(共16张PPT)
七年级(下册)
初中数学
1.2.1代入消元法（1）
1、如果2x＋y=1.2，那么用含有x的代数式表示y的代数式是_____________；
2、在方程3x+4y=16中，
当x=3时， y= ，
当y=-2时，x= 。
y=1.2-2x
4
7
8
y=
16-3x
4
x=
16-4y
3
在二元一次方程中，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数：
在上节课的问题中，我们知道小亮家1月份共用了16m3天然气和10t水。现在来解决1m3天然气费多少元，1t水费多少元的问题.
首先，要知道天然气和水的费用。
我会解一元一次方程，可是现在方程①和②都有两个未知数
想一想：如何解这个二元一次方程组？
我会解一元一次方程，
天然气费
水费
方程①和②中的x都表示小亮家1月份的天然气费，y都表示水费，
因此方程②中的x，y分别与方程①中的x，y相同.
于是我们由②式得 x=y+20 ③
可以把③代入①式得(y+20)+y=60 ④
啊！这个一元一次方程我会解.
又小亮家1月份共用了16m3天然气，10t水，
则1m3天然气费为 元，1t水费为 元.
20
40
2
2.5
由②式得： x=y+20 ③
把③代入①式得：(y+20)+y=60 ④
解方程④，得y= .
把y=20代入③，得x= .
问题：把③代入②可以吗？为什么？
讨论交流：解二元一次方程组的基本思路是什么？
具体做法是什么？
在上面的几个例子中，消去一个未知数的方法是：把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后把它代入到另一个方程中，便得到一个一元一次方程.
解二元一次方程组的基本思路是：消去一个未知数(简称为消元)，得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程.
这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称为代入法.
例1 解方程组：
举
例
解
把②代入 ①，得
5x-(-3x+1)=-9. ③
解得：x = -1
把x=-1代入② ，得：y = 4
因此原方程组的一个解是
每位同学把x=-1，y=4代入例1的方程①和②中，检验上面算得对不对.
例2 解方程组：
举
例
解
从①得，
把y=2代入③ ，得 x = 3
因此原方程组的一个解是
把③代入 ② ，得：
5( y)-7y=1 ④
2
3
解方程，得：y=2
注意：（1）把一个方程变形后，不能代入原方程。
（2）回代时，代入最简单的一个方程。
（3）方程组的解，记成方程组的形式。
练习
用代入消元法解下列方程组：
解: 从②得， x=4+y ③
把③代入 ① ，得
(4+y)+y=128
y = 62
把y=64代入③ ，得：x = 66
因此原方程组的一个解是
解：把②代入 ①，得
3x+2(2x-1)= 5. ③
解得 x = 1
把x=1代入② ，得
y = 1
因此原方程组的一个解是
解: 从②得， y=7-3x ③
5x+2(7-3x)=11
把③代入① ，得
把x=3代入③ ，得
x = 3
y = -2
因此原方程组的一个解是
解: 从①得， y=3x+1 ③
把③代入② ，得
2x+3(3x+1)-3=0
x =0
把x=0代入③ ，得
y = 1
因此原方程组的一个解是
中考 试题
例1
方程组 的解是 .
解析
由②得
x = 2-2y ③ .
把③代入①，得
y = 1.
把y=1代入②得
x = 0，
∴原方程组的解为
中考 试题
方程组 的解是 .
解析
将①代入②得
x = 1.
把x=1代入① 得
y = 2.
所以原方程组的解为
例2
这节课我们学习了哪些知识
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
2、代入消元法的具体做法是什么？
消元
二元一次方程组通过消元转化成一元一次方程
把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后把它代入到另一个方程中，便得到一个一元一次方程.
3、代入消元法要注意什么？
作业：P8练习 2(共13张PPT)
七年级(下册)
初中数学
1.2.2代入消元法（2）
鸡兔同笼问题
今有鸡兔同笼，上有三十五头，
下有九十四足。问鸡兔各几何？
方法一：解设有x只鸡，则有(35-x)只兔子。
根据题意得：2x＋4(35-x)=94 x=23
35-23 = 12（只）
答：有23只鸡，有12只兔子。
方法二：解设有x只鸡，有y只兔，由题意得：
思考：如何解此方程组呢？
x+y=35
2x+4y=94
分析：
⑴、由①可得： .
⑵、把y =35-x ③ 代入②得： 。
(一元一次方程)
⑶、解方程④，得: .
