人教版八年级数学专题讲解第06讲：二次根式的概念与性质
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学专题讲解第06讲：二次根式的概念与性质 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 216.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-03-08 17:55:00 | ||
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文档简介
专题06 二次根式的概念与性质应用
理解与领悟
一、二次根式的概念及性质
式子叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：
1．．说明了与、2一样都是非负数．
2．＝（≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．
3． 揭示了与绝对值的内在一致性．
4． （≥0，≥0） ．
5 ．（≥0，＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．
6．若＞＞0，则＞＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．
运用二次根式性质解题应注意：
（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；
（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．www-2-1-cnjy-com
二、二次根式的性质应用：
1.二次根式的乘法: ，逆用：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，且都满足，其作用是：
（1）化简二次根式：一般先将被开方数进行因式分解，再利用进行化简；
（2）反过来，也可以将根号外的正因数或者正因式平方后移到根号里面去.
2. 二次根式的除法: .逆用：;利用商的算术平方根的性质可以进行二次根式的计算或者化简.
3. 最简二次根式具备两个特点:
①被开方数不含有分母
②被开方数中不含能开方开得尽的因数或者因式.
例题与求解
知识点一：二次根式的概念拓展理解：
【例1】已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析： ＝，成立的条件是：，而且当时，；所以成立的条件应是：，即，故此应选C．
温馨提示：在二次根式化简时一定要注意法则成立的条件，再有要注意分母不为0的条件制约．
【例2】若两个最简二次根式与是同类二次根式,则a、b的值是（ ）
A.a=0,b=2 B.a=1,b=1 C.a=0,b=2或a=1,b=1 D.a=2,b=0
解：∵由题意得方程组解得，∴应选A
知识点二、二次根式中，隐含条件≥0的应用．
【例3】已知、为实数，且满足
求的值．
解析：因为为实数，所以隐含着两个算术根都有意义，即被开方数均为非负数．
依题意得解得：，所以，又因为
所以＝＝2
温馨提示：若和都有意义，则＝0．
知识点三：二次根式非负性的应用
【例4】若，则的值为（ ）
A．64 B． C．16 D．
解析：因为可以认为表示的是的算术平方根，所以表示非负数，又因为表示绝对值，也是非负数，那么两个非负数的和为0，则么每个数应都是0，即＝0，，所以，，因此＝＝64，故选A．21·cn·jy·com
温馨提示：在初中我们接触到了实数的三个非负性，即、、，当这三者中两个或三个相加和为0时，应每个都等于0．2-1-c-n-j-y
知识点四：运用二次根式的定义确定有关二次根式的字母取值范围
【例5】若实数x、y、a满足+＝+，试问长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.21*cnjy*com
解析：由x+y－8≥0，8－x－y≥0，得x+y≥8，x+y≤8.所以8≤x+y≤8，x+y＝8.这时，已知等式即为+＝0.因为≥0，≥0，【来源：21cnj*y.co*m】
所以＝0，＝0.从而3x－y－a＝0，x－2y+a+3＝0.这两个等式相加，得4x－3y＝－3.联立x+y＝8和4x－3y＝－3，得解得这时a＝3x－y＝4.因为x、y、a中的任意两者的值大小第三者的值，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个三角形.因为x2+a2＝y2，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个直角三角形，且两条直角边的长度分别为3、4.所以该三角形的面积值＝3×4÷2＝6.【出处：21教育名师】
【例6】阅读材料:黑白双雄,纵横江湖;双剑合壁,天下无敌.这是武侠小说中的常见描述,其意指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这样相辅相成的例子.【版权所有：21教育】
如,它们的积是有理数,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式除法可以这样解:21教育名师原创作品
如，像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化.
解决问题:
(1) 的有理化因式是 . 分母有理化得 .
(2)计算:
解：（1）
（2）= = =2
评注：与互为有理化因式.
