(共16张PPT)
七年级(下册)
初中数学
2.1.1 同底数幂的乘法
整式加减的结果还是最简整式。
所谓最简整式，即这个整式中不再有同类项和括号；而在合并同类项之前，相加减的整式之间可能有括号。
1.整式加减的法则是什么？
2.整式的加减实际上就是做什么？
3.整式的加减一般步骤是什么？
4.整式的加减的结果是什么？
去括号，再合并同类项。
整式的加减实际上就是合并同类项。
一般步骤是先去括号，再合并同类项。
回顾与思考
7.探究型题有时可从数量关系表示
的规律着手，也可从图形本身和
规律着手.
5.整式加减运算的易错处是：
6.用字母、代数式表示问题结果时与
化简中有时用到整式的加减。
去括号时漏乘、符号的变与不变。
复习
a
n
指数
幂
= a·a· … ·a
n个a
底数
谁会讲盘古开天地的故事？
一年以3×10 秒计算，比邻星与地球的距离约
为多少千米？
7
问题：光在真空中的速度大约是3×10 千米/秒，
太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出
的光到达地球大约需要4.22年。
5
10 × 10
5
7
=（10×10×···×10）×（10×10×···×10）
5个10
7个10
=10×10×···×10
12个10
=10
12
幂的意义
幂的意义
（根据 。）
（根据 。）
（根据 。）
乘法结合律
做一做
1、计算下列各式：
（1）102×103
（2）105×108
（3）10m×10n（m，n都是正整数）.
你发现了什么？
2. 2m×2n等于什么？（1/7）m×（1/7）n 呢？
（m，n 都是正整数）
=（10×10）×（10×10×10）
=10×10×10×10×10
=105
102 × 103
（1）
（根据 。）
（根据 。）
（根据 。）
乘法结合律
幂的意义
幂的意义
=102+3
=（10×10×···×10）×（10×10×···×10）
5个10
8个10
=10×10×···×10
13个10
=10
13
幂的意义
乘法结合律
(根据 。）
根据（ 。）
根据（ 。）
幂的意义
10 × 10
5
8
（2）
=105+8
=（10×10×···×10）×（10×10×···×10）
m个10
n个10
=10×10×···×10
(m+n)个10
=10
m+n
幂的意义
乘法结合律
(根据 。）
根据（ 。）
（根据 。）
幂的意义
10 × 10
m
n
（3）
=2m+n
=（2×2×···×2）×（2×2×···×2）
m个2
n个2
2m×2n
2、
（1/7）m ×（1/7）n
= (1/7×1/7×···×1/7)×(1/7×1/7×···×1/7)
m个1/7
n 个1/7
= (1/7)m+n
想一想
am · an · ap 等于什么？
am· an· ap = am+n+p
方法1 am·an·ap
=(am·an)·ap
=am+n·ap
=am+n+p
am·an·ap
=am ·(an·ap )
=am·ap +n
=am+n+p
或
方法2 am·an·ap
=(a·a· … ·a)(a·a· … ·a)(a·a· … ·a)
n个a
m个a
p个a
=am+n+p
（二）补充练习：判断（正确的 打“√”，错误的打“×”）
x4·x6=x24 ( ) (2) x·x3=x3 ( )
(3) x4+x4=x8 ( ) (3)x2·x2=2x4 ( )
(5)(-x)2 · (-x)3 = (-x)5= -x5 ( )
(6)a2·a3- a3·a2 = 0 ( )
(7)x3·y5=(xy)8 ( ) (8) x7+x7=x14 ( )
√
√
×
×
×
×
×
×
am · an =am+n(m,n都是正整数）
同底数幂的乘法性质：
底数 ，指数 .
