1)如图13①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)；如图13②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)．
(2)如图13③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)，并说明理由．
类比研究：
(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．
参考答案：
1. 如图，△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数（ ）
A．35° B．5° C．15° D．25°
【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．
【分析】利用三角形的内角和是180°可得∠BAC的度数；AE是∠BAC的角平分线，可得∠EAC的度数；利用AD是高可得∠ADC=90°，那么可求得∠DAC度数，那么∠EAD=∠EAC﹣∠DAC．
【解答】解：∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC=∠BAC=35°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°﹣∠C=30°，
∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=5°．
故选B．
【点评】关键是得到和所求角有关的角的度数；用到的知识点为：三角形的内角和是180°；角平分线把一个角分成相等的两个角．
2. 如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段 BE 是△ABC中AC边上的高．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：∵BE⊥AC，
∴△ABC中AC边上的高是BE．
故答案为：BE
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，是基础题，熟记概念是解题的关键．
3. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）
A．35° B．95° C．85° D．75°
【考点】三角形的外角性质；角平分线的定义．
【分析】根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可．
【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，
∴∠ACD=2∠ACE=120°，
∵∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣35°=85°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．21cnjy.com
4. 如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠A=70°时，则∠BPC的度数为 125° ．21·cn·jy·com
【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】探究型．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠2+∠4的度数，由三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数．
【解答】解：∵△ABC中，∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣70°=110°，
∴BP，CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线，
∴∠2+∠4=（∠ABC+∠ACB）=×110°=55°，
∴∠P=180°﹣（∠2+∠4）=180°﹣55°=125°．
故答案为：125°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键．
5. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．2·1·c·n·j·y
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据中线的定义知CD=BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB=5cm；又AC+AB=11cm．易求AC的长度．【版权所有：21教育】
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD=BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．
∴AC﹣AB=5cm．
又∵AB+AC=11cm，
∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【来源：21·世纪·教育·网】
6. 如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ）
A．140米 B．150米 C．160米 D．240米
【考点】多边形内角与外角．
【分析】多边形的外角和为360°每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．
【解答】解：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，
∴多边形的边数为360°÷24°=15，
∴小明一共走了：15×10=150米．
故选B．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据多边形的外角和及每一个外角都为24°求边数．21*cnjy*com
7. 如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】延长BC交OD与点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再根据四边形的内角和为360°即可得出结论．
【解答】解：延长BC交OD与点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°﹣220°=140°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，
∴∠BOD=40°．
故选A．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角以及角的计算，解题的关键是能够熟练的运用多边形的外角和为360°来解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用多边形的外角和与内角和定理，通过角的计算求出角的角度即可．
8. （1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．
（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；
（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；
（2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°﹣∠A，得出∠BIC的度数即可；
（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，进而求出∠A=（∠1+∠2），即可得出答案．21教育网
【解答】解：（1）∠1+∠2=2∠A；
（2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=130°，∴∠A=65°
∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）
=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，
∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB），
=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+×65°=122.5°；
（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，
∠FHG+∠A=180°，∴∠BHC=∠FHG=180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A，
∴∠A=（∠1+∠2），
∴∠BHC=180°﹣（∠1+∠2）．
【点评】此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．2-1-c-n-j-y
9. 问题引入：
(1)如图13①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)；如图13②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)．21*cnjy*com
(2)如图13③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)，并说明理由．
类比研究：
(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．
[考点]三角形的内角和，猜想、推理。
解：(1)第一个空填：90°＋；
第一个空填：90°＋．
第一空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋．
第二空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝120°＋．
(2)答案：120°－．过程如下：
∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠DBC＋∠ECB)＝180°－(180°＋∠A)＝120°－．
(3)答案：120°－．过程如下：
∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠DBC＋∠ECB)＝180°－(180°＋∠A)＝·180°－．
阅读与思考
三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.
解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.
