人教版八年级数学专题讲解第03讲：等腰三角形的判定

专题03 等腰三角形的判定
阅读与思考
在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．
1．等腰三角形的判定：
⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；
⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等．
2．证明线段相等的方法：
⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；
⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；
⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．
善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：

例题与求解
【例1】（2017内江）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
【考点】KI：等腰三角形的判定；JA：平行线的性质．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，即可得出答案．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠1=∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴△BDE是等腰三角形．

【例2】如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　　cm．

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为5cm．
【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，
∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，
∴BD=PD，CE=PE，
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．
【例3】如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E使CE=CD，试判断△BDE的形状．21·世纪*教育网

【考点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质．
【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的中线，则∠DBC=30°，再由题中条件求出∠E=30°，即可判断△BDE的形状．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD=CD，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBE=∠E，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质及等边三角形的性质；此题把等边三角形的性质和等腰三角形的判定结合求解．考查了学生综合运用数学知识的能力，得到∠E=30°是正确解答本题的关键．
【例4】（2017浙江衢州）问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．21*cnjy*com
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．2-1-c-n-j-y
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）由正三角形的性质得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，证出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出结论；
（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（2）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示：
∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，
∴c2=a2+ab+b2．
【例5】（2017浙江义乌）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是　x=0或x=4﹣4或4＜x＜4　．
【考点】KI：等腰三角形的判定．
【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，
①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；
②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；
③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．
【解答】解：分三种情况：
①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；
②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，
∴MC⊥OB，
∵∠AOB=45°，
∴△MCO是等腰直角三角形，
∴MC=OC=4，
∴OM=4，
当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；
③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，
则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；
点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；
∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；
综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．
故答案为：x=0或x=4﹣4或4．
能力训练
1. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　 　度．【来源：21cnj*y.co*m】

2. 如图，△ABC中∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AF交CD于E，则△CEF必为（　　）

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，AD的延长线交BC于E．
求证：AE⊥BC．

4. 已知：AD是等腰△ABC一边上的高，且∠DAB=60°，∠ABC=　 　度．
5. 已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，点F是CD中点，连BF交AC于点E，∠ABE+∠CEB=180°，比较线段BD与CE的大小，并证明你的结论．

6. 如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，∠ABD=60°，过D作ED⊥AD，交AC于点E，恰有DE平分∠BDC．试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

7. 如图，在正△ABC中，D、E分别是BC、AC上一点，AE=CD，AD与BE交于点F，AF=BF．求证：CF⊥BE．21教育名师原创作品

8. 已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．
参考答案：
1. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　15　度．

【考点】等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．
2. 如图，△ABC中∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AF交CD于E，则△CEF必为（　　）2·1·c·n·j·y

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】根据角平分线的定义求出∠1=∠2，再根据等角的余角相等求出∠3=∠4，根据对顶角相等可得∠5=∠4，然后求出∠3=∠5，再利用等角对等边可得CE=CF，从而得解．
【解答】解：如图，∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高，
∴∠1+∠3=90°，
∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∵∠5=∠4（对顶角相等），
∴∠3=∠5，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰三角形．
故选B．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，等角的余角相等的性质，利用阿拉伯数字加弧线表示角更形象．www.21-cn-jy.com
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，AD的延长线交BC于E．
求证：AE⊥BC．

【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】首先证明∠DBC=∠DCB，可得DB=DC，根据线段垂直平分线的判定可得D在BC的垂直平分线上，由AB=AC，得出A在BC的垂直平分线上，于是AD垂直平分BC，即AE⊥BC．
【解答】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACD，
即∠DBC=∠DCB，
∴DB=DC，
∴D在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴AD垂直平分BC，
∴AE⊥BC．

【点评】此题考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，难度适中．证明出D在BC的垂直平分线上是解题的关键．
4. 已知：AD是等腰△ABC一边上的高，且∠DAB=60°，∠ABC=　30或150　度．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由于BC为腰，则点B可为顶角的顶点，也可为底角的顶点，高AD可在三角形内部也可在三角形外部，故应分三种情况分析计算．
【解答】解：由题意得，分三种情况：