知识点五：融入立体图形中的二次根式
【例题7】如图2，已知正方体纸盒的表面积为12cm2，
（1）求正方体的棱长；
（2）剪去盖子后，插入一根长为5cm的细木棒，则细木棒露在外面的最短长度是多少？
（3）一只蚂蚁在纸盒的表面由A爬到B，求蚂蚁行走的最短路线.
思路点拨与解析：(1)正方体有六个表面，每个面的面积为2 cm2，则棱长为cm；（2）如图3，插入细木棒后，看不见的部分恰好是正方体的对角线CE，cm，cm，则露出外面部分为（）cm; （3）如图3，要计算立体图形上两点之间距离最短问题，需要转化为平面图形解决，将EB所在面绕DE顺时针旋转90，使所在平面与与AD所在平面恰好为同一平面，即计算之间的距离：；21·世纪*教育网
点评：有关正方体类的试题在近几年频繁登场亮相，不断受到命题者的青睐与关注，而同学们时常对此束手无策，无能为力，其实，只要我们把握正方体的本质特征及转化思想，建立一定的空间观念并适当动手操作，将其侧面展开，准确把握立体图形与平面图形之间的内在关系，熟练地将实际问题转化为数学问题，便能做到胸有成竹，心中有法.【来源：21·世纪·教育·网】
能力训练
1.求的值.
2.设等式+＝－在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值.
3.若x、y为实数，且，求.
4.已知m是的整数部分，n是的小数部分，计算的值.
5.求值：（1）已知a、b满足， 解关于x的方程（a+2）x+b2=a﹣1． （2）已知x、y都是实数，且， 求yx的平方根．
6..（1）计算：×﹣4××（1﹣）0； （2）先化简，再求值：（+）÷， 其中a，b满足+|b﹣|=0．
7.（1）已知y=﹣+8x，求的平方根． （2）当﹣4＜x＜1时，化简﹣2．
8．我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数与的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断与是否互为倒数，并说明理由；
（2）若实数是的倒数，求x和y之间的关系．
9．设，，，…，．设…，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．21教育网
10．一个三角形的三边长分别为、、．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值
参考答案：
1.求的值.
分析 由于二次根式的被开方数为非负性，知求值式中的，必为零.问题迎刃而解.
解答 因当时，才有意义.
故原式=
说明 本题关键是挖掘隐含条件的条件是什么？
2.设等式+＝－在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值.
解析：由a(x－a)≥0及x－a≥0得a≥0；由a(y－a)≥0及a－y≥0得a≤0，故a＝0，从而已知式化为＝，x＝－y≠0，故原式＝＝.
3.若x、y为实数，且，求.
解: 由x的取值范围可知:
∴x=2，y=.
评注：本题实际是通过题目中的隐含条件：，，，即x的取值范围，求出x和y的值.
4.已知m是的整数部分，n是的小数部分，计算的值.
分析 根据算术平方根的概念，可知即，从而可确定m和n.
解答 ∵，即，
∴ 的整数部分，
的小数部分.
∴
说明 一部分学生总是想求13的算术平方根，在不允许查表的情况下，尽管可知 的整数部分是3，但不易知道的小数部分，从而陷入误区.而忽视了由可求出的小数部分n.21世纪教育网版权所有
5.求值：（1）已知a、b满足， 解关于x的方程（a+2）x+b2=a﹣1． （2）已知x、y都是实数，且， 求yx的平方根．
解析：（1）根据题意得：， 解得：， 则（a+2）x+b2=a﹣1即﹣2x+3=﹣5，
解得：x=4；
（2）根据题意得：，
解得：x=3．
则y=4，
故原式=43=64，
∴yx的平方根为：±8．
6..（1）计算：×﹣4××（1﹣）0； （2）先化简，再求值：（+）÷， 其中a，b满足+|b﹣|=0．
解析：（1）原式=﹣4××1 =2﹣
=；
（2）原式=[﹣]?
