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人教版第17章《勾股定理与数学思想》精讲精练教师版
一：知识精析
1. 直角三角形的边角关系
（1） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .
（2） 有一条直角边斜边对应相等的两个直角三角形 .
（3） 在直角三角形中，两直角边的 .等于斜边的 .
（4） 如果一个三角形两边的 .等于第三边的平方，那么，这个三角形是直角三角形
（5） 30度所对的直角边等于斜边的 .；由勾股定理可得此时三边之比为 .；同理可得含45度的直角三角形三边之比为 .
（6） 有两个内角都为 .度的三角形是等腰直角三角形
2 技巧与方法：一般情况下，在有直角情况下，研究线段与角数量及位置关系、或求面积、周长，或见直角作垂直思勾股，进行转化：通常与翻折结合考查，解决问题的策略是：等积或方程转化、数形结合、方程与分类等核心数学思想方法21教育名师原创作品
二：典题精讲
典题1：特殊角作垂直转化
（2017·十堰）如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
【解答】解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里的圆内或圆上即可，
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠BAD＝60°－30°＝30°，∠ABD＝90°－60°＝30°，∴∠ABD＝∠BAD，∴BD＝AD＝12海里，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，∴CD＝AD＝6海里，由勾股定理得：AC＝≈10．392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
典题2：双直双设元求解
在△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB于D，CD=3,BD=4,求AD长21·cn·jy·com
【解答】解：设AD=x,AC=y，则由双直角两次运用勾股定理得：相消y可解得，则AD=
典题3：位置不明需分类
如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．www.21-cn-jy.com
（1）当x=0时，折痕EF的长为______；当点E与点A重合时，折痕EF的长为______；
（2）试探索使四边形EPFD为菱形时x的取值范围，并求当x=2时，菱形EPFD的边长．
【解答】解：（1）∵纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF，当AP=x=0时，点D与点P重合，即为A，D重合，B，C重合，那么EF=AB=CD=3；21·世纪*教育网
当点E与点A重合时，∵点D与点P重合，∴∠DEF=∠FEP=45°，∴∠DFE=45°，即：ED=DF=1，利用勾股定理得出EF=，∴折痕EF的长为；2·1·c·n·j·y
故答案为：3；
（2）∵要使四边形EPFD为菱形，∴DE=EP=FP=DF，只有点E与点A重合时，EF最长为
，此时x=1，
当EF最短时，即EF=BC，此时x=3，∴1≤x≤3
当x=2时，如图，连接DE、PF．∵EF是折痕，∴DE=PE，设PE=m，则AE=2-m，∵在△ADE中，∠DAE=90°，∴AD2+AE2=DE2，即12+（2-m）2=m2解得m=
，此时菱形EPFD的边长为．
典题4：特殊数值与对角互补
两个不同的三角纸板ACD和BAC中，己知∠BCD=x° ,∠BAD=y°,CB=CD，重合AC边放置，如图，当B,D位于AC异侧时，分别画出以下情形所对应的示意图，并解决相关问题
（1）己知∠BCD==∠BAD=90°,CB=CD,求证:AB+AD=AC
（2）己知∠BCD=120°,∠BAD=60°,CB=CD,求证:AB+AD=AC
（3）当B,D位于AC同侧放置时，且∠BCD＝∠BAD=90°,CB=CD,求证:AB－AD=AC
【解答】解：图略
(1)延长AB到E，使BE=AD,可得△CBE≌△CDA，证得△ACE为等腰直角三角形；AB+AD=AE=AC21教育网
或者过C作AB的垂线全等转化同样可证
(2)证明：在AB的延长线上截取BE=AD，连接EC，∵∠BCD+∠BAD=120°+60°=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠EBC=180°，∴∠ADC=∠EBC，在△ADC和△EBC中，AD=BE，∠ADC=∠EBC，CD=CB，∴△ADC≌△EBC（SAS），∴AC=EC，∠DAC=∠E，
∴∠CAB=∠E，∴∠DAC=∠CAB=30°，过点C作CF⊥AE于F，则AF=EF=AE（三线合一），∵∠CAF=30°，∴CF=AC，AF=AC，∴AE=2AF=AC，∵AE=AB+BE=AB+AD，
∴AB+AD=AC
（3）在AB上截取BE=AD，得可得△CBE≌△CDA，证得△ACE为等腰直角三角形，AB－AD=AE=AC2-1-c-n-j-y
典题5：新定义下的数形结合
（2017·泰州）阅读理解：
如图①，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段PA1最短，则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离．21*cnjy*com
例如：图②中，线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离；线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离．
解决问题：
如图③，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（8，4），（12，7），点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）当t=4时，求点P到线段AB的距离；
（2）t为何值时，点P到线段AB的距离为5？
（3）t满足什么条件时，点P到线段AB的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）（八年级学生不必完成此小问）21cnjy.com
【解答】解：（1）如图1，作AC⊥x轴于点C，则AC=4、OC=8，当t=4时，OP=4，∴PC=4，
∴点P到线段AB的距离PA=；
（2）如图2，过点B作BD∥x轴，交y轴于点E，
①当点P位于AC左侧时，∵AC=4、PA=5，∴PC=，∴OP=5，即t=5；