（1）当点B为顶角的顶点时，且AD在三角形内部，∠ABC=90°﹣∠DAB=90°﹣60°=30°；
（2）当点B为顶角的顶点时，且AD在三角形外部，∠ABC=∠D+∠DAB=90°+∠60°=150°；
（3）当点C为顶角的顶点时，∠ABC=90°﹣∠DAB=90°﹣60°=30°，
当点A为顶角的顶点时，AD在三角形内部，∠ABC=﹣∠ADB﹣∠DAB=90°﹣60°=30°，
故答案为：30或150
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质．注意分类讨论是正确解答本题的关键．www-2-1-cnjy-com
5. 已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，点F是CD中点，连BF交AC于点E，∠ABE+∠CEB=180°，比较线段BD与CE的大小，并证明你的结论．

【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】延长BF至点G，使FG=BF，连CG，证△GFC≌△BFD，∠CGF=∠FBD，CG=DB，求出∠CGF=∠CEG，推出CG=CE，即可得出答案．21*cnjy*com
【解答】结论：BD=CE
证明：延长BF至点G，使FG=BF，连CG，

∵F为CD中点，
∴CF=DF，
在△GFC和△BFD中

∴△GFC≌△BFD（SAS），
∴∠CGF=∠FBD，CG=DB，
又∵∠ABE+∠CEB=180°，∠CEG+∠CEB=180°，
∴∠CGF=∠CEG，
∴CG=CE，
∴BD=CE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用．正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6. 如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，∠ABD=60°，过D作ED⊥AD，交AC于点E，恰有DE平分∠BDC．试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．【版权所有：21教育】

【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】求出∠ADB=∠ADF，根据SAS证△ABD≌△FED，推出∠F=∠ABD=60°，AB=AF=AC，得出△ACF是等边三角形，推出AC=CF即可．
【解答】解：AC=BD+CD，
理由是：延长CD到F，使DF=BD，连接AF，
∵ED⊥AD，DE平分∠BDC，
∴∠ADB=90°﹣∠BDC，
∴∠ADF=180°﹣（90°﹣∠BDC）﹣∠BDC=90°﹣，
∴∠ADB=∠ADF，
在△ABD和△AFD中，，
∴△ABD≌△AFD（SAS），
∴∠F=∠ABD=60°，AB=AF，
∵AB=AC，
∴AF=AC，
∴△ACF是等边三角形，
∴AC=CF=CD+DF=BD+CD．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
7. 如图，在正△ABC中，D、E分别是BC、AC上一点，AE=CD，AD与BE交于点F，AF=BF．求证：CF⊥BE．21世纪教育网版权所有

【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】首先易得△ABE≌△CAD（SAS），得出∠1=∠6，BE=AD，∠AEB=∠ADC，然后取BF中点M，得到AF=BM，从而得出△AME≌△CFD（SAS），利用外角的性质，等腰三角形的性质，得到∠8与∠1+∠2的关系以及∠BAE与∠1+∠2的关系，利用∠BAE=60°，可得∠8的度数以及∠3的读数，从而得到∠BFC的读数，最后可得CF⊥BE．21cnjy.com
【解答】证明：取BF中点M，连接AM．
在△ABE和△CAD中，∠EAB=∠DCA=60°，AB=CA，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠1=∠6，BE=AD，∠AEB=∠ADC，
∵AF=BF，BM=BF，
∴AF=BM．
∵FD=AD﹣AF，ME=BE﹣BM，
∴FD=ME．
在△AME与△CFD中，
，
∴△AME≌△CFD（SAS），
∴∠7=∠MAE=∠5+∠6，∠3=∠4，
∵AF=MF，
∴∠8=∠3+∠5=2（∠1+∠2），
而∠BAE=∠2+∠5+∠6=∠2+∠3+∠6=∠2+（∠1+∠2）+∠1=2（∠1+∠2），
∴∠8=∠9=60°，∠3=∠1+∠2=∠BAE=30°，
又∵∠9=∠8=60°，∠4=∠3=30°，
∴∠BFC=∠9+∠4=90°，
∴CF⊥BE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质的应用，解题的关键在于作出相关辅助线，利用角的关系进行解答．21教育网
8. 已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．21·cn·jy·com
【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF是等边三角形．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，
∴AE=BF=CD，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．【出处：21教育名师】