应熟悉以下基本图形：
例题与求解
【例1】如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（ ）
A．114° B．122° C．123° D．132°
【考点】MI：三角形的内切圆与内心．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据内心的概念得到∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．21世纪教育网版权所有
【解答】解：∵∠A=66°，
∴∠ABC+∠ACB=114°，
∵点I是内心，
∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=57°，
∴∠BIC=180°﹣57°=123°，
故选：C．
【例2】（2017湖南株洲）
如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（ ）
A．145° B．150° C．155° D．160°
【考点】K7：三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．
【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，
∴6x=180，
∴x=30，
∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，
故选B．
【例3】如图，∠1=55°，∠3=108°，则∠2的度数为（ ）
A．52° B．53° C．54° D．55°
【考点】三角形的外角性质．
【专题】探究型．
【分析】直接根据三角形外角的性质进行解答即可．
【解答】解：∵∠3是△ABC的外角，∠1=55°，∠3=108°，
∴∠2=∠3﹣∠1=108°﹣55°=53°．
故选B．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．
【例4】如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为（ ）www.21-cn-jy.com
A．20° B．30° C．10° D．15°
【考点】三角形的角平分线、中线和高；垂线；三角形内角和定理．
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：∵∠BAC=60°，∠C=80°，
∴∠B=40°．
又∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=30°，
∴∠ADE=70°，
又∵OE⊥BC，
∴∠EOD=20°．
故选A．
【点评】此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义．
【例5】如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．【来源：21cnj*y.co*m】
【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．
【分析】由三角形的内角和是180°，可求∠A=60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，所以∠ABE=30°．同理，∠ACF=30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC=120°．【出处：21教育名师】
【解答】解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．
又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，
∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．
同理，∠ACF=30°，
∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．
【点评】此题主要考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
能力训练
1. 如图，△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数（ ）21教育名师原创作品
A．35° B．5° C．15° D．25°
2. 如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段 是△ABC中AC边上的高．21·世纪*教育网
3. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）
A．35° B．95° C．85° D．75°
4. 如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠A=70°时，则∠BPC的度数为 ．
5. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
6. 如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ）
A．140米 B．150米 C．160米 D．240米
7. 如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
8. （1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．
（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；
（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
9. 问题引入：
(1)如图13①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)；如图13②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)．
(2)如图13③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)，并说明理由．
类比研究：
(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．
参考答案：
1. 如图，△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数（ ）
A．35° B．5° C．15° D．25°
【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．
【分析】利用三角形的内角和是180°可得∠BAC的度数；AE是∠BAC的角平分线，可得∠EAC的度数；利用AD是高可得∠ADC=90°，那么可求得∠DAC度数，那么∠EAD=∠EAC﹣∠DAC．
【解答】解：∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC=∠BAC=35°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°﹣∠C=30°，
∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=5°．
故选B．
【点评】关键是得到和所求角有关的角的度数；用到的知识点为：三角形的内角和是180°；角平分线把一个角分成相等的两个角．
2. 如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段 BE 是△ABC中AC边上的高．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：∵BE⊥AC，
∴△ABC中AC边上的高是BE．
故答案为：BE
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，是基础题，熟记概念是解题的关键．
3. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）
A．35° B．95° C．85° D．75°
【考点】三角形的外角性质；角平分线的定义．
【分析】根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可．
【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，
∴∠ACD=2∠ACE=120°，
∵∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣35°=85°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．21cnjy.com
4. 如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠A=70°时，则∠BPC的度数为 125° ．21·cn·jy·com
【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】探究型．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠2+∠4的度数，由三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数．
【解答】解：∵△ABC中，∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣70°=110°，
∴BP，CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线，
∴∠2+∠4=（∠ABC+∠ACB）=×110°=55°，
∴∠P=180°﹣（∠2+∠4）=180°﹣55°=125°．
故答案为：125°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键．
5. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．2·1·c·n·j·y
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据中线的定义知CD=BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB=5cm；又AC+AB=11cm．易求AC的长度．【版权所有：21教育】
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD=BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．
∴AC﹣AB=5cm．
又∵AB+AC=11cm，
∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【来源：21·世纪·教育·网】
6. 如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ）
A．140米 B．150米 C．160米 D．240米
【考点】多边形内角与外角．
【分析】多边形的外角和为360°每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．
【解答】解：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，
∴多边形的边数为360°÷24°=15，
∴小明一共走了：15×10=150米．
故选B．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据多边形的外角和及每一个外角都为24°求边数．21*cnjy*com
7. 如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】延长BC交OD与点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再根据四边形的内角和为360°即可得出结论．
【解答】解：延长BC交OD与点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°﹣220°=140°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，
∴∠BOD=40°．
故选A．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角以及角的计算，解题的关键是能够熟练的运用多边形的外角和为360°来解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用多边形的外角和与内角和定理，通过角的计算求出角的角度即可．
8. （1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．
（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；
（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；
（2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°﹣∠A，得出∠BIC的度数即可；
（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，进而求出∠A=（∠1+∠2），即可得出答案．21教育网
【解答】解：（1）∠1+∠2=2∠A；
（2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=130°，∴∠A=65°
∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）
=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，
∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB），
=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+×65°=122.5°；
（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，
∠FHG+∠A=180°，∴∠BHC=∠FHG=180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A，
∴∠A=（∠1+∠2），
∴∠BHC=180°﹣（∠1+∠2）．
【点评】此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．2-1-c-n-j-y
9. 问题引入：
(1)如图13①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)；如图13②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)．21*cnjy*com
(2)如图13③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)，并说明理由．
类比研究：
(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．
[考点]三角形的内角和，猜想、推理。
解：(1)第一个空填：90°＋；
第一个空填：90°＋．
第一空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋．
第二空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝120°＋．
(2)答案：120°－．过程如下：
∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠DBC＋∠ECB)＝180°－(180°＋∠A)＝120°－．
(3)答案：120°－．过程如下：
∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠DBC＋∠ECB)＝180°－(180°＋∠A)＝·180°－．