北京课改版六年级上册数学提升-爬坡试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 北京课改版六年级上册数学提升-爬坡试题（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1009.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北京版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-03-12 13:22:26 | ||
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文档简介
北京课改版6数上-爬坡题
第一单元 分数乘法
【例1】挂钟几时就敲几下，半时敲一下，凌晨4时挂钟2秒敲完，早上7时挂钟几秒敲完?
解析：凌晨4时挂钟敲4下，这4下之间有3个间隔，用时2秒，即每相邻两下之间的时间间隔是秒，早上7时挂钟敲7下，这7下之间有6个间隔，也就是6个秒。
解答： 2÷(4一1)＝(秒)
7一1＝6 ×6＝4(秒)
答：早上7时挂钟4秒敲完。
【例2】瓶子中装有一种孢子，每小时分裂一次，每分裂一次体积增大一倍。如果最初孢子的体积占瓶子的，那么3小时后，孢子的体积占瓶子的几分之几?
解析：孢子每小时分裂一次，每分裂一次体积增大一倍，也就是说孢子每经过一小时体积就扩大到原来的2倍，可以列表表示出孢子每次分裂后的体积扩大到最初孢子体积的倍数的情况，如下表：
时间
1小时后
2小时后
3小时后
扩大到最初孢子体积的倍数
2
2×2
2×2×2
求3小时后孢子的体积占瓶子的几分之几，就是求的(2×2×2)倍是多少，用乘法计算。
解答：2×2×2＝8 ×8=
答：孢子的体积占瓶子的。
【例3】□里最小应填自然数几?
×2> ×9>
思路分析 先将分数乘整数的算式写成整数和分子相乘作分子的形式，再根据“>”左右两边分数分母的大小关系来判断□里最小应填自然几。如×2=>，26＜27，当分子是12时，才大于，推出□里最大应填6。
正确解答
×2> ×9>
【例4】两根相同的长3米的绳子，第一根剪去，第二根剪去米，哪根绳子剪去的多?
解析：此题是对求一个数的几分之几是多少的解题方法的全面考查。第一根绳子剪去的是3米的，也就是3×＝1(米)，第二根绳子剪去米，1米＞米，因此第一根绳子剪去的多。我们还可以这样思考：第一根绳子剪去的是3米的，第二根绳子剪去的是米，相当于1米的，3米＞1米，因此第一根绳子剪去的多。
解答： 第一根绳子剪去的多
【例5】先计算，再比较每道算式中因数与积的大小，从中你能发现什么规律?
24×＝ 24×1＝ 24×＝ 24×＝
解析：先计算出每道算式的结果，再比较积与因数的大小，从中找出规律。
24×＝12 24×1＝24 24×＝32 24×＝6
<1 1＝1 >1 <1
12＜24 24＝24 32＞24 6＜24
解答： 24×＝12 24×1＝24
24×＝32 24×＝6
【例6】有两袋面粉，甲袋面粉的质量是30千克，乙袋面粉的质量是甲袋的，要使两袋面粉同样重，应从甲袋中取出多少千克面粉放人乙袋?
解析： 观察示意图可知，乙袋面粉的质量是甲袋的，则乙袋
面粉的质量是30×＝25(千克)，甲袋比乙袋多30－25＝5(千
克)，因为要从甲袋取出一部分放入乙袋，并使两袋一样重，所
以取出的是它们质量差的一半。
解答： 30×＝25(千克) 30－25＝5(千克)
5×＝2.5(千克) 答：应从甲袋中取出2．5千克面粉放人乙袋。
【例7】甲数是乙数的，丙数是甲数的，丙数是乙数的几分之几?
解析：“甲数是乙数的”是把乙数看作单位“1”，把乙数平均分成5份，甲数是这样的2份，如图一。“丙数是甲数的”是把甲数看作单位“1”，把甲数平均分成4份，丙数是这样的1份，如图二。由此可以看出丙数是乙数的的。
图一 图二
解答： ×＝ 答：丙数是乙数的。
第二单元 分数除法
【例1】 小丽在计算一道除法算式时，把除以6按照乘6去计算了，结果得。正确的结果应该是多少?
解析：此题是对分数除以整数的计算方法的全面考查。一个数乘6，结果是，可以逆推，用除以6，求得这个数，也就是除法算式的被除数，然后用被除数除以6，求得正确的答案。一定注意解答此类题时，可以采用逆推法，先从错误的结果入手，分析错误的原因，再利用积、商的变化得到正确的算式，然后求出正确的结果。
解答：÷6＝×＝ ÷6＝×＝ 答：正确的结果应该是。
【例2】小敏看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了91页。这本书一共有多少页?
解析：由题意可知，两个分数对应的单位“1”的量均是全书的总页数。题中的数量关系可以用线段图表示如下：
这本书一共有?页
根据线段图可以得出等量关系式：第一天看的页数十第二天看的页数＝两天一共看的页数。根据等量关系式列方程解答。
解答：设这本书一共有χ页。
χ十χ＝91
χ＝91
χ＝140 答：这本书一共有140页。
【例3】简算：×＋×。
解析：这个算式可以看成两组算式相加，每组算式中的每个因数都不相同，但两组算式中分数的分母都相同，分子中都有9，根据乘法的性质和乘法交换律在两组算式中转化出一个相同的因数，然后根据乘法分配律简算。根据上面的思路转化算式。
两个分数的分子调换位置 两个分数的分母调换位置
×＝＝＝×或×＝＝×
×和×都与×有相同的因数。
同样也可以调换×中分数的分子或分母的位置，使调换后的算式与 ×有相同的因数。
解答： ×＋× ×＋×
＝×＋× ＝×十×
＝×(＋) ＝(十)×
＝× ＝×
＝ ＝
【例4】 计算：22÷。
解析： 通过观察发现，除数是一个带分数，它的整数部分和分数部分的分子都和被除数相同，都是22，所以可以利用商不变的规律进行转化，使计算简便。
正确解答 22÷＝(22÷22)÷(÷22)＝1÷＝
【例5】晶晶文化用品商店购进一批日记本，第一周售出的本数比总数的一半还多12本，结果剩下36本，这批日记本一共有多少本?
解析： 画图分析题意，如图所示：
从图中可以看出，用剩下的本数加上12本正好是总数的一半。
解答： 12＋36＝48(本) 48÷＝96(本) 答：这批日记本一共有96本。
第三单元 百分数
【例1】下列哪些分数可以用百分数表示?
(1)预计到2050年，我国60岁及60岁以上的老年人口约占总人口的。
(2)1袋盐的质量是kg。
空气中的氧气含量约占。
解析：因为百分数表示两个数量之间的倍比关系。所以：
表示我国60岁及60岁以上的老年人口与我国
人口总数之间的倍比关系，能用百分数表示。
kg表示l袋盐的质量，不能用百分数表示。
表示氧气含量与空气总量之间的倍比关系，能用百分数表示。
解答：（1）和(3)中的分数，可以用百分数表示。
【例2】有甲、乙两杯糖水，甲杯糖水为100克，含糖20克；乙杯糖水为300克，含糖42克，哪杯糖水更甜些?
解析：要知道哪杯糖水更甜些，就要比较那杯水的20÷100＝，42÷300＝，把都化成分母是100的分数进行比较。＝ 因为＞，所以＞。由此得出：甲杯糖水更甜些。
解答：甲杯糖水更甜些。
【例3】 实验一小的优秀教师人数占全校教师人数的10％，实验二小的优秀教师人数占全校教师人数的15％。哪个学校的优秀教师人数多?
解析：假设两个学校的教师人数都是100人，那么实验一小有10人是优秀教师，实验二小有15人是优秀教师，所以实验二小的优秀教师人数多。假设实验一小有教师200人，实验二小有教师100人，那么实验一小有20人是优秀教师，实验二小有15人是优秀教师，所以实验一小的优秀教师人数多。同理，还有两个学校优秀教师人数相等的可能。
解答 在没有具体给出两个学校的教师总人数时，无法判断哪个学校的优秀教师人数多，哪个学校的优秀教师人数少。
【例4】全世界胡杨的90％在中国，中国胡杨的90％在新疆，新疆胡杨的90％在塔里木。塔里木的胡杨占全世界胡杨的百分之几?
解析：根据题意画图如下：
从图中可知：塔里木的胡杨占全世界胡杨的90％×90％×90％。
解答： 90％×90％×90％＝0.729＝72.9％
答：塔里木的胡杨占全世界胡杨的72.9％。
【例5】在0.85、85.1％、、和l.85这五个数中，最大的数是多少?最小的数是多少?
解析：把题中要比较的几个数分成大、小两组，先在各组中找出最大或最小的数，再采用大中取大或小中取小的方法筛选，最后找出这五个数中最大和最小的数。
解答： 在这五个数中，0.85＜85.1％＜，＜1.85。因为第一组数均比1小，第二组数均比l大，所以第一组数均小于第二组数。因此，最大的数是1.85，最小的数是0.85。
【例6】一个百分数，把百分号去掉，就比原来增加49.5，这个百分数是多少?