⑷、把x=23代入③得:y＝12
x+y=35 ①
2x+4y=94 ②
y＝35-x
2x＋4(35-x)=94
③
④
x=23
x=23
y=12
（5）原方程组的解是：
例1 解方程组
x –y = 3
3x -8 y = 14
①
②
用代入法解二元一次方程组的一般步骤
解：由①得：
x = 3+ y ③
把③代入②得：
3(3+y)-8y= 14
9+3y– 8y= 14
– 5y= 5
y= – 1
1、将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；
变
代
2、用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
把y=-1代入③，得
x = 2
∴方程组的解是
x =2
y =-1
求
3、把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数的值；
写
4、写出方程组的解。
用代入法解二元一次方程组的一般步骤:
变
代
求
写
提示：对于方程组1，可直接将（1）代入（2）
+1=y ①
2(x+1)-y=6 ②
x
3
(1)
例2、解下列方程组：
解（1）把①代入②，得：
2(x+1)-( +1)=6 ③
x
3
5
3
x=5
x=3
解方程③， 即：
把x=3代入①，得：y=2
∴原方程组的解是：
x =3
y =2
2x+3y=13 ①
3x-2y=0 ②
(2)
提示：方程组2，需将某个方程变形再代入。
解（2）由②得：
x= y ③
2
3
把③代入① ，得：
y+3y=13 ④
4
3
13
3
y=13
y=3
解方程④ ， 即：
把y=3代入③ ，得：x=2
∴原方程组的解是：
x =2
y =3
例3：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2 ：5。某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
解：设这些消毒液应该分装x大瓶和y小瓶,
列方程组得
解由学生合作完成。
5x=2y ①
500x+250y=22500000 ②
分析：由（1）得 代入（2），消去x求y。
x= y
2
5
1、把下列方程写成用含x的式子表示y的形式
⑴ 2x-y＝3 ⑵ 3x+y-1＝0
2、解二元一次方程组
y=2x-3
y=1-3x
注意：怎样变形、代入简便些？
x+y=7
3x+y=17
(1)
2x-7y=11
y-2x=-5
(2)
x=5
y=2
x=2
y=-1
1、在方程2x+y=5中，用含x的代数式表示y是 。
2、已知方程2x-3y-4=0，用含x的代数式表示y= 。
用含y的代数式表示x= 。
y=5-2x
2x-4
3
3y+4
2
3、若方程y=1-x的解也是方程3x＋2y=5的解，
则x=____， y=____。
3
-2
4、已知二元一次方程3x＋4y=6，当x、y互为相反数时，x=_____，y=______；当x、y相等时，x、y= _______ 。
6
-6
6
7
5、如果(x+y+4)2＋︱3x－y ︱=0那么x=___，y=___。
-3
-1
2x + y = 2
3x + 2y-5 = 0
(2)
x = 2y
2x + y =10
(1)
思考：
①你认为具有什么特征的方程用代入法比较方便
②用含哪个未知数的代数式表示另一个未知数
6.用代入法解下列方程组：
y+3=2x
3x+2y=8
（3）
2m+3n=12
（4）
n
2
m- =2
x=4
y=2
x=-1
y=4
x=2
y=1
m=3
n=2
1、你会解下列各方程组吗？
- =5 ①
+ =-1 ②
x
3
x
2
y
4
y
3
(1)
4(x-1)=5+y ①
5(y-1)=4(x-1)+18 ②
(2)
2、已知方程 的解是 ，求a、b的值。
ax+by=5
bx+ay=2
x=4
y=3
3、已知方程 的解和方程
的解相同，求(a+b)2008的值。
2x+5y=-26
ax-by=-4
3x-5y=36
bx+ay=-8
这节课我们学到了什么知识
1.消元实质
巩固代入消元法，解二元一次方程组
二元一次方程组
消 元
代入法
一元一次方程
2.代入法的一般步骤
即:
变形
代替
回代
写解
变
代
求
写
3.能灵活运用适当方法解二元一次方程组
作业：P12 习题1.2 A组 1(共15张PPT)
七年级(下册)
初中数学
1.2.3加减消元法（1）
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路:
消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤：
变形
代入
求解
写解
用一个未知数的代数式
表示另一个未知数
消去一个元
分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
怎样解下面的二元一次方程组呢？
3x+5y=21 ①
2x-5y=-11 ②
把②变形得：x=
5y-11
2
代入①，不就消去x了。
把②变形得：5y=2x+11 ③
代入①，
实际上就是：
(3x+5y)+(2x-5y)=21+(-11)
即：方程①加方程②
5x=10
消去未知数y
x=2
求得x的值，再代入求y
解：由①+②得： 5x=10
把x＝2代入①，得
x=2
y=3
3x+5y=21 ①
2x-5y=-11 ②
所以原方程组的解是:
x=2
y=3
解二元一次方程组:
方法一：从②得，x= ，再代入①，得3y+17+5y=9，这就把x消去了！
3y+17
2
方法二：直接从②得，2x=3y+17，然后把它代入①得到含y的方程：(3y+17)+5y=9 （消去x了）
方法三：方程①和②中都有2x，
为了消去x，干脆把方程①减去方程②就可以了！
比较哪种方法简便？
解：①-②，得： 8y= -8，
解得： y =-1
把y=-1代入①，得
2x+5× (-1)=9，
解得： x = 7
所以原方程组的解是:
x=7
y=-1
在解上面的方程组中，把方程①减去②，或者把方程①与②相加，便消去了一个未知数。
上面两个方程组中，是如何消去一个未知数的？
消去一个未知数的方法是：如果两个方程中有一个未知数的系数相等(或互为相反数)，那么把这两个方程相减(或相加)；
被消去的未知数的系数有什么特点？
被消去的未知数系数相等或互为相反数.
