人教版八年级数学专题讲解第04讲：整式的乘除与因式分解

专题04 整式的乘除与因式分解
阅读与思考
指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：， ，，，，．
学习指数运算律应注意：
1．运算律成立的条件；
2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；
3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．
多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：
1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；
2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；
3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．
例题与求解
【例1】已知a+b=﹣，求代数式（a﹣1）2+b（2a+b）+2a的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=a2﹣2a+1+2ab+b2+2a=（a+b）2+1，
把a+b=﹣代入得：原式=2+1=3．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【例2】．设y=ax，若代数式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）化简的结果为x2，请你求出满足条件的a值．www.21-cn-jy.com
【考点】整式的混合运算；平方根．
【分析】先利用因式分解得到原式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）=（x+y）2，再把当y=ax代入得到原式=（a+1）2x2，所以当（a+1）2=1满足条件，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：原式=（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）=（x+y）2，
当y=ax，代入原式得（1+a）2x2=x2，
即（1+a）2=1，
解得：a=﹣2或0．
【点评】本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．【来源：21cnj*y.co*m】
【例3】已知10m=2，10n=3，则103m+2n=　 　．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【分析】根据同底数幂相乘的逆运算和幂的乘方的逆运算法则计算．
【解答】解：103m+2n=103m102n=（10m）3（10n）2=23?32=8×9=72．
故答案为：72．
【点评】本题利用了同底数幂相乘的性质的逆运算和幂的乘方的性质的逆运算．同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘．21教育名师原创作品
【例4】若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=　 　．
【考点】换元法解一元二次方程．
【分析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）的值．21·cn·jy·com
【解答】解：设a+b=x，则由原方程，得
4x（4x﹣2）﹣8=0，
整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，
分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，
解得：x1=﹣，x2=1．
则a+b的值是﹣或1．
故答案是：﹣或1．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
【例5】已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．21教育网
【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；等边三角形的判定．
【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．21*cnjy*com
【解答】解：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0
（a﹣b）2+（b﹣c）2=0
∴a﹣b=0且b﹣c=0
即a=b=c，故该三角形是等边三角形．
【点评】当对多项式的局部因式分解后，变成了几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，从而判断出该三角形的形状．21·世纪*教育网
【例6】下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　．
A、提取公因式B．平方差公式
C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底　 　．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　 　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】阅读型．
【分析】（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
（2）x2﹣4x+4还可以分解，所以是不彻底．
（3）按照例题的分解方法进行分解即可．
【解答】解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；
（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；
（3）设x2﹣2x=y．
（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，
=y（y+2）+1，
=y2+2y+1，
=（y+1）2，
=（x2﹣2x+1）2，
=（x﹣1）4．
【点评】本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等．
能力训练
1．已知a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，计算a3b3+2a2b2+ab的结果是　 　．
2． （2017浙江衢州）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是　 　．21世纪教育网版权所有
3．已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
4．先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（4﹣x），其中x=．
5．（2017四川眉山）先化简，再求值：（a+3）2﹣2（3a+4），其中a=﹣2．
6．（2017.湖南怀化）先化简，再求值：（2a﹣1）2﹣2（a+1）（a﹣1）﹣a（a﹣2），其中a=+1．
7．（2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．
（1）二次项系数2=1×2；
（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；
1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣52·1·c·n·j·y
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12=　 　．【版权所有：21教育】
8．（2017?宁德）化简并求值：x（x﹣2）+（x+1）2，其中x=﹣2．
参考答案：
1．已知a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，计算a3b3+2a2b2+ab的结果是　48　．
【考点】因式分解的应用．
【分析】根据互为相反数的性质和非负数的性质求得a，b的值，再进一步代入求解．
【解答】解：a2﹣6a+9=（a﹣3）2．依题意得
（a﹣3）2+|b﹣1|=0，则
a﹣3=0．b﹣1=0，
解得 a=3，b=1．
所以a3b3+2a2b2+ab=ab（a2b2+2ab+1）=ab（ab+1）2=3×16=48，
故答案为：48．
【点评】此题考查了非负数的性质、互为相反数的性质．几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0；互为相反数的两个数的和为0．www-2-1-cnjy-com
2．2． （2017浙江衢州）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是　a+6　．2-1-c-n-j-y
【考点】4G：平方差公式的几何背景．
【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解．
【解答】解：拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32，
=（a+3+3）（a+3﹣3），
=a（a+6），
∵拼成的长方形一边长为a，
∴另一边长是a+6．
故答案为：a+6．
3．已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式第一项利用单项式乘以多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵2a2+3a﹣6=0，即2a2+3a=6，
∴原式=6a2+3a﹣4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（4﹣x），其中x=．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】根据平方差公式和单项式乘以多项式，然后再合并同类项即可对题目中的式子化简，然后将x=代入化简后的式子，即可求得原式的值．
【解答】解：（x+2）（x﹣2）+x（4﹣x）
=x2﹣4+4x﹣x2
=4x﹣4，
当x=时，原式=．
5．（2017四川眉山）先化简，再求值：（a+3）2﹣2（3a+4），其中a=﹣2．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=a2+6a+9﹣6a﹣8=a2+1，
当a=﹣2时，原式=4+1=5．
6．（2017.湖南怀化）先化简，再求值：（2a﹣1）2﹣2（a+1）（a﹣1）﹣a（a﹣2），其中a=+1．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．21cnjy.com
【解答】解：原式=4a2﹣4a+1﹣2a2+2﹣a2+2a=a2﹣2a+3，
当a=+1时，原式=3+2﹣2﹣2+3=4．
7．（2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．
（1）二次项系数2=1×2；
（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；
1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣521*cnjy*com
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12=　（x+3）（3x﹣4）　．【出处：21教育名师】
【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．
【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）即可．
【解答】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．
故答案为：（x+3）（3x﹣4）
8．（2017?宁德）化简并求值：x（x﹣2）+（x+1）2，其中x=﹣2．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
【专题】11 ：计算题；512：整式．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：原式=x2﹣2x+x2+2x+1=2x2+1，
当x=﹣2时，原式=8+1=9．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．