解答：一个百分数去掉百分号后，就扩大到原来的100倍。若设这个百分数是χ，则变化后的数就是100χ，根据数量关系式：变化后的数一原数＝49.5，列方程解答。
解答 解：设这个百分数是χ。
100χ—χ＝49.5
99χ＝49.5
χ＝0.5
χ＝50％
答：这个百分数是50％。
【例7】一个分数，分子加l后，能变成75％；分子减1后，能变成50％。这个分数是多少?
解析： 先将题中的百分数转化成分数，然后假设这个分数是(m是不为零的自然数，n是大于1的自然数)，分子加1就是，分子减1就是，和相加所得的和是原分数的2倍，用这两个分数相加所得的和除以2就能得到原分数。
解答： 75％＝ 50％＝
(十)÷2＝
答这个分数是。
总结 如果一个分数的分子加工1与减去1后各变成一个新分数，那么这两个新分数的和除以2就是原分数。
【例8】 李叔叔和张叔叔都是集邮爱好者，李叔叔的邮票张数是张叔叔的倍，李叔叔的邮票张数比张叔叔多百分之几?
解析：根据“李叔叔的邮票张数是张叔叔的倍”这个条件，通过转化可以得出：李叔叔的邮票张数＝张叔叔的邮票张数X，也就是说把张叔叔的邮票张数平均分成4份，李叔叔有这样的7份，这样就可以用份数表示他们两人邮票数量的多少，从而解决问题。
解答 (7—4)÷4＝75％
答：李叔叔的邮票张数比张叔叔多75％。
【例9】六年级(1)班有16％的同学在操场上做游戏，参加兴趣活动的人数是操场上做游戏人数的3倍，其余的同学在图书室看书。在图书室看书的人数占全班人数的百分比是多少?
解析：题中没有给出六年级(1)班的具体人数，可以设一个具体数来解答。设全班有100人，有100×16％＝16(人)在操场上做游戏，有16×3＝48(人)参加兴趣活动，在图书室看书的人数有100－16－48＝36(人)，36人占100人的36％。
解答：设全班有100人。
做游戏：100×16％＝16(人)
参加兴趣活动：16×3＝48(人)
在图书室看书：100－16－48＝36(人)
36÷100＝36％
答：在图书室看书的人数占全班人数的36％。
第四单元 解决问题
【例1】一台笔记本电脑4000元，先提价，再降价出售。现价是多少元？
解析：先求出商品提价后的价钱，再在此基础上求出商品降价后的价钱，然后与原价比较，判断价钱的变化。根据求比一个数多几分之几的数是多少的问题的解法，可知提价后的价钱为4000×(1十)＝4400(元)，现价是在4400元的基础上降价，现在的价钱是4400×(1一)＝3960(元)。
解答：4000×(1十)＝4400(元) 4400×(1一)＝3960(元) 答：现价是3960元。
【例2】乐天影院放映一部电影，原来电影票20元一张，降价后观众增加了一倍，收入增加了。现在电影票多少钱一张?
解析： 题中没有给出观众的数量，可以设看电影的人数为一个具体的数，计算出电影院的收入，再求出每张电影票的钱数。可以设降
价前有10人看电影，则收入为10×20＝200(元)。降价
后观众增加一倍，即20人，根据收入增加求出降价
后的收入，用降价后的收入除以20就能求出现在每张
电影票的价钱。
解答：设降价前有10人看电影。
20×10×(1＋)＝240(元) 240÷(2×10)＝12(元)
答：现在电影票12元一张。
【例3】小玉和小月到文化用品商店各买了一支钢笔，都花了19.8元。商店老板说这两支钢
笔一支盈利10％，另一支亏损10％。小玉说老板正好不赚不赔，小玉说得对吗?
解析：要想判断小玉说得对不对，就要将两支钢笔的成本价和卖出价进行比较。一支钢笔盈利10％，是指比成本价多10％；一支钢笔亏损10％，是指比成本价少10％。第一支钢笔的卖出价是成本价的(1＋10％)，
第二支钢笔的卖出价是成本价的(1－10％)，可先求
出成本价，再和卖出价进行比较。
解答： 19.8÷(1＋10％) 19.8÷（1－10％)
＝19.8÷1．1 ＝19.8÷90％
＝18(元) ＝22(元)
19.8×2＝39．6(元) 18＋22＝40(元)
39.6<40，卖出价低于成本价，老板赔钱，所以小玉说得不对。
【例4】甲数比乙数多25％，乙数比甲数少百分之几?
解析： 思路一：甲数比乙数多25％，应把乙数看作单位“1”，甲数是乙数的1+25％＝1十＝，即把单位“1”平均分成4份，甲数有这样的5份。求乙数比甲数少百分之几，用乙数比甲数少的份数除以甲数的份数即可。
思路二：甲数比乙数多25％，应把乙数看作单位“1”，甲数比乙数多25％，甲数可以用“1+25％”来表示。求乙数比甲数少百分之几，是把甲数看作单位“1”，用甲、乙两数的相差部分25％除以甲数即可求得乙数比甲数少百分之几。
解答： 方法一 1+25％＝l十＝
(5—4)÷5＝20％
方法二 25％÷(1+25％)＝20％
答：乙数比甲数少20％。
【例5】“十一”期间，A、B两家旅行社推出“家庭游”优惠活动，两家旅行社原
来的标价相同，优惠方案如下：
A旅行社：成人全价，儿童半价。
B旅行社：成人、儿童一律降价15％。
(1)童童和爸爸、妈妈一家三口去旅游，选择哪家旅行社比较便宜?
(2)乐乐一家三口、贝贝一家四口共7个人(5个大人、2个小孩)去旅游，选择哪家旅
行社比较便宜?
解析： 要想知道选择哪家旅行社比较便宜，应看在哪家旅行社花钱少。两家旅行社原来的标价相同，在计算时可以先设两家旅行社原来的标价都是a(a>0)元，再分别计算出两家旅行社优惠后两组家庭应花的钱数，最后比较大小。
解答 设两家旅行社原来的标价都是。(a>0)元。
(1)A旅行社：2a＋50％a＝2.5a
B旅行社：a×(1－15％)×3＝2.55a
2.5a<2.55a，童童一家选择A旅行社比较便宜。
(2)A旅行社：5a＋a×50％×2＝6a
B旅行社：a×7×(1－15％)＝5.95a
6a>5.95a，乐乐、贝贝两家选择B旅行社比较便宜。
【例6】李叔叔和张叔叔都是集邮爱好者，李叔叔的邮票数是张叔叔的，李叔叔的邮票数比张叔叔的邮票数多百分之几?
解析：根据“李叔叔的邮票数是张叔叔的”这个条件可以得出：李叔叔的邮票数＝张叔叔的邮票数X，也就是说把张叔叔的邮票数平均分成4份，李叔叔有这样的7份，这样就可以用份数表示他们两人邮票数量的多少，从而解决问题。
解答： (7—4)÷4＝75％
答：李叔叔的邮票数比张叔叔的邮票数多75％。
【例7】一种电冰箱，每台提价10％后，又降价10％，现在每台电冰箱的价钱是原价的百分之几?
解析： 电冰箱的原价未知，可以用设数法设一个具体数来解答。假设每台电冰箱的原价是1，根据原价和变化幅度，先求出每台电冰箱提价后的价钱，再求出每台电冰箱降价后的价钱，最后求出现在每台电冰箱的价钱是原价的百分之几。
解答 设每台电冰箱的原价是l。
1×(1＋10％)×(1－10％)＝0.99
0.99÷1＝99％
答：现在每台电冰箱的价钱是原价的99％。
【例8】有两个装有同样多货物的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运货物。中途
丙转去帮乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮甲、乙各搬了多长时间?
解析： 把搬运一个仓库里的货物的工作量看作”1”，从整体看，相当于3个人共同完成工作量“2”。无论丙帮甲，还是丙帮乙，3个人同时工作的时间相等，根据两个仓库最后同时搬完，求出3个人的工作时间。丙帮甲搬运的时间等于丙帮甲搬运的工作量除以丙的工作效率，丙帮乙搬运的时间等于丙帮乙搬运的工作量除以丙的工作效率。
解答：三个人同时搬运：2÷(＋＋)＝8(时)
丙帮甲搬了：(1一×8)÷＝3(时)
丙帮乙搬了：(1一×9)÷＝5(时)
答：丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。
第五单元 圆
【例1】有一个圆形铁片，没有标明圆心，你能找出它的直径吗?
