课件28张PPT。17.1勾股定理 相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系． 我们也来观察右图中的地面，看看有什么发现？走近数学家448SA+SB=SCC图甲1.观察图甲，小方格
的边长为1.
⑴正方形A、B、C的
面积各为多少？⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？C图乙2.观察图乙，小方格
的边长为1.
⑴正方形A、B、C的
面积各为多少？91625SA+SB=SC⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？448SA+SB=SC图甲图乙2.观察图乙，小方格
的边长为1.91625SA+SB=SC⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？448SA+SB=SC图甲abcabc3.猜想a、b、c 之间的关系？a2 +b2 =c2命题1 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.在△ABC中，∠C=90°∴BC2+AC2=AB2（a2+b2=c2）ＡＢＣ勾股定理…… 两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955勾 股 世 界国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。 例1 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.例题分析(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.方法小结c2=a2 + b2a2=c2 － b2b2 =c2 －a2结论变形1、如图已知：a＝3，
b＝4，求c2、如图已知： c ＝13，a＝5，求阴影部分面积b3.在? ABC中, ∠ C=90°,若AC=6,CB=8,则?ABC面积为_____,斜边为上的高为______.244.86810S?ABC= AC×BC
= AB×CD815A49B2５1.求下列图中字母所代表的正方形的面积： 2.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和S1S2解：∵ SE= 49S1=SA+SBS2=SC+SD∴ SA+SB+SC+SD
= S1+S2 = SE = 493.在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm,求△ABC的面积。ABCD131310∵ AB＝AC, AD⊥BC解：作AD⊥BC于 D八年级下册勾股定理 4.如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。
34“路”ABC5. 如图, 受台风“麦莎”影响, 一棵树在离地面4米处断裂, 树的顶部落在离树跟底部3米处, 这棵树折断前有多高？4米3米学而用之6. 已知 s1＝1, s2＝3, s3＝2, s4＝4则
s5＝_____, s6＝______, s7＝____. 7. 已知: △ABC, AB＝AC＝17,BC＝16,
则高AD＝＿＿＿，S△ABC＝＿＿＿.151208.已知直角三角形的二条边长分别为3和4, 则第三边长为 .5或学而用之9.已知等边三角形ABC的边长6cm. 则S△ABC =_______,若边长为a呢?D10. 做一个长, 宽, 高分别为50厘米, 40厘米, 30厘米的木箱, 一根长为70厘米的木棒能否放入, 为什么？学而用之美丽的勾股树1.勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的证明作业：作业本（1）
100分 选择与填空收获的喜悦 证法（一） 有人利用4个直角三角形拼出了右图，你能用两种方法表示大正方形的面积吗？大正方形的面积可以表示为：化简得：所以：用赵爽弦图证明勾股定理证法二： c2 = (b ?a)2 + 4(?ab)
= a2 ? 2ab + b2 + 2ab
? c2 = a2 + b2大正方形的面积可以表示为：证法三：aabbcc伽菲尔德证法:∴ a2 + b2 = c2 思维拓展： 有没有一种直角三角形，已知一边可以求另外两边长呢？欧几里得证法:ABCGPDEMNFH可证: △ADB≌ △ACF且S正方形ACED ＝2S△ADB , S长方形AFGP ＝2S△AFC∴AC2 ＝ S长方形AFGP 同理, BC2 ＝ S长方形BHGP ∴AC2+BC2＝AB2体会欣赏毕达哥拉斯证法:abcaabbcＳ大正方形=4× ab+a2+b2
=2ab+a2+b2
Ｓ大正方形=4× ab+c2
=2ab+c2证法四：∵Ｓ大正方形=Ｓ大正方形
∴2ab+a2+b2=2ab+c2