=（﹣）?
=?
=，
∵+|b﹣|=0，
∴a+1=0，b﹣=0，
解得a=﹣1，b=，
当a=﹣1，b=时，原式=﹣=﹣
7.（1）已知y=﹣+8x，求的平方根． （2）当﹣4＜x＜1时，化简﹣2．
解析：（1）∵y=﹣+8x， ∴2x﹣1=0，解得x=， ∴y=4， ∴==4， 4的平方根是±2． 故的平方根是±2． （2）∵﹣4＜x＜1， ∴﹣2 =|x+4|﹣2|x﹣1| =x+4+2（x﹣1） =x+4+2x﹣2 =3x+2． 21cnjy.com
8．我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数与的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断与是否互为倒数，并说明理由；
（2）若实数是的倒数，求x和y之间的关系．
答案：（1）否 （2）x－y=1
知识点：二次根式的混合运算；二次根式的应用
解答：（1）因为（4+）（4－）=16-2=14?1，所以4+与4－不互为倒数．
（2）因为（+）（－）=x-y，所以当x-y=1时，此两数互为倒数．
分析：能够根据题目给出的结论或新的课题给出适当的论证，这是提高数学学习能力的基础．
9．设，，，…，．设…，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．www.21-cn-jy.com
答案：n+1－
知识点：二次根式的加减法
解答：S=1++=====1+－
S=1+1－+1+－+1+－+...+1+－=n+1-
分析：能够利用二次根式的加减法进行正确计算，并能学会求前n项和的裂项法是学习数学规律性的一般逻辑，在后续数列课程的学习当中起了很大的辅助作用．2·1·c·n·j·y
10．一个三角形的三边长分别为、、．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值
答案：（1）（2）x=12时，C=15
知识点：二次根式的应用；二次根式的应用
解答：（1）3++=++×=++=．
（2）根式内取偶数的完全平方数，如3x=36时，x=12,此时三角形的周长C=15
分析：会计算根式的加法，并能够根据题意求出适当的x值满足题目要求，x值不唯一．
理解与领悟
一、二次根式的概念及性质
式子叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：
1．．说明了与、2一样都是非负数．
2．＝（≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．
3． 揭示了与绝对值的内在一致性．
4． （≥0，≥0） ．
5 ．（≥0，＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．
6．若＞＞0，则＞＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．
运用二次根式性质解题应注意：
（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；
（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．www-2-1-cnjy-com
二、二次根式的性质应用：
1.二次根式的乘法: ，逆用：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，且都满足，其作用是：
（1）化简二次根式：一般先将被开方数进行因式分解，再利用进行化简；
（2）反过来，也可以将根号外的正因数或者正因式平方后移到根号里面去.
2. 二次根式的除法: .逆用：;利用商的算术平方根的性质可以进行二次根式的计算或者化简.
3. 最简二次根式具备两个特点:
①被开方数不含有分母
②被开方数中不含能开方开得尽的因数或者因式.