②当点P位于AC右侧时，过点A作AP⊥AB，交x轴于点P，∴∠CAP+∠EAB=90°，∵BD∥x轴、AC⊥x轴，∴CE⊥BD，∴∠ACP=∠BEA=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠PAC，在△ACP和△BEA中，∴△ACP≌△BEA（ASA），
∴AP=BA=，而此时PC=AE=3，∴OP=11，即t=11；
综上所述，t=5或 t=11时，点P到线段AB的距离为5
（3）作出如图3的辅助线框矩形，利用相似及分类，结合勾股定理即可求出
典题6：数学文化与勾股
(2017·宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
【解答】解：当n＝1，a＝(m2﹣1)①，b＝m②，c＝(m2＋1)③，∵直角三角形有一边长为5，21*cnjy*com
情形一、当a＝5时，(m2﹣1)＝5，解得：m＝±(舍去)，
情形二、当b＝5时，即m＝5，代入①③得，a＝12，c＝13，
情形三：当c＝5时，(m2＋1)＝5，解得：m＝±3，
∵m＞0，∴m＝3，代入①②得，a＝4，b＝3，
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．
3、自我精练（时限120分钟，满分120分）
4、
一、单选题（共10题，每题3分；共30分）
1. （2017·温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．12S B．10S C．9S D．8S
2（2017·大连）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（ ）【版权所有：21教育】
A．2a B．2a C．3a D．
3. （2017·无锡）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）
A．2 B． C． D．
4 （2017·十堰）如图，已知圆柱的底面直径BC＝，高AB＝3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2017·襄阳）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2017·荆州）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2－6＝(10－x)2 B．x2－62＝(10－x)2
C．x2＋6＝(10－x)2 D．x2＋62＝(10－x)2
7. （2017·玉林）如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（ ）
A．15海里 B．30海里 C．45海里 D．30海里
8（2017·西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
9. （2017·绍兴）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
10. （2017·黄石）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE=，则∠CDE＋∠ACD=（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．60° B．75° C．90° D．105°
二、填空题（每题3分，共15分）
11. （2017·娄底）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是 .
12 （2017·大庆）如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为 .
13. （2017·益阳）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= ．
14.（2017·泰安）如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为 ．
15．(2017·咸宁)如图，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：【出处：21教育名师】
①若C、O两点关于AB对称，则OA＝2；
②C、O两点距离的最大值为4；
③若AB平分CO，则AB⊥CO；
④斜边AB的中点D运动路径的长为；
其中正确的是 (把你认为正确结论的序号都填上)．
三、解答题（其9小题，其中第16-17题每题6分，第18－19每题7分，第20－21每题8分，第22题10分，第23题11分，第24题12分，共75分）
16在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=60°，∠C=45°,AC＝2，求BD长
17（2017·黄冈）已知：如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，求线段B1D的长度．21世纪教育网版权所有
18．(2017·乐山)点A、B、C在格点图中的位置如图5所示，格点小正方形的边长为1，求点C到线段AB所在直线的距离．
19．(2017·黑龙江)如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，求AM的长．
20 （2017·娄底）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF=90°，若ED的长为m，求△BEF的周长是 （用含m的代数式表示）
21 （2017江苏镇江，24，6分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．
（1）点Q的速度为 cm/s（用含x的代数式表示）．
（2）求点P原来的速度．
22. (2017·北京)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点(与点B、C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．
(1)若∠PAC=α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)．
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．
23 图1、2是两个对应边长之比都为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．
（1）图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4，①求证：DE=DF．②求证：；
（2）在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜和CD延长线分别与交于点，如图5，证明结论：仍成立．