解析：在没有标明圆心的情况下，可以根据直径的意义去判断，直径是圆中最长的线段；或在圆外画一个外接正方形，根据圆的直径长等于这个外接正方形的边长等知识来解决。
解答： 方法不唯一。
方法一
把直尺的。刻度固定在圆形铁片边缘的任意一点上，移动直尺的另一端，量出最长的线段，就是圆形铁片的直径，如图一，图中线段AD最长，线段AD就是这个圆形铁片的直径。
图一 图二 图三 图四
方法二
把圆形铁片放在平面上，先紧贴圆形铁片边缘上的一点画一条直线AB，然后在圆形铁片的另一侧边缘上找到一个合适的点，过这点画直线AB的平行线CD，AB、CD与圆形铁片的交点分别为正、F，连接EF，线段EF就是这个圆形铁片的直径，如图二。
方法三
紧贴圆形铁片边缘在圆形铁片外画一个正
方形，正方形和圆形铁片的交点分别为A、B、C、D，
连接AC、BD。线段AC、BD都是这个圆形铁片的直
径，如图三。
方法四
在圆形铁片上任意画一条线段CD，使线
段CD两端都在圆形铁片的边缘上，然后过CD的中点画它的垂线，这条垂线与圆形铁片相交于A、B两点，线段AB就是这个圆形铁片的直径，如图四。
【例2】 如右图，已知AB＝120米，BC＝60米，从点A到点C有2条不同的路线①和②，请你判断哪条路线比较近。
解析：先分别计算出两条路线的长，再进行比较。路线①的长度是直径为AC的圆的周长的一半，路线②的长度是直径分别为AB、BC的两个圆的周长的一半的和。
解答： 路线①的长度： 路线②的长度：
3.14×(120＋60)÷2 3.14×120÷2＋3.14×60÷2
＝3.14×180÷2 ＝188.4＋94.2
＝282.6(米) ＝282.6(米)
282.6米＝282.6米
答：两条路线一样近。
【例3】下面是由三个等圆组成的平面图形。依次连接三个圆心O1、O2和O3围成一个三角形，这个三角形三个内角各是多少度?
思路分析 三个圆半径相等，圆心相连。三条线段都是由2条半径相连而成的，且长度相等。可推得这三条相等的线段所围成的三角形是等边三角形，根据等边三角形的特点可知这个三角形每个内角的度数。
解答： 每个内角都是600。
【例4】直径均为1分米的4根管子被一根金属带紧紧地捆扎在一起，如下图。求金属带的长度。(接头处忽略不计)
解析：金属带的长度可以分成两部分，一部分是4条直径的和，另一部分是4个圆的弧长的和，而4个圆的弧长的和正好等于一个圆的周长。这样就把求金属带的长度转化咸求一个圆的周长加上4条直径的长度和。如下图所示：
解答： 3.14×1＋1×4＝7.14(分米)
答：金属带的长度是7.14分米。
【例5】求下图中阴影部分的面积。(单位：cm)
解析： 把左下角的圆沿着长方形下面的长边向右平移12cm，使阴影部分转化成规则图形，如下图所示：
由此可知，求阴影部分的面积就是求边
长为12 cm的正方形的面积。
解答： 12×12＝144(cm2)
答：阴影部分的面积是144cm2。
【例7】在一个面积为5厘米2的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米?
解析：如右图所示，在正方形内画一个最大的圆，正方形的边长与
圆的直径相等，正方形边长的一半与圆的半径相等。把正方形分成
相等的4份，每个小正方形的面积正好等于半径的平方。先根据正
方形的面积求出半径的平方，再应用圆的面积计算公式
S＝πr2求出这个圆的面积。
解答：3．14×(5÷4)＝3．925(厘米2)
答：这个圆的面积是3．925厘米2。
【例8】有一个圆环，内圆半径是10厘米，外圆周长
比内圆周长多6.28厘米。求环宽。
解析： 根据已知条件可以先求出外圆周长，再求出外圆半径，外圆半径与内圆半径的差就是环宽。内圆半径已知，可求出内圆周长，内圆周长加上6.28厘米即为外圆周长，再根据圆的周长计算公式求出外圆半径。
解答：外圆周长：2×3.14×10＋6.28＝69.08(厘米)
外圆半径：69.08÷3.14÷2＝11(厘米)
环宽：11-10＝l(厘米)
答：环宽是1厘米。
【例9】 图中阴影部分的面积是100厘米2，求圆环的面积。
解析：图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面
积，而大、小正方形的边长恰好又是大、小两个圆的半径，因此可
得出R2一r2＝100厘米2。再应用圆环的面积计算公式S＝π(R2一r2)
即可求出这个圆环的面积。
解答： 3.14×100＝314(厘米2)
答：圆环的面积是314厘米2。
【例10】如右图，OA、OB分别是小半圆的直径，且OA＝OB＝6厘米，∠AOB＝900，阴影部分的面积是多少平方厘米?
解析： 图中阴影部分的形状是不规则图形，将阴影部分进行割补，使其变成规则图形，如下图所示：
由上图可知，阴影部分的面积＝大圆的面积一三角形AOB的面积。
解答： 3．14×62×—6×6×
＝28．26－18
＝10．26(厘米2)
答：阴影部分的面积是10．26厘米2。
【例11】右图是一个圆心角为45*的扇形，其中等腰
直角三角形的斜边长为6厘米，则阴影部分的面积是
多少平方厘米?
解析：看图可以发现这个阴影部分的面积可以用扇形的面积减去等腰直角三角形的面积得到。已知扇形的半径是6厘米，圆心角是450，可以求出这个扇形的面积；再根据这是一个等腰直角三角形，它的面积是一个对角线长为6厘米的正方形面积的一半，这个正方形的面积等于对角线长度的平方除以2，所以这个等腰直角三角形的面积＝6×6÷2÷2。
解答： 扇形的面积：×3.14×62＝14.13(厘米2)
等腰直角三角形的面积：6×6÷2÷2＝9(厘米2)
阴影部分的面积：14.13－9＝5.13(厘米2)
答：阴影部分的面积是5.13厘米2。
第六单元 扇形统计图
【例1】下面是六年级(1)班一次英语测验成绩的统计表。
等级
优
良
及格
待及格
人数
20
10
5
5
下列扇形统计图中，能表示六年级(1)班这次英语测验成绩的是( )。
A． B． C．
解析：要判断哪幅扇形统计图能表示六年级(1)班这次的英语测验成绩，可以先根据统计表中的数据，依次计算出每个等级的人数占全班人数的百分比，再一一排除不正确的选项。全班人数是20＋10＋5＋5＝40(人)。
⑴得优的人数占全班人数的20÷40＝50％，在扇形统计图中用半圆表示。
⑵得良的人数占全班人数的10÷40＝25％，在扇形统计图中用圆表示。
⑶及格和待及格的人绷目等，合起来是全班人数的(5＋5)÷40＝25％，在扇形统计图中把圆平均分成2份，分别表示及格和待及格的人数占全班人数的百分比。
由⑴可知：B、C选项均符合该数量关系； 由⑵可知：B选项符合该数量关系； 由⑶可知：B选项符合该数量关系。综合以上信息得出：B选项是正确答案
解答： B
【例2】东风小学六年级(2)班上学期期末数学成绩如下：得优的有14人，得良的有16人，及格的有8人，待及格的有2人。各等级的人数分别占全班人数的百分之几?请你用扇形统计图表示出来。
解析：(1)先求出全班人数，再用各等级的人数分别除以全班人数，得到每个等级的人数占全班人数的百分比；(2)求出各扇形圆心角的度数，整个圆的度数为3600，用3600乘各百分比，就可以求出各扇形圆心角的度数；(3)用圆规画一个大小适中的圆表示全班人数，在这个圆中量出计算得到的4个扇形圆心角的度数，并画出这4个扇形；(4)在各个扇形中标明各等级和所占的百分比，并用不同的颜色或底纹把各个扇形区分开，也可以用图例注明；(5)写上统计图的名称和制图日期。
解答：全班总人数：14＋16＋8＋2＝40(人)
得优的人数占全班人数的百分比：14÷40＝35％
得良的人数占全班人数的百分比：16÷40＝40％
及格的人数占全班人数的百分比：8÷40＝20％
待及格的人数占全班人数的百分比：2÷40＝5％
总复习
【例1】去年植树节，彩虹小学组织学生去植树。高年级领走了的树苗，中年级领走了剩下树苗的，低年级领走剩下树苗的。低年级领到了树苗总棵数的几分之几?
解析：此题是对分数乘分数的意义和计算方法的全面考查。运来的梨比西瓜多，应把运来的西瓜看作单位“1”。求运来的梨比西瓜多多少吨，就是求吨西瓜的是多少，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，列式为：× 计算×时，可用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。注意要求运来梨多少吨，可以西瓜的吨数加梨比西瓜多的吨数计算。
解答：×＝（吨） +＝+＝（吨）
答：运来的梨比西瓜多吨；运来梨吨。
【例2】三个不同质数的倒数之和是，这三个质数分别是多少?