例题与求解
知识点一：二次根式的概念拓展理解：
【例1】已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析： ＝，成立的条件是：，而且当时，；所以成立的条件应是：，即，故此应选C．
温馨提示：在二次根式化简时一定要注意法则成立的条件，再有要注意分母不为0的条件制约．
【例2】若两个最简二次根式与是同类二次根式,则a、b的值是（ ）
A.a=0,b=2 B.a=1,b=1 C.a=0,b=2或a=1,b=1 D.a=2,b=0
解：∵由题意得方程组解得，∴应选A
知识点二、二次根式中，隐含条件≥0的应用．
【例3】已知、为实数，且满足
求的值．
解析：因为为实数，所以隐含着两个算术根都有意义，即被开方数均为非负数．
依题意得解得：，所以，又因为
所以＝＝2
温馨提示：若和都有意义，则＝0．
知识点三：二次根式非负性的应用
【例4】若，则的值为（ ）
A．64 B． C．16 D．
解析：因为可以认为表示的是的算术平方根，所以表示非负数，又因为表示绝对值，也是非负数，那么两个非负数的和为0，则么每个数应都是0，即＝0，，所以，，因此＝＝64，故选A．21·cn·jy·com
温馨提示：在初中我们接触到了实数的三个非负性，即、、，当这三者中两个或三个相加和为0时，应每个都等于0．2-1-c-n-j-y
知识点四：运用二次根式的定义确定有关二次根式的字母取值范围
【例5】若实数x、y、a满足+＝+，试问长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.21*cnjy*com
解析：由x+y－8≥0，8－x－y≥0，得x+y≥8，x+y≤8.所以8≤x+y≤8，x+y＝8.这时，已知等式即为+＝0.因为≥0，≥0，【来源：21cnj*y.co*m】
所以＝0，＝0.从而3x－y－a＝0，x－2y+a+3＝0.这两个等式相加，得4x－3y＝－3.联立x+y＝8和4x－3y＝－3，得解得这时a＝3x－y＝4.因为x、y、a中的任意两者的值大小第三者的值，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个三角形.因为x2+a2＝y2，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个直角三角形，且两条直角边的长度分别为3、4.所以该三角形的面积值＝3×4÷2＝6.【出处：21教育名师】
【例6】阅读材料:黑白双雄,纵横江湖;双剑合壁,天下无敌.这是武侠小说中的常见描述,其意指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这样相辅相成的例子.【版权所有：21教育】
如,它们的积是有理数,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式除法可以这样解:21教育名师原创作品
如，像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化.
解决问题:
(1) 的有理化因式是 . 分母有理化得 .
(2)计算:
解：（1）
（2）= = =2
评注：与互为有理化因式.
知识点五：融入立体图形中的二次根式
【例题7】如图2，已知正方体纸盒的表面积为12cm2，
（1）求正方体的棱长；
（2）剪去盖子后，插入一根长为5cm的细木棒，则细木棒露在外面的最短长度是多少？
（3）一只蚂蚁在纸盒的表面由A爬到B，求蚂蚁行走的最短路线.
思路点拨与解析：(1)正方体有六个表面，每个面的面积为2 cm2，则棱长为cm；（2）如图3，插入细木棒后，看不见的部分恰好是正方体的对角线CE，cm，cm，则露出外面部分为（）cm; （3）如图3，要计算立体图形上两点之间距离最短问题，需要转化为平面图形解决，将EB所在面绕DE顺时针旋转90，使所在平面与与AD所在平面恰好为同一平面，即计算之间的距离：；21·世纪*教育网
点评：有关正方体类的试题在近几年频繁登场亮相，不断受到命题者的青睐与关注，而同学们时常对此束手无策，无能为力，其实，只要我们把握正方体的本质特征及转化思想，建立一定的空间观念并适当动手操作，将其侧面展开，准确把握立体图形与平面图形之间的内在关系，熟练地将实际问题转化为数学问题，便能做到胸有成竹，心中有法.【来源：21·世纪·教育·网】
能力训练
1.求的值.
2.设等式+＝－在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值.
3.若x、y为实数，且，求.
4.已知m是的整数部分，n是的小数部分，计算的值.
5.求值：（1）已知a、b满足， 解关于x的方程（a+2）x+b2=a﹣1． （2）已知x、y都是实数，且， 求yx的平方根．
6..（1）计算：×﹣4××（1﹣）0； （2）先化简，再求值：（+）÷， 其中a，b满足+|b﹣|=0．
7.（1）已知y=﹣+8x，求的平方根． （2）当﹣4＜x＜1时，化简﹣2．
8．我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数与的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断与是否互为倒数，并说明理由；
（2）若实数是的倒数，求x和y之间的关系．
9．设，，，…，．设…，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．21教育网
10．一个三角形的三边长分别为、、．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值
参考答案：
1.求的值.