∴a2+b2=c2利用拼图来验证勾股定理：1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）；2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边的正方形？4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？才智竞技场课件24张PPT。17.1勾股定理(3) 问题1 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结
论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？证明“HL” 证明“HL” 【热身训练】在正方形网格中, 每个正方形的边长为1. 则网格上的△ABC的各边长是无理数的有____条边.温故知新实数有理数无理数数轴上的点一一对应1. π及含π的数:2. 开不尽的方根:3. 人为构造的数:AB=AC=BC=3【画法】1. 在数轴上找到点A, 使OA=3;2. 作直线l⊥OA,在l上取一点B, 使AB=2;【探究1】 能在数轴上画出表示 的点吗？探究运用01234ABC02 1 3 54 1 探究运用【思考】3.利用勾股定理作出长为 的线段.探究运用11数学海螺图：【思考】: 若依次记各三角形的面积为S1, S2 , S3, … ,则S12+ S22 + S32+…+ S102 =______________55/41. 已知点A(0,1), B(4, 3), 则AB= ;2. 若点P(x1, y1),Q(x2, y2), 则PQ的长为 ;变式：已知点A(0, 1), B(4, 3), 若点P在 x 轴移动, 则AP+BP的最小值为 .探究运用【探究2】坐标平面上两点之间的距离.ABxyO3. 一束光从y轴上点A(0, 1)出发, 经过x轴的E点反射后经过B(4, 3), 则点A到B经过的距离是多少.【应用1】如图, 要在河边修建一个水泵站, 分别各自向张村A和李庄B送水, 已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km, 且张、李二村庄相距13km．
(1)水泵应建在什么地方, 可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置;
(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1500元, 为使铺设水管费用最节省, 请求出最节省的铺设水管的费用为多少元?探究运用解:(1)作点A关于河边所在直线l的对称点A′, 连接A′B交l于P, 则点P为水泵站的位置, 此时, PA+PB的长度之和最短, 即所铺设水管最短； (2)过B点作l的垂线，过A′作l的平行线, 设这两线交于点C，则∠C=90° 又过A作AE⊥BC于E, 依题意BE=5, AB=13, ∴AE2=AB2-BE2=132-52=144． ∴AE=12． 由平移关系，A′C=AE=12， 在Rt△BA′C中，∵BC=7+2=9，A′C=12， ∴A′B′2=A′C2+BC2=92+122=225， ∴A′B=15． ∵PA=PA′， ∴PA+PB=A′B=15． ∴1500×15=22500（元）． l【应用2】如图, 直线l是一条河, P、Q两地相距８千米, P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米, 欲在l上的某点M处修建一个水泵站,并从点M向P、Q两地供水, 现有如下四种铺设方案, 图中实线表示铺设的管道, 则铺设的管道最短的是( )典题剖析1. 已知: 如图, 正方形ABCD的边长为8, M在DC上, DM=2, N是AC上一动点, 求DN+MN的最小值.理解运用AB【分析】由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的, 故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短, 可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处. 即AB长为最短路线.(如图)C探究运用【探究】 ：圆柱中的最值问题
有一圆柱形油罐底面圆的周长为24m, 高为6m, 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对面的B处吃食物. 它爬行的最短路线长为多少？ 如图, 一只蚂蚁从棱长为1的实心正方体的顶点A出发, 沿正方体的表面爬到对角顶点B的最短路线长为__?AB【分析】由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的, 故需把正方体展开成平面图形(如图).即: 涉及路径的最小值问题, 一般要把立体图形转化为平面图形, 依据两点之间线段最短或垂线段最短解决.探究运用【探究】 ：沿几何体表面最短路径问题C变1: 如图, 一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发, 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示), 问怎样走路线最短？最短路线长为多少？【思考】:若长方体的长、宽、高分别是a、b、c(a＞b＞c) , 则蚂蚁从顶点A到C1的最短路径是___________.探究运用 如图是一个三级台阶, 它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm. A和B是这个台阶的两个相对的端点. A点上有一只蚂蚁, 想到B点去吃可口的食物. 则 这只蚂蚁从A点出发, 沿着台阶面爬到B点的最短线路长为_________.BA531512探究运用∵ AB2=AC2+BC2=169,