解析：根据质数的性质和倒数的意义可以推出：的分母是三个质数的积，105可 以分成哪三个质数相乘的形式，这三个质数就是所求之数。
把105分解质因数，105＝3×5×7，则这三个质数分别是3、5、7。检验：＋＋＝ ＝，与已知条件相符。
解答：105＝3×5×7，这三个质数分别是3、5、7。
【例3】 计算：(＋)÷(＋)。
解析：这道题中的被除数和除数是两个算式，可以把它们分别转化成含有与的和的形式，并把与的和看作一个数来参与运算，这样可以使计算简便。
解答： (＋)÷(＋)
＝(＋)÷(＋)
＝[65×(＋)]÷[5×(＋)]
＝65÷5
=13
【例4】 下面是李明和张华两人去书店买书的情况。已知他们两家住在同一条马路上，相距1400m，书店恰好在他们两家之间，请根据下图填空。
李明和张华两人去书店买书的情况统计图
(1)李明( )从家里出发，张华( )从家里出发，他们( )同时到达书店，都在书店停留了( )分钟。
(2)( )往返的速度始终不变，平均每分钟走( )m。
(3)( )往返的速度有变化，平均每分钟走( )m。
解析： 观察上图可知：横轴表示时间，每格表示10分钟，是按时间的先后顺序排列的。纵轴表示路程，以周雪家为起点，书店在距离周雪家600 m处，李明家在距离张华家1400 m处。
李明9：00从家里出发，张华8：50从家里出发，他们9：20同时到达书店，9：50同时离开书店。
从两人各自往返路线图的形状上看，他们往返的路程分别相同，但康洋往返的时间不同，李明往返的时间相同，所以张华往返的速度有变化，张华往返的速度始终不变。
求张华的平均速度，用去时的路程除以去时的时间。求李明的平均速度，用往返的总路程除以往返的总时间和。
解答： (1)8：50 9：00 g：20 30
张华 30
(3)李明 32
【例5】 下面是用自制的皮筋秤称量物体质量的统计图。(皮筋秤所称物体的质量小于3000 g。)
⑴根据统计图填表。
质量/g
0
400
600
800
1000
1600
a(a＜3000)
伸长长度/m
1
7
⑵小美用这个皮筋秤称一本词典，皮筋长14.8cm，这本词典重多少克?
解析： 观察统计图可知，没有称量物体时皮筋长10 cm，说明皮筋的基础长度是10cm。所称物体的质量是200g时，皮筋的长度为11 cm，伸长了11—10＝l(cm)；所称物体的质量是400g时，皮筋的长度为12 cm，伸长了12一10＝2(cm)，依次类推。根据上面的规律，可以求出这本词典重多少克。
解答：
⑴
质量/g
0
200
400
600
800
1000
1400
1600
a(a＜3000)
伸长长度/m
0
1
2
3
4
5
7
8
⑵(14.8—10)×200＝960(g)
答：这本词典重960go
【例6】下面是某小学六年级学生
上网情况的调查结果。
上网查资料：55％ 上网学习：38％
上网通讯：37．5％ 上网玩游戏：42．7％
上面的调查结果能用扇形统计图表示吗?说明理由。
解析：从上面调查项目的分类来看，它反映的不是各部分数量与总数之间的关系，各项统计数据之间相互包含。例如：同一个人可能在上网查资料的55％和上网玩游戏的42．7％中被重复统计。从上面的调查结果来看，各调查项目的百分比之和大于1。因此，这个调查结果不能用扇形统计图表示。
解答：上面的调查结果不能用扇形统计图表示。因为它反映的不是各部分数量与总数之间的关系，而且各调查项目的百分比之和大于1。
【例7】实验小学六(1)班今天没有到校的人数是到校人数的。求六(1)班今天的出勤率。
解析： 此题中没有给出具体数量，可以考虑通过份数或分率来计算出勤率。
思路一 利用份数求出勤率。
⑴由“六“)班今天没有到校的人数是到校人数
的”可知，到校人数是19份，没有到校的人数是
l份，全班人数应是1＋19＝20(份)。用到校数人所
占的份数除以全班人数所占的份数，可以求出出勤率。
思路二 利用分率求出勤率。
⑵由“六(1)班今天没有到校的人数是到校人数的”可知，把到校人数看作单位“1”，则没有到校的人数是，全班人数是1＋＝。用到校人数对应的单位“1”除以全班人数所对应的分率，可以求出出勤率。
解答：方法一： 19÷(1＋19)＝0.95＝95％
方法二： l÷(1＋)＝0.95＝95％
答：六(1)班今天的出勤率是95％。
【例8】把百分数，m％(m是小于100且不为。的自然数)化成分数，且不经约分就是最简分数，分子是什么样的数?这样的分数有多少个?
解析： 把百分数m％化成分数是(m是小于100且不为0的自然数)，且揣不经约分就是最简分数，也就是说分子和分母只有公因数1。把100分解质因数为100＝2×2×5×5，因为分母100含有质因数2和5，所以分子就不能含有因数2和5，即分子个位上的数不能是0、2、4、6、8、5。由此可知，分子是小于100且个位上不足5的奇数。从1到100共有50个奇数，个位上是5的奇数有10个，即5、15、…、95。
解答 分子是小于100且个位上不是5的奇数，这样的分数有40个。
【例9】乐乐玩具店的一种遥控汽车的进价是50元，店主以65元的价格卖出。这种遥控汽车的利润率是多少?
解析： 商品的卖价也称销售价或售价；进价也就是买入价，也称商品的成本价；利润是指商品的销售价和成本价的差，销售价高于成本价，卖出这件商品后经营者就盈利，反之就亏本；利润率是指商品所获利润是成本价的百分之几。
解答： ＝0.3＝30％
答：这种遥控汽车的利润率是30％。
【例10】 甲数比乙数多25％，乙数比甲数少百分之几?
解析：甲数比乙数多25％，应把乙数看作单位“1”，甲数是乙数的1+25％＝1+＝，由此可知，把单位“1”平均分成4份，甲数有这样的5份。求乙数比甲数少百分之几，用乙数比甲数少的份数除以甲数的份数即可。
解答 1+25％＝1+＝ (5—4)÷5＝20％
答：乙数比甲数少20％。
【例11】一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要12天完成。若甲先做若干天，然后由乙继续做完，从开始到做完共用了14天。这项工程甲先做了几天?
解析： 解决此题时，可以先假设14天全由乙来做，从中找出工作总量之间的差，再
根据甲、乙两人工作效率的差计算出这项工程甲先做了几天。
解答： (×14一1)÷(一)＝5(天)
答：这项工程甲先做了5天。
【例12】妈妈购买了3年期国债，年利率是5．43％。到期后妈妈除本金外，还可以得到1629元的利息。妈妈购买了多少元的国债?
解析：求妈妈购买了多少元的国债，也就是求本金。由“利息＝本金×利率×存期”可以推出“本金＝利息÷存期÷利率”。已知利息、存期和利率，求本金，可以把已知数量代入公式求出所求问题。
解答： 1629÷3÷5．43％
＝543÷5．43％
＝10000(元)
答：妈妈购买了10000元的国债。
【例13】2013年9月1日，个人所得税起征点上调至3500元，具体纳税方法如下表：
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过1500元
3％
2
超过1500元至4500元
10％
3
超过4500元至9000元
20％
…
…
…
2016年6月宋老师的工资收人中应缴纳36元的个人所得税。宋老师该月的工资是多少元?
解析：解决此题的关键是先判断宋老师该月
工资中的应纳税所得额是否超过1500元。假
如应纳税所得额是1500元，则应缴纳1500×
3％＝45(元)的个人所得税，45＞36，由此可
以判断宋老师该月工资中的应纳税所得额不
超过1500元。先按税率3％计算出宋老师该
月工资中的应纳税所得额是多少元，再计算出宋老师该月的工资是多少元。
解答： 36÷3％＝1200(元)
3500＋1200＝4700(元)
答：宋老师该月的工资是4700元。
【例14】如下图所示，正方形的边长是8厘米，求阴影部分的面积。
方法一
解析： 如右图所示，用正方形的面积减去一个整圆的面积，即可求出空
白部分面积的一半，用正方形的面积减去空白部分的总面积，就得到阴影部
分的面积。
解答： 空白部分面积的一半：8×8—3.14×(8÷2)2＝13.76(厘米2)
阴影部分的面积：8×8—13.76×2=36.48(厘米2)
方法二
解析： 如右图所示，每2个圆合在一起的面积正好是正方形与一个
“花瓣”的面积之和，用2个圆的面积和减去正方形的面积就是一个
“花瓣”的面积，再乘4就是阴影部分的面积。
解答： 正确解答 [3.14×(8÷2)2××2—8×8×]×4＝36.48<厘米2)
方法三
解析： 如右图所示，用正方形的面积减去圆的面积就等于空白部
分的面积，用正方形的面积减去空白部分的总面积就是阴影部分的面积。
解答： 82一[8×8×一3.14×(8÷2)2×]×8＝36.48(厘米2)
答：阴影部分的面积是36.48厘米2。
【例15】 到2050年，预计世界人口总数将达到90亿。
根据上面的统计图，回答下面的问题。
(1)到2050年，亚洲人口将达到多少亿?约占世界人口的百分之多少?(百分号前保留两位小数)
(2)到2050年，欧洲人口将占世界人口的百分之多少?
(3)2050年世界人口将比1999年世界人口增加百分之多少?
解析： 题中用条形统计图、柱式扇形统计图展示了世界人口的变化和2050年各大洲的人口分布情况。从这两幅统计图中可以获取很多信息，如2050年世界人口总数，1957—2050年世界人口的变化情况，2050年世界人口在亚洲、非洲等地区的分布情况……根据获取的信息，结合百分数的知识解决问题。
解答： (1)52．68÷90≈58．53％
答：到2050年，亚洲人口将达到52．68亿，约占世界人口的58．53％。
(2)8．28÷90＝9．2％
答：到2050年，欧洲人口将占世界人口的9．2％。
(3)(90－60)÷60＝50％
答：2050年世界人口将比1999年世界人口增加50％。
第一单元 分数乘法
【例1】挂钟几时就敲几下，半时敲一下，凌晨4时挂钟2秒敲完，早上7时挂钟几秒敲完?
