第七章 平面图形的认识(二)单元检测试题（A卷含解析）

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苏科版七年级下册第七章平面图形的认识(二)
单元测试（A卷）
（时间100分钟，总分100分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1.下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（　　）
A．1cm、2cm、3cm B．2cm、3cm、4cm
C．4cm、9cm、4cm D．2cm、1cm、4cm
2.下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是（　　）边形
A．7 B．6 C．5 D．4
4.如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，则∠2的度数为（　　）www.21-cn-jy.com
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A．50° B．60° C．65° D．70°
5.如图，AB∥CD，E是BD上的一点．下列结论中，正确的是（　　）
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A．∠1=∠2﹣∠3 B．∠2=∠1﹣∠3
C．∠3=∠1+∠2 D．∠1+∠2+∠3=180°
6. 如图，给出下列条件：
①∠1=∠2；
②∠3=∠4；
③AD∥BE，且∠D=∠B；
④AD∥BE，且∠DCB=∠BAD；
其中能推出AB∥DC的条件为（　　）
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A．①② B．②④ C．②③ D．②③④
7.如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数是（　　）【版权所有：21教育】
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A．80° B．100° C．90° D．95°
8. 如图，若∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，则∠BCD的大小为（　　）
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A．50° B．100° C．130° D．150°
9. 将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1、∠2不一定互补的是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
10. 下列条件：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③∠A= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠B= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠C；④∠A=∠B=2∠C；⑤∠A=∠B= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠C，其中能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空（共8个小题，每题3分，共24分）
11.在△ABC中，∠C=90°，∠A=55°，则∠B= °．
12.如图，AB∥CD，点G、F分别在AB、CD上，FE平分∠GFD交AB于点E，∠EGF=40°，则∠BEF= ．
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13.一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是 ．
14.如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
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15. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=50°，∠C=30°，则∠DAE= °．
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16.如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若已知∠2=65°，则∠1= ．
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17.图（1）是一个长为2m，宽为2n（ ( http: / / www.21cnjy.com )m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是 ．
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18. 如图，△ABC中∠A=30°，E是 ( http: / / www.21cnjy.com )AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B= 度．
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三、解答题（前3题每题7分，后三题分别为8、8、9分，共46分）
19.如图，已知，AB∥CD，∠1=∠2，BE与CF平行吗？为什么？
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20. 如图，∠AEF+∠CFE=180°，∠1=∠2，EG与HF平行吗？为什么？
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21. 如图，已知FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G、D，∠1=∠2．
求证：DE∥BC．
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22.如图，在△ABC中，∠B=54°，A ( http: / / www.21cnjy.com )D平分∠CAB，交BC于D，E为AC边上一点，连结DE，∠EAD=∠EDA，EF⊥BC于点F．求∠FED的度数．
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23.（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；
（3）若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为AD延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，请画出相应的图形，并直接写出∠DFE的度数．
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24.【课本拓展】
我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的连个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
【尝试探究】
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
【初步应用】
（2）如图2，在△ABCA纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2﹣∠C=　 　；
（3）小明联想到了曾经解决 ( http: / / www.21cnjy.com )的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请直接写出结论．
【拓展提升】
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP ( http: / / www.21cnjy.com )、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB、∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）
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参考答案：
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1.下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（　　）
A．1cm、2cm、3cm B．2cm、3cm、4cm
C．4cm、9cm、4cm D．2cm、1cm、4cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、1+2=3，不能组成三角形，故本选项正确；