24 （2017·威海）如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D1的位置，设DP＝x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y．
（1）当x为何值时，直线AD1过点C？
（2）当x为何值时，直线AD1过BC的中点E？
（3）求出y与x的函数表达式．
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人教版第17章《勾股定理与数学思想》精讲精练教师版
一：知识精析
1. 直角三角形的边角关系
（1） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2） 有一条直角边斜边对应相等的两个直角三角形全等
（3） 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
（4） 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么，这个三角形是直角三角形
（5） 30度所对的直角边等于斜边的一半；由勾股定理可得此时三边之比为1：：2；同理可得含45度的直角三角形三边之比为1：1：
（6） 有两个内角都为45度的三角形是等腰直角三角形
2 技巧与方法：一般情况下，在有直角情况下，研究线段与角数量及位置关系、或求面积、周长，或见直角作垂直思勾股，进行转化：通常与翻折结合考查，解决问题的策略是：等积或方程转化、数形结合、方程与分类等核心数学思想方法
二：典题精讲：
典题1：特殊角作垂直转化
（2017·十堰）如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
【解答】解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里的圆内或圆上即可，
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠BAD＝60°－30°＝30°，∠ABD＝90°－60°＝30°，∴∠ABD＝∠BAD，∴BD＝AD＝12海里，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，∴CD＝AD＝6海里，由勾股定理得：AC＝≈10．392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
典题2：双直双设元求解
在△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB于D，CD=3,BD=4,求AD长
【解答】解：设AD=x,AC=y，则由双直角两次运用勾股定理得：相消y可解得，则AD=
典题3：位置不明需分类
如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．
（1）当x=0时，折痕EF的长为______；当点E与点A重合时，折痕EF的长为______；
（2）试探索使四边形EPFD为菱形时x的取值范围，并求当x=2时，菱形EPFD的边长．
【解答】解：（1）∵纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF，当AP=x=0时，点D与点P重合，即为A，D重合，B，C重合，那么EF=AB=CD=3；
当点E与点A重合时，∵点D与点P重合，∴∠DEF=∠FEP=45°，∴∠DFE=45°，即：ED=DF=1，利用勾股定理得出EF=，∴折痕EF的长为；
故答案为：3；
（2）∵要使四边形EPFD为菱形，∴DE=EP=FP=DF，只有点E与点A重合时，EF最长为
，此时x=1，
当EF最短时，即EF=BC，此时x=3，∴1≤x≤3
当x=2时，如图，连接DE、PF．∵EF是折痕，∴DE=PE，设PE=m，则AE=2-m，∵在△ADE中，∠DAE=90°，∴AD2+AE2=DE2，即12+（2-m）2=m2解得m=
，此时菱形EPFD的边长为．
典题4：特殊数值对角互补
两个不同的三角纸板ACD和BAC中，己知∠BCD=x° ,∠BAD=y°,CB=CD，重合AC边放置，如图，当B,D位于AC异侧时，分别画出以下情形所对应的示意图，并解决相关问题
（1）己知∠BCD==∠BAD=90°,CB=CD,求证:AB+AD=AC
（2）己知∠BCD=120°,∠BAD=60°,CB=CD,求证:AB+AD=AC
（3）当B,D位于AC同侧放置时，且∠BCD＝∠BAD=90°,CB=CD,求证:AB－AD=AC
【解答】解：图略
(1)延长AB到E，使BE=AD,可得△CBE≌△CDA，证得△ACE为等腰直角三角形；AB+AD=AE=AC
或者过C作AB的垂线全等转化同样可证
(2)证明：在AB的延长线上截取BE=AD，连接EC，∵∠BCD+∠BAD=120°+60°=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠EBC=180°，∴∠ADC=∠EBC，在△ADC和△EBC中，AD=BE，∠ADC=∠EBC，CD=CB，∴△ADC≌△EBC（SAS），∴AC=EC，∠DAC=∠E，
∴∠CAB=∠E，∴∠DAC=∠CAB=30°，过点C作CF⊥AE于F，则AF=EF=AE（三线合一），∵∠CAF=30°，∴CF=AC，AF=AC，∴AE=2AF=AC，∵AE=AB+BE=AB+AD，
∴AB+AD=AC
（3）在AB上截取BE=AD，得可得△CBE≌△CDA，证得△ACE为等腰直角三角形，AB－AD=AE=AC
典题5：新定义下的数形结合
（2017·泰州）阅读理解：
如图①，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段PA1最短，则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离．
例如：图②中，线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离；线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离．
解决问题：
如图③，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（8，4），（12，7），点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒．
（1）当t=4时，求点P到线段AB的距离；
（2）t为何值时，点P到线段AB的距离为5？
（3）t满足什么条件时，点P到线段AB的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）（八年级学生不必完成此小问）
【解答】解：（1）如图1，作AC⊥x轴于点C，则AC=4、OC=8，当t=4时，OP=4，∴PC=4，
∴点P到线段AB的距离PA=；
（2）如图2，过点B作BD∥x轴，交y轴于点E，