这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.
例3 解方程组：
举
例
解：①+② ，得： 9x = 9
解得：x = 1
把x=1代入① ，得：7×1+3y = 1
解得：y = -2
因此原方程组的一个解是
两个方程中的未知数y的系数互为相反数，
可以用加法消去y.
可以用加减法吗？用加法还是减法？消去哪个未知数？
7x+3y+(2x-3y)=1+8
练习
用加减消元法解下列方程组：
解: ①+② ，得 4y=16
解得 y=4
把y=4代入①，得
2x+4=-2
解得 x=-3
因此原方程组的一个解是
解: ①-② ，得 -5y=15
解得 y=-3
把y=-3代入①，得
5x-2×(-3)=11
解得 x=1
因此原方程组的一个解是
解: ①+② ，得 8x=70
解得
把 代入①，得
解得
因此原方程组的一个解是
(3)
①
②
三、指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正：
解:①-②，得
2x＝4-4，
x＝0
解 ①-②，得
-2x=12
x =-6
解: ①-②，得
2x＝4＋4，
x＝4
7x-4y=4 ①
5x-4y=-4 ②
3x-4y=14 ①
5x+4y=2 ②
解: ①＋②，得
8x＝16
x ＝2
分别相加
y
1.已知方程组 ，两个方程只要两边 ，就可以消去未知数 。
x+3y=17
2x-3y=6
分别相减
x
一.填空题：
2.已知方程组 ，两个方程只要两边 ，就可以消去未知数 。
25x-7y=16
25x+6y=10
3、已知a、b满足方程组
a+2b=8
2a+b=7
则a+b= .
5
二.选择题
1. 用加减法解方程组
6x+7y=-19①
6x-5y=17 ②
应用（ ）
A. ①-②消去y B. ①-②消去x
C. ②- ①消去常数项 D. 以上都不对
B
C
2.方程组 消去y后所得的方程是（ ）
3x+2y=13
3x-2y=5
A. 6x=8 B. 6x=5 C. 6x=18 D. x=18
3、方程组 的解是 （ ）
B
主要步骤：
基本思路:
写解
求解
加减
二元
一元
加减消元:
消去一个元
求出两个未知数的值
写出方程组的解
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？
主要步骤有哪些？
变形
同一个未知数的系数相同或
互为相反数
2. 二元一次方程组解法有 。
代入法、加减法
作业：P10 练习(共15张PPT)
七年级(下册)
初中数学
1.2.4加减消元法（2）
用加减法解二元一次方程组基本思路是什么？
这类方程组的特点是什么
主要步骤有哪些？
基本思路：
二元
一元
消元：
特点：同一个未知数的系数相同或互为相反数。
主要步骤：
写解
求解
加减
消去一个元
分别求出两个未知数的值
写出原方程组的解
探究：
解方程组 的思路。
3x+ y=- ①
2
7
2
19
6x-5y=17 ②
讨论：
与方程组 进行比较。
6x+7y=-19 ①
6x-5y=17 ②
当方程组的两个方程中某个未知数的系数成整数倍关系时,虽然不能直接用加减法消元,但可将方程的两边都乘以一个适当的数(不为零),使变形后的方程的系数相同或互为相反数,那么就可以用加减法来求解方程组了.