B、2+3＞4，能组成三角形，故本选项错误；
C、4+4＜9，不能组成三角形，故本选项错误；
D、1+2＜4，不能组成三角形，故本选项错误．
故选B．
2.下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答．
【解答】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故选：D．
3.一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是（　　）边形
A．7 B．6 C．5 D．4
【考点】多边形内角与外角．
【分析】多边形的外角和是360度， ( http: / / www.21cnjy.com )多边形的外角和是内角和的一半，则多边形的内角和是720度，根据多边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，依此列方程可求解．21教育网
【解答】解：设多边形边数为n．
则360°×2=（n﹣2） 180°，
解得n=6．
故选B．
4.如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，则∠2的度数为（　　）21*cnjy*com
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A．50° B．60° C．65° D．70°
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【分析】根据平行线的性质和角平分线性质可求．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠BEF=180°，∠2=∠BEG，
∴∠BEF=180°﹣50°=130°，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠BEF=65°，
∴∠2=65°．
故选C．
5.如图，AB∥CD，E是BD上的一点．下列结论中，正确的是（　　）
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A．∠1=∠2﹣∠3 B．∠2=∠1﹣∠3
C．∠3=∠1+∠2 D．∠1+∠2+∠3=180°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可得到∠3+∠B=180°，然后在△ABE中利用三角形的内角和定理即可判断．2-1-c-n-j-y
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3+∠B=180°，
又∵∠1+∠2+∠B=180°，
∴∠3=∠1+∠2．
故选C．
6. 如图，给出下列条件：
①∠1=∠2；
②∠3=∠4；
③AD∥BE，且∠D=∠B；
④AD∥BE，且∠DCB=∠BAD；
其中能推出AB∥DC的条件为（　　）
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A．①② B．②④ C．②③ D．②③④
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．
【解答】解：①∵∠1=∠2，∴AD∥BC，故此选项错误；
②∵∠3=∠4，∴AB∥DC，（内错角相等，两直线平行），故此选项正确；
③∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD= ( http: / / www.21cnjy.com )180°，∵∠D=∠B，∴∠D+∠BAD=180°，由同旁内角互补，两直线平行可得AB∥DC，故此选项正确；
④∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°， ( http: / / www.21cnjy.com )∵∠BAD=∠BCD，∴∠B+∠BCD=180°，由同旁内角互补，两直线平行可得AB∥DC，故此选项正确；
故能推出AB∥DC的条件为：②③④．
故选D．
7.如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数是（　　）
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A．80° B．100° C．90° D．95°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，同 ( http: / / www.21cnjy.com )位角相等求出∠BMF、∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠BMF= ( http: / / www.21cnjy.com / )×100°=50°，
∠BNM= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠BNF= ( http: / / www.21cnjy.com / )×70°=35°，
在△BMN中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（50°+35°）=180°﹣85°=95°；2·1·c·n·j·y
故选D．
8. 如图，若∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，则∠BCD的大小为（　　）
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A．50° B．100° C．130° D．150°
【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．
【分析】根据角平分线定义求得∠DBC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABC=50°，
∴∠DBC= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠ABC=25°．
又∠DBC=∠D，
∴∠BCD=180°﹣25°×2=130°．
故选C．
9. 将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1、∠2不一定互补的是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【考点】余角和补角．
【分析】如果两个角的和等 ( http: / / www.21cnjy.com )于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角，据此分别判断出每个选项中∠1+∠2的度数和是不是180°，即可判断出它们是否一定互补．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：如图1，，
∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
∵∠1+∠4=180°，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠1、∠2互补．
如图2，，
∠2=∠3，
∵∠1+∠3=180°，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠1、∠2互补．
如图3，，
∵∠2=60°，∠1=30°+90°=120°，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠1、∠2互补．
如图4，，
∵∠1=90°，∠2=60°，
∴∠1+∠2=90°+60°=150°，
∴∠1、∠2不互补．
故选：D．
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10. 下列条件：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③∠A= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠B= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠C；④∠A=∠B=2∠C；⑤∠A=∠B= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠C，其中能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①、∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠B=∠C= ( http: / / www.21cnjy.com / )×180°=90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C= ( http: / / www.21cnjy.com / )×180°=75°，故不是直角三角形；故②错误
③、设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则x+2x+3x=180°，