解析：凌晨4时挂钟敲4下，这4下之间有3个间隔，用时2秒，即每相邻两下之间的时间间隔是秒，早上7时挂钟敲7下，这7下之间有6个间隔，也就是6个秒。
解答： 2÷(4一1)＝(秒)
7一1＝6 ×6＝4(秒)
答：早上7时挂钟4秒敲完。
【例2】瓶子中装有一种孢子，每小时分裂一次，每分裂一次体积增大一倍。如果最初孢子的体积占瓶子的，那么3小时后，孢子的体积占瓶子的几分之几?
解析：孢子每小时分裂一次，每分裂一次体积增大一倍，也就是说孢子每经过一小时体积就扩大到原来的2倍，可以列表表示出孢子每次分裂后的体积扩大到最初孢子体积的倍数的情况，如下表：
时间
1小时后
2小时后
3小时后
扩大到最初孢子体积的倍数
2
2×2
2×2×2
求3小时后孢子的体积占瓶子的几分之几，就是求的(2×2×2)倍是多少，用乘法计算。
解答：2×2×2＝8 ×8=
答：孢子的体积占瓶子的。
【例3】□里最小应填自然数几?
×2> ×9>
思路分析 先将分数乘整数的算式写成整数和分子相乘作分子的形式，再根据“>”左右两边分数分母的大小关系来判断□里最小应填自然几。如×2=>，26＜27，当分子是12时，才大于，推出□里最大应填6。
正确解答
×2> ×9>
【例4】两根相同的长3米的绳子，第一根剪去，第二根剪去米，哪根绳子剪去的多?
解析：此题是对求一个数的几分之几是多少的解题方法的全面考查。第一根绳子剪去的是3米的，也就是3×＝1(米)，第二根绳子剪去米，1米＞米，因此第一根绳子剪去的多。我们还可以这样思考：第一根绳子剪去的是3米的，第二根绳子剪去的是米，相当于1米的，3米＞1米，因此第一根绳子剪去的多。
解答： 第一根绳子剪去的多
【例5】先计算，再比较每道算式中因数与积的大小，从中你能发现什么规律?
24×＝ 24×1＝ 24×＝ 24×＝
解析：先计算出每道算式的结果，再比较积与因数的大小，从中找出规律。
24×＝12 24×1＝24 24×＝32 24×＝6
<1 1＝1 >1 <1
12＜24 24＝24 32＞24 6＜24
解答： 24×＝12 24×1＝24
24×＝32 24×＝6
【例6】有两袋面粉，甲袋面粉的质量是30千克，乙袋面粉的质量是甲袋的，要使两袋面粉同样重，应从甲袋中取出多少千克面粉放人乙袋?
解析： 观察示意图可知，乙袋面粉的质量是甲袋的，则乙袋
面粉的质量是30×＝25(千克)，甲袋比乙袋多30－25＝5(千
克)，因为要从甲袋取出一部分放入乙袋，并使两袋一样重，所
以取出的是它们质量差的一半。
解答： 30×＝25(千克) 30－25＝5(千克)
5×＝2.5(千克) 答：应从甲袋中取出2．5千克面粉放人乙袋。
【例7】甲数是乙数的，丙数是甲数的，丙数是乙数的几分之几?
解析：“甲数是乙数的”是把乙数看作单位“1”，把乙数平均分成5份，甲数是这样的2份，如图一。“丙数是甲数的”是把甲数看作单位“1”，把甲数平均分成4份，丙数是这样的1份，如图二。由此可以看出丙数是乙数的的。
图一 图二
解答： ×＝ 答：丙数是乙数的。
第二单元 分数除法
【例1】 小丽在计算一道除法算式时，把除以6按照乘6去计算了，结果得。正确的结果应该是多少?
解析：此题是对分数除以整数的计算方法的全面考查。一个数乘6，结果是，可以逆推，用除以6，求得这个数，也就是除法算式的被除数，然后用被除数除以6，求得正确的答案。一定注意解答此类题时，可以采用逆推法，先从错误的结果入手，分析错误的原因，再利用积、商的变化得到正确的算式，然后求出正确的结果。
解答：÷6＝×＝ ÷6＝×＝ 答：正确的结果应该是。
【例2】小敏看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了91页。这本书一共有多少页?
解析：由题意可知，两个分数对应的单位“1”的量均是全书的总页数。题中的数量关系可以用线段图表示如下：
这本书一共有?页
根据线段图可以得出等量关系式：第一天看的页数十第二天看的页数＝两天一共看的页数。根据等量关系式列方程解答。
解答：设这本书一共有χ页。
χ十χ＝91
χ＝91
χ＝140 答：这本书一共有140页。
【例3】简算：×＋×。
解析：这个算式可以看成两组算式相加，每组算式中的每个因数都不相同，但两组算式中分数的分母都相同，分子中都有9，根据乘法的性质和乘法交换律在两组算式中转化出一个相同的因数，然后根据乘法分配律简算。根据上面的思路转化算式。
两个分数的分子调换位置 两个分数的分母调换位置
×＝＝＝×或×＝＝×
×和×都与×有相同的因数。
同样也可以调换×中分数的分子或分母的位置，使调换后的算式与 ×有相同的因数。
解答： ×＋× ×＋×
＝×＋× ＝×十×
＝×(＋) ＝(十)×
＝× ＝×
＝ ＝
【例4】 计算：22÷。
解析： 通过观察发现，除数是一个带分数，它的整数部分和分数部分的分子都和被除数相同，都是22，所以可以利用商不变的规律进行转化，使计算简便。
正确解答 22÷＝(22÷22)÷(÷22)＝1÷＝
【例5】晶晶文化用品商店购进一批日记本，第一周售出的本数比总数的一半还多12本，结果剩下36本，这批日记本一共有多少本?
解析： 画图分析题意，如图所示：
从图中可以看出，用剩下的本数加上12本正好是总数的一半。
解答： 12＋36＝48(本) 48÷＝96(本) 答：这批日记本一共有96本。
第三单元 百分数
【例1】下列哪些分数可以用百分数表示?
(1)预计到2050年，我国60岁及60岁以上的老年人口约占总人口的。
(2)1袋盐的质量是kg。
空气中的氧气含量约占。
解析：因为百分数表示两个数量之间的倍比关系。所以：
表示我国60岁及60岁以上的老年人口与我国
人口总数之间的倍比关系，能用百分数表示。
kg表示l袋盐的质量，不能用百分数表示。
表示氧气含量与空气总量之间的倍比关系，能用百分数表示。
解答：（1）和(3)中的分数，可以用百分数表示。
【例2】有甲、乙两杯糖水，甲杯糖水为100克，含糖20克；乙杯糖水为300克，含糖42克，哪杯糖水更甜些?
解析：要知道哪杯糖水更甜些，就要比较那杯水的20÷100＝，42÷300＝，把都化成分母是100的分数进行比较。＝ 因为＞，所以＞。由此得出：甲杯糖水更甜些。
解答：甲杯糖水更甜些。
【例3】 实验一小的优秀教师人数占全校教师人数的10％，实验二小的优秀教师人数占全校教师人数的15％。哪个学校的优秀教师人数多?
解析：假设两个学校的教师人数都是100人，那么实验一小有10人是优秀教师，实验二小有15人是优秀教师，所以实验二小的优秀教师人数多。假设实验一小有教师200人，实验二小有教师100人，那么实验一小有20人是优秀教师，实验二小有15人是优秀教师，所以实验一小的优秀教师人数多。同理，还有两个学校优秀教师人数相等的可能。
解答 在没有具体给出两个学校的教师总人数时，无法判断哪个学校的优秀教师人数多，哪个学校的优秀教师人数少。
【例4】全世界胡杨的90％在中国，中国胡杨的90％在新疆，新疆胡杨的90％在塔里木。塔里木的胡杨占全世界胡杨的百分之几?
解析：根据题意画图如下：
从图中可知：塔里木的胡杨占全世界胡杨的90％×90％×90％。
解答： 90％×90％×90％＝0.729＝72.9％
答：塔里木的胡杨占全世界胡杨的72.9％。
【例5】在0.85、85.1％、、和l.85这五个数中，最大的数是多少?最小的数是多少?
解析：把题中要比较的几个数分成大、小两组，先在各组中找出最大或最小的数，再采用大中取大或小中取小的方法筛选，最后找出这五个数中最大和最小的数。
解答： 在这五个数中，0.85＜85.1％＜，＜1.85。因为第一组数均比1小，第二组数均比l大，所以第一组数均小于第二组数。因此，最大的数是1.85，最小的数是0.85。
【例6】一个百分数，把百分号去掉，就比原来增加49.5，这个百分数是多少?