启发：
如何较简便地解下述二元一次方程组？
要是①、②两式中，x的系数相等或者互为相反数就好办了！
动脑筋
把①式两边乘以3，不就行了么！
解 ①×3，得 6x+9y=-33 ③
②-③，得： -14y = 42
解得 y= -3
把y =-3代入①，得 2x+3×(-3)= -11
解得：x= -1
因此原方程组的解是
x=-1
y=-3
1、解方程组:
解： ①×2,得：
18x+4y=30 ③
③-②，得： 15x=20
举
例
9x+2y=15 ①
3x+4y=10 ②
∴ x=
3
4
把 代入②,得：4+4y=10
x=
3
4
∴ y=
2
3
因此原方程组的解是
x=
3
4
y=
2
3
能不能使两个方程中x(或y)的系数相等(或互为相反数)
解:①×4 ，得：12x+16y=32. ③
②×3 ，得：12x+9y=-3. ④
③-④ ，得 7y=35.
解得 y = 5
把y=5代入①，得：3x+4×5=8
解得 x = -4
将x的系数变为相等.
2、 解方程组：
3x+4y=8 ①
4x+3y=-1 ②
因此原方程组的解是
x=-4
y=5
分析：对于当方程组中两方程不具备上述特点时，必须用等式性质来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件．
解： ①×3得：6x+9y=36 ③
③-④得: y=2
把y=2代入①，解得：x=3
②×2得：6x+8y=34 ④
3、用加减法解方程组：
2x+3y=12 ①
3x+4y=17 ②
因此原方程组的解是
x=1
y=-1
否则，先把其中一个方程乘以适当的数，将所得方程与另一个方程相减(或相加)，或者先把两个方程分别乘以适当的数，再把所得到的方程相减(或相加).
如果两个方程中有一个未知数的系数相等(或互为相反数)，那么把这两个方程直接相减(或相加)；
解二元一次方程组的“消元”方法：
6x+7y=-19
6x-5y=17
如：
3x+2y=8
6x-5y=-47
如：
3x+4y=11
4x-5y=-37
解: ①×2，得 6x+4y=16 ③
③-②，得 9y=63
解得 y=7
把y=7代入① ，得 3x+2×7= 8
解得 x =-2
因此原方程组的一个解是
练习
用加减消元法解下列方程组：
(1)
①
②
解: ①×4，得 12x+16y=44 ③
②×3，得 12x-15y=-111 ④
③-④ ，得 31y=155
解得 y=5
把y=5代入① ，得 3x+4×5= 11
解得 x =-3
因此原方程组的一个解是
(2)
①
②
解: ①×5，得 10x-25y=120 ③
②×2，得 10x +4y = 62 ④
③-④ ，得 -29y=58
解得 y=-2
把y=-2代入① ，得 2x-5×(-2)= 24
解得 x =7
因此原方程组的一个解是
(3)
①
②
解：由①×2+②得：
7x=14，x=2.
把x=2代入①式得：
y =-2.
原方程组的解为
解：①×3，得：
6x+3y=15. ③
②+③,得：7x =21，
x=3，
把x=3代入① ，得：
2×3+y=5. y=-1.
∴原方程组的解为：
（4）
2x+y=2 ①
3x-2y=10 ②
2x+y=5 ①
x-3y=6 ②
（5）
补充练习：
解：由①×6-②×4 ，得
2x+3y –(2x -y)=4-8
y= -1
把y= -1代入② ，解得：
用适当方法解二元一次方程组
用加减消元法解方程组：
+ =1 ①
- y=2 ②
x+1
3
2
y
2
x
4
1
2
7
x=
所以原方程组的解是
2
7
x=
y= -1
x+y=8
5x-2(x+y)=-1
(1)
x+1
3
(2)
=2y
2(x+1)-y=11
x=5
y=1
x=3
y=5
1、由小张的正确解代入方程 可求出c。
②
2、把小张的正确解代入方程①得到关于a,b的一个二元一次方程，而小李的解是看错了c得到的，说明小李的解满足方程①，故将其代入①也得到关于a,b的二元一次方程，联立两个方程求出a,b.
思路点拨：
在解方程组 时，小张正确的解是
小李由于看错了方程组中的c得到方程组的解为
试求方程组中的a、b、c的值.
x=-3
y=1
ax+by=2 ①
cx-3y=5 ②
x=1
y=2
1、解二元一次方程组基本思路？
代入、加减法，消去一个元
分别求出两个未知数的值
写出原方程组的解
(1)用含有一个未知数的式子表示另一个未知数。（2）将同一个未知数的系数相同或互为相反数。
3、主要步骤有哪些？
2、解二元一次方程组的方法？每种方法方程组应具备的特征是什么？
二元
一元
消元
代入法：一个未知数的系数的绝对值是1。
加减法：同一个未知数的系数的绝对值是相等。
变形
消元
求解
写解
作业：P12 习题1.2 A组 2