不变
相加
幂的意义:
an= a·a· … ·a
n个a
小 结(共17张PPT)
七年级(下册)
初中数学
2.1.2幂的乘方与积的乘方
回顾与思考
回顾 & 思考
am · an
(a·a· … ·a)
n个a
=(a·a· … ·a)
m个a
= a·a· … ·a
(m+n)个a
= am+n
幂的意义:
a·a· … ·a
n个a
an
=
同底数幂乘法的运算性质：
am · an
=
am+n
（m,n都是正整数）
推导过程
复习
计算
(1) (-1)n (-1) n+1 ＋ (-1)n+2 (-1)n+3
(2) (-5)100 ＋ (-5)99
正方体的边长是 2 cm, 则乙正方体的体积 V乙= cm3
V甲 是 V乙 的 倍
8
125
即 53 倍
正方体的体积比与边长比的关系
正方体的体积之比=
边长比的
立方。
甲正方体的边长是乙正方体的 5 倍，则
甲正方体的体积 V甲= cm3
1000
乙球的半径为 3 cm, 则
乙球的体积V乙= cm3.
V甲 是 V乙 的 倍
即 103 倍
球的体积比与半径比的关系
球体的体积之比=
半径比的
立方。
甲球的半径是乙球的10倍，则
甲球的体积V甲= cm3 .
1000
36
36000
地球、木星、太阳可以近似地看作球体. 木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的 倍和 倍.
木星
地球
太阳
体积扩大的倍数比半径扩大的倍数大得多.
如果甲球的半径是乙球的n 倍，那么甲球体积是乙球体积的 倍。
n3
103
106
(102)3=106，为什么？
(102)3
=102×102×102
=102+2+2
=102×3
=106
太棒了
(根据 ).
(根据 ).
同底数幂的乘法性质
幂的意义
(102)3=106，为什么？
(102)3=106，为什么？
做一做
做一做
计算下列各式，并说明理由 .
(1) (62)4 ; (2) (a2)3 ; (3) (am)2 ; (4) (am)n .
解：(1)
猜想
＝
= 62·62· 62·62
=62+2+2+2
=68
=62×4 ;
(62)4
(2) (a2)3
= a2·a2·a2
=a2+2+2
=a6
=a2×3 ;
(3) (am)2
=am·am
=am+m
=a2m .
(am)2
amn
(4) (am)n
=am·am· … ·am
n个am
=am+m+ … +m
n个m
=amn
(am)n=amn (m,n都是正整数).
底数 ，
不变
相乘
幂的乘方，
（幂的意义）
（同底数幂的乘法性质）
（乘法的意义）
证明
指数 .
项 法则 符号语言 运算 结果
1
2
请比较“同底数幂相乘的法则”与“幂的乘方法则”异同：
同底数幂相乘
幂的乘方
乘法运算
乘方运算
底数不变，指数相加
底数变，指数相乘
底数不变
指数相乘
指数相加
同底数幂相乘
幂的乘方
其中m , n都是正整数
例题解析
【例1】计算：
(1) (102)3 ; (2) (b5)5 ; (3) (an)3;
(4) -(x2)m ; (5) (y2)3 · y ; (6) 2(a2)6 － (a3)4 .
(6) 2(a2)6 – (a3)4
=102×3
=106 ;
(1) (102)3
解：
(2) (b5)5
= b5×5
= b25 ;
(3) (an)3
= an×3
=a3n ;
(4) -(x2)m
= -x2×m
= -x2m ;
(5) (y2)3 · y
= y2×3 · y
= y6 · y
=2a2×6 - a3×4
=2a12-a12
=a12.
= y7;
阅读 体验
随堂练习
随堂练习
p16
1. 计算：
(1) (103)3 ; (2) -(a2)5 ; (3) (x3)4 · x2 ;
(4) [(-x)2 ]3 ; (5) (-a)2(a2)2; (6) x·x4 – x2 · x3 .
2. 判断下面计算是否正确？如果有错误请改正：
(1) (x3)3 = x6 ; (2)a6 · a4 = a24 .
在255，344，433，522这四个幂中，
数值最大的一个是———。
解：255 = (25)11= 3211
344 = (34)11= 8111
433 = (43)11= 6411
522 = (52)11= 2511
数值最大的一个是—344—
因为81>64,所以
( 1)已知2x+5y-3=0,求 4x · 32y的值。
(2)已知 2x =a， 2y =b，求 22x+3y 的值。
(3)已知 22n+1 + 4n =48， 求 n 的值。
(4)已知4(-an)5 · a<0,试分析的取值情况（n为正整数）。
思考题
(5)比较375和2100的大小。 (6)若(9n)2 = 38 ，则n的值是多少？
思考题
本节课你的收获是什么？
幂
的
意
义
幂的乘方的运算性质：
(am)n = amn ( m,n 都是正整数 ).