解答：一个百分数去掉百分号后，就扩大到原来的100倍。若设这个百分数是χ，则变化后的数就是100χ，根据数量关系式：变化后的数一原数＝49.5，列方程解答。
解答 解：设这个百分数是χ。
100χ—χ＝49.5
99χ＝49.5
χ＝0.5
χ＝50％
答：这个百分数是50％。
【例7】一个分数，分子加l后，能变成75％；分子减1后，能变成50％。这个分数是多少?
解析： 先将题中的百分数转化成分数，然后假设这个分数是(m是不为零的自然数，n是大于1的自然数)，分子加1就是，分子减1就是，和相加所得的和是原分数的2倍，用这两个分数相加所得的和除以2就能得到原分数。
解答： 75％＝ 50％＝
(十)÷2＝
答这个分数是。
总结 如果一个分数的分子加工1与减去1后各变成一个新分数，那么这两个新分数的和除以2就是原分数。
【例8】 李叔叔和张叔叔都是集邮爱好者，李叔叔的邮票张数是张叔叔的倍，李叔叔的邮票张数比张叔叔多百分之几?
解析：根据“李叔叔的邮票张数是张叔叔的倍”这个条件，通过转化可以得出：李叔叔的邮票张数＝张叔叔的邮票张数X，也就是说把张叔叔的邮票张数平均分成4份，李叔叔有这样的7份，这样就可以用份数表示他们两人邮票数量的多少，从而解决问题。
解答 (7—4)÷4＝75％
答：李叔叔的邮票张数比张叔叔多75％。
【例9】六年级(1)班有16％的同学在操场上做游戏，参加兴趣活动的人数是操场上做游戏人数的3倍，其余的同学在图书室看书。在图书室看书的人数占全班人数的百分比是多少?
解析：题中没有给出六年级(1)班的具体人数，可以设一个具体数来解答。设全班有100人，有100×16％＝16(人)在操场上做游戏，有16×3＝48(人)参加兴趣活动，在图书室看书的人数有100－16－48＝36(人)，36人占100人的36％。
解答：设全班有100人。
做游戏：100×16％＝16(人)
参加兴趣活动：16×3＝48(人)
在图书室看书：100－16－48＝36(人)
36÷100＝36％
答：在图书室看书的人数占全班人数的36％。
第四单元 解决问题
【例1】一台笔记本电脑4000元，先提价，再降价出售。现价是多少元？
解析：先求出商品提价后的价钱，再在此基础上求出商品降价后的价钱，然后与原价比较，判断价钱的变化。根据求比一个数多几分之几的数是多少的问题的解法，可知提价后的价钱为4000×(1十)＝4400(元)，现价是在4400元的基础上降价，现在的价钱是4400×(1一)＝3960(元)。
解答：4000×(1十)＝4400(元) 4400×(1一)＝3960(元) 答：现价是3960元。
【例2】乐天影院放映一部电影，原来电影票20元一张，降价后观众增加了一倍，收入增加了。现在电影票多少钱一张?
解析： 题中没有给出观众的数量，可以设看电影的人数为一个具体的数，计算出电影院的收入，再求出每张电影票的钱数。可以设降
价前有10人看电影，则收入为10×20＝200(元)。降价
后观众增加一倍，即20人，根据收入增加求出降价
后的收入，用降价后的收入除以20就能求出现在每张
电影票的价钱。
解答：设降价前有10人看电影。
20×10×(1＋)＝240(元) 240÷(2×10)＝12(元)
答：现在电影票12元一张。
【例3】小玉和小月到文化用品商店各买了一支钢笔，都花了19.8元。商店老板说这两支钢
笔一支盈利10％，另一支亏损10％。小玉说老板正好不赚不赔，小玉说得对吗?
解析：要想判断小玉说得对不对，就要将两支钢笔的成本价和卖出价进行比较。一支钢笔盈利10％，是指比成本价多10％；一支钢笔亏损10％，是指比成本价少10％。第一支钢笔的卖出价是成本价的(1＋10％)，
第二支钢笔的卖出价是成本价的(1－10％)，可先求
出成本价，再和卖出价进行比较。
解答： 19.8÷(1＋10％) 19.8÷（1－10％)
＝19.8÷1．1 ＝19.8÷90％
＝18(元) ＝22(元)
19.8×2＝39．6(元) 18＋22＝40(元)
39.6<40，卖出价低于成本价，老板赔钱，所以小玉说得不对。
【例4】甲数比乙数多25％，乙数比甲数少百分之几?
解析： 思路一：甲数比乙数多25％，应把乙数看作单位“1”，甲数是乙数的1+25％＝1十＝，即把单位“1”平均分成4份，甲数有这样的5份。求乙数比甲数少百分之几，用乙数比甲数少的份数除以甲数的份数即可。
思路二：甲数比乙数多25％，应把乙数看作单位“1”，甲数比乙数多25％，甲数可以用“1+25％”来表示。求乙数比甲数少百分之几，是把甲数看作单位“1”，用甲、乙两数的相差部分25％除以甲数即可求得乙数比甲数少百分之几。
解答： 方法一 1+25％＝l十＝
(5—4)÷5＝20％
方法二 25％÷(1+25％)＝20％
答：乙数比甲数少20％。
【例5】“十一”期间，A、B两家旅行社推出“家庭游”优惠活动，两家旅行社原
来的标价相同，优惠方案如下：
A旅行社：成人全价，儿童半价。
B旅行社：成人、儿童一律降价15％。
(1)童童和爸爸、妈妈一家三口去旅游，选择哪家旅行社比较便宜?
(2)乐乐一家三口、贝贝一家四口共7个人(5个大人、2个小孩)去旅游，选择哪家旅
行社比较便宜?
解析： 要想知道选择哪家旅行社比较便宜，应看在哪家旅行社花钱少。两家旅行社原来的标价相同，在计算时可以先设两家旅行社原来的标价都是a(a>0)元，再分别计算出两家旅行社优惠后两组家庭应花的钱数，最后比较大小。
解答 设两家旅行社原来的标价都是。(a>0)元。
(1)A旅行社：2a＋50％a＝2.5a
B旅行社：a×(1－15％)×3＝2.55a
2.5a<2.55a，童童一家选择A旅行社比较便宜。
(2)A旅行社：5a＋a×50％×2＝6a
B旅行社：a×7×(1－15％)＝5.95a
6a>5.95a，乐乐、贝贝两家选择B旅行社比较便宜。
【例6】李叔叔和张叔叔都是集邮爱好者，李叔叔的邮票数是张叔叔的，李叔叔的邮票数比张叔叔的邮票数多百分之几?
解析：根据“李叔叔的邮票数是张叔叔的”这个条件可以得出：李叔叔的邮票数＝张叔叔的邮票数X，也就是说把张叔叔的邮票数平均分成4份，李叔叔有这样的7份，这样就可以用份数表示他们两人邮票数量的多少，从而解决问题。
解答： (7—4)÷4＝75％
答：李叔叔的邮票数比张叔叔的邮票数多75％。
【例7】一种电冰箱，每台提价10％后，又降价10％，现在每台电冰箱的价钱是原价的百分之几?
解析： 电冰箱的原价未知，可以用设数法设一个具体数来解答。假设每台电冰箱的原价是1，根据原价和变化幅度，先求出每台电冰箱提价后的价钱，再求出每台电冰箱降价后的价钱，最后求出现在每台电冰箱的价钱是原价的百分之几。
解答 设每台电冰箱的原价是l。
1×(1＋10％)×(1－10％)＝0.99
0.99÷1＝99％
答：现在每台电冰箱的价钱是原价的99％。
【例8】有两个装有同样多货物的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运货物。中途
丙转去帮乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮甲、乙各搬了多长时间?
解析： 把搬运一个仓库里的货物的工作量看作”1”，从整体看，相当于3个人共同完成工作量“2”。无论丙帮甲，还是丙帮乙，3个人同时工作的时间相等，根据两个仓库最后同时搬完，求出3个人的工作时间。丙帮甲搬运的时间等于丙帮甲搬运的工作量除以丙的工作效率，丙帮乙搬运的时间等于丙帮乙搬运的工作量除以丙的工作效率。
解答：三个人同时搬运：2÷(＋＋)＝8(时)
丙帮甲搬了：(1一×8)÷＝3(时)
丙帮乙搬了：(1一×9)÷＝5(时)
答：丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。
第五单元 圆
【例1】有一个圆形铁片，没有标明圆心，你能找出它的直径吗?