∴ AB=13.变2: 如图,长方体的长为15cm, 宽为10cm, 高为20cm, 点B到点C的距离为5cm, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点, 则需要爬行的最短距离是______？【分析】根据题意分析蚂蚁爬行的路线有两种情况(如图①② ),由勾股定理可求得图1中AB最短.探究运用CB北【应用5】如图，在一次夏令营活动中, 小明从营地A出发,沿北偏东60o方向走了 米到达B点, 然后再沿北偏西30o方向走500米到达目的地C点,求A到C两地的距离.探究运用台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。如图所示，据气象部门报道：距沿海城市A的正南方向320千米B处有一个台风中心，其中心最大风力12级，每远离台风中心25千米，风力会减弱一级。该台风正以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称受到台风影响。
（1）该城市是否会受到此次台风的影响？请说明理由。
（2）若受到影响，那么台风影响该城市的持续时间为多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
练习：ABCEF探究运用【应用6】台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周
围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,如图.据
气象部门观测,距沿海某城市A的正南方向220千米的B处
有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20
千米,风力就会减弱一级,该台风中心现在正以15千米/时的
速度沿北偏东30°的方向往C移动,且台风中心风力不变.
若城市所受风力达到或超过4级,
则称为受台风影象.
该城市A是否受到台风的影响?
说明理由.
(2)若会受到台风影响,那么台风影
响该城市的持续时间有多长?
(3) 该城市受到台风影响的最大风
力为几级?2 在四边形ABCD中 ∠BAC=900 ，对角线AC,BD交于点E, ∠BAC=900,∠CED=450,∠DCE=300 ,
DE=√2,BE=2√2，求CD的长和四边形ABCD的面积。1 如图在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A,C的坐标分别为（10，0）（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为_________.【应用3】C为BD上的一个动点,分别过B、D作AB⊥BD，
DE⊥BD, 连结AC、EC, 已知AB=5, DE=1, BD=8, 设CD=x,
用含x的代数式表示AC+CE的长.
请问点C满足什么条件时, AC+CE的值最小?
根据(2)的规律和结论,请构图并求出代数式
的最小值.探究运用聪明的葛藤
葛藤是一种“刁钻”的植物,它自己腰杆不硬, 为了得到阳光的沐浴, 常常会选择高大的树木为依托, 缠绕其树干盘旋而上. 如右上图.
葛藤又是一种聪明的植物,它绕树干攀升的路线, 总是沿着最短路径——螺旋线前进的. 若将树干的侧面展开成一个平面，如右图. 可清楚的看出葛藤在这个平面上是沿直线上升的.
有一棵树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根葛藤从树根处缠绕而上,缠绕7周到达树顶,请问这根葛藤条有几尺长？(1丈等于10尺)探究运用20尺3×7=21(尺)课件26张PPT。17.1 勾股定理（2） 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在△ABC中，∠C=90°∴BC2+AC2=AB2（a2+b2=c2）ＡＢＣ1.在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,
(1)已知 ∠C=90°,a=3,b=4,则c=______;
(2)已知 ∠B=90°, a=3,b=4,则c=_____;
2.已知Rt△ABC中， a=3,b=4,则c=_____________;55或34345热身训练 【练3】已知△ABC中, ∠ A：∠ B: ∠C=1 : 2 : 3 ,
AC=5 求AB.(需过程)4.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜边（ ）
A.不变 B.扩大到原来的3倍
C.扩大到原来的9倍 D.减小到原来的1/3
B 5. 若正方形的面积为2cm2，则它的对角线长 .