①当点P位于AC左侧时，∵AC=4、PA=5，∴PC=，∴OP=5，即t=5；
②当点P位于AC右侧时，过点A作AP⊥AB，交x轴于点P，∴∠CAP+∠EAB=90°，∵BD∥x轴、AC⊥x轴，∴CE⊥BD，∴∠ACP=∠BEA=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠PAC，在△ACP和△BEA中，∴△ACP≌△BEA（ASA），
∴AP=BA=，而此时PC=AE=3，∴OP=11，即t=11；
综上所述，t=5或 t=11时，点P到线段AB的距离为5
（3）作出如图3的辅助线框矩形，利用相似及分类，结合勾股定理即可求出
典题6：数学文化与勾股
(2017·宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
【解答】解：当n＝1，a＝(m2﹣1)①，b＝m②，c＝(m2＋1)③，∵直角三角形有一边长为5，
情形一、当a＝5时，(m2﹣1)＝5，解得：m＝±(舍去)，
情形二、当b＝5时，即m＝5，代入①③得，a＝12，c＝13，
情形三：当c＝5时，(m2＋1)＝5，解得：m＝±3，
∵m＞0，∴m＝3，代入①②得，a＝4，b＝3，
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．
三：自我精练（时限120分钟，满分120分）
1、 单选题（共10题，每题3分；共30分）
1. （2017·温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．12S B．10S C．9S D．8S
【解答】解：C．
2（2017·大连）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（ ）
A．2a B．2a C．3a D．
【解答】解： B．
3. （2017·无锡）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：D．提示：两次等积转化：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，∴BC＝，∵CD＝DB，∴AD＝DC＝DB＝，∵ BC AH＝ AB AC，∴AH＝，∵AE＝AB，DE＝DB＝DC，∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，∵ AD BO＝ BD AH，∴OB＝，∴BE＝2OB＝，在Rt△BCE中，EC＝，故选D．
4 （2017·十堰）如图，已知圆柱的底面直径BC＝，高AB＝3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：D．
5．（2017·襄阳）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：C．
6．（2017·荆州）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2－6＝(10－x)2 B．x2－62＝(10－x)2
C．x2＋6＝(10－x)2 D．x2＋62＝(10－x)2
【解答】解：D．
7. （2017·玉林）如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（ ）
A．15海里 B．30海里 C．45海里 D．30海里
【解答】解： B．
8（2017·西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【解答】解：D．
9. （2017·绍兴）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
【解答】解： C．
10. （2017·黄石）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE=，则∠CDE＋∠ACD=（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
【解答】解：C．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. （2017·娄底）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是 .
【解答】解：（8，0）
12 （2017·大庆）如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为 .
【解答】解：15°
13. （2017·益阳）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= ．
【解答】解：6.5．
14.（2017·泰安）如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为 ．
【解答】解：．
15．(2017·咸宁)如图，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：
①若C、O两点关于AB对称，则OA＝2；
②C、O两点距离的最大值为4；
③若AB平分CO，则AB⊥CO；
④斜边AB的中点D运动路径的长为；
其中正确的是 (把你认为正确结论的序号都填上)．
【解答】解：①②③．
三、解答题（其9小题，其中第16-17题每题6分，第18－19每题7分，第20－21每题8分，第22题10分，第23题11分，第24题12分，共75分）
16在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=60°，∠C=45°,AC＝2，求BD长
【解答】解：利用勾股定理设K法转化为方程，
可求得AD=
17（2017·黄冈）已知：如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，求线段B1D的长度．
【解答】解：∵在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm，∴AB＝＝5cm，
∵点D为AB的中点，∴OD＝AB＝2.5cm．∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1＝OB＝4cm，∴B1D＝OB1－OD＝1.5cm．
18．(2017·乐山)点A、B、C在格点图中的位置如图5所示，格点小正方形的边长为1，求点C到线段AB所在直线的距离．
【解答】解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，
∵S△ABC=3×3－×2×1－×2×1－×3×3－1=9－1－1－－1=，AB==，
∴×h=，∴h=．
19．(2017·黑龙江)如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，求AM的长．