解得x=30°，故3x=90°，
∴△ABC是直角三角形，故③正确；
④∵设∠C=x，则∠A=∠B=2x，
∴2x+2x+x=180°，解得x=36°，
∴2x=72°，故④错误；
⑤∵∠A=∠B= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠C，
∴∠A+∠B+∠C= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠C+ ( http: / / www.21cnjy.com / )∠C+∠C=2∠C=180°，
∴∠C=90°，故⑤正确．
综上所述，是直角三角形的是①③⑤共3个．
故选B．
二、填空（共8个小题，每题3分，共24分）
11.在△ABC中，∠C=90°，∠A=55°，则∠B=　35　°．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】直接根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=55°，
∴∠B=180°﹣90°﹣55°=35°．
故答案为：35．
12.如图，AB∥CD，点G、F分别在AB、CD上，FE平分∠GFD交AB于点E，∠EGF=40°，则∠BEF=　110°　．
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【考点】平行线的性质．
【分析】由AB∥CD，根据“两直线平行 ( http: / / www.21cnjy.com )，内错角相等”得到∠CFG=∠EGF=40°，求得∠GFD的度数，再根据角平分线的定义得到∠EFD，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得到∠BEF．21*cnjy*com
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CFG=∠EGF=40°，
∴∠GFD=180°﹣40°=140°，
∵FE平分∠BEF，
∴∠EFD= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠GFD=70°，
而AB∥CD，
∴∠BEF=180°﹣∠EFD=180°﹣70°=110°．
故答案是：110°
13.一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是　12　．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】多边形的外角和为360°，而多边形的每一个外角都等于30°，由此做除法得出多边形的边数．
【解答】解：∵360°÷30°=12，
∴这个多边形为十二边形，
故答案为：12．
14.如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为　16　．21·世纪*教育网
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【考点】平移的性质；等边三角形的性质．
【分析】由将边长为4个单位的等边△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，根据平移的性质得到BE=AD=2，EF=BC=4，DF=AC=4，然后利用周长的定义可计算出四边形ABFD的周长．【出处：21教育名师】
【解答】解：∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，
∴BE=AD=2，EF=BC=4，DF=AC=4，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BE+EF+FD=2+4+2+4+4=16．
故答案为16．
15. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=50°，∠C=30°，则∠DAE=　10　°．
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【考点】三角形内角和定理．
【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠BAC，故∠EAD=∠EAC﹣∠EAC．
【解答】解：∵在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，且∠B=50°，∠C=30°，
∴∠BAE=∠EAC= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )=50°．
在△ACD中，∠ADC=90°，∠C=30°，
∴∠DAC=90°﹣30°=60°，
∠EAD=∠DAC﹣∠EAC=60°﹣50°=10°．
故答案是：10°．
16.如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若已知∠2=65°，则∠1=　130°　．
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【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】先根据反折变换的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠2=65°，
∴∠3=180°﹣2∠2=180°﹣2×65°=50°，
∵矩形的两边互相平行，
∴∠1=180°﹣∠3=180°﹣50°=130°．
故答案为：130°．
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17.图（1）是一个长为2m，宽为 ( http: / / www.21cnjy.com )2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是　（m﹣n）2　．21世纪教育网版权所有
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【考点】完全平方公式的几何背景．
【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．
【解答】解：图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，
∴正方形的边长为：m+n，
∵由题意可得，正方形的边长为（m+n），
正方形的面积为（m+n）2，
∵原矩形的面积为4mn，
∴中间空的部分的面积=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2．
故答案为：（m﹣n）2．
18. 如图，△ABC中∠A=30°，E ( http: / / www.21cnjy.com )是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B=　78　度．
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【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】在图①的△ABC中，根据三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形内角和定理，可求得∠B+∠C=150°；结合折叠的性质和图②③可知：∠B=3∠CBD，即可在△CBD中，得到另一个关于∠B、∠C度数的等量关系式，联立两式即可求得∠B的度数．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：在△ABC中，∠A=30°，则∠B+∠C=150°…①；
根据折叠的性质知：∠B=3∠CBD，∠BCD=∠C；
在△CBD中，则有：∠CBD+∠BCD=180°﹣82°，即：
( http: / / www.21cnjy.com / )∠B+∠C=98°…②；
①﹣②，得： ( http: / / www.21cnjy.com / )∠B=52°，
解得∠B=78°．
三、解答题（前3题每题7分，后三题分别为8、8、9分，共46分）
19.如图，已知，AB∥CD，∠1=∠2，BE与CF平行吗？为什么？
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【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据两直线AB∥CD，推知内错 ( http: / / www.21cnjy.com )角∠ABC=∠BCD；然后再由已知条件∠1=∠2得到∠ABC﹣∠1=∠BCD﹣∠2，即内错角∠EBC=∠BCF，所以根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，得出BE∥CF的结论．21·cn·jy·com
【解答】证明：能平行．
理由：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）；
又∠1=∠2，
∴∠ABC﹣∠1=∠BCD﹣∠2，即∠EBC=∠BCF，
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）．