解析：在没有标明圆心的情况下，可以根据直径的意义去判断，直径是圆中最长的线段；或在圆外画一个外接正方形，根据圆的直径长等于这个外接正方形的边长等知识来解决。
解答： 方法不唯一。
方法一
把直尺的。刻度固定在圆形铁片边缘的任意一点上，移动直尺的另一端，量出最长的线段，就是圆形铁片的直径，如图一，图中线段AD最长，线段AD就是这个圆形铁片的直径。
图一 图二 图三 图四
方法二
把圆形铁片放在平面上，先紧贴圆形铁片边缘上的一点画一条直线AB，然后在圆形铁片的另一侧边缘上找到一个合适的点，过这点画直线AB的平行线CD，AB、CD与圆形铁片的交点分别为正、F，连接EF，线段EF就是这个圆形铁片的直径，如图二。
方法三
紧贴圆形铁片边缘在圆形铁片外画一个正
方形，正方形和圆形铁片的交点分别为A、B、C、D，
连接AC、BD。线段AC、BD都是这个圆形铁片的直
径，如图三。
方法四
在圆形铁片上任意画一条线段CD，使线
段CD两端都在圆形铁片的边缘上，然后过CD的中点画它的垂线，这条垂线与圆形铁片相交于A、B两点，线段AB就是这个圆形铁片的直径，如图四。
【例2】 如右图，已知AB＝120米，BC＝60米，从点A到点C有2条不同的路线①和②，请你判断哪条路线比较近。
解析：先分别计算出两条路线的长，再进行比较。路线①的长度是直径为AC的圆的周长的一半，路线②的长度是直径分别为AB、BC的两个圆的周长的一半的和。
解答： 路线①的长度： 路线②的长度：
3.14×(120＋60)÷2 3.14×120÷2＋3.14×60÷2
＝3.14×180÷2 ＝188.4＋94.2
＝282.6(米) ＝282.6(米)
282.6米＝282.6米
答：两条路线一样近。
【例3】下面是由三个等圆组成的平面图形。依次连接三个圆心O1、O2和O3围成一个三角形，这个三角形三个内角各是多少度?
思路分析 三个圆半径相等，圆心相连。三条线段都是由2条半径相连而成的，且长度相等。可推得这三条相等的线段所围成的三角形是等边三角形，根据等边三角形的特点可知这个三角形每个内角的度数。
解答： 每个内角都是600。
【例4】直径均为1分米的4根管子被一根金属带紧紧地捆扎在一起，如下图。求金属带的长度。(接头处忽略不计)
解析：金属带的长度可以分成两部分，一部分是4条直径的和，另一部分是4个圆的弧长的和，而4个圆的弧长的和正好等于一个圆的周长。这样就把求金属带的长度转化咸求一个圆的周长加上4条直径的长度和。如下图所示：
解答： 3.14×1＋1×4＝7.14(分米)
答：金属带的长度是7.14分米。
【例5】求下图中阴影部分的面积。(单位：cm)
解析： 把左下角的圆沿着长方形下面的长边向右平移12cm，使阴影部分转化成规则图形，如下图所示：
由此可知，求阴影部分的面积就是求边
长为12 cm的正方形的面积。
解答： 12×12＝144(cm2)
答：阴影部分的面积是144cm2。
【例7】在一个面积为5厘米2的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米?
解析：如右图所示，在正方形内画一个最大的圆，正方形的边长与
圆的直径相等，正方形边长的一半与圆的半径相等。把正方形分成
相等的4份，每个小正方形的面积正好等于半径的平方。先根据正
方形的面积求出半径的平方，再应用圆的面积计算公式
S＝πr2求出这个圆的面积。
解答：3．14×(5÷4)＝3．925(厘米2)
答：这个圆的面积是3．925厘米2。
【例8】有一个圆环，内圆半径是10厘米，外圆周长
比内圆周长多6.28厘米。求环宽。
解析： 根据已知条件可以先求出外圆周长，再求出外圆半径，外圆半径与内圆半径的差就是环宽。内圆半径已知，可求出内圆周长，内圆周长加上6.28厘米即为外圆周长，再根据圆的周长计算公式求出外圆半径。
解答：外圆周长：2×3.14×10＋6.28＝69.08(厘米)
外圆半径：69.08÷3.14÷2＝11(厘米)
环宽：11-10＝l(厘米)
答：环宽是1厘米。
【例9】 图中阴影部分的面积是100厘米2，求圆环的面积。
解析：图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面
积，而大、小正方形的边长恰好又是大、小两个圆的半径，因此可
得出R2一r2＝100厘米2。再应用圆环的面积计算公式S＝π(R2一r2)
即可求出这个圆环的面积。
解答： 3.14×100＝314(厘米2)
答：圆环的面积是314厘米2。
【例10】如右图，OA、OB分别是小半圆的直径，且OA＝OB＝6厘米，∠AOB＝900，阴影部分的面积是多少平方厘米?
解析： 图中阴影部分的形状是不规则图形，将阴影部分进行割补，使其变成规则图形，如下图所示：
由上图可知，阴影部分的面积＝大圆的面积一三角形AOB的面积。
解答： 3．14×62×—6×6×
＝28．26－18
＝10．26(厘米2)
答：阴影部分的面积是10．26厘米2。
【例11】右图是一个圆心角为45*的扇形，其中等腰
直角三角形的斜边长为6厘米，则阴影部分的面积是
多少平方厘米?
解析：看图可以发现这个阴影部分的面积可以用扇形的面积减去等腰直角三角形的面积得到。已知扇形的半径是6厘米，圆心角是450，可以求出这个扇形的面积；再根据这是一个等腰直角三角形，它的面积是一个对角线长为6厘米的正方形面积的一半，这个正方形的面积等于对角线长度的平方除以2，所以这个等腰直角三角形的面积＝6×6÷2÷2。
解答： 扇形的面积：×3.14×62＝14.13(厘米2)
等腰直角三角形的面积：6×6÷2÷2＝9(厘米2)
阴影部分的面积：14.13－9＝5.13(厘米2)
答：阴影部分的面积是5.13厘米2。
第六单元 扇形统计图
【例1】下面是六年级(1)班一次英语测验成绩的统计表。
等级
优
良
及格
待及格
人数
20
10
5
5
下列扇形统计图中，能表示六年级(1)班这次英语测验成绩的是( )。
A． B． C．
解析：要判断哪幅扇形统计图能表示六年级(1)班这次的英语测验成绩，可以先根据统计表中的数据，依次计算出每个等级的人数占全班人数的百分比，再一一排除不正确的选项。全班人数是20＋10＋5＋5＝40(人)。
⑴得优的人数占全班人数的20÷40＝50％，在扇形统计图中用半圆表示。
⑵得良的人数占全班人数的10÷40＝25％，在扇形统计图中用圆表示。
⑶及格和待及格的人绷目等，合起来是全班人数的(5＋5)÷40＝25％，在扇形统计图中把圆平均分成2份，分别表示及格和待及格的人数占全班人数的百分比。
由⑴可知：B、C选项均符合该数量关系； 由⑵可知：B选项符合该数量关系； 由⑶可知：B选项符合该数量关系。综合以上信息得出：B选项是正确答案
解答： B
【例2】东风小学六年级(2)班上学期期末数学成绩如下：得优的有14人，得良的有16人，及格的有8人，待及格的有2人。各等级的人数分别占全班人数的百分之几?请你用扇形统计图表示出来。
解析：(1)先求出全班人数，再用各等级的人数分别除以全班人数，得到每个等级的人数占全班人数的百分比；(2)求出各扇形圆心角的度数，整个圆的度数为3600，用3600乘各百分比，就可以求出各扇形圆心角的度数；(3)用圆规画一个大小适中的圆表示全班人数，在这个圆中量出计算得到的4个扇形圆心角的度数，并画出这4个扇形；(4)在各个扇形中标明各等级和所占的百分比，并用不同的颜色或底纹把各个扇形区分开，也可以用图例注明；(5)写上统计图的名称和制图日期。
解答：全班总人数：14＋16＋8＋2＝40(人)
得优的人数占全班人数的百分比：14÷40＝35％
得良的人数占全班人数的百分比：16÷40＝40％
及格的人数占全班人数的百分比：8÷40＝20％
待及格的人数占全班人数的百分比：2÷40＝5％
总复习
【例1】去年植树节，彩虹小学组织学生去植树。高年级领走了的树苗，中年级领走了剩下树苗的，低年级领走剩下树苗的。低年级领到了树苗总棵数的几分之几?
解析：此题是对分数乘分数的意义和计算方法的全面考查。运来的梨比西瓜多，应把运来的西瓜看作单位“1”。求运来的梨比西瓜多多少吨，就是求吨西瓜的是多少，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，列式为：× 计算×时，可用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。注意要求运来梨多少吨，可以西瓜的吨数加梨比西瓜多的吨数计算。
解答：×＝（吨） +＝+＝（吨）
答：运来的梨比西瓜多吨；运来梨吨。
【例2】三个不同质数的倒数之和是，这三个质数分别是多少?