【解答】解：如图1，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OB=4，
又∵∠AOC=∠BOM=60°，∴△BOM是等边三角形，∴BM=BO=4，∴Rt△ABM中，AM==4；
如图2，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OA=4，又∵∠AOC=60°，∴△AOM是等边三角形，∴AM=AO=4；
如图3，当∠ABM=90°时，∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，∴MO=2BO=2×4=8，
∴Rt△BOM中，BM==4，∴Rt△ABM中，AM== 4，
综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4．
20 （2017·娄底）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF=90°，若ED的长为m，求△BEF的周长是 （用含m的代数式表示）
【解答】解：如图，连接BD，在等腰Rt△ABC中，点D是AC的中点，∴BD⊥AC，
∴BD=AD=CD，∠DBC=∠A=45°，∠ADB=90°，∵∠EDF=90°，∴∠ADE=∠BDF，
在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE=BF，DE=DF，
在Rt△DEF中，DF=DE=m．∴EF=DE=m，
∴△BEF的周长为BE+BF+EF=BE+AE+EF=AB+EF=2+m，
21 （2017江苏镇江，24，6分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．
（1）点Q的速度为 x cm/s（用含x的代数式表示）．
（2）求点P原来的速度．
【解答】解：（1）设点Q的速度为ycm/s，由题意得3÷x=4÷y，∴y=x，
故答案为：x；
（2）AC===5，CD=5﹣1=4，在B点处首次相遇后，点P的运动速度为（x+2）cm/s，由题意得=，解得：x=（cm/s），
答：点P原来的速度为cm/s．
22. (2017·北京)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点(与点B、C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．
(1)若∠PAC=α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)．
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．
【解答】解：(1)∠AMQ=45°+α；理由如下：∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；
(2)PQ=MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ=CP，
∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，
在△APC和△QME中，，∴△APC≌△QME(AAS)，∴PC=ME，
∴△AEB是等腰直角三角形，∴PQ=MB，∴PQ=MB．
23 图1、2是两个对应边长之比都为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．
（1）图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4，①求证：DE=DF．②求证：；
（2）在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜和CD延长线分别与交于点，如图5，证明结论：仍成立．
【解答】解： （1）①证明：如右图4，连接CD， ∵图1、2是两个对应边长均为为1：
的等腰直角三角形，∴放置后小直角三角形的斜边正好是大直角三角形的直角边，∴D为AB中点，CD⊥AB，∵∠ACB=90°，∴CD=AD=BD，∴∠4=∠A=45°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△CDF和△ADE中∠1=∠3、AD=CD、∠4=∠A∴△CDF≌△ADE，∴DE=DF．
②证明：∵由①知△CDF≌△ADE，∴CF=AE，与①证明△CDF≌△ADE类似可证△CED≌△BFD，得出CE=BF，∵在△CEF中，，∴．
（2）证明：把△CFB绕点C顺时针旋转90°得到△CGA，如右图5，连接GE， ∵根据旋转得出：CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，∴∠GAE=90°，∵∠3=45°，∴∠2+∠4=90°-45°=45°，∴∠1+∠2=45°，∵在△CGE和△CFE中CE=CE, ∠GCE=∠FCE, CG=CF
∴△CGE≌△CFE，∴GE=EF，∵在Rt△AGE中，，∴．
24 （2017·威海）如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D1的位置，设DP＝x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y．
（1）当x为何值时，直线AD1过点C？
（2）当x为何值时，直线AD1过BC的中点E？
（3）求出y与x的函数表达式．
【解答】解：如图1，∵由题意得：△ADP≌△AD1P，∴AD＝AD1＝2，PD＝PD1＝x，∠D＝∠AD1P＝90°，∵直线AD1过C，∴PD1⊥AC，在Rt△ABC中，AC＝＝，CD1＝－2，在Rt△PCD1中，PC2＝PD12+CD12，即(3－x) 2＝x2+(－2) 2，解得：x＝，
∴当x＝时，直线AD1过点C；
（2）如图2，连接PE，∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝1，在Rt△ABE中，AE＝＝，∵AD1＝AD＝2，PD＝PD1＝x，∴D1E＝－2，PC＝3－x，
在Rt△PD1E和Rt△PCE中，x2+(－2) 2＝(3﹣x) 2＋12，解得：x＝，∴当x＝时，直线AD1过BC的中点E；
（3）如图3，当0＜x≤2时，y＝x，如图4，
当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AF＝PF，作PG⊥AB于G，设PF＝AF＝a，由题意得：AG＝DP＝x，FG＝x－a，在Rt△PFG中，由勾股定理得：(x－a) 2＋22＝a2，解得：a＝，所以y＝×2×＝，
综合上述，当0＜x≤2时，y＝x；当2＜x≤3时，y＝．
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