人教版八年级数学专题讲解第05讲：分式的化简与求值

专题05 分式的化简与求值
阅读与思考
给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为 ( http: / / www.21cnjy.com )有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．21教育网
解有条件的分式化简与求值问题时，既 ( http: / / www.21cnjy.com )要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:21cnjy.com
1．恰当引入参数；
2．取倒数或利用倒数关系；
3．拆项变形或拆分变形；
4．整体代入；
5．利用比例性质等．
例题与求解
【例l】化简：的结果是（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】分式的混合运算．
【分析】先把括号中的第二个分式约分，再利用乘法分配律把（x﹣3）分别与括号中的式子相乘可使计算简便．21·cn·jy·com
【解答】解：
=（﹣） （x﹣3）
= （x﹣3）﹣ （x﹣3）
=1﹣
=．
故选B．
【点评】归纳提炼：对于一般的分式混合运算来 ( http: / / www.21cnjy.com )讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．www.21-cn-jy.com
【例2】化简，可得（　　）
A． B． C． D．
【考点】分式的加减法．
【分析】先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．
【解答】解： ==．
故选B．
【点评】本题考查了分式的加减运算，题目比较容易．
【例3】已知x=2012，y=2013，则（x+y） =　 　．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x、y的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=（x+y）
=，
当x=2012，y=2013时，原式==﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
【例4】观察下列各等式：，，，…根据你发现的规律，计算： =　 （n为正整数）．
【考点】分式的加减法．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】本题重在理解规律，从规律中我们可以发现，中间的数值都是相反数，所以最后的结果就是，化简即可．2·1·c·n·j·y
【解答】解：原式=2（1﹣）+2（﹣）+2（﹣）…+2（﹣）=2（1﹣）=．故答案为．【来源：21·世纪·教育·网】
【点评】本题主要是利用规律求值，能够理解本题中给出的规律是解答本题的关键．
　
【例5】．化简： +．
【考点】分式的混合运算．
【分析】根据分式混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式=+
=+
=
=．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
【例6】已知，则的y2+4y+x值为　 　．
【考点】分式的化简求值．
【分析】此题可先从下手，通过变形可得，再变形即可求得结果．
【解答】解：由于，则通过变形可得：，
即，∴y2+4y+x=2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，关键是从题中所给的等式下手，找到切入点．
能力训练
1．化简： =　 　．
2．已知非零有理数x，y满足x2﹣6xy+9y2=0，则=（　　）
A． B． C． D．
3. 若的值是　 　．
4．化简：．
5．已知x﹣3y=0，求 （x﹣y）的值．
7．先化简，再求值：，其中x=5．
8．已知：，试说明不论x为任何有意义的值，y值均不变．
9. +1，其中a=，b=﹣3．
参考答案：
1．化简： =　x+y　．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】同分母相减，分母不变，分子相减，要利用平方差公式化为最简分式．
【解答】解： ==x+y．
【点评】本题考查了分式的加减法法则．
2．已知非零有理数x，y满足x2﹣6xy+9y2=0，则=（　　）
A． B． C． D．
【考点】分式的值．
【分析】由x2﹣6xy+9y2=0，根据完全平方公式得出x=3y，再代入，计算即可求出其值．
【解答】解：∵x2﹣6xy+9y2=0，
∴（x﹣3y）2=0，
∴x=3y，
∴==．
故选C．
【点评】本题考查了完全平方公式及分式的值，由完全平方公式得出x=3y是解题的关键．
3. 若的值是　11　．
【考点】完全平方公式．
【专题】计算题．
【分析】把x﹣=3利用完全平方公式两边平方展开，整理即可得解．
【解答】解：∵x﹣=3，
∴（x﹣）2=9，
即x2﹣2+=9，
解得x2+=9+2=11．
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，利用好乘积二倍项不含字母是解题的关键．
4．）化简：．
【考点】分式的混合运算．
【分析】根据分式混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式= ﹣
=﹣
=0．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
5．已知x﹣3y=0，求 （x﹣y）的值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】首先将分式的分母分解因式，然后再约分、化简，最后将x、y的关系式代入化简后的式子中进行计算即可．21世纪教育网版权所有
【解答】解： =（2分）
=；
当x﹣3y=0时，x=3y；
原式=．（8分）
【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
7．先化简，再求值：，其中x=5．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式= ﹣
=﹣﹣
=﹣
=﹣
=，
当x=5时，原式==﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
8．已知：，试说明不论x为任何有意义的值，y值均不变．
【考点】分式的混合运算．
【专题】证明题．
【分析】先把分子分母分解因式再化简约分即可．
【解答】证明：
=
=x﹣x+3
=3．
故不论x为任何有意义的值，y值均不变．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算能力
9. +1，其中a=，b=﹣3．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再把除法转化为乘法，约分化为最简，最后代值计算．
【解答】解：原式=+1
=+1；
当a=，b=﹣3时，原式=．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，通分、约分是解答的关键．
　
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