分析 由于二次根式的被开方数为非负性，知求值式中的，必为零.问题迎刃而解.
解答 因当时，才有意义.
故原式=
说明 本题关键是挖掘隐含条件的条件是什么？
2.设等式+＝－在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值.
解析：由a(x－a)≥0及x－a≥0得a≥0；由a(y－a)≥0及a－y≥0得a≤0，故a＝0，从而已知式化为＝，x＝－y≠0，故原式＝＝.
3.若x、y为实数，且，求.
解: 由x的取值范围可知:
∴x=2，y=.
评注：本题实际是通过题目中的隐含条件：，，，即x的取值范围，求出x和y的值.
4.已知m是的整数部分，n是的小数部分，计算的值.
分析 根据算术平方根的概念，可知即，从而可确定m和n.
解答 ∵，即，
∴ 的整数部分，
的小数部分.
∴
说明 一部分学生总是想求13的算术平方根，在不允许查表的情况下，尽管可知 的整数部分是3，但不易知道的小数部分，从而陷入误区.而忽视了由可求出的小数部分n.21世纪教育网版权所有
5.求值：（1）已知a、b满足， 解关于x的方程（a+2）x+b2=a﹣1． （2）已知x、y都是实数，且， 求yx的平方根．
解析：（1）根据题意得：， 解得：， 则（a+2）x+b2=a﹣1即﹣2x+3=﹣5，
解得：x=4；
（2）根据题意得：，
解得：x=3．
则y=4，
故原式=43=64，
∴yx的平方根为：±8．
6..（1）计算：×﹣4××（1﹣）0； （2）先化简，再求值：（+）÷， 其中a，b满足+|b﹣|=0．
解析：（1）原式=﹣4××1 =2﹣
=；
（2）原式=[﹣]?
=（﹣）?
=?
=，
∵+|b﹣|=0，
∴a+1=0，b﹣=0，
解得a=﹣1，b=，
当a=﹣1，b=时，原式=﹣=﹣
7.（1）已知y=﹣+8x，求的平方根． （2）当﹣4＜x＜1时，化简﹣2．
解析：（1）∵y=﹣+8x， ∴2x﹣1=0，解得x=， ∴y=4， ∴==4， 4的平方根是±2． 故的平方根是±2． （2）∵﹣4＜x＜1， ∴﹣2 =|x+4|﹣2|x﹣1| =x+4+2（x﹣1） =x+4+2x﹣2 =3x+2． 21cnjy.com
8．我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数与的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断与是否互为倒数，并说明理由；
（2）若实数是的倒数，求x和y之间的关系．
答案：（1）否 （2）x－y=1
知识点：二次根式的混合运算；二次根式的应用
解答：（1）因为（4+）（4－）=16-2=14?1，所以4+与4－不互为倒数．
（2）因为（+）（－）=x-y，所以当x-y=1时，此两数互为倒数．
分析：能够根据题目给出的结论或新的课题给出适当的论证，这是提高数学学习能力的基础．
9．设，，，…，．设…，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．www.21-cn-jy.com
答案：n+1－
知识点：二次根式的加减法
解答：S=1++=====1+－
S=1+1－+1+－+1+－+...+1+－=n+1-
分析：能够利用二次根式的加减法进行正确计算，并能学会求前n项和的裂项法是学习数学规律性的一般逻辑，在后续数列课程的学习当中起了很大的辅助作用．2·1·c·n·j·y
10．一个三角形的三边长分别为、、．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值
答案：（1）（2）x=12时，C=15
知识点：二次根式的应用；二次根式的应用
解答：（1）3++=++×=++=．
（2）根式内取偶数的完全平方数，如3x=36时，x=12,此时三角形的周长C=15
分析：会计算根式的加法，并能够根据题意求出适当的x值满足题目要求，x值不唯一．