同底数幂乘法的运算性质：
am · an=
amn ( m,n 都是正整数 )
底数 不变 ，
指数 相加 .
底数 ，
指数 .
相乘
不变(共21张PPT)
七年级(下册)
初中数学
2.1.3单项式的乘法
一位旅行者用步长测量天安门广场的面积：他先从南走到北，记下所走的步数为1100步；再从东走到西，记下所走的步数为625步，然后根据自己的步长来估算广场的面积.
问题：
（1）如果该旅行者的步长用a米表示，你能用含的a代数式表示广场的面积吗
（2）假设这位旅行者的步长为0.8米，那么广场的面积大约是多少平方米？
(1100a)·(625a)
当a=0.8时
(1100a)·(625a)
=(1100×0.8)
×
(625×0.8)
=440000m2
（3）为了计算简便，我们可以先化简，再代入求值.
怎样计算(1100a)·(625a)
(1100a)·(625a)
=(1100×625)
·(a·a)
=687500a2
问题：运用我们以前学过的哪些运算律和法则？
乘法交换律、乘法结合律、同底数幂相乘
引例：
解：原式=
各因数系数结合成一组
相同的字母结合成一组
系数的积作为积的系数
对于相同的字母，用它们的指数和作为积里这个字母的指数
对于只有一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
单项式乘法的法则
例1 计算:
(1) (2)
(3)
(4)
练习：判断正误：
( )
( )
( )
( )
( )
( )
×
√
×
×
×
√
抢答题
-9x3y2
a2bxn+2
a6nb6n
2 1012
单项式乘法中要注意的几点
求系数的积，应注意符号；
相同字母因式相乘，是同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，防止遗漏；
单项式乘以单项式的结果仍然是一个单项式，结果要把系数写在字母因式的前面；
单项式乘法的法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.
m
m
a
b
一幅电脑画的尺寸如图:
(1)请用两种不同的方式表示画面的面积.
(2)这两种不同方式表示的面积应当相等,你能用运算律解释它们相等吗
(3)通过上面的讨论,你能总结出单项式与多项式相乘的运算规律吗
这次绿色环保活动中购买奖品共花了多少钱？
提问：此题有几种算法？各种算法之间有什么联系？
品名 单价（元） 数量
笔记本 5.20 15
钢笔 3.40 15
贺卡 0.70 15
15(5.20+3.40+0.70)
15×5.20+15×3.40+15×0.70
=
（1）字母替换数据，在计算方式上有何共性
特
殊
一
般
(2)再将字母换为其它具体数，结论还成立吗？
(3)等式m（a+b+c）=ma+mb+mc
你以前见过吗？
(4)你能知道单项式与多项式相乘的法则吗？
乘法分配律
一般 特殊
m（a+b+c）=ma+mb+mc
即
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘法则
（1）
转化
m（a+b+c）=ma+mb+mc
单项式 ×多项式
单项式 ×单项式
法则的剖析：
法则：m（a+b+c）=ma+mb+mc
(2)法则的几何解释
例2 计算:
(1)
(2)
计算： (1) (-4x)(2x2+3x-1)
(2) (ab2-2ab)ab
=(-4x).2x2
+(-4x).3x
+(-4x).(-1)
=-8x3
-12x2
+4x
=ab2. .ab
-2ab.ab
=a2b3
-2a2b2
解（1）原式
（2）原式
注意
①正确判定积的符号；
②积为一个多项式，其项数与多项式的项数相同,不要漏乘了项。
（1）公式中字母的意义 ：
等式 m(a+b+c)=ma+mb+mc中 m、a、b、c 可以 表示任意单项式吗？
（2）公式的推广：
当多项式为2项或多于3项时法则是否成立？
回顾 & 思考
由于国际石油价格不断飙升，建立我国自己的战略石油储备已刻不容缓。我市石油公司迅速新建三座石油储备塔，储备塔的规格如图所示。已知h=16m,a2+b2+c2=1500m2,求这三座石油储备塔总共能储藏石油多少升？（1升=1立方分米，π取3）
h
a
h
b
h
c
解：由题意可得
πa2h+πb2h+πc2h
=πh(a2+b2+c2)
当a2+b2+c2=1500m2,h=16m时，
原式=3×1500 ×16
=72000(立方米）
=72000000（立方分米）
=7.2 ×107（升）
答：这三座石油储备塔总共能储藏
石油 7.2 ×107 升。
1）单项式的乘法法则.