6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边
长分别为 .2cm 6, 8, 10 8.已知如右图: △ABC, AB＝AC＝17,BC＝16,
则AD=____，S△ABC=____.15120你能求出AC边上的高长吗？E探究1．一个门框尺寸如图所示，一块长３m，宽２.２m的薄木板能否从门框内穿过？为什么？运用探究【练1】.有一个边长为 50 dm的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞口,圆的直径至少多长(结果保留整数)?50理解运用【练2】.小明在平坦无障碍物的草地上,从A地向东走 3 m ,再向北走 2 m ,再向西走 1 m ,再向北走 1 m ,最后向东走 4 m 到达 B 地 ,求 A，B 两地的距离是多少?AB32114c理解运用ACOBD探究2: 一个2.6m长的梯子AB, 斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.4m, 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m , 那么梯子底端B也外移0.5m吗?运用探究ABCD理解运用【练1】如图, 将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中. 则细木棒露在盒外面的最短长度是多少㎝．(保留1位小数)8m2m8m【练2】有两棵树, 一棵高8m, 另一棵高2m, 两树相距8m, 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢, 至少飞了_______m.理解运用【例3】我国古代数学著作《九章算术》中记载着这样一道题: 有一个边长为10尺的正方形水池. 在水池的中央有一根新生的芦苇, 它高出水面1尺, 如果把这根芦苇拉向岸边, 它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？x1x+15解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长在直角三角形ABC中，BC=5由勾股定理得，BC2+AC2=AB2即 52+ x2= (x+1)225+ x2= x2+2x+1，2 x=24，∴ x=12， x+1=13答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺。AD=AB=（x+1）尺，运用探究方程思想【练1】.小溪边长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树高30尺，另外一棵树高20尺；两棵树干间的距离是50尺，每棵树上都停着一只鸟，忽然两只鸟同时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标。问这条鱼出现在两树之间的何处？x50-x方程思想理解运用ABCDE 【练2】.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。 x+1x51理解运用4.以直角三角形三边为边作等边三角形,这3个等边三角形的面积之间有什么关系？理解运用3.已知等边三角形ABC的边长6cm.
则S△ABC =_______,若边长为a呢?D5.如图, 以直角△ABC的三边为直径向外作半圆,那么S1,S2, S3,的面积有什么关系？6.求图中阴影部分的面积勾股定理的应用这是数学史上称为“希波克拉底月牙形”7.如图, 直线l上有三个正方形：A , B , C, 其中A , B的面积分别是5和11，则C的面积是__________ .推广：如图所示,在直线l上依次摆放着7个正方形. 已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是s1，s2，s3，s4，求s1+s2+s3+s4的值．16勾股定理的运用【练2】在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13，
求(1) △ABC的面积； (2)求腰AC上的高x14-x12E理解运用1、已知点A(1,1), B(4,-3), 则AB= ;2、若点P(x1, y1),Q(x2, y2), 则PQ的长为 ;3、已知点A(1, 2), B(4, 3), 若点P在 x 轴移动, 则AP+BP的最小值为 .探究运用【探究】 ：坐标平面上两点之间的距离.如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，DB=4,AD=8，求AC的长。解：在Rt△ABD中,根据勾股定理在Rt△ABC中，4xx思维激活【练4】如图所示，要修一个种植蔬菜的育苗大棚，棚宽a=2m，高b=1.5m，长d=12m，则修盖在顶上的塑料薄膜需要的面积为多少?理解运用【练5】一大楼发生火灾,消防车立即赶到距大楼9米处, 升起云梯到失火的窗口,已知发生火灾的窗口距地面有14.2米,云梯底部距地面2.2米.问云梯至少需要搭出多少米可以够到失火的窗口?DA1、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）GFE2.已知:一个三角ABC,AB=AC=13,BC=10,
(1)求它的面积；(2)求腰AC上的高.13135512(1)如图，在四边形ABCD中，∠BAD =900，∠DBC = 900 ， AD = 3，AB = 4，BC = 12，
求CD的长和四边形ABCD的面积。(3)已知： c ＝10，a＝6，求正三角形的面积.(2)已知： c ＝13，a＝5，求阴影部分面积ac345121363051312610848 小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员弄错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？58厘米46厘米74厘米∴售货员没弄错∵荧屏对角线大约为74厘米飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞机每时飞行多少千米？A4000米5000米20秒后BC