20. 如图，∠AEF+∠CFE=180°，∠1=∠2，EG与HF平行吗？为什么？
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【考点】平行线的判定与性质．
【分析】首先根据∠AEF+∠C ( http: / / www.21cnjy.com )FE=180°，可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEF=∠EFD，再根据∠1=∠2，可得到∠GEF=∠HFE，进而得到GE∥FH．
【解答】解：平行．
∵∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFD，
∵∠1=∠2，
∴∠GEF=∠HFE，
∴GE∥FH．
21. 如图，已知FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G、D，∠1=∠2．
求证：DE∥BC．
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【考点】平行线的判定；垂线．
【分析】根据CD⊥AB，FG⊥AB，可 ( http: / / www.21cnjy.com )判定CD∥FG，利用平行线的性质可知∠2=∠BCD，已知∠1=∠2，等量代换得∠1=∠BCD，故可证DE∥BC．21cnjy.com
【解答】证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠2=∠BCD，
又∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DE∥BC．
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22.如图，在△ABC中，∠B=54°，A ( http: / / www.21cnjy.com )D平分∠CAB，交BC于D，E为AC边上一点，连结DE，∠EAD=∠EDA，EF⊥BC于点F．求∠FED的度数．
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【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据角平分线得到∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AD=∠CAD，由已知条件得到∠EAD=∠EDA，于是得到∠BAD=∠ADE，得到DE∥AB，然后根据两锐角互余，即可得到结果．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠BAD=∠ADE，
∴DE∥AB，∴∠EDF=∠B=54°，
∵EF⊥BC，
∴∠FED=90°﹣∠EDF=36°．
23.（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；
（3）若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为AD延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，请画出相应的图形，并直接写出∠DFE的度数．
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【考点】三角形内角和定理；平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高．
【分析】（1）先根据三角形内角和求得∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAC的度数，再根据AD平分∠BAC，AE⊥BC，求得∠BAE，∠BAD的度数，最后根据∠DAE=∠BAE﹣∠BAD计算即可；
（2）先作AH⊥BC于H，再根据平行线的性质求得∠DFE的度数；
（3）先作AH⊥BC于H，再根据平行线的性质求得∠DFE的度数．
【解答】解：（1）∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣35°﹣65°=80°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠BAC=40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°﹣∠B=55°，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=55°﹣40°=15°；
（2）作AH⊥BC于H，如图②，
由（1）可得∠DAH=15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE=∠DAH=15°；
（3）如图③所示，∠DFE=15°．
理由：作AH⊥BC于H，
由（1）可得∠DAH=15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE=∠DAH=15°．
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24.【课本拓展】
我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的连个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
【尝试探究】
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？21教育名师原创作品
【初步应用】
（2）如图2，在△ABCA纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2﹣∠C=　50°　；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题： ( http: / / www.21cnjy.com )如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请直接写出结论．
【拓展提升】
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、 ( http: / / www.21cnjy.com )CP分别平分外角∠EBC、∠FCB、∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）
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【考点】三角形综合题．
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不 ( http: / / www.21cnjy.com )相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
（2）利用（1）中的结论即可求出；
（3）根据角平分线的定义可得∠PCE= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠BCE，∠PBD= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠CBD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
（4）根据四边形的内角和定理表示出∠BAD+∠CDA，然后同理（3）解答即可．
【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB
=180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB
=360°﹣（∠ABC+∠ACB）
=360°﹣
=180°+∠A；
（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C，
∴130°+∠2=180°+∠C，
∴∠2﹣∠C=50°．
故答案为50°．
（3）∵BP，CP分别是外角∠DBC，∠ECB的平分线，
∴∠PBC+∠PCB= ( http: / / www.21cnjy.com / )（∠DBC+∠ECB）= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
在△PBC中，∠P=180°﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )=90°﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )∠A．
（4）如图1，
( http: / / www.21cnjy.com / )
延长BA、CD于Q，
则∠P=90°﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )∠Q，
∴∠Q=180°﹣2∠P．
∴∠BAD+∠CDA
=180°+∠Q
=180°+180°﹣2∠P
=360°﹣2∠P．
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