2）单项式乘法
有理数的乘法
同底数幂相乘
积的乘方运算
转化
幂的乘方运算
4）单项式与多项 式相乘
转化
单项式与单项式相乘
3）单项式与多项式相乘法则.(共13张PPT)
七年级(下册)
初中数学
2.1.4多项式的乘法(1)
ab+ac+ad
a(b+c+d)
a(b+c+d)
ac
+
ad
ab
+
根据乘法的分配律
ab+ac+ad
a(b+c+d)
利用乘法分配律计算：
乘法分配率
单项式乘单项式
单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
单项式乘多项式的运算法则
例1 计算：
⑴
（2）
解：原式=
单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
辩析：下面是小明同学做的几道题,你能帮他找出错误吗
m(m2-m+1)=m3-m2+1
(1)
(2)
m(m2-m+1)=m3-m2+m
计算：
⑴
⑵
单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
住宅用地
人民广场
3a
3a+2b
2a-b
4a
例2：如图：一块土地用来建造住宅、广场，求这块地的面积.
解：S= 4a(3a+2b)+3a(2a-b)
= 12a2+8ab+6a2-3ab
= 18a2+5ab
答：这块地的面积为18a2+5ab.
住宅用地
人民广场
3a
3a+2b
2a-b
4a
S=4a(3a+2b+2a-b)-(4a-3a)(2a-b)
住宅用地
人民广场
3a
3a+2b
2a-b
4a
S=3a(3a+2b+2a-b)+(4a-3a)(3a+2b)
1、计算：
2、如图，求梯形的面积
3x
5x-2
4x
3、填空
（1） （ ）·（3x-4)=3x2-4x
（2） 2x·（ ）=2x2+14x
x
x+7
小结与回顾(共20张PPT)
七年级(下册)
初中数学
2.1.4多项式的乘法(2)
回忆：
1.单项式乘单项式的法则
2.单项式乘多项式的法则
(a+b)(m+n)
am
bn
an
bm
m
n
m+n
a+b
a
b
am
bn
an
bm
am + an + bm + bn
=
问题 & 探索
+
+
+
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
问题 & 探索
多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(1) (x+2y)(5a+3b) ;
(2) (2x–3)(x+4) ;
解:(1)
(x+2y)(5a+3b)
=
=
解:(2)
(2x–3)(x+4)
2x2
+8x
–3x
–12
=2x2
+5x
例1 计算:
=
–12
x
·5a
+x
·3b
+2y
·5a
+2y
·3b
5ax
+3bx
+10ay
+6by
计算：
（1）
（2）
（3）
学一学
感悟新知
参考解答：
参考解答：
参考解答：
比一比
小 组 竞 赛
计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
参考解答：
1、漏乘
需要注意的几个问题
2、符号问题
3、最后结果应化成最简形式。
辨一辨
判别下列解法是否正确，若错请说出理由。
解：原式
辨一辨
判别下列解法是否正确，若错请说出理由。
解：原式
辨一辨
判别下列解法是否正确，若错请说出理由。
解：原式
活动& 探索
填空：
观察上面四个等式，你能发现什么规律？
你能根据这个规律解决下面的问题吗？
5 6
1 (-6)
(-1) (-6)
(-5) 6
口答：
说一说：
注 意 !
1.计算(2a+b)2应该这样做：
(2a+b)2=(2a+b)(2a+b)
=4a2+2ab+2ab+b2
=4a2+4ab+b2
切记 一般情况下
(2a+b)2不等于4a2+b2 .
注 意 !
2.(3a–2)(a–1)–(a+1)(a+2)是多项式的积与积的差，后两个多项式乘积的展开式要用括号括起来。
3. (x+y)(2x–y)(3x+2y)是三个多项式相乘，应该选其中的两个先相乘，把它们的积用括号括起来，再与第三个相乘。
再 见 碑