解析：根据质数的性质和倒数的意义可以推出：的分母是三个质数的积，105可 以分成哪三个质数相乘的形式，这三个质数就是所求之数。
把105分解质因数，105＝3×5×7，则这三个质数分别是3、5、7。检验：＋＋＝ ＝，与已知条件相符。
解答：105＝3×5×7，这三个质数分别是3、5、7。
【例3】 计算：(＋)÷(＋)。
解析：这道题中的被除数和除数是两个算式，可以把它们分别转化成含有与的和的形式，并把与的和看作一个数来参与运算，这样可以使计算简便。
解答： (＋)÷(＋)
＝(＋)÷(＋)
＝[65×(＋)]÷[5×(＋)]
＝65÷5
=13
【例4】 下面是李明和张华两人去书店买书的情况。已知他们两家住在同一条马路上，相距1400m，书店恰好在他们两家之间，请根据下图填空。
李明和张华两人去书店买书的情况统计图
(1)李明( )从家里出发，张华( )从家里出发，他们( )同时到达书店，都在书店停留了( )分钟。
(2)( )往返的速度始终不变，平均每分钟走( )m。
(3)( )往返的速度有变化，平均每分钟走( )m。
解析： 观察上图可知：横轴表示时间，每格表示10分钟，是按时间的先后顺序排列的。纵轴表示路程，以周雪家为起点，书店在距离周雪家600 m处，李明家在距离张华家1400 m处。
李明9：00从家里出发，张华8：50从家里出发，他们9：20同时到达书店，9：50同时离开书店。
从两人各自往返路线图的形状上看，他们往返的路程分别相同，但康洋往返的时间不同，李明往返的时间相同，所以张华往返的速度有变化，张华往返的速度始终不变。
求张华的平均速度，用去时的路程除以去时的时间。求李明的平均速度，用往返的总路程除以往返的总时间和。
解答： (1)8：50 9：00 g：20 30
张华 30
(3)李明 32
【例5】 下面是用自制的皮筋秤称量物体质量的统计图。(皮筋秤所称物体的质量小于3000 g。)
⑴根据统计图填表。
质量/g
0
400
600
800
1000
1600
a(a＜3000)
伸长长度/m
1
7
⑵小美用这个皮筋秤称一本词典，皮筋长14.8cm，这本词典重多少克?
解析： 观察统计图可知，没有称量物体时皮筋长10 cm，说明皮筋的基础长度是10cm。所称物体的质量是200g时，皮筋的长度为11 cm，伸长了11—10＝l(cm)；所称物体的质量是400g时，皮筋的长度为12 cm，伸长了12一10＝2(cm)，依次类推。根据上面的规律，可以求出这本词典重多少克。
解答：
⑴
质量/g
0
200
400
600
800
1000
1400
1600
a(a＜3000)
伸长长度/m
0
1
2
3
4
5
7
8
⑵(14.8—10)×200＝960(g)
答：这本词典重960go
【例6】下面是某小学六年级学生
上网情况的调查结果。
上网查资料：55％ 上网学习：38％
上网通讯：37．5％ 上网玩游戏：42．7％
上面的调查结果能用扇形统计图表示吗?说明理由。
解析：从上面调查项目的分类来看，它反映的不是各部分数量与总数之间的关系，各项统计数据之间相互包含。例如：同一个人可能在上网查资料的55％和上网玩游戏的42．7％中被重复统计。从上面的调查结果来看，各调查项目的百分比之和大于1。因此，这个调查结果不能用扇形统计图表示。
解答：上面的调查结果不能用扇形统计图表示。因为它反映的不是各部分数量与总数之间的关系，而且各调查项目的百分比之和大于1。
【例7】实验小学六(1)班今天没有到校的人数是到校人数的。求六(1)班今天的出勤率。
解析： 此题中没有给出具体数量，可以考虑通过份数或分率来计算出勤率。
思路一 利用份数求出勤率。
⑴由“六“)班今天没有到校的人数是到校人数
的”可知，到校人数是19份，没有到校的人数是
l份，全班人数应是1＋19＝20(份)。用到校数人所
占的份数除以全班人数所占的份数，可以求出出勤率。
思路二 利用分率求出勤率。
⑵由“六(1)班今天没有到校的人数是到校人数的”可知，把到校人数看作单位“1”，则没有到校的人数是，全班人数是1＋＝。用到校人数对应的单位“1”除以全班人数所对应的分率，可以求出出勤率。
解答：方法一： 19÷(1＋19)＝0.95＝95％
方法二： l÷(1＋)＝0.95＝95％
答：六(1)班今天的出勤率是95％。
【例8】把百分数，m％(m是小于100且不为。的自然数)化成分数，且不经约分就是最简分数，分子是什么样的数?这样的分数有多少个?
解析： 把百分数m％化成分数是(m是小于100且不为0的自然数)，且揣不经约分就是最简分数，也就是说分子和分母只有公因数1。把100分解质因数为100＝2×2×5×5，因为分母100含有质因数2和5，所以分子就不能含有因数2和5，即分子个位上的数不能是0、2、4、6、8、5。由此可知，分子是小于100且个位上不足5的奇数。从1到100共有50个奇数，个位上是5的奇数有10个，即5、15、…、95。
解答 分子是小于100且个位上不是5的奇数，这样的分数有40个。
【例9】乐乐玩具店的一种遥控汽车的进价是50元，店主以65元的价格卖出。这种遥控汽车的利润率是多少?
解析： 商品的卖价也称销售价或售价；进价也就是买入价，也称商品的成本价；利润是指商品的销售价和成本价的差，销售价高于成本价，卖出这件商品后经营者就盈利，反之就亏本；利润率是指商品所获利润是成本价的百分之几。
解答： ＝0.3＝30％
答：这种遥控汽车的利润率是30％。
【例10】 甲数比乙数多25％，乙数比甲数少百分之几?
解析：甲数比乙数多25％，应把乙数看作单位“1”，甲数是乙数的1+25％＝1+＝，由此可知，把单位“1”平均分成4份，甲数有这样的5份。求乙数比甲数少百分之几，用乙数比甲数少的份数除以甲数的份数即可。
解答 1+25％＝1+＝ (5—4)÷5＝20％
答：乙数比甲数少20％。
【例11】一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要12天完成。若甲先做若干天，然后由乙继续做完，从开始到做完共用了14天。这项工程甲先做了几天?
解析： 解决此题时，可以先假设14天全由乙来做，从中找出工作总量之间的差，再
根据甲、乙两人工作效率的差计算出这项工程甲先做了几天。
解答： (×14一1)÷(一)＝5(天)
答：这项工程甲先做了5天。
【例12】妈妈购买了3年期国债，年利率是5．43％。到期后妈妈除本金外，还可以得到1629元的利息。妈妈购买了多少元的国债?
解析：求妈妈购买了多少元的国债，也就是求本金。由“利息＝本金×利率×存期”可以推出“本金＝利息÷存期÷利率”。已知利息、存期和利率，求本金，可以把已知数量代入公式求出所求问题。
解答： 1629÷3÷5．43％
＝543÷5．43％
＝10000(元)
答：妈妈购买了10000元的国债。
【例13】2013年9月1日，个人所得税起征点上调至3500元，具体纳税方法如下表：
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过1500元
3％
2
超过1500元至4500元
10％
3
超过4500元至9000元
20％
…
…
…
2016年6月宋老师的工资收人中应缴纳36元的个人所得税。宋老师该月的工资是多少元?
解析：解决此题的关键是先判断宋老师该月
工资中的应纳税所得额是否超过1500元。假
如应纳税所得额是1500元，则应缴纳1500×
3％＝45(元)的个人所得税，45＞36，由此可
以判断宋老师该月工资中的应纳税所得额不
超过1500元。先按税率3％计算出宋老师该
月工资中的应纳税所得额是多少元，再计算出宋老师该月的工资是多少元。
解答： 36÷3％＝1200(元)
3500＋1200＝4700(元)
答：宋老师该月的工资是4700元。
【例14】如下图所示，正方形的边长是8厘米，求阴影部分的面积。
方法一
解析： 如右图所示，用正方形的面积减去一个整圆的面积，即可求出空
白部分面积的一半，用正方形的面积减去空白部分的总面积，就得到阴影部
分的面积。
解答： 空白部分面积的一半：8×8—3.14×(8÷2)2＝13.76(厘米2)
阴影部分的面积：8×8—13.76×2=36.48(厘米2)
方法二
解析： 如右图所示，每2个圆合在一起的面积正好是正方形与一个
“花瓣”的面积之和，用2个圆的面积和减去正方形的面积就是一个
“花瓣”的面积，再乘4就是阴影部分的面积。
解答： 正确解答 [3.14×(8÷2)2××2—8×8×]×4＝36.48<厘米2)
方法三
解析： 如右图所示，用正方形的面积减去圆的面积就等于空白部
分的面积，用正方形的面积减去空白部分的总面积就是阴影部分的面积。
解答： 82一[8×8×一3.14×(8÷2)2×]×8＝36.48(厘米2)
答：阴影部分的面积是36.48厘米2。
【例15】 到2050年，预计世界人口总数将达到90亿。
根据上面的统计图，回答下面的问题。
(1)到2050年，亚洲人口将达到多少亿?约占世界人口的百分之多少?(百分号前保留两位小数)
(2)到2050年，欧洲人口将占世界人口的百分之多少?
(3)2050年世界人口将比1999年世界人口增加百分之多少?
解析： 题中用条形统计图、柱式扇形统计图展示了世界人口的变化和2050年各大洲的人口分布情况。从这两幅统计图中可以获取很多信息，如2050年世界人口总数，1957—2050年世界人口的变化情况，2050年世界人口在亚洲、非洲等地区的分布情况……根据获取的信息，结合百分数的知识解决问题。
解答： (1)52．68÷90≈58．53％
答：到2050年，亚洲人口将达到52．68亿，约占世界人口的58．53％。
(2)8．28÷90＝9．2％
答：到2050年，欧洲人口将占世界人口的9．2％。
(3)(90－60)÷60＝50％
答：2050年世界人口将比1999年世界人口